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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 6

Essai sur les fondements de la géométrie par Bertrand Russell

Revue de Métaphysique et de Morale, 1898, t. VI, p. 354-380

Note de l’éditeur

Bertrand Russell (1872-1970) a fait paraître en 1897 An Essay on the Foundations of Geometry 1, Cambridge University Press, issu du mémoire qu’il avait présenté en 1895 pour l’obtention du fellowship au Trinity College de Cambridge. La même année, il avait publié un compte rendu du livre de Couturat De l’infini mathématique, dans la revue Mind, New Series, vol. VI, 1897, p. 112-119. C’est ce compte rendu qui conduisit Couturat à lui écrire le 3 octobre 1897 pour l’en remercier. Dans la même lettre, Couturat rapporte que, malgré sa piètre connaissance de l’anglais, il a accepté de faire à son tour le compte rendu du livre de Russell pour la RMM. Les raisons qu’il donne de son adhésion au livre méritent d’être citées : « Je dois vous rendre cette justice, que la facilité relative avec laquelle j’ai pu vous lire est due en grande partie à la clarté du style, à l’ordre logique et à l’enchaînement rigoureux des idées, à la simplicité et à la régularité de la composition, toutes qualités que je prise fort, et qui me donnent une haute idée de l’esprit qui les possède ». Reconnaissant que Russell s’est « placé à un point de vue rationaliste et criticiste fort voisin du [sien] », il salue « l’ensemble systématique des vues […] émises sur les principe de la science et la nature de l’espace, et qui constituent une véritable et solide Philosophie de la géométrie, la plus complète et la plus satisfaisant que je connaisse » (Bertrand Russell. Correspondance sur la Philosophie, la Logique et la Politique avec Louis Couturat (1897-1913). Édition et commentaire par Anne-Françoise Schmid, Paris, Éditions Kimé, 2001, p. 40-41).

Cette lettre inaugure la correspondance que les deux philosophes échangeront pendant dix-sept ans, et qui accompagne les influences successives de la pensée de Russell sur celle de Couturat. L’échange permet de suivre comment, à partir de 1898, Couturat s’intéressera de très près aux préparatifs de la traduction française du livre de Russell, qui aboutiront en 1901 à la publication de : Bertrand Russell, Essai sur les Fondements de la géométrie, Traduction par Albert Cadenat, Licencié ès Sciences mathématiques, Professeur de Mathématiques au Collège de Saint-Claude, Revue et annotée par l’auteur et par Louis Couturat, Paris Gauthier-Villars. On y trouve un « Lexique philosophique » par Couturat (p. 255-260).

Dans son autobiographie intellectuelle (My Philosophical Development, Londres, Allen & Unwin, 1959), Russell jugera sévèrement son ancien livre : « Mon premier ouvrage philosophique, Un essai sur les Fondements de la Géométrie, […] me semble aujourd’hui quelque peu niais. Je reprenais la question de Kant : “Comment la géométrie est-elle possible ?”, et décidais qu’elle était possible si, et seulement si l’espace était l’une des trois variétés d’espace reconnues, l’un euclidien, les deux autres non euclidiens, mais doués de la propriété de conserver une constante “mesure de courbure”. La révolution d’Einstein balaya tout ce qui pouvait ressembler à cette conception […] À l’exception de détails, je ne pense pas qu’il y ait rien de valable dans ce livre » (Histoire de mes Idées philosophiques, trad. par Georges Auclair, Paris, Gallimard, 1961, p. 47-48).

Couturat publiera encore un autre compte rendu, plus bref, du livre de Russell dans le Bulletin des Sciences mathématiques, deuxième série, t. XXIII, 1899, p. 54-62.

Texte intégral

  • 2 M. Russell a pu, à l’Université de Cambridge (ce qui serait impossible dans une Université français (...)

1La Géométrie a subi dans le cours de ce siècle une révolution profonde. Pour la première fois depuis Euclide, on a osé révoquer en doute les axiomes, en scruter la valeur, et concevoir la possibilité d’autres géométries fondées sur des axiomes différents. Un seul exemple suffit à montrer combien ce bouleversement des idées reçues est intéressant et même grave pour la philosophie : ce théorème : « La somme des angles d’un triangle est égale à deux droits », que tous les métaphysiciens, de Descartes à Kant, avaient considéré comme une vérité nécessaire et comme un type de certitude apodictique, est devenu pour les géomètres modernes une vérité d’expérience, partant, contingente et approximative. Depuis trente ans surtout, la Géométrie non-euclidienne a fait l’objet de nombreuses recherches et a pris un développement prodigieux. Il était temps de tirer de ce grand mouvement d’idées les conséquences philosophiques qu’il comporte. Mais pour recueillir le fruit de tous ces travaux, il fallait un esprit à la fois scientifique et critique, qui joignît à une vaste érudition mathématique l’intelligence des problèmes philosophiques. Qu’un tel esprit ne se soit pas rencontré en France, il est permis de le regretter, mais non de s’en étonner : la faute en est, non aux hommes, mais aux institutions, à cet absurde système de la bifurcation qui continue à régner dans l’organisation de nos études, et à la déplorable scission qui en résulte entre la Philosophie et les connaissances scientifiques, qui en sont l’aliment nécessaire2. C’est donc à un Anglais qu’était réservé l’honneur de résumer et de tirer au clair les découvertes et les progrès de la Géométrie moderne, et d’en faire profiter la Théorie de la connaissance. L’ouvrage de M. Russell contient, sous un volume restreint, toute une Philosophie de la Géométrie mise au point par un philosophe versé dans les plus récentes théories mathématiques et en même temps initié à la grande tradition criticiste. On peut définir l’esprit et la portée de ce savant travail, en disant que c’est l’Esthétique transcendantale de Kant, revue, corrigée et complétée à la lumière de la Métagéométrie.

I

2Dans son Introduction, M. Russell pose le problème à peu près dans les mêmes termes que Kant : Si la Géométrie a une certitude apodictique, son objet, l’espace, est a priori ; et réciproquement. Mais il distingue plus nettement que Kant l’apriorité et la subjectivité de l’espace. En effet, l’apriorité seule intéresse l’Épistémologie, tandis que la subjectivité est une question de Psychologie ; il faut donc se garder d’identifier subjectif et a priori, sous peine de mêler deux recherches indépendantes. Le critérium de l’apriorité est purement logique : il s’agit de savoir si tel axiome est une condition nécessaire de la possibilité de l’expérience. Ce sera ensuite l’affaire de la Psychologie de décider si tel élément de la connaissance est subjectif ou objectif, c’est-à-dire s’il vient des sens ou de l’esprit. Mais cette question psychologique de l’origine d’une notion ou d’un principe n’a rien à faire avec la question logique de son apriorité, et ne peut être traitée qu’après celle-ci (§ 52).

3On ne saurait trop louer la précision et la rigueur de ces distinctions fondamentales, et féliciter l’auteur d’avoir résolument banni de son travail purement critique les recherches psychologiques et les considérations d’ordre empirique et anthropologique, que tant de philosophes mêlent à tort à ces questions. On devrait bien s’accorder à reconnaître que la Psychologie n’a rien à voir dans les problèmes métaphysiques, et doit être absolument bannie de la Philosophie, attendu qu’elle est une science empirique, et que, comme telle, elle est logiquement postérieure et subordonnée à la Théorie de la connaissance.

4Le critérium de l’apriorité se dédouble en se précisant : en effet, il y a deux méthodes pour vérifier la nécessité des principes d’une science. On peut partir de l’existence de cette science et chercher de quels postulats dépend sa possibilité logique ; ou bien on peut prendre pour accordée l’existence de l’objet de cette science, et déduire de la nature essentielle de celui-ci les principes de la science. Ces deux méthodes (analytique et synthétique) sont celles que Kant a employées respectivement dans les Prolégomènes et dans la Critique de la raison pure. Au fond, ces deux démarches inverses reviennent au même, et peuvent se compléter l’une l’autre.

5L’auteur commence par une courte histoire de la Métagéométrie, qui sert de préparation à son œuvre critique. À l’exemple de M. Klein, de qui il s’est beaucoup servi et inspiré (il ne pouvait choisir un meilleur guide), il distingue trois périodes dans le développement de la Géométrie non-euclidienne. La première période est dominée par l’influence de Gauss, et caractérisée par l’emploi de la méthode synthétique. La Métagéométrie est née de l’impossibilité de démontrer le postulatum d’Euclide, ce qui conduisit les géomètres à le révoquer en doute, et même à le nier, pour s’assurer par la déduction qu’il n’est pas une conséquence nécessaire des autres axiomes admis. Telle fut l’idée directrice des travaux de Lobatchevski et de Bolyaï : vérifier par l’absurde l’indémontrabilité du postulatum, en construisant une Géométrie logique sur la proposition contradictoire. M. Russell remarque qu’ils n’ont pas réussi à établir en toute rigueur cette conclusion, car rien ne leur permettait d’affirmer qu’ils n’auraient pas abouti à une contradiction en poussant leurs déductions encore plus loin. La preuve décisive n’a pu être fournie que par la méthode analytique, employée dans les périodes suivantes.

