Mathesis, idéalité et historicité
|Mathématiques et Subjectivité
Note de l’éditeur
Initialement publié dans « Mathématiques : langages ; représentations » (actes du Colloque national du CNEFASES, mai 1993), Les Cahiers de Beaumont, n° 65-66, décembre 1994, p. 67-74.
L’intervention de J.-T. Desanti est précédée d’une rapide présentation de ce dernier par J. Berchadsky : « […] Ce qui est convoqué à chaque étape [de l’œuvre de J.-T. Desanti] c’est la question du sens : le sens des rapports mathématiques dans Les Idéalités mathématiques, le sens des rapports philosophiques dans La Philosophie silencieuse, voire le sens des rapports du philosophe et de la philosophie dans Un destin philosophique. Que ces rapports soient essentiellement déterminés par le temps, c’est précisément l’objet de son dernier ouvrage [Une réflexion sur le temps]. Je crois que si il y a bien un problème qui se pose en mathématiques, c’est le problème du sens et des rapports de sens. C’est aussi ce qui fait largement obstacle dans l’accès à la compréhension mathématique […].
Texte intégral
1Le titre qui avait été retenu pour cet exposé, c’est « Mathématiques et Subjectivité ». Ça peut paraître paradoxal parce que s’il y a quelque chose qui échappe à la subjectivité, c’est bien ce que nous appelons le mathématique. Par exemple on calcule et on a mal aux dents. Vous avez mal aux dents, c’est subjectif. Vous avez un chagrin d’amour, vous souffrez et vous calculez. Et pendant que vous calculez, peut-être que le mal de dents s’estompe et que le chagrin d’amour passe à l’horizon, c’est possible. Le contraire peut se passer tout aussi bien. Mais de toute façon, le résultat du calcul sera là, que vous ayez mal aux dents ou non, que vous ayez un chagrin d’amour ou non. Un autre pourra refaire le calcul exactement et vous dire : « voilà, moi, je n’ai pas de chagrin d’amour, je n’ai pas mal aux dents, j’ai refait le même calcul que toi et j’arrive au même résultat, et ce résultat c’est quelque chose que je peux écrire ; je l’écris et il subsiste, comme on dit, invariant ».
2Donc il semble que la mathématique n’ait rien à voir avec la subjectivité. Mais, regardons les choses d’un peu plus près. Les mathématiques ne sont pas écrites au ciel, on ne les lit pas dans un ciel mathématique, les mathématiques sont le produit d’un certain travail, un travail humain, un travail qui est né dans une culture bien définie, à un certain moment du temps, selon des procédures qui d’ailleurs ont varié au cours du temps. Les objets qui ont été constitués de la sorte ne sont pas toujours homogènes, ce ne sont pas les mêmes : ce que les Grecs appelaient « grandeur » ce n’est pas ce que nous, nous appelons les nombres réels, c’est autre chose… ; les rapports de grandeur, bien qu’ils aient joué le même rôle pour les Grecs, croyons-nous, que pour nous aujourd’hui depuis Dedekind, les nombres réels qui étaient d’autres objets que les « grandeurs » des Grecs. Cependant, quand nous lisons le cinquième livre des Éléments d’Euclide, consacré à la théorie des proportions et repérons la nature des opérations qui sont effectuées, nous pouvons les refaire dans la forme même où le rédacteur des Éléments, Euclide ou un autre, les avait proposées. Nous pouvons les refaire, nous pouvons toujours, comme on dit, réactiver l’archive, réactiver ce qui dort dans les bibliothèques, nous pouvons les saisir et les refaire, les ré-écrire, les remettre en mouvement. Or, que veut dire cela : remettre en mouvement ?
3Que veut dire ré-écrire ? Que veut dire relire ? Non seulement lorsqu’il s’agit de mathématiques, mais lorsqu’il s’agit de l’archive, du texte de l’archive porteuse de sens ? Que veut dire la remettre en mouvement ? Que veut dire la remettre en chantier ? Que veut dire reprendre la parole en elle de telle sorte qu’elle revive de cette parole qui est à la fois celle de l’autre et la vôtre, qui ne peut pas être celle de l’autre si ce n’est pas la vôtre et qui ne peut pas être la vôtre si ce n’est pas celle de l’autre ?
4Voilà donc en jeu le rapport qui s’institue ici dans le travail par lequel les objets que nous nommons « mathématiques », les nombres, les structures, les espaces les plus abstraits, les plus étranges, les plus farfelus, que les mathématiciens puissent concevoir, deviennent cependant objets de travail. Objets de travail, mise en mouvement, mise en chantier dans un jeu de rapports que nous sommes bien obligés de nommer, non pas subjectifs, mais intersubjectifs, dans lequel nous travaillons toujours avec d’autres.
5Donc, en dépit de son aspect, au point de départ, paradoxal et étrange, le titre choisi – Subjectivité et mathématiques – est un titre bien choisi. Bien choisi, parce que ça nous met en face du problème même que posent la nature de l’activité mathématicienne, la nature de l’apprentissage des mathématiques, la nature de la créativité dans le champ des mathématiques, etc. Tous ces problèmes mettent en jeu quelque chose que nous pouvons désigner comme une forme de subjectivité. Mais il s’agit de bien chercher en quoi elle consiste, quelle est-elle ?
