Version classiqueVersion mobile

Mathesis, idéalité et historicité

 | 
Jean-Toussaint Desanti

En quoi l’histoire des mathématiques peut-elle être utile au mathématicien ?

Note de l’éditeur

Initialement publié dans Raison présente, n° 31, Paris, Les Éditions rationalistes, 1974, p. 41-49.

Texte intégral

1C’est une question à laquelle il peut sembler que la réponse est évidente : en rien.

2En rien, ni du point de vue de la pédagogie, parce qu’il est inutile d’encombrer les étudiants de tous les détours de la pensée mathématique, ni du point de vue de la créativité, parce que l’apprentissage en mathématiques consiste à assimiler des techniques de pointe et à travailler là où les problèmes se posent.

3Je considère pour ma part qu’une telle réponse est totalement erronée. C’est ce que je veux essayer de démontrer.

4Pourquoi est-elle erronée ?

5Prenons un mémoire de mathématiques, par exemple, la thèse de Lebesgue. Il commence par un exposé historique. Il fait le compte des problèmes qui se posent ; il se rattache à la tradition de Cauchy. Puis, il se réfère à la recherche quasi contemporaine. Il s’inscrit spontanément dans un champ historique. Cette référence explicite au passé immédiat est instructive pour nous. Elle signifie que, lorsqu’un mathématicien prend conscience du fait qu’il a affaire à un problème contemporain, il s’inscrit dans une tradition qui a en elle déjà tout un poids de méthodes. Son présent est un présent traditionnalisé, stratifié.

6À la première question, anodine, de l’utilité de la réflexion sur l’histoire des mathématiques, nous sommes donc contraints d’en substituer une autre qui, elle, n’est pas anodine : si le mathématicien qui travaille est inscrit dans une certaine situation historique, alors la question se pose à nous de savoir s’il est possible d’éclairer ce concept de situation historique :

7Que veut dire l’expression « histoire » lorsqu’il s’agit de mathématiques ?

8Cet éclaircissement, à supposer que nous puissions le produire comme il convient, est-il de nature à éclairer en retour l’enchaînement des gestes créateurs du mathématicien ?

9Est-il possible de produire un certain mode de connaissance de la façon dont se produisent les concepts mathématiques, dont s’organisent et s’enchaînent les théories, au point de paraître, à un moment donné, contemporaines avec une tradition ?

10Cette connaissance exerce-t-elle un effet sur les initiatives créatrices du mathématicien, et lequel ?

11Est-elle de nature à engendrer une pédagogie plus profonde que la pédagogie usuelle, parce qu’elle serait alors capable d’éclairer les motivations ? Dans ce cas, comment les deux pédagogies peuvent-elles s’articuler l’une sur l’autre dans un enseignement qui se voudrait rationnel et efficace ?

12Voilà toutes les questions que je voudrais évoquer sans pouvoir, bien sûr, apporter de réponses à toutes. Je ne retiendrai donc que celles qui me semblent vraiment essentielles.

13Et tout d’abord, que veut dire l’expression « histoire des mathématiques » ?

14Le mot « histoire » s’entend en deux sens :

  • c’est d’abord, en un premier sens, l’historiographie, c’est-à-dire, l’ensemble des démarches par lesquelles on essaye de déterminer ce qui s’est effectivement passé. Par exemple, qui était Lagrange, sur quoi travaillait-il, comment faisait-il ? Dans son sens le plus faible, l’histoire est ce qui maintenant se dit du passé lorsqu’on veut déterminer la manière dont les choses se sont effectivement passées ;

  • en un deuxième sens, l’histoire désigne aussi l’objet même de l’historiographie : un certain déploiement supposé effectif, un mode d’enchaînement dans le temps des événements, des conduites, des produits de l’activité humaine et des formes sous lesquelles cette activité s’est exercée.

15On suppose que tout cela a été l’objet d’expériences quotidiennes dans le passé, et s’est articulé en un système d’état de choses qui a été et qui n’est plus.

16Les deux sens se recouvrent ; ils sont intériorisés l’un dans l’autre. Il est bien évident que la médiation de l’historiographie est nécessaire pour définir l’état des choses auquel on n’accède qu’à travers des monuments. D’autre part, la médiation du sens fort, c’est-à-dire la position de l’objet, est nécessaire pour que le projet même d’histoire soit possible. Autrement dit, l’historiographie ne consiste jamais qu’à découper dans le champ des monuments un ensemble d’objets dont on suppose qu’ils témoignent pour un état de choses qui a été effectivement vécu. Dans ce sens, le passé n’est qu’un présent ancien. La façon dont ces deux médiations s’articulent l’une sur l’autre constitue la difficulté propre au concept d’histoire.

