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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

L’étrange en mathématique

Note de l’éditeur

Initialement publié dans La normalité comme symptôme : actes de la Fondation européenne pour la psychanalyse, Paris, Point Hors Ligne, mars 1992, p. 129-143. © Éditions Érès, 1992. Le titre porte la mention : Discutant : Michael Soubbotnik, le texte de celui-ci est reproduit ici en fin d’article.

Texte intégral

1J’ai bien envie de changer un peu ce titre et de dire : « l’étrange des mathématiques ». Et je commencerai par raconter quelques histoires, des anecdotes si l’on veut, pour rendre sensible ce problème.

2Dans mon enfance, on abordait la géométrie en classe de quatrième, c’était, je n’ose pas le dire, en 1927 ; auparavant, qu’avait-on fait ? On avait appris à calculer, à dessiner des figures, à les distinguer, on avait appris à les mesurer, à les rapporter les unes aux autres ; donc, on savait ce qu’était une figure de géométrie. On avait manié la chose. C’est alors que le professeur, en quatrième, commence à nous dire : « la géométrie est la science qui étudie et démontre les propriétés des figures de l’espace ». Cela ne nous a pas trop surpris, parce que, des figures, on en avait vu, on en voyait encore, cubes et autres. Donc, on se dit : « Ça va, on va comprendre le secret de toute cette affaire. » Aussitôt le professeur ajoute : « une figure est constituée de surfaces, de lignes, et les lignes sont constituées de points ». Là-dessus, il prend la craie et ordonne : « Écrivez, définition : un point c’est ce qui ne comporte ni largeur ni longueur, ni profondeur ». Là-dessus, il appuie sa craie contre le tableau, et inscrit à côté une lettre « a » : « voici un point que je nomme a » ; à ce moment-là quelqu’un se lève et dit : « Mais monsieur, vous avez dit que ça n’a ni largeur, ni profondeur, ni épaisseur, ni longueur, et vous en avez marqué un au tableau. » Là, le professeur se fâche, et traite l’élève de mauvais esprit : « Ce que j’ai dessiné au tableau n’a aucune importance, ce que tu dois retenir c’est la définition, je répète, la définition… » et de redonner la fameuse définition, ajoutant : « Une définition c’est fait pour être écrit, c’est fait pour être lu, c’est fait pour être appris, et c’est fait pour être respecté, d’accord ? Allez, écrivez la définition, et retenez la définition. »

3Bien après l’année 1927, un collègue, qui était professeur de mathématiques spéciales, m’a dit : « Mais tu sais, n’importe quelle bourrique, si tu lui donnes suffisamment de coups de pied au derrière, tu la conduis jusqu’à la licence de mathématique. » À quoi j’ai répondu : « Certes, mais tant que tu dresses les gens… – Mais oui, a-t-il repris, je dresse les gens à avoir la licence. »

4Voilà donc le problème du sentiment d’étrangeté qui s’empare de l’enfant lorsqu’on le met en présence du statut d’une science démonstrative.

5Je reviens en arrière : un peu plus avant dans l’année de quatrième, au début du mois de novembre, on aborde l’étude du triangle. Le professeur énonce alors ce fameux théorème : « la somme des angles intérieurs à un triangle est égale à deux droits ». Là-dessus il fait venir quelqu’un au tableau, c’était moi, et lui dit : « Est-ce que tu peux démontrer ça ? J’étais stupéfait : Démontrer quoi ? – Que la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits. Je sais que c’est égal à deux droits, j’ai mesuré ça. – Mais comment l’as-tu mesuré ? Écoute, va t’asseoir. » Et il fait la démonstration, et tout le monde note la démonstration ; mais qu’est-ce que c’était qu’une démonstration ? On ne savait rien de tout ça ; cela me paraissait étrange, cette sorte de dressage qu’on nous donnait là.

