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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

Remarques sur la connexion des notions de genèse et de structure en mathématiques

Note de l’éditeur

Initialement paru dans Entretiens sur les notions de genèse et de structure, sous la direction M. de Gandillac, L. Goldmann, J. Piaget, Paris - La Haye, Mouton & Co, 1965, p. 143-155, discussion p. 156-159.

Texte intégral

  • 1 La notion de « structure » est présentée ici d’une manière intuitive. Pour une définition précise v (...)

1Pour un mathématicien, le sens de la notion de structure n’offre aucune ambiguïté. Il dira d’un ensemble E qu’il est muni d’une structure1 lorsqu’on a défini sur cet ensemble au moins une opération et précisé le système d’axiomes qui délimitent le champ opératoire et permettent d’engendrer, dans un système déductif, la chaîne des propriétés que l’opération construit sur l’ensemble. Par exemple un ensemble E est muni d’une structure de groupe, si l’on définit sur lui une opération notée ⊕ caractérisée par les axiomes suivants :

1. Si a et b appartiennent à E, (ab) appartient à E.

2. abc = (ab) ⊕ c
a, b, c appartenant à E

4. Il existe dans E un élément e tel que ea = a

5. Il existe dans E un élément i tel que ia = e ; cet élément est appelé l’inverse à gauche (ou, respectivement, à droite) de e par rapport à l’opération ⊕.

2Ainsi l’ensemble des nombres entiers, positifs et négatifs, forme un groupe par rapport à l’addition. L’élément e y est noté 0 (zéro) ; l’élément inverse (bilatère puisque le groupe est commutatif) de a y est noté – a.

3Cette clarté est cependant le fruit d’un long effort d’abstraction et de formalisation. Les « structures » ont été dégagées et définies peu à peu. Il a fallu que le développement de la théorie abstraite des ensembles fournisse au mathématicien un matériel opératoire pur pour qu’il puisse, sur lui, reconstruire axiomatiquement, dans leur connexion, les champs opératoires déjà dominés ou en voie de l’être. Ainsi les structures topologiques ont été définies dans leur pureté par Hausdorff dans les années 1910 (Gründzuge der Mengenlehre, 1914). Pourtant depuis longtemps déjà on avait isolé la notion de propriété topologique (et même celle de champ de propriétés topologiques). Elle l’avait été, d’une manière mathématiquement fructueuse, par Riemann (cf. la dissertation inaugurale Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie). Dès le début du xixe siècle elle avait été maniée dans la pratique de l’analyse par Cauchy, Gauss, Abel : la constitution d’une théorie rigoureuse des limites, la définition de la continuité d’une fonction en un point, la définition de la convergence uniforme d’une suite de fonctions, impliquent que l’on donne un sens à la notion topologique de voisinage d’un point. Enfin, et sans parler de Leibniz, elle avait été, d’une manière implicite, utilisée dans l’Antiquité (cf. Archimède). Et Aristote lui-même, dans la Physique (V, 3), avait conçu les rudiments d’une topologie naïve. La même observation pourrait se répéter à propos des structures algébriques ou des structures d’ordre.

4Avant de devenir elles-mêmes objets formels de la mathématique formelle, les « structures » ont été à l’œuvre dans la mathématique à ses divers degrés de formalisation et d’axiomatisation. Elles ont été maniées et connues de l’intérieur avant d’avoir été posées comme thèmes explicites d’une activité mathématique les concernant en propre.

5Cette remarque initiale nous permet de délimiter notre problème. Que signifie cette antériorité de l’implicite ? Il arrive parfois que l’on dise d’Archimède que, dans sa méthode de résolution des quadratures, il a formé des sommes de Riemann. N’y a-t-il là qu’un abus de langage, une simple projection dans le passé des méthodes et des normes élaborées de notre temps ? Ou au contraire faut-il dire d’Archimède qu’il a été concerné par la même structure que Riemann ? Et, dans ce cas, comment comprendre l’exigence de cette permanence et le fait de cette maturation qui, par les détours d’un long apprentissage historique, a conduit vers l’émergence des « pures structures » ?

6Nous voudrions consacrer les remarques qui suivent à préciser le sens d’un tel problème. Il n’est pas question pour nous de prendre, a priori, parti dans le débat qui avait opposé, par exemple, Cavaillès à Lautman. Celui-ci voyait dans la mathématique un mouvement d’incarnation de structures dialectiques (au sens platonicien) éternelles. Pour le premier le devenir des mathématiques était un mouvement dialectique constitutif de ses propres normes, une connexion de « gestes » assurant leur auto-régulation réciproque, dans le champ toujours ouvert où se construit l’unité de leurs objets. Il importe, en commençant, de tenter de faire abstraction de ces interprétations et de demeurer attentif aux objets eux-mêmes. Dans son profil la mathématique nous offre des exigences structurelles et des faits de genèse. Efforçons-nous d’abord de bien voir en quoi consiste une telle connexion. Plus tard seulement pourrait, s’il y a lieu, se poser le problème de leur interprétation dans une « philosophie » des mathématiques. Nous ne nous intéressons aujourd’hui qu’à la première de ces questions.

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7Le fait brutal de cette connexion apparaîtra sur un exemple simple. J’énonce : « √2 est un nombre irrationnel ».

8Un tel énoncé prend sens dans deux domaines.

