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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

Sur l’usage de la notion d’objet en mathématiques

Note de l’éditeur

Initialement publié dans Le Trimestre psychanalytique, « Sur la science », Publications de l’Association freudienne, Paris, 1991/1, p. 59-70.

Texte intégral

11 – Le mot objet est d’un usage tellement étendu qu’il en devient ambigu. Il semble intervenir dans le discours comme une sorte d’abréviation, substitut d’une forme pronominale propre à introduire une détermination : « ce qui apparaît tel que… ». Il est remarquable que les langues comme le latin et le grec, qui disposent du mot « homomorphe » à « ob-jet » (« ob-jectum », « anti-keimenon »), n’en usent pas à notre manière. Par exemple « objet des sens » ne saurait se dire en latin « objectum sensus ». Cet assemblage de mots latins n’est pas du latin. En revanche « Id quod sensum movet », serait intelligible. De même en grec « antikeimenon aïstheseôs », ne serait pas accepté ; « to aïstheton » le serait.

2Il semble donc que le mot « objet », désigne de l’indéterminé déterminable : tout ce qui s’offre ou peut s’offrir avec un certain degré de détermination ou appelle l’exigence d’une telle détermination. Si bien qu’on attend de l’usager qu’il désigne au moins une procédure de détermination, fondant ainsi son droit à user du nom. Généralement les philosophes ne manquent pas de le faire. Ainsi Kant qui déclare dans la 2e édition de la Critique de la raison pure (« Déduction transcendantale des concepts purs de l’entendement », § 17), « J’appelle objet (Gegenstand) ce dans le concept de quoi se trouve réuni le divers d’une intuition donnée ». Définition purement contextuelle à cet endroit, mais qui apprend au lecteur de la Critique que « Dieu », « âme » ne sont pas des noms d’objet : l’usage des règles d’entendement ne détermine pas leur référent. En revanche tout nom désignant un complexe de phénomènes déterminé par concepts dans le champ de l’expérience possible, exerce à coup sûr la fonction d’un nom d’objet, en ce sens restreint du moins.

3Les mathématiciens eux aussi utilisent le mot « objet ». Ils déclarent avoir affaire à des objets. Mais ils s’efforcent tout aussitôt de formuler avec précision les règles qui en autorisent l’usage.

  • 1 [Étudiants de deuxième année de formation universitaire.]

4Un exemple. Voici une trentaine d’années (1959) Jean-Marie Souriau, brillant mathématicien, a publié un ouvrage d’une facture originale et ingénieuse intitulé Calcul linéaire. Ce livre est accessible à des étudiants de Deug1. Dès le premier paragraphe l’auteur énonce ce qui, pour lui comme pour tout mathématicien, va de soi : « les mathématiques étudient des objets de nature très diverse tels que les points, les nombres, les vecteurs, les fonctions, etc. » Encore convient-il de préciser en quoi ce qui est compté ici comme objet se prête à un traitement mathématique et de dégager le caractère commun permettant un tel traitement. Il le faut bien puisqu’au nombre des objets, nous pouvons compter les arbres, les feuilles des arbres, les lapins, les chiens, les cailloux, etc. Or ces objets peuvent donner lieu à bien des conduites les concernant ; mais ces conduites ne sont pas nécessairement mathématiques et, usuellement, ne le sont pas, bien qu’elles puissent être l’occasion d’opérations mathématiques. Nourrir son chien n’est pas une opération mathématique ayant le chien pour objet. On peut dire que peser la nourriture du chien est une opération mathématique. Or son objet n’est pas le chien, ni même la nourriture, mais une entité abstraite nommée « poids » permettant de déterminer la quantité de nourriture convenant à un chien.