6Plus tard, pendant les vacances de cette même année, je passais mes vacances dans un petit village corse, comme toujours, et il y avait là, passant ses vacances au même endroit, un jeune mathématicien, très brillant, qui venait de faire une thèse brillante de géométrie, justement ; nous étions assis tous les deux sur la place de la fontaine, comme on fait dans les villages corses, et il me dit : « Dans quelle classe es-tu ? – Je viens de finir la quatrième. – Alors, tu as commencé la géométrie. Et comment cela s’est-il passé ? – Je n’ai rien compris. – Mais comment ça, explique-moi. Par exemple, la propriété que la somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à deux droits. Pourquoi n’as-tu pas compris cela ? – Je n’ai pas compris pourquoi on me demandait de montrer quelque chose que je sais être vrai, puisque je l’ai mesuré. Alors il me dit : Est-ce que tu comptes passer toute ta vie à mesurer des triangles ? – Non. – Et alors, si tu en mesures un, si tu en dessines en bas un autre et encore un autre, tu es sûr que tous auront la même mesure ? – Non. – Donc tu vas mesurer tous les triangles pour dire que la somme intérieure d’un triangle est égale à deux droits ? – Non, je ne veux pas passer ma vie à mesurer tous les triangles. – Alors là, il faut que tu te débrouilles avec un seul triangle ; on te demande de faire apparaître quelque chose qui est caché et que tu ne vois pas ; je vais t’aider. » Il dessine un triangle sur la terre : « Ce triangle a une base », il note a, b, c – « Il a une base b, c ; est-ce que tu as un moyen, en te servant de cette base, de faire paraître un angle qui soit égale à deux droits ? Je vais t’aider encore. » Et il prolonge le côté : « Tu vois, l’angle est formé par l’angle intérieur et l’angle extérieur, il vaut deux droits, tu le vois ? – Oui, je le vois. – Ainsi tu montres que les deux autres angles du triangle ont la même valeur que l’angle extérieur à ton triangle. – Ce n’est que ça ? – Ce n’est que ça. » Il a amené la parallèle et il m’a montré : « Tu vois, les angles sont égaux, donc tu as démontré ; est-ce que tu sais maintenant ce que c’est que démontrer ? Non, dis-je, en tout cas j’ai compris que ça me montre que la somme des angles d’un seul triangle est égale à deux droits. – Démontrer, dit-il, c’est rendre visible ce qui paraît être caché, c’est tout. »

7Depuis, je me suis intéressé aux mathématiques évidemment ; alors, quel est le problème, quel est l’étrange là-dedans ? Deux choses : première chose étrange, le point ; ça n’a aucune dimension, c’est vrai ; le point c’est zéro, c’est vrai ; lorsqu’on dit : « la ligne est composée de points » que dit-on ? On dit que zéro compte pour un – bizarre ; le rien compte pour un ; c’est une étrangeté qui est à la base de la mathématique, et qu’il serait bien quand on commence à enseigner cette discipline aux enfants, non pas de leur expliquer, mais au moins de leur suggérer.

8Une autre étrangeté, toujours concernant la ligne, est la démonstration du théorème ; un seul théorème compte pour tous ; un compte pour tous, zéro compte pour un ; ce sont là les deux germes de ce que j’appellerai l’étrangeté des mathématiques. Je vais avec quelques exemples essayer de démontrer, de rendre perceptible la façon dont se déploie en certains points ce monde étrange, dans lequel les choses qui sont dessinées n’ont pas de répondants dans le monde auquel nous sommes habitués de penser.

9Puisqu’il est question du normal comme symptôme, ce que je me propose un petit peu de rechercher, c’est en quoi le normal mathématique est le symptôme de cette étrangeté. En quoi ce qu’on appelle en mathématique la norme, la règle, a pour fonction, ou se découvre pour fonction, de dominer cette étrangeté, non pas de l’écarter, mais d’une certaine façon de dominer l’excès de la ligne sur le point, l’excès de la classe des triangles sur chaque triangle quelconque, n’est pas la classe des triangles d’une certaine façon ; une classe des objets n’est pas un objet de la classe. Si on peut définir les modalités d’appartenance d’un objet à sa classe, alors on peut éliminer cet excès et se contenter d’un objet, un seul suffit.

