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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

L’explication en mathématiques

Note de l’éditeur

Initialement publié dans L’explication dans les sciences, colloque de l’Académie internationale de philosophie des sciences avec le concours du Centre international d’épistémologie génétique (Genève 25-29 septembre 1970), Paris, Flammarion, 1973, p. 57-71.

Texte intégral

1Parler d’explication en mathématiques peut passer pour paradoxal, si l’on se réfère au sens usuel du mot « explication ». Il n’existe pas en mathématiques, semble-t-il, de champ des phénomènes que concerneraient les démarches explicatives et les formes habituelles de la causalité paraissent n’y exercer aucune fonction. Les mathématiques se présentent comme des systèmes d’énoncés qui, ne renvoyant qu’à eux-mêmes, ne comportent pas, en leur sein, les « données » observables ni les problématiques expérimentales auxquelles ces énoncés s’appliqueraient. – Se référer à la mécanique rationnelle et on sait qu’elle a fourni le modèle d’un concept strict (laplacien) de causalité serait ici jouer sur les mots : ce que les équations fondamentales de la mécanique permettent de « prévoir », ce ne sont pas des théorèmes mais des états de mouvement –. Or, lorsque nous parlons d’explication en mathématiques, ou bien nous ne voulons rien dire de sensé, ou bien nous entendons produire un concept de l’explication qui soit effectuable au sein même de théorèmes mathématiques et concerne leurs énoncés.

2La question posée appartient donc au genre « métathéorique ». Il s’agit de faire porter l’examen sur des corps de propositions de statut mathématique et de rechercher si, parmi ces propositions, il en est qui exercent, par rapport à d’autres, une fonction « explicative ».

3Un tel problème est loin d’être artificiel. Une simple anecdote nous en convaincra. Un ami mathématicien m’a raconté récemment la première classe où il fut initié à la géométrie. La scène se passe à la fin des années 1930, en France, dans un petit lycée de province, dans une classe de quatrième, devant des élèves dont l’âge moyen était de treize ans. Le professeur, après avoir dit que la géométrie est la science qui étudie et démontre les propriétés des figures dans l’espace, a énoncé qu’une figure est composée de « points ». Et pour bien montrer « de quoi » étaient fabriquées ces figures, il a pris un morceau de craie, l’a fortement appuyé contre le tableau noir, y a fait apparaître un minuscule cercle blanc et a proclamé : « Regardez bien, voici un point ». Très contents de voir un « point », les enfants attendaient avec quelque intérêt, sans doute, qu’on leur en dessinât d’autres et qu’on leur apprît à construire ces fameuses figures dont on leur disait que les points constitueraient le matériau. C’était une attente raisonnable après un tel point de départ. Mais le professeur ne l’entendait pas de cette oreille. Il s’est mis à prononcer d’étranges paroles. « Maintenant, a-t-il dit, je vais vous définir ce que vous avez vu. Notez bien ce qui suit et ne l’oubliez pas : un point est ce qui ne comporte ni largeur ni longueur ». Aussitôt, un nuage de surprise et de consternation flotte sur la classe. Les doigts se lèvent. « Mais, monsieur, pourquoi l’avez-vous dessiné au tableau ? – Ah mais, c’est que sur le tableau il n’y a pas de vrai point. » Effarement de l’auditoire : « Qu’est-ce qu’un vrai point ? » Et les questions fusent « Pourquoi ? Pourquoi ? ». Ici, paraît-il, le professeur s’est fâché : « Pourquoi ? – Quel « Pourquoi » ? Il n’y a pas de pourquoi. Ce que je vous ai dicté c’est la définition. Entendez-vous ? la dé-fi-ni-tion. Une définition, en mathématiques, cela s’apprend et cela se respecte, c’est tout. » Aussitôt les têtes se courbent et les porte-plumes grattent sagement les cahiers. Les enfants soupçonnaient naïvement qu’une définition ne peut tomber du ciel et qu’on doit bien avoir quelque droit à proclamer ce qu’elle énonce. Le « ce », le neutre dont la seule détermination était négative (« ce qui ne comporte pas… ») leur paraissait à juste titre inquiétant. Ils avaient raison de ne rien comprendre, d’autant qu’on prétendait leur « définir » ce qu’ils avaient « vu », ce qui était une absurdité. Mais le professeur, ne voulant pas justifier son droit, pratiquait le terrorisme. « Contre le terrorisme des définitions » : tel pourrait être le sous-titre de l’exposé qui va suivre.