6Pour bien mettre en évidence la nature du problème – la subjectivité mathématique – je raconterai deux histoires. L’une que Stella Baruk connaît bien parce que je lui ai déjà racontée ; je lui demande pardon de la raconter encore une fois, mais elle est instructive car elle concerne justement la façon dont l’accès aux mathématiques traverse la subjectivité, la subjectivité qui reçoit l’univers mathématique, qui apprend. La scène se passe dans mon enfance, il y a bien longtemps. J’entrais en classe de sixième au collège d’Ajaccio en 1925. Dans ce collège, j’y avais déjà suivi les petites classes parce que j’étais né à Ajaccio. Il y avait les paysans qui vivaient, qui avaient été élevés dans les villages du sud de la Corse et qui venaient tous au collège d’Ajaccio où ils étaient internes. Beaucoup d’entre eux étaient orphelins parce que les pères étaient morts à la guerre, ils étaient boursiers et ils avaient passé des examens, ils avaient passé le concours de bourse, ils étaient déjà instruits. Voilà le premier jour de l’entrée au collège : cours de mathématique. Le professeur, un jeune homme, que j’ai d’ailleurs bien connu depuis, venait de passer sa licence de mathématiques. Les élèves sont en rang dans le couloir, un peu en désordre. Aussitôt, il crie :
7– « Je vais y mettre de l’ordre, moi ! Ici, dedans ! Allez ! En rang par deux, entrez dans la classe debout devant le pupitre bras croisés » ;
8Les mômes sont terrifiés. Une minute…
9– « Assis ! »
- 1 Stella Baruk, L’Âge du capitaine. De l’erreur en mathématiques, Paris, Le Seuil, 1985.
10On s’assied. Silence terrifié. Arrêtons-nous un moment ici. Ça vaut la peine. Jusqu’alors, ces gosses avaient vécu dans leurs villages, ils connaissaient l’instituteur, c’était un ami des parents, on le rencontrait dans le village, on parlait avec lui, on le connaissait. Cet instituteur leur apprenait tout, tout : il leur apprenait à calculer, à calculer les aires, à calculer les volumes, à faire des multiplications, des divisions, des problèmes comme ceux qu’on faisait à l’époque (« L’âge du capitaine ! »1). Mais en même temps, il leur apprenait autre chose, il leur racontait autre chose. Il leur racontait des histoires, l’histoire de Clovis, l’histoire des invasions barbares, l’histoire de la Révolution française… Il leur apprenait à distinguer les plantes, il leur apprenait des tas de choses. Bref, il circulait dans leur monde culturel familier. Dans cette circulation, il laissait intact, inentamé le jeu des rapports symboliques par lesquels se constituait leur univers culturel et par conséquent par lequel s’éduquait leur subjectivité, par lequel ils accédaient à leur état de sujet. Ça allait tout seul. Et voilà, tout d’un coup, quelqu’un qui tombe du ciel ! Le professeur de mathématiques qui ne fait que des mathématiques, qui ne dit que du mathématique ! Ça a tout de suite une allure théologique. Tout d’un coup le jeu des rapports symboliques usuels, le jeu des rapports symboliques habituels, familiers se trouve cassé. Alors, les mômes sont terrifiés. Là-dessus, le prof commence son discours. Quel discours ? Nombres concrets, nombres abstraits. Quatre chaises, quatre lapins, quatre pommes, quatre tout court ! Quatre n’importe quoi. Ça c’est le nombre abstrait. Après ça, la suite des nombres : 0, fonction successeur + 1, il se rappelait l’axiomatique de Peano qu’il avait apprise à la faculté. Donc, la fonction successeur, on engendre la suite des nombres…, et il explique ça pendant une demi-heure. Évidemment, tout le monde les bras croisés. Puis, il s’arrête : il veut vérifier si on a compris. Il avise un gars et lui dit :
11– « Toi, lève-toi ! »
12Le type se lève, les bras croisés.
13– « a est un nombre, quel est le successeur de a ? »
14L’autre, bras croisés :
15– « … euh… b ! Mmmonsieur ».
16– « Imbécile, cancre, âne bâté ! b, va donc bêler avec tes chèvres ! Ce n’est pas b mais a + 1 ! a + 1 ! »
17Alors, voilà ! Leurs rapports symboliques cassés, cassés complètement. À vrai dire la formulation de cet homme charmant, d’ailleurs, excellent homme, très gentil [ton ironique, NDLR], était incorrecte : dire « a est un nombre », ça ne veut rien dire, a n’est pas un nombre, a c’est le nom d’une lettre qui désigne un nombre. S’il avait dit : « a est une lettre qui désigne un nombre, quel est le nombre qui suit le nombre que la lettre a désigne ? », peut-être que l’élève aurait compris quelque chose. Possible ! « a n’est pas un nombre et ce qui vient après a, dans mon jeu de rapports symboliques à moi, c’est b, c’est ainsi que j’ai appris, ce n’est pas a + 1, ça ne veut rien dire ». Et ça ne veut rien dire effectivement : « a est un nombre, quel est le successeur de a ? » Ça ne veut rien dire ! Phrase privée de sens. Après ça, qu’est-ce qu’il se passe ? Mais, on s’habitue, c’est ça qui est terrible ! On s’habitue à entendre du non-sens, à écrire du non-sens, à respecter les règles qui définissent le non-sens et l’usage du non-sens. Alors, on écrira sans sourciller : « a est un nombre, a + 1 est le successeur de a ». On l’écrira, et puis c’est tout, ça sera comme ça ! a est un nombre. a n’est pas un nombre, a n’a jamais été un nombre, c’est un nom de nombre. Un nombre et un nom de nombre ce n’est pas pareil. Voilà, mais cela, il fallait l’expliquer tout au début. Mais pour l’expliquer tout au début, il ne fallait pas d’abord briser l’univers symbolique familier de ceux à qui on s’adressait, il ne fallait pas paraître ainsi avec cette forme de présence violente et gratuite, comme si le porteur de mathématiques se matérialisait tout d’un coup dans un couloir avec cette attitude sévère et immédiatement oppressive.
