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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

Les mathématiques : naissance de la « modernité » (1850-1900)

Note de l’éditeur

Initialement publié dans Histoire de la philosophie, tome 6 , La philosophie du monde scientifique et industriel, F. Châtelet dir., Paris, Hachette, 1973, p. 189-204. © Hachette littérature, 2000 © Librairie Arthème Fayard, 2010

Texte intégral

1On parle beaucoup, ces temps derniers, des mathématiques « modernes ». Or cette « modernité » ne date pas d’aujourd’hui – ni même d’hier. Voici plus d’un siècle que les mathématiques sont devenues « modernes ». Sur quels points et comment ? Pour le savoir il nous faut revenir aux années 1850.

La fausse unité

2En ces années une certaine forme de pratique mathématique est sur le point de basculer dans un passé révolu. Cette pratique s’était fondée sur l’unité (provisoire) des règles du calcul et des exigences de l’intuition. Un exemple bien connu nous serait fourni par la notion de courbe, pensée, d’une manière jugée indissoluble, comme expression analytique et comme chemin décrit par le mouvement d’un point. Limitation à laquelle, à la fin du xviiie siècle, L. de Lagrange lui-même n’avait pas toujours échappé. La représentation d’une telle unité portait à s’imaginer un champ d’évidence dans lequel on serait toujours en mesure de vérifier la concordance entre les enchaînements opératoires propres à un calcul et les lois immanentes permettant de ressaisir dans l’intuition les modalités de construction des objets que les opérations composent. Pour nous en tenir ici à l’exemple des courbes continues planes, l’équation f (x, y) = 0 déterminait une région du plan telle que la donnée de l’architecture formelle « f » serait toujours renvoyée à un corrélat intuitif dont on pourrait saisir, de proche en proche, et au voisinage de chaque point, l’engendrement réglé. Cette présupposition paraissait s’articuler fort bien sur la conception kantienne des mathématiques dont E. Kant avait dit qu’elles procèdent « par construction de concepts ». Au niveau de la pratique des mathématiques elle était de nature à autoriser certaines espèces de raisonnements (dits « géométriques ») fondés précisément sur cette exigence de constructivité ; par exemple : la façon dont on croyait pouvoir « démontrer » cet énoncé faux que toute fonction continue est différentiable ; seule ici l’imprécision du langage permettait d’atteindre la conclusion souhaitée.

Les trois fractures

3Or, vers 1850, ce domaine d’évidence s’effondre selon trois lignes de fractures principales.

Les géométries générales

4La première est ouverte par l’essor des géométries générales (« non euclidiennes »). En 1826, N. Lobatchevski construit un modèle (que nous nommons aujourd’hui hyperbolique) dans lequel le cinquième postulat d’Euclide (équivalent à l’énoncé suivant : par un point du plan on peut mener une parallèle et une seule à une droite du plan) était nié. La même année F. Bolyai avait achevé la rédaction d’un travail publié quelques années plus tard, et qui, au langage près, exposait les mêmes résultats que celui de N. Lobatchevski. En 1854, B. Riemann, dans un célèbre mémoire (Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie), construit un autre modèle non euclidien (que nous nommons aujourd’hui elliptique) et qui devait être appelé à jouer un rôle fondamental dans la physique mathématique. Dans le modèle de Lobatchevski, par un point du plan, on peut mener deux parallèles à une droite du plan. Dans le modèle de B. Riemann, par un point du plan on ne peut mener aucune parallèle à une droite du plan. Quelle était la portée de ces résultats ? Ils n’annulaient aucunement la « géométrie euclidienne ». Les vingt-huit premières propositions du livre I des Éléments d’Euclide restent vraies – puisqu’elles n’utilisent pas le cinquième postulat. À partir de la proposition 28, trois voies étaient permises (plus de trois aujourd’hui !) : celle d’Euclide lui-même, celle de Bolyai-Lobatchevski, celle de Riemann. Il se vérifiait ainsi la possibilité de nier un énoncé considéré comme « évident » et d’obtenir, en le remplaçant par d’autres (choquants pour notre représentation usuelle de l’espace), un édifice théorique cohérent, un domaine dans lequel on pouvait engendrer des énoncés ayant statut de théorèmes. Par un choc en retour, cela signifiait que la géométrie d’Euclide ne devait pas sa « vérité » à l’« évidence » de ses principes, mais à la cohérence des systèmes de propositions produits en son sein. C’était la revanche posthume, sur ce point, de G.W. Leibniz sur E. Kant, et l’effondrement, en une région essentielle, du critère de l’évidence. Du même mouvement apparaissait une technique qui devait, un jour, être appelée à un grand développement : celle qui permet de montrer l’indépendance d’un axiome en construisant un modèle cohérent dans lequel l’axiome n’est pas satisfait. Par là commençait à se vérifier cette propriété des théories mathématiques que la « vérité » y est relative au système d’axiomes initialement posés.