10Je vais donner quelques exemples pour faire apparaître ce rapport entre la règle et son symptôme. D’abord la racine de deux, l’objet que nous marquons : « racine de deux ». Les grecs l’ont découvert comme quelque chose d’étrange, puisqu’ils ont montré que, si l’on suppose qu’on peut mesurer la diagonale d’un carré de côté un avec son côté, le nombre qui exprime cette mesure doit être à la fois pair et impair, ce qui est une absurdité. Donc, que dire ? Deux choses : que ce nombre pair et impair n’existe pas ; ils ont dit : c’est alogon ; ce n’est pas parlable, ce n’est pas calculable, c’est alogon, et pourtant il y a la diagonale et il y a le côté du carré, et cela ce n’est ni alogon, ni atopos ; d’autre part, on sait que pour mesurer on choisit une unité, et on exprime le rapport entre l’unité de mesure choisie et la quantité à mesurer ; par conséquent, il doit y avoir un rapport. Il n’est pas parlable, alors que va-t-on faire ? Il y a un excès de la grandeur sur le nombre. Un conflit par conséquent entre le mode de représentation du nombre, une multiplicité constituée d’unités, et les unités qu’on peut désigner : plêthos monadôn. Voilà un nombre qui semble ne pas en être un, qui est exigé mais qui n’est pas : plêthos monadôn. Alors, on va contourner l’affaire, on va ajouter d’autres choses, d’autres objets qui sont définis comme multiplicité des unités ; au lieu de parler de nombre, puisqu’on a affaire à des grandeurs, on va parler de rapports des grandeurs, qu’elles soient mesurables ou non, on va établir des relations d’égalité de ces rapports de grandeurs, la façon dont on peut les multiplier entre eux, dont on peut les multiplier par un nombre ordinaire entier ou fractionnaire. Et qu’a-t-on fait ? Les mathématiciens aujourd’hui disent : on a produit l’équivalent du groupe multiplicatif des nombres réels. C’est vrai ; où est ici l’étrangeté ? L’étrangeté est dans le fait qu’on pointe des objets dans un champ opératoire dont on peut très bien distinguer et définir ces objets, nommés ici des nombres entiers, et que les normes qui permettent de définir les objets du point de départ, ces normes-là apparaissent tout d’un coup, prises dans leur ensemble, comme trop courtes pour ce qu’on veut obtenir et qui est exigé. Voilà une étrangeté repérée, et cependant dominée, par quoi ? Au nom de la norme, qu’a-t-on fait ? On a maintenu la norme, on a maintenu que quels que soient ces objets étrangers qui sont alogoi, qu’il est nécessaire de définir, on pourrait cependant définir leur égalité, il faudra définir leur égalité, il faudra définir leur somme, il faudra définir leur produit. Ils sont traités par conséquent comme les autres, et ce qu’on constate ainsi c’est une marque vide au sein de l’ensemble des autres. Voilà le rapport entre la norme et l’excès. La norme est conçue pour apprivoiser, si vous me permettez cette expression, ce qui toujours se montre en excès.

11Un autre exemple est la racine de – 1, les nombres qu’on a appelé imaginaires ; on les a définis parce qu’on s’est dit qu’il n’y avait pas de raison pour qu’une équation de deuxième degré n’ait qu’une racine, qu’il devait y en avoir deux. Que le nombre soit positif ou négatif, il doit avoir une racine. Donc, racine de – 1. Racine d’un nombre négatif, c’est absurde du point de vue des règles du calcul. Alors que va-t-on faire ? On va garder les règles du calcul entre ces objets nouveaux qu’on nommera nombres imaginaires. Le nom est arbitraire. On va définir des règles de calcul qui soient compatibles avec les règles de calcul des nombres ordinaires ; cette compatibilité, on l’établira aisément moyennant certaines modifications concernant l’égalité, et on adjoindra au corps de nombres réels, ordinaires, d’autres nombres qu’on appellera imaginaires, et on obtiendra ainsi un autre corps, plus étendu, dominé par des normes encore, qu’on appellera des normes complexes, si bien que dans cette affaire tout nombre sera fait d’une partie réelle a, et d’une partie imaginaire b, que l’on multiplie par racine de – 1, si on supprime b multiplié par racine de – 1, on aura le nombre ordinaire, réel, a ; mais tout cela sera intégré dans le champ d’un calcul possible. Ainsi on peut « apprivoiser » des monstruosités, ce qui est une monstruosité pathologique, du point de vue des règles du calcul ordinaire : moins multiplié par moins ça fait +, il n’y a pas de doute. Et pourtant, il faut contourner cela, sinon la mathématique est amputée. Elle garde sa marque vide ; la marque vide est insupportable, fait souffrir, c’est alogon, cela ne va pas, il faut absolument remplacer ce vide de quelque chose, il faut que ce soit là ; mais comment ? C’est une autre affaire.