18C’est le premier exemple pour montrer qu’il faut traverser la subjectivité, sans quoi il n’y a pas d’entrée en mathématiques, dans l’univers du sens, et d’une quelconque façon dans le monde de l’abstrait. On n’entre pas dans le monde de l’abstrait sans traverser la subjectivité familière, sans s’intégrer dans le jeu livré, culturellement livré, culturellement enraciné dans une langue, historiquement enraciné dans l’usage de la langue et des rapports symboliques.
19Second exemple. Cette fois-ci, c’est en classe de quatrième, deux ans plus tard, en 1927. Donc on entre en quatrième. En ce temps-là, on commençait à faire de la géométrie : la géométrie, science déductive, comme tout le monde sait – depuis Euclide. Donc, il faut démontrer. Alors le professeur, très bien, charmant homme, très gentil, commence à nous expliquer qu’en mathématiques, il y a des définitions, il y a des axiomes et il y a des théorèmes, et que ces définitions, on les pose ; une fois qu’elles sont posées, on les respecte, les axiomes, on les pose, une fois qu’ils sont posés, on leur obéit, les théorèmes, on les démontre. Alors, il commence à dire « théorèmes » et il dicte. « Théorème », et il démontre son théorème. Il dicte la démonstration du théorème, et après ça il reprend la chose au tableau et ça continue ainsi pendant toute l’heure ; puis l’heure sonne, et on s’en va.
20La semaine suivante, il recommence et il continue : « théorème, écrivez “théorème”, démonstration », reprise de la démonstration au tableau. Ça dure ainsi pendant un trimestre. Arrivent les vacances de Noël, je n’avais toujours pas compris ce qu’on exigeait de moi. Qu’est-ce que c’est que cette histoire ? Qu’est-ce qu’il veut me faire démontrer ? Qu’est-ce qu’il fait ? Je ne comprenais pas du tout, du tout. Je ne comprenais pas ce que signifiait l’exigence de la démonstration, tout simplement.
21Lors des vacances de Noël, je vais dans un village où j’avais l’habitude de passer les vacances. Là, je vais m’asseoir sur la place de la fontaine, comme on faisait, sous le soleil. Il y avait à côté de moi un homme qui me paraissait très vieux parce qu’il avait une grande barbe noire. En fait il était jeune, il avait tout juste trente ans, il venait de passer une thèse de doctorat de géométrie. Il me dit :
22« Alors, en quelle classe es-tu ?
23Je lui réponds :
24– En quatrième.
25– Tu as donc commencé à faire de la géométrie ?
26Je lui dis :
27– Ah ! Oui.
28– Alors, est-ce que ça marche ?
29– Je n’ai rien compris, je ne sais pas ce qu’on veut de moi ; par exemple, on a voulu me faire démontrer que la somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à deux droits.
30– Ah oui ! On a voulu te faire démontrer ça.
31– Eh bien, oui, on a voulu ! Mais je peux le mesurer.
32Alors, il me dit :
33– Écoute, oui, tu peux mesurer. Tu mesures et tu ne trouveras pas deux droits. C’est pour ça que tu en prendras un autre et tu ne trouveras pas deux droits. Dis-moi, est-ce que tu comptes passer toute ta vie à mesurer des triangles pour savoir si la somme de leurs angles est égale à deux droits ?
34Je lui dis :
35– Sûrement pas, je ne vais pas passer ma vie à mesurer les triangles.
36– Et bien, tu sais, avec la méthode que tu emploies, tu passeras ta vie à mesurer des triangles, et tu n’arriveras jamais à aucun résultat. Tu dois te contenter d’un seul triangle, un seul. Un seul triangle doit valoir pour tous.
37Alors là, j’ai dit :
38– C’est donc ça démontrer ?
39– Oui, c’est ça démontrer. Démontrer, ça veut dire montrer comment un seul vaut pour tous. Si tu construis un triangle, qui est construit comme un triangle doit l’être, il doit te suffire, tu dois pouvoir établir cette propriété. Tu vois, sur le sable là, tu vas faire un triangle, est-ce que tu peux faire apparaître deux droits sur cette figure ?
40– Et comment ?
41– Voyons, regardes bien, si je trace une droite, une simple droite, et bien, tu vois, ça fait un angle plat, ça fait deux droits. Alors, fais apparaître ces deux droits sur ce triangle. »
42Il me fait prolonger un côté, et je vois en effet qu’il y a deux droits.
43« Et bien, tu vois que ta démonstration est faite maintenant, tu n’as plus qu’à utiliser ce que tu sais déjà et montrer que l’angle extérieur est égal à la somme des deux autres, et tu vas arriver à voir ça tout de suite. »
44Alors, là, j’ai compris ce que c’était que la démonstration ; ça consistait à faire apparaître simplement ce qui était camouflé. Il me dit :
45« Cette somme, tu vas la former, tu la formes sur ta figure et tu vas la voir, et une fois que tu l’as vue, et bien c’est fini. Tout le reste, c’est du discours. »
46Mais cela, on ne me l’avait jamais expliqué, jamais ! On m’avait dit : « ça se démontre » ; mais on ne m’a pas dit ce que démontrer voulait dire. Démontrer veut dire : faire apparaître.
47Et voilà, ce qui nous conduit droit vers les problèmes de la subjectivité.