5D’où la nécessité de formuler une règle à fonction sélective. Le mathématicien décidera de ne retenir comme « objets mathématiques » que ceux entre lesquels il sait construire une relation d’égalité (notée « = ») c’est-à-dire une relation définie par les trois clauses suivantes :

  1. pour tout A, A = A (réflexivité)

  2. pour tout A et tout B, A = B entraîne B = A (symétrie)

  3. pour tout A, tout B et tout C, A = B et B = C entraîne A = C (transitivité)

6Il y ajoutera une clause de caractère logique, pour tout A et tout B ou bien A = B ou bien AB (tertium non datur). Il considérera comme objets mathématiques de plein droit ceux dont il pourra démontrer qu’ils satisfont au moins aux axiomes de l’égalité. En bien des cas cette démonstration n’est pas immédiate, puisqu’il faut découvrir les conditions spécifiques de l’égalité pour les objets proposés. Pensons à la difficulté qu’éprouvent les enfants à concevoir la nécessité d’avoir à démontrer les « cas d’égalité » des triangles. Cette procédure d’admission est usuelle et ancienne. R. Dedekind l’avait utilisée dans les deux premiers paragraphes de son travail fondateur (Was sind und was sollen die Zahlen) pour établir le statut mathématique de ces entités abstraites qu’il nommait « systèmes de choses » (« ensembles » en langage cantorien).

7Il est remarquable que ces clauses d’égalité, restrictives relativement à la classe indéterminée que désigne l’expression usuelle « être objet », permettent dans le champ qu’elles délimitent, d’enrichir les domaines d’objets. Tout résultat d’opérations définies sur des classes d’objets déjà disponibles, pourra être à son tour considéré comme objet, pourvu qu’il vérifie les axiomes de l’égalité.

8En ce sens pourront être admis dans la famille des objets mathématiques les ensembles, les groupes, les produits directs d’ensembles, les espaces vectoriels, etc., d’une manière générale toute construction dont on pourra s’assurer qu’elle satisfait aux axiomes de l’égalité, quel que soit son degré d’abstraction et de complexité. La théorie des catégories a affaire à des objets de cette espèce, entre lesquels les théoriciens construisent les « morphismes » dont ils précisent les lois de composition. Et les catégories elles-mêmes (par exemple la catégorie des groupes, des espaces topologiques, etc.) peuvent à leur tour être admises dans la famille des objets mathématiques : on peut concevoir, entre catégories, des correspondances (des « foncteurs ») et définir par là, entre elles, une relation d’équivalence. Les théories formelles elles-mêmes pourront être admises dans la famille puisqu’on peut formuler leurs conditions d’équivalence. Pour qui respecte ces règles, il n’y a pas, a priori, de bornes imposées à ces possibilités d’extension, bien (et en cela les mathématiciens se séparent) qu’on puisse être plus ou moins strict sur les exigences de constructibilité ou de « manifestabilité » des objets ainsi désignés, ou dont la désignation est jugée souhaitable.

92 – Tout cela pourtant ne va pas sans problèmes. Il est surprenant que le même mot « objet » puisse désigner entre autres :

  1. ce que Kant a appelé « objet » dans la « Déduction transcendantale des concepts purs de l’entendement » ;

  2. la catégorie des groupes ;

  3. ce que le langage ordinaire entend désigner de ce nom dans des expressions telles que « objet du désir », « objet de souci », « objet de remémoration » ou « d’oubli », « objet de réflexion », etc. ;

  4. ce que depuis G. Frege, les logiciens qui le suivent appellent « objets » lorsqu’ils distinguent noms de fonction (non saturés) et noms d’objet (saturés). Si bien que fonctions et objets appartiendraient à des catégories logiques différentes.

10On pourrait, en une telle situation, se résigner à cet état de dispersion ; la relation entre ces divers sens serait prise alors comme de simple homonymie (à la façon dont « chien » désigne une constellation et l’animal « canis latrans »). On espérerait de la sorte mettre fin à toute inquiétude en fixant par une convention ad hoc une règle d’usage du nom qu’on ne manquerait pas de respecter. Et on ajouterait cette clause (souvent tacite) : « ce que j’entends ici par « objet » n’a rien à voir avec ce que par ailleurs on désigne sous le même nom ». On irait même peut-être, pour éviter tout effet de contamination sémantique, jusqu’à renoncer à l’usage du nom, à la manière de H.B. Curry (l’initiateur des logiques combinatoires) qui annonce qu’en mathématique formelle on a affaire primitivement à des « ob » ou à des « szam ». Mais on ne gagnerait pas grand chose puisque « ob » est la première syllabe du mot « objet » et « szam » le mot hongrois pour objet. Si bien que ce « tour de langue » n’a d’autre fonction que de marquer une coupure dans le spectre sémantique du nom ordinaire.

