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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

L’invention mathématique et le sens

Note de l’éditeur

Initialement paru dans Les langages, le sens et l’histoire, Noël Mouloud dir., colloque international, Lille, Publications de l’université de Lille III, 1975, p. 351-367 ; discussion p. 368-379.

Texte intégral

1L’exposé, d’une certaine manière, se présentera comme une tentative de négociation. En effet, tous ceux qui, aujourd’hui, s’occupent d’épistémologie, qu’il s’agisse d’épistémologie des sciences dites démonstratives, ou d’une autre espèce d’épistémologie, sont sommés, avec ou sans terrorisme, d’avoir à choisir entre deux formes de recherche. L’une que j’appellerai une épistémologie « réductrice », l’autre que j’appellerai, simplement pour donner un nom, une épistémologie « reproductrice ». La première s’oriente vers le Sujet, qui peut être pris dans un sens strict à la manière du sujet transcendantal, ou tout simplement dans un sens plus ouvert ; mais en tous cas, cette référence au Sujet pose comme tâche à l’épistémologie de rechercher la façon dont les énoncés, élaborés au niveau le plus abstrait, et le plus effectuable dans le champ de la science démonstrative, renvoient à une sorte de sol où, en premier, se ferait l’expérience des noyaux de sens, dont il est, par médiation et par dénaturation successives, question, au niveau des systèmes formellement élaborés. J’appelle cette recherche : réductrice, en me réservant de voir comment elle se réalise. L’autre recherche, celle de l’épistémologie reproductrice, se situe au niveau des systèmes théoriques élaborés eux-mêmes, délimite leurs règles de fonctionnement, isole les systèmes ou les champs d’objets idéaux qui sont maniés selon les règles de fonctionnement, et se donne pour tâche, une fois cette forme particulière d’installation dans le système théorique réalisée, de la reproduire dans un autre discours, qui n’est pas absolument homogène au discours initial, mais, qui, par rapport à lui, est destiné à produire une démarche auto-fondatrice. Dans ce mouvement, l’origine est oubliée, elle est passée sous silence. On introduit pour ainsi dire, par cette recherche, un certain mouvement dans tout l’édifice de l’expérience et ce qui se situe hors de cette analyse est considéré comme muet, comme inexpressif, ou comme devenu indifférent.

2Il faut bien remarquer que le point de départ de ces deux manières de pratiquer l’épistémologie est le même. Le point de départ est constitué par les énoncés. On part de ce qui est dit ; lorsque Husserl écrit Logique formelle et logique transcendantale, il doit commencer par analyser ce que la logique dit d’elle-même, dans sa langue à elle. Et après cela, on défait l’édifice pour rechercher quels sont les champs, quels sont les noyaux qui sont à l’œuvre au niveau le plus abstrait. Donc on se donne au point de départ pour chaque cas le système d’énoncés. Dans le premier cas, on travaille sur le système d’énoncés en effectuant une série de réductions réalisées sur les énoncés stricts. Sous l’énoncé strict, on va lire le jugement. Sous le jugement, on va lire les noyaux de sens unifiés dans le jugement, on va rechercher quels sont les champs d’expérience, dans lesquels, en premier, ces noyaux de sens sont présentés, et c’est là que l’on dira que l’on a affaire au domaine dans lequel le sens se donne d’une façon originale, dans une évidence qu’on ne peut récuser, dans un contact immédiat avec les choses mêmes ; on dira qu’on a fait « la philosophie du corps d’énoncés » en question lorsqu’on a élucidé tout le cheminement de cette réduction. Dans le second cas, on prouve tout autrement, je l’ai dit tout à l’heure et je n’y reviens pas : on part encore du système d’énoncés, on s’y installe, et on montre son mode de constitution ; mais ce qui est alors fondamentalement posé, ce qui unifie les démarches de l’épistémologue, ce qui constitue le fond, la racine de ce discours producteur, c’est l’idée que, immanent au corps des énoncés tels qu’ils apparaissent dans leur écriture explicite, fonctionne un système qui n’est pas là, qui exerce sa médiation en chaque point du texte, et qu’il appartient aux théoriciens de « révéler » en chaque point, de reconstituer en chaque point. Voilà que nous sommes sommés : on nous dit : ou bien, vous allez pratiquer la seconde méthode, l’épistémologie reproductrice, et alors, bravo ! C’est très bien. Ou bien vous voulez pratiquer la première ? Mais alors vous accomplirez une tâche essentiellement différente.

3En ce qui nous concerne, nous allons chercher une voie moyenne. Il s’agit de négocier : alors nous allons chercher si, par hasard, des formes d’organisation qui sont propres à ce champ de manifestation du sens, ce champ de constitution (le sens donné dans une expérience supposée première), n’exercent pas une médiation au sein des systèmes d’énoncés canoniquement constitués dans une science démonstrative. Nous chercherons aussi, à l’inverse, si la forme systématique n’exerce pas, elle aussi, une médiation à l’intérieur des modes de manifestation et des modes d’enchaînement des sens, des significations : elle se met à l’épreuve dans les champs de l’expérience. J’ai bien dit : la forme. Il n’est nullement question des significations prises en elles-mêmes, mais des systèmes en tant qu’ils sont explicitement définis. Nous allons remettre tout cela en chantier. Supposons que tout ce que j’ai dit jusqu’ici soit du vent, que tout cela soit annulé, et partons sur de nouvelles bases, en nous demandant comment s’organise d’abord un champ de significations. Nous allons donc supposer un moment que l’un des deux couples auxquels se réfère chacune de ces pratiques épistémologiques fonctionne pour lui-même, et nous allons le voir fonctionner sur quelques exemples.

4Attachons-nous au premier pôle. Je prendrai l’exemple d’un champ pratique : par champ pratique, on peut entendre des choses bien différentes. Nous nous contenterons d’un exemple, le plus pauvre qui soit, une pratique artisanale. Il est bien entendu que c’est une abstraction, car la pratique artisanale n’existe pour ainsi dire plus, mais elle a existé et peut encore s’observer. Si vous êtes allés à Biot, une petite ville du Midi, vous avez pu voir des souffleurs de verre. Vous avez vu sortir quelque chose d’une matière informelle, d’une matière inerte. Qu’est-ce qui se manifeste dans cet acte ? Eh bien, supposons donc que nous sommes, nous, des spectateurs et qu’il y a quelques personnes, elles sont en général plusieurs, 4, 5, qui fabriquent devant nous, soit une coupe, soit un vase, soit un verre, soit quelque chose d’autre. Au moment où l’opération commence, nous nous trouvons en face de quoi ? Nous nous trouvons en face d’une chose possible, nous nous trouvons en face d’une matière encore inerte, informe, qui est le verre en fusion. Lorsque le souffleur le prend avec la pipette, qu’il commence à souffler, un « quelque chose » commence à exister, mais quoi ? Un quelque chose : un quelque chose qui a une certaine forme mais qui, à chaque instant, change de forme. Ce qui est saisi alors, c’est un autre possible, un possible plus déterminé que le premier. Du fait qu’une première forme a commencé à surgir, par exemple un ballon, on se demande : qu’est-ce que cela va devenir ? Cela peut ne rien devenir du tout, parce qu’il appartient toujours à l’opérateur de casser la chose s’il n’est pas content ; et alors, il recommence. Mais supposons qu’il persévère ; à ce moment-là va s’organiser à chaque pas, sous les yeux du spectateur, ce qu’on pourrait appeler une chaîne signifiante, dont au temps T1 l’élément qui se produira au temps T2 est pour ainsi dire attendu, attendu mais simplement possible, attendu mais non déterminé ; n’importe quoi peut surgir. C’est la boule qui est la forme initiale du verre, qui peut donner un vase, qui peut donner quelque chose d’autre. Donc nous avons affaire à une chaîne de manifestations qui, d’une certaine manière, vue du point de vue du spectateur, ne dépend pas absolument de lui, parce que le spectateur est là, ne fait rien, il regarde. Mais le regard du spectateur, la façon dont il attend, la façon dont il s’insère dans les gestes du souffleur de verre, est pour ainsi dire téléologiquement ordonnée par ce qu’il suppose être soit une forme floue, soit un projet, soit un ensemble d’intentions, dans lequel les gestes de l’opérateur s’insèrent eux-mêmes en une chaîne. Chaque mouvement de l’opérateur est pour ainsi dire pris dans la chaîne des actes possibles, et de telle sorte que la forme surgit à chaque instant des gestes producteurs qui s’insèrent en elle ; il se constitue une sorte de relation circulaire et indéchirable. Qu’est-ce qui est premier ? Nul ne peut le dire. Est-ce le geste qui se plie à la chose ? Est-ce la chose qui surgit du geste ? Personne ne peut casser, briser cette chaîne.