48Pourquoi démontrer, à quoi bon démontrer ? Lorsque nous lisons, déchiffrons les tablettes des Babyloniens, il y a des procédures de calcul qui sont indiquées sur ces tablettes, des algorithmes de calcul, sans explication. Les algorithmes sont exigés, ils sont exhibés et exigés, mais on peut les suivre, les établir, les refaire : est-ce qu’il y a démonstration dans ce cas, au sens où nous l’entendions tout à l’heure ? D’une certaine façon, oui, il y a démonstration ; dans la mesure où les procédures de calcul sont indiquées pas à pas : on fait un calcul, on obtient un résultat, on fait le calcul suivant, on obtient un résultat en s’appuyant sur le calcul obtenu, et en un certain nombre fini d’étapes, on arrive au bout, au résultat cherché.
49On peut aussi classer ces problèmes, ces espèces de problèmes, de calculs ; alors on a des types d’algorithmes différents selon la nature des problèmes. Donc, il y a là de la démonstration. Seulement, cette démonstration qui exhibe, qui exhibe le calcul, qui l’explicite pas à pas, étape par étape, exige toujours la réactivation, la réactualisation ; il faut toujours le refaire, toujours le vérifier ; ça exige toujours de la vérification. Il peut se faire que quelqu’un un beau jour conteste tout cela ; qu’il dise :
50« Oui, tu me dis qu’il faut faire cela, puis cela, puis cela… pour qu’on arrive à un résultat. Tu me dis cela, tu me l’écris noir sur blanc sur des tablettes, d’accord. Mais ça ne me convainc pas. Ça ne me suffit pas. Je veux en savoir davantage. Je veux être convaincu que dans tous les cas, et quels que soient les nombres que j’écris, quel que soit le problème pourvu qu’il soit du même type, j’arriverai au résultat que le calcul exhibé me montre. Il faut me persuader de cela. »
51Alors là, le problème est différent. Il faut trouver des procédures de discours. Il faut que le calcul entre dans le discours. Il faut qu’on commence à dire…, que l’on puisse établir cette propriété du calcul exhibé, du calcul effectué, de ne pas pouvoir être effectué autrement qu’il ne l’a été ; là on est sur le pas, au seuil de la démonstration, simplement parce qu’il y a contestation. La démonstration, c’est la réponse à la contestation ; la démonstration, c’est la réponse à l’insatisfaction ; la démonstration c’est la réponse aux problèmes, c’est-à-dire à la distance entre celui qui parle et celui qui écoute, la distance entre celui qui écrit, qui énonce la règle et celui qui la reçoit. Il n’est pas évident que celui qui reçoit la règle la tienne pour valide, encore faut-il l’en persuader. Alors, on entre dans le jeu intersubjectif, dans le jeu des questions et des réponses : en est-il ainsi ? Peut-être, peut-être pas, certainement… Il faut répondre à ces questions. On entre dans le jeu problématique, c’est-à-dire dans le jeu de l’inquiétude, dans le jeu de l’inquiétant. Le résultat n’est pas garanti par sa seule écriture, la règle n’est pas garantie par son seul succès, encore faut-il qu’elle soit fondée.
52Alors, on entre dans le jeu des rapports intersubjectifs, c’est-à-dire dans le jeu de la subjectivité. À ce moment-là, il faut bien s’interroger et se poser la question : ces objets mathématiques que nous définissons, ces objets mathématiques, les uns en apparence simples, les autres très imbriqués, très compliqués et dont nous croyons pouvoir disposer ; ces objets mathématiques que nous nommons ou que nous désignons souvent par des notations compactes, eh bien, il faut les déployer de façon à les rendre pour ainsi dire acceptables et parlables dans le discours. Il faut les ressaisir dans le discours en posant la question : comment cela qui a été montré, exhibé, écrit, est-il venu jusqu’à moi maintenant, moi qui lis tout cela, qui écoute tout cela de telle sorte que je puisse en disposer comme d’un bien, comme d’un acquis ?
53C’est ainsi que nous disposons, croyons-nous, de la suite des entiers naturels. Mais nous n’en disposons jamais, personne ne l’a énumérée ; nous en disposons cependant. Nous en disposons dans la mesure où tout cela s’inscrit dans le champ intersubjectif comme point de convergence d’activités de pensée, d’un travail de la pensée conduit en commun, toujours en chantier et toujours réactivable, toujours à refaire, toujours à ressaisir. Donc, voilà la subjectivité ; cette forme de subjectivité qui se constitue au plus près des procédures de détermination des règles, au plus près des procédures de détermination d’objets, accompagne toujours ce qu’on peut appeler le geste du mathématicien.
54Ceci nous conduit au point de départ, au caractère paradoxal de la question : mathématiques et subjectivité. Il y a une subjectivité mathématicienne. Nous pouvons la désigner de plusieurs façons. Mais, nous pouvons en saisir l’exigence pour toute position d’objet mathématique, un nombre par exemple. J’écris, disons, 727, le tout à la puissance 372, le tout à la puissance 4723 plus 3 : je peux l’écrire, je l’écris et je me dis que c’est un nombre entier. Évidemment c’est un nombre entier ! Je vous pose la question : est-ce que c’est un nombre premier ? Je n’en sais rien. Peut-être qu’un ordinateur très puissant pourra au bout d’un temps me l’écrire, me l’exhiber. Je pourrai alors vérifier si c’est un nombre premier ou non avec l’ordinateur, mais à vue de nez, je ne peux pas. Mais je dirai : ou bien il est premier ou bien il ne l’est pas. Je ne risque pas de me tromper si je le dis.