La théorie des fonctions

Théorie analytique de la chaleuri.e.ππf(x)ièmef(x)dxxviiief(x)a priorixnx1xn

La libération de l’algèbre

5Une troisième ligne de fracture apparaît du fait de la « libération » de l’algèbre. À vrai dire, depuis près de deux siècles, Leibniz l’avait déjà libérée, lorsqu’il avait proposé le concept de calcul généralisé. Pour Leibniz, un « calcul » est un système formé par un ensemble d’objets quelconques et un ensemble de lois de composition définies sur lui. Il n’est nullement requis ici que les « objets » soient des nombres, ni que les lois de composition aient précisément les propriétés des opérations usuelles de l’algèbre (par exemple, commutativité de la multiplication). La seule condition à laquelle doive obéir un calcul est que l’usage des lois de composition n’y engendre pas de contradiction (par exemple, le calcul qui constitue l’arithmétique s’effondrerait si on pouvait y produire à la fois 1 ≠ 0 et 2 = 0 ; on pourrait alors y produire n’importe quelle formule). On sait que l’œuvre de Leibniz sur ce point devait rester longtemps en marge de l’activité productrice des mathématiciens. L’investissement du calcul infinitésimal dans le champ de la mécanique, dans celui de la physique (la « philosophie naturelle ») et dans celui de la géométrie algébrique fut la grande affaire du xviiie siècle et elle a suffi pour l’essentiel à absorber les forces des mathématiciens de Newton à Lagrange. L’algèbre générale que Leibniz avait envisagée demeura hors de vue. Or, voici qu’en ces années, et dans le champ traditionnel de l’algèbre, apparaissent des problèmes qui ouvrent la voie vers l’« algèbre abstraite ». Déjà Lagrange et Gauss dans leurs travaux sur la résolution des équations algébriques, avaient été conduits à définir des lois de composition sur des êtres mathématiques qui n’étaient pas des nombres : les permutations. Ils maniaient ainsi (sans définir ni nommer explicitement le concept concerné par leur pratique) les propriétés de « l’objet » mathématique que nous appelons « groupe fini ». Évariste Galois, dont les travaux commencent à être connus après 1846, étudiant systématiquement les propriétés des groupes de permutations associées aux équations algébriques, dégage quelques-unes des propriétés générales des groupes, et manie le concept de groupe abstrait, puisqu’il utilise la notion d’isomorphie entre structures de groupes (ce qui donne à entendre qu’il a conçu la structure de groupe indépendamment des modèles dans lesquels cette structure se réalise). Mais la voie vers l’algèbre abstraite devait être tracée à partir d’autres régions du champ mathématique. Entre 1844 et 1867, en Angleterre et sur le continent, voient le jour des travaux qui généralisent la notion d’opération, en étendant son champ à des objets d’une autre espèce que les objets habituels de l’algèbre. Dès 1844, H. Grassmann avait formulé les principes de l’algèbre linéaire : il avait étendu à l’« espace à n dimensions », l’opération usuelle d’addition des vecteurs. En 1847, G. Boole (The Mathematical Analysis of Logic) définit sur les termes (concepts, classes, propositions) des lois de composition vérifiant les lois formelles des opérations classiques de l’algèbre (commutativité, associativité), mais possédant, en outre, des propriétés spécifiques (idempotence de l’« addition » et de la « multiplication » par exemple) ; double distributivité de l’« addition » (disjonction des termes) et de la « multiplication » (conjonction des termes). Il renouait ainsi avec la tradition inaugurée par Leibniz et signait l’acte de naissance de l’Algèbre de la Logique. Enfin (pour nous borner à l’essentiel) en 1853, W.R. Hamilton, en publiant les Lectures on Quaternions construit une algèbre dans laquelle les opérations définies ne sont pas commutatives. Ce mouvement d’extension du champ de l’algèbre au cours duquel se dégage peu à peu la notion de loi abstraite de composition, devait aboutir en 1867 à l’exposé systématique de H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, dans lequel l’idée de loi formelle est explicitement posée. Ainsi, en même temps que se dégage le concept général d’algèbre (système formé par la donnée d’un ensemble de termes et d’un ensemble de lois de composition définies sur lui), commence à s’ouvrir et à se préciser la tâche mathématique de construire des algèbres différenciées.