12Un troisième exemple ; au milieu du xixe siècle un mathématicien célèbre nommé Charles Hermite écrivait à un autre mathématicien moins célèbre Stieltjes : « Je recule avec horreur devant cette plaie lamentable que sont les fonctions continues sans dérivées. » Poincaré disait aussi : « Mais c’est curieux, les jeunes mathématiciens d’aujourd’hui ; ils sont bizarres, il semble qu’ils éprouvent un malin plaisir à définir les fonctions uniquement pour mettre en défaut les raisonnements de leurs pères. » Pendant longtemps on a pratiqué ce que j’appellerai la mathématique du contre-exemple, c’est-à-dire la mathématique de l’étrange ; mais en pratiquant la mathématique de l’étrange qu’était-on contraint de faire ? On peut toujours construire des objets étranges, c’est-à-dire des objets qui ne trouvent pas leur place dans le champ des objets visuels, des objets parlables ; il faut qu’ils tiennent ; alors, que fait-on, on construit des théories de plus en plus générales, des théories de plus en plus larges ; et on construira en dernière analyse, à la fin du siècle, la théorie des ensembles abstraits pour pouvoir disposer de ces matériaux formels qui permettent sinon de construire, au moins de désigner, de fabriquer des objets visuels, mais aussi des objets étranges ; donc, on peut fabriquer des fonctions de plus en plus curieuses comme, par exemple, des fonctions continues comme la courbe continue, qui occupe tous les points d’un carré. Elle n’est pas dérivable, elle est continue.

13Mais alors, il faut payer le prix de l’élargissement, de l’extension, ce qui revient à proposer un système des normes draconiennes ; on est d’autant plus draconien qu’on généralise d’avantage, parce qu’il faut s’interdire tout appel à l’intuition usuelle ; lorsqu’on parle de courbe, on n’aura pas dans l’œil la courbe que l’on trace, on ne pensera plus à la trajectoire d’un mobile, on pensera simplement à un ensemble de points qui sont connectés selon une loi bien définie ; la loi, on l’aura écrite dans une théorie, conformément aux axiomes qu’on aura posés pour cette théorie. On est renvoyé à prendre pour objet le système des normes, c’est-à-dire à s’interroger sur ce qu’est un axiome, quelles doivent être les propriétés d’un ensemble d’axiomes pour que je sois sûr, en les utilisant afin de construire des objets, peu importe qu’ils soient étranges ou familiers. Je ne peux pas écrire n’importe quoi ; mais je ne sais pas non plus quoi écrire ; il faut donc que j’écrive des règles, des axiomes, et que le système de ces règles, une fois écrites, ait un certain nombre de propriétés, qui m’assurent qu’en les utilisant à un moment donné je n’écrirai pas, par exemple : « 1 = 0 » ; ça serait le désastre, il faut éviter le désastre ; quel est le désastre ? Que le tiers exclu ne marche pas ; la peur, la crainte de tomber à un moment donné non pas sur de l’insolite, mais sur l’inacceptable ; or, ce qui est inacceptable c’est ce qui annule le principe de contradiction, et sa conséquence immédiate, croit-on, le principe du tiers exclu. Alors, il va falloir de nouveau changer ; on va arriver à la situation suivante dans laquelle à vrai dire le mathématicien se donnera toutes les libertés, pourvu qu’il ne se contredise pas. Le critère de l’existence de ce qu’on a appelé racine de 2, de – 1, ou la fonction continue sans dérivée ou toute autre chose bizarre, sera que la propriété qu’on énoncera à son sujet, si elle sert de définition, ne doit jamais engendrer de contradiction, et que si l’on écrit son contraire, et si par hasard on démontrait que son contraire est vrai, ce serait que la propriété était fausse.