55Donc le nombre que je viens de supposer avoir écrit et qui est désigné de façon univoque par l’écriture, est bien déterminé. Il est peut-être horriblement compliqué. Il a peut-être des propriétés étranges. C’est un être individué. Il a peut-être des propriétés que je ne soupçonne pas ; mais cela n’a aucune importance. Bien qu’il porte ces propriétés que je ne peux pas soupçonner, il n’en est pas moins posé, disponible, comme être parfaitement individué. Je sais bien que si je veux le calculer à la main, le soleil sera peut-être éteint avant que je n’arrive à la fin du calcul. Si je veux l’écrire avec des bâtons (c’est un ensemble d’unités), si je veux mettre tous les bâtons à la suite, le soleil sera peut-être éteint et nous serons tous morts. Mais, il n’en est pas moins individué.
56Alors, réfléchissons à la situation. Voilà quelqu’un qui écrit. L’écriture occupe une petite portion du tableau noir. Cette écriture désigne une chaîne d’opérations, un enchaînement d’opérations. Toutes, comme nous disons, récursives, donc calculables, un nombre parfaitement calculable. Cependant, qu’est-ce qui se trouve désigné par là, par cette écriture si simple ? Un abîme ! Quelque chose qui vous échappe entièrement dans sa complexité. Vous ne savez pas comment est constitué ce nombre, quelle est sa structure intime, vous ne pouvez pas savoir. Seulement, il est là.
57Alors, voilà la subjectivité : cette différence entre l’écriture, la désignation par l’écriture et la richesse de ce que l’écriture désigne.
58Or, et là est le danger et nous revenons à l’exemple que je donnais au point de départ, au professeur qui disait : « “a” est un nombre », c’est que nous substituons l’écriture à la chose. C’est que nous vivons dans l’univers des marques comme si l’univers des marques était l’univers de ce que les marques désignent. Nous vivons dans les marques. Nous vivons dans le chiffre, pas dans la chose. Il y a un abîme entre le chiffre et la chose.
59C’est là qu’est la distance qui institue l’appel, toujours, à nouveau, l’appel vers la subjectivité, c’est-à-dire l’appel vers la reprise du sens de l’écriture. Cela est écrit, mais qu’est-ce qui est écrit ? C’est l’écriture. Ce que l’écriture désigne est au-delà ou en deçà, je ne sais pas mais peu importe, mais est ailleurs. Et cela exige une autre forme de travail pour pouvoir être approché, pour pouvoir être ressaisi, cela exige un travail propre de la pensée. On se posera la question : quelle sorte d’objet désigne donc ce qui est écrit ici ? On décompose la question : quelle sorte d’objet ? On se pose aussitôt la question de savoir pour qui ? Quelle sorte d’objet, mais pour qui ? Est-ce pour moi qui ai écrit ? Est-ce que c’est moi qui ai écrit ?
60Ce n’est pas évident.
61Ma main a écrit, ma tête a écrit. Celui qui écrit ce n’est pas le moi qui est né, qui parle telle langue maternelle, qui a telle mère, telle grand-mère ; ce n’est pas en tant que j’ai telle mère, telle grand-mère que j’ai écrit 727 à la puissance telle… Non, c’est en tant que j’ai subi le dressage qui m’a conduit vers l’univers des règles que je peux écrire et me dire, tout rassuré, après tout, ce nombre astronomique que j’écris est bien déterminé. Il me suffit de l’avoir écrit, c’est tout, il est là. Mais il n’est pas là. Voilà la question ! Il est là sur le tableau comme notation, mais il n’est pas là. Et alors, il exigerait de moi, à ce moment, un autre engagement subjectif que les engagements affectifs.
62Donc un autre. L’entrée dans un autre jeu de rapports symboliques que le jeu de mes rapports familiers ; il va donc falloir que je rééduque ma subjectivité usuelle, ma subjectivité ancestrale, si vous voulez, ma subjectivité héritée, que je l’éduque pour pouvoir repérer cet objet que je tiens à distance et qui ne se livre pas entièrement, intuitivement dans la richesse de son contenu.
63À ce moment-là, je vais me poser la question d’habiter – c’est ce qui fait le mathématicien – habiter le monde des objets mathématiques ; habiter, devenir habitant, exactement comme j’habite ma maison, c’est-à-dire me mouvoir intuitivement dans ces champs de problèmes, essayer de m’y repérer.
64On dit des mathématiciens qu’ils font des mathématiques en rêvant, non pas en dormant, mais en rêvant. C’est ainsi que l’un d’eux m’expliquait :
65« Je travaille à ma table, je ne vois rien, je gratte, je gratte, je souffre en grattant, je fais, je refais, je recommence, je travaille, je souffre, et puis je m’étends. Je ne pense à rien. Puis le champ se décante et le champ des objets se montre pour ainsi dire métaphoriquement ; il y a un changement de formes, un changement de nature. Ce ne sont plus les écritures, c’est un monde de formes qui se déploie, souvent repérable, souvent non, parfois bien repéré, il se meut là. »
66Il dit :
67« Après cela, ayant rêvé de la sorte, je me remets à mon travail. Ça se met en place. Les objets qui m’échappaient ont montré leur forme. Ils ont montré leur connexion, mais d’une façon intuitive et quasi spatiale, quasi imagée. C’est parce que je suis naturellement géomètre. »
68Sans doute, mais il y a toujours une forme d’imaginaire, une forme de déploiement de l’imaginaire, le schème imaginaire qui accompagne le remplissement des visées d’objets mathématiques absents. C’est ce qui est curieux et c’est ce qui est la marque de la subjectivité mathématicienne ; l’objet mathématique n’est jamais donné en personne, il est toujours donné dans l’absence. En cela il exige le travail, il exige l’écriture. Mais en cela il exige, toujours, le remaniement des champs intuitifs qui y sont associés, et par conséquent tout le jeu de l’imaginaire et l’imagination par lequel ces objets prennent forme, prennent corps, deviennent, se montrent dans leur richesse et par conséquent, deviennent, pour ainsi dire, exigeants.