5Nous dirons donc que nous avons affaire ici à un champ dont la structure est la suivante. Fondamentalement, c’est un champ temporalisé, car tout cela « prend » du temps : un temps particulier, inséré au temps Tn dans la forme qu’a prise le champ, dans la forme qu’ont prise les objets et dont tous les éléments sont pour ainsi dire pris dans ce mouvement indéchirable. C’est cela que j’appellerai un champ de signification, un champ de manifestation du sens dans sa forme la plus élémentaire, la plus fruste. On remarquera que ce qui caractérise fondamentalement ce champ, c’est sa temporalité, qui vient de la chose même : son ouverture est la possibilité d’y désigner des enchaînements orientés : enchaînements orientés qui renvoient les uns aux autres, tous ces renvois se trouvant en dernier ressort dominés, dans le cas qui nous occupe, par le renvoi fondamental, le renvoi du geste à la chose. On dira donc pour employer des mots plus élémentaires, que le mode d’organisation de ces champs signifiants renvoie à quelque chose comme un champ de conscience, qui est à la fois celui du spectateur et celui de l’acteur. Que les regards du spectateur croisent ici les gestes de l’acteur et que, dans le moment où ce regard croise un geste, quelque chose, qui n’était pas, se montre, quelque chose qui n’était pas surgit et est reconnu à la fois dans la désignation du regard et par la désignation du geste producteur.

6Plaçons-nous maintenant tout à fait du côté opposé, du côté des systèmes logiquement constitués. Supposons que nous ayons écrit sur une feuille de papier ou au tableau les axiomes du calcul des propositions, pour prendre un exemple tout à fait rudimentaire, que nous ayons écrit les règles de substitution et que nous ayons écrit les règles de déduction. Nous avons écrit cela. Nous l’avons écrit au tableau. Le regard arrive et qu’est-ce que cela veut dire ? Cela ne veut rien dire du tout. On peut regarder indéfiniment et cela restera où cela est. Il n’y a pas de spectateur de ce qui est écrit au tableau. Vous pouvez le regarder, vous pouvez même le répéter, vous pouvez le recopier sur une feuille de papier, en faire des papillottes. Cela ne servira à rien. Pour que cela existe à la façon dont on a dit tout à l’heure que le geste du souffleur de verre existait et faisait exister le produit, il faut que vous pratiquiez quelque chose avec ces écritures. Si vous n’en faites rien, elles n’existent pas : il faut en faire quelque chose, c’est-à-dire qu’il faut démonter ces expressions, il faut faire travailler ces écritures, l’ensemble de ces écritures, qui n’est rien d’autre qu’un ensemble d’indicateurs d’opérations. En lui-même, il n’est pas. Or, si maintenant, vous êtes attentifs à la fonction de chacun de ces indicateurs, vous remarquerez que ces indicateurs sont d’une espèce particulière. Lorsque vous les prenez dans leurs fonctions indicatives d’opérations possibles : ils sont absolument dénaturés et détemporalisés. Vous pouvez très bien aller vous coucher et le lendemain les reprendre : cela ne changera rien du tout. Vous pouvez continuer indéfiniment : les choses sont écrites et l’indication est donnée. Elle est donnée ; elle est invariante. Il en va de même pour les désignations d’objets, pour les désignations de variables. Si l’on dit quelle désignation a été choisie, quelle sorte d’objet est désignée par tel signe, l’indication est, de toute façon, invariante. Si vous en changez, il faut que vous le disiez. Donc, là, vous avez affaire à un champ dans lequel les objets sont invariants, dans lequel les désignations sont invariantes, dans lequel les règles sont invariantes et qui, cependant, n’a d’existence qu’en tant que quelqu’un est prêt à exécuter les consignes que donnent ces désignations invariantes. Si nous reprenons ensemble ces quelques éléments ou ces quelques aspects, nous dirons que le système des écritures qui figure au tableau désigne cette espèce d’objet, qu’on appelle un objet idéal, un objet qui n’est nulle part, qui n’est qu’en tant qu’on fait quelque chose de lui, qu’on opère sur lui, qu’en tant qu’on l’enchaîne, conformément à ce qu’il désigne, en un ensemble d’opérations dont la règle ou dont les règles sont bien définies.

7Voilà donc deux pôles absolument antithétiques à ce qu’il semble. Nous allons expliciter un peu ces exemples, et faire en sorte que dans le premier se trouve travailler la forme du système, et que dans le second se trouve travailler la forme de manifestation du sens. Je n’en dirai pas plus ici puisque cette démonstration est le seul objet de mon exposé. En ce qui concerne le premier point, nous allons supposer par exemple que le souffleur de verre n’est pas un vrai souffleur de verre. Nous allons supposer que cela se passe sur une scène, et que souffler le verre est un élément dans un ballet par exemple. Alors il n’y a plus de verre, plus de feu, plus de pipette : il n’y a peut-être même plus d’objet. Cependant on reconnaît le geste.

8Comment interpréter cette reconnaissance ? Imaginons que nous filmions quelqu’un en train de marcher dans la rue. Sur la pellicule se trouve réalisée une image des mouvements du marcheur. La chaîne temporelle, transitivement et irréversiblement ordonnée, des mouvements se trouve appliquée d’une façon bi-univoque en une certaine région d’espace, la pellicule. La photographie a segmenté le mouvement en apparence continu en unités que je peux composer avec une certaine liberté : je peux projeter le film au ralenti, ou à l’envers. Chaque mouvement ainsi segmenté se trouve relié aux autres par des règles opératoires que je peux voir, si je projette mon film au ralenti, ou si je le réduis à une succession de plans fixes. Imaginons maintenant que je filme un ballet. Le film ne réalisera rien de plus qu’une application bi-univoque engendrant une image de la chaîne ordonnée des mouvements. Les éléments composés sur la pellicule ne sont jamais que des états du mobile. Le film ne me livrera jamais les éléments du ballet, et cela quelles que soient les manipulations que je lui fais subir. C’est qu’un élément de ballet n’est pas un simple mouvement. Il est le signe représentant une classe infinie de mouvements dont chacun est posé comme substituable à l’un quelconque des autres. Or ces possibilités de substitution renvoient à un code préconstitué. Tel mouvement de bras signifie un battement d’ailes : or sur la scène il n’y a pas d’oiseau. Dans la médiation du code le mouvement est désigné comme geste. Le geste brise l’ordonnance naturelle des mouvements en ceci qu’il manifeste en cette chaîne un autre ordre, une autre chaîne, dont les éléments ne sont plus des mouvements, mais des classes de mouvements. Chaîne toujours absente, qui jamais ne s’imprimera sur aucune pellicule, mais dont les médiations en chaque point de la chaîne temporelle la manifeste comme ballet.

9Que signifie notre exemple ? Simplement ceci. C’est qu’il existe des modalités de manifestation (la danse par exemple…) dans lesquelles les chaînes sensibles, telles qu’elles sont perçues, montrent une double articulation. D’une part l’articulation des mouvements, de l’autre l’articulation des gestes. Que dans la danse tout mouvement soit geste cela veut dire que la chaîne sensible ne fonctionne qu’en tant qu’elle s’inscrit dans la symbolique des gestes, dans cet ordre où un élément composable n’est plus un simple mouvement, mais un système réglé de possibilités de substitutions. Ici la médiation du système absent se lit dans la singularité de l’apparaître : c’est le bras, tel qu’il est vu, qui est l’aile. Et dans le geste du danseur qui ne souffle aucun verre, c’est le verre qui est présent.