6Chacune de ces lignes de fracture, selon lesquelles se brise la figure d’équilibre de la Mathesis héritée du xviiie siècle, ouvre un champ mathématique neuf. L’activité mathématicienne qui travaille dans ces champs différenciés va, en l’espace de cinquante ans, produire une nouvelle configuration de la mathématique, un autre mode de distribution de ses objets. Il ne saurait être question pour nous de décrire ce mouvement, fût-ce dans ses grandes lignes. Bornons-nous à indiquer quelques exemples qui nous permettront d’apercevoir la nature des problèmes épistémologiques posés par la mise en place des formulations mathématiques nouvelles dont, en ces années 1850, nous venons de marquer la naissance.

Les origines de la mathématique moderne

7Prenons comme centre de perspective l’année 1884 où G. Frege publie les Fondements de l’arithmétique. L’auteur s’y propose de définir, à l’aide des seules ressources de la logique, le concept de nombre naturel. Un tel projet ne se comprend que rapporté à son contexte mathématique. Car, considéré en lui-même, il n’a rien de nouveau. Avant Frege, B. Bolzano, né en 1781 et mort en 1848, avait dans sa Wissenschaftslehre, conçu la tâche de reproduire tout l’édifice des mathématiques sur le fondement d’une logique purifiée et entièrement remaniée à cet effet. Bien des distinctions qui nous sont aujourd’hui familières (la distinction entre sémantique et syntaxe), bien des concepts devenus usuels (par exemple celui de système déductif) furent élaborés par Bolzano, pour les besoins de son entreprise théorique. Avant Frege il a donné congé au psychologisme et, du même mouvement, à la philosophie kantienne des mathématiques. Si l’on songe qu’il a été lui-même un mathématicien créateur et que dans son œuvre posthume (Les Paradoxes de l’infini, 1851) il énonce, trente ans avant G. Cantor, quelques-unes des propriétés des ensembles infinis, on mesurera à quel point son projet d’une « grande logique », s’articulait sur les exigences de la mathématique la plus avancée de son temps, et témoignait pour la mise au jour des configurations nouvelles. Mais, du vivant de Bolzano, son œuvre eut peu d’impact dans la cité mathématicienne. On pourrait formuler la même observation sur l’œuvre de G. Frege qui devait rester méconnue jusqu’au moment où, en 1903, B. Russell, dans un appendice de ses Principles of Mathematics lui rendit un hommage éclatant. Et de fait, en cette année 1884, elle s’articulait fortement sur la base de tout l’édifice mathématique.

G. Frege

  • 1 L’axiome dit d’Archimède est, on le sait, dû à Eudoxe ; il caractérise les grandeurs que les mathém (...)