69Réfléchissons un peu à cette situation. Que signifie-t-elle du point de vue de ce que nous appelons le sujet ? Est-ce qu’il existe un sujet mathématicien ? je veux dire : une instance, un ego, un je, un je mathématicien survolant, surplombant, producteur par essence, constructeur par essence, capable de fabriquer des mathématiques par essence, en vertu de sa constitution. Il y a des philosophes qui l’ont cru, évidemment. Vous vous rappelez peut-être, si vous l’avez lu, Emmanuel Kant écrit à peu près ceci dans l’introduction de La critique de la raison pure : le premier qui a démontré le triangle isocèle, Thalès ou un autre, celui-là a procédé par jugement synthétique a priori, c’est-à-dire que l’entendement humain est invariant, anhistorique, producteur de lui-même, producteur des règles.
70Ce sujet, on ne le trouve nulle part. On ne le trouve nulle part ; tout du moins, dès qu’on le cherche, il s’évanouit. Dès qu’on le cherche, il sombre dans sa propre diversité, dans sa propre histoire. On le sait très bien puisqu’on a été enfant. Nous savons très bien que nous n’avons pas toujours été à même de penser ce que nous pensons maintenant pouvoir penser, et le fait de ne pas avoir été à même est constitutif de ce que nous sommes maintenant comme être parlant et être pensant. Notre histoire propre, notre genèse, nos avatars, nos erreurs, nos errances sont constitutifs de ce que nous sommes maintenant.
71Donc le sujet est pris dans le temps, il est pris dans son histoire, dans sa propre éducation, dans son propre mouvement. Il n’y a donc pas de sujet survolant, immuable, inné au-delà du temps, au-delà de l’histoire. S’il y a un sujet mathématique, un sujet mathématicien, un sujet de la mathématique, ce sujet ne peut être que tout à fait incarné, tout à fait historique. Ce sujet est un corps qui parle, un corps parlant, un corps qui parle une langue, qui a été éduqué dans une langue, un corps qui dit « “a” est un nombre » ; il dit une bêtise mais il dit « “a” est un nombre » ! C’est un sujet mathématicien, c’est-à-dire un sujet qui se débrouille, qui a à se débrouiller avec ses propres productions qui lui résistent, avec ses propres productions qui lui jouent des tours, avec ses propres productions qui se retournent contre lui, qui deviennent exigeantes. Dans la mesure où elles deviennent exigeantes, il se fait lui-même, en tant que sujet, autre que ce qu’il croyait pouvoir être : il devient un autre, une autre espèce de mathématicien qui lui résiste avec ses propres productions qui se retournent contre lui, qui deviennent exigeantes.
72Si, moi, dans ma jeunesse, j’ai appris des mathématiques qu’on appelle classiques, j’ai appris cela dans des livres bien connus que tous les gens de ma génération ont pratiqués. Après j’ai dû en apprendre d’autres, j’ai dû refaire une éducation mathématique à partir des années 1940, puis j’en ai fait une autre encore vers 1960, peut-être que j’en ferais maintenant une quatrième, je ne sais pas, je n’ai plus l’âge ! J’en suis resté à ma troisième génération, mais j’ai changé de subjectivité mathématicienne, évidemment, j’ai changé mes habitus, j’ai changé mes modes d’accès aux objets. Ce n’est pas simplement qu’on change de langue, qu’on change de langage, qu’on parle le langage des ensembles après avoir parlé le langage de la théorie des fonctions ou qu’on parle le langage des catégories après avoir parlé le langage des ensembles et qu’on parle même tous les langages à la fois, ça arrive, ou tout du moins dans leur connexion. Ce n’est pas seulement cela : c’est que ce ne sont pas les mêmes modes d’accès.
73D’une certaine façon, il en est du travail mathématique, toutes proportions gardées, comme du travail artisanal, par exemple le travail du cordonnier. Supposons qu’il existe encore des cordonniers. Il a un marteau, il a du cuir, il a des petits clous… C’est son matériel, et son geste doit s’adapter au marteau.
74Mais le marteau, que désigne-t-il ? Le marteau désigne un autre. Il désigne le forgeron. Le marteau ce n’est pas lui qui l’a fait, il se l’est procuré, il a acheté un marteau adapté, ce marteau a été fait par un autre. Dès lors, il entre dans ce jeu des rapports intersubjectifs même s’il est tout seul à taper sur sa semelle avec son marteau : il agit en somme sur délégation de l’autre, en tant qu’il utilise le marteau.
75De même, le mathématicien agit sur délégation de l’autre en tant qu’il écrit, en tant qu’il enseigne, en tant qu’il cherche, il est obligé de construire des mots, il est obligé de se servir du langage. Il s’en sert souvent de façon métaphorique ; on parlera, par exemple, de filtre, d’idéal, de tribu, on inventera des mots. On les prend dans le langage de tout le monde, on les saisit. On ne les détourne pas à proprement parler. On les astreint à un pouvoir spécifique de désignation exactement comme le cordonnier se sert du marteau, il ne détourne pas les propriétés de l’acier dont est fait le marteau. Il s’en sert, il agit sur délégation.