10Nous reconnaissons la forme du système à ceci : que le mode d’apparition de ce qui est localement désigné ne l’est que par la médiation d’un mode dans lequel ce qui est localement désigné est pour ainsi dire détaché, arraché à la forme de prégnance primitive que la chose avait dans le champ simplement perceptif. On peut faire varier à l’infini ce genre d’exemples. Nous pourrions maintenant revenir vers le geste, le travail du souffleur de verre lui-même et nous demander : est-il lui-même à ce point arraché à toute espèce d’organisation systématique ? Il suffira d’une analyse un peu poussée pour voir qu’il n’en est rien, pour voir que l’attente du spectateur ne peut être remplie en dépit du caractère labile des manifestations qui se montrent dans ce champ, qu’en fonction d’une sorte de complicité tout à fait tacite, dont le code n’est jamais donné, entre les gestes du souffleur, le regard du spectateur et les exigences du matériau : toute geste constructif s’installe ici dans une chaîne qu’on ne peut briser, et dont chaque moment est toujours par rapport aux autres déjà passés dans une relation circulaire et indéchirable. Si donc on attend, si donc le temps de la chose semble ici envahir le temps propre du sujet qui vit cela en regardant simplement, en étant là et en durant, c’est sans doute que l’un et l’autre, spectateur et acteur, sont pris dans le mode d’organisation du champ pratique, dont ils ne peuvent plus se défaire ; et ce qui du point de vue du sujet, paraît comme étant simplement cette attente de ce qui va se produire est en revanche du point de vue du champ pris dans sa totalité, témoignage du mode de connexion des structures, des pratiques qui sont enchaînées, qui sont à l’œuvre dans ce champ. C’est donc encore ici la forme de la médiation du signifiant, dans une manifestation locale de ce qui est signifié, qui constitue le lieu même d’organisation, et qui par conséquent permet de rendre compte de caractères phénoménologiques que la conscience s’attribue à elle-même dans l’image de soi qu’elle se donne.

11Voilà donc établi le premier point, à savoir que la forme du système est co-présente au champ, en apparence indéterminé, de la manifestation du sens ; car si cela n’était pas, la manifestation ne saurait en aucun cas être attendue : elle serait totalement détemporalisée. Nous allons maintenant nous placer à l’autre pôle et vérifier le contraire. Au lieu de considérer un système formel comme un ensemble d’écritures figurant sur un tableau noir idéal, nous allons le prendre comme objet. Qu’est-ce que cela veut dire, prendre un système formel comme objet ? Cela veut dire d’abord essayer de voir quelle espèce de propriété on peut énoncer sur lui lorsqu’on le fait travailler, c’est-à-dire lorsqu’on exécute les consignes opératoires qu’il contient. Deuxièmement, et c’est là un sens plus complexe, cela veut dire le considérer dans le champ théorique où il a été exigé et produit. Un système formel n’est jamais tombé du ciel. Il n’est pas non plus l’œuvre de quelque mathématicien particulièrement vicieux et un peu sadique. En général il est produit comme « objet » au moment où s’est déjà constitué le corps d’énoncés partiellement, ou même totalement axiomatisés, mais qu’il apparaît nécessaire de reproduire en un ensemble d’écritures offrant toute sécurité. En ce sens on peut dire que la fonction de la mathématique formelle est de rendre précis les énoncés « vrais », mais encore flous, et de mettre au jour les procédures propres à rendre précis le concept de précision lui-même.

12Ainsi vus les « objets » de la mathématique formelle n’ont pas toujours existé. Par exemple le système formel nommé « calcul des propositions » a été édifié à un moment donné. Il a fait son apparition dans le champ de la mathésis et y a marqué sa place. La même observation vaut pour des espèces d’« objets » que l’on nomme « structures mathématiques ». D’elles aussi on peut dire : « Il fut un temps où elles n’avaient pas lieu d’être ». Bien qu’il nous arrive, pour peu que nous pratiquions résolument, comme Bourbaki, une histoire explicitement récurrente, de dire d’Euclide qu’il a travaillé dans une « structure de groupe abélien multiplicatif positif » par exemple, il n’en demeure pas moins vrai que jamais la structure de groupe n’a été l’objet explicite et thématique de la mathésis grecque. La structure de groupe a été dégagée et apprise. Une telle structure ne peut être dite « exister » qu’à partir du moment où on sait y démontrer des théorèmes. Considérer comme objet un système idéal d’énoncés c’est donc le penser dans sa relation à ce champ où le mode de maniement des êtres que les énoncés concernent (ici « les structures ») a été constitué, dans un mouvement où a été institué l’apprentissage de leurs propriétés. Ce champ est également celui où les « structures » travaillent, où l’activité mathématicienne se renoue à elle-même au plus près de ses productions.

13Énonçons d’abord, quitte à y revenir plus longuement, quelques-unes des propriétés qui me semblent convenir à ce champ. Nous dirons de lui en premier lieu, qu’il est un champ « intra-théorique ». Cela veut dire qu’il est préalablement normé par le système des règles de construction d’objets propre à un complexe de théories dont on dispose déjà. Dans cette mesure, il n’existe pas dans les sciences démonstratives de démarche absolument inaugurale, de création théorique ex nihilo, ni non plus d’origine radicale. Toute formation théorique nouvelle se déploie sur le fond d’un domaine déjà théorisé, à un certain degré du moins. Cela est vrai même de la mathématique grecque dont on s’est plu longtemps à souligner qu’elle portait la marque d’un absolu commencement. Cela est vrai de l’essor des formalismes au cours de ce siècle. C’est pourquoi nous dirons, en deuxième lieu, que ce champ est un domaine d’apprentissage. En lui s’articulent les problèmes, se manifestent les exigences de rupture et les appels au remplissement des marques vides. En lui se repèrent les motivations profondes qui portent à proposer de nouveaux objets. Or ces objets doivent s’articuler sur ceux dont on dispose déjà. Aussi hardies et neuves que soient les extensions produites, la mathématique procède par rétention et intégration des formes rationnelles déjà acquises. Ainsi se constitue un domaine relativement homogène dans lequel les objets produits dans le passé sont non seulement repérables, mais aussi de nouveau sans cesse effectuables. C’est pourquoi nous dirons, en troisième lieu, de ce champ qu’il est un domaine d’effectuation : un domaine qui ne vit que des pratiques qu’il appelle, des remaniements qu’il induit, des vérifications qu’il impose, des langages qu’il exige. Il ne se réalise que dans le moment où s’articulent en lui, dans toute leur précision, les exigences différenciées propres aux enchaînements opératoires. Ici, le « livre » n’existe que lu au tableau noir. Or un livre c’est toujours du passé. Et cependant, mobilisé au tableau noir (ou dans la tête du mathématicien producteur de théorèmes, ce qui revient au même) le voici qui s’ouvre sur quelque chose d’encore indéterminé, sur l’avenir de la théorie. Qu’en est-il ici du temps ? On ne peut faire l’économie de cette question. C’est pourquoi, en quatrième lieu, nous dirons de ce champ qu’il est temporalisé d’une manière originale, spécifique des types d’opérations exigées et des types d’objets concernés.

14Cette simple énumération nous suggère l’idée que le domaine dans lequel un « système formel » est traité comme objet n’est peut-être pas absolument étranger à celui dans lequel nous avions vu tout à l’heure se manifester les gestes du souffleur de verre. En lui aussi les constellations signifiantes (les théories sur lesquelles on travaille) s’articulent dans le temps, donnant pour ainsi dire la juste mesure de leur poids spécifique, dans ce lieu où paraissent s’engendrer les exigences de leur apparition.

15Un exemple va nous aider à préciser ce point. Prenons l’année 1893 où paraît le premier volume de l’ouvrage de G. Frege Grundgesetze der Arithmetik. Qu’un livre paraisse, cela est un événement empirique que l’on peut dater dans la suite linéaire des événements. Mais que le contenu du livre se manifeste, que ce qui est effectué en lui soit produit et reçu, cela inscrit le travail de l’auteur dans un autre champ que celui qu’ouvre la seule succession chronologique. Dans le cas présent il nous importe de marquer le caractère à la fois inattendu et nécessaire de l’œuvre de G. Frege. Les Grundgesetze constituent la matrice d’un système formel, un mouvement inaugural de reproduction, dans le cadre d’une logique jugée suffisamment puissante, d’un corps d’énoncés déjà disponibles au sein de l’analyse arithmétisée. De ce point de vue la pratique de Frege paraît excentrique par rapport à la pratique usuelle des mathématiciens de son temps. Que l’on songe par exemple aux Leçons sur la théorie des fonctions d’une variable de Jules Tannery, ou même aux mémoires fondamentaux qu’à partir de 1895 Cantor consacrera à la théorie abstraite des ensembles et aux nombres transfinis. Bien plus qu’une différence de style apparaît ici une différence radicale dans la forme de la démarche mathématique. D’une part le souci de construire, sinon les objets, du moins les énoncés dans une langue transparente, entièrement analysée et maîtresse de ses règles formatives, à quoi sert précisément le Begriffschrift, l’« idéographie » fregienne. De l’autre le souci d’avancer dans la production des chaînes de théorèmes, quitte à laisser dans l’ombre le statut du matériau initial, le concept d’ensemble. La différence est telle qu’à bon droit, semble-t-il, en ce temps-là, la mathésis fregienne pouvait passer pour impraticable. Et pourtant, insolite, exceptionnelle dans la cité mathématicienne, et pour cela méconnue, l’œuvre de Frege s’articule au plus profond du champ mathématique, au point où se nouent des problèmes fondamentaux.