4Nous poursuivrons par quelques réflexions moins anecdotiques et de nature à nous montrer le sens spécifique pris, dans le corps des énoncés mathématiques, par les expressions « champ de phénomènes » et « système d’explication ».

5Nos premières réflexions seront tirées de l’allure manifestée par le développement historique des mathématiques. Nous prenons ici le mot de « développement » sans aucune malice, pour signifier simplement qu’Archimède, par exemple, a précédé Riemann (ce qui ne signifie nullement qu’il l’a engendré) et que la mathématique de Riemann est plus riche et plus organisée que celle d’Archimède (ce qui ne signifie nullement qu’elle est l’épanouissement de « germes » contenus dans la mathématique d’Archimède). Débarrassée de ces métaphores botaniques l’expression « développement » pourra peut-être passer pour acceptable.

6À prendre les choses en bloc, il est raisonnable (et d’ailleurs habituel) de distinguer dans ce développement trois niveaux successifs. Un niveau purement opératoire qui recouvre tout l’essentiel de la mathématique pratiquée par les anciens Égyptiens et par les Chaldéens. Un niveau de conceptualisation analytique et d’organisation discursive : la mathématique y manifeste le statut d’une science démonstrative déployant les propriétés de classes d’objets posés en leur substance éternelle, exigences dont on sait qu’elles furent spécifiques des mathématiques grecques. Enfin un niveau (où nous vivons encore) de synthèse structurale : dégagement depuis le milieu du xixe siècle des structures fondamentales (structures algébriques, structures d’ordre, structures topologiques). Ce mouvement s’est manifesté dans toute sa pureté après la création des concepts cantoriens. Cette énumération ne désigne pas, à proprement parler, des « phases du développement », mais de simples points de repère propres à manifester le profil tendanciel qui caractérise le « progrès » des mathématiques.

7À chacun de ces niveaux est mis en œuvre un mode de justification spécifique des énoncés mathématiques.

81. Au premier niveau se constitue un champ de rationalité dans lequel s’enchaînent des modalités opératoires de caractère essentiellement métrique. Le résultat obtenu par l’enchaînement opératoire (désignation d’un certain « quantum ») n’est pas, en ce cas, « expliqué ». Il est cependant « justifié ». La justification se présente ici comme un protocole analytique renvoyant à un code explicite capable de devenir un objet d’apprentissage : décomposition des chaînes opératoires en segments élémentaires ; énoncés des règles permettant de composer entre eux ces segments de telle sorte que le résultat obtenu renvoie en tous les cas et d’une manière univoque à l’usage des règles. La justification consiste ici à maintenir et à vérifier dans le résultat la compatibilité opératoire des gestes du « calculateur ». Les « problèmes » se trouvent alors décomposés en classes de problèmes dont chacune est caractérisée par un problème typique : le type de problème se trouvant défini par le mode de décomposition en segments élémentaires des chaînes opératoires mises en séries pour sa formulation, c’est le mode de segmentation qui différencie en ce cas les espèces de « problèmes ». Un énoncé mathématique se présente ainsi comme un chaînon dans une suite d’instructions dont l’objet est d’obtenir la segmentation convenable et le mode de composition requis par la segmentation produite. L’énoncé décisif est ici la formulation du résultat, qui n’est que le dernier élément de cette chaîne. La vue récurrente que nous prenons du passé des sciences nous permet de désigner ce qui « manque » à cette mathématique – (un « manque » qui n’existe que pour nous). Les champs d’objets n’y sont pas pris comme thèmes – (ou du moins ils ne sont pas pris comme thèmes mathématiques). Ne sont pas non plus explicitement dégagées ni déployées les formes logiques d’enchaînement. Les suites opératoires restent refermées sur elles-mêmes, ne renvoyant à rien d’autre qu’au code qui les explicite. C’est pourquoi on ne peut dire que soit produit ici un mode d’explication du savoir opératoire.

