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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 7

Sur les rapports du nombre et de la grandeur

Revue de Métaphysique et de Morale, 1898, t. VI, p. 422-447

Note de l’éditeur

Bertrand Russell fit paraître à la fin de 1897 dans Mind un article intitulé « On the Relations of Number and Quantity ». Dans sa lettre à Russell du 4 mai 1898, Couturat écrit : « Je médite un article (pour le numéro de Juillet [de la RMM]) Sur les rapports du nombre et de la grandeur, où j’analyserai votre article si substantiel de Mind et où je discuterai votre théorie de la grandeur que je n’ai pas eu le loisir d’examiner à fond dans mon compte rendu [Article 6]. Peut-être profiterai-je de cette occasion pour répondre à quelques-unes de vos critiques sur mon Infini, et pour exposer les conclusions du cours que j’ai fait cette année sur la Philosophie des mathématiques pures » (Bertrand Russell. Correspondance … avec Louis Couturat (1897-1913), p. 52;1). Le 8 juillet, il en fera parvenir un tiré à part à Russell (ibid., p. 68). On verra que si la seconde partie de l’article expose bien les conclusions de ce cours (à l’Université de Caen), Couturat a finalement renoncé à répondre ici aux critiques de Russell sur son propre livre.

Plus tard, Russell sera encore plus sévère pour cet article que pour son livre sur les fondements de la géométrie : « Ma théorie de la géométrie était principalement kantienne ; j’allais bientôt me plonger dans la dialectique hégélienne. J’écrivis un articler sur les “Relations entre le Nombre et la quantité” qui est du pur Hegel […] Bien que Couturat ait qualifié cet article de “petit chef d’œuvre de dialectique subtile” [infra], il me semble aujourd’hui n’être que pure absurdité » (Histoire de mes idées philosophiques, traduction par Georges Auclair, Paris, Gallimard, 1961, p. 48-50).]

Texte intégral

  • 2 Revue de Métaphysique, t. VI, p. 375 (mai 1898). [Article 6]
  • 3 Essay…, §§ 79, 81, 99, 147, 178.
  • 4 On the Relations of Number and Quantity, ap. Mind, t. VI, no 23 (nouvelle série) [1897, p. 326-341]

1En rendant compte de l’Essai sur les Fondements de la Géométrie de M. Bertrand Russell2, nous avons laissé à dessein de côté la conception de la grandeur qui se trouve fréquemment invoquée au cours de cet ouvrage3. C’est que cette conception est une théorie originale de l’auteur, et a une portée générale qui dépasse de beaucoup le domaine de la géométrie. Aussi l’a-t-il exposée et développée à part dans un article du Mind4 ; elle vaut donc la peine d’être étudiée pour elle-même, d’autant plus qu’elle implique, comme on le verra, toute une théorie de la connaissance qu’il importe d’examiner. Nous nous proposons de résumer cet article, puis de le discuter, et enfin d’apprécier la théorie de la connaissance qui lui sert de fondement. Nous aurons en même temps l’occasion de lui en opposer une autre, que nous croyons préférable ; nous définirons la méthode qui nous paraît devoir être employée dans l’étude des problèmes de critique scientifique, et nous l’appliquerons à la même question.

I

2M. Russell commence par indiquer comment il comprend la généralisation du nombre. Le nombre entier fait seul abstraction de la qualité des unités qui le constituent ; toutes les extensions du nombre (nombres fractionnaires, négatifs et imaginaires) impliquent certaines qualités des unités, qui en restreignent l’application à certaines espèces d’objets. Ainsi, les nombres fractionnaires n’ont de sens qu’appliqués à des grandeurs divisibles à l’infini ; les nombres négatifs, à des grandeurs à deux sens opposés ; les nombres imaginaires, à des grandeurs à deux dimensions. Quant aux nombres irrationnels, l’auteur les exclut de l’arithmétique, parce qu’ils ne se composent pas d’unités ; ils naissent de l’application du nombre à la grandeur. D’ailleurs, pour lui, le nombre est toujours discontinu ; la grandeur, au contraire, est essentiellement continue. Le nombre n’est applicable aux données de l’expérience qu’au moyen d’une abstraction, qui réduit plusieurs objets à un même concept : ce concept constitue l’unité spéciale dont le nombre concret (applied) est formé. Or, lorsque la matière du nombre ne contient aucune division toute faite, aucune trace d’unité naturelle, elle est un continu. Toute portion limitée de cette matière est une grandeur (quantity) ; le résultat de l’application du nombre à cette grandeur s’appelle quantité (magnitude) ; l’opération elle-même est la mesure. En somme, la généralisation du nombre se fait en absorbant graduellement dans l’unité les propriétés qualitatives de la grandeur.

3D’autre part, plus l’unité concrète s’enrichit des qualités de la grandeur, moins le nombre constitue un renseignement objectif sur le tout qu’il mesure. En effet, tout dénombrement et toute mesure impliquent nécessairement la connaissance préalable de l’unité concrète. Or, plus l’unité est factice et arbitraire, moins le nombre représente un caractère intrinsèque de l’objet et nous informe de sa constitution réelle. Dans le continu, le nombre n’exprime que le rapport d’une grandeur à une autre ; le nombre présuppose toujours une unité qui n’a rien de numérique, qui est, par suite, une grandeur. Il est donc absurde de croire que le nombre épuise le contenu de la grandeur, et de vouloir réduire la grandeur continue à un système de nombres (comme certains mathématiciens modernes).

4Ainsi la grandeur est naturellement antérieure au nombre et à la mesure. Le nombre résulte de la comparaison de deux grandeurs de même espèce, il ne mesure la première que par rapport à la seconde, prise pour unité ; il ne signifie rien, il n’apprend rien, si l’on ne connaît pas cette unité. La grandeur doit donc être une propriété intrinsèque de l’unité de mesure, c’est-à-dire de chaque grandeur prise à part. Mais, d’un autre côté, une grandeur n’existe que par rapport à d’autres, nous ne pouvons la connaître qu’en la comparant à une autre. Il y a là une contradiction, une sorte d’antinomie : la grandeur suppose la comparaison, et la comparaison suppose la grandeur. Cette contradiction se retrouve du reste dans la définition même qu’on donne vulgairement de la grandeur (une chose susceptible de plus et de moins). Ce cercle vicieux signifie, au fond, qu’une même chose peut changer de grandeur sans changer de nature ou de qualité. Il en résulte que sa grandeur est une dénomination extrinsèque et relative, puisqu’elle peut varier sans altérer l’identité de la chose. Telle est la difficulté que l’auteur se propose de résoudre.

5Si l’on veut maintenir cette thèse, que la grandeur est une propriété intrinsèque des choses, on devra adopter l’une des deux hypothèses suivantes, que M. Russell va critiquer tour à tour : 1o La grandeur est une catégorie indépendante ; 2o Elle est une donnée immédiate des sens.

6Dans la première hypothèse (que nous adoptons pour notre part), la grandeur est indépendante de toutes les autres qualités de l’objet, et, par suite, elle ne peut se définir par des concepts. Elle est donnée et appréhendée immédiatement (par l’esprit) dans l’objet ; ce qui n’empêche pas qu’on ne puisse rien en dire que par comparaison.

7Pour discuter cette hypothèse, l’auteur distingue d’abord les grandeurs extensives des grandeurs intensives. Les premières sont caractérisées par le fait que toute variation d’une grandeur est homogène à cette grandeur ; autrement dit, la différence de deux grandeurs est une grandeur de même espèce, d’où il suit que ces sortes de grandeurs sont susceptibles d’addition et de division à l’infini. Mais on se heurte alors à une nouvelle antinomie : la grandeur extensive est une relation, et pourtant elle est plus qu’une relation.

8En effet, un changement de grandeur est un attribut ou un accident (adjective) pour la grandeur, supposée identique ; et il est en même temps une grandeur. Or, de deux choses l’une : ou bien la grandeur primitive n’est elle-même qu’un accident, et alors elle ne peut conserver son identité à travers les changements et les divisions qu’elle subit ; ou bien elle est plus qu’un accident, elle est le substratum ou le sujet du changement de grandeur, et alors celui-ci, n’étant qu’un attribut, ne peut être homogène à la grandeur primitive. En un mot, la grandeur extensive est un accident, en tant qu’homogène à son changement ; et elle est une substance, en tant que sujet de ses changements. Cette antinomie est identique au fond à celle de la divisibilité à l’infini : une grandeur divisible est une substance complexe qui doit être composée de substances simples, ce qui contredit la divisibilité à l’infini. En somme, une grandeur extensive est une relation hypostasiée, et c’est de là que vient la contradiction inhérente à cette notion. Mais si l’on renonce à l’hypostasier, elle cesse d’être extensive pour devenir intensive.