16Il ne s’agit pas ici de ces marques vides, de ces questions non résolues, pour lesquelles on entrevoit les méthodes convenables (cf. par exemple les problèmes traités par Cantor, relatifs aux séries de Fourier). Il s’agit d’un problème ouvert à la racine, au point où paraît se produire le matériau minimal nécessaire à l’édification de l’analyse elle-même : dissiper, en produisant les méthodes logiques appropriées, les ombres qui obscurcissent le concept sur lequel repose tout l’édifice : celui de nombre entier. À quoi bon avoir arithmétisé l’analyse si le concept d’entier ne possède pas de statut mathématique bien défini ? En mettant en œuvre une telle question Frege produisait un système à la fois insolite et nécessaire. À ce signe peut se reconnaître le caractère du domaine où une « théorie » apparaît. Nous n’assistons à rien de signifiant, si nous demeurons spectateur, comme nous l’étions de l’objet produit par le souffleur de verre. En ce sens on peut dire que Jules Tannery, par exemple, n’a pas « assisté » à l’arrivée des Grundgesetze, bien qu’il en ait été informé. En revanche nous dirons de B. Russell qu’il y a assisté. « Assister » veut dire ici « travailler dans le champ ouvert par… ». Assiste à « l’arrivée » de la théorie celui qui, situé au point où se nouent certains problèmes, assigné à une configuration de méthodes, voit se déployer devant lui, comme un horizon encore indéterminé de possibles, l’urgence des tâches démonstratives, l’exigence des énoncés souhaitables. Telle fut, par exemple, la situation de Cantor à l’intérieur du champ qu’il avait produit lui-même. Dès 1883 Cantor soupçonne l’importance du « bon ordre ». Et bien qu’il ne dispose sur ce point d’aucun théorème il engendre la classe d’ordinaux et manie l’induction transfinie comme s’il en disposait. La structure anticipatrice propre à la manifestation du sens se révèle ici sous une forme spécifique : exigence d’un énoncé qui, dans un champ de problèmes déjà noués, exerce sa médiation productive. Devant le mathématicien producteur de théorèmes, le système se dessine en perspective par la médiation de ses états théoriques, comme un lieu d’expérience, d’épreuve et d’apprentissage, dans lequel les complexes théoriques possibles sont envisagés, posés comme autant d’objets à faire venir au jour, dans une relation qui les enracine au sein de la constellation déjà possible des gestes mathématiques. Il en fut de Frege comme de Cantor. Son produit, les systèmes des Grundgesetze, a été pour lui un chantier. Ce qui fut en somme le noyau de sa recherche, ce qui a dessiné un nouveau champ théorique, c’est cet effort de donner un statut sûr au matériau fondamental qui était déjà produit dans l’arithmétisation de l’analyse, comme ce à partir de quoi le système de ces énoncés était constructible d’une façon satisfaisante et réglé. Alors on voit très bien que, dans ce champ, va toujours se poser le problème de l’effectuation des objets, et c’est bien cela en somme que va faire Frege. Il va se poser la question : savoir comment, par quel détour, par quelle précaution on va pouvoir, non pas manier le nombre entier, non pas énoncer les propriétés concernant les nombres entiers, cela, on sait le faire depuis les Chaldéens. Ce n’est pas la question, mais la question est de mettre en évidence, de produire le concept de nombre entier, c’est-à-dire de produire au moins une logique suffisamment puissante pour qu’on puisse, d’une façon explicite, sans cercle vicieux et sans trahison, définir le concept de nombre entier, et le définir de telle sorte que, dans la façon dont on le définit, et à partir de la façon dont on le définit, on puisse récupérer le contenu opératoire qui lui, au sens propre, se trouvait préconstitué.

17Dès ce moment, on le voit, et c’est le dernier point, ce champ intra-théorique, qui est un champ d’expérience et d’apprentissage de l’effectuation des objets, dans lequel on produit des règles constructives d’objets, est du même coup, et d’une façon indissoluble, indéchirable, un domaine temporalisé. Je dirai temporalisé de deux façons : en tant, d’abord, qu’il est stratifié, puisqu’il s’agit bien de récupérer le champ opératoire dont on dispose déjà : il est là, et l’on sait déjà le manier ; et d’autre part il est temporalisé en tant qu’il est téléologiquement ordonné, en tant que, à chaque instant, ces gestes, ces actes d’effectuation débouchent sur des objets démonstratifs, c’est-à-dire sur la constitution d’une théorie dont on sait d’avance qu’elle doit avoir ce style-là et pas un autre. Donc, vous le voyez, il y a temporalisation dès l’instant où l’on réinsère en son domaine d’effectuation ce type d’objet que nous allons appeler « système formel ». Mais chaque fois qu’on le fait fonctionner dans le lieu où il a été produit, il est toujours rapporté à une altérité radicale. Il est rapporté à un autre que lui, dans quoi il est né, qui le concerne au plus près, et dans quoi il apparaît et s’est manifesté, dans quoi il a été donc objet pour des gens qui étaient des personnes vivantes, qui n’étaient pas des consciences de systèmes, des gens qui avaient à travailler, qui avaient à se poser des questions datées, à travers des difficultés qui étaient datées, à travers des détours qui portaient la marque des impuissances ou des chaînes de problèmes propres à leur temps.

18 Nous allons maintenant nous placer à un autre point de vue, c’est-à-dire considérer le système formel en tant qu’il fonctionne, non pas en tant qu’il est objet dans un champ théorique, mais en tant qu’il est objet pour celui qui travaille dans le système lui-même. Nous disions tout à l’heure que, au fond, un système formel, c’est tout simplement une machinerie destinée à produire des énoncés en toute sécurité. Ce n’est pas une idée platonicienne, c’est une machinerie pour démontrer, et c’est en cela que consiste proprement son idéalité, dans la mesure où il définit des procédures de démonstration. En dehors de cela, il n’est pas. Or dès l’instant où on s’insère dans le système formel pour le faire travailler, dès le moment qu’on le manie, on se trouve nécessairement contraint de fabriquer des stratégies, et de fabriquer ses stratégies à soi. Prenons un exemple très simple. Dans le « Calcul » des propositions, qui est décidable, il existe un moyen en principe infaillible de vérifier si une formule est une tautologie. C’est l’usage des tables de vérité. Avec du temps on est certain d’arriver au résultat ; et pour une formule contenant de nombreuses variables, un ordinateur y parviendra à coup sûr. Il en va tout autrement si dans un système formel approprié on se propose de dériver à partir des axiomes une formule dont on sait déjà qu’elle est une tautologie. Par exemple dans le système de Lukasiewicz, la dérivation de la tautologie pp exige toute une stratégie. Pour parvenir à la dernière ligne il va falloir s’orienter, après quelques tâtonnements, pour peu qu’on soit encore novice en la matière, dans tout un champ de substitutions possibles. Il va falloir choisir les « bonnes » substitutions. Cela veut dire que les cheminements démonstratifs ne sont jamais préformés dans un système formel, même dans le cas, très rare, où ce système possède toutes les vertus : consistant, complet, décidable.