76Le mathématicien agit, lui aussi, sur délégation. Mais alors, il faut qu’il en soit conscient. Voilà la question : rendre celui qui travaille conscient du fait que dans son travail il agit comme délégué de l’autre, comme porteur du sens que l’autre confère à son geste, c’est la tâche fondamentale de la philosophie. La tâche fondamentale de la philosophie, c’est de rendre clair ce jeu de rapports, de partage de sens. Ce jeu de rapports interhumains qui est toujours à l’œuvre dans tout travail, même s’il est solitaire, dans toute activité, dans tout geste humain. Même s’il apparaît solitaire, en fait, il ne l’est jamais. Donc, il faut rendre clair, il faut rendre explicite tout ce jeu de rapports.
77Pour en revenir à mon point de départ, je crois que c’est parce que le prof de mathématiques en question, un homme tout à fait charmant, gentil, qui a toutes les qualités, cet homme n’était pas au clair avec sa propre symbolique, il n’était pas au clair avec les autres.
78D’abord, il avait peur des élèves. S’il n’avait pas eu peur, il n’aurait pas dit : « alors ! je vais mettre de l’ordre là-dedans ! » Il aurait dit : « veuillez rentrer s’il vous plaît, les enfants, petit à petit ; ne faites pas de bruit, rentrez gentiment… »
79Il n’était pas au clair avec les autres. Il n’était pas au clair avec ses rapports avec les enfants. Il n’était pas au clair avec son rapport avec une mathématique qu’il avait apprise ! Sans ça il n’aurait pas dit : « “a” est un nombre » ! Le problème c’est d’essayer de se mettre au clair, c’est-à-dire de rééduquer la subjectivité de chacun dans le respect des formes symboliques héritées de la culture à laquelle on est lié qui est une culture langagière, fondamentalement langagière. Il ne faut jamais oublier ce que nous disait le bon Aristote : « zoon logon eikon », « un vivant capable de discursivité », capable d’expression, un vivant qui s’exprime.
80Voilà ce que veut dire exprimer les mathématiques, exprimer les objets mathématiques, avoir affaire et exprimer, avoir affaire et transmettre, avoir affaire et faire apprendre, s’apprendre soi-même à faire apprendre et, par conséquent, constituer l’objet, constituer la chose. L’objet mathématique n’est constitué que dans ce jeu de rapports interhumains, de rapports interlangagiers, sinon il n’existe pas. Il n’y a pas de mathématiques, elles ne sont nulle part. Il y a des choses, elles sont entre nous ! Et bien, il faut se persuader de cela !
81Bon je m’arrête là. Peut-être qu’on pourrait discuter maintenant.
Discussion
82Jacques Berchadsky – Nous vous remercions de cet exposé qui éclaire vraiment l’objet de ce colloque sur les mathématiques, en particulier par rapport au public qui nous concerne, c’est-à-dire ce qu’on appelle couramment l’enfance inadaptée. Je pense à ce que vous avez développé sur la rupture avec les formes symboliques. Précisément, c’est cela qui est au centre de nos préoccupations et trop souvent ce à quoi l’enseignement dit « normal » n’est pas assez attentif, voire pas du tout. La richesse de votre exposé appelle sans nul doute des questions.
83Un Intervenant – Je suis devant votre expérience, votre histoire, devant les contes réels que vous nous avez donnés, devant votre sagesse philosophique. Je crois que ceci est pour nous un apaisement et resitue bien le sens des mathématiques. Ce qui m’intéressait, c’est cette phrase : « Je suis l’habitant de l’univers des règles. » Comment entrons-nous dans cet « univers des règles », ce qui n’est pas si facile que ça, je crois ?
84J. Desanti – En général, nous y entrons malgré nous, par dressage. Nous n’habitons pas, c’est le contraire : ce sont les règles qui nous habitent. Alors, il faut devenir l’habitant, c’est différent, c’est-à-dire qu’il faut s’efforcer de saisir la motivation de la règle, l’origine de la règle, non pas le pouvoir de la règle, mais sa destination.
85Pourquoi la règle ? Il faut pouvoir répondre à cette question. Alors, on est l’habitant de la règle, on n’est plus habité par la règle. Mais nous vivons habité par la règle, et de plus en plus. Nous vivons dans un univers technico-scientifique sous lequel nous ne nous interrogeons pas, nous pensons qu’il possède, pour ainsi dire, cette dynamique propre. Ça se développe, ça marche ça marchera ! Ça marchera toujours ! La seule inquiétude que nous ayons, c’est celle de manquer à être dressé. Si par hasard, nous ne savions plus faire marcher notre ordinateur. Mon dieu ! Quelle catastrophe ! S’il ne nous obéissait plus, mon dieu ! Si, tout d’un coup, nous perdions le sens de l’utilisable, mon dieu ! Quelle horreur ! Catastrophe ! Mais nous ne perdons jamais, ça marche tout seul ! Ça tourne ! Alors, nous vivons dans un univers d’habité… d’artefacts. Un univers qui, à la limite, risque de devenir un univers de simulacre.
86Vous vous rappelez de ce qui est arrivé, au moment de la guerre du Golfe. C’est tout à fait banal, on nous a montré en grande partie des simulacres que nous avons pris pour réels parce qu’ils étaient là sur l’écran, c’était vrai. Nous pouvons vivre dans un univers de simulacres. Nous pouvons vivre dans l’univers de ce qu’on appelle la réalité virtuelle : ça serait marrant, ça !
87Supposons qu’il y ait des gens qui soient vraiment très accrochés, « accro », à la réalité virtuelle, qui deviennent des drogués de la réalité virtuelle. Ils se mettraient avec leur casque, leur écran, et puis ils jouiraient. Ils jouiraient du simulacre, ils auraient l’impression, par exemple, de déguster des mets merveilleux ! Ils auraient peut-être l’impression de jouir de femmes merveilleuses. Ils seraient là, couchés, immobiles, sans manger, sans boire. S’ils deviennent « accro », et bien ils mourront mais ils auront joui ! Ils mourront de déshydratation, de faim. Ils auront perdu leur rapport au réel. Leur corps n’habitera pas le monde.