  • 3 Voir G. Lechalas, La courbure et la distance en Géométrie générale, ap. Revue de Métaphysique [et d (...)

6Les recherches de la seconde période ont une portée plus générale et un caractère plus philosophique : on s’est proposé de déterminer les propriétés métriques de l’espace, au moyen de la Géométrie analytique. Riemann a introduit deux idées capitales : il a conçu l’espace comme une multiplicité, c’est-à-dire comme un ensemble de grandeurs, et il a cherché par quelles propriétés spéciales cette multiplicité se distingue des multiplicités en général. En outre, il a étendu aux multiplicités à n dimensions la définition que Gauss avait donnée de la courbure totale des surfaces, et a trouvé dans la « courbure » de l’espace le principe de toutes les déterminations métriques. Cette extension purement analytique d’une notion géométrique a donné lieu à bien des erreurs et à des objections mal fondées de la part des philosophes3. Cette conception est logiquement irréprochable, car elle donne de la courbure de l’espace une définition et une mesure intrinsèques, sans aucune référence à une multiplicité d’ordre supérieur. Seulement, par le fait seul que Riemann définit l’espace comme une multiplicité de grandeurs, il lui attribue une courbure constante ; car tout système de coordonnées métriques implique la possibilité de la mesure, et par conséquent l’axiome de libre mobilité, qui équivaut à la constance de la courbure.

  • 4 On peut en trouver une esquisse sommaire dans notre ouvrage De l’Infini mathématique [1896], 1re pa (...)

7Helmholtz a traité le même problème au point de vue physique, et retrouvé les hypothèses analytiques de Riemann par des considérations mécaniques. L’auteur montre que les quatre axiomes de Helmholtz rentrent en partie dans l’axiome fondamental de la congruence (possibilité de faire coïncider deux figures), et peuvent se déduire d’un seul principe : la relativité de la position. Enfin il expose l’interprétation euclidienne que Beltrami a donnée de la Géométrie plane de Lobatchevski4.

  • 5 Cf. De l’Infini mathématique, p. 276.

8Dans la troisième période, inaugurée par les travaux de Cayley et de Klein, on abandonne les considérations de mesure, et l’on renonce à concevoir d’emblée l’espace comme un ensemble de grandeurs. On subordonne la conception métrique de l’espace à la conception projective, plus générale et plus primitive, qui considère l’espace comme un ensemble de positions. Sans doute, la Géométrie projective emploie encore l’Analyse, et par suite fait appel à l’idée de grandeur, mais c’est en apparence seulement : car les coordonnées n’expriment plus des grandeurs, mais des positions, et les transformations algébriques ne font que traduire et masquer les transformations projectives des figures. D’ailleurs, la Géométrie projective a été affranchie par Staudt de toute considération de grandeur et de mesure, grâce à la définition purement projective du rapport enharmonique, seul invariant de toutes les transformations projectives5. Au contraire, la Géométrie métrique procède d’une spécification de la Géométrie projective : les définitions métriques des grandeurs fondamentales (distances et angles) rentrent comme cas particuliers dans leurs définitions projectives.

9C’est ainsi que les diverses Géométries non-euclidiennes dérivent d’une seule et même Géométrie projective, par des déterminations particulières des mesures qui constituent des définitions différentes des grandeurs principales. Pour déterminer les relations métriques des figures, on les rapporte à une figure fondamentale qui est une section conique : on obtient ainsi les Géométries elliptique, parabolique et hyperbolique de Klein, dans lesquelles rentrent respectivement celles de Riemann, d’Euclide et de Lobatchevski.

10Mais si la Géométrie projective est indépendante de la Géométrie métrique, elle ne peut pas la remplacer : car, si l’on peut donner de la distance une définition purement projective, il faut lui rendre son sens de grandeur pour retrouver les diverses définitions métriques de la distance, qui distinguent et caractérisent les espaces euclidien et non-euclidiens. De plus, selon, M. Russell, la réduction de la Géométrie métrique à la Géométrie projective n’a qu’une valeur technique, et non philosophique, parce qu’elle s’opère au moyen d’éléments imaginaires (points circulaires à l’infini) qui n’ont pour lui qu’une existence algébrique et toute formelle.

  • 6 Cf. De l’Infini mathématique, 1re partie, livre III, ch. I, §§ 10 sqq.
  • 7 Ce qui a été la grande découverte de Descartes : voir le début de sa Géométrie, où il expose les pr (...)
  • 8 Cf. [Augustin] Cournot, [De l’origine et des limites de la] Correspondance entre l’Algèbre et la Gé (...)

11(Sur ce point spécial, son opinion nous paraît tout au moins exagérée ; nous croyons que le symbolisme imaginaire n’est pas suffisamment légitimé par son utilité et sa commodité à titre d’intermédiaire algébrique entre des vérités géométriques, et que son emploi ne se justifie pleinement que par son interprétation, non pas seulement géométrique, mais « mégéthologique », c’est-à-dire par son application aux grandeurs en général6. Le fait que les opérations algébriques peuvent s’appliquer directement aux grandeurs sans l’intermédiaire des nombres7, et que, par suite, elles conservent un sens au moins hypothétique, lors même qu’elles ont cessé d’être applicables aux nombres, confère aux nombres complexes une existence logique et une valeur réelle bien supérieures à la valeur toute fictive et à l’existence « imaginaire » que leur attribue le formalisme algébrique8.)

  • 9 Suivant lequel un corps qui tourne autour d’un axe doit repasser par sa position initiale (et non d (...)
  • 10 Cf. Klein, Rapport sur le 3e vol. de la Théorie des groupes de transformations de Sophus Lie pour l (...)

12L’auteur termine cette revue historique par les beaux travaux de Sophus Lie, qui, par sa Théorie des groupes de transformations, a condensé tous les principes de la Géométrie dans une vaste et lumineuse synthèse. La Géométrie générale est l’étude des groupes continus qui définissent tous les mouvements (au point de vue métrique) et toutes les collinéations (au point de vue projectif). L’illustre mathématicien a révisé les axiomes mécaniques de Helmholtz et les a traduits en formules analytiques ; il les a réduits au minimum, en montrant que l’axiome de la monodromie9 est superflu, car il dérive de l’axiome de libre mobilité étendu à l’espace tout entier10.

13Résumant cette histoire sommaire, mais extrêmement précise et nourrie, de la Métagéométrie, M. Russell en recueille les résultats essentiels en formulant les trois axiomes communs à la Géométrie projective et à la Géométrie métrique, tels qu’ils ressortent des recherches de Helmholtz et de Sophus Lie. Il remarque, non sans malice ou sans humour, que plus les métagéomètres se sont désintéressés des conséquences philosophiques de leurs travaux, plus ceux-ci sont devenus intéressants et instructifs pour les philosophes. Cette remarque s’explique par une autre non moins piquante : c’est que la plupart des métagéomètres (surtout dans la seconde période) se sont proposés de prouver que les axiomes de la Géométrie sont des vérités d’expérience ; or si leurs travaux ont été hostiles, en intention, à l’apriorisme kantien, ils ne lui sont nullement contraires en réalité, et sont bien plus propres, comme on le verra, à le confirmer qu’à le ruiner.

  • 11 Notamment MM. Bradley, Sigwart et Bosanquet, de qui M. Russell se déclare le disciple. [Francis H.  (...)

14Dans le second chapitre, M. Russell expose et critique quelques théories philosophiques sur l’espace, à la lumière des résultats scientifiques acquis par la Géométrie moderne. Il examine d’abord l’Esthétique transcendentale de Kant, et recherche ce qu’elle devient en présence des découvertes des métagéomètres. Le caractère nécessaire et a priori des vérités géométriques, dont Kant n’a jamais douté, ne peut plus être invoqué en principe, puisqu’il est contesté par les métagéomètres. Mais si la déduction transcendentale de l’espace est ainsi ébranlée, la déduction métaphysique garde toute sa valeur. Aussi la position de Kant demeure-t-elle inexpugnable ; les géomètres qui ont allégué la possibilité logique d’une Géométrie non-euclidienne ont méconnu la question : car ce qu’il leur faudrait établir, c’est la possibilité de l’intuition d’un espace non-euclidien. On ne peut réfuter Kant qu’en critiquant sa distinction des jugements synthétiques et analytiques, qui en effet n’a plus de valeur absolue pour les logiciens modernes 11, mais qui laisse subsister la distinction des jugements empiriques et a priori ; ou bien en ruinant la déduction métaphysique de l’espace. Or tout ce qu’on peut dire contre celle-ci, c’est qu’elle prouve simplement la nécessité d’une forme d’extériorité quelconque, comme condition a priori de la possibilité de l’expérience, mais non celle de cette forme particulière qu’est l’espace euclidien. Nous verrons plus loin le parti que l’auteur tire de cette conclusion.