19Et dans quoi s’oriente-t-on ? Voilà qui fait question. Certainement pas dans le système explicitement déployé, car si pp était déjà écrit quelque part (sur un tableau noir idéal) vous n’auriez pas à vous donner le peu de peine qui vous ouvre les stratégies convenables. Vous avez à vous orienter dans ce domaine réglé et ouvert où tout peut s’écrire selon des règles, mais où rien d’avance n’est écrit totalement, seules sont données les écritures minimales : l’alphabet, les règles formatives, les thèses initiales et les règles de dérivation et de substitution. C’est pourquoi je dirai volontiers qu’en ce sens, les mathématiques sont une science expérimentale, dans laquelle le domaine d’essai est constitué de stratégies démonstratives. On travaille sur des énoncés et sur des possibilités d’enchaînement d’énoncés en s’astreignant à respecter les règles explicites de ce jeu. Autre exemple qui peut rendre la chose plus manifeste encore. Imaginons que nous voulions démontrer, toujours dans ce système formel très pauvre qu’est le calcul des propositions, que tout théorème est une tautologie. Rien n’est plus facile si l’on sait qu’un axiome est une tautologie et si l’on sait que si p est une tautologie et pq est tautologie, alors q est à son tour une tautologie. Votre stratégie sera simple en ce cas et pour ainsi dire tracée d’avance. Vous vérifierez par induction que la dernière ligne de votre chaîne démonstrative, explicitement écrite, est une tautologie. Il vous sera, en revanche, bien plus difficile de démontrer la réciproque : que toute tautologie est un théorème. Il vous faudra ici mettre en œuvre des stratégies relativement rusées pour récupérer, selon les règles strictes de votre syntaxe, cette propriété sémantique d’« être une tautologie ». Cela veut dire que travailler dans un système formel c’est d’abord évidemment travailler dans sa syntaxe. Mais travailler dans cette syntaxe c’est d’une part accéder à un domaine dans lequel les formes syntaxiques sont toujours susceptibles de remaniement : elles sont déplacées les unes par rapport aux autres, selon les règles permises par le système. Mais d’autre part la question se pose de savoir si l’on peut ne travailler que dans la syntaxe, bien qu’on y travaille toujours. Est-il possible de n’avoir aucune interprétation en vue ? L’histoire des mathématiques, la fonction qui a été celle des syntaxes formelles, me porte à en douter fortement. Je ne vois pas l’intérêt qu’il y aurait à définir un système formel pour lequel on n’envisagerait aucune interprétation. Je ne vois même pas comment sa construction serait possible, ni quelles propriétés mathématiques on serait conduit à vouloir démontrer à son sujet. C’est pourquoi au fond, quiconque a affaire à des systèmes formels, autrement que pour en parler et y trouver une matière à métaphores (ce qui est, avouons-le, une maladie de notre temps) quiconque travaille au plus près des systèmes formels ou en eux, est toujours immergé dans le champ des stratégies réglées, mais, localement, indéfiniment labiles, que ces systèmes permettent et exigent. Ce sont ces stratégies qui sont l’objet concret du savoir.

20Voilà donc ce que nous avons essayé de démontrer ici. J’ai voulu en somme rendre sensible la double intériorisation qui me semble constituer l’essentiel d’une démarche convenant à une science démonstrative : une double intériorisation entre forme de système et forme de champ ; ce qui veut dire que dans les sciences démonstratives, ce à quoi on a affaire effectivement, ce qui est effectivement objet de la pratique, c’est l’unité d’un champ et d’un objet ou d’un système d’objets idéaux : unité indéchirable, et c’est cela qui a été démontré. Et à l’inverse, lorsqu’on travaille dans les champs expressifs de l’expérience quotidienne, même antérieurement à tout langage, comme lorsqu’on regarde simplement le souffleur de verre en train de fabriquer une coupe, même dans ce cas, ce à quoi on a affaire, c’est à l’unité d’un index de désignations d’objet et d’un champ de manifestation ; ou encore à l’unité d’un champ et d’un objet, d’un système idéal, d’une certaine façon. Dès lors, à quoi nous a conduit notre tentative de négociation ? Elle nous conduit à rejeter l’ultimatum en question. En cela il n’y a pas de doute. Nous refusons de nous laisser intimider par un choix que l’on voudrait nous imposer : ou bien nous sommes pour la manifestation du sens dans son caractère essentiellement labile, et donc pour la dissolution des formes systématiques du signifiant, ou bien nous acceptons le signifiant comme pris dans un champ réglé, et alors tout se passerait comme si derrière notre tête il y avait une autre tête, qui ne serait pas notre tête, qui ne serait la tête de personne, mais qui fonctionnerait quand même comme une pensée anonyme et cependant réglée. Si bien que notre négociation nous conduit à ceci : elle nous conduit à définir au fond simplement une tâche épistémologique, à indiquer certaines directions qui semblent exclues. Les directions qui semblent exclues sont celles qui appellent ou semblent indiquer une exigence d’auto-fondation, d’auto-production. Nous ne trouverons l’auto-production du savoir ni du côté du geste formateur, ni du côté du système auto-producteur : du geste formateur, tout cela nous le savons, c’est déjà hors de notre univers de pensée depuis bien longtemps, mais non plus du côté du système auto-producteur. Je dirai volontiers que, en tant que nous pratiquons le savoir, nous vivons immergés dans des structures locales : tout ce que nous pouvons faire, ce n’est déjà pas mal, c’est de les déchiffrer pas à pas en leur connexion, et de construire les systèmes locaux capables de nous permettre de nous rendre compte des langages, capables de nous permettre de récupérer les connexions locales ainsi construites, et de les organiser en systèmes. Nous élaborons ainsi des codes enchaînés, des codes hiérarchisés, mais nulle part, en aucun lieu, en aucune tête n’existe le code des codes, le système de tous les systèmes, quel que soit le degré de raffinement de nos codes locaux ou de nos systèmes locaux. Si bien que je dirai que, assignés à ces structures locales, assignés finalement à tisser ce genre de tissus, nos possibilités de jeu et de créativité restent liées toujours à la reconnaissance des failles, à la reconnaissance des incomplétudes qui se manifestent d’un système à l’autre, bref, à la connaissance des manques. Mais d’aucun côté, ni du côté du système dit formel, ni du côté du sol, du sol premier, du sol husserlien, nous ne pouvons trouver, dans cette affaire, un lieu d’assurance et de repos.

Discussion de l’exposé

21M. Mouloud – Nous remercions M. Desanti de cet exposé si remarquable et si persuasif qui a conduit à son terme une négociation. J’exprimerais mon sentiment en disant que le traitement phénoménologique qui prolongeait les références mathématiques éclairait les analyses de la logique mathématique d’un jour sous lequel elles ne peuvent s’éclairer elles-mêmes, dans la mesure où elles forment leurs concepts au niveau des traitements purement techniques. Les logiciens, pour autant qu’ils admettent les entités formelles, les mettent en relation avec les déterminations effectives et actualisables, et, quand ils prennent conscience de ce rapport, ils admettent en général que les écarts entre ces entités se comblent par un aménagement des chaînes opératoires. C’est pour eux le problème de la constructivité des algorithmes, et tous ceux qui ont accès à la logique moderne des mathématiques le reconnaissent. Cependant ce problème appelle une réflexion du philosophe sur les régimes de l’activité formatrice que ces prestations engagent, et c’est ce que nous pouvons admirer dans l’exposé de Jean Desanti : la manière dont il nous a fait apparaître avec tant de clarté et de richesse l’économie des phases formatrices. Je crois que cet exposé nous incite à des réflexions approfondies. Je vais donner la parole à ceux des spécialistes de la philosophie des mathématiques qui se trouvent présents.

22M. Perelman – J’ai beaucoup admiré ce qu’a dit M. Desanti, et effectivement, c’est bien ainsi que la démarche de Frege s’est réalisée. La seule chose que je voudrais ajouter c’est que, s’il y a un tel décalage entre Frege et les mathématiciens contemporains, c’est que le problème que Frege s’est posé n’était pas un problème de mathématicien. C’est un problème de philosophe. Il est parti de la question suivante : les énoncés mathématiques sont-ils ou non des jugements synthétiques a priori ? Il a voulu démontrer la thèse opposée, c’est-à-dire qu’en réalité les axiomes mathématiques sont démontrables à partir de la logique. Mais le problème était qu’évidemment ils n’étaient pas démontrables à partir de la logique d’Aristote. Son problème était alors de construire cette logique, à partir de laquelle on pourrait démontrer les axiomes de l’arithmétique, et les notions qui s’y trouveraient comprises. Mais alors, pour le montrer, pour établir qu’il n’y avait pas de discontinuité entre logique et arithmétique, c’est à l’intérieur même de l’arithmétique qu’il est allé retrouver la logique. En d’autres termes, ce sont les techniques de l’analyse. Par ce procédé, il a pu retrouver aussi bien les schémas fondamentaux du calcul des propositions, que les axiomes de ces calculs qui étaient en œuvre chez les mathématiciens et chez tous ceux qui raisonnaient en mathématiciens. Donc, en réalité, nous avons parfaitement le droit de dire qu’il a retrouvé la logique au sein des mathématiques, au sein de la mathématique à l’œuvre. Comme il l’a dit lui-même, il a introduit le microscope pour voir tous les enchaînements que l’on trouvait à l’intérieur des mathématiques, et c’est par cette méthode de la construction, qui était ultérieure à l’analyse, qu’il a pu rétablir la continuité entre la logique et la mathématique.