9a) En premier lieu dans un domaine d’idéalité. Cela veut dire, à la limite, que le contenu de cet énoncé peut être traduit en une thèse de l’arithmétique formalisée. Dans la langue formalisée de l’arithmétique on devrait pouvoir construire un assemblage de formules bien formées, dérivable dans la langue, et tel qu’il soit l’homologue de l’énoncé en question. Dans ce domaine formel le prédicat « nombre irrationnel » devrait être calculable. Il devrait être possible de l’obtenir à un certain rang, dans l’enchaînement récursif des assemblages permis dans la langue formelle. Même si ces conditions ne peuvent être pleinement satisfaites, le domaine d’appartenance de l’énoncé n’en sera pas moins pensé par leur médiation. On posera toujours en particulier que l’ensemble des variables d’individus d’un tel domaine est isomorphe à un système d’objets dont l’existence n’est définie qu’en fonction des opérations permises sur lui conformément à des règles explicites. La formulation de ces règles entraîne la clôture opératoire du système : c’est-à-dire la formation d’un critère permettant de distinguer l’appartenance de tel objet (ou de telle classe d’objets) au système, pourvu que les règles soient compatibles, indépendantes et suffisantes.

10En ce sens, le champ dans lequel est valable notre énoncé est un système théoriquement formalisable de propositions dont le domaine d’objets est l’ensemble des nombres réels. Même si le formalisme permis sur ce domaine d’objets engendre, en lui-même, un principe de limitation, l’idéalité du champ n’est jamais abolie. Bien au contraire, elle se trouve confirmée à nouveau par la nature idéale du procédé qui permet, éventuellement, de mettre en évidence une telle limitation (cf. le procédé par lequel Gödel construit une proposition indécidable dans la langue, supposée cohérente, de l’arithmétique formelle).

b) En second lieu la proposition énoncée doit prendre place dans un domaine de constitution, sans cesse sous-tendu par les opérations formelles, et tel qu’en lui « l’objet √2 » puisse toujours être retenu comme le pôle idéal posé dans des enchaînements d’actes de nature différente (peut-être par ailleurs, « formellement » équivalents). Je peux atteindre « √2 » soit comme coupure sur l’ensemble des nombres rationnels ; soit comme limite d’une suite de Cantor ; soit (algébriquement) comme facteur du produit 2 = √2 * √2 ; soit comme nombre exprimant le rapportImage 100000000000002100000023D2B0A2FEC68E8F1B.jpgde la diagonale d’un carré à son côté, pris comme unité. Chaque fois j’aurai à vérifier l’appartenance de « √2 » à un domaine d’idéalité dominable par des règles. Mais l’emploi de la disjonction (soit… soit) me montre que ces domaines s’articulent les uns avec les autres dans un autre domaine, au sein duquel les premiers se trouvent eux-mêmes rendus accessibles comme objets d’une activité mathématique spécifique. On pourrait dire en ce sens que « √2 » possède sa propre manière d’être irrationnel, distincte de celle de « π » par exemple, bien que les critères formels d’appartenance de « π » et « √2 » à la classe des irrationnels soient les mêmes. Nous dirons encore que « √2 » et « π » sont définis sur la même structure (le corps des nombres réels), mais que, sur cette structure, ils renvoient à des schèmes de genèse différents, se trouvent immergés dans des domaines de constitution et d’apprentissage différents.

11c) Domaine d’idéalité et domaine de constitution paraissent inséparables. Le premier trouve dans le second un champ d’effectuation et une source de problèmes. Le second est normé et stabilisé dans l’unité des champs opératoires formalisables dans le premier. Un exemple simple rendra ce rapport évident. Écrivons l’équivalence (7 + 5 = 12) ≡ (12 = 7 + 5) et considérons-la comme une proposition. Cela veut dire qu’elle doit appartenir à un système formel. Ce système concerne un domaine d’objets (nombres entiers) sur lequel on aura défini une structure d’ordre et, par suite l’égalité de deux ou plusieurs éléments, comme relation réflexive, symétrique et transitive. De plus elle implique la définition, sur ce domaine, de l’addition et la formulation des axiomes de l’addition. Enfin elle suppose que l’on puisse disposer d’une loi de construction de l’ensemble des entiers : c’est-à-dire que l’on puisse définir sur l’ensemble de base une fonction F (un mode de correspondance entre les éléments de l’ensemble) telle que si a appartient à l’ensemble le transformé de a par F appartienne aussi à l’ensemble. Pour qui n’a pas conscience explicite des règles qui délimitent le champ de ces possibilités (lequel est infini) la formation de notre équivalence ne peut être une proposition. Or examinons de plus près chacun des membres d’une telle expression. Leur équivalence formelle renvoie à une dissymétrie réelle. L’égalité à gauche désigne un mode de construction de 12 ; l’égalité à droite un mode de décompostion de 12. En ce sens si j’écris 7 + 5 =…, je serai toujours contraint d’écrire à droite = 12, qui n’est qu’un nom pour (7 + 5). En revanche si j’écris 12 =…, je ne tarderai pas à vérifier qu’il existe, si je me borne à utiliser l’addition, une classe finie d’expressions équivalentes à (7 + 5) ; et si je conviens d’utiliser, pour écrire ce second membre encore indéterminé, toute opération compatible avec la définition de la suite des entiers, je vérifierai qu’il doit exister un ensemble dénombrable d’expressions équivalentes à 12. Quelques-unes (et peut-être même une infinité) pourront présenter un tel degré de complication opératoire que la mise en évidence de leur équivalence devra exiger de longs calculs. Bien entendu toute expression appartenant à la classe des expressions équivalentes à 12 devra être construite conformément aux axiomes qui définissent les lois de composition sur l’ensemble des entiers. L’idéalité du système formel dans lequel ces axiomes sont compatibles, indépendants et suffisants, assure à chaque instant, et à l’infini, la norme des opérations effectuables. Mais jamais elle ne mettra à ma disposition un principe de choix suffisant pour déterminer de manière univoque et contraignante telle expression plutôt que telle autre. Chacune de ces expressions sera déterminée à une classe d’équivalence près. La classe d’équivalence est algébriquement fermée. Et pourtant les expressions qui la composent, outre leur propriété commune d’être équivalents à 12, réaliseront chacune une application différente de l’ensemble des entiers sur lui-même, renverront donc à des modes de construction différenciés sur cet ensemble et comporteront sur lui, en vertu de son idéalité même, des propriétés différentes. La classe d’équivalence demeure en état de libre devenir. La proposition (7 + 5 = 12) ≡ (12 = 7 + 5), bien qu’elle signifie aussi 12 = 12, n’est donc pas simplement une autre manière d’écrire 12 = 12. Sa structure formelle et idéale pourrait être désignée comme suit : (7 + 5 = 12) ≡ (12 = *). Le signe * désigne formellement une classe fermée ; mais cette classe est le champ normé en libre devenir, d’effectuation et de vérification de l’équivalence formelle. Elle déploie une richesse opératoire dont la domination n’est pas nécessairement obtenue par le seul jeu des règles assurant sa fermeture. On retrouve ici une idée bien connue depuis Kant. La notion de (7 + 5) contient bien plus que la notion de 7 et de 5. Plus généralement la notion d’un nombre entier contient beaucoup plus que ne le laisse prévoir le simple rapport des unités qui le composent : jamais je ne lirai dans l’expression : 3 = 1 + 1 + 1, la « propriété » de 3 d’être un nombre premier.