15Examinant ensuite les théories philosophiques des métagéomètres, M. Russell reproche à Riemann et à Helmholtz d’avoir tranché d’avance ou plutôt supprimé la question principale en postulant que l’espace est une grandeur. Comme une comparaison quantitative implique une identité qualitative, toute mesure suppose une définition qualitative de l’objet. Pour pouvoir dire que l’espace est une grandeur, il faut déjà connaître sa nature et ses caractères essentiels, de sorte que ses propriétés métriques présupposent ses propriétés projectives, seules primordiales. L’auteur critique en outre la notion de multiplicité, qui est obscure, et ne peut pas servir à définir l’espace comme tel, à moins qu’on ne lui attribue d’avance les caractères essentiels de l’espace, notamment l’homogénéité. Enfin Riemann a commis une pétition de principe en concevant le système des coordonnées comme antérieur à toute mesure, et la mesure comme antérieure à tout axiome, alors que la possibilité même de la mesure équivaut à l’axiome de libre mobilité.

16À Helmholtz, M. Russell reproche de s’être appuyé, pour combattre Kant, sur une conception de l’a priori qui est fausse et même absurde, et d’avoir subordonné la Géométrie à la. Mécanique, en faisant dépendre l’homogénéité de l’espace de l’existence de corps rigides (indéformables), ce qui constitue un cercle vicieux, car comment savons-nous qu’il y a des corps rigides, sinon par des mesures qui supposent l’homogénéité de l’espace ? Tout au contraire, la Mécanique et la Physique reposent sur les axiomes géométriques, et ne peuvent donc servir à les justifier. La certitude des propositions géométriques ne dépend pas de leur vérification empirique (nécessairement imparfaite) et de leurs applications pratiques.

17L’auteur critique ensuite l’ouvrage d’Erdmann, inspiré des travaux de Riemann et de Helmholtz, ainsi que de la logique empiriste de Stuart Mill. Il montre la faiblesse de cette théorie, qui consiste à définir l’espace comme une grandeur ; et considère la notion d’espace comme un concept général et abstrait. Erdmann croit que l’axiome de la congruence (coïncidence) est empirique ; il ne voit pas qu’il est absurde d’attribuer à un corps une grandeur absolue, qui pourrait dépendre du lieu et varier avec sa position, attendu qu’une grandeur n’est connue que par comparaison (par superposition). L’hypothèse d’une déformation des corps par leur déplacement est donc un non-sens.

  • 12 Revue de Métaphysique [et de Morale], t. I, [1893], p. 63. [Article 1]

18Lotze a dirigé contre la Géométrie non-euclidienne une foule de critiques qui portent à faux, et qui reposent sur des erreurs mathématiques ; l’auteur les réfute sans peine avec une clarté et une rigueur victorieuses. Il résume toutes les objections adressées à la Métagéométrie sous quatre chefs principaux, dont il montre le mal fondé. Enfin il passe brièvement en revue les travaux français relatifs à ce sujet, discute les idées de M. Calinon, caractérise avec beaucoup de justesse le point de vue « ultra-réaliste » de Delbœuf, le nominalisme de M. Poincaré, le « rationalisme pré-kantien » de M. Lechalas. Il nous paraît moins exact quand il qualifie de « kantien orthodoxe » M. Renouvier, dont il ne discute pas la théorie. On nous permettra toutefois de constater que la critique que M. Russell a faite des objections de Lotze s’accorde parfaitement avec celle que nous avons faite ici des idées analogues de M. Renouvier 12.

19De cette recension critique des doctrines antérieures, l’auteur recueille certaines conclusions positives qui serviront de base à sa propre théorie. La Géométrie projective étant logiquement antérieure à la Géométrie métrique, et du reste plus générale, la philosophie géométrique doit commencer par l’étude des propriétés projectives de l’espace, abstraction faite de toute considération de grandeur et de mesure. M. Russell définit d’après Cremona les deux opérations essentielles (projection et section) auxquelles se ramènent toutes les transformations projectives des figures ; il montre comment la construction du quadrilatère, de Staudt, permet de définir le rapport harmonique et d’établir un système de coordonnées projectives, tout cela par de purs rapports de situation. L’espace, ainsi réduit à ses propriétés projectives (qualitatives), n’est plus qu’un ensemble ordonné de positions extérieures les unes aux autres. La Géométrie projective est « la science qualitative de l’extériorité abstraite » ; elle considère l’espace comme une forme d’extériorité purement intelligible, indépendante de toute intuition.

20Des caractères essentiels de l’espace ainsi conçu, l’auteur déduit les axiomes de la Géométrie projective, et les énonce sous une forme philosophique qui en fait ressortir la valeur et la signification rationnelles. Et d’abord, l’extériorité étant essentiellement une relation, chaque position doit être déterminée uniquement par ses relations avec d’autres positions. De ce principe fondamental de la relativité de la position découlent la passivité, l’indifférence et l’homogénéité de l’espace. Tous les lieux, étant qualitativement semblables, sont indiscernables ; chaque lieu est indifférent à son contenu ; il ne peut pas réagir sur lui pour le modifier ou le déformer ; les figures géométriques sont donc indépendantes du lieu.

21De plus, la forme d’extériorité, étant pure relation, ne peut ni être composée d’éléments ni composer un tout ; car des éléments simples mettraient une borne à la relativité et à l’extériorité, et le tout également ; les termes de toute relation spatiale étant matériels, une fois la matière supprimée, les relations spatiales n’ont plus de termes qui les arrêtent, elles vont donc à l’infini dans les deux sens. De là résultent l’infinité de l’espace et sa divisibilité à l’infini ; il n’y a pas de milieu absolu entre l’espace illimité et le point inétendu, qui n’est pas un élément d’étendue : le point est dans l’espace sans être de l’espace. Le point représente la pure situation abstraite ; or comme l’étendue n’est qu’un ensemble de relations de situation, les termes de ces relations doivent être inétendus. Tel est le sens du premier axiome, dit axiome du point.

22Puisque toute position se définit uniquement par son rapport à d’autres positions données, il faut qu’il y ait entre les diverses positions des relations déterminées, et que l’on puisse définir une situation (c’est-à-dire un point) par un nombre fini de telles relations. Ce nombre, essentiellement entier, des relations nécessaires pour déterminer la position d’un point par rapport à un nombre égal d’autres points donnés de position, est le nombre des dimensions de l’espace. L’axiome des dimensions s’énonce donc : L’espace a un nombre entier fini de dimensions.

  • 13 Voir la construction projective du plan, § 138, note (p. 145).

23Enfin ces relations entre les points engendrent les figures fondamentales de la Géométrie. La relation projective de deux points est représentée par la droite qui les joint ; et la relation projective de trois points, par le plan qui les contient. En effet, puisque chaque position est définie par son rapport à d’autres, il faut qu’il y ait un rapport déterminé entre deux points quelconques, et que ce rapport soit indépendant des autres points. Ce rapport, qui doit être intuitif, est la direction qui passe par ces deux points, et qui exprime leur situation relative et réciproque. De même, il doit y avoir entre trois points un rapport intuitif, figuré par le plan qu’ils déterminent13. Ainsi se justifie le troisième axiome (axiome de la ligne droite) : Deux points déterminent une ligne (droite), et trois points déterminent une surface (plan).

24Inversement, deux droites ou trois plans déterminent un point en se coupant ; et deux plans déterminent une droite par leur intersection. C’est là le fondement du principe de dualité, qui fait correspondre aux systèmes de points des systèmes de droites ou de plans dont les relations projectives sont semblables. Cela vient de ce que les figures géométriques simples ne peuvent se définir que les unes par les autres, les points par les droites et les droites par les points. La raison ultime de ce fait se trouve dans la relativité essentielle de l’espace, et c’est là le sens profond et l’explication philosophique du principe de dualité.

25La conclusion de cette première partie du Chapitre III est que la Géométrie projective est une science a priori, puisqu’elle repose sur la notion purement intellectuelle d’une forme d’extériorité en général : les axiomes projectifs se déduisent logiquement des propriétés essentielles de cette forme. Or les Géométries euclidienne et non-euclidiennes ne se distinguent que par les propriétés métriques de l’espace ; elles correspondent à la même Géométrie projective, et par conséquent leurs axiomes communs sont a priori.

26Les axiomes a priori de la Géométrie métrique sont donc identiques, au fond à ceux de la Géométrie projective. Seulement ils vont maintenant se déduire du postulat de la possibilité de la mesure. Or la première condition de cette possibilité est évidemment l’indépendance de la grandeur à l’égard du lieu : d’où l’axiome de libre mobilité, équivalent à l’axiome projectif de l’homogénéité de l’espace, ou encore à l’axiome fondamental de la relativité de la position. Cet axiome peut se prouver de deux manières : philosophiquement, par l’absurdité qu’il y a à attribuer aux positions une valeur absolue et une action réelle sur leur contenu matériel ; géométriquement, parce que, si les grandeurs variaient en fonction de leur position, une telle variation ne pourrait être constatée par expérience, de sorte que la fonction qui l’exprime serait arbitraire. Cette indétermination mathématique révèle le non-sens logique qui consiste à supposer, sans raison suffisante, que deux figures, égales quand elles coïncident, cessent d’être égales une fois séparées, alors qu’on n’a pas d’autre critérium de leur égalité que leur superposition. L’auteur complète cette démonstration en réfutant quelques objections dirigées, soit contre l’axiome de libre mobilité, soit contre le critérium géométrique de l’égalité (coïncidence ou congruence).

  • 14 M. Russell montre en passant que la définition de la ligne droite comme « le plus court chemin d’un (...)