8D’une part le mouvement d’arithmétisation de l’analyse se trouvait achevé. L’enseignement de K. Weierstrass avait été sur ce point décisif. Le système des nombres réels constituait ainsi le domaine dans lequel, en dehors de tout appel à l’intuition « géométrique », il était possible de définir sans contradiction (du moins telle était la conviction des mathématiciens) les opérations et les objets de l’analyse. Ce système était construit d’une manière entièrement axiomatique. En particulier, sa nature archimédienne1 exclut du champ de l’analyse toute considération des infiniment petits. Du même coup, se trouve atteint le but que s’était proposé Lagrange lorsque, dans l’Introduction de la Théorie des fonctions analytiques (1797), il avait déclaré vouloir éliminer de la théorie des fonctions les notions étrangères (en particulier les notions issues de la mécanique : la « variation » d’une « grandeur » considérée comme liée au « mouvement » d’un point sur un axe). Cette élimination exigeait maintenant un remaniement du concept de « variable ». Mais bien davantage encore, la construction due à Weierstrass exigeait une attention au statut des concepts définis au point de départ. Dans une théorie axiomatisée, développée en système déductif, les énoncés ne doivent leur vérité qu’aux axiomes et aux règles de déduction. Le respect constant des règles d’une logique immanente est le seul recours du mathématicien. Or le système des réels avait été obtenu à partir du système des entiers naturels par extension et complétion, selon un schéma aujourd’hui bien connu :

9C’est dire que, du point de vue logique, la sécurité du système est suspendue à la sécurité du point de départ : celle de l’arithmétique des entiers naturels. Éliminer de l’arithmétique les notions étrangères à la pure logique, cela devenait alors un problème mathématique fondamental. C’est pour aborder ce problème que Frege avait, en 1879, dans son Begriffschrift, remanié ab ovo les concepts fondamentaux de la logique en créant pour cela un symbolisme adéquat et entièrement explicite. Le Begriffschrift n’est pas, comme les constructions de G. Boole et de A. de Morgan, une simple extension de l’algèbre. Il est fondamentalement la production d’une langue formelle entièrement transparente, dont les lois soient visibles dans le système des écritures qui constituent ses expressions ; une langue dans laquelle on puisse définir avec une entière précision les notions depuis longtemps utilisées par les mathématiciens, celles qu’ils étaient spontanément portés à admettre sans autre examen : non seulement le concept de nombre naturel, celui de fonction, celui de relation, mais aussi des concepts plus enracinés encore dans leur pratique : celui de formule, celui d’énoncé, celui de proposition, celui d’enchaînement démonstratif. Le projet du Begriffschrift est en somme de produire la langue non ambiguë dans laquelle les textes mathématiques doivent être écrits, de sorte que le système de ces écritures soit entièrement adéquat aux êtres mathématiques dont les textes énoncent et enchaînent les propriétés. C’était l’acte de naissance de la logique moderne. C’est sur le fond de ce remaniement de la logique qu’en 1884 Frege entreprend, dans un langage informel, de remettre en chantier les racines de l’arithmétique, et du même coup la base de l’édifice de l’analyse arithmétisée. À partir de 1893 il devait, dans les Grundgesetze der Arithmetik, produire le système entièrement formalisé dérivant, dans la logique qu’il avait exhibée, les théorèmes fondamentaux de l’arithmétique et de l’analyse.

10Tel est l’un des problèmes que pose la mise en place de la nouvelle configuration mathématique : la production d’une Logique suffisamment forte pour qu’on puisse (sans contradictions !) y dériver au moins les propositions fondamentales de l’arithmétique. Le domaine théorique ouvert à ce moment, est avec d’autres techniques et dans d’autres champs, encore vivant aujourd’hui.

G. Cantor

11Or la même année, les Mathematische Annalen publiaient le dernier d’une série de six mémoires (la publication avait commencé en 1879, l’année même du Begriffschrift) dont le titre était : Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (Sur les ensembles linéaires infinis de points). L’auteur Georg Cantor, travaillait dans un tout autre champ que Frege. Il avait inauguré son activité mathématique en 1872 par des recherches consacrées au problème, que nous avons évoqué plus haut, de la représentation d’une fonction arbitraire au moyen d’une série trigonométrique. Des exigences techniques (l’étude des singularités des fonctions les plus générales) l’avaient conduit à tenter d’analyser systématiquement les propriétés des ensembles de points (qu’il nommait des « multiplicités » (Mannigfaltigkeiten), avant d’utiliser le mot qui devrait être retenu : « ensembles » (Mengen, en anglais Sets)). Un « point », bien entendu, doit être considéré ici d’une manière purement arithmétique comme un nuplé de nombres. Dans le cas linéaire, n était pris égal à 1. Cantor n’avait pas du tout les mêmes soucis que Frege : il n’était pas orienté vers les problèmes de fondement et les précautions logiques préalables n’étaient pas son fait. Cependant, dans le domaine qu’il explorait il devait produire des théorèmes et engendrer des objets dont la portée et le statut allaient poser des questions de fondement et s’articuler, en cela du moins, sur le champ des problèmes ouvert par Frege.