12d) Dire d’un ensemble qu’il est muni d’une « structure » c’est donc disposer sur cet ensemble d’un double champ de possibilités. D’une part on dispose sur l’ensemble, pour tout objet, d’un domaine de définition obtenu au moyen des lois permises par la structure. D’autre part on dispose des schèmes d’actes dont l’enchaînement, a priori non dominable, doit permettre l’édification de la structure elle-même. Le domaine de définition du nombre 12 est entièrement déterminé comme structure. Cependant cette structure est toujours en devenir pour elle-même ; elle est indéfiniment ouverte en elle-même comme champ d’effectuation du nombre 12. Ce nombre renvoie à une classe a priori inépuisable d’application de l’ensemble des entiers sur lui-même. On voit, sur cet exemple, apparaître un rapport circulaire. Une structure formellement définie renvoie aux schèmes de genèse qui lui sont spécifiques : la fermeture du champ opératoire est conquise de l’intérieur du champ lui-même ; dans ce champ la structure est toujours en chantier : elle est domaine de possibilité pour un enchaînement ouvert d’opérations réglées. D’autre part tout schème de construction proposé dans ce pur domaine de possibilité doit vérifier les conditions de possibilité du domaine. Celles-ci doivent pouvoir être explicitées et formulées de manière à procurer un critère permettant de décider si tel objet est accessible dans le domaine, c’est-à-dire de vérifier l’existence d’un schème de construction pour une propriété dont l’énoncé soit une thèse dans la théorie formalisée (ou formalisable) de la structure. Cette dernière exigence, on le sait, n’est satisfaite que pour les formalismes les plus simples. Mais qu’elle soit posée veut dire que toute structure n’est maniable qu’intriquée à un domaine (possible) d’idéalité ; et qu’à son tour ce domaine n’est pensable que s’il enveloppe et domine les actes qui ont permis de mettre au jour l’exigence de la structure elle-même.

13Pour parler un langage ancien mais commode, celui de Platon dans le Philèbe, nous dirions volontiers d’une structure (et d’une façon, certes, purement analogique) qu’elle n’est ni du genre péras (borne), ni du genre apeiron (illimité), ni du genre aitia (cause). Elle est plutôt, comme mixte, l’unité des trois : elle est, dans un domaine indéterminé et riche, opérée comme origine des lois d’opérations qu’elle introduit dans le domaine.

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14L’unité circulaire des deux pôles ainsi distingués (pôle idéal, pôle génétique) est-elle indéchirable ? Ou, au contraire, doit-on briser une telle unité en dissociant le domaine d’idéalité (région intemporelle d’apodicticité) du domaine de constitution (région temporelle d’apprentissage) ? L’analyse précédente ne permet pas encore de répondre à une telle question. Elle nous a mis en présence du fait de la connexion des deux domaines. Mais elle ne nous a pas montré leur mode de connexion et laisse indéterminée la question de savoir si cette connexion, dans la circularité qui la fait paraître est une propriété d’essence de tout acte mathématique. Maintenons cependant, à titre d’hypothèse, le résultat auquel nous sommes déjà parvenus : la forme de la connexion est circulaire. Pour que cette forme ne soit pas une simple apparence il nous faut vérifier que chacun des pôles unifiés en elle ne peut acquérir sa pleine indépendance et sa pleine effectivité que par la médiation de l’autre.

15Nous amorcerons une telle vérification (et nous nous en tiendrons là) en deux moments. 1° Nous montrerons d’abord qu’un mathématicien, qui a affaire à la région idéale d’apodicticité, ne peut y définir et y manier des structures formelles que dans l’horizon pré-constitué et en voie de développement d’un domaine d’apprentissage. 2° Nous tenterons ensuite l’épreuve inverse en montrant qu’un historien qui a affaire au domaine temporel d’apprentissage ne peut y atteindre un devenir réel que dans l’horizon sans cesse projeté d’un champ idéal normatif.

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16Pour traiter du premier point il nous faut d’abord disposer d’un concept de « structure » plus précis que celui que nous avons présenté en commençant. Il nous faudra ensuite examiner en fonction des structures formelles dans l’édification de la mathématique, et voir si leur mise en œuvre s’effectue par la médiation du domaine d’apprentissage.

17a) Avec la notion de groupe, nous avons déjà à l’esprit un exemple de structure. Avant de présenter un concept plus général et plus formel donnons un autre exemple.