17La difficulté est celle-ci : en ce qui concerne l’objet, nous ne disposons pas d’un modèle adéquat nous permettant de déployer la connaissance du mode de production effective de ce que chaque monument veut dire. Nous ne disposons pas d’une histoire totale. Il est clair que si nous disposions de ce modèle, si nous pouvions donner un sens au concept d’histoire, si nous pouvions le replacer dans une histoire sociale avec tout ce qu’elle comporte, la question serait résolue. L’histoire des mathématiques serait alors une histoire régionale.

18La faute théorique essentielle serait ici de vouloir suppléer à cette absence, et de proposer une idée de développement, de récupérer les histoires partielles au sein d’une histoire globale. C’est ce qu’ont fait Hegel et tant d’autres. C’est une tentation à laquelle il faut, à mon avis, résister, si on veut aborder correctement le problème qui nous intéresse, à savoir : « Quel est le sens de l’expression « histoire » lorsqu’il s’agit de mathématiques ? »

19Nous allons indiquer d’abord que les concepts mathématiques, comme tous les objets, ont une manière propre d’exister dans le temps. Ils existent avec des propriétés paradoxales, ou du moins difficiles à penser ensemble.

20On dit que ces objets sont transtemporels : une fois qu’un théorème a été démontré il reste vrai, il continue à servir, mais pas nécessairement sous la même forme ; il peut être intégré à une autre configuration théorique, mais en tant que résultat, il subsiste.

21Il y a, pour le concept mathématique, une différence fondamentale avec les autres monuments. Si je considère le Panthéon : c’est un monument, un témoignage de l’architecture du passé. À quoi sert-il ? Il sert à être vu ; il porte jusqu’à nous l’indice d’un certain passé. Si je considère encore le théâtre d’Épidaure : il sert à être vu, il témoigne d’un passé, on peut même y représenter des pièces. Mais pour présenter des spectacles au théâtre d’Épidaure, il n’est pas nécessaire de reconstruire le théâtre d’Épidaure. Un théorème, par contre, n’existe comme vestige du passé que dans la mesure où vous le refaites ; en tant qu’énoncé il n’est rien d’autre qu’une instruction ; si vous ne le refaites pas, il n’a pas de sens pour vous. Voilà donc une espèce particulière de monument qui témoigne à condition d’être réeffectué par celui qui en est le témoin.

22Nous dirons donc que la transtemporalité des concepts mathématiques n’est effective que si on peut les réactualiser et les reproduire dans un ensemble d’opérations qui constituent le mode d’existence du concept.

23Cette réeffectuation n’est pas de n’importe quelle nature ; elle s’opère dans un certain domaine théorique, elle mobilise certains instruments, utilise des méthodes de démonstration, des déplacements de concepts, des règles de déduction. C’est donc dans un champ théorique dont on dispose qu’on peut réactiver le théorème comme monument. Il n’a d’existence qu’intra-mathématique. Or les systèmes d’effectuation possèdent cette propriété d’être différenciés. Effectuer, c’est effectuer d’une façon spécifique, dans un certain style. Il arrive d’ailleurs que des modes d’effectuation distincts coexistent dans le temps. Il y a des œuvres contemporaines chronologiquement et qui ne sont pas du tout contemporaines du point de vue de la structure des domaines dans lesquels s’effectue la réactivation des théorèmes déjà disponibles.

24Dès lors, nous dirons que, si cela est vrai, nous sommes conduits provisoirement à la conclusion suivante : que, du fait de la nature spécifique des objets, la mathématique met en mouvement des champs théoriques différenciés, articulés les uns sur les autres, dans lesquels les résultats obtenus à un instant donné ne sont pas simplement capitalisés, mais y sont encore intégrés à neuf, reproduits en des systèmes de connexion encore inédits, par la mise en œuvre de formes de connexion spécifiques et à chaque fois dominantes. Par exemple la théorie des ensembles a constitué un moment ce matériau nouveau, ce point où l’édifice mathématique trouve un centre, où les concepts s’enchaînent.

25De là, alors, dérivent quelques conséquences méthodologiques qui concernent l’historiographie et que j’exposerai en trois points :

  • respecter la règle de transtemporalité ;

  • respecter la règle de réactivation ;

  • respecter la règle du caractère spécifique des systèmes d’effectuation intra-théoriques.