11D’où notre problème. Il importe de nous intéresser à ce spectre et de chercher en quoi il exige d’être marqué d’une telle coupure qui, bien loin d’annuler la région séparée, rétablit la connexion du spectre entier, par la médiation d’un invariant commun, quelque chose comme un sens premier convenant à tout ce qui peut être dit « objet ». Nous ne ferons donc pas l’hypothèse de la pure homonymie, mais celle de la connexion sémantique.

12Situation spéculative bien connue depuis Aristote (Métaphysique, III, 2). Peut-être en est-il de ce qui se nomme « objet », comme de ce qui est nommé « étant ». Pourquoi ne pas répéter du premier ce qu’Aristote énonçait du second, qu’il se dit de façon multiple mais non homonyme ? Les manières distinctes d’en parler, effectuables dans des domaines d’expérience et de savoirs distincts, font signe vers un pôle unique, bien qu’elles ne soient pas les déterminations internes propres à un genre unique. Peut-être convient-il ici de retenir la distinction d’Aristote : « pros en » (relativement à la désignation d’un terme unique, « objet » en ce cas). « Kath en » (interne au designatum d’un terme unique). Comment dégager ce pôle d’unité qui signifie la connexion du spectre sémantique du nom « objet » ? Telle est notre question. Pour l’aborder il nous sera utile de réfléchir à ce que j’appellerai « l’effet szam » : l’exigence de la coupure, dans le champ sémantique du mot « objet ».

133 – Le mathématicien (R. Dedekind en personne) va bien nous y aider. Relisons les deux premiers paragraphes de Was sind und was sollen die Zahlen (Les nombres, que sont-ils, à quoi servent-ils ?). L’auteur énonce en commençant une clause abrupte dont la fonction est d’introduire un nom. « Dans la suite j’entends par “chose” (Ding) tout objet (Gegenstand) de notre pensée. » Et aussitôt il ajoute : « Pour pouvoir parler commodément des choses, on les désigne par les signes, par exemple, les lettres et on s’autorise à parler pour abréger de la chose a ou même de a, là où en réalité on veut dire la chose désignée par a, nullement la lettre a elle-même. »

14Les premiers mots de ce texte (« dans la suite ») méritent attention. Ils établissent entre le mathématicien et son lecteur potentiel une relation de complicité (« tu vas commencer à comprendre en me suivant ») et de distance (« ce que tu vas comprendre ne sera pas tout à fait ce que tu crois avoir compris »). Invité à entrer dans ce discours (qui va suivre) le lecteur est confronté à sa propre expérience d’être parlant : un être qui s’adresse à…, qui écoute, se trouvant mis en suspens dans le cours de la parole. En cela il croit savoir ce que « objet » veut dire. Nulle parole entendue, nulle expression proférée, fut-elle inchoative, ne s’abîme ni ne s’effondre pour toujours au lieu mobile de son énonciation. Le discours manifeste son propre maintien. En lui subsiste et prend racine, au prix de quelques déplacements non explicites, cela même dont il est question dans son énonciation et son écoute, survivant à son enchaînement linéaire, toujours successif et pour cela menacé. Surrection conjointe du sujet parlant et du « parlé » ; marque vide, appel de subsistance d’un contenu sensé ; ce dont il est question justement, que le discours concerne et proprement nommé « son objet ». Le mathématicien n’éprouvera donc aucune inquiétude à dire à son lecteur : j’appelle chose « tout objet de notre pensée ». L’usage du possessif (« notre ») se réfère bien à cet état de surrection conjointe du parlant et du parlé au sein du discours, état dont se soutiendra sans cesse l’enchaînement de la parole attendue, la suite précisément, qui ne sera pas vide. Reste l’intervention brutale du mathématicien dans ce domaine de marques vides, en manque d’objets, cependant exigés. « J’appelle chose » : clause performative, qui met le lecteur à distance, tout en le maintenant à proximité, en l’état de co-appartenance au champ de la parole. Intervention qui fait violence au lecteur. Le mathématicien lui donne cet avertissement : « Ce que tu crois reconnaître lorsque tu écoutes ou parles, tendu vers le sens de l’expression proférée, et que toi et moi nous nommons “objets de pensée”, je décide de n’en retenir qu’un seul caractère, nommé par moi “chose”. Je sais bien que tu as été à l’école. Sans cela tu ne me lirais pas. Tu as appris à écrire. Tu sais compter et calculer, avec des nombres justement. Pourtant dans le discours qui va suivre, tu ne vas plus t’y reconnaître. »