27L’axiome des dimensions s’établit dans la Géométrie métrique comme dans la Géométrie projective, avec cette seule différence, que les relations qui doivent définir la position d’un point par rapport à d’autres ne sont plus projectives, mais métriques : ce sont les distances de ce point aux autres. En effet, nous savons déjà que deux points ont entre eux une relation indépendante des autres points. Cette relation est susceptible d’égalité et d’inégalité, suivant qu’un couple de points peut ou ne peut pas coïncider avec un autre (en vertu de l’axiome de libre mobilité). Donc deux points ont une relation métrique, autrement dit, définissent une grandeur spatiale, qui est leur distance (tel est l’axiome de la distance). Cette grandeur est naturellement figurée par le segment qu’ils limitent sur la droite qui les joint, puisque c’est la seule ligne que ces deux points déterminent à eux seuls14. D’autre part, la possibilité de la mesure exige, l’existence d’une grandeur qui soit déterminée par deux points seulement : car tous les couples de points, étant qualitativement semblables et projectivement équivalents, ne peuvent différer que quantitativement, et par suite doivent représenter des grandeurs différentes. Enfin, les coordonnées, en Géométrie métrique, doivent être de véritables grandeurs, sans quoi elles ne pourraient servir à définir aucune propriété métrique. Or tout système de coordonnées implique la ligne droite ; il faut donc que la droite enveloppe une certaine grandeur. D’ailleurs, toutes les relations quantitatives se ramènent en dernière analyse à des distances, mesurées par des lignes droites.

28En résumé, les trois axiomes de la Géométrie sont doublement a priori, en tant que propriétés essentielles d’une forme d’extériorité en général, et en tant que conditions de la possibilité de toute mesure. Mais ces trois axiomes sont communs à la Géométrie euclidienne et aux Géométries non-euclidiennes ; ils constituent donc l’élément a priori de ces diverses géométries ; et, par conséquent, celles-ci ne diffèrent que par des propriétés empiriques.

29Or les axiomes propres à l’espace euclidien, ceux qui le distinguent de tous les autres, sont les trois suivants :
1o L’espace a trois dimensions ;
2o Il n’y a qu’une ligne droite qui passe par deux points donnés ;
3o Par un point donné il ne passe qu’une parallèle à une droite donnée.

30Ces trois axiomes sont donc des vérités d’expérience, puisque, d’une part, les axiomes communs sont les seuls qui se déduisent de la notion d’une forme d’extériorité, et que, d’autre part, ils sont les conditions nécessaires et suffisantes de la possibilité de la mesure. Dès que la mesure est possible dans un espace donné, c’est à l’expérience et à la mesure qu’il appartient de vérifier les propriétés métriques qui caractérisent cet espace. Toutefois, de ces trois axiomes empiriques, il y en a un qui est connu avec certitude : c’est celui des trois dimensions, attendu que, le nombre des dimensions de l’espace étant nécessairement entier, l’expérience peut le faire connaître avec exactitude et sans erreur possible. Au contraire, les deux autres axiomes ne peuvent être connus et vérifiés qu’approximativement, parce qu’ils correspondent à des valeurs précises de certaines grandeurs continues, qu’on ne peut mesurer qu’avec une approximation limitée.

  • 15 Cette déduction est la réciproque d’un raisonnement de MM. Bradley et Bosanquet : de la continuité (...)

31Dans le chapitre IV (Conséquences philosophiques), M. Russell cherche le fondement rationnel de la nécessité et de l’objectivité des axiomes a priori. Cette déduction (dans le sens et à la manière de Kant) consiste à prouver que l’expérience n’est pas possible sans une forme d’extériorité quelconque. Conformément aux principes de la Logique de MM. Bradley et Bosanquet, toute connaissance implique une comparaison, c’est-à-dire la reconnaissance d’une diversité dans une relation, ou de l’identité dans la différence. Par suite, toute perception se compose d’éléments intégrants et entre en relation avec d’autres perceptions ; pour analyser et distinguer nos perceptions, nous avons besoin de les extérioriser les unes par rapport aux autres, et d’extérioriser leurs éléments eux-mêmes. Toute perception doit donc envelopper une forme d’extériorité où nous dissocions, rangeons et localisons ses divers éléments. Cette forme constitue un « principe de discrimination » entre nos perceptions ; mais ce n’est pas seulement une forme intellectuelle, une pure « possibilité de diversité » ; pour pouvoir se revêtir de qualités sensibles et s’incarner dans la perception, elle doit être une image ou plutôt un schème intuitif de la diversité et de la complexité infinies de notre expérience. En un mot, sans une forme intuitive d’extériorité nous ne pouvons connaître une multiplicité d’objets divers en relation réciproque ; la continuité de l’espace est le symbole tout ensemble de leur distinction et de leur corrélation15.

32L’auteur termine son ouvrage en exposant et discutant quelques-unes des antinomies que la notion d’espace, selon lui, implique nécessairement. Ces contradictions sont des conséquences inévitables de la relativité, de la continuité et de l’infinité qui sont les attributs essentiels de l’espace

331o Antinomie du point, ou de la divisibilité à l’infini : les parties de l’espace sont distinctes intuitivement, mais indiscernables conceptuellement, en vertu de l’homogénéité de l’espace. Ou encore : la divisibilité de l’espace exige des éléments simples ; mais ces éléments sont des points inétendus. Cela résulte de la relativité de l’espace : l’étendue étant une pure relation, les termes des relations spatiales ne peuvent être qu’inétendus.

342o Les définitions géométriques enveloppent un cercle : on définit les droites et les plans par des points, et les points par des intersections de droites ou de plans. Cette dualité, nous l’avons vu, découle encore de la relativité de l’espace.

353o L’espace est un ensemble de relations, et pourtant il paraît être quelque chose de plus qu’une relation. C’est là une illusion psychologique : ce qui donne à l’espace une apparence de réalité, c’est que les relations spatiales sont immédiatement données dans l’intuition.

36M. Russell essaie de résoudre ces antinomies en admettant une matière géométrique, toute abstraite et idéale, qui serait la matière dépouillée de toutes ses qualités physiques et mécaniques, et de toute causalité. Cette matière serait nécessaire et suffisante pour distinguer les parties de l’espace, en elles-mêmes indiscernables, et pour donner un corps aux figures géométriques. Elle transformerait le point mathématique, néant d’étendue, en un point matériel où s’appuieraient les relations géométriques et où s’arrêterait la régression à l’infini. En outre, en réalisant ainsi les points sous forme d’atomes, on supprimerait le cercle vicieux où tournent les définitions géométriques, faute d’un terme absolu et fixe.

37Enfin l’auteur croit pouvoir résoudre la dernière antinomie, et en même temps les antinomies kantiennes, par une distinction subtile et un peu obscure entre l’espace vide et l’ordre spatial. L’espace vide est un ensemble de relations entièrement conceptuel, il est la pure possibilité logique de relations spatiales. L’ordre spatial, au contraire, est un ensemble de relations actuelles entre des points matériels (atomes mathématiques) ; il implique donc une matière qui sert de support et de contenu aux relations spatiales. L’espace vide est l’objet tout idéal des spéculations de la Géométrie, tandis que l’ordre spatial seul est objet d’intuition sensible et d’expérience immédiate. Les antinomies kantiennes ne sont valables que pour l’espace vide, quand on l’« hypostasie » et qu’on le considère, à tort comme un objet réel, un absolu ; elles disparaissent quand on les applique à l’ordre spatial, dont l’espace vide n’est que le schème abstrait.

II

38L’analyse précédente n’a pu donner qu’une idée bien incomplète de la quantité d’idées et d’enseignements que renferme ce livre, car il est de ceux qu’on ne peut pas résumer, tant ils sont nourris et condensés. Cette richesse de contenu tient à l’extrême concision de la forme : il n’y a pas une phrase inutile, pas un mot de trop ; c’est un vrai style de mathématicien et de logicien, parfaitement approprié au sujet. Les raisonnements se suivent et se poussent, serrés et pressants ; le lecteur est pris comme dans un engrenage et entraîné sans trêve ni répit vers la conclusion. Cette sobriété n’exclut pas l’élégance et ne nuit nullement à la clarté ; au contraire, l’enchaînement des idées n’apparaît que mieux par leur rapprochement. La composition est d’une lumineuse simplicité, l’ordre le plus rigoureux règne dans les déductions et dans les discussions. L’auteur est de ces esprits lucides qui ont le don d’éclaircir toutes les idées qu’ils s’assimilent et de les rendre pour ainsi dire transparentes. Il a su jeter la lumière à flots dans le sujet peut-être le plus obscur et le plus embrouillé de la Philosophie. C’est merveille de voir avec quelle aisance souveraine, avec quelle impeccable sûreté il se reconnaît au milieu des subtilités et des équivoques, se joue des paradoxes des mathématiciens et des paralogismes des philosophes, réfute les erreurs, dissipe les confusions d’idées, et dégage la vérité des nuages et des ténèbres amoncelées. C’est une œuvre magistrale, qui, par la limpidité de la forme comme par la précision du fond, donne l’impression du définitif et de l’achevé.