18On appelle treillis (parfois lattices : G. Birkhoff ; parfois structures : O. Ore et Glivenko ; parfois simplement Systeme von Dingen : K. Menger) un système T d’éléments x, y, z, … remplissant les conditions suivantes :

191° Tout couple d’éléments x, y, de T est lié par une relation notée

< telle que :

x<y

x < y et y < xx = y

x < y et y < zx < z

202° À tout couple x, y d’éléments de T correspond un élément de T

noté xy tel que :

xy<x ; xy<y

z < x et z < yz < xy

213° À tout couple x, y d’éléments de T correspond un élément de T

noté xy tel que :

x<xy

y<xy

x < z et y < zxy < z

22Formulons quelques remarques sur les énoncés qui précédent. Il m’est toujours possible de donner un nom au système T en l’interprétant « intuitivement » : T’ peut désigner l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble et la relation x < y signifier « x est contenu dans y ». L’élément xy de T désigne alors l’intersection des ensembles x et y ; l’élément xy leur réunion. T peut désigner un ensemble de propositions susceptibles d’avoir la valeur « v » ou « f » et x < y signifier x implique y ; xy désignera la conjonction de x et y ; xy leur disjonction. T peut désigner l’ensemble des entiers positifs, la relation x < y signifiera x est un diviseur de y. L’élément désigné par xy sera leur plus grand commun diviseur, l’élément désigné par xy leur plus petit commun multiple. Chacune de ces « interprétations » se présentera comme une théorie obtenue sur une structure semblable (mais généralement non isomorphe) à la structure « mère ». Les « théorèmes formels » énoncés dans la théorie de la structure mère auront leur homologue dans la théorie de la structure « dérivée ».

23Une remarque analogue serait valable pour la structure de groupe que nous avons définie en commençant. Si nous ne précisons ni la nature des éléments, ni le sens de l’opération notée ⊕, nous obtiendrons une théorie formelle susceptible de « s’incarner » dans une classe de théories semblables. Nous voyons déjà apparaître, sur cet exemple, la fonction des « structures formelles ». Elles permettent de construire des théories cohérentes entièrement explicites et d’obtenir ainsi une classe de théorèmes généraux dont la « vérité » vaudra pour les systèmes « d’objets » différents pourvu que les lois de construction de ces objets sur l’ensemble auquel ils appartiennent vérifient les axiomes de la « structure formelle ». L’introduction, dans la mathématique moderne, d’un point de vue explicitement structurel a permis de mettre en évidence, entre champs opératoires « hétérogènes », des connexions profondes et de les engendrer à nouveau à partir du même fondement axiomatique. Cette remarque nous permet d’anticiper le résultat de nos analyses. Il est à prévoir que, dans le rapport circulaire mis en évidence plus haut, il nous sera impossible d’énucléer à jamais le pôle d’idéalité. Il semble bien que la constitution de ce pôle s’opère par la médiation des champs opératoires déjà constitués dans lesquels (pour nous borner à l’exemple des lattices) l’apprentissage du sens des relations formalisables (<, ∩, ∪), a été pratiqué et dominé. Les actes par lesquels un mathématicien, au niveau le plus abstrait, formule les axiomes d’une structure formelle, semblent bien, si cette structure doit être une « structure mère », être pour ainsi dire l’envers d’une autre chaîne d’actes. Ceux par lesquels le mathématicien, à travers l’éclatement des régions d’hétérogénéité de ses champs d’opérations, s’est laissé guider par l’existence des figures d’équilibre engendrées par cet éclatement même et a saisi, à travers la connexion sans cesse opérée par lui de ces figures, l’émergence de la « bonne » structure. Il semble bien que le pôle d’idéalité soit effectué dans l’horizon du domaine d’apprentissage et pour les systèmes « d’objets » que ce domaine a déployés et ne cesse de déployer en son sein.

24b) Accomplissons maintenant un pas de plus dans l’abstraction et, en suivant l’exposé quasi intuitif présenté par N. Bourbaki (Théorie des ensembles. Fascicule de résultats, § 8), tentons de définir le concept de structure sans référence explicite à quelque exemple que ce soit. En réfléchissant au mode de définition nous verrons se préciser le sens des remarques qui précédent.

25La mise en œuvre d’une telle définition repose sur quelques présupposés. Il importe d’abord de disposer d’ensembles de base, matériel formel et, de soi-même, indifférencié. On supposera seulement qu’ils sont distincts et non vides. À partir de ces ensembles de base on se donnera la possibilité de former une échelle d’ensembles. Cela veut dire qu’on considérera comme effectuables et indéfiniment itérables les opérations suivantes : 1° prendre l’ensemble de sous-ensembles de chacun des ensembles de base ; 2° former le produit d’un de ces sous-ensembles par lui-même ; 3° former le produit de ces ensembles pris deux à deux dans un certain ordre. On obtient ainsi de nouveaux ensembles. On les joindra aux ensembles de base et on répétera les mêmes opérations en éliminant chaque fois les ensembles déjà obtenus. On dira de tout ensemble construit par un tel procédé qu’il appartient à l’échelle des ensembles définis à partir des ensembles de base.

26On remarquera déjà, dès ce point de départ purement formel, la mise en œuvre de la médiation d’un champ opératoire déjà constitué. Engendrer une échelle d’ensembles implique que l’on sache déjà opérer sur les ensembles de base et que l’on puisse considérer comme objets l’ensemble des parties, l’ensemble produit, etc. La visée d’un pur champ d’idéalité dans lequel on pourra édifier les structures à partir d’ensembles « nus » renvoie à un horizon d’opérations dans lequel ces ensembles « nus » sont, a priori, maniables. Il ne s’agit pas ici d’une loi de construction des éléments de ces ensembles, qu’on aurait à mettre en œuvre dans la constitution de l’échelle. Ces ensembles doivent rester indifférenciés, ils sont simple matière indéterminée, simple champ de possibilité pour les actes encore à venir. Mais ils ne peuvent manifester cette fonction idéale de purs domaines de possibilités opératoires qu’à la condition d’être déjà intégrés dans le champ opératoire où prend sens la constitution de l’échelle.