92. Au second niveau (celui de la mathématique grecque) il devient possible de parler d’explication. La démonstration en effet n’est pas un simple protocole analytique codifiant la découverte et la reproduction d’un résultat. D’une part, sa mise en œuvre se réfère au système architectonique des énoncés et, hors de ce système, elle n’est pas possible. Dès ce moment est pris pour thème le domaine d’objets spécifiques de la mathématique, avec le domaine des propriétés qui leur conviennent. Ce domaine n’est pas un simple champ opératoire, mais un champ discursif d’énonciations possibles réglé au point de départ par la mise à jour d’une région minimale à structure logique bien définie : région d’hypothèses dans laquelle se trouve présenté et précisé le matériau à partir duquel sont enchaînés les énoncés de propriétés d’objets. Dès lors change de statut le concept de problème : ce concept se complique. Au niveau opératoire il semble manifester encore l’ancienne structure : par quelle segmentation opératoire obtenir, à partir de conditions données, un résultat souhaité (par exemple comment obtenir la duplication du cube ? comment obtenir une expression du périmètre du cercle ? etc.). Mais ce n’est là qu’une apparence : la « segmentation » s’opère ici à partir de conditions initiales déjà intégrées en une chaîne discursive dont on ne peut enfreindre les règles de compatibilité. Autrement dit le système des énoncés devient l’objet d’une manipulation opératoire mise en chantier conformément aux règles logiques qui dominent la compatibilité du discours. D’autre part les êtres mathématiques dont les énoncés expriment les propriétés sont posés désormais comme des « essences » dont une définition explicite précise le contenu et, parfois, le mode de construction. La construction elle-même se meut tout entière au plan de l’essence. Les instructions qui permettent de la réaliser ne sont plus simplement des indications de gestes convenablement ordonnés. Ces gestes sont eux-mêmes pris et définis dans la trame du discours logique qui enchaîne les énoncés et délimite les êtres possibles. Dans cette configuration de la mathesis, connaître un objet, c’est en donner raison (logon didonai) : c’est-à-dire exhiber, en partant d’hypothèses convenables, l’enchaînement réglé des énoncés qui permettent de déployer les propriétés enveloppées par la définition. Les Éléments d’Euclide, les grands traités d’Archimède sont construits selon l’ordre de ces raisons.

10Nous pourrions alors dire, à bon droit, que les chaînes opératoires, les énoncés métriques, dont disposaient les mathématiques égyptiennes et chaldéennes trouvent, dans la mathesis des Grecs le lieu de leur « explication ». Et de fait on pourrait aisément isoler dans les Éléments les propositions qui reprennent et précisent des résultats métriques déjà écrits dans les tablettes chaldéennes. La démarche explicative consisterait ici à reproduire ces résultats dans le domaine circonscrit par l’usage des chaînes démonstratives. Les champs opératoires anciennement dominés ne sont pas abolis. Ils sont intégrés, sous une forme spécifique, au champ de la démonstration.

11Cette fonction explicative cependant, la mathématique grecque ne l’exerce pas à l’égard du corps de ses propres énoncés. Certes cette mathématique ne se borne pas à reproduire, dans son domaine théorique propre, des résultats déjà anciens. Dans ce domaine elle circonscrit des espèces de problèmes et définit des classes d’objets, ouvrant ainsi des champs opératoires dont la mathématique ancienne ne disposait pas. Deux exemples bien connus : les proportions d’Eudoxe et les quadratures d’Archimède. La théorie des proportions permet de résoudre le problème de la mesure des segments de droite. En cela le système des « objets » mathématiques construits à cet effet (les proportions) constitue, aux nombres négatifs près, l’équivalent opératoire de notre corps des réels. Cela veut dire qu’il rend aux mathématiciens grecs les mêmes services : constituer le domaine idéal dans lequel on puisse poser et résoudre, d’une manière compatible avec les hypothèses déjà reçues (principe d’Eudoxe, par exemple) certains problèmes de mesure. Mais cette équivalence opératoire n’entraîne nullement une équivalence thématique. Le domaine ainsi construit n’est pas lui-même pris comme objet d’une théorie mathématique : le concept de continu arithmétique reste absent de l’horizon de la mathématique grecque. À plus forte raison, la structure algébrique du domaine ainsi construit (groupe abélien multiplicatif) reste-t-elle hors d’atteinte. C’est dans un autre champ (celui des « grandeurs » continues) que se trouve produit l’objet thématique auquel est rapporté le système d’opérateurs nommés « proportions ». Une remarque du même ordre vaudrait pour les quadratures archimédiennes. Les méthodes d’Archimède permettent, dans le plan, d’attribuer une mesure déterminée à certaines espèces de surfaces bornées par les courbes usuelles. Dans ces cas spécifiques le concept de quadrature est bien, du point de vue opératoire, équivalent à notre concept d’intégrale définie. Et aujourd’hui, nous sommes portés à y découvrir l’« ancêtre » de ce concept. Mais il n’est pas, thématiquement, équivalent à lui. Il n’est pas dégagé, ni posé lui-même, comme « objet » de propriétés mathématiques, invariantes relativement aux espèces de problèmes pour lesquels il est construit.