23Je pense donc que M. Desanti a très bien fait de prendre cet exemple de Frege, parce que Frege a retrouvé cette logique qui est un préalable de l’arithmétique, il a montré qu’il n’y a pas de faille majeure entre logique et mathématique. C’est bien en effet le cas où on peut construire un édifice sur un soubassement qu’on ne possède pas, mais que l’on doit reconstruire soi-même. C’est justement parce que le problème que Frege se posait était un problème de philosophie que sa démarche a été fort différente, et qu’il ne s’est pas contenté de ce qui était évident pour les mathématiciens, à savoir les axiomes de l’arithmétique et les raisonnements des arithméticiens. C’est-à-dire qu’il n’y avait pas là un problème d’évidence. Il ne s’agissait pas à proprement parler de trouver un fondement à la Mathématique. Ce n’était pas son problème parce qu’au fond, ce qu’il a trouvé n’était pas plus fondé que l’arithmétique. Il y avait un problème de continuité philosophique, et c’est ce problème qu’il a cherché à résoudre. Parce que dans le cas contraire le problème du fondement n’aurait effectivement pas été résolu du tout, puisque ce sur quoi il fonde l’arithmétique n’est pas du tout plus assuré que l’arithmétique elle-même. Il y avait là un problème de philosophie et c’est bien là la raison de sa démarche.

24M. Desanti – Je pense que l’on peut dire que la tâche de Frege s’est exercée à la fois sur le plan philosophique et sur le plan mathématique. Par sa formation, il était philosophiquement plus instruit que les mathématiciens de son temps, il s’est bien situé dans une tradition philosophique en rouvrant la question d’un fondement des mathématiques. Mais ce à quoi il est parvenu finalement, c’est à un résultat mathématique, qui était de proposer le concept du nombre entier comme un objet mathématique à part entière.

25M. Perelman – Mais avant de le faire, il lui fallait montrer que les nombres étaient dépendants des classes !

26M. Desanti – Ce n’était pas avant à proprement parler, c’était une analyse simultanée. En ce sens, son travail est un travail de mathématicien.

27M. Perelman – Sur ce point, je suis tout-à-fait d’accord avec ce que vous avez dit sur le travail d’une reconstruction de l’arithmétique.

28M. Desanti – Lorsqu’il critique le nombre comme pure additivité, multiplicité, il se pose les questions : qu’est-ce que cela veut dire que le nombre se construit de manière additive ? Vous définissez le nombre comme « a plus, plus, plus », plus quoi ? Comment fonctionne ce plus ? Dans quel champ d’objets ? Le plus ne fonctionne que dans le champ des nombres. Alors cette première définition doit être d’abord dénaturée pour être rétablie.

29M. Mouloud – Il me semble que la notion de nombre est dénaturée en ce sens qu’elle doit être transportée dans un champ théorique excédant la pratique de l’arithméticien pour devenir pleinement intelligible. Mais Frege forme par là l’idée que le concept de nombre est intégralement assimilable à la logique qu’il propose : c’est là que reparaît peut-être l’idée qu’un fondement dernier soit à atteindre, qu’il soit possible de l’atteindre. Mais d’une certaine manière, l’existence du nombre, qui est intervenu comme un appui, reste aussi un obstacle : il y a obstacle parce que la suite du développement logico-mathématique a montré que cette analyse était incomplète, que l’on peut codifier autrement la pratique des nombres. Le philosophe « dénature » le concept du nombre dans la mesure où il l’interprète, dans les limites d’un système, avec les progrès et les difficultés que cela comporte.

30M. Desanti – Il le dénature, mais son œuvre a un sens mathématique. Le concept qu’il construit est tel que, écrire des opérations sur le genre d’objets qu’on appelle nombre devient légitime. Cela devient un objet sur lequel on peut légitimement calculer.

31M. Ladrière – Monsieur Desanti, vous avez valablement montré, je crois, comment l’existence mathématique est solidaire de l’effectuation mathématique ; donc de ces opérations par lesquelles l’être mathématique est en quelque sorte mis en mouvement. Mais il y a une question qui pourrait se poser à ce propos-là, et qui serait la suivante : comment faut-il prendre au juste la dualité du champ et de l’objet dont vous avez parlé ? Plus précisément, dans quelle mesure y-a-t-il indépendance du champ par rapport à l’objet ? Car de la manière dont vous avez présenté les choses, il y a bien, semble-t-il, indépendance, puisque le champ est présupposé à la constitution des objets. Donc il doit avoir été constitué préalablement. Mais d’autre part, on pourrait penser que c’est l’inverse qui se produit, et qu’en réalité, c’est l’objet qui produit le champ. Cela dépend de quel point de vue on regarde.

32M. Desanti – Oui, précisément, il s’agit de savoir à quel niveau on prend l’établissement de la relation de l’opération à l’objet.

33M. Ladrière – Je suis d’accord sur cela. D’ailleurs, vous avez parlé du caractère de temporalité de l’évidence mathématique et aussi de son caractère téléologique et je pense que cela est très important. Par conséquent, si l’on regarde les choses selon cette temporalité, on peut évidemment voir la naissance d’un objet dans un champ qui était effectivement préconstitué. Mais l’objet à son tour suggère un champ, qui va finalement se constituer aussi, et dans lequel de nouveaux objets vont apparaître. D’autre part, il y a aussi la question du rapport entre logique et mathématique. Car vous avez pris un exemple qui est finalement un exemple de logique. Vous avez pris l’exemple d’un système formel. Mais est-ce que vous pourriez dire la même chose si l’on prenait un exemple proprement mathématique, comme la géométrie, ou les espaces topologiques ?

34M. Desanti – Oui, je le pense.

35M. Ladrière – Mais alors, qu’en est-il de la dualité : logique-mathématique ? Car ce qui vous autorisait, je crois, à prendre l’exemple que vous avez pris, c’est qu’en effet on peut considérer un système formel comme un objet mathématique. Mais, d’autre part, il se fait que le système formel ne fait lui-même que thématiser des opérations qui sont – comme vient de le rappeler M. Perelman – utilisées implicitement, et d’abord inconsciemment, par les mathématiciens. Et par conséquent, à ce titre, on pourrait penser qu’il y a en effet indépendance du champ logique par rapport au champ mathématique et que quand on thématise la mathématique, on fait de la logique, et, éventuellement, de la logique mathématique ; mais il y aurait toujours une extériorité de la logique par rapport aux mathématiques. Ou, pour formuler la question encore autrement, si ce qui importe, ou ce qui est existence mathématique, c’est l’effectuation, c’est-à-dire l’opération, on pourra se demander quelle est la nature de l’opération. Est-ce que l’opération serait de nature logique, et par conséquent, serait extérieure à l’objet mathématique ? Ou est-ce que l’opération est mathématique, mais alors, à quel titre ? Autrement dit, si l’opération est de nature logique, et si la logique est extérieure à la mathématique, il reste alors le problème de savoir comment un objet logique peut devenir un objet mathématique. Mais d’autre part, si on refuse cette dualité, et si on pense que l’objet logique est lui-même mathématique, alors comment une opération peut-elle devenir un objet ?

36M. Desanti – C’est que la relation est double : l’opération devient objet et l’objet est pris par l’opération. On retrouve toujours la même situation. Il en va de même de la relation champ-objet. C’est une relation circulaire : le champ est supporté par des objets. Ce à quoi on a affaire, c’est à un type d’objet qui a son champ associé. Ce qu’il faut bien dire, c’est que le champ n’est pas le champ de la conscience pour la raison simple que l’on ne pourrait pas prendre celui-ci pour objet et le traiter lui-même comme un objet idéal, comme un point d’application de l’analyse. Lorsqu’on décrit l’idéalité dans un champ, on décrit, au fond, le spectre des objets et des collections d’objets qui sont maniés en lui et qui ne le sont que du fait de leurs médiations les uns par rapport aux autres. Si bien qu’en somme, l’idéalité du champ, si on veut simplement la décrire, on ne décrit rien. Elle reste muette. Ce qui est décrit, c’est toujours un système de relations interobjectives qui constitue la théorie.

37M. Ladrière – En ce sens, on peut dire que le champ précède ses objets ?

38M. Desanti – Tout-à-fait d’accord. Le champ est constitué ailleurs. C’est un effet. Il est produit comme effet du fait que les objets maniés dans les sciences démonstratives sont des objets idéaux, qui doivent à la fois être maintenus, et posés comme variables. C’est l’idée de ces deux exigences qui produit l’effet de champ. Mais le champ n’est rien en lui-même.

39M. Ladrière – Mais alors, quel est le statut que vous donnez aux opérations ?

40M. Desanti – Cela dépend de la façon dont on définit l’opération. Si on la définit d’une façon stricte, ce ne sera pas l’opération dénaturée par sa thématisation, et alors il n’en sera plus question dans la sphère logique. Mais si on la définit par rapport aux modalités de position des objets et aux modalités de reconnaissance des possibilités de variation d’un domaine d’objets, il en va autrement, et j’aurais tendance à croire que le sens original de l’expression « opération », c’est bien le second sens. C’est cette espèce d’opération qui est finalement modalité d’insertion dans un champ d’objets : modalités d’insertion soit d’un moment de désignation, soit d’un moment de reconnaissance des relations dans un champ d’objets variable. Ce qui est désigné comme opération, c’est finalement ce qui est reconnu, ainsi ce qui est attaché aux objets est reconnu comme tel.