27La définition d’une structure sur les ensembles de base d’une échelle implique à son tour que l’on puisse distinguer un ensemble E de cette échelle et désigner sous forme explicite une classe de propriétés d’un élément arbitraire de cet ensemble. Elle n’implique pas encore que l’énoncé de ces propriétés soit vrai pour tout élément. Ici encore apparaît, à l’horizon du domaine d’idéalité, la médiation d’un domaine préconstitué du sens, d’un domaine dans lequel doit être toujours possible la vérification opératoire d’un tel sens. De plus il importera de pouvoir distinguer, sur l’ensemble des parties de E, l’intersection M définie par la classe des propriétés explicites de l’élément arbitraire. Si cette intersection n’est pas vide on pourra dire que tout élément x lui appartenant définit sur les ensembles de base une structure de l’espèce M. Le schéma de formation de E à partir des ensembles de base, les propriétés de M, compatibles si M n’est pas vide, détermineront la structure. Dès ce moment toute proposition énonçable comme conséquence de la proposition XEM sera vraie dans la théorie de la structure. Définir une structure n’a donc de sens que si l’on s’assure que l’intersection M n’est pas vide. Il faut pour cela pouvoir démontrer que les propositions de forme XEM (les axiomes de la théorie) sont compatibles. Dans le cas le plus simple une démonstration de cette nature est possible si l’on dispose, pour la théorie en question, d’un champ de modèles isomorphes dont la « non-contradiction » est déjà acquise. Sinon il faudra tenter la construction de M en se laissant guider par le choix initial des propriétés de l’élément générique de E, qu’on aura choisies, non seulement signifiantes, mais compatibles. Mais alors on se sera laissé porter d’avance par la médiation des champs opératoires dans lesquels on aura fait l’épreuve d’une telle compatibilité et pour la domination desquels on aura construit le système d’opérations assumé dans la « structure ». Dans chaque cas la chaîne encore à venir des opérations formelles (le champ d’idéalité) est habitée et normée par le système des configurations du domaine d’apprentissage.

28c) La question se posera alors de savoir quelle sorte d’objet est visé à travers cette définition formelle du concept de « structure ». S’agit-il d’atteindre par là une région ultime des essences, de construire une « mathématique de la mathématique » en définissant un univers pur, encore indéterminé, et qui serait, pour ainsi dire, la matrice de toute mathématique possible ? La manière dont un tel concept est obtenu nous interdit une telle conclusion. Lorsqu’on définit, indépendamment de tout exemple, le concept de structure, on atteint par là et on désigne, aussi explicitement que possible, un certain nombre de schémas de construction et de procédés de démonstration que l’on mettra en œuvre dans l’édification de la mathématique formelle. Il n’est question ici ni d’assurer un fondement ultime, ni de découvrir une origine absolue à partir de laquelle on pourrait poursuivre une γένεσις εἰς οὐσίαν. Il s’agit seulement d’un regard second par lequel le mathématicien distingue et décrit, d’une manière explicite, la forme des schémas possibles dont la mise en œuvre lui permet de construire et de démontrer. Bien qu’on puisse définir les conditions formelles auxquelles doit satisfaire la construction de toute structure, jamais la considération vide de ces seules conditions ne permettra d’engendrer la moindre espèce de structure. Il faut pour cela disposer des propriétés de l’élément générique d’un ensemble défini sur une échelle.

29En dégageant la notion de « pure structure », en s’efforçant de penser les pures lois de construction d’une structure en général, on pratique un acte d’abstraction borné par le haut. La mise en évidence des lois pures implique l’usage d’un matériel formel pur. Mais déjà, ce matériel comporte ses normes et ses propres possibilités opératoires. Le geste d’abstraction qui institue ce domaine pur habite déjà le champ dans lequel ces normes ont été éprouvées et vérifiées. Sans la médiation du geste d’abstraction, les normes demeureraient implicites ; sans la médiation du champ où elles se sont constituées, le geste d’abstraction resterait vide et aveugle.

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30Resterait la contre-épreuve : montrer que le domaine en devenir qui concerne l’histoire des mathématiques est lui-même constitué par la médiation des champs d’idéalité qui le règlent. Nous nous bornerons aux observations suivantes.

31a) Les premières concernent les exigences méthodologiques auxquelles l’historien doit se plier. Il a affaire à des théories dont les éléments ne s’organisent pas seulement en systèmes formels : elles s’offrent à lui dans un profil temporel qu’il n’est pas en son pouvoir de bouleverser à son gré. Si j’entreprends de décrire l’histoire du calcul infinitésimal de Fermat à Leibniz, je suis contraint de ressusciter et de mettre en chantier pour mon compte les problèmes qui, de ce temps, ont été vivants : insuffisance opératoire des canons archimédiens de rigueur, exigence de développement de la dynamique, naissance de la géométrie algébrique, problèmes des tangentes, etc. Je suis contraint de saisir ces « conditions » dans leur unité puisque le mouvement de constitution du calcul a été précisément cette unité. Mais jamais je ne parviendrai à cette unité si je ne tente pas de travailler par moi-même dans le champ où Fermat, Pascal, Leibniz ont travaillé. Pour cela il me faut bien oublier ce que je sais déjà des opérations de dérivation, d’intégration, éviter de transposer dans le passé les exigences de mon temps et de pratiquer une « histoire récurrente ». Mais que signifie « oublier » ? Et comment saurais-je ce qu’il convient « d’oublier » ?