12Nous dirons alors que, relativement aux champs opératoires déjà disponibles, la mathématique grecque produit un domaine d’explication. Du même mouvement s’engendre un champ réglé de productivité théorique, au sein duquel les concepts sont repérés par la médiation des chaînes démonstratives qui permettent de rapporter les propriétés d’objets aux concepts ainsi distingués. Ce qui ne se produit pas c’est un discours du troisième degré, qui, s’appliquant au réseau des concepts eux-mêmes, découvrirait leur mode d’engendrement en les rapportant aux structures plus générales qui fondent leur statut de concept. De là sans doute vient la distance (signalée par Archimède lui-même dans le Traité de la méthode) entre démarche heuristique et démarche démonstrative. Entre la richesse de l’invention et la contrainte de la logique le tissu demeure lâche. Chaque espèce de problème semble exiger un effort spécifique d’ingéniosité : c’est-à-dire l’exploration tâtonnante des relations sous-jacentes à une structure trop riche pour être effectivement dégagée. Tout se passe alors, au niveau de la mathématique elle-même, comme si l’enchaînement démonstratif contraignait, sans éclairer. La lumière est cherchée à un autre plan : celui de l’ontologie (cf. la théorie platonicienne des idées-nombres). Mais cette recherche, loin de combler la distance entre l’invention et la démonstration, l’aggrave encore, puisqu’elle déborde, semble-t-il, sur une autre « mathesis » que celle des mathématiciens.

133. C’est au troisième niveau seulement (celui des premières synthèses structurales) qu’il devient possible, au sens propre, de parler de la production d’un domaine d’explication intérieur au champ de la mathématique elle-même et concernant le corps de ses énoncés. Rappelons que ce troisième niveau (qui est encore aujourd’hui celui où vit notre mathématique) a été lent à se mettre en place. Son émergence a exigé d’abord l’éclatement des strictes normes logiques héritées de l’Antiquité : ces normes étaient reçues comme un obstacle à l’essor des techniques et des synthèses opératoires issues du développement de l’algèbre, de celui du calcul infinitésimal, et des exigences croissantes de l’investissement du « calcul » dans l’analyse des phénomènes mécaniques et physiques. Il suffit de penser, au moment où apparaît le calcul infinitésimal, aux sarcasmes d’Isaac Barrow à l’égard de la méthode d’exhaustion. Plus tard, au moment du plein essor du calcul, l’audace opératoire d’un Euler par exemple (cf. son traitement des séries divergentes) semble bouleverser les règles d’une logique usuelle. Mais, dans ce mouvement, vit et se vérifie la validité de la forme démonstrative, ainsi que l’exigence de non-contradiction immanente à sa mise en œuvre. Si riches et imprévisibles que soient les modalités opératoires, elles s’organisent en systèmes équilibrés et compatibles. À travers ces systèmes circule la forme du discours où s’enchaînent les énoncés. En ces points, où la forme démonstrative s’articule sur les conditions d’équilibre et de compatibilité des systèmes opératoires ramifiés, naît la possibilité du discours de troisième degré qui avait fait défaut à la mathématique grecque. Dès lors se manifeste, à l’intérieur des mathématiques, un domaine d’intégration et d’explication des corps différenciés d’énoncés, lui-même objet d’investigation mathématique. Ainsi devaient se dégager, de Riemann à Bourbaki (pour prendre arbitrairement deux points de repère) les structures fondamentales (structures algébriques, structure d’ordre, structures topologiques) qui sont devenues les « êtres » sur lesquels travaillent les mathématiciens. Nous ne pouvons retracer ici ce mouvement. Bornons-nous à un seul exemple, symétrique d’ailleurs de ceux que nous avons évoqués dans le cas de la mathématique grecque.