15Ainsi le lecteur est invité à prendre sa distance relativement à ce qui lui semble le plus proche : les « objets » de « sa » pensée. Moins solennel que la « Déesse » qui, dans le poème de Parménide, prononce l’interdit majeur (« De ce chemin écarte ta pensée »), le mathématicien n’en formule pas moins une interdiction, craignant que son lecteur, parvenu jusqu’au seuil de la « vraie mathématique », ne le franchisse jamais. Il dira donc « chose » pour « objet de pensée » ; et cela ne sera pas une simple substitution de nom, mais l’annonce d’un autre régime de la pensée « objectivante ». L’interdit subreptice mais non moins violent, pourrait se formuler ainsi : « Garde toi bien de penser sous le nom “objet de pensée”, ce que tu crois pouvoir penser ordinairement (tes souvenirs, par exemple ; tes souhaits, des “états de chose”, des événements, etc.). Tu dois interrompre le mouvement naturel qui t’y porte. Tout cela qui, pour toi comme pour moi, est tellement familier, tu dois accepter de moi que je le dénature ». Or, il y a bien quelque perversité dans le choix du mot « chose » (Ding). Car si le mathématicien avait voulu dépayser cet autre à qui il s’adresse (son nécessaire dual, un coadjuteur en somme) de sorte qu’il se sente étranger dans le champ ordinaire de ses propres pensées, peut-être eût-il choisi un nom plus insolite, ou même insignifiant dans la langue commune (« ob » ou « szam », pourquoi pas ?). Or le mot choisi est des plus familiers qui soient. Qui n’a vu des « choses » ? Qui n’a pas eu affaire à elles dans le quotidien du monde et à s’en remettre à leur manifestation ? Qui n’a pas mesuré leur entêtement à demeurer telles qu’elles se montrent, même faites de main d’homme ? La preuve en est que nos choses (nos montres, nos stylos, nos portefeuilles, etc.) semblent nous jouer des tours pendables ; disparaître, reparaître, demeurer cachées, être volées, etc., mais généralement nous faisons l’hypothèse qu’elles conservent leur « substance » : elles sont encore là, simplement ; mais pas tout à fait où nous les attendions ; le phénomène de leur dissolution spontanée et totale est, dans les circonstances ordinaires de la vie, supposé peu probable. Elles s’usent disons-nous ; mais l’usure est la marque de l’usage et témoigne pour la permanence du matériau. Sinon à quoi bon les collectionneurs ? Il y a donc bien quelque malice mathématicienne dans l’usage du mot « chose », tellement plus familier à vrai dire que les mots « objet de la pensée ». Tant et si bien que le lecteur côtoie l’abîme pour peu qu’il pense à son mouchoir ou à sa montre. L’affaire devait se passer plus tard entre D. Hilbert et G. Frege. Ce dernier faillit fracasser sa montre un jour où Hilbert exposant la méthode axiomatique avait déclaré « au lieu de “points”, “droites”, “plans”, je pourrais tout aussi bien dire “couteaux”, “fourchettes”, “verres”, sans avoir rien à changer à l’ordonnance des énoncés ». « Bon, dit Frege, voici un point ». Et il précipita sa montre sur la table. Or elle survécut à l’opération et Frege la rempocha tout aussitôt fidèle en cela à l’être de la chose qui est de n’être pas rien. « Je dis “objet de pensée”, mais surtout ne pense pas à ce que tu penses ordinairement. Je dis “chose” pour te mettre en garde. Mais surtout ne pense pas aux choses. » Telle est la malice du mathématicien. Il en est fort content puisque tout aussitôt il enchaîne « pour parler commodément des choses on les désigne par des lettres ». Ceci dit, il n’a plus rien à ajouter concernant les choses en question, sauf à montrer comment on peut s’en servir dans le discours et les traiter comme des éléments désignés et stables, matériaux formels d’opérations définies.