32La situation de l’historien est à l’inverse de celle du mathématicien. Celui-ci ne peut constituer les champs formels d’idéalité et dominer, en eux, des champs opératoires effectifs qu’en oubliant les origines. Dans l’expression y = ax + b non seulement aucune référence ne subsiste à la définition d’Euclide : « La droite est la ligne qui repose également sur chacun de ses points », mais de plus la vérification de la validité de cette expression serait impossible, dans le champ opératoire qu’elle exige, si l’on gardait le regard fixé sur la définition d’Euclide. Plus généralement la constitution d’un domaine d’idéalité (d’un espace abstrait, par exemple…) n’est possible que par oubli de toute référence sensible, même (ce qui est le cas) si les exigences manifestées au niveau sensible sont assumées et idéalisées au niveau abstrait. Cet oubli de l’origine s’opère spontanément chez le mathématicien : il tient à la nature même des schèmes d’opérations qu’il utilise et aux exigences qui le guident dans la construction de champs opératoires de plus en plus larges et dominables. Un historien se trouve dans une situation opposée. Il lui faut oublier le point d’arrivée. C’est dire que son « oubli » ne peut être qu’explicite et méthodique. Sur ce qu’il sait fort bien (par exemple qu’une fonction discontinue est intégrable si l’ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle, pour nous en tenir à l’exemple choisi) il lui faut pratiquer une sorte d’épochè, par laquelle les « thèses » que son savoir implique sont frappées d’ineffectivité temporelle. Mais dans la mise en œuvre d’une telle épochè l’historien n’abolit nullement son rapport propre au monde de culture en train de se constituer. Pour lui, aujourd’hui, la voie d’accès vers l’« origine » (Fermat, pour fixer les idées) passe par Lebesgue, Riemann, Cauchy, Lagrange, Euler, pour prendre quelques points de repère. L’« origine » s’offre en perspective à travers ces médiations. Il lui faut donc découvrir les éléments qu’il lui convient « d’oublier ». Et comment le pourrait-il s’il refusait de se laisser guider par les structures élaborées au niveau formel ? Comment pourrait-il déterminer les éléments du passé (oubliés maintenant au niveau de la mathématique formelle) qu’il doit remettre en chantier pour son compte, si, pour son compte également, il ne remettait pas en chantier le point d’arrivée qui est son présent ? Il lui faudra donc toujours, à un moment, passer par la médiation explicite d’un champ d’idéalité. Mais alors que pour un mathématicien un champ d’idéalité est donné par la médiation explicite de ses axiomes, pour un historien le champ d’idéalité est donné par la médiation des couches, qu’il doit rendre explicites, des domaines d’opérations sédimentées en lui. Les axiomes de structure lui servent, pour ainsi dire, de « guides transcendantaux » pour qu’il puisse découvrir l’enchaînement et la motivation réciproque de ces couches et apprendre par là, sur quels points, et à quel niveau de profondeur peut être pratiquée l’épochè par laquelle il mettra lui-même en chantier les éléments « originaires ». Il lui faut dépister et lire dans les « structures » la trace de leur constitution temporelle. Cette trace n’est jamais déchiffrée qu’à travers la médiation des pôles d’idéalité.

33b) Ces exigences méthodologiques ne sont pas arbitraires. Elles portent témoignage sur l’objet lui-même. Si, dans son chemin vers l’origine, l’historien doit se laisser guider par le « spectre structurel » des théories dont il entreprend de décrire l’histoire, s’il doit isoler les connexions des couches sédimentées dans les structures idéales, c’est sans doute que ces couches ont été constituées dans un mouvement effectif de genèse. Ce que nous avons appelé « domaine de constitution », « domaine d’apprentissage » n’est nullement une région muette de l’expérience, qui attendrait là, dans une indifférence minérale, que lui viennent d’ailleurs les motivations normatives. Dans ce domaine se déploie et vit le mouvement constitutif des normes idéales. C’est le temps lui-même qui produit la mesure de ce qui est pensable en lui et fournit le domaine de sa propre totalité téléologique. L’exigence qui porte le mathématicien à oublier l’origine est la même que celle qui porte l’historien à restituer l’origine, dans une quête interminable mais réglée. Que toute structure soit pensable dans un champ d’idéalité, que toute histoire soit, à la rigueur, transcendantale (c’est-à-dire guidée par l’assomption préalable de la structure idéale des objets qu’elle concerne) ce sont là deux expressions de la même « vérité ». Deux témoignages portés sur le même mouvement : celui par lequel le sujet historique qui est devenu un « homme mathématicien », manie, propose et domine, dans le bouleversement sans cesse rééquilibré de leurs rapports, les champs opératoires qui sont sa médiation vers le monde.

34Cela veut dire que les « structures formelles » se construisent toujours sur le fond de structures naïves – dont la mise en œuvre est une condition de constitution des formes de domination pratiques à l’œuvre dans l’expérience elle-même. De là vient sans doute « l’allure » qu’elles nous ont présentée. De toutes parts elles sont enveloppées dans le champ de leur genèse, et de l’intérieur, habitées par lui.

Extraits de la discussion

35M. Papert – L’idée de structure en mathématique est utile comme nous venons de l’entendre de la bouche de M. Desanti. Cependant, je poserai la question de savoir ce que signifie l’exigence de la pensée structurelle au sein de l’activité mathématisante, en quel sens on peut distinguer entre une pensée structuraliste et un autre genre de pensée. Il me semble que cette distinction est possible et que la période actuelle de la mathématique se caractérise précisément par le fait que les mathématiciens, dans leur activité mathématisante, adoptent de plus en plus une pensée structuraliste.