9La grandeur intensive n’est plus susceptible d’addition ni de division : par exemple, la différence de deux températures n’est pas une température. Aussi ne peut-on plus appliquer (directement du moins) le nombre à ces grandeurs. On ne peut pas les mesurer, mais seulement les repérer, en les rapportant à une grandeur extensive et partant mesurable : c’est ainsi que le thermomètre sert à repérer les températures au moyen des longueurs. Deux grandeurs intensives ne peuvent être comparées directement qu’au point de vue de l’égalité et de l’inégalité (du plus ou du moins). Or elles sont conceptuellement identiques, et leur inégalité n’apparaît que dans l’intuition ; leur différence de grandeur n’existe donc que par leur comparaison ; par conséquent, en tant que grandeurs, elles sont pure relation. Mais, d’autre part, pour pouvoir les comparer, il faut déjà les concevoir chacune séparément comme une grandeur. Nous retombons dans la même antinomie : la grandeur n’est qu’une relation, et pourtant elle est plus qu’une relation. On en conclut que la première hypothèse est contradictoire.

  • 5 Le continu mathématique, ap. Revue de Métaphysique [et de Morale], t. I, [1893], p. 29.

10Reste à examiner la seconde hypothèse, suivant laquelle la grandeur serait une donnée immédiate des sens. Comme telle, elle serait encore indéfinissable, irréductible à des concepts, et ne pourrait qu’être perçue immédiatement. Mais d’abord cette conception ne nous donne que la grandeur intensive, indivisible et non mesurable, et non la grandeur extensive qui seule est l’objet de la science mathématique. De plus, M. Poincaré a démontré d’une manière décisive que la grandeur ne peut être que conceptuelle5. En effet, si la grandeur était une donnée des sens, deux sensations indiscernables donneraient lieu à deux grandeurs égales ; la différence de deux grandeurs serait toujours finie, et jamais nous n’aurions eu l’idée d’intercaler entre elles une autre grandeur. La création du continu mathématique prouve que la grandeur est une conception de l’esprit, un produit de la pensée. La seconde hypothèse est donc, elle aussi, réfutée.

11On ne peut plus soutenir que la grandeur est une propriété intrinsèque des choses. Mais alors, d’où vient cette thèse erronée ? De ce que la grandeur est une propriété commune à plusieurs choses, il ne suit pas qu’elle soit une propriété de chacune d’elles séparément : la similitude est une propriété des choses semblables, sans qu’on puisse dire de chacune d’elles, prise à part, qu’elle est semblable. De même la grandeur est une notion de relation : une chose n’est pas une grandeur par elle-même, mais par rapport à d’autres choses. La grandeur naît donc de la comparaison, son essence consiste dans la mesure. C’est justement parce que les grandeurs intensives sont de pures relations qu’elles peuvent être homogènes à leur différence. En tant que relations, elles sont indivisibles comme les grandeurs intensives, qui sont plutôt des attributs ; elles ne deviennent divisibles que lorsqu’on les hypostasie dans l’espace et le temps. Le continu extensif est primitivement indivis, et c’est même pour cela qu’il se prête indifféremment à toutes les divisions. D’ailleurs la grandeur reste antérieure à la mesure et au nombre, car l’un et l’autre reposent sur la comparaison préalable des grandeurs au point de vue du plus et du moins. Aussi la corrélation de la grandeur et du nombre est-elle purement intrinsèque et conventionnelle ; elle est fondée sur la notion d’égalité, qui est une relation de grandeur.

12Il semble qu’on ait ainsi résolu toutes les contradictions auxquelles on s’expose quand on conçoit la grandeur comme une propriété commune des grandeurs. Mais il n’en est pas moins vrai que la grandeur implique des propriétés communes aux objets qui doivent apparaître comme grandeurs. La comparaison quantitative de deux objets suppose qu’ils sont qualitativement semblables, donc indiscernables par concepts ; et, d’autre part, elle donne naissance à la notion de grandeur, qui est un concept de relation. Ainsi, dans le jugement de grandeur, il y a « une conception de différence sans différence de conception ». La mesure est donc logiquement contradictoire, puisqu’elle consiste à concevoir une différence entre des objets qui n’ont aucune différence concevable. En réalité, elle s’applique à des différences qui ne sont plus conceptuelles, mais intuitives, et qui résident dans les données immédiates des sens. La comparaison d’où naît l’idée de grandeur ne s’exerce que là où les différences des objets des sens cessent d’être qualitatives, et par suite intelligibles. Si l’intelligence était adéquate à la sensibilité, elle découvrirait entre toutes choses des différences conceptuelles et les distinguerait par leurs qualités individuelles. Si les données des sens nous apparaissent sous forme de grandeurs, c’est qu’elles ne sont pas pleinement intelligibles. La matière de l’idée de grandeur est le continu intensif, c’est-à-dire une collection de données appartenant à une seule et même infima species, et par suite conceptuellement semblables, mais différant encore par quelque propriété réfractaire à la conception. L’idée de grandeur manifeste donc « l’inadéquation de l’intelligence et de la sensibilité », ou encore « l’irrationalité fondamentale de la sensation ».

*  *  *

  • 6 [Compte rendu (anonyme) de B. Russell. On the relations of number and quantity], Revue de Métaphysi (...)
  • 7 On peut abuser de tout, même de la rigueur logique : on sait où l’application excessive du principe (...)

13Telle est la substance de cet article, si plein d’idées qu’il est fort difficile de le résumer sans affaiblir une pensée dont la cohérence fait la force. Si spécieuse que soit cette argumentation pressante et serrée, il faut avouer qu’elle ne satisfait pas complètement l’esprit : elle le tient en suspens entre diverses thèses également contradictoires, et finalement le laisse désappointé en présence d’une conclusion plutôt négative. On a fort justement comparé ce travail à un dialogue platonicien6 ; et, en effet, après avoir réfuté plusieurs hypothèses, parce qu’elles mènent à des contradictions, l’auteur en adopte une qui, en fin de compte, apparaît aussi contradictoire que les autres. Il semble que cet esprit critique se plaise à découvrir ou à inventer des antinomies ; d’ailleurs les logiciens les plus subtils ont un penchant à voir partout des contradictions7. M. Russell a cru trouver de nouvelles antinomies dans la conception de l’espace : voici qu’il en révèle d’autres dans l’idée de grandeur. Il déploie d’ailleurs dans ce genre d’escrime une élégance et une ingéniosité merveilleuses ; seulement on est tenté de se demander pourquoi, si toutes les thèses examinées tour à tour sont également illogiques, il a pris parti pour l’une plutôt que pour l’autre, et pourquoi il s’est décidé en faveur de la dernière. C’est ce qui nous encourage à soutenir une de celles qu’il a écartées, à savoir celle qui nous paraît la moins contradictoire ; ou plutôt, nous essaierons de la justifier de tout reproche de contradiction.

  • 8 De l’Infini mathématique [1896], p. 208.
  • 9 Ibid., 2e partie, livre II, ch. IV, § 8.
  • 10 Ibid., chap. cité.

14Nous ne nous attarderons pas à noter et à louer toutes les idées justes et solides qui abondent dans cet article. Nous nous contenterons de dire que nous sommes d’accord avec l’auteur sur le véritable sens de la généralisation du nombre. Nous avons remarqué nous-même (après M. Padé) que la création de chaque nouvelle espèce de nombres fait entrer dans l’unité correspondante une nouvelle qualité des grandeurs que ces nombres doivent représenter8. Nous avons aussi distingué l’unité numérique, indivisible, de l’unité de mesure, simple grandeur semblable aux autres et divisible comme elles9. Enfin nous avons montré comment l’idée de rapport permet de justifier toutes les extensions de l’idée de nombre10, et cela par une méthode générale et uniforme. Aussi ce ne sont pas seulement les nombres irrationnels qui s’expliquent par la considération des grandeurs, mais toutes les autres espèces de nombres. Sans doute cette proposition est plus évidente pour le nombre irrationnel, en raison de la continuité essentielle de la grandeur ; mais elle est également vraie pour les autres, ne fût-ce que par raison d’analogie et d’uniformité. Comment l’ensemble des nombres réels pourrait-il être homogène et continu, si, parmi les nombres qui le composent, les rationnels avaient une origine arithmético-algébrique, et les irrationnels seuls une origine « mégéthologique » ?

15Cette considération prouve en même temps que l’assimilation ou la réduction des grandeurs aux nombres est impossible et n’a pas de sens, au fond, puisque chaque nombre ne représente pas, à proprement parler, une grandeur prise absolument, mais bien son rapport à une autre grandeur de même espèce prise pour unité de mesure. Aussi la correspondance établie entre les nombres et les grandeurs est-elle essentiellement relative au choix arbitraire de cette unité. Comme le reconnaît M. Russell, la mesure d’une grandeur n’a de sens que par rapport à l’unité de grandeur adoptée, et par suite l’une et l’autre grandeur doivent préexister à toute mesure. La comparaison même de deux grandeurs au point de vue de l’égalité ou de l’inégalité n’est possible que si les deux grandeurs sont préalablement connues et bien déterminées en tant que grandeurs.

  • 11 Essay, § 19 ; v. Revue de Métaphysique [et de Morale, t. VI, 1898], p. 375. [Article 6]
  • 12 Nous faisons ici appel au principe de l’homogénéité algébrique. En vertu de ce principe, on doit di (...)