14Écrivons, dans la notation due à Leibniz, l’expression qui désigne le concept d’intégrale indéfinie : ∫ f(x) dx + k. Le symbole « f(x) » désigne une quantité finie. Mais « dx » est inquiétant. Les règles opératoires du calcul exigent qu’il soit « négligeable », à telle enseigne que, x désignant une quantité donnée on puisse toujours lui substituer x + dx. La « quantité » désignée par dx se comporte comme si on avait le droit, sans se tromper, de l’égaler à 0. Elle ne peut cependant être strictement égale à 0 sans entraîner la nullité de f(x) dx, ce qui priverait de toute utilité le symbole ∫ f(x) dx. Ainsi apparaît un ensemble de schèmes opératoires dont il importe de justifier l’usage. Aussi longtemps que n’ont pas été dégagées, sur ce point, les structures mathématiques propres à permettre de formuler une théorie rigoureuse des limites, la question du statut de « dx » n’a pas échappé aux nuages de la métaphysique. Leibniz lui-même a sur ce point opéré un glissement du plan mathématique vers le plan ontologique. En mathématiques le concept de grandeur infiniment petite (« évanouissante ») ne doit pas être pris dans « sa rigueur métaphysique » : ce concept est en effet contradictoire avec un axiome fondamental (lemme d’Eudoxe), constitutif du domaine des grandeurs. Leibniz conseille donc aux mathématiciens de considérer « dx » comme une fiction commode (au même titre que √ – 1) et destinée « à faciliter les opérations du calcul ». Mais ce qui est posé comme fictif au niveau des mathématiques (qui n’a pas affaire à des « êtres », mais à de pures relations abstraites), ne l’est plus au niveau de l’ontologie, c’est-à-dire au niveau de la connaissance des « substances » monadiques. Le domaine des monades (le système des points réels, ou « métaphysiques ») est posé comme ordonné, dense et continu. La loi de continuité peut ici s’appliquer sans restriction dans l’infini actuel, puisqu’on est débarrassé du souci d’y sauvegarder les propriétés archimédiennes de l’espace usuel des « grandeurs ». À ce niveau le concept de « différentielle » trouve le lieu archétypique de sa justification. L’espace des monades, qui n’est pas l’espace des grandeurs, constitue ainsi le domaine dans lequel l’introduction bâtarde de « dx », et son usage dans le calcul, trouvent leur « explication ». Ainsi, bien qu’il n’existe pas, à proprement parler, une théorie mathématique explicite de l’espace monadologique, Leibniz, en dépit du glissement opéré par lui, a bien vu que l’explication d’un système de schèmes opératoires devait renvoyer à la structure du domaine d’objets que les opérations composent. Faute de pouvoir, dans le champ des grandeurs, construire une extension non-archimédienne où l’on pourrait composer des quantités infinitésimales, il a construit un domaine ad hoc, dans lequel, selon une relation d’ordre dense, pourrait être composée l’infinité actuelle des êtres substantiels, étant bien entendu qu’un domaine dans lequel la relation d’ordre est interprétée comme désignant une subordination ontologique, n’est pas nécessairement astreint à vérifier l’axiome d’Archimède.