14Voilà un champ normé. Si on réfléchit un peu à sa structure, nous verrons qu’elle est tout à fait étrange. D’une part, il est parfaitement réglé, avec le principe de contradiction et du tiers exclu : un énoncé quelconque, ou bien est démontrable ou bien n’est pas démontrable. Il n’y a pas de milieu. Mais on a à faire un champ de construction : où construit-on ? Dans le champ de la théorie ; ce champ de la théorie, comment se présente-t-il ? De quelle façon contourner la chose dans sa tête ? Il se présente toujours comme un enchaînement je dirais de domaine intuitionnable stratifié : on va toujours chercher son blé quelque part, on manipule et surgit par exemple le fameux discontinu cantorien. Vous prenez dans une droite l’ensemble des points confluents, et vous enlevez l’intervalle ouvert du milieu, dans ce qui reste vous ouvrez un autre intervalle et ainsi de suite, indéfiniment. Vous considérez les ensembles fermés des points qui restent, et vous formez l’intersection. La partie commune de tous ces ensembles, qui est l’intersection, est infinie et fermée. Vous avez donc un ensemble fermé. Intuitivement que diriez-vous ? Qu’il y a beaucoup moins de points dans cet ensemble résiduel que dans l’ensemble initial. C’est faux, il y en a tout autant, parce que vous pouvez construire une bijection entre l’ensemble fermé et l’ensemble de points [0, 1].

15Chose plus étrange encore. Si vous vous intéressez à la théorie de l’intégration, et si vous définissez sur l’ensemble résiduel, ensemble fermé qu’on appelle de Cantor, une fonction continue, différentiable, et que vous écrivez sa différentielle, du moment que je l’écris, cela veut dire que cette fonction est intégrable.

16 Mais comment surgit l’étrangeté ? Elle surgit dans le fait que l’on télescope des champs d’intuition hétérogènes, et que l’on croit que le système des normes dont on dispose permet de définir un objet de plein droit au sein du champ qui est toujours en excès, et dans lequel on le définit ; autrement dit, on a trop de matériaux pour les normes ; alors, que faire ? Faut-il supprimer les normes ? Non, si vous supprimez les règles vous ne pourrez rien construire, rien définir, tout s’en va dans le flux, comme disait Platon, de l’apeiron ; or, il faut retenir, il faut pouvoir parler, il faut maintenir, il faut enchaîner, donc construire, donc on est là devant le problème qui pour moi manifeste toute l’étrangeté des mathématiques, que je résumerais ainsi : tout objet, si précisément défini soit-il, si accessible soit-il, constructivement, en vertu de ses règles de définition, mêmes si ces procédures de définition et les fonctions qu’elles mettent en œuvre sont générales, calculables, tout objet comporte toujours ce que j’appellerai son halo d’indétermination, d’excès. Autrement dit, on n’atteint jamais, dans le calculable, qu’une fraction de l’infini, une fraction parlable. Alors, on peut construire des fractions, des sections d’infini de plus en plus compliquées, de plus en plus étranges, – il y aura toujours, comme disait Hegel, un surplus ; eh bien, c’est ce surplus qu’il importe cependant de dominer selon des règles qui engendrent toujours, dans l’intérieur de ce qui est dominé, une marque vide, ou un enchaînement des marques vides, un zéro, et c’est cela qui constitue l’étrangeté des mathématiques. Chose curieuse, cela apparaît dès le début lorsque le professeur vous dit : « une ligne est constituée de points, et un point est zéro ».

Discussion

17Michael Soubbotnik :

18Sous sa forme orale, l’exposé du Pr Desanti se décompose en deux parties dont la seconde répond, et bien au-delà, aux questions que ma propre intervention avait pour seul but de soulever. Ne souhaitant pas donner à cette intervention « discutante » le statut d’un exposé sui generis, je me limiterai à ces quelques remarques.

19Il me semble que la formule qui résumerait au mieux ce qui constitue le nerf de l’exposé du professeur Desanti serait la suivante : pour autant que la normalité en mathématiques se définit par les exigences de la rigueur, elle est le symptôme de l’excès de l’écriture mathématique par rapport à elle-même.

20Une règle me permet de produire un objet déterminé dont les propriétés structurelles sont parfaitement énonçables. Cette règle est celle d’un calcul et je « dispose » (mais qu’est-ce que c’est « disposer d’une règle » et quel est le « sujet » qui en dispose ?) de la règle. Par contre, je n’ai aucun moyen d’effectuer le calcul.

21Ainsi l’objet est-il individué mais cependant il manque au sens où il « choit » hors du calcul qui peut le produire de manière telle que je puisse déterminer laquelle des propriétés structurelles il exhibe.