261) Respecter la règle de transtemporalité.

27Qu’est-ce que cela veut dire ? Cela veut dire que l’on ne peut être historien des mathématiques sans être un peu mathématicien. Il faut d’abord pratiquer les mathématiques, car c’est un monument qui ne demande pas seulement à être regardé, ni décrit. Il n’y a pas de « lecture » passive des mathématiques.

282) Respecter la règle de réactivation.

29Le mathématicien historien ne peut faire autrement que de répéter le passé à partir de la configuration mathématique dans laquelle il se trouve. Il ne peut que ressaisir le passé, en tant que la situation mathématique dans laquelle il se trouve l’a déjà décanté. C’est donc à partir de techniques de pointe effectuables et effectuées qu’il a pour tâche de réinterpréter ce que disent les monuments du passé. C’est ce qu’ont fait les bourbakistes, par exemple, lorsqu’en racontant l’histoire du calcul infinitésimal, ils disent qu’Archimède a formé des sommes de Riemann. C’est ainsi qu’on reconnaît le caractère proprement mathématique de la création – si création il y a – d’Archimède.

303) Respecter la règle du caractère spécifique des systèmes d’effectuation intra-théoriques.

31C’est une règle qui s’articule avec la deuxième, mais la contredit d’une certaine manière. Que veut-elle dire ? Elle veut dire qu’il ne faut pas traiter tous les champs de réactivation comme s’ils étaient homogènes.

32Revenons à l’exemple d’Archimède : dire qu’Archimède a formé des sommes de Riemann, c’est saisir dans les méthodes de quadrature la nature d’un concept dont il ne savait pas qu’il l’avait créé. Mais la question qui se pose est alors celle-ci : comment fonctionne en son champ le concept archimédien de quadrature ? Il importe, bien entendu, de produire la démarche récurrente par laquelle on raccorde les concepts dont on marque ainsi la fonction. Mais il faut aussi rapporter ces concepts à la forme de mathésis dans laquelle ils ont été produits et maniés.

  • opérer avec l’objet ;

  • réactiver en situant la catégorie de concepts qui apparaît dans ce monument comme effectuable par nous aujourd’hui ;

  • la rapporter au champ dans lequel elle a effectivement fonctionné.

33Ces trois démarches doivent être mises en œuvre ensemble et dans leur connexion. Le seul fait d’en passer une sous silence vicie complètement la démarche historique. En se contentant de la première, on aura une vue linéaire des points de l’histoire dans un temps successif. De là à imaginer qu’il y a un certain mouvement les reliant les unes aux autres, que l’une arrive juste à temps pour relayer l’autre, il n’y a qu’un pas, qu’il faut se garder de franchir. Avec la première et la deuxième démarche, on aura une histoire qui va courir le risque de l’illusion rétrospective. Quand les bourbakistes disent qu’Archimède a fait des sommes de Riemann, ils savent que c’est là un abus de langage.

34Cette erreur cache une vue téléologique de l’histoire où un point de maturité donne la clé de ce qui précède, comme si ce qui a précédé était le germe de ce qui est maintenant visible.

35C’est pourquoi il me semble absolument décisif de respecter en outre la troisième règle.

36Ce qui nous permet d’exclure d’emblée deux manières de pratiquer l’histoire qui sont exclues parce qu’elles manquent leur objet :

  1. l’histoire comme catalogue, ce que j’appellerai le degré zéro de l’histoire ;

  2. la téléologie naïve.

37Nous dirons donc que la démarche par laquelle on remonte depuis l’état présent des théories vers le passé des mathématiques, engendre un double mouvement : l’un par lequel les résultats se décantent ; l’autre par lequel les formes de mathésis se défont, se déconnectent. Si bien que l’histoire effective des mathématiques, le chemin de retour, ne consiste pas en la simple accumulation linéaire de faits, mais bien en la mise à jour du mouvement par lequel ce que nous avons appelé des mathésis se structurent et se remplacent. Nous sommes alors confrontés au problème suivant :

38Qu’appelle-t-on mathésis ?

39Partons d’un exemple : nous ne pratiquons pas les mathématiques comme les pratiquaient les Grecs, ni même Euler, sauf sur certains points. Que signifie cette distance ? Comment l’interpréter ? Les Grecs avaient affaire à une autre mathésis que celle que nous connaissons aujourd’hui. Comment le savons-nous ?