15Aujourd’hui sur ce point la hache de guerre est enterrée, et nous n’éprouvons plus d’inquiétude au sujet de « dx ». D’une part ont été dégagés, au cours du xixe siècle, les concepts structuraux propres à désigner les domaines dans lesquels sont effectuables les opérations de l’analyse. Un exemple significatif nous est fourni par le système des nombres réels, dégagé de Cauchy à Weierstrass. Dans ce système, archimédien, dense, complet et compact (si on lui ajoute des points à l’infini), il n’y a plus la place pour les « infinitésimaux », ni pour les « quantités évanouissantes ». Bien qu’il arrive encore à Cauchy de parler, pour ne pas bouleverser le langage usuel, de « grandeur infiniment petite », le mot « infiniment » ne trompe plus, de son temps déjà, le mathématicien praticien. Dire que dx est « infiniment » petit n’est qu’un abus de langage pour « dx < ε quel que soit ε > 0 ». La quantité désignée par dx est donc une quantité finie inférieure à une quantité finie quelconque (qu’il est donc permis, pour cela, de prendre arbitrairement petite). Ce sont ici les propriétés structurales du système des réels (structure de corps topologique) qui autorisent les opérations fondamentales de l’analyse, et donnent la raison de leur succès. Ces propriétés d’ailleurs ne sont pas l’exclusivité du corps des réels. D’autre part il a été montré récemment, depuis 1962 (cf. A. Robinson, Théorie des fonctions de variables complexes sur un corps non archimédien (1962) et Non Standard Analysis (1966)) qu’il est possible, moyennant des précautions métamathématiques précises, de construire une extension non-archimédienne du corps des réels, et dans le système ainsi défini, de donner à « dx » la vieille « interprétation » leibnizienne (un « infiniment petit donné »). Dans ce cas aussi, seules les propriétés structurales du domaine défini, précisées dans un corps d’axiomes, autorisent l’interprétation des objets maniés et composés dans les champs opératoires. Le glissement leibnizien vers l’ontologie n’est plus nécessaire.

164. Les remarques qui précèdent nous permettent de donner à l’expression « explication » un sens acceptable. Nous dirons, par exemple, que les Éléments d’Euclide contiennent, relativement aux schèmes opératoires élaborés par les calculateurs chaldéens et égyptiens, un domaine d’explication. Cela veut dire que ces schèmes sont reproduits dans un champ théorique spécifique, au sein duquel les objets, dont les propriétés autorisent l’usage des schèmes opératoires, sont pris comme thème explicite d’un discours de statut démonstratif. Ce discours, lui-même constitué en système, engendre, en vertu des règles qui le définissent et des opérations que l’usage de ces règles permet, une chaîne de champs opératoires spécifiques, susceptibles de devenir à leur tour objet d’une thématisation théorique. Ainsi la mathématique se renoue à elle-même en produisant, dans le corps de ses énoncés, ce que nous pouvons à bon droit appeler « des champs de phénomènes », c’est-à-dire des domaines ouverts de possibilités opératoires que la théorie s’efforce d’intégrer, sans qu’elle dispose toujours nécessairement des moyens de réaliser cette intégration. De même nous dirons que les concepts structuraux dégagés par ce qu’il est convenu d’appeler « les mathématiques modernes », constituent un domaine d’explication pour les méthodes et les théorèmes élaborés dans l’analyse classique. Ainsi ce ne fut pas un accident historique qui a porté les analystes du xixe siècle à trouver dans le système des nombres réels le domaine privilégié propre à permettre de définir les concepts et les opérations de la théorie des fonctions. L’adéquation du domaine d’objets aux concepts prenait racine, au plus profond, dans des propriétés de la structure plus générale (corps topologique) dont le système des réels n’était qu’un exemple. Il s’est trouvé simplement que les opérations qu’autorisait la structure ont été maniées bien avant que soit dégagé le concept de la structure elle-même. Cela veut dire que la mathématique opère, qu’elle opère toujours, avant que soit rendu explicite et lui-même maniable le domaine de causalité au sein duquel les opérations trouvent la raison de leur succès et la justification de leur équilibre.

17Ces remarques nous introduisent tout naturellement à des réflexions d’un autre ordre, qui ne concernent plus l’allure tendancielle du développement des mathématiques, mais la contexture des théories elles-mêmes.

18Dans une théorie mathématique élaborée tous les théorèmes ne sont pas de même statut. Il en est de « fondamentaux ». Il en est de faible portée. Il en est que les mathématiciens qualifient de « profonds ». D’autres énoncent des propriétés utiles, mais dont on a l’impression qu’ils se tiennent « à la surface ». Ces métaphores demandent examen. Et, pour ne pas alourdir notre exposé sous la diversité des exemples, reprenons celui qui nous a servi tout à l’heure : le système des nombres réels, noté .