16Comment, dès lors, M. Russell peut-il prétendre que la grandeur n’est connue et même n’existe que par la comparaison ? C’est en vertu du principe de la relativité de la grandeur, d’où il croit pouvoir conclure que chaque grandeur n’existe que par rapport aux autres, ou plutôt, qu’une grandeur n’est au fond qu’un rapport entre deux choses qui, prises à part, n’ont pas de grandeur. En particulier, nous l’avons vu soutenir que l’unité de mesure n’est pas une grandeur, est destituée de grandeur11. Mais il semble ainsi confondre la grandeur avec le nombre. En effet, le nombre qui mesure une grandeur exprime simplement son rapport à la grandeur-unité : or les deux termes d’un rapport numérique doivent être homogènes ; donc la grandeur-unité est une grandeur semblable à toutes les autres, et notamment à la grandeur mesurée12. D’ailleurs, il faut bien que cette unité de mesure soit quelque chose : or l’auteur a commencé par reconnaître qu’elle ne peut avoir rien de numérique ; il déclare ailleurs qu’elle n’est pas non plus une grandeur. Que lui restera-t-il donc ?

  • 13 Rappelons que, de l’aveu même de l’auteur, « les termes comparés doivent exister avant la comparais (...)

17Cette difficulté provient, semble-t-il, de la manière inexacte et fallacieuse dont M. Russell interprète la relativité de la grandeur. Ce principe est en effet ambigu, et peut s’entendre en deux sens très différents, et même opposés. Quand on affirme que toutes les grandeurs sont relatives les unes aux autres, on veut dire, selon nous, qu’elles sont mesurables les unes par les autres, mais non pas qu’elles n’existent que les unes par rapport aux autres. Or, si la mesure suppose naturellement la comparaison, celle-ci suppose à son tour l’existence des grandeurs à comparer ; en d’autres termes, si la grandeur mesurée est postérieure à la comparaison, la grandeur mesurable lui est antérieure. Donc, de ce que toute grandeur doit se mesurer par rapport à une autre, il ne faut pas conclure qu’elle n’existe que par cette mesure, mais au contraire qu’elle préexiste à cette mesure13. Par conséquent la relativité de la grandeur, loin de prouver qu’elle n’est qu’une pure relation, exige qu’elle soit une propriété intrinsèque des choses, antérieure à toute comparaison.

18Nous croyons échapper ainsi à la première antinomie : « La comparaison suppose la grandeur ; la grandeur suppose la comparaison ». Pour dissiper l’équivoque d’où naît la contradiction, il suffit de distinguer, comme le fait notre auteur, la grandeur de la quantité, ou grandeur mesurée, et de dire : « La quantité suppose la comparaison, mais la comparaison suppose la grandeur ».

19Il nous reste à résoudre la seconde antinomie : « La grandeur n’est qu’une relation, et elle est plus qu’une relation ». La solution résulte de la manière dont nous avons interprété la relativité de la grandeur. Sans doute, tout jugement de grandeur est un jugement de relation, mais ce n’est pas parce qu’il porte sur des grandeurs ; c’est en tant que jugement reposant sur la comparaison de deux choses et établissant un rapport entre elles. D’autre part, s’il n’y a pas de grandeur absolue, c’est en ce sens qu’une chose n’est ni grande ni petite absolument, mais par rapport à d’autres, c’est-à-dire que l’on peut trouver des grandeurs supérieures ou inférieures à chaque grandeur donnée ; mais il ne s’ensuit pas qu’une chose n’ait pas par elle-même de grandeur, car si elle n’avait absolument aucune grandeur, on ne pourrait jamais la comparer à d’autres choses au point de vue de l’égalité ou de l’inégalité, et découvrir ou établir entre elles des relations de grandeur. Pour pouvoir dire de deux choses que l’une est plus grande ou plus petite que l’autre, il faut évidemment les concevoir au préalable comme des grandeurs ; de plus, comme des grandeurs de même espèce, sans quoi elles ne seraient pas même comparables ; enfin, comme des grandeurs déterminées, car autrement, leur rapport de grandeur, le sens même de leur inégalité, serait, arbitraire et indéterminé.

20Pour achever de résoudre l’antinomie, il convient d’examiner les raisonnements par lesquels M. Russell essaie de l’établir. Le nerf de son argumentation consiste à dire qu’une chose reste identique à elle-même tout en changeant de grandeur, et de là viennent les deux propositions contradictoires : « La grandeur extensive est une substance, en tant que sujet de variations de grandeur ; et elle est un accident, en tant qu’homogène à ses variations ». Cette contradiction paraît provenir (nous nous en doutions d’avance) d’un abus du principe d’identité : elle consiste à concevoir une chose à la fois comme identique et comme différente ; plus exactement, une même grandeur comme susceptible de plusieurs états de grandeurs.

21L’origine du paralogisme est dans l’idée de variation. Toute variation suppose un champ de variation, comme tout mouvement suppose un espace qui lui donne pour ainsi dire carrière. Ce « domaine de variabilité » est constitué par un ensemble de grandeurs distinctes et fixes. Cet ensemble une fois défini, on conçoit une grandeur variable qui devient tour à tour égale à plusieurs de ces grandeurs, et l’on considère celles-ci comme des valeurs successives que prend la variable. Il n’y a aucune espèce de contradiction entre l’identité de la grandeur variable et la multiplicité des états de grandeur constants par lesquels elle passe.

22Seulement, et c’est ici que l’équivoque s’introduit dans le langage et dans l’esprit, on est amené à identifier la grandeur variable à l’une de ses valeurs passagères ; à dire, par exemple, pour abréger : « La grandeur A devient égale à B », au lieu de dire : « La variable X passe de l’état A à l’état B ». Il est clair que de telles expressions sont contradictoires si on les prend au pied de la lettre : la grandeur fixe A ne peut devenir égale à la grandeur fixe B. C’est là une confusion que commettaient souvent les anciens mathématiciens, qui n’étaient pas encore arrivés à établir nettement la distinction des grandeurs constantes et variables.

23Or c’est d’une locution vicieuse de ce genre que M. Russell paraît être dupe, lorsqu’il dit qu’une grandeur extensive doit être homogène à ses variations. En effet, il semble raisonner comme suit : « Quand la grandeur A devient la grandeur B, elle subit la variation B − A, qui est une grandeur semblable ; donc elle est homogène à ses changements de grandeur, et la substance est homogène à ses accidents, ce qui est absurde ». Mais ce n’est pas A qui devient égale à B : c’est la grandeur variable (ou indéterminée) X qui devient tour à tour égale à A et à B. C’est elle la substance dont A et B sont les attributs successifs et dont la variation (B − A) est un accident ; de sorte qu’il n’y a aucune absurdité à ce qu’un changement de grandeur soit homogène aux grandeurs A et B qui en sont les termes. La contradiction provient uniquement de ce qu’on a identifié à tort la grandeur variable, sujet du changement, à la grandeur fixe qui en est l’attribut, de sorte que la même chose est considérée tour à tour comme substance et comme accident. Il suffit de distinguer et de préciser les termes pour faire évanouir la prétendue antinomie, et pour justifier l’idée de grandeur de tout vice logique.

  • 14 Malebranche, De la Recherche de la Vérité, livre III, 2e partie, ch. VIII, § 1 : « Si les philosoph (...)

24Mais, en vérité, c’est vouloir s’abuser que d’appliquer à l’idée claire et distincte de grandeur les catégories de substance et d’accident, et même la distinction logique de sujet et d’attribut, qui n’ont pas de place en mathématiques ni dans aucune science. Il faut laisser ces notions confuses et vides à l’arsenal scolastique, et les reléguer dans ce musée d’antiquités inutiles et encombrantes qu’est le système d’Aristote. Au fond, ce ne sont que des idoles du forum, de ces illusions substantialistes nées de l’usage des mots et de leur personnification symbolique. Il suffit qu’une idée s’exprime par un substantif et une autre par un adjectif, pour que l’on conçoive la première comme une substance et la seconde comme un accident ; il suffit que l’on unisse deux concepts par la copule banale « est », pour que l’un apparaisse comme un sujet dont l’autre serait l’attribut. Il y a longtemps qu’on a remarqué que la Physique d’Aristote n’était qu’une Logique14 ; et que sa Logique elle-même n’est qu’une grammaire ou une syntaxe, et qu’elle n’est pas l’« art de penser, » mais simplement l’art de parler sans se contredire… et pour ne rien dire.

25Ce n’est pas sans raison que nous attribuons à Aristote les paradoxes de M. Russell ; non seulement parce que son mémoire a été lu devant la « Société Aristotélienne », et certes nulle offrande n’était mieux faite pour réjouir les mânes d’Aristote que ce petit chef-d’œuvre de dialectique subtile ; mais parce que c’est de l’esprit péripatéticien que procède sa conception de la grandeur. En effet, la conclusion à laquelle il s’arrête signifie, en somme, que la notion de grandeur est irrationnelle, sinon contradictoire, qu’elle provient de l’inadéquation de l’entendement et de la sensibilité, et qu’elle n’aurait plus de sens pour un esprit parfait, en qui toutes les choses se résoudraient en concepts. Dans cette théorie, la grandeur est ce qui reste de l’objet quand on en a épuisé le contenu intelligible, c’est-à-dire les qualités, au moyen des concepts. Tout jugement de grandeur porte sur des objets qualitativement semblables et suppose, par suite, qu’ils sont conceptuellement indiscernables : deux choses ne peuvent différer de grandeur que si elles ne diffèrent pas en concept : la différence de grandeur est donc littéralement inconcevable, et la notion de grandeur elle-même est inintelligible, puisqu’elle repose sur l’existence d’une différence que l’entendement n’a pas pu maîtriser.