16« Parler commodément » est cependant une expression qui demande examen. Dans le partage quotidien de la parole nous parlons commodément des choses sitôt que nous les nommons. À vrai dire elles sont toujours déjà nommées dans l’usage commun d’une langue. Et la « commodité » de la dénomination consiste en ceci qu’il n’est pas nécessaire que la « chose nommée » soit là en personne dans sa singularité présente pour pouvoir être repérée comme étant cela même que le nom désigne, ou concerne, car il pourrait désigner tout autre chose que ce qu’il paraît ordinairement désigner. Il reste que qui se sert des noms et les tisse dans le discours, maintient dans ce discours tout le poids (problématique) des choses, au cœur même de leur absence. Une fois encore le mathématicien s’adresse à l’être parlant qui l’écoute et l’invite à faire usage des noms. Or ces noms ne peuvent être que minimaux puisque les « choses » qu’il importe de nommer ne ressemblent en rien à ce que cet auditeur connaît déjà en fait de choses : en rien, sauf en ceci qu’elles ne sont pas rien et qu’elles exigent la « dénomination ». La « dénomination » s’insère ainsi dans la marque vide où manque un réel dénaturé. La présupposition du mathématicien est ici que son lecteur sait écrire, et qu’il connaît les lettres qui constituent l’alphabet de sa langue naturelle. Mais le mathématicien va les détourner de leur usage langagier, les arracher au « mot » et à la « phrase », et les poser dans une pure fonction de désignation. Cette surrection de la « lettre » au sein des chaînes signifiantes usuelles en fonction dans la langue, constitue proprement le germe de la coupure que nous cherchions à repérer. La force de désignation du mot qui a fonction de nom passe entièrement dans ce signifiant pur et minimal qu’est la lettre, qui est ainsi posée en état de « surrection » au sein des chaînes signifiantes. Si bien que ce que Dedekind appelle ici « chose » est le référent quelconque d’un signifiant minimal. Ce qui l’autorise à parler de la « chose a », alors qu’il entend parler de la « chose » désignée par « a ». Il parlera donc des choses a, b, c, etc., en affectant ces lettres de marques (indices) indéfiniment itérables, il disposera d’une « infinité » de « choses », c’est-à-dire de « non-riens » désignés. De sorte que cette surrection de la lettre établit ce pur signifiant dans la fonction de marque vide pour du réel indéterminé, mais supposé déterminable. La lettre est l’index d’une marque vide pour un objet ; c’est pourquoi Dedekind prend soin de préciser : a n’est pas la lettre « a » mais la « chose » désignée par « a ».