39La partie de l’ouvrage qui nous semble la moins claire et la moins décisive est la dernière, où l’auteur discute les antinomies et propose, pour les résoudre, l’idée d’une matière géométrique, sorte de pâte plastique dont les géomètres auraient besoin pour modeler leurs figures. Nous ne voyons aucune raison d’admettre en Géométrie une matière quelconque, si abstraite et si quintessenciée qu’elle soit ; à moins qu’on n’entende par cette matière l’espace lui-même, dans le sens où l’on peut dire que l’espace est la matière des figures géométriques. Cette hypothèse nous paraît entachée d’un reste de réalisme et d’empirisme, incompatible avec la doctrine de M. Russell, si logique et si cohérente d’ailleurs. Elle rappelle la distinction que Delbœuf faisait entre les figures pleines et les figures vides, par exemple entre une sphère pleine et une sphère creuse, suivant que la matière se trouve en dedans ou en dehors de la surface. Pour nous, de telles distinctions n’ont pas de sens en Géométrie ; elles n’ont de raison d’être qu’en Mécanique ou en Physique, où l’on considère des figures concrètes, c’est-à-dire remplies de matière. C’est à ce point de vue, par exemple, qu’on distinguera un miroir concave d’un miroir convexe (de même courbure), suivant que la réflexion se produit d’un côté ou de l’autre de la surface. Que si de telles considérations peuvent être parfois commodes en Géométrie, ce sera à titre d’images concrètes, comme celles que l’on emprunte à la Cinématique et à la Mécanique, pour animer ou illustrer des constructions et des raisonnements purement géométriques au fond. Mais ces expédients ou ces artifices ne peuvent évidemment servir à élucider la nature de l’espace et à résoudre les prétendues difficultés ou contradictions que renferme son idée.

  • 16 Critique de la Raison pure, Amphibolie des concepts de réflexion. [Sur le rejet du principe des ind (...)

40Nous ajouterons que ces difficultés et ces contradictions, ne nous paraissent pas aussi redoutables qu’à notre auteur : il nous pardonnera de trouver ses antinomies moins inquiétantes et moins dramatiques que celles de Kant. À vrai dire, et de la manière dont il les présente, ce ne sont même pas des contradictions formelles, mais de simples oppositions de points de vue compatibles avec la logique la plus sévère ; et par conséquent, elles ne nécessitent et ne justifient nullement une hypothèse aussi risquée que celle d’une matière géométrique. Par exemple, l’antinomie du point, ou du continu, ou de la divisibilité à l’infini, se réduit, d’après les propres termes de l’auteur, à ceci : « Les parties de l’espace sont intuitivement distinctes, quoique conceptuellement indiscernables. » Il n’y aurait là de contradiction formelle que pour ceux qui, avec Leibnitz, voudraient identifier la sensibilité à l’entendement, et réduire les différences intuitives à des différences intelligibles ; mais si Kant a justement objecté cette contradiction à Leibnitz, c’est qu’il la résolvait sans peine par son système, en rejetant le principe des indiscernables, et sa solution nous paraît satisfaisante16.

41Quant au cercle inévitable que forment les définitions géométriques, il n’est pas un vice spécial de la Géométrie ni une tare inhérente à l’espace ; c’est le sort de toutes les définitions et de toutes les démonstrations logiques, dès qu’on exige, comme Pascal, qu’on puisse tout définir et tout démontrer. Enfin, de ce que la relativité de l’espace entraîne la régression à l’infini, à moins qu’on n’admette des termes absolus qui mettent fin à cette régression, mais qui détruisent la relativité essentielle de l’espace, on ne doit pas conclure que la notion d’espace implique une contradiction formelle, mais simplement que c’est une idée qu’il faut se garder de réaliser : c’est un ensemble de pures relations, vides de tout contenu ; on ne peut donc sans contradiction la supposer réalisée dans l’absolu. En un mot, de la relativité de l’espace il faut simplement conclure son idéalité ; les antinomies de M. Russell nous amènent donc à la même conclusion que les antinomies kantiennes, et sont susceptibles de la même solution.

42Mais ce ne sont là que des conséquences contingentes et lointaines de la théorie de l’auteur ; aussi ne les avance-t-il qu’avec de prudentes réserves (§ 179). Il convient d’examiner la thèse capitale de l’ouvrage, qui peut se résumer en ces deux propositions : « Les axiomes communs aux Géométries euclidienne et non-euclidiennes sont a priori ; les axiomes propres à la Géométrie euclidienne sont empiriques. » La première proposition nous paraît démontrée d’une manière péremptoire ; mais la seconde ne nous semble pas suffisamment établie, et nous conservons quelque doute sur sa validité. En tout cas, l’auteur n’en a pas donné de démonstration en règle ; c’est donc au moins une lacune qu’il nous permettra de lui signaler. Les objections que nous allons lui présenter ont pour but, bien moins de combattre une thèse qu’il a certainement de bonnes raisons pour soutenir, que de l’inviter à la confirmer par des arguments positifs ; nous serions heureux de lui fournir ainsi l’occasion de compléter son beau et instructif travail.

  • 17 Pour s’assurer de la rectitude d’une ligne matérielle (ayant pour support un corps solide indéforma (...)

43Il pourrait sans doute nous répondre par une sorte d’argument négatif, en alléguant que les axiomes communs sont les seuls dont on puisse justifier la valeur par une déduction a priori, mais ce n’est évidemment pas là une raison suffisante pour déclarer les autres empiriques. Pour prouver que les axiomes propres sont vraiment dus à l’expérience, il faudrait montrer qu’ils peuvent être vérifiés par l’expérience, et cela, en invoquant seulement les axiomes a priori, puisque ceux-ci suffisent à fonder la possibilité de l’expérience et de la mesure. Or nous serions curieux de savoir quelle expérience on pourrait inventer pour vérifier les axiomes dits empiriques. Essaiera-t-on, comme on l’a proposé, de mesurer les angles d’un triangle rectiligne, pour voir si leur somme est bien égale à deux angles droits ? Mais en général (surtout dans les triangles astronomiques), les trois sommets ne sont pas accessibles, de sorte qu’on ne pourra pas mesurer directement les trois angles ; et si l’on évalue l’un d’eux au moyen des autres, on postulera précisément la proposition à vérifier. Et puis, comment s’assurera-t-on que les côtés du triangle sont bien droits ? Par la définition de la ligne droite, en vertu de laquelle il ne peut en passer qu’une par deux points donnés17. Mais c’est là un axiome qui, en tant qu’a priori, comporte des exceptions (dans l’espace sphérique de Riemann, et encore plus dans l’espace elliptique de Klein), et qui, en tant que valable sans exception, est empirique selon notre auteur. Il semble donc que la vérification expérimentale des axiomes euclidiens tourne fatalement dans un cercle vicieux.

  • 18 Poincaré, les Géométries non-euclidiennes, ap. Revue générale des sciences [pures et appliquées], 2(...)

44L’auteur indique, il est vrai, dans une note (p. 6), que la preuve empirique des axiomes euclidiens est constituée par le corps entier de la science physique, parce que toutes les lois physiques seraient profondément troublées si notre espace n’était pas (au moins sensiblement) euclidien. Mais n’y a-t-il pas là une pétition de principe ? M. Russell a fort bien montré lui-même que la Physique repose tout entière sur la Géométrie, et ne peut par suite servir à vérifier les axiomes géométriques (§§ 71, 73). Nos lois physiques sont donc essentiellement relatives à la Géométrie que nous avons adoptée. Elles sont vraies dans l’hypothèse d’un espace euclidien ; cela ne prouve absolument rien en faveur de cette hypothèse, car si l’on admettait une autre forme de l’espace, elles seraient remplacées par d’autres lois également vraies, c’est-à-dire conformés à l’expérience. Selon la remarque si ingénieuse de M. Poincaré, si nous venions à constater l’inexactitude d’une de nos lois physiques, nous songerions bien plutôt à corriger cette loi qu’à bouleverser toute la Géométrie18. On ne peut donc pas dire que l’accord des lois physiques avec l’expérience constitue une vérification empirique des axiomes géométriques.

  • 19 Zur ersten Verteilung des Lobatschewsky-Preises, p. 20. (Rapport sur le 3e vol. de la Théorie des g (...)
  • 20 [Auguste Calinon], [Étude sur] L’indétermination géométrique de l’univers, ap. Revue philosophique, (...)

45Au surplus, M. Klein déclare textuellement que « toutes les formes d’espace topologiquement différentes sont également compatibles avec notre expérience19 ». En effet, la presque totalité de l’univers ne nous est connue que par la vue ou par perspective, c’est-à-dire par ses propriétés projectives ; par suite, elle peut être construite indifféremment dans l’une ou l’autre des Géométries métriques projectivement équivalentes. M. Calinon20 avait déjà exprimé une idée analogue, en remarquant que nous ne connaissons des rayons lumineux émis par les astres que leur tangente au point où ils frappent notre œil, et que nous pouvons dès lors leur attribuer une forme quelconque, pourvu que les rayons issus d’un même astre ne cessent de concourir en un point. De toutes ces considérations il résulte que l’expérience ne nous permet pas de décider entre les Géométries euclidienne et non-euclidiennes, qui correspondent à la même Géométrie projective, et qui se prêtent également bien à l’interprétation des vues perspectives que nous offre l’univers.