26Il convient d’abord de ne pas exagérer l’antithèse de la qualité et de la quantité au point de l’ériger en antinomie. Que deux objets puissent être à la fois qualitativement semblables et quantitativement différents, il n’y a là aucune contradiction, mais une simple opposition de points de vue. Ensuite, il reste à savoir lequel des deux points de vue est le plus rationnel, autrement dit, laquelle des deux catégories est la plus intelligible. M. Russell considère la grandeur comme inintelligible, parce qu’elle est irréductible à la qualité ; mais cela suppose que tout ce qui est intelligible dans les choses se réduit à des qualités, c’est-à-dire à des concepts. Or c’est là l’hypothèse même de la philosophie du concept, professée par Socrate, Platon et Aristote : à savoir que la qualité est la forme intelligible des êtres, tandis que la quantité (l’infini) en est la matière inintelligible. À ce postulat péripatéticien il est permis d’opposer le postulat cartésien : la seule idée claire et distincte par laquelle nous pouvons concevoir les corps étant l’idée de grandeur, tout ce qui est intelligible dans la nature se réduit à des grandeurs. Or, ce dernier postulat a sur le premier un immense avantage : en effet, tandis que le concept, abstrait et général, ne peut jamais représenter la qualité exacte de l’objet et épuiser le contenu de son essence individuelle, l’idée de grandeur, à la fois universelle et concrète, permet de définir l’objet avec précision et de le déterminer par des relations générales applicables à une infinité de cas particuliers. D’autre part, s’il est vrai que l’idée de grandeur soit irréductible à la qualité et réfractaire aux concepts, on peut, en revanche, réduire les qualités à la grandeur, ou du moins les traduire en termes de quantité qui en sont l’équivalent objectif. Si les objets sont intelligibles, c’est en tant que grandeurs, et en tant que leurs propriétés peuvent s’exprimer par des relations de grandeurs ; c’est au contraire leur qualité, dans le sens et dans la mesure où elle est irréductible aux idées mathématiques, qui en constitue le résidu inintelligible. On n’explique les qualités des corps qu’en les ramenant à des phénomènes géométriques et mécaniques, c’est-à-dire en définitive à des quantités mesurables et calculables ; mais ce que l’on n’expliquera jamais, c’est la qualité sensible comme telle ; c’est là un caput mortuum qui échappe aux prises de l’entendement. Ainsi nous nous accordons avec M. Russell pour reconnaître l’hétérogénéité de la sensibilité et de l’entendement, et l’irrationalité fondamentale de la sensation ; seulement, au lieu de dire que ce qu’il y a d’incompréhensible dans la sensation, c’est la quantité, parce qu’elle est irréductible à la qualité, nous disons que c’est la qualité, parce qu’elle est irréductible à la quantité.

27On nous demandera peut-être pourquoi nous optons délibérément pour le postulat cartésien plutôt que pour le postulat contraire. Mais c’est toute la science moderne qui répondra pour nous, et qui justifiera notre choix en apparence arbitraire. Pendant de longs siècles, le postulat aristotélicien était resté stérile et impuissant à pénétrer « la nature des choses », précisément parce qu’il leur attribuait une « nature » ; le génie de Descartes a opéré une révolution décisive dans la philosophie en fondant la physique sur la mathématique, et la mathématique sur l’idée claire et distincte de grandeur, qu’il appelait l’étendue, et dont il ne craignit pas de faire la substance des corps, tout simplement parce qu’elle en est l’élément souverainement intelligible. Et tandis que la scolastique, en ergotant à perte de vue sur des formes substantielles et des qualités occultes suivant les règles de la logique syllogistique, n’avait pas fait un seul pas dans la connaissance de la nature, la physique moderne, depuis que l’hypothèse cartésienne lui a donné ses principes définitifs, s’est emparée de l’univers et fait chaque jour de nouvelles conquêtes. Ainsi, entre la conception péripatéticienne et la conception cartésienne du monde, l’expérience a prononcé sans retour. La nature même, peut-on dire, a décidé entre la philosophie du concept et celle des idées claires ; la science moderne consacre de plus en plus l’irréparable défaite de la logique d’Aristote, et le succès toujours croissant de la logique cartésienne, c’est-à-dire de la Mathématique universelle.

28Nous nous permettons de recommander ces considérations historiques, un peu exotériques, à ces esprits positifs et pratiques, comme il s’en trouve beaucoup parmi les savants, qui ne s’en rapportent qu’aux faits. D’ailleurs, rien ne prouve mieux, en général, la valeur d’une idée que le fait qu’elle réussit dans son application à la nature ou dans l’explication des phénomènes. Au fond, l’attitude que la philosophie critique doit prendre à l’égard de la science est analogue à celle qu’observe la science elle-même en face de la nature. Pour le philosophe, la science est, en somme, le grand fait à expliquer ; or, de même que les phénomènes naturels confirment ou infirment les hypothèses du savant, le développement de la science sous l’influence ou la direction d’une idée confirme ou infirme la valeur rationnelle et la puissance explicative de cette idée. Comme on reconnaît l’arbre à ses fruits, on reconnaît la vérité d’une idée à son utilité et à sa fécondité dans la science. La science est le grand laboratoire des idées philosophiques ; elle est en même temps pour elles un champ de culture et d’expériences.

  • 15 Trirème pour les latinistes.

29C’est pourquoi les philosophes qui prétendent se passer de connaissances scientifiques sont amenés à spéculer sur des concepts, c’est-à-dire sur les images confuses et vagues qui naissent de l’expérience banale et grossière ; or c’est là se contenter de notions pré-scientifiques et souvent même anti-scientifiques, c’est se condamner à une logomachie stérile et se payer de mots. Ces discussions purement verbales, ces arguties scolastiques sont excusables chez les anciens, pour qui la science positive n’existait pas ; mais, aujourd’hui, elles n’ont plus de raison d’être. À quoi bon ratiociner sur des notions obscures ou vides, alors que la science fournit à la critique des idées infiniment plus justes et plus claires, éprouvées par un long exercice et épurées par une patiente élaboration ? Vouloir appliquer encore ces catégories abstraites et creuses de matière et de forme, de puissance et d’acte, à la philosophie de la nature, est un anachronisme aussi ridicule qu’essayer de lutter avec une catapulte contre un canon rayé, ou avec une trière15 contre un cuirassé.

  • 16 Les pages qui suivent contiennent quelques-unes des conclusions de notre cours sur la Philosophie d (...)

30Au surplus, s’il fallait un exemple pour prouver la supériorité de la « philosophie savante » sur la « philosophie ignorante », il nous serait fourni par M. Russell lui-même. Jamais, assurément, il n’eût abouti aux belles et solides conclusions de sa philosophie géométrique en méditant in abstracto sur l’espace. Qu’est-ce, en effet, que l’espace du vulgaire ou du psychologue (c’est tout un, en philosophie) au prix de l’espace que le géomètre a exploré et, pour ainsi dire, labouré en tous sens, et dont il découvre sans cesse de nouvelles propriétés ? Quand les philosophes classiques avaient dit que l’espace est infini, continu, et a trois dimensions, ils avaient épuisé leur connaissance de l’espace. Encore n’avaient-ils qu’une idée très confuse de l’infinité et de la continuité, qui n’ont été élucidées et définies avec rigueur que grâce aux profondes recherches des mathématiciens modernes. Quelle notion pauvre et mesquine, en comparaison de l’idée si riche, si complexe et si précise à la fois, que les géomètres se font de l’espace, idée qui s’est de plus en plus affinée et assouplie, au point de s’appliquer à une infinité d’espaces différents ! De même, ce n’est pas par des raisonnements en forme sur le nombre « en soi » et la grandeur « en soi » qu’on parviendra jamais à découvrir les vrais rapports de ces deux idées fondamentales. C’est à la mathématique qu’il faut demander quelles sont les relations qui existent entre elles, en recherchant les liens qui unissent la science du nombre et celle de la grandeur, et les secours qu’elles se prêtent dans leur développement respectif. Telle est la méthode objective et vraiment scientifique que nous voudrions voir appliquer à l’étude des problèmes critiques, et dont l’essai suivant n’est qu’un modeste échantillon16.

II

  • 17 Regulæ ad directionem ingenii, IV.
  • 18 Regulæ…, V.
  • 19 Regulæ…, X.
  • 20 Voir Œuvres mathématiques d’Évariste Galois, publiées sous les auspices de la Société mathématique (...)