17Le « dual » du mathématicien (son « envers » associé) est informé désormais qu’il aura affaire à un univers de « lettres » et qu’il aura le droit de les considérer comme des choses autonymes. Encore convient-il de lui faire découvrir ce qu’il peut en faire. Arrêté à ce point le mathématicien éprouve une nouvelle contrainte à l’égard de son partenaire. Puisqu’il doit le conduire à parler de ces « choses », il faut bien qu’il lui montre comment elles peuvent entrer en relation. Dès ce moment il doit chercher à le tenir en éveil, de façon qu’il demeure toujours fidèle à l’instance de la lettre. Il exigera de lui que, se gardant de toute contamination sémantique, il effectue à la lettre les opérations dont le discours mathématicien précise les procédures. Mais dans le même temps le mathématicien ne peut oublier qu’il a affaire à un sujet parlant pris tout comme lui, dans la connexion inébranlable des chaînes signifiantes, et donc des signifiés auxquels éventuellement, elles font référence : des signifiés possibles en somme, mais non nécessairement présentés, ces « objets de pensée » précisément dont le mathématicien n’avait pu faire l’économie en présentant son discours. Ici se manifeste le double excès en fonction de quoi va se jouer la question du statut de l’objet. Excès de l’ordre de la lettre, infinité des possibilités d’écriture, toujours indéfiniment disponibles et itérables. Excès de l’ordre du signifié possible. Capturé par la lettre dans sa fonction signifiante, le signifié laisse un reste, quelque chose comme un « dehors » non présenté, mais cependant concerné, un horizon en quelque sorte. Dans le couple (« a », a) qui fait fonction de présentation de la « chose », « a » et a sont chacun pour son compte les représentants d’un « être en excès ». Et s’il n’en était pas ainsi pourquoi cette exigence d’avoir à désigner la chose, pourquoi établir la lettre (simple marque) dans une fonction signifiante ? Il n’appartient pas au mathématicien en tant que tel d’assumer thématiquement une telle situation. Mais il la soupçonne et se trouve concerné par elle. Ce qui apparaît bien dans la façon dont il définit la plus indispensable des relations entre « choses », c’est-à-dire leur identité (et du même coup leur différence). « Une chose, dit-il, est définie complétement par tout ce qui peut être dit ou pensé d’elle : une chose a est la même que b (ou identique à b) et b est la même chose que a, quand tout ce qui peut être dit ou pensé de a peut être dit ou pensé de b et que tout ce qui vaut pour b peut aussi être pensé de a. » Et il ajoute : « le fait que a et b ne sont que des signes et des noms pour une seule et même chose est indiqué par le signe a = b et aussi bien par b = a ». Et tout aussitôt il énonce la clause de transitivité de la relation notée « = ». Et ainsi les choses seront comparables selon les relations « = » et « ≠ ». Voilà qui semble aller de soi. Pourtant c’est un coup de force aussi violent que le précédent : « J’appelle “chose tout objet de notre pensée ». Et la violence essentielle consiste, dès la première phrase, dans l’usage sauvage qui est fait du quantificateur universel « tout », appliqué (si l’on s’en tient à la lettre de ce qui a été dit précédemment) à des « choses » autonymes (a, b). Les présupposés qui autorisent l’usage de ce quantificateur sont en effet fort lourds. Ils témoignent de l’engagement ontologique préalable du mathématicien dans l’univers idéal des pures significations.

18Et de fait l’expression utilisée par Dedekind, « tout ce qui peut être dit ou pensé [de la “chose”] », appelle quelques remarques. D’une part la chose nommée a est prise dans l’horizon des prédicats potentiels qui lui conviennent (par leur médiation possible). Ces prédicats ne sont pas nécessairement déterminés d’avance par le seul usage de la lettre « a » qui nomme la « chose ». Quels qu’ils soient ils doivent cependant être exprimables. Le seront-ils en leur totalité, livrés et exhibés dans leur teneur actuelle ? Certainement pas, puisqu’ils ne sont pas déterminés d’avance : la nomination n’exhibe pas les prédicats mais seulement leur support exigé (leur subjectum), et c’est pourquoi sans doute le mathématicien emploie l’expression « peut être dit » et non l’expression « est dit ». Il en résulte que l’usage du quantificateur « Tout » ne peut se référer à la totalité actuelle et effectivement exhibée des prédicats de la « chose ». C’est donc au champ dans lequel s’articule, en vertu d’un système de règles, leur enchaînement exigé que le mathématicien se réfère ici. De sorte qu’il sous-entend que pour définir complétement la « chose », de façon quelle demeure identifiable, il n’est pas nécessaire qu’il soit en mesure d’énumérer tous les prédicats lui convenant. Si bien que « Tout » signifie aussi bien « Pas tout », mais juste ce qu’il est nécessaire de concevoir d’eux (les prédicats dits essentiels) pour pouvoir clôturer le domaine dans lequel les prédicats inconnus encore pourront être accessibles selon les règles constitutives du champ. Règles plus ou moins strictes (depuis la simple exigence de non-contradiction jusqu’aux exigences draconiennes d’une constructibilité explicite et effective). Si bien que ce qui exige d’être pensé sous le nom de « chose » n’est pas simplement le couple (« a », a) mais le triplet (« a », a, P*) « a » P* désignant le champ indéterminé encore mais supposé réglé des prédicats possibles, c’est-à-dire un domaine de pures significations. Domaine qui doit avoir sa forme, sa consistance et son invariance propre. Sinon jamais le mathématicien ne serait autorisé à dire « Tout ce qui peut être pensé de a, peut aussi être pensé de b ». Il faut bien pour cela que « ce qui peut être pensé de… » puisse à son tour être nommé, identifié et (relativement aux opérations qui le constituent du moins) invariant. Retenant ce caractère nous dirons que dans le triplet (« a », a, P*), P* désigne un champ d’objets idéaux. Cette médiation des champs d’idéalité, nécessaire pour pouvoir « parler des choses », affecte la lettre elle-même. Dedekind n’écrit pas « a » = « b » pour formuler l’identité de la chose a et de la chose b. L’écriture « a » = « b » serait absurde, puisque que prises en tant que marques, les lettres « a » et « b » sont distinctes. Il écrit a = b. Et il ajoute aussitôt ce commentaire : le fait que a et b soient des signes pour la même chose, est indiqué par le signe a = b. On peut se demander : où est la « chose » dans cette écriture, puisque a comme b sont simplement des signes ? Des signes, soit. Mais non exclusivement des marques. La « chose » est passée tout entière du côté de l’idéalité, c’est-à-dire du côté du domaine réglé des prédicats possibles. Elle est posée comme pôle d’unité subsistant et lui-même idéal du champ de détermination de ces prédicats. Du même coup la lettre qui la nomme passe à l’idéalité. Elle ne se confondra avec aucune de ses occurrences, aucune de ses réalisations matérielles. C’est à cette condition seulement que, prises en fonction signifiante, les lettres peuvent être dites substituables, dans la forme a = b, pour signifier le même pôle d’unité et la même collection de prédicats : c’est-à-dire la chose désignée dans sa plénitude attendue. Cette idéalité de la lettre, Dedekind n’a nul besoin de la dégager pour elle-même. Mais il lui donne accueil cependant dans l’écriture de l’identité « a = b », qui est un signe assemblant des signes.