36Je voudrais esquisser une sorte de liaison entre la pensée structuraliste en mathématique et la pensée structuraliste en sociologie, en physique. Je vais considérer par exemple le théorème de Pythagore, le théorème de l’arithmétique. En faisant l’historique d’un théorème qui était connu depuis les Grecs, on peut distinguer plusieurs phases : il y eut d’abord une phase préhellénique ou une période précoce de la mathématique grecque où l’on s’intéressait surtout à la vérité pratique du théorème de Pythagore sans se soucier de sa nécessité. Cette attitude s’est révélée très vite insuffisante et, comme on le sait, les Grecs ont proposé bientôt un théorème d’une signification plus large. Ils se sont demandés : pourquoi ce théorème est-il vrai ? et quel est le rapport entre cette vérité et la vérité d’autres théorèmes ? Le résultat de cette réflexion est une mathématique comme celle d’Euclide ; peu importe ici qu’elle se fonde sur des vérités évidentes ou des postulats qui servent de point de départ à la construction. L’essentiel est qu’on arrive à une conception rigoureuse, à des théorèmes démontrables dont on se contente. Mais il existe un autre genre de questions que, je crois, les Grecs ne se sont guère posées. Une fois démontré un théorème géométrique ou arithmétique à partir d’axiomes euclidiens ou de vérités évidentes on peut se demander sur quoi repose la vérité ainsi démontrée. Je suis convaincu, je suis obligé d’accepter ce théorème, je le démontre, mais je ne justifie pas ma conviction. J’ignore pourquoi les choses sont ainsi et non autrement. L’illusionniste a fait sortir un lapin du chapeau. On ne peut pas nier l’existence de ce lapin ; il est là, mais on ne sait pas d’où il sort. Il y a un mystère. Or ce mystère me semble très comparable aux autres mystères que l’on a discutés hier, celui de la pièce de monnaie, celui de l’organisme en biologie. Il est donc naturel que dès lors on voie dominer l’idée structuraliste qui est l’un des fils directeurs de la conception bourbakiste. Au-delà du système des axiomes euclidiens, on exige un système qui explique la genèse de cet ensemble de propositions. Dès lors une autre espèce de considération s’impose. Il ne suffit pas de dire que tout successeur d’un nombre est un nombre et de formuler cinq autres axiomes qui sont eux aussi transparents et évidents, sans qu’on saisisse néanmoins pourquoi ces théorèmes sortent de ces axiomes. On cherche une autre espèce d’axiomes, une autre espèce de classe d’axiomes. On dit que les nombres ont une structure quelconque, de sorte qu’on peut voir que telle ou telle propriété des nombres est construite sur telle structure. On parvient ainsi, dans le travail de l’analyse concrète, à éliminer le « mystère » et, moins il y a de mystère, mieux on comprend, plus on découvre de nouvelles possibilités d’analyse. Cette méthode d’analyse s’est révélée déjà très utile dans l’activité mathématique.

37Et c’est là que la pensée structuraliste des mathématiques contemporaines, depuis la fin du xixe siècle, trouve sa place normale dans le développement de toutes les autres sciences. C’est à la même époque qu’on assiste au progrès de la pensée structuraliste dans la physique, dans la biologie, partout… Il me semble que ce développement en mathématique doit être intimement lié à l’ambiance des méthodes et qu’il doit y avoir une interaction avec les autres sciences et toute la pensée.

38M. Desanti – Je suis d’accord avec ce que vous avez dit. Mais l’objet de mon exposé n’était pas de faire l’histoire des conceptions structuralistes. Ce que vous demandez, ce serait de dire pourquoi la pensée structuraliste apparaît à tel moment plutôt qu’à tel autre. Mais en réalité, je ne crois pas que la mathématique d’Euclide soit non-structuraliste. Euclide ne sait pas qu’il manipule des structures. Il les utilise sans les thématiser. Prenez par exemple la définition qu’il donne de la droite. Les définitions d’Euclide sont, soit des définitions que nous appellerions aujourd’hui « schématiques », soit des définitions que nous appellerions aujourd’hui simplement descriptives. Il définit la droite comme la ligne qui repose également sur chacun de ses points. Cette définition se fonde sur un schème de dessin : toute droite est homogène à elle-même en chacune de ses parties. Cette définition n’est aucunement opératoire. Mais Euclide donne une autre définition de la droite qui est axiomatique, lorsqu’il affirme que : « deux points suffisent à la déterminer ». C’est cette seconde définition qui rend le concept « droite » utilisable dans une suite de démonstrations.

39M. Moles – Un traité de mathématique, c’est précisément une mosaïque de propositions, un répertoire de choses avec lesquelles on peut jouer. Mais je voudrais vous poser une question. Vous dites que dans ce répertoire, sous ces noms, il y a cependant des règles, les éléments nécessaires pour fabriquer des structures. C’est un ensemble des règles fondamentales à l’esprit humain qui ont servi à fabriquer des théorèmes. Ne s’agirait-il pas alors d’une « structure des structures » ?

40M. Desanti – C’est impossible car une structure de structures devrait elle-même être définie par des théorèmes…

41M. Moles – Vous pouvez annuler les définitions qui sont paradoxales au point de vue logique, mais elles sont parfaitement opérationnelles au point de vue pratique, au point de vue psychologique. Permettez-moi une deuxième remarque que me suggère votre exposé, mais qui ne le met pas en question. L’idéal des mathématiques ou des mathématiciens est d’avoir le moins de données possibles au prix des démonstrations les plus nécessaires. Or beaucoup de gens font des mathématiques sans être mathématiciens. Leur idéal, il me semble, est différent. Admettez-vous cette différence entre les mathématiciens de profession et les utilisateurs des mathématiques et trouvez-vous qu’elle soit en rapport avec les divergences et les luttes véhémentes qu’on entend quelquefois à l’amphithéâtre du rez-de-chaussée de l’institut Poincaré lors des réunions de la société des mathématiciens ?

42M. Desanti – Selon les exigences qui me concernent une démonstration doit être la plus courte possible. Je ne me place pas au point de vue de l’information. Je me place au point de vue de la conviction que je veux acquérir au sujet des propriétés qui sont mises en œuvre. L’exigence qui s’impose à moi lorsque je mets sur pied une démonstration, c’est de savoir si j’ai le droit de dire ce que je dis. Le problème de l’information est différent.