31La première question qu’on doit se poser en étudiant la Philosophie des Mathématiques, est de savoir quelles sont les idées primitives qui leur servent de matière ou de fondement. S’il fallait en croire une école de mathématiciens modernes, l’idée de nombre serait la base unique des Mathématiques pures (c’est-à-dire de l’arithmétique, de l’algèbre et de l’analyse). Mais, quand on recherche sans parti pris toutes les idées fondamentales sur lesquelles reposent ces sciences, on en trouve non seulement deux, mais trois. À l’idée de nombre, en effet, il convient d’ajouter celles de grandeur et d’ordre. En cela, on ne fait que se conformer à la pensée de Descartes, qui définissait la Mathématique en lui assignant un double objet : « la recherche de l’ordre et de la mesure17 ». En particulier, il attachait une telle importance à l’idée d’ordre, qu’il disait : « Toute la méthode consiste dans l’ordre et la disposition des objets » à connaître18, et qu’il recommandait l’étude des arts les plus communs, « surtout de ceux qui expliquent l’ordre ou le supposent », parmi lesquels il énumérait la tapisserie, la broderie, la dentelle, l’art de tisser et… l’arithmétique19. C’était là une vue vraiment prophétique, bien digne du génie du fondateur de la science moderne, car la science de l’ordre n’existait même pas de son temps. On en trouve le germe et les premiers éléments dans les travaux de Fermat, de Pascal, de Leibnitz et de Bernouilli sur le calcul des probabilités, qui se rattache étroitement à la théorie des combinaisons. Mais ce n’est que dans ce siècle qu’elle a été véritablement fondée par Galois20. Depuis lors (1832), elle a pris un développement extraordinaire, non seulement en prenant place dans la mathématique à côté des sciences traditionnelles et classiques, mais encore en les envahissant et en les transformant presque toutes. Cette science, que Sylvestre et Cayley appelaient la Tactique, et Cournot la Syntactique, consiste principalement dans la théorie des substitutions. On nous permettra d’en donner une idée sommaire à nos lecteurs.

32On sait que, si l’on range n objets dans un ordre linéaire de toutes les manières possibles, toutes les dispositions différentes s’appellent des permutations de ces n objets. Leur nombre est 1.2.3… n, produit des n premiers nombres entiers, qu’on représente par n ! (factorielle n).

33L’opération par laquelle on passe d’une permutation à une autre, c’est-à-dire par laquelle on substitue une disposition à une autre dans l’ensemble des n objets, s’appelle une substitution. Il y a entre n objets autant de substitutions différentes que de permutations, en y comprenant la substitution identique, qui consiste à passer d’une permutation à la même permutation, c’est-à-dire à laisser les objets dans le même ordre.

34Étant donné un ensemble de substitutions de n objets, on dit qu’elles forment un groupe, si le résultat qu’on obtient en effectuant successivement deux substitutions de cet ensemble peut être obtenu par une seule substitution du même ensemble ; en d’autres termes, si le produit de deux substitutions équivaut à une seule substitution de l’ensemble. En particulier, toutes les substitutions possibles de n objets forment un groupe, et c’est même pour cela qu’elles ne sont pas plus nombreuses que les permutations : toutes les substitutions possibles pouvant être obtenues en partant d’une seule et même permutation initiale, il y en a autant que de permutations finales, soit n !

  • 21 C’est dans ce sens technique et précis de « groupe de transformation » qu’il faut entendre le mot « (...)

35Cette notion de groupe est extrêmement générale, d’ailleurs : elle peut s’appliquer, non seulement aux substitutions, mais à toutes les opérations arithmétiques et à des transformations analytiques quelconques. Aussi la théorie des groupes de transformations est-elle devenue, grâce à M. Sophus Lie, une science ou une méthode d’une étendue et d’une fécondité merveilleuses21.

  • 22 [Augustin Cournot, De l’origine et des limites de la] Correspondance entre l’Algèbre et la Géométri (...)
  • 23 Réflexions sur les principes fondamentaux de la Théorie des nombres, ap. Journal de Liouville, t. X (...)
  • 24 C’est le nom que M. Stolz, après Newton, a donné ou plutôt rendu à l’Algèbre. [Otto Stolz (1842-190 (...)

36Voyons maintenant quels sont les rapports de la théorie des substitutions avec l’algèbre. C’est à Cournot22, après Poinsot23, que revient le mérite d’avoir mis en lumière l’importance de l’idée d’ordre comme fondement des sciences mathématiques. Ces auteurs distinguent dans l’algèbre deux parties : 1o une arithmétique universelle, fondée sur la généralisation des opérations élémentaires et sur l’extension corrélative de l’idée de nombre ; 2o la science de l’ordre et des combinaisons, science formelle et abstraite, applicable à toutes sortes d’objets et d’opérations. Cette distinction est juste et profonde ; seulement, elle est trop radicale pour qu’on puisse confondre sous le même titre deux sciences tout à fait hétérogènes. Nous réserverons donc le nom d’algèbre à l’arithmétique universelle24, science du nombre généralisé, comprenant la théorie des équations, qui a pour but de déterminer des nombres inconnus par leurs relations arithmétiques avec des nombres connus ; et nous verrons dans la théorie de l’ordre une science à part, indépendante des sciences du nombre et de la grandeur, quoique pouvant leur prêter un précieux concours.

37Mais si l’algèbre est bien distincte de la science de l’ordre, si même elle en est en principe indépendante, il n’en est pas moins vrai qu’elle a dû y avoir recours pour la résolution algébrique des équations : et le mérite de Galois a précisément consisté à apercevoir le secours que l’algèbre pouvait tirer de la notion de l’ordre, en apparence étrangère à ses spéculations.

  • 25 Camille Jordan, Traité des Substitutions et des équations algébriques, préface (Gauthier-Villars, 1 (...)

38Résoudre algébriquement une équation, c’est trouver une fonction algébrique des coefficients de cette équation qui, substituée à l’inconnue dans cette équation, la vérifie identiquement, c’est-à-dire rende son premier membre identiquement nul ; autrement dit, c’est exprimer ses racines en fonction de ses coefficients. D’une manière plus générale (et c’est là la conception originale de Galois), c’est exprimer ses racines en fonction rationnelle des racines d’une équation auxiliaire ou adjointe. Grâce à cette conception, « Galois assoit la théorie des équations sur sa base définitive, en montrant qu’à chaque équation correspond un groupe de substitutions, dans lequel se reflètent ses caractères essentiels, et notamment tous ceux qui ont trait à sa résolution par des équations auxiliaires25 ».

39Voici comment un groupe peut correspondre à une équation, ce qui peut paraître singulier au premier abord. On suppose toujours que l’équation est mise sous la forme normale : (x) = 0, le premier membre étant une fonction rationnelle entière de l’inconnue x (un polynôme entier en x), de degré n. On sait que, si x1, x2…, xn désignent les n racines de l’équation, ce polynôme équivaut (à un facteur constant près) au produit :

(x – x1) (x– x2) ….. (x – xn)

  • 26 Id., ibid.

40Cela posé, si l’on effectue sur les n racines toutes les substitutions possibles, il y en a en général plusieurs qui laissent invariable la fonction (x). Ces substitutions forment un groupe, dont cette fonction est un invariant ; c’est, par définition, le groupe de l’équation considérée. « Étant donnée une équation quelconque, il suffit de connaître une de ses propriétés caractéristiques pour déterminer son groupe, d’où l’on déduit réciproquement ses autres propriétés26. »

  • 27 V. Galois, Œuvres mathématiques, p. 42 sqq.

41Or Galois a découvert qu’à toute réduction de l’équation (au moyen d’équations adjointes) correspond une réduction de son groupe à un groupe plus simple, de sorte que résoudre une équation, c’est réduire son groupe à une seule substitution (la substitution identique27). Par suite, la condition de résolubilité d’une équation (par radicaux, comme on dit) peut s’exprimer par certaines propriétés de son groupe, qui le rendent progressivement réductible à la substitution identique. Ainsi se trouve établi un parallélisme extrêmement remarquable entre la théorie des équations et celle des substitutions. A priori, il n’y a rien de commun entre la résolution algébrique d’une équation et la décomposition d’un groupe en sous-groupes invariants. Il a fallu le génie de Galois pour apercevoir une analogie entre ces deux processus intellectuels si divers, et pour découvrir des relations aussi fécondes qu’inattendues entre la science du nombre et la science de l’ordre.

42Nous allons trouver des relations non moins curieuses entre l’algèbre et l’analyse, en étudiant les principes de la résolution numérique des équations. Cette théorie (qui a pour but de déterminer la valeur numérique des racines d’une équation), repose tout entière sur la proposition suivante, que pour cette raison on appelle le théorème fondamental de l’algèbre : « Toute équation algébrique à coefficients réels ou imaginaires a une racine réelle ou imaginaire ».

  • 28 Leçons nouvelles sur l’Analyse infinitésimale [et ses applications géométriques, Pris, Gauthier-Vil (...)