46Il est donc permis de se demander si les axiomes euclidiens, prétendus empiriques, ne pourraient pas se démontrer comme les axiomes a priori. Or, M. Russell a deux manières d’établir l’apriorité d’un axiome : d’une part, en le déduisant des propriétés essentielles d’une forme d’extériorité en général ; d’autre part, en montrant qu’il est une condition nécessaire de la possibilité de la mesure. La question qui se pose est celle-ci : Ne pourrait-on pas prouver l’apriorité des axiomes euclidiens par l’une ou l’autre de ces méthodes ?

47On voit tout de suite qu’il faut renoncer à la seconde méthode ; car l’auteur a montré que les axiomes communs sont les conditions, nécessaires et suffisantes de la possibilité de la mesure. En effet, l’axiome de libre mobilité permet de déplacer une figure quelconque pour l’amener à coïncider avec une autre, et constater ainsi leur égalité ; autrement dit, il fournit le critérium d’égalité indispensable à toute mesure. Les autres axiomes ont pour but de définir la grandeur spatiale fondamentale (longueur ou distance), et de rendre toutes les autres mesurables par celle-là. Il semble donc qu’ils suffisent à assurer la possibilité de la mesure dans tout espace qui les vérifie (c’est-à-dire dans tout espace de courbure constante) ; et que, par suite, les propriétés qui caractérisent l’espace euclidien (de courbure nulle) ne soient pas des conditions nécessaires de la possibilité de la mesure.

48Reste la première méthode, qui est peut-être moins précise et moins décisive que la seconde, mais qui pourtant est la seule qu’on puisse employer dans la Géométrie projective, où il n’est pas question de mesure ; elle consiste à déterminer quels sont les caractères essentiels de la forme d’extériorité, qui est une condition nécessaire de toute expérience possible. On voit que le principe de cette déduction est plus général et plus vague que dans la seconde méthode : il ne s’agit plus d’assurer la possibilité de la mesure, mais la possibilité de l’expérience en général. Or le caractère essentiel d’une forme d’extériorité quelconque est, selon notre auteur, l’homogénéité. Seulement, il faut s’entendre sur le sens du mot homogénéité, car il en a plusieurs. Au sens où l’entendait Delbœuf, il désigne l’indépendance de la grandeur et de la forme ; en d’autres termes, la possibilité des figures semblables, qui équivaut, comme on sait, au postulatum d’Euclide. M. Russell entend le même mot dans un sens plus restreint : il l’applique à l’indépendance de la grandeur (et de la forme) par rapport à la position, que Delbœuf appelait isogénéité ; or cette propriété équivaut à l’axiome de libre mobilité, c’est-à-dire à la possibilité de déplacer les figures sans déformation ni variation de grandeur. M. Russell a sans doute distingué nettement ces deux sens (§ 98, note 2) ; mais il aurait bien dû, en outre, dire pour quelles raisons il préférait le second. Ce n’est pas là une simple question de mots : car il s’agit de savoir si l’on peut affirmer a priori l’homogénéité de l’espace dans l’un ou dans l’autre sens. En adoptant la terminologie de Delbœuf, qui nous paraît fort commode et exclut toute équivoque, on peut formuler la question comme suit : Pourquoi la propriété nécessaire d’une forme d’extériorité est-elle seulement l’isogénéité, plutôt que l’homogénéité ?

  • 21 Cette possibilité de construire une même figure à diverses échelles est le fondement de l’homogénéi (...)

49Cette question est d’autant mieux justifiée, que la plupart des arguments invoqués par l’auteur en faveur de l’isogénéité de l’espace seraient aussi valables pour l’homogénéité. Quels sont en effet, selon lui, les caractères essentiels de l’espace en général ? C’est la relativité, l’indifférence et la passivité à l’égard des figures ou des corps. Or ces trois caractères semblent bien impliquer l’homogénéité au même titre que l’isogénéité. Pourrait-on dire que l’espace est une forme pure et vide, indifférente à son contenu, si l’on ne pouvait y construire deux figures semblables, de grandeurs différentes, de telle sorte que la grandeur d’une figure fût rigoureusement déterminée par sa forme ? Et pourrait-on soutenir qu’il est le réceptacle amorphe et passif de toutes les figures possibles, si l’on ne pouvait y construire une même figure à diverses échelles, ni la majorer sans la déformer, comme si l’espace réagissait sur elle à la manière d’une forme rigide ? Enfin, si l’isogénéité découle de la relativité de la position, l’homogénéité ne dérive pas moins nécessairement de la relativité de la grandeur. Il est vrai que M. Russell insiste surtout, sur la relativité des positions ; mais, s’il paraît oublier parfois la relativité des grandeurs, et s’il néglige ici d’en tirer les conséquences évidentes, il n’est nullement disposé à la nier, comme on le verra plus loin. Or, dire que les grandeurs spatiales sont relatives les unes aux autres, c’est dire qu’une figure géométrique est définie uniquement par les rapports qui existent entre ses diverses parties. Si donc on change la grandeur de ces parties, en laissant leurs rapports constants, la figure ne peut pas cesser d’exister ; en d’autres termes, on doit obtenir une figure tout aussi possible que la première, et dans le même espace21. Autrement, il faudrait tenir compte, non plus seulement des rapports intrinsèques des diverses parties de la figure, mais du rapport des dimensions de la figure aux dimensions de l’espace, ce qui est évidemment contraire à la relativité essentielle qu’on attribue à celui-ci.

50Nous venons de parler des dimensions de l’espace ; on sait en effet que tout espace non-euclidien est caractérisé par une constante spatiale (positive ou négative) qui mesure sa courbure. Comme M. Russell le reconnaît en propres termes, « en Métagéométrie nous avons (ce que nous n’avons pas en Euclide) un étalon de comparaison enveloppé dans la nature de notre espace considéré comme un tout » (§ 99, p. 111). Mais il croit lever cette difficulté en montrant que l’existence de cette constante spatiale n’entraîne pas la réalisation (réification) de l’espace, et que « la relativité de la position est compatible avec la grandeur absolue, au seul sens où elle est requise par les espaces non-euclidiens » (p. 112). Sans doute, si l’on ne considère que la relativité de la position ; mais si l’on considère la relativité de la grandeur, il est difficile de soutenir qu’elle soit compatible avec l’existence, admise par M. Russell, d’une grandeur absolue au sein de l’espace non-euclidien.

  • 22 Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 302 : Note sur la géométrie non euclidienne et (...)
  • 23 [« Note sur la géométrie non euclidienne et le principe de similitude »], Revue de Métaphysique [et (...)

51C’est là une question que nous avons déjà discutée ici avec M. Lechalas22 ; mais on nous permettra d’y revenir, car les arguments de M. Russell sont, en un sens, tout opposés à ceux de M. Lechalas. Celui-ci croyait sauver la relativité de l’espace en faisant remarquer que le paramètre (ou constante spatiale) « est lui-même une grandeur spatiale à laquelle tout est rapporté 23 ». M. Russell soutient, au contraire, que la constante spatiale n’est pas une grandeur : « elle est l’unité ultime, le terme fixe de toute comparaison quantitative » (§ 79, p. 84). Si l’on majore la constante spatiale et toutes les dimensions de l’espace dans un rapport constant, rien n’y sera changé : les lignes y auront la même grandeur qu’auparavant, puisqu’elles sont mesurées par rapport à la constante ; la constante elle-même, n’ayant aucun étalon de comparaison extérieur, ne sera pas soumise au changement de grandeur : elle est « destituée de quantité » (p. 85). L’auteur en conclut qu’une majoration de tout l’espace est un non-sens ; que les divers espaces non-euclidiens ne sont pas comparables, parce qu’ils ne peuvent coexister, et que partant leurs constantes, n’étant pas susceptibles de mesure, n’ont pas de grandeur à proprement parler (cf. § 99).

52Cette conclusion est fondée sur toute une théorie de la grandeur, que nous ne pouvons discuter à présent, mais qui mériterait un examen approfondi. Il nous suffira, pour le moment, de constater qu’elle est contraire à d’autres assertions de l’auteur, et qu’elle implique en elle-même une contradiction. En effet, M. Russell soutient que « la grandeur n’est rien en dehors de la comparaison », ou encore « qu’elle n’est intelligible que comme résultat de la comparaison » (§ 81) ; mais ailleurs, il avoue que « les termes comparés doivent exister avant la comparaison » (§ 163, note 2), c’est-à-dire que la grandeur est antérieure à la comparaison et à la mesure ; et il le faut bien, car autrement la mesure et la comparaison n’auraient plus de sens ni de fondement.

53Il n’est donc pas exact de dire que la constante spatiale n’est pas une grandeur : comment n’en serait-elle pas une, puisque toutes les grandeurs de l’espace correspondant peuvent lui être rapportées ? On ne peut mesurer une grandeur que par une grandeur de même espèce ; or, si l’on peut mesurer toutes les grandeurs d’un espace par rapport à la constante de cet espace, il faut évidemment que cette constante soit elle-même une grandeur, et une grandeur spatiale. De l’aveu même de l’auteur, un espace non-euclidien enveloppe l’existence d’une grandeur donnée et déterminée, qu’on ne peut faire varier à volonté, et qui constitue un étalon naturel de grandeur.