41M. Ladrière – Mais il y a encore une question à poser sur le cas des opérations. L’exemple que vous avez donné nous mettait en présence d’opérations qui étaient de type démonstratif. Prenons le cas où on engendre l’ensemble des réels à partir d’un ensemble de rationnels en complétant l’espace qui est donné par un espace plus complet. C’est bien là une opération.

42M. Desanti – On peut appeler cela une opération, dans le sens où vous l’entendez.

43M. Ladrière – Mais ce n’est évidemment pas une opération du même type que la déduction.

44M. Desanti – Certainement pas.

45M. Ladrière – C’est une opération qui est la construction d’un nouvel objet selon les suggestions fournies par des objets déjà trouvés.

46M. Desanti – Bien entendu, mais du moment qu’elle est le produit d’une abstraction, il faut veiller à ce qu’elle soit bonne, c’est-à-dire à ce que le système adjoint n’introduise pas de contradiction. Il faut que les propriétés qu’elle retient soient de vraies propriétés. D’une certaine façon nous disons que l’opération que nous nommons extension, ou adjonction des éléments, tels que toute suite de Cauchy soit convergente, est parfaitement normée. Elle n’est pas prédéterminée, mais elle est déjà possible, dans un champ qui est déjà normé à la fois par des règles constitutives du système que l’on veut étendre et par la nature de la propriété que l’on veut obtenir. La même chose serait valable dans l’extension du corps des réels par le concept de corps pris dans toute sa généralité. Finalement, c’est le même genre d’opération qui intervient lorsqu’on étend la classe des fonctions constructives. Au fond, on est bien obligé de veiller à ce que la relation d’appartenance que l’on définit sur des ensembles adjoints n’introduise pas de choses étranges dans les ensembles initiaux. Si par exemple l’axiome de substitution ne fonctionnait plus, ce serait vraiment très fâcheux. Alors, on est obligé de légitimer très strictement cette extension.

47M. Serres – J’avais bien une question à poser, mais je crois que M. Ladrière l’a posée avant moi. Par conséquent, je ne pourrai que la préciser. Je comprends très bien cette fenêtre de sortie, selon laquelle il n’existe des objets que s’il y a quelqu’un pour pratiquer un travail sur des objets. Et la question qui m’était venue à l’esprit, c’était finalement celle qu’a posée M. Ladrière. C’était le fait que M. Desanti prenait toujours l’exemple des systèmes formels, des fonctions, etc. Et je me demandais s’il était possible de parvenir aux mêmes conclusions si on prenait des exemples, soit de la géométrie au sens classique, soit des espaces topologiques dans les mathématiques actuelles. Je me demande si la thèse de M. Desanti n’est pas en relation à un état ou à une région de la science. Il n’est donc pas joué qu’elle soit entièrement vraie : elle peut n’être que relative à un état, ou à une région des objectivités.

48M. Desanti – Je considère bien précisément qu’elle ne peut être que relative à un état de l’objectivation.

49M. Serres – Oui, mais je dirais aussi à une région ! Je pense à ce qui en est des espaces topologiques : il n’est pas joué a priori que, dans ce domaine, il n’y ait pas une priorité de l’objet comme tel.

50M. Desanti – Mais je dois bien poser la question de savoir pourquoi j’ai à définir ce genre d’objets que l’on appelle les espaces topologiques. Je prends ici le verre, le micro, etc. J’ai cinq objets ! Je les dénature. Après cela, je construis sur ces cinq éléments : je construis l’ensemble des parties. Après cela, dans l’ensemble des parties, je distingue des familles particulières de proximités. Je n’ai construit un espace topologique sur un ensemble à cinq éléments que pour exhiber un mode de construction que j’ai déjà vérifié, en l’obtenant par exemple sur l’ensemble des intervalles pris sur la base des réels.

51M. Serres – Dans ce cas, vous ne pourrez plus dire qu’il s’agisse d’une science expérimentale.

52M. Desanti – Je pense que si.

53M. Serres – C’est une science de l’expérimentation qui peut se faire.

54M. Desanti – C’est cela même.

55M. Serres – Ce qui m’a frappé dans votre métaphore du souffleur de verre, c’est qu’il y avait un opérateur, qu’il y avait des outils, qu’il y avait tout cela, mais qu’il n’y avait pas de matière de base sur laquelle on opère. Si on abandonne cette matière de départ, il semble que l’on devient beaucoup plus à l’aise pour ensuite pouvoir l’éliminer.

56M. Desanti – Je n’ai nullement éliminé la matière de départ en ce qui concerne les mathématiques.

57M. Serres – Mais alors, quelle est la consistance de cette matière dont on part, puis à laquelle on retourne pour la constituer à nouveau ?

58M. Desanti – Non, la matière n’est pas en fait éliminée. Ainsi, j’ai dit que lorsque Frege remet sur ses pieds l’arithmétique des entiers en cherchant à reconstruire une logique suffisamment forte pour qu’on puisse y démontrer les propositions de l’arithmétique il ne crée pas ob ovo le nombre entier. Finalement, les matériaux qu’est-ce que c’est ? Tout ce fonctionnement de données intra-théoriques déjà stratifiées, c’est cela qu’est la pâte de verre. Évidemment, il ne s’agit pas de la former, il s’agit de la reproduire : de la reproduire dans un système ad hoc.

59M. Ladrière – Cependant, comment pouvez-vous rendre compte de certains faits mathématiques que l’on allègue communément pour défendre la thèse de l’objectivité mathématique ? Par exemple : l’équation du cinquième degré a-t-elle vraiment des solutions par radicaux ? C’est oui ou c’est non ! De même, la répartition des nombres premiers, et la loi de cette répartition ? Comment opère l’axiome du choix, ou l’hypothèse du continu ? Est-ce qu’on pourra un jour la démontrer ?

60M. Desanti – Tout ce que je peux dire, c’est cela : si l’on admet l’hypothèse du continu, il serait très agréable de savoir la démontrer. Si on ne l’admet pas, c’est qu’après avoir essayé de la démontrer, il faudra bien y renoncer.

61M. Ladrière – Ce que je veux dire, c’est que la structure de la classe des nombres premiers est une structure objective, en regard des problèmes qu’on se pose sur elle.

62M. Desanti – L’hypothèse du continu n’est, à tout prendre, qu’une hypothèse !

63M. Ladrière – Cette structure est effectivement produite. Le tout est de savoir si nous sommes en mesure d’en énoncer toutes les propriétés convenables.

64M. Desanti – Cela, on ne le sait pas encore. Mais de toute manière, la question de l’objectivité mathématique est une question qui me laisse tout-à-fait perplexe.

65M. Serres – Il ne semble pas que vous soyez perplexe ! Vous avouez que l’objet n’existe pas s’il n’y a pas de système qui le conforte et qui le soutient.

66M. Desanti – J’indique simplement la façon dont la chose se manifeste, la chose se donne. J’essaie de ne pas outrepasser les droits de ce que nous pouvons faire : les limites de ce que l’analyse nous dévoile du mode de constitution de ce qu’on appelle l’objet mathématique. Quant à savoir ce qu’est l’objet mathématique, je n’en sais rien et ne peux rien en dire.

67M. Mouloud – Ce que peut reconnaître l’histoire mathématique, c’est surtout à quel moment cet objet qui s’annonce par des précédents, et peut-être par une certaine résistance aux interprétations, devient une détermination bien définie à l’intérieur de la théorie. Mais je me demande si cette approche épuise le statut des objets. Ils sont immanents à la théorisation, et d’une autre manière ils la transcendent. Ainsi les objets que Frege pouvait considérer comme libérés de toute opacité, et parfaitement assimilés à la logique des ensembles, ont pu redonner ensuite des objets qui débordent ce procédé de clarification, et qui peut-être excèdent toute objectivation strictement logique ou déductive. Les recherches constructives actuelles semblent nous donner un témoignage de ce genre.

68M. Desanti – Je suis d’accord avec ce que vous dites : la théorisation se fait sur un fond d’objectivité, mais elle-même est production d’objets de type nouveau.