43Il convient d’abord d’en donner un énoncé plus correct. Selon une remarque fort juste de M. Méray28, ce ne sont pas les polynômes à coefficients réels qui peuvent avoir des racines imaginaires, ce sont les polynômes à coefficients imaginaires qu’on leur substitue tacitement. Pour dissiper toute équivoque, il faut faire rentrer les nombres réels dans l’ensemble des nombres imaginaires, mieux nommés complexes, et considérer les racines réelles comme un cas particulier des racines complexes. En un mot, il doit y avoir une homogénéité logique entre les données et les inconnues, et il est absurde de prendre les racines d’une équation dans un autre ensemble que celui auquel appartiennent ses coefficients. Or une équation à coefficients réels n’a pas toujours une racine réelle. Il faut donc la transporter dans l’ensemble des nombres complexes, et concevoir comme tels tous ses coefficients, pour pouvoir lui attribuer une racine de la même forme. En conséquence, le théorème fondamental de l’algèbre devra être formulé comme suit : « Toute équation algébrique à coefficients complexes a une racine complexe ».

  • 29 Pour le détail de cette généralisation arithmétique du nombre, voir : De l’Infini mathématique, 1re(...)
  • 30 Op. cit., Note II, §§ 3 et 4 ; Note IV, § 69.

44Ainsi ce théorème suppose préalablement constitué l’ensemble des nombres complexes, et a fortiori l’ensemble des nombres réels, et cela par des considérations indépendantes de l’algèbre, sous peine de cercle vicieux. On devra donc partir de l’ensemble des nombres rationnels qualifiés (positifs, nul et négatifs), pour définir d’une manière absolument générale les nombres irrationnels, qui, joints aux précédents, constitueront l’ensemble des nombres réels ; ensuite, on construira l’ensemble des nombres complexes, en concevant chacun d’eux comme un couple de nombres réels29. Cela posé, on remarquera que l’ensemble des nombres complexes est continu comme celui des nombres réels, qui lui fournit ses éléments, mais que celui-ci n’est lui-même continu que grâce à l’adjonction de tous les nombres irrationnels sans exception. Puis on définira ce qu’on entend par variable et par fonction, par variable continue et par fonction continue30, ces dernières définitions supposant naturellement la continuité de l’ensemble qui sert de domaine de variabilité. On démontrera enfin que les fonctions entières (ou polynômes) sont des fonctions continues ; et c’est alors seulement qu’on pourra démontrer en toute rigueur le théorème fondamental de l’algèbre, car il repose essentiellement sur la continuité des fonctions entières.

  • 31 [Jean-Robert Argand (1768-1822),] Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires da (...)
  • 32 Voir Serret, Cours d’Algèbre supérieure [professé à la Faculté des sciences de Paris, Paris, 4éme é (...)
  • 33 Pour la démonstration de ce théorème : « Toute fonction continue dans un intervalle atteint sa limi (...)

45Voici en effet en quoi consiste la démonstration classique de ce théorème, donnée pour la première fois par Argand sous une forme géométrique31, et mise par Cauchy sous une forme analytique32. On établit d’abord que toute fonction entière devient infinie en même temps que la variable, et que sa valeur absolue a une limite inférieure finie. On démontre ensuite qu’elle atteint cette limite inférieure pour une certaine valeur finie de la variable (soit x0), et cela, en vertu de sa continuité33. Enfin, on établit (et c’est là le nerf de la démonstration d’Argand) que cette limite inférieure ne peut être autre que zéro : on le prouve par l’absurde, en montrant que si (x0) a une valeur quelconque différente de zéro, on peut trouver une autre valeur de la variable complexe x qui rende (x) plus petite en valeur absolue que (x0), ce qui est contradictoire, (x0) étant par hypothèse la plus petite valeur absolue de (x). Or il faut bien remarquer que cette dernière partie de la démonstration serait insuffisante, à elle seule : en effet, elle prouve seulement que la fonction entière ne peut avoir un minimum différent de zéro ; mais elle ne prouve pas qu’elle ait un minimum (une valeur plus petite que les autres), ni même que sa limite inférieure soit zéro : car on peut concevoir que la fonction prenne des valeurs de plus en plus petites, indéfiniment, qui tendent néanmoins vers une limite autre que zéro. Pour pouvoir affirmer que la fonction passe par un minimum, et par conséquent qu’elle s’annule pour une valeur finie de la variable, il est indispensable d’invoquer sa continuité.

  • 34 Pour la démonstration de ce théorème, voir J. Tannery, op. cit., § 84.

46On peut ajouter que cette continuité des fonctions entières, qui seule garantit l’existence d’une racine pour toute équation algébrique, et, par suite, de n racines pour chaque équation du ne degré, est encore nécessaire pour démontrer les principaux théorèmes sur lesquels reposent la recherche et la détermination effective de ces racines. En effet, le premier stade de la résolution numérique des équations est la « séparation des racines réelles », qui consiste à déterminer des intervalles où la fonction s’annule, et tels que dans chacun d’eux elle ne s’annule qu’une fois ; de manière à enfermer chaque racine dans un intervalle distinct. Or, pour savoir si la fonction s’annule dans un certain intervalle, il suffit de constater qu’elle a des valeurs de signe contraire aux deux extrémités de cet intervalle. Pourquoi ? Parce qu’une fonction continue ne peut passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires, et, en particulier, passer du positif au négatif (ou inversement) sans prendre la valeur zéro dans l’intervalle34. On le voit, c’est encore la continuité des fonctions entières qui permet de leur appliquer ce théorème capital, et qui sert par suite de fondement à la séparation des racines réelles et à la résolution numérique des équations.

  • 35 Sur cette distinction de l’algèbre et de l’analyse, voir : De l’Infini mathématique, p. 119.

47Or toutes ces notions de continuité, de limite, de variation et de fonction appartiennent à l’analyse, et sont étrangères au domaine de l’algèbre pure. En algèbre, en effet, on ne considère que des nombres et des combinaisons de nombres, connus ou inconnus, mais tous fixes ; la seule question qu’on s’y pose est celle-ci : Tel nombre donné vérifie-t-il telle équation, c’est-à-dire rend-il identiquement nul tel polynôme donné, dont les coefficients sont des nombres connus ? Dès que l’on substitue aux inconnues des variables, et que l’on conçoit les polynômes comme des fonctions, on ne fait plus de l’algèbre, mais de l’analyse : on passe du domaine discontinu du nombre dans le domaine continu de la grandeur, le seul où l’on puisse parler de variation, et surtout de variation continue35.

  • 36 Cf. De l’Infini mathématique, 1re partie, livre II, ch. IV.
  • 37 Cf. Borel et Drach, Introduction à la Théorie des nombres et à l’Algèbre supérieure (Paris, Nony, 1 (...)

48D’ailleurs, en tout état de cause, on est toujours obligé, pour démontrer le théorème fondamental de l’algèbre, de se placer d’emblée dans l’ensemble continu des nombres complexes. Or, non seulement cet ensemble doit être construit en dehors de toute considération algébrique, mais il ne saurait, en aucun cas, être obtenu par la généralisation algébrique du nombre. En effet, celle-ci a pour principe et pour but de créer tous les nombres nécessaires et suffisants pour résoudre les équations entières à coefficients entiers, attendu que l’ensemble dont on doit partir est l’ensemble des nombres entiers, le seul réel, au moins primitivement. Mais l’ensemble le plus général auquel on puisse aboutir ainsi est celui des nombres algébriques, qui, loin d’être équivalent à l’ensemble des nombres complexes, ne comprend même pas, tant s’en faut, tous les nombres réels36. Peu importe, au surplus, qu’on puisse définir algébriquement certains nombres irrationnels ou complexes : du moment qu’on ne peut pas de cette manière les définir tous, l’ensemble des nombres algébriques n’en est pas moins discontinu. Or, tant qu’on n’aura pas constitué l’ensemble continu des nombres complexes, on ne pourra pas établir l’existence d’une racine pour une équation quelconque, même à coefficients entiers ; car, s’il manquait un seul nombre à cet ensemble, la démonstration du théorème fondamental tomberait en défaut. Cet ensemble, nous le répétons, la généralisation algébrique ne réussira jamais à le construire dans sa totalité. Nous sommes donc amené de toute façon à cette conclusion paradoxale : le théorème fondamental de l’algèbre n’est pas une proposition d’algèbre, mais une proposition d’analyse37.

  • 38 [Leopold] Kronecker : cf. De l’Infini mathématique [1896], Note III [Sur la théorie des nombres alg (...)
  • 39 Pour le développement logique de cette conception systématique, voir Borel et Drach, ouvrage cité, (...)
  • 40 Molk, op. cit.