88Le monde des simulacres. Je ne dis pas que nous en sommes là. Mais nous vivons dans un monde d’artifices qui recouvrent le monde technologique, indispensable, auquel nous ne pouvons pas renoncer. Mais ils recouvrent les rapports réels, ils recouvrent le monde des rapports immédiats, charnels. Le monde est recouvert. Il y a des enfants qui n’ont jamais vu de vaches ! Voir des vaches, bon…, ce n’est pas la joie de voir des vaches ! Ce n’est pas le Pérou de voir des vaches, mais enfin c’est vivant ! Ils ont vu un tas d’images de vaches, mais pas de vaches. Alors, il faut se méfier de ça.
89Il ne faut pas habiter l’univers des règles comme on habite l’univers des simulacres. Il faut les mettre en question, les interroger sur leur pouvoir, sur leur genèse, sur leur fin, toujours. Au fond, c’est là l’origine de la démonstration. La démonstration est venue à partir du moment où quelqu’un a demandé à quelqu’un d’autre :
90« Pourquoi me dis-tu cela ? Qu’est-ce qui t’autorise à me dire cela ? Essaie de me convaincre et je te croirai. Sinon tu pourras me dire ce que tu veux, je ne te crois pas. »
91La règle :
92« Qu’est-ce qui t’autorise à me donner des règles ? »
93Qu’est-ce qui autorise le jeu des rapports interhumains à se constituer ainsi, sous cette forme de règles, sous la forme du dressage ? Je ne dis pas qu’il ne faut pas de règles, mais il faut les motiver, il faut les interroger, il faut les mettre en mouvement, il faut les mettre en question, les refaire, les réactualiser, les repenser dans leur origine. C’est le rôle de la pédagogie, tout cela !
94Stella Baruk – Je crois que nous avons tous été extrêmement sensibles à ce que vous avez dit de la nécessité d’habiter le même univers que l’enfant et de le mener de cet univers à un autre univers sans que pour autant il abandonne le sien. Je l’avais dit, ce matin, dans d’autres termes. Il est clair que précisément si on pense à l’univers des règles en tant qu’univers de règles, on reste extérieur au sens ; on reste extérieur à ce qu’il a produit, et, pour ma part je crois que tout le monde a connu ça à un niveau quelconque avec ces enfants-là. Chaque enfant qui se trompe en disant : a plus b puissance 2, ça fait a2 + b2, [(a + b)2 = a2 + b2] est seul ; il est seul dans son erreur. Quand il dit 2 + – 3 = – 5, il s’est trompé et il est seul dans cette erreur.
95Toute l’idée ce n’est pas de justifier l’erreur en tant qu’erreur, mais de lui montrer justement qu’il est dans un univers habité par nombre d’entre nous, c’est-à-dire l’état de non-savoir précédant l’état de savoir. C’est le souvenir de cet état de non-savoir qu’on ne peut pas avoir et que cet enfant nous rappelle.
96Je voudrais amener une autre question à partir de là. C’est qu’on fait très souvent état de la difficulté qu’il y a eu de penser quelque chose dans l’histoire et l’enfant reproduirait cette difficulté de penser. Par exemple, pour les nombres négatifs ou les nombres irrationnels, on a recours à la notion d’obstacle épistémologique. Je voudrais savoir ce que vous pensez de cela. Il me semble que dans le mesure où justement la subjectivité d’un mathématicien est arrivée à penser quelque chose qui n’avait pas été pensé avant lui, est-ce qu’il reste encore cette notion d’obstacle ? À partir du moment où un objet est apparu dans le champ de la pensée, la notion d’obstacle n’est-elle pas une excuse un peu trop facile pour ne pas échapper, en effet, à une question de pédagogie qui, à ce moment-là, permettrait l’accès au sens ?
97J. Desanti – Je ne crois pas du tout aux stades épistémologiques, absolument pas. Chaque culture produit ses propres formes de rationalité parce qu’elle aménage son rapport au monde, son rapport à l’environnement. Il n’y a pas de stades dans cette affaire. Chaque culture se donne son propre mode d’installation dans son espace et son présent, par conséquent, se donne ses modes de mesure, ses modes de détermination, son calendrier, etc. Peu importe que l’enveloppe soit mythique à nos yeux, ou rationnelle à nos yeux, mais elle est, dans le fond, toujours profondément motivée, donc il n’y a pas de stades. Ça, c’est une illusion rétrospective. On se dit qu’on a commencé par des grandeurs. C’est une vue abstraite et, d’ailleurs, une vue du temps historique tout à fait naïve : on s’imagine que le temps historique procède d’une manière cumulative, ce n’est pas vrai. Le temps historique, si on le pense, on le pensera plutôt sous une forme de structure en boucle. Ce n’est pas linéaire, ça n’a rien à voir. C’est beaucoup plus compliqué. C’est parce qu’on ne sait pas penser le temps qu’on dit cela, c’est tout.
98DominiqueBarataud – Il nous reste à remercier Jean Desanti. Je crois que la force de la philosophie, c’est sa pureté, c’est sa clarté, c’est être capable d’opérer la synthèse de deux jours et demi de travaux. J’avais l’impression que vous aviez vraiment assisté à tous nos questionnements, à toutes nos interrogations. J’assure qu’on ne lui a pas donné les bandes vidéo. Je suis ébloui, et encore une fois, merci.
Notes
1 Stella Baruk, L’Âge du capitaine. De l’erreur en mathématiques, Paris, Le Seuil, 1985.
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