19Soient les deux énoncés suivants :

  1. l’addition des nombres réels est associative ;

  2. r + 0 = r (r étant un nombre réel quelconque)

20Ces énoncés appartiennent à l’espèce rassurante. Il en irait de même des énoncés précisant selon quelles conditions sont permises, sur les réels, la multiplication et la division. Énoncés rassurants en ceci qu’ils permettent de vérifier que l’extension produite à partir du corps des rationnels par les méthodes de Cantor ou de Dedekind nous donne de nouveau un système ayant la structure de corps. On peut donc se mouvoir d’un système à l’autre en gardant invariantes certaines des lois de structure, circonstance qui paraît toujours fort agréable à un mathématicien.

21Mais ces énoncés ne nous renseignent en rien sur les propriétés spécifiques qui distinguent le corps des réels et qui, finalement, lui donnent son intérêt théorique.

22Considérons en revanche les trois énoncés suivants :

  1. Sur toute suite de Cauchy est convergente.

  2. Soit une suite infinie d’intervalles emboîtés de , telle que pour n croissant la longueur de l’intervalle de rang n tende vers zéro. Il existe alors un nombre réel et un seul commun à tous les intervalles de la suite.

  3. Soit un intervalle borné fermé de . De tout recouvrement ouvert de cet intervalle on peut extraire un sous-recouvrement fini.

23Nous dirons de ces énoncés qu’ils caractérisent d’une manière profonde le corps des réels.

24Le premier (qui exprime à la fois la structure d’ordre de et sa structure de groupe) autorise la fonction de comme domaine privilégié de l’Analyse sur  : toute suite convergente est une suite de Cauchy et réciproquement toute suite de Cauchy de points de est convergente. On dispose donc d’un moyen rigoureux (critère de Cauchy) permettant d’établir sur la convergence d’une suite.

25Le second énoncé est peut-être plus important encore : il permet de démontrer l’isomorphisme du groupe additif du système des Réels et de son groupe multiplicatif positif. Par là tout un champ opératoire depuis longtemps enraciné dans la pratique de l’analyse (l’usage des fonctions logarithmiques) se trouve « récupéré » et expliqué au sein d’une structure adéquate.

26Quant au troisième énoncé, sa portée est telle, qu’il exige que nous nous y arrêtions plus longuement.

27En 1872, Heine démontre qu’une fonction continue en tout point d’un intervalle borné fermé y est uniformément continue. La continuité uniforme est, pour une fonction continue, une propriété fort souhaitable, puisque, le δ ne dépendant pas de la variable, il suffit de se le donner une fois pour toutes. Il était donc important de produire un théorème énonçant les conditions de continuité uniforme : on disposerait par là d’une classe bien délimitée de fonctions, pour ainsi dire, régulières. Dans le cours de la démonstration, Heine s’était donné une facilité opératoire (ou du moins, ce qui, à l’époque, pouvait passer pour un détour utile). Raisonnant sur la droite, il avait enfermé tous les points du segment [A, B] en une suite infinie d’intervalles ouverts. Il avait ensuite extrait de cette suite infinie, une suite finie ayant la même propriété. Il supposait qu’une telle opération était toujours possible pour les points appartenant à un intervalle borné et fermé de la droite. Mais il n’avait pas démontré l’énoncé autorisant l’opération.

28En 1894, dans sa thèse, E. Borel, voulant démontrer la convergence d’une certaine suite de fonctions analytiques, énonce ce théorème (d’une manière d’ailleurs incorrecte, puisqu’il dit « points d’une droite », là où il faut dire « points d’un intervalle borné fermé ») et le démontre (en raisonnant, cette fois, comme il convient, sur un intervalle borné fermé). Le théorème devait se révéler, par la suite, comme un outil extrêmement fécond. On sait l’usage qu’en ont fait Borel, Lebesgue et Vitali dans la théorie de la mesure des ensembles. En particulier il permet à Borel de démontrer l’unicité de la mesure des ensembles mesurables (B). La raison de cette productivité théorique devait apparaître un peu plus tard. La propriété énoncée par le théorème de Heine-Borel devait être prise comme définition caractérisant une espèce d’espaces topologiques, les espaces compacts. La généralisation ainsi obtenue devait permettre d’étendre les opérations de l’Analyse bien au-delà des domaines usuels pour lesquels elles avaient été, au point de départ, définies. Par là les concepts de fonction uniformément continue, de suite uniformément convergente (par exemple) devaient gagner une partie beaucoup plus générale que celle qu’ils avaient dans le domaine, exemplaire mais restreint, des nombres réels. Les lois de structure (le corps de théorèmes caractérisant les compacts) venaient ainsi justifier après coup l’« astuce » opératoire de Heine et expliquer le succès d’un énoncé que Borel, en 1894, considérait comme un lemme utile.