22Cette situation nous enjoint de penser le rapport entre d’une part : des systèmes d’écriture qui sont autant de modes de constructibilité de l’objet et, d’autre part : le contenu que l’on est invité à donner à des objets qui, bien qu’ils s’absentent ou manquent, ne sont pas rien puisque la modalité même de ce manque est circonscrite et déterminée par l’écriture.

23Le professeur Desanti nous a montré à ce propos que l’effet d’étrangeté (dont on peut ou non s’inquiéter) venait précisément de ce que la construction d’objet laissait un excès, et cela en un double sens : au sens de l’objet manquant tel que l’écriture le circonscrit mais au sens, aussi, d’une sorte de « halo » de contre-exemples possibles pour tout objet normé.

24Cela suscite une première question : « Où le sujet trouve-t-il son lieu (s’il en trouve un) ? », question d’une certaine manière corrélative de cette autre qui ne lui est pourtant pas identique : « D’où la règle tire-t-elle sa force ? »

25Le champ de ces deux questions peut être sommairement balisé par un certain nombre de réponses possibles. Les typologies de ce genre sont toujours risquées, mais considérées dans leurs justes et étroites limites, elles peuvent aider à clarifier notre problème.

26Une première stratégie consisterait à concevoir les choses à peu près de la manière suivante : le sujet mathématisant, le lieu de ce sujet, la source d’où la règle tire sa force, la source de son injonction et la garantie que les actes qu’elle enjoint sont effectuables, s’identifient. Un entendement mathématisant « divin », semblable aux entendements humains à l’extension près, peut très bien jouer ce rôle (sur un modèle galiléen par exemple) ; on peut aussi renvoyer à un monde platonicien des êtres mathématiques, ou encore au règne russellien d’un fatum mathématique universel en coupant court à la question du sujet.

27Une deuxième stratégie consisterait à soutenir que le sujet est en lui-même normé. Plusieurs options sont alors possibles. Il y a, par exemple, l’option (ou les options) transcendantale(s), ou bien l’option de la « machine mentale », idéale ou neurophysiologique (la machine étant elle-même construite sur le modèle d’un « sujet », puisqu’on la supposerait non pas seulement calculatrice mais encore mathématisante). Nous ne prendrons pas le temps ici d’épiloguer sur les difficultés soit empiriques, soit conceptuelles auxquelles se heurte une telle stratégie.

28Une troisième stratégie, plus ascétique, est peut-être aussi plus prometteuse. On pourrait situer le sujet « à-même » les actes et les opérations (de calcul) finies qu’il est en mesure d’effectuer. Chaque fois que notre sujet passe d’un mode de notation à un autre, il est amené à effectuer ce que les économistes appellent des « trade-off » : échange de capacité accrue ici contre incapacité ailleurs, en fonction d’un optimum. Dans tous les cas, la force de la règle s’identifie à l’effectuation même des actes. Non que la règle soit « dans » le sujet car il doit y être « dressé », mais il se trouve simplement que ce que la règle prescrit « compte pour » un certain « jeu » ou une certaine phase de jeu et que changer la règle revient à changer de jeu.

29Dans le jeu, nous n’avons affaire qu’à des configurations de symboles dont les transformations sont réglées par un système de conventions plus ou moins arbitraires : la démonstration ne dévoile pas une vérité mais elle construit une proposition.

30Un point important ici est que le caractère absolument contraignant de la règle et ce qu’on appelle la « nécessité » des énoncés, renvoient à une décision implicite d’exclure toute possibilité pour certains énoncés d’être falsifiés, autrement dit à la décision de continuer à jouer à ce jeu-là et pas à un autre. En jouant, j’opère selon une certaine grammaire et il n’existe pas de « métagrammaire » qui puisse « fonder » cette grammaire dans laquelle j’opère.

31Enfin, à chaque étape de la chaîne d’opérations, je dois pouvoir effectivement constater qu’elle correspond à une application correcte de la règle. À ce titre, rien ne me dit jamais que là où je ne peux pas « continuer » effectivement, la même règle s’applique.

32Enfin, et c’est peut-être là une tout autre affaire, loin de chercher à dissiper l’étrangeté, on s’en « inquiéterait » comme semble nous le proposer le professeur Desanti.