40Partons du corps de la mathématique grecque. Nous avons là un corpus d’énoncés auxquels nous accédons à travers des traités, les Éléments d’Euclide, le traité d’Archimède.

41Dans une phase de description, à lire les traités, nous ne découvrirons jamais que nous avons affaire à une mathésis. Pour le découvrir il faut faire subir à ce corpus un certain traitement, une dissociation ; il faut dissocier le corpus en fonction du rôle qu’y exercent les concepts qu’on y discerne. Les concepts mathématiques n’ont pas tous le même indice de connexion. Il en est de faibles de ce point de vue ; il en est d’autres qui permettent de construire de nouveaux énoncés et exercent une fonction normative.

42Dès l’instant où l’on met en évidence ces différents statuts, on distinguera des régions d’énoncés différenciés. Par exemple, le livre V ou le livre X des Éléments d’Euclide, qui me semble être une de ces régions fondamentales.

43La troisième démarche est donc la mise en évidence d’un mécanisme de production des énoncés, c’est-à-dire que dans cette démarche de dissociation on va faire apparaître des règles de maniement des objets qui ne sont pas nécessairement explicites dans le corpus lui-même, mais en fonction desquelles ce corpus fonctionne.

44À quelle espèce d’objet a-t-on alors affaire ?

45A-t-on affaire à un livre, à une suite d’énoncés ? Pas du tout. On a affaire à l’idée d’un système dans lequel les énoncés, que l’on lit dans leur enchaînement linéaire, ont été en connexion les uns avec les autres avant même qu’ils ne soient produits comme énoncés explicites ; un système dans lequel les énoncés sont présents, pour ainsi dire, comme de simples possibilités pour l’enchaînement des gestes de production réglés qui les met au jour comme énoncés explicites. C’est ce champ dans lequel le système est produit et reproductible que j’appelle mathésis.

46Il faut alors faire une quatrième démarche : rechercher dans ce système ce qui le constitue comme système, c’est-à-dire rechercher s’il existe des régions de thématisation, si ces systèmes fonctionnent comme des mécanismes producteurs pour d’autres énoncés.

47Si on conduit cette analyse avec suffisamment de patience et de soin on s’aperçoit que les énoncés sont en relation les uns avec les autres dans un système qui comporte :

481) des règles de fermeture morphologique, que vous pouvez voir immédiatement et qui vous indiquent qu’il y a certains énoncés qui ne seront pas recevables dans le corpus.

49Par exemple, on ne pourra pas dire « une sphère ne peut pas être peinte en rouge » parce que, dans les données initiales, il n’y a rien qui nous permette de constituer « être peinte en rouge » ;

502) on mettra en évidence entre les éléments qui constituent le système, des flèches de médiation de sous-systèmes ; je ne dirai pas des applications parce que le mot est trop pauvre, mais disons des chemins privilégiés et sélectifs ;

513) ces règles de fermeture et ces chemins marquent dans le champ lui-même, des domaines d’observables, des impossibilités d’aller plus loin, que nous interprétons aujourd’hui comme des manques. Ils témoignent du degré de maturation de la mathésis ;

524) en poursuivant l’analyse on parvient à mettre en évidence des formes de rationalité susceptibles de s’investir dans des champs d’observables hétérogènes, pour peu que ces champs d’observables soient suffisamment élaborés et qu’ils soient l’objet de désignations non-équivoques ;

535) on aboutit, à revoir la chose en son ensemble, à la constitution d’une région normée, d’une région de libre circulation des objets, constituée de la base de ce matériau initial pauvre, où les énoncés et les problèmes sont enchaînés les uns aux autres dans une relation qu’on ne peut pas défaire.

54C’est ce champ de possibilités ainsi constitué que j’appelle une mathésis.

55Pour nous résumer nous dirons donc :

56L’analyse du corpus, conduite selon les étapes que nous avons distinguées, aboutit à la reconnaissance, au cœur du corpus lui-même, d’un système fermé du point de vue morphologique, constitué d’unités de systèmes théoriques dont certains peuvent se rabattre les uns sur les autres et exercer les uns par rapport aux autres une fonction normative ; les concepts élaborés dans ce mouvement sont susceptibles d’un investissement hors du champ lui-même, dans un domaine d’observables déjà défini ; ceci permet alors de définir la mathésis comme cette région parfaitement explicite en ses lois, dans laquelle les objets circulent avec une possibilité d’investissement normatif à l’égard de ce que nous appelons le champ d’expérience.