29Nous pourrions multiplier les exemples : ainsi la classe (plus restreinte que celle des compacts) des espaces de Hausdorff compacts. Espaces particulièrement agréables : en raison de leurs propriétés de séparabilité ils sont assez riches en ensembles ouverts pour qu’on puisse y définir des fonctions continues autres que les constantes, sans que (comme dans le cas de l’espace discret) on ne puisse y définir que des fonctions continues. Si, de plus, on astreint ces espaces à être des espaces métriques, ils auront toutes les vertus qui ont fait la joie de nos pères, les analystes du xixe siècle.

30Si nous reprenons l’enchaînement des événements, depuis Heine jusqu’à Hausdorff, nous pourrons dire que le théorème de la continuité uniforme de Heine appartient au champ des phénomènes. Il en va de même des théorèmes d’unicité des mesures de Borel et de Lebesgue. Que ces énoncés appartiennent au champ des phénomènes, cela veut dire qu’ils sont expressifs de structures plus générales dont les axiomes ne sont pas produits, et qui, par suite, ne peuvent pas être maniées comme structures. Le lemme de Heine-Borel constitue un premier degré d’explication : il établit une propriété fondamentale des réels, qui les constitue comme champ de définition de la continuité uniforme, comme domaine privilégié d’investissement du concept de mesure. Le champ fondamental (bien que non nécessairement ultime) d’explication apparaît dès le moment où est dégagé le concept d’espace compact, et où, au sein de la structure ainsi définie, on est en mesure de produire un corps de théorèmes. Dès ce moment les opérations réglées que les analystes avaient pratiquées dans le cas particulier des réels trouvent leur raison. Les énoncés qui les fondent sont reproductibles dans des domaines plus généraux que ceux pour lesquels ils avaient été primitivement démontrés.

31Ces remarques nous permettent d’aborder notre conclusion. Les mathématiques produisent à l’intérieur d’elles-mêmes des régions d’explication. En général ces régions se présentent comme des corps d’énoncés qui permettent à la fois de reproduire des énoncés stratifiés en d’autres régions (plus anciennes) de la théorie, et d’engendrer des classes de problèmes dont la donnée permet de dégager des structures explicites dont le corps d’énoncés productifs n’est que l’expression. Ces régions d’explication deviennent ainsi elles-mêmes des « êtres mathématiques » et renvoient à leurs propres règles opératoires. Il en va ainsi de l’exemple que nous avons choisi : la structure de corps ordonné complet, localement compact. Il en est allé de même au xixe siècle du concept de groupe. Il en va aujourd’hui de même du concept de catégorie. Mais les structures ainsi dégagées ne restent pas inertes. Dès l’instant qu’elles sont reconnues maniables dans la forme requise par leur définition, elles engendrent des possibilités opératoires infiniment riches. À l’intérieur du domaine qu’elles ouvrent apparaissent alors de nouveaux « champs de phénomènes » qui vont déclencher la mise en œuvre de structures encore plus puissantes. Et l’on ne voit pas de raison que ce mouvement s’arrête un jour.

32Revenant à notre point de départ nous pouvons alors répondre à la question : qui avait raison, des enfants qui voulaient savoir « pourquoi un point est un point ? » ou du professeur qui proclamait « un point est un point » ? – Les enfants assurément. Ils n’étaient pas encore des mathématiciens. Mais leur demande était de la nature de celles qui, si elles sont satisfaites, procurent à la mathématique le champ de sa propre intelligibilité.

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