19Cette référence à Dedekind n’avait d’autre but que de tenter de saisir sur le vif la production de ce que (en hommage à H.B. Curry) j’ai appelé « l’effet szam ». L’expression « szam » désigne ici, au sens usuel du mot « catégorie », un élément quelconque de la catégorie « lettre signifiante ». Et à travers son usage, c’est cette catégorie qui est concernée. C’est bien là le sens de l’écriture a = b qui désigne l’identité. C’était déjà celui du couple (« a », a) qui indique le caractère « autonyme » imposé à la « chose ». Si bien que la coupure au sein de l’excès des chaînes littérales marque la place de ce qu’il nous faut bien nommer maintenant, de son nom ordinaire, « objet ». Il importe alors de dire que, en son sens premier, est « objet » cela même qui exige une telle coupure (la surrection de la lettre en fonction signifiante, comme on l’a dit plus haut). Mais tout aussitôt surgit un autre excès, du côté de l’objet cette fois, il exige la détermination, c’est-à-dire l’organisation d’un discours qui doit produire ses règles, de façon que ce qui est marqué comme objet demeure sans cesse identifiable, ou soit éliminé comme pur semblant, ou déplacé vers d’autres chaînes signifiantes : auquel cas ce qui est marqué comme « cet objet » sera identifié comme « un autre objet ». Pour prendre un exemple bien connu, si j’énonce : « Bismarck fut le plus grand homme d’État français du xixe siècle », on pourra me dire que j’utilise le « signifiant Bismarck » comme pseudonyme d’un homme d’État français. On pourra me dire aussi que j’ai commis un lapsus. Et dans ce cas le déplacement au sein des chaînes signifiantes peut aller très loin. Mais toujours demeure la place vide que doit remplir une détermination « objectale » quelconque.

20Voici qui témoigne pour l’idéalité conjointe de la lettre et de l’objet. Cela Husserl l’avait bien exprimé dans son langage en soulignant le caractère catégorial de la « signification » (Bedeutung : unité du sens et du référent), prise en son sens propre de détermination objectale.

21Il en résulte qu’il n’est nullement essentiel que la marque vide de l’objet (qui exige la surrection de la lettre) soit remplie par ce qui se manifeste ordinairement comme de l’ordre du « réel » (le mot étant pris en son sens usuel de « réalité mondaine »). Il suffit que ce qui peut remplir le vide se désigne avec l’exigence invariante d’une synthèse d’identification, dont il apparaît comme le pôle idéal d’unité, toujours maintenu.

22Est-ce là le terme unique vers lequel font signe tous les sens possibles du mot « objet » ? Il me semble. Mais le vérifier en toute précision exigerait encore un long examen.

Notes

1 [Étudiants de deuxième année de formation universitaire.]

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