49C’est probablement ce secours prêté par l’analyse à l’algèbre et cette intervention de notions étrangères à l’arithmétique, qui ont déterminé certains mathématiciens modernes à concevoir une algèbre pure, et à l’édifier sur l’unique base du nombre entier38. Dans cette conception, l’algèbre est l’étude des fonctions entières, à coefficients entiers, de nombres entiers indéterminés. Tous les autres nombres ne sont que des symboles inventés pour résoudre certaines équations, et définis par ces relations mêmes qu’ils sont censés vérifier. Telle est la généralisation proprement algébrique du nombre : elle se propose de créer les nombres strictement nécessaires et suffisants pour résoudre toutes les équations algébriques à coefficients entiers. À ce point de vue, l’existence des racines d’une équation ne peut plus être l’objet d’une démonstration, qui n’aurait aucun sens ; elle est le résultat d’une convention arbitraire, d’une définition symbolique. Étant donnée une équation irréductible (c’est-à-dire n’admettant aucune racine rationnelle) de degré n, on créera n symboles x1, x2xn qui, par définition, vérifieront cette équation, et toutes leurs propriétés devront découler de cette définition39. En général, on s’astreint à cette règle de n’introduire un nouveau symbole qu’en lui adjoignant la relation qui le définit, qu’il est censé vérifier, et qui peut à la rigueur en tenir lieu. Au fond, il y a un intérêt théorique à se passer de ces symboles, qui ne sont en définitive qu’« un simple artifice de langage40 ».

  • 41 Voir Galois, Œuvres mathématiques, p 45.

50Or, à ce point de vue purement formaliste, les n racines d’une équation algébrique sont indiscernables, les symboles x1, x2xn ne se distinguent que par l’ordre arbitraire dans lequel ils sont numérotés. Leur ordre est donc indéterminé, au moins subjectivement, pour l’esprit qui les crée. Mais il n’est pourtant pas indifférent objectivement, c’est-à-dire par rapport à l’équation : car, en général, on ne peut pas les permuter de toutes les manières ; on ne pourra leur faire subir que les substitutions qui appartiennent au groupe de l’équation, et qui en laissent le premier membre invariable. On conçoit ainsi que l’indétermination des racines de l’équation soit exactement représentée par ce groupe de substitutions, et pour ainsi dire proportionnelle au nombre des permutations dont les racines sont susceptibles. Résoudre l’équation, c’est supprimer cette indétermination, et par suite réduire le groupe de l’équation à la substitution identique (à une seule permutation). En effet, l’ordre des racines sera alors entièrement fixé, puisqu’elles seront toutes distinctes, et que toute ambiguïté entre elles aura cessé. On conçoit également que la réduction progressive de l’équation (par des extractions de racines, par exemple) se traduise par la réduction progressive et parallèle de son groupe : à chaque étape de cette réduction, le degré d’indétermination qui subsiste dans l’ordre des racines est figuré par le sous-groupe correspondant41.

  • 42 M. Molk dit (op. cit.) : « L’idée de continuité géométrique doit nous être d’autant plus étrangère, (...)

51Ainsi la liaison singulière, découverte par Galois, entre la résolution algébrique des équations et la réduction des groupes de substitutions, s’explique pleinement dans la conception formaliste de l’algèbre, où l’on ne définit les nombres algébriques que comme racines des équations qu’ils sont destinés d’avance à vérifier. Ce n’est plus, comme dans la conception « analytique » exposée plus haut, des nombres « réels » et préexistants qu’on cherche dans un ensemble préalablement formé, et qui se trouvent, après coup, propres à résoudre une équation donnée ; ce sont des symboles créés tout exprès pour vérifier cette équation, ils sont définis uniquement par cette propriété, et dès lors ils n’ont de sens et de « réalité » que par rapport à cette équation. Et comme ils la vérifient tous également et au même titre, ils ne peuvent se distinguer par leur valeur (leur grandeur), mais simplement par leur ordre42; primitivement et par essence, ils sont indiscernables.

  • 43 V. Poinsot, Mém. cité.

52En résumé, si l’on conçoit l’algèbre comme le prolongement ou la généralisation de l’arithmétique, c’est-à-dire comme la science pure du nombre, on est conduit à cette double conclusion : la résolution algébrique des équations fait appel à la théorie des substitutions ; la résolution numérique des équations fait appel à la théorie des fonctions. En d’autres termes, la science du nombre ne se complète et ne s’achève que par la science de l’ordre, d’une part, et par la science de la grandeur, d’autre part. Ainsi la science du nombre ne se suffit d’aucune manière ; elle n’est pas indépendante et autonome ; elle est obligée en se développant de se fondre et de se perdre dans d’autres sciences, voisines sans doute, mais hétérogènes. D’ailleurs, elle en dépend encore à bien d’autres égards : la Théorie des nombres tire de précieux secours de la notion d’ordre, qui est primitivement étrangère à l’idée de nombre43 ; et d’un autre côté, elle ne se développe que grâce au concours du Calcul intégral, et aux ressources de l’Analyse infinitésimale. C’est qu’en effet la plus grande difficulté de la Théorie des nombres vient de la discontinuité essentielle du nombre et de toutes ses propriétés. Pour tourner cet obstacle, on est forcé de recourir à l’idée de grandeur, de replonger en quelque sorte les nombres au sein du continu, pour y découvrir le lien caché et la raison profonde de leurs propriétés en apparence bizarres et décousues. Il semble donc que la grandeur continue soit une idée plus accessible, plus maniable, plus intelligible même que l’idée de nombre, puisque c’est, en définitive, la science de la grandeur qui englobe et absorbe toutes les autres, et les éclaire en les noyant dans son cours uniforme et régulier.

  • 44 À propos de l’article de M. Poincaré sur le Continu mathématique, [RMM, I], (janv. 1893). Le même é (...)

53On voit par là combien sont loin de la vérité les savants qui prétendent fonder toute la Mathématique sur la seule idée de nombre, et par suite la réduire à sa partie la plus restreinte et la plus pauvre. Ils devraient tout au moins adjoindre à l’idée de nombre l’idée d’ordre, qui lui est irréductible ; et encore n’est-il pas sûr qu’avec des nombres ordonnés ils réussissent à construire sans pétition de principe l’idée, autrement claire et simple, de grandeur. Au contraire, il est probable qu’on pourrait réduire les idées de nombre et d’ordre à celle de grandeur, qui paraît en tout cas leur servir de matière et de support ; et les considérations précédentes, touchant les relations des diverses sciences mathématiques, seraient propres à confirmer cette présomption, s’il est vrai que l’ordre et la dépendance des théories scientifiques reflètent l’ordre et la dépendance des idées qui leur servent de fondements. Nous ne pouvons aujourd’hui aborder la discussion de ce problème ; nous nous bornons à le proposer à nos lecteurs, avec les remarques critiques qui nous semblent en préparer la solution. Ils nous excuseront de ne pas leur apporter des conclusions fermes et bien arrêtées : d’abord, parce qu’il est toujours facile de tirer des conclusions logiques de prémisses données, une fois celles-ci bien établies ; ensuite parce qu’il est plus utile de suggérer des recherches que d’imposer des solutions. C’est pourquoi nous avons voulu soumettre ces réflexions aux savants qui nous lisent, et les inviter à les discuter. M. Russell, dans l’article que nous avons résumé plus haut, a tenu à rendre hommage44 au « splendide travail que cette Revue a accompli sur la question des rapports du nombre et du continu, et sur la question connexe des arguments de Zénon contre le mouvement ». Nos savants collaborateurs tiendront, j’en suis sûr, à justifier ce témoignage flatteur, et à apporter, à l’exemple des mathématiciens étrangers, le concours de leurs lumières à l’élaboration de la Philosophie des mathématiques.

Notes

1 [Bertrand Russel, Correspondance sur la Philosophie, la Logique et la Politique avec Louis Couturat (1897-1913). Édition et commentaire par Anne-Françoise Schmid, Paris, Éditions Kimé, 2001, p. 52.]

2 Revue de Métaphysique, t. VI, p. 375 (mai 1898). [Article 6]

3 Essay…, §§ 79, 81, 99, 147, 178.

4 On the Relations of Number and Quantity, ap. Mind, t. VI, no 23 (nouvelle série) [1897, p. 326-341].

5 Le continu mathématique, ap. Revue de Métaphysique [et de Morale], t. I, [1893], p. 29.

6 [Compte rendu (anonyme) de B. Russell. On the relations of number and quantity], Revue de Métaphysique [et de Morale, t. VI], Supplément de mars 1898, p. 11.

7 On peut abuser de tout, même de la rigueur logique : on sait où l’application excessive du principe de contradiction a conduit les Éléates et les Sophistes.

8 De l’Infini mathématique [1896], p. 208.

9 Ibid., 2e partie, livre II, ch. IV, § 8.

10 Ibid., chap. cité.

11 Essay, § 19 ; v. Revue de Métaphysique [et de Morale, t. VI, 1898], p. 375. [Article 6]

12 Nous faisons ici appel au principe de l’homogénéité algébrique. En vertu de ce principe, on doit distinguer avec soin, dans les équations de Géométrie, de Mécanique et de Physique, les nombres des grandeurs de diverses dimensions auxquelles ils se trouvent mêlés ; on sait que ces nombres sont des rapports de deux grandeurs de mêmes dimensions, ou peuvent toujours être considérés comme tels. Par exemple, un angle est un nombre, parce qu’il est mesuré par le rapport de deux longueurs (d’un arc de cercle à son rayon).

13 Rappelons que, de l’aveu même de l’auteur, « les termes comparés doivent exister avant la comparaison ». Essay, § 163, note 2.