57On remarquera qu’une mathésis ainsi présentée fonctionnera de deux façons :

  • comme un système soumis à ses propres règles d’autorégulation ;

  • comme un système soumis à ses contraintes aux frontières.

58Les possibilités d’investissement dépendent de la façon dont les champs d’observables sont dominables de l’extérieur du système, la façon dont, dans la vie sociale, ces champs ont déjà été criblés, catégorialisés, et répondent à une désignation univoque et explicite. Par exemple : le nombre négatif. Chez les Grecs, il y a une contrainte aux bornes de ce système. La première contrainte est le mode de représentation du nombre comme architecture d’unité (l’unité n’avait pas de représentation).

59À l’autre borne, les Grecs avaient tout de même une certaine expérience des dettes. Ils savaient parfaitement que si on a trois talents de dette et qu’on n’en possède qu’un, on a moins que rien. Mais ils n’ont jamais pensé cela, parce que leur rapport d’échange économique se situe entre personnes, si bien que la dette n’est pas pensée comme un avoir négatif, mais comme l’avoir d’un autre. C’est le droit d’un autre, non seulement sur le bien, mais aussi sur la personne. Ici l’observable n’est pas criblé, il n’est pas l’objet d’une désignation explicite qui permette d’en faire l’élément d’un calcul.

60Cet exemple de contrainte montre qu’un certain type d’objet qui n’est pas produit en fonction de ses règles propres, n’est pas admis à l’intérieur de la mathésis. L’objet n’est pas admis parce qu’il n’existe pas. Cela ne veut pas dire qu’il soit absent du système, mais qu’il n’a pas lieu d’y être. L’objet n’est rien dans le système, ni en dehors, il n’est même pas pensé.

61Nous sommes alors peut-être en mesure de répondre à notre question fondamentale :

62Que signifie le mot « histoire » lorsqu’il s’agit de mathématique ?

63Nous dirons d’abord ce qu’en aucun cas elle ne saurait être :

  • elle n’est pas la simple récollection des énoncés valides et de leur distribution selon une chaîne chronologique ;

  • elle n’est pas la mise à jour d’un pur développement linéaire que l’on poursuivrait pour ainsi dire catégorie par catégorie en supposant un évènement épistémologique par lequel ces concepts surgiraient les uns des autres ;

  • elle n’est pas la simple reprise réflexive opérée par un sujet en fonction de la norme dont il serait le seul porteur.

64Que serait-elle alors ?

65Elle serait l’effort positivement poursuivi pour décrire la structure des formes de mathésis, découvrir et dégager leur mode propre de fonctionnement, tester leur possibilité d’investissement des domaines observables, mesurer les contraintes aux frontières de la mathésis, et là où elles existent, mettre en évidence les exigences de rupture que ces contraintes induisent. L’objet de l’histoire des mathématiques devrait être de montrer comment une mathésis fonctionne, comment elle disparaît.

66Restent alors les questions que nous avions posées en deuxième lieu :

67Ainsi pratiquée, l’histoire est-elle utile au mathématicien ?

68Je crois qu’elle est non seulement utile, mais indispensable, tant du point de vue pédagogique que du point de vue de la créativité.

691) Du point de vue pédagogique :

70Si l’histoire des mathématiques est conduite de la façon que nous venons de décrire, elle produit une pédagogie telle que, chaque fois qu’un concept est introduit, en même temps qu’elle le définit comme il doit l’être, elle opère un retour vers la racine et éclaire le chemin pour lequel, dans la configuration mathématique où ce concept a été produit, il était utile et nécessaire. Ainsi l’histoire donne un sens à ce qu’on appelle l’expérience en mathématiques, c’est-à-dire que les concepts ne sont pas tellement des indices pour des opérations, mais qu’ils sont eux-mêmes le produit d’opérations qui, elles, n’ont pas été produites gratuitement.

712) Du point de vue de la créativité :

72L’histoire ainsi pratiquée peut arriver à un effet de déblocage en laissant de côté l’actuelle manière de traiter un problème pour remonter aux sources.

73À la question posée je répondrai donc :

74Pourvu qu’elle soit éclairante, qu’elle montre la genèse des concepts, qu’elle rende manifeste les motivations de leur production, l’histoire des mathématiques est non seulement utile, mais nécessaire au mathématicien pour se situer dans la configuration mathématique dans laquelle il travaille.

Le texte et les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont sous Licence OpenEdition Books, sauf mention contraire.

Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search