  • 24 Cf. Revue de Métaphysique [et de Morale], t. V, [1897] p. 98. [Article 5]
  • 25 Plus précisément : avec « une distance donnée dans la nature de l’espace en question » (§ 171).

54Notre objection est encore confirmée par ce fait que, dans un espace de Riemann (à courbure positive), il existe des couples de points tels qu’il y a une infinité de droites qui les joignent. C’est là une exception à l’axiome de la ligne droite ; M. Russell essaie de la justifier par des raisons assez spécieuses, et de la concilier avec cet axiome a priori en formulant celui-ci de la manière suivante : « Deux points déterminent en général une droite unique » (§ 169). Nous n’arguerons pas du caractère vague et imparfait que cette formule singulière donne à un axiome qui devrait être universel et nécessaire, en tant qu’a priori, et qui ne saurait, comporter des exceptions, comme une simple règle de grammaire. Assurément, il n’y a aucune contradiction à admettre qu’entre deux points il y ait plusieurs lignes droites, et même une infinité, attendu que toutes ces lignes sont égales24 ; et rien n’empêche de concevoir que la distance des deux points, tout en étant par essence une grandeur unique, soit représentée par une pluralité de figures distinctes de position. Mais ce qui nous paraît choquant pour la raison, c’est que, dans un espace sphérique, certains couples de points jouissent d’une propriété exceptionnelle et occupent une position privilégiée, car cela constitue une infraction à l’homogénéité et à la relativité essentielles de l’espace. Deux lignes droites, dans un plan de Riemann, se coupent en deux points que l’on qualifie d’« antipodes ». Or « ces points ont à l’égard du reste de l’espace une relation que le mouvement n’altère pas, à savoir que leur distance est la moitié de la circonférence de l’univers ». C’est que, comme le reconnaît l’auteur, un tel espace est fini, et par suite a une grandeur absolue, de sorte qu’un couple de points peut avoir une relation de grandeur avec le reste de l’espace25 (§ 170). Est-ce que toutes ces propriétés ne sont pas incompatibles avec la relativité universelle de la grandeur et de la position ? Quand M. Russell, discutant les résultats mathématiques des travaux de Sophus Lie, examine l’hypothèse où l’axiome de libre mobilité vaudrait pour un point situé en général, mais non pour les points d’une certaine ligne, il déclare qu’une telle exception, acceptable au point de vue mathématique et logique, est « philosophiquement impossible et inconcevable », et qu’« elle ne peut pas être admise un instant en philosophie, parce qu’elle détruit l’homogénéité de l’espace » (§ 45). Ne pourrait-on pas en dire autant de l’exception analogue que comporte, selon lui, l’axiome a priori de la ligne droite ?

55Ce que nous venons de dire de l’espace sphérique vaudrait également pour l’espace de Lobatchevski, bien que l’axiome de la ligne droite n’y souffre aucune exception. En effet, s’il n’y a plus dans cet espace de points antipodes, il n’en est pas moins vrai qu’il a une courbure négative (non nulle), et par conséquent, tout infini qu’il est, il enveloppe cependant un étalon de grandeur et possède encore une grandeur absolue. Nous croyons donc que les espaces non-euclidiens ne vérifient pas l’axiome fondamental de la relativité de l’espace. En d’autres termes, si l’on tirait toutes les conséquences de ce principe, on en pourrait déduire les deux axiomes qui caractérisent l’espace euclidien : 1o le postulatum d’Euclide, qui équivaut à la possibilité des figures semblables ; 2o l’axiome de l’unicité de la ligne droite, sans aucune exception.

56Reste, il est vrai, l’axiome des trois dimensions, que M. Russell déclare empirique, tandis que l’axiome des dimensions (en général) est a priori. Sur ce point, nous lui donnerons volontiers gain de cause, car il nous semble impossible de déduire sans cercle vicieux le nombre des dimensions de notre espace : ce nombre est manifestement une donnée de fait dont il est vain de chercher une démonstration ou une explication rationnelle. Est-ce à dire pour cela que cette donnée soit empirique ? Cela dépend du sens qu’on attribue au mot empirique. Nous accordons que c’est une donnée de l’intuition sensible, sans fondement intellectuel ; mais il reste à savoir si elle procède de l’intuition pure ou de l’intuition empirique. Or, si elle procédait de l’intuition empirique, c’est-à-dire de la sensation, on ne voit pas pourquoi nous ne pourrions pas, d’un jour à l’autre, découvrir à l’espace une quatrième dimension ; et il serait étonnant que, depuis tant de siècles, les hommes ne l’aient pas aperçue, surtout ceux qui, enfermés entre six parois, auraient tant d’intérêt à la trouver pour s’évader de leur prison. La quatrième dimension serait dans ce cas une terra incognita qui attend encore son Christophe Colomb. Or, cette hypothèse implique que les dimensions de l’espace seraient des objets d’expérience sensible, ce qui est manifestement absurde. Elle repose, au fond, sur cette conception naïve, que l’espace est une propriété des objets eux-mêmes, une sorte de réalité extérieure à l’esprit et existant par soi, ce qu’aucun philosophe ne soutient plus à présent, et ce qu’en tout cas M. Russell est loin d’admettre.

  • 26 Ce qui n’est même pas vrai, à la rigueur : car le temps constitue une quatrième dimension de l’univ (...)
  • 27 Par exemple, l’impossibilité de faire coïncider deux solides symétriques. Cf. Lechalas, Étude sur l (...)

57D’autre part, lors même que l’expérience ne nous eût jamais offert l’occasion de percevoir la quatrième dimension, ni fourni de quoi la remplir26, qu’est-ce qui nous empêcherait de l’imaginer ? Inutile pour l’expérience et la vie pratique, elle n’en serait pas moins précieuse aux géomètres, qui y trouveraient la solution de certaines difficultés27, et aux analystes, qui y construiraient une figuration appropriée des fonctions de variables complexes. Or, quand on essaie de l’imaginer, on se heurte, non seulement à des difficultés analogues à celles que les personnes peu exercées à la Géométrie dans l’espace éprouvent à se figurer la troisième dimension, mais à une impossibilité absolue, qu’aucun exercice ne peut lever ni même atténuer. Qu’est-ce à dire, sinon que cette impossibilité ne vient nullement des choses, mais de notre nature mentale elle-même ? C’est notre imagination bornée qui limite à trois le nombre des dimensions de l’espace. Il y a là une sorte de nécessité inhérente à notre constitution psychique, et qui s’impose, non à notre intelligence, mais seulement à notre sensibilité. L’axiome des trois dimensions est donc bien une vérité de fait, mais c’est néanmoins une vérité nécessaire et a priori, pour nous du moins, hommes, en tant qu’êtres sensibles. Ainsi la seule manière d’expliquer cette nécessité irrationnelle et subjective est d’admettre que l’espace est une forme a priori de notre sensibilité.

58Pour résumer nos conclusions d’une manière exacte et complète, il faut dire que l’espace est à la fois une forme de l’entendement et une forme de la sensibilité. Tous les axiomes géométriques sont nécessaires et a priori : les uns, d’une nécessité rationnelle, parce qu’ils expriment les caractères essentiels de toute forme d’extériorité ; les autres (à tout le moins, le nombre des dimensions de l’espace) en vertu de notre constitution sensible. En d’autres termes, toutes les propriétés de l’espace peuvent être connues a priori avec certitude, soit qu’elles découlent des conditions nécessaires de toute expérience possible, soit qu’elles résultent d’une condition de fait posée à notre sensibilité.

59Même en admettant que les axiomes euclidiens n’aient pas la même valeur rationnelle que les axiomes communs, on pourrait encore soutenir qu’ils ne sont pas empiriques. Comme l’auteur le dit fort bien en discutant l’empirisme d’Helmholtz (§ 68), il ne suffit pas, pour réfuter le criticisme, de prouver que les espaces non-euclidiens sont logiquement possibles (que la Géométrie non-euclidienne n’est pas contradictoire) ; il faudrait établir que nous pouvons en avoir l’intuition. Tant qu’on ne leur aura pas fait voir un tel espace, les criticistes auront le droit de dire que les axiomes euclidiens sont connus a priori, bien qu’ils ne procèdent pas d’une nécessité intellectuelle. La force et l’originalité du système de Kant consistent justement à admettre, en dehors de l’a priori rationnel, seul reconnu jusqu’à lui, un a priori intuitif et sensible, pour fonder les jugements synthétiques de la Mathématique pure.

  • 28 [« Un trésor pour toujours », Thucydide, Guerre du Péloponnèse, I, 22. – Dans sa lettre à Russell d (...)