14 Malebranche, De la Recherche de la Vérité, livre III, 2e partie, ch. VIII, § 1 : « Si les philosophes ordinaires (les scolastiques) se contentaient de donner leur Physique simplement comme une Logique qui fournirait des termes propres pour parler des choses de la nature, et s’ils laissaient en repos ceux qui attachent à ces termes des idées distinctes et particulières, afin de se faire entendre, on ne trouverait rien à reprendre dans leur conduite. Mais ils prétendent eux-mêmes expliquer la nature par leurs idées générales et abstraites, comme si la nature était abstraite ; et ils veulent absolument que la physique de leur maître Aristote soit une véritable physique qui explique le fond des choses, et non pas simplement une logique, quoiqu’elle ne contienne rien de supportable que quelques définitions si vagues et quelques termes si généraux qu’ils peuvent servir dans toutes sortes de philosophie. » Que dirait Malebranche, s’il savait qu’à la fin du XIXsiècle on fait encore expliquer à l’agrégation de philosophie les élucubrations du précepteur d’Alexandre ?
[Dans la lettre à Russell du 8 juillet 1898, Couturat s’explique sur cette attaque : « Nos savants n’ont vraiment guère la tête philosophique ; il faut dire aussi qu’ils n’ont appris nulle part la philosophie, on ne la leur enseigne pas et ils n’en ont jamais besoin pour aucun examen ou concours. Aussi ne cesserai-je pas de vous proposer en exemple aux philosophes et aux savants français, tant qu’on n’aura pas réformé l’organisation de nos études. C’est la le but et le motif secret de mes véhémentes invectives contre Aristote (voyez p. 432, note) que l’on nous condamne à préparer pour l’agrégation. Comprenez-vous qu’on fasse expliquer la Physique d’Aristote à de pauvres étudiants qui ne seraient pas capables d’énoncer le principe d’inertie ? […] Tout ce que j’ai voulu dire se réduit à ceci : il faut choisir entre Aristote et Descartes » (Correspondance avec… Louis Couturat, édition citée, voir note 1, p. 68-69).]

15 Trirème pour les latinistes.

16 Les pages qui suivent contiennent quelques-unes des conclusions de notre cours sur la Philosophie des Mathématiques pures, professé à l’Université de Caen (1897-98).

17 Regulæ ad directionem ingenii, IV.

18 Regulæ…, V.

19 Regulæ…, X.

20 Voir Œuvres mathématiques d’Évariste Galois, publiées sous les auspices de la Société mathématique de France, avec une Introduction par M. Émile Picard (Gauthier-Villars, 1897).

21 C’est dans ce sens technique et précis de « groupe de transformation » qu’il faut entendre le mot « groupe » dans l’article de M. Poincaré sur l’Espace et la Géométrie (Revue de Métaphysique, nov. 1895, t. III, p. 640). On voit par là quel rôle capital joue cette notion dans la Philosophie de la Géométrie, et l’on comprend que la théorie des groupes ait fourni à la Géométrie non-euclidienne une interprétation lumineuse et des conclusions définitives. Cf. Russell, Essay on the Foundations of Geometry, § 45.

22 [Augustin Cournot, De l’origine et des limites de la] Correspondance entre l’Algèbre et la Géométrie, [Paris, 1847], §§ 27 et 149.

23 Réflexions sur les principes fondamentaux de la Théorie des nombres, ap. Journal de Liouville, t. X, 1845. [Louis Poinsot (1777-1859), élève de l’École polytechnique à l’année de sa fondation (1794), ensuite professeur au Lycée Bonaparte puis à l’École polytechnique, membre de l’Institut, fut démis de ses fonctions à la restauration, et retrouva des emplois publics après 1830. Ses œuvres principales portent sur la Mécanique.]

24 C’est le nom que M. Stolz, après Newton, a donné ou plutôt rendu à l’Algèbre. [Otto Stolz (1842-1905), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik nach den neueren Ansichten, Leipzig, 1885–1886.]

25 Camille Jordan, Traité des Substitutions et des équations algébriques, préface (Gauthier-Villars, 1870). [C. Jordan (1838-1922), Ingénieur des Mines, puis professeur à l’École polytechnique et au Collège de France.]

26 Id., ibid.

27 V. Galois, Œuvres mathématiques, p. 42 sqq.

28 Leçons nouvelles sur l’Analyse infinitésimale [et ses applications géométriques, Pris, Gauthier-Villars, 1898], t. I, § 68. [Charles Méray (1835-1911), professeur aux facultés des sciences de Lyon puis de Dijon.]

29 Pour le détail de cette généralisation arithmétique du nombre, voir : De l’Infini mathématique, 1re partie, livre I.

30 Op. cit., Note II, §§ 3 et 4 ; Note IV, § 69.

31 [Jean-Robert Argand (1768-1822),] Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (1806). Mémoire paru dans les Annales de Gergonne, t. IV.

32 Voir Serret, Cours d’Algèbre supérieure [professé à la Faculté des sciences de Paris, Paris, 4éme édition], t. II [(1879)], et Stolz, Arithmétique générale, t. II, chap. IV. Ce dernier auteur a bien mis en lumière avec sa rigueur habituelle la nécessité de la continuité de la fonction entière. [Joseph Serret (1819-1885), élève de l’École polytechnique, d’abord ingénieur des tabacs, plus tard professeur au Collège de France (1861) et à la Faculté des sciences de Paris (1863). — Otto Stolz, supra, n. 23.]

33 Pour la démonstration de ce théorème : « Toute fonction continue dans un intervalle atteint sa limite supérieure ou inférieure dans cet intervalle », voir J[ules] Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, [Paris, Hermann, 1880], § 85.

34 Pour la démonstration de ce théorème, voir J. Tannery, op. cit., § 84.

35 Sur cette distinction de l’algèbre et de l’analyse, voir : De l’Infini mathématique, p. 119.

36 Cf. De l’Infini mathématique, 1re partie, livre II, ch. IV.

37 Cf. Borel et Drach, Introduction à la Théorie des nombres et à l’Algèbre supérieure (Paris, Nony, 1895), 2e partie, ch. II, § III : Théorème de d’Alembert. — M. Drach dit, d’une manière plus paradoxale encore, que ce théorème est un théorème de Géométrie. Mais en cela il abonde dans notre sens : c’est en effet qu’il considère les notions de grandeur et de continu comme essentiellement géométriques, et qu’il croit que l’ensemble des nombres complexes ne peut être obtenu que par la généralisation géométrique du nombre.
[Le titre complet du livre est Introduction à la Théorie des nombres et à l’Algèbre supérieure par Émile Borel et Jules Drach, D’après les Conférences faites à l’École Normale supérieure par M. Jules Tannery, Sous-directeur des Études scientifiques. — Émile Borel (1871-1956), élève de l’École normale supérieure, était alors maître de conférences à la Faculté des sciences de Lille. Et deviendra professeur à celle de Paris en 1909. Grande figure scientifique et universitaire, il est l’auteur d’une œuvre abondante, où voisinent des ouvrages de fond et des livres de vulgarisation, dont certains sont encore très utiles. – Jules Drach (1871-1949), docteur ès sciences mathématiques (1898), terminera une carrière universitaire d’abord difficile comme professeur suppléant (1913) puis titulaire (1920) à la Faculté des sciences de Paris.]

38 [Leopold] Kronecker : cf. De l’Infini mathématique [1896], Note III [Sur la théorie des nombres algébriques de Kronecker, pp. 603-616], et [Jules] Molk, Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur ta théorie générale de l’élimination, thèse dédiée à Kronecker, ap. Acta mathematica, t. VI. Paris, Hermann, 1884. [Leopold Kronecker (1823-1891), jouissant d’une fortune confortable, évita la carrière académique. Couturat renvoie à l’article « Ueber den Zahlbegriff », Journal de Crelle, CI, 1887, p. 337-355. – Jules Molk (1857-1914), professeur à la Faculté des Sciences de Nancy, est connu comme l’auteur d’une Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, éditée en 22 volumes, Paris, Gauthier-Villars et Leipzig, Teubner, pour l’édition allemande, 1904-1916.]

39 Pour le développement logique de cette conception systématique, voir Borel et Drach, ouvrage cité, 2e partie : Algèbre supérieure.

40 Molk, op. cit.

41 Voir Galois, Œuvres mathématiques, p 45.

42 M. Molk dit (op. cit.) : « L’idée de continuité géométrique doit nous être d’autant plus étrangère, que nous grouperons les nombres, non d’après leur grandeur, mais d’après leurs propriétés algébriques. » Il a raison d’exclure l’idée de continuité de l’Algèbre ; il a seulement tort (comme M. Drach, cité plus haut) d’y voir un attribut exclusivement géométrique, et non le caractère essentiel de toute espèce de grandeur.

43 V. Poinsot, Mém. cité.

44 À propos de l’article de M. Poincaré sur le Continu mathématique, [RMM, I], (janv. 1893). Le même éloge se trouve déjà dans l’Essay on Foundations of Geometry, § 100.

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