43M. Piaget – Je voudrais faire quelques remarques qui concernent l’exposé de Desanti et l’intervention de Papert. Papert nous dit que le structuralisme actuel des mathématiques est peut-être lié au structuralisme des sciences contemporaines. C’est bien possible. Mais il me semble qu’intervient en outre un facteur d’évolution interne dans l’histoire des mathématiques, et je serais bien heureux d’avoir à ce propos la pensée de Desanti. J’ai été frappé par le beau livre de Pierre Boutroux sur l’idéal scientifique des mathématiciens ; l’auteur distingue trois périodes : une période grecque réaliste et contemplative où la mathématique est saisie comme quelque chose d’extérieur à l’esprit, – une période qu’il appelle, je crois, synthétique, qui est celle de Descartes, de la découverte de la géométrie analytique, de Newton, de Leibniz, avec l’algèbre, le calcul infinitésimal, etc., – et finalement une troisième période qu’il appelle d’objectivité intrinsèque, qui correspond à la découverte des structures. On pourrait dire que psychologiquement la période contemplative correspond à une ignorance, à un défaut de prise de conscience des opérations. On découvre le résultat d’une opération au lieu de découvrir l’opération elle-même. La prise de conscience va de la périphérie en direction du centre, et non l’inverse, comme le croyait la psychologie introspective. Par conséquent les Grecs ont pu manipuler une opération à fond sans prendre conscience de la nature de cette opération. La seconde période, c’est la prise de conscience, la découverte historique des opérations ; et la troisième période serait simplement le moment où la prise de conscience des opérations – qui, pour des raisons psycho-biologiques constituent nécessairement des structures, en vertu même de la nature de l’esprit humain, – entraîne par la prise de conscience des structures sous-jacentes à ces opérations. Desanti admettrait-il cette interprétation psychologique de l’histoire des mathématiques dans de très grandes lignes, en se référant simplement aux trois périodes de Boutroux ? Mais ce n’est pas tout. J’ai été frappé dans l’exposé de Desanti par le fait que, s’il nous a parlé de la structure, en ce qui concerne la genèse, il a suggéré qu’elle est plus utile à l’historien des mathématiques qu’au mathématicien lui-même. Là je pose un point d’interrogation. Je songe à la crise ouverte à la suite du théorème de Gödel et qui consiste en ce que les mathématiciens, pour mettre de l’ordre à un certain niveau du formalisme, ne peuvent se contenter des seuls instruments correspondant à ce niveau, mais sont toujours obligés de remonter à quelque chose de supérieur. On ne peut pas démontrer la non-contradiction de l’arithmétique avec des moyens purement logiques et arithmétiques sans recourir à une référence transcendante. Papert faisait, à ce propos, une suggestion qui semblera téméraire au mathématicien, mais qui ne peut que satisfaire le psychologue. Il a suggéré, en effet, qu’il fallait recourir aux opérations du sujet, à l’activité du sujet. Je demande à Desanti s’il croit possible cette réintroduction du sujet dans la construction de nouvelles structures. Les trois structures de Bourbaki, les structures algébriques, les structures d’ordre, les structures topologiques, ont ceci d’extrêmement frappant qu’elles correspondent aux structures naturelles de l’intelligence. Lorsqu’on étudie le développement des mathématiques chez l’enfant, c’est parfaitement ces trois structures qu’on trouve. On trouve les structures algébriques, avec les groupements élémentaires, avant d’arriver aux groupes ; on trouve des structures d’ordre avant d’en venir au réseau, ce qui se fait au niveau de l’adolescence, et on trouve des structures topologiques à tous les niveaux. Si utopique soit-elle – mais je crois fermement à cette utopie, – ne peut-on espérer par là et en ce sens une jonction future entre la mathématique et la psychogenèse ?

44M. Desanti – Les questions de M. Piaget sont des questions cruciales pour l’historien des mathématiques. La première concerne le développement interne des mathématiques. À regarder les choses dans la succession des périodes, ainsi que fait Boutroux, il semble bien en effet qu’on soit passé d’une attitude contemplative à une attitude constructive et finalement à une attitude structurelle. Mais il est difficile de dire si ce développement interne est autonome ou s’il résulte de la conjonction entre de multiples circonstances extérieures. La réponse ne peut être univoque. Elle dépend des périodes, des théories, du degré de développement de la mathématique. Si je considère, par exemple, la théorie de l’intégration telle qu’elle a évolué de Riemann à Lebesgue, on constate un développement interne. Ce sont les exigences internes de la théorie qui ont suscité l’extension des opérations de l’analyse à des classes de plus en plus générales de fonctions.

45Quant au problème posé par l’insertion du sujet, il ne me gêne aucunement, pourvu que ce sujet soit « normé » par ses propres actes.

46M. Piaget – Un sujet est toujours « normé ». Lorsqu’il construit les nombres réels, il se repère toujours – explicitement ou non, mais d’une façon qui est toujours explicite pour le lecteur – aux nombres rationnels et aux nombres entiers.

47Mais notre enseignement des mathématiques porte encore la trace d’une période qui ignorait tout recours à la pensée génétiste. Et par conséquent, jusqu’au niveau universitaire, pour tous les élèves, il reste une espèce de contradiction entre évidence et rigueur, contradiction qu’on ne peut pas franchir, ou qu’on ne peut franchir qu’en introduisant la pensée structuraliste qui permettrait de se passer de tout recours à l’évidence. Mais que signifie génétiquement l’idée d’évidence sinon que le sujet est capable de voir la construction nouvelle à partir des constructions qu’il a déjà faites ?

48M. Desanti – Je suis tout à fait d’accord avec vous et je n’ai rien à ajouter.

Notes

1 La notion de « structure » est présentée ici d’une manière intuitive. Pour une définition précise voir N. Bourbaki, Théorie des ensembles, chap. III ou, à la rigueur, Théorie des ensembles. Fascicule de résultats, § 8.

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