60En somme, M. Russell a établi, d’une manière péremptoire et définitive, croyons-nous, que la Métagéométrie n’a nullement ruiné la thèse essentielle du criticisme, et qu’elle l’a bien plutôt renforcée, quoi qu’en aient pensé les métagéomètres, par ignorance de la philosophie, et les métaphysiciens, par ignorance des mathématiques. En contribuant à réconcilier les deux camps, qui n’étaient séparés que par des malentendus, il a rendu un grand service aux uns et aux autres. Grâce à sa double compétence et à son égale supériorité dans les deux domaines, il a su, d’une part, porter un esprit pénétrant et critique dans l’étude de la Métagéométrie, et démêler dans ces recherches un peu incohérentes les idées justes et fécondes ; d’autre part, il a reconquis à la Philosophie une province traditionnelle, qu’elle avait longtemps négligée et qu’elle laissait tomber en déshérence. Les philosophes se désintéressent de plus en plus de la Géométrie, qui était pourtant l’étude de prédilection des grands métaphysiciens des siècles précédents, et qui est restée « la forteresse inexpugnable des idéalistes » (§ 1). Il est grand temps que la Philosophie se remette au courant des transformations de la Science, surtout après un siècle où celle-ci a marché à pas de géant, et alors qu’elle fournit à la Théorie de la connaissance une matière inépuisable et sans cesse renouvelée. L’exemple de M. Russell prouve d’une manière éclatante combien est fructueuse l’union de la Philosophie et de la Science dans un même esprit, et que les progrès de la Philosophie sont solidaires de ceux des sciences, car le développement perpétuel des connaissances positives entraîne nécessairement la réforme de nos idées et de nos principes, et toute découverte scientifique contribue à modifier notre conception de la nature ou à nous révéler la puissance et les ressources de l’esprit. Aussi son livre n’est-il pas de ces constructions brillantes, mais éphémères, qui ne prouvent trop souvent que le talent de leurs auteurs ; c’est un ouvrage solide et durable, d’une valeur objective et didactique, qui restera acquis à la Philosophie et qui lui fera honneur, car il montre qu’elle aussi pourrait mériter le beau titre que Thucydide décernait à l’histoire : Κτῆμα εἰϛ ἀεί28.

Notes

1 An Essay on the Foundations of Geometry, by Bertrand A. W. Russell, M. A., Fellow of Trinity College, Cambridge. 1 vol. in-8e, 201 p. (Cambridge, University Press ; London, Clay and Sons, 1897.)

2 M. Russell a pu, à l’Université de Cambridge (ce qui serait impossible dans une Université française), étudier tour à tour les Mathématiques et la Philosophie, et passer l’examen de fellow avec une dissertation dont le présent ouvrage est le développement. [Couturat exagère quelque peu son appréciation de ce qui aurait été à l’époque « impossible dans une Université française », puisqu’il était lui-même titulaire d’une licence de mathématiques, préparée conjointement à ses études de philosophie à l’École normale supérieure.]

3 Voir G. Lechalas, La courbure et la distance en Géométrie générale, ap. Revue de Métaphysique [et de Morale], t. IV, p. 194 (1896).

4 On peut en trouver une esquisse sommaire dans notre ouvrage De l’Infini mathématique [1896], 1re partie, livre IV, chap. I, Appendice (p. 233 sqq.).

5 Cf. De l’Infini mathématique, p. 276.

6 Cf. De l’Infini mathématique, 1re partie, livre III, ch. I, §§ 10 sqq.

7 Ce qui a été la grande découverte de Descartes : voir le début de sa Géométrie, où il expose les principes de son « calcul géométrique ».

8 Cf. [Augustin] Cournot, [De l’origine et des limites de la] Correspondance entre l’Algèbre et la Géométrie, [Paris, 1847], chap. IV, notamment nos 29 et 33.

9 Suivant lequel un corps qui tourne autour d’un axe doit repasser par sa position initiale (et non décrire une sorte de spirale ou d’hélice).

10 Cf. Klein, Rapport sur le 3e vol. de la Théorie des groupes de transformations de Sophus Lie pour le prix Lobatchevski, analysé dans le Supplément. [Le Supplément joint à chaque numéro de la RMM contenait des comptes rendus d’ouvrages, de revues, de soutenances de thèse et des informations diverses. Il était entièrement anonyme. Le Supplément du numéro de mai 1898, où paraît le compte rendu du livre de Russell, contient (p. 20) une Note sur le Prix Lobatchevski. Il est assuré que Couturat en est l’auteur, comme nous savons qu’il l’a été de divers comptes rendus publiés dans le Supplément.]

11 Notamment MM. Bradley, Sigwart et Bosanquet, de qui M. Russell se déclare le disciple. [Francis H. Bradley (1846-1924), professeur à Oxford, fondateur d’un idéalisme inspiré de Kant, Fichte et Hegel ; auteur de The Principles of Logic, Londres, 1883 et de Appearence and Reality, Londres, 1893. – Christoph von Sigwart (1830-1904), professeur à Tübingen, auteur d’une Logik, 2 volumes, Tübingen, 1873–1878, traduite en anglais en 1895. – Bernard Bosanquet (1848-1923), néohégelien, critique de Bradley, outre ses œuvres de théorie politique et sociale, est l’auteur de Logic, or The Morphology of Knowledge, 2 volumes, Oxford, 1888.]

12 Revue de Métaphysique [et de Morale], t. I, [1893], p. 63. [Article 1]

13 Voir la construction projective du plan, § 138, note (p. 145).

14 M. Russell montre en passant que la définition de la ligne droite comme « le plus court chemin d’un point à un autre » forme un cercle vicieux (Cf. Revue de Métaphysique, t. I, [1893], p. 77). [Article 1]

15 Cette déduction est la réciproque d’un raisonnement de MM. Bradley et Bosanquet : de la continuité de l’espace il résulte que nous ne pouvons rien connaître qui soit simple et subsiste par soi. On se rappelle que c’est par une déduction analogue que M. Hannequin conclut de la continuité de l’espace à l’existence d’une pluralité d’êtres à la fois distincts et solidaires, en corrélation et en réaction mutuelles (Essai critique sur l’hypothèse des atomes, livre II, ch. I, § 4 ; cf. Revue de Métaphysique, t. IV, [1896], p. 791). [Article 5]

16 Critique de la Raison pure, Amphibolie des concepts de réflexion. [Sur le rejet du principe des indiscernables, fondé sur une confusion dans l’usage des concepts d’identité et de diversité, B 319-320 et B 327-328.]

17 Pour s’assurer de la rectitude d’une ligne matérielle (ayant pour support un corps solide indéformable), il suffit de la faire tourner autour de deux de ses points, et de voir si ses autres points restent immobiles. Mais ce moyen ne peut s’appliquer aux rayons lumineux, qui constituent les côtés des triangles astronomiques : car, si l’on suppose l’espace réfringent, un rayon lumineux, tout courbe qu’il est, pourrait tourner autour de deux points sans cesser d’occuper la même position (de suivre la même trajectoire). Peut-être n’en serait-il plus de même avec la lumière polarisée.

18 Poincaré, les Géométries non-euclidiennes, ap. Revue générale des sciences [pures et appliquées], 2e année, n° 23 (15 déc. 1891), cité ap. Revue de Métaphysique, t. I, p. 74 [Article 1]. Cf. Gaston Milhaud, Le Rationnel, [Études complémentaires à l’Essai sur la certitude logique, Paris, Alcan, 1898], p. 71-72.

19 Zur ersten Verteilung des Lobatschewsky-Preises, p. 20. (Rapport sur le 3e vol. de la Théorie des groupes de transformations de Sophus Lie.) [Voir supra, note 10.]

20 [Auguste Calinon], [Étude sur] L’indétermination géométrique de l’univers, ap. Revue philosophique, [t. XXXVI], déc. 1893, pp. 595-607]. Cf. Lechalas, Étude sur l’espace et le temps, [Paris, Alcan, 1896], ch. III [voir Article 4].

21 Cette possibilité de construire une même figure à diverses échelles est le fondement de l’homogénéité des équations de la Géométrie analytique, par laquelle Legendre croyait pouvoir démontrer le postulatum d’Euclide (Éléments de Géométrie, 14e éd., Note II). C’est encore une raison pour appeler homogénéité la propriété géométrique que traduit le principe d’homogénéité algébrique.

22 Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 302 : Note sur la géométrie non euclidienne et la relativité de l’espace. [Article 2]

23 [« Note sur la géométrie non euclidienne et le principe de similitude »], Revue de Métaphysique [et de Morale], [1893], t I, p. 199.

24 Cf. Revue de Métaphysique [et de Morale], t. V, [1897] p. 98. [Article 5]

25 Plus précisément : avec « une distance donnée dans la nature de l’espace en question » (§ 171).

26 Ce qui n’est même pas vrai, à la rigueur : car le temps constitue une quatrième dimension de l’univers, et nul ne contestera qu’il serait plus commode de se le représenter sous forme d’étendue simultanée, que sous forme de succession.

27 Par exemple, l’impossibilité de faire coïncider deux solides symétriques. Cf. Lechalas, Étude sur l’espace et le temps, [op. cit.], p. 40 sq.

28 [« Un trésor pour toujours », Thucydide, Guerre du Péloponnèse, I, 22. – Dans sa lettre à Russell du 3 octobre 1897, Couturat disait des conclusions du livre qu’elles « [lui] semblent définitives » (Bertrand Russell, Correspondance avec Couturat, p. 41).]

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