69M. Doumit – Je voudrais poser deux questions. D’abord une question à M. Serres. Quand il parle de l’objectivité des mathématiques, je voudrais savoir ce qu’il entend par là. C’est ma première question. Ma deuxième question se rapporte à l’interrogation de M. Ladrière sur le statut des opérations comme telles dans le travail mathématique. En effet, quand on rencontre dans le livre de M. Desanti sur les Idéalités mathématiques une dualité qui joue entre le champ et les objets, on peut lui ajouter une complication supplémentaire en disant que les objets sont des objets bien réglés. M. Desanti a abordé cette question à plusieurs reprises : d’où viennent les règles ?, en disant qu’il s’agit d’objets réglés, c’est-à-dire que les règles sont inhérentes à ce rapport, qu’on peut appeler dialectique, entre le champ et les objets. Il en ressort un problème concernant les opérations : du moins, certaines opérations. Je reprends l’exemple donné par M. Ladrière. Le passage de l’ensemble des rationnels à l’ensemble des réels – vous le décrivez précisément dans votre ouvrage – s’effectue bien pour remplir des lacunes qui se trouvent dans l’ensemble des rationnels, mais il y a, vous le dites, quelque chose de plus : il y a un certain groupe de règles. Et vous ajoutez : l’ensemble des réels auquel on aboutit tient compte des lois constructives des rationnels, les mêmes opérations par lesquelles on aboutit aux irrationnels sont déjà inhérentes au champ d’investigation, elles sont déjà présupposées par lui, mais cela est vrai sauf d’une certaine catégorie d’opérations : celle précisément qui nous permettra de construire les nombres transcendants qui entrent dans l’ensemble des réels. Or je crois, en suivant les exemples de votre livre, que vous n’insistez pas sur ces nombres transcendants qui font partie de l’ensemble des réels, ou sur les opérations par lesquelles ont été effectués ces nombres et par lesquelles on avait d’abord à les faire exister. Dans votre livre, et maintenant dans votre exposé, j’ai remarqué qu’il y a toujours cette dualité. Aussi je suis étonné de ne pas rencontrer le mot dialectique, qui est toujours signifié dans votre livre, puis dans votre exposé et que vous semblez toujours éviter, je ne sais pour quelle raison.

70M. Desanti – Je le fais en raison de l’ambiguïté de ce terme, et parce que, dès l’instant où l’on emploie le mot de dialectique, chacun peut se demander quelle est celle dont il s’agit.

71M. Doumit – Vous avez cependant suivi, implicitement, une marche dialectique pour faire naître la doctrine du nombre réel à partir de celle des nombres rationnels.

72M. Desanti – J’ai décrit une phase bien spécifique de la genèse des êtres mathématiques : je n’ai pas voulu la caractériser par le terme de dialectique : c’est une notion tellement molle et indéfinie !

73M. Doumit – Il ne tient qu’à vous de la préciser et de la durcir !

74M. Desanti – Je crains hélas de ne point y parvenir, parce que les enchaînements dialectiques sont eux-mêmes extrêmement variables et n’ont pas la même structure selon les types d’objets, selon les types de problèmes. À moins alors de dire d’une façon générale, que partout où il y a conflit à l’intérieur d’un champ opératoire, et nécessité de redéfinir le système dans lequel ces opérations puissent être définies, il y a situation dialectique. Si la dialectique est cela, il faut d’abord le préciser.

75M. Serres – Il faut que je réponde à la première question qui a été soulevée par M. Doumit. Je vous signale très simplement que je n’ai pas prononcé une seule fois l’expression de « l’objectivité mathématique ».

76M. Doumit – Vous vous êtes corrigé vous-même !

77M. Serres – Non je faisais comme M. Ladrière. Je cherchais seulement, comme il est normal dans une discussion, certaines formes d’objections à l’idée que les existences mathématiques puissent être réengendrées de manière tout-à-fait générale, sous le contrôle de la logique. C’était, si vous voulez des contre-exemples.

78Un mathématicien – Je désirerais dire une ou deux choses concernant la discussion actuelle. Je présenterai un point de vue qui est celui d’un mathématicien, ou d’un simple professeur de mathématiques. Le premier point que je veux soulever est celui de l’origine des notions topologiques. Si l’on cherche une base de ces notions, c’est que l’on veut disposer d’un langage assez précis pour permettre les approximations. On parle des structures de base d’une topologie, mais il serait impossible de se représenter cette base si l’on ne disposait pas d’une méthode de dénombrement. Sans elle il serait inutile d’essayer de définir un élément de base à partir d’un autre élément. Nous n’aurions pas les conditions élémentaires d’une approximation. Cela montre bien le caractère pratique des problèmes du mathématicien : le problème est de donner des moyens précis au langage des approximations. Ainsi une notion importante, fondamentale, est celle de la séparation : elle est indispensable pour qu’on puisse aborder les problèmes des domaines qui ont des caractères comme la compacité : il faut que le langage qui les traite soit lui-même approximativement un langage fini.

79Le deuxième point que je veux soulever concerne les rapports entre le logicien et le mathématicien. De manière plus générale, j’envisage le rapport entre le mathématicien et ceux qui s’occupent d’une discipline non mathématique, comme la physique, la biologie, la psychologie, la logique. Ces doctrines s’occupent chacune pour leur part, de quelque chose qui figurerait dans la parabole de M. Desanti comme le souffleur de verre. Il y a celles aussi qui font une théorie du souffleur, ou des matériaux qu’il insuffle, il y a celles aussi qui font une théorie de ce qui se passe dans le texte même du mathématicien. Car ce dernier est l’homme d’un métier, qui est de former un langage précis, un langage concret, parce que comme tous les langages, celui-ci a des objets effectifs, concrets, indépendants des théories qui interprètent la forme de ce langage. Cela pose pour moi la question des rapports entre la pratique des mathématiques et les théories sur les conditions de cette pratique.

80Je soulève un troisième point, car j’ai été très attentif à certains aspects de l’exposé de M. Desanti, mais je dois dire que je ne suis pas du tout logicien. L’exposé a porté sans arrêt sur le thème temporel. Il y a un mot que j’ai constamment relevé, à propos de cette parabole, et au cours des autres développements qui ont suivi : c’est le mot « processus ». Et alors je suis frappé du fait que les logiciens, quand ils décrivent l’arsenal de tout ce que possède le mathématicien, ne définissent pas plus complètement ce qu’est le processus. Ils ne s’interrogent pas sur le contact entre ce travail – bien qu’ils repensent une partie de notre travail et les théories qu’élaborent les mathématiciens. Il s’agit bien en effet d’un processus, et les théories sont efficaces dans la mesure où elles enregistrent des résultats. C’est précisément ce rapport qu’il faudrait examiner en premier lieu.

81M. Desanti – Ce n’est pas une parabole que j’ai voulu faire, mais c’est bien une analyse des phases de ces processus mathématiques. Cela étant dit, je crois aussi que la question qui a été soulevée, sur les processus et les formes dans lesquels il s’objective, est importante, et les observations que j’ai faites portaient directement sur ce point.

82M. Mouloud – Y a-t-il d’autres points de vue que désirent présenter les mathématiciens qui sont dans la salle ?

83M. Serres – Il ne me semble pas certain, comme il a été dit, que la topologie soit née des problèmes qui concernent la précision des approximations. Cela n’est pas vrai historiquement.

84Le mathématicien – Historiquement je vous l’accorde. Mais quant au fond, le problème revient à cela.

85M. Serres – La technique mathématique n’a pas travaillé la topologie sur des problèmes d’approximations. Ce n’est pas par cette voie nécessairement qu’elle est arrivée aux notions essentielles. On peut tout au moins le discuter. C’est plus probablement par une réflexion sur l’idée de voisinage, et par la recherche des conditions minimales en vue d’un discernement des voisinages.

86M. Mouloud – Les exigences de l’horaire nous obligent à terminer une séance déjà longue, et dont tout le monde a reconnu l’intérêt. Il nous reste à remercier le conférencier dont l’exposé a soulevé tous ces problèmes, et les différents participants dont les interventions nous ont aidés à en apercevoir les multiples facettes. Il s’est manifesté plusieurs positions vis-à-vis de l’économie du langage mathématique, selon qu’on met en avant le thème de l’objet, de l’acte, de la pratique. Mais nous gardons l’assurance que tous les chercheurs pensent sur la base de la même situation générale, qui est celle d’un langage étayé sur des champs d’épreuves enchaînés et qui arrive à travers celles-ci, à l’abstraction, à l’objectivation théorique. Je pense aux témoignages de logiciens des mathématiques, comme Tarski ou Quine : bien qu’en principe leur doctrine de la vérité, de l’objectivité mathématique, soit orientée vers une réduction maximale, on voit qu’ils font en pratique des multiples concessions à la pluralité des phases de formation, des méthodes de validation complémentaires, et à la hiérarchie non réductible des abstraits.

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