33C’est alors que, peut-être, pourrions-nous dire, et je souhaiterais demander au professeur Desanti s’il accepterait que nous le disions, que, pour cette raison même que l’on s’en inquiète, ce manque que circonscrit l’opération symbolique apparaît tenir au réel.

34Et le sujet ? Le sujet serait alors ce qui surgit de manière « évanouissante » de la configuration suivante :

35D’un côté, le procès opératoire peut toujours se poursuivre par le passage à un niveau structurel différent : au moment où la généralisation s’opère, la règle se confirme de son exception. Cette généralisation est elle-même « de règle » : l’opération conforme à la règle doit toujours se poursuivre.

36D’un autre côté, la généralisation et la poursuite de la procédure laissent immanquablement un « reste » composé d’actes tout à fait « ineffectuables » bien que parfaitement définis. Il est bien clair ici que le discours mathématique s’interdit les expédients du discours philosophique traditionnel, par exemple, lequel enjoint à l’entendement ou à la raison d’accomplir toute sorte d’actes ineffectuables, de telle manière que le sujet qui tient à répondre « présent » (et à qui sont fournies de fortes raisons de répondre) n’ait en fait d’autre issue que de simuler leur effectuation. Il faut donc qu’il y ait un semblant d’effectuation pour que ça se poursuive (l’exemple-type est celui de l’aufhebung hegelienne). À l’autre extrême, le discours mathématique, de par son caractère éminemment symbolique, s’épargne aussi l’hallucination pure et simple de résultat de l’opération ineffectuable.

37Cette double différence tient sans doute au fait que le sujet se présente comme étant tout à la fois cette « défaillance » devant l’effectuation de l’acte opératoire qui reste une injonction : « continuez à suivre la règle », et cette instance de doute (ou pire) quant au fait que la règle puisse être suivie : ni semblant ni délire, il ne s’épargne pas les crises.

38Dire ainsi que le sujet surgit de cette inquiétude, c’est dire que l’étrange se loge au plus intime de cette familiarité que la règle aménage et que le « jeu », que la règle constitue, dément régulièrement.

39Si j’ai correctement compris la manière dont le professeur Desanti rendait compte de la normalité dans les mathématiques, il me semble qu’on peut en tirer les résultats suivants :

40D’abord qu’aucune région ou domaine ne sont constitués, institués définitivement pour livrer un sens plein à tous les énoncés mathématiques productibles en obéissant à la règle. Ensuite, qu’obéir à la règle, cela ne peut pas non plus purement et simplement se comprendre en le rabattant sur ce qui est effectué par des opérations strictement finies conformément à des attentes remplies (et à elles seules), sans pour autant, ni bien évidemment que l’on « hallucine » ce qu’on ne peut écrire ni que l’on fasse semblant de l’avoir écrit.

41Est-ce que, tenir tout cela à la fois, ce n’est pas ce qui permet de caractériser comme « réel » ces « absences » strictement désignées par l’écriture symbolique ?

42Et cela ne peut-il être pris à son tour au sens suivant : étant posé que la proposition « la cinq billionnième décimale du nombre est impair » est vraie ou fausse ; étant posé que je ne puis en décider qu’après vérification ; étant posé que cette vérification m’est impossible : n’y a-t-il pas, du côté du « sujet », quelque chose qui résiste à ce qu’on puisse penser l’acte (ici par exemple une « vérification par calcul ») en termes de vérité ? N’y a-t-il pas au sein du discours mathématique une tension entre préinscription nécessaire des propriétés d’objets par la construction de concepts structuraux et quelque chose de l’ordre de l’imprédictible ou de la contingence et qui fait que certains mathématiciens parlent de leurs « découvertes » à la manière d’explorateurs coloniaux défrichant quelques continents noirs ?

43Cette tension ne tient-elle pas au réel lui-même et à ce qui choit dans la structure aussitôt que l’on s’inquiète de l’acte ineffectuable qu’elle norme ? Faut-il considérer ce « réel » comme strictement intra-mathématique ? Et, pour clore sur une nouvelle question trop, beaucoup trop large, quel nouveau rapport d’étrangeté y a-t-il entre ce réel-là et le réel de la physique ?

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