12Et tout d’abord (en dépit des différences essentielles dans le traitement du matériau mathématique) on ne peut pas ne pas être frappé du parallélisme des opérations par lesquelles Frege définit le concept de nombre (comme classe d’équivalence définie sur les concepts par la relation de correspondance bi-univoque), et celles par lesquelles Cantor définit le concept de puissance d’un ensemble. Pour Frege, deux concepts sont dits équi-numériques si l’on peut établir une correspondance bi-univoque entre les objets qui tombent sous l’un et les objets qui tombent sous l’autre. Pour Cantor, deux ensembles (en 1884 ensembles de points) sont équipotents si l’on peut définir entre les éléments de l’un et les éléments de l’autre une fonction établissant une correspondance bi-univoque. La notion d’application (que Frege s’était efforcé de définir en termes purement logiques) apparaissait chez l’un et chez l’autre comme désignant l’opération fondamentale capable d’engendrer des êtres mathématiques. La différence essentielle tenait à ce que, chez Cantor, le concept d’élément d’un ensemble restait intuitif et assez flou. Frege, en revanche, s’était efforcé de préciser dans son formalisme ce qu’il convenait d’entendre par l’expression : « l’objet x tombe sous le concept F ». Il reste qu’il est possible de traduire en langage frégien la définition cantorienne de la puissance d’un ensemble, et réciproquement (pour peu que l’on dispose d’un formalisme adéquat, ce qui est le cas aujourd’hui) de traduire en langage ensembliste la définition frégienne du concept d’entier naturel (quitte à dénaturer le point de vue originel de l’un et de l’autre : mais cela n’altère en rien l’équivalence in re des opérations utilisées). Ainsi, dès le point de départ, deux recherches entreprises depuis des points différents du champ mathématique, dans des buts différents et dans des horizons théoriques différents, se trouvaient manifester le caractère fondamental d’un même concept : celui d’application. Cette importance, un autre mathématicien, R. Dedekind, l’avait à son tour reconnue. Il n’était plus temps de répéter désormais avec L. Kronecker : « Dieu a créé les entiers, nous, mathématiciens, avons construit le reste. » Le concept d’application est plus vieux (logiquement) que le concept d’entier. Or il désigne une opération.

13Il y a plus. L’usage de l’application conduit Cantor à engendrer (au sens faible, i.e. sans qu’il soit le plus souvent possible d’exhiber un procédé permettant de construire les objets engendrés) une échelle d’ensembles infinis de puissance croissante. Pour Cantor, comme pour son contemporain Dedekind, un ensemble infini (c’est sa définition) est en ensemble tel que l’on peut établir une correspondance bi-univoque entre ses éléments et ceux d’une de ses vraies parties. Par exemple, nous reconnaîtrons que l’ensemble des entiers est infini à ceci que nous pouvons faire correspondre à tout nombre entier (pair ou impair) un nombre pair et un seul et réciproquement à tout nombre pair un nombre entier et un seul. Or l’ensemble des nombres pairs est une vraie partie de l’ensemble des entiers. Nous disposerons ainsi d’une première classe d’ensembles infinis ; les ensembles possédant la puissance du dénombrable, i.e. ceux que l’on peut appliquer d’une manière bi-univoque sur l’ensemble des entiers. L’usage de l’application détruit ainsi un préjugé intuitif à ce point enraciné qu’il a été longtemps tenu pour un axiome : le tout est plus grand que la partie. Cet axiome qui vaut pour les « grandeurs finies » dès qu’on dispose sur elles d’une métrique, un segment de droite de longueur donnée, par exemple, ne vaut plus rien dès que l’on a affaire à l’ensemble des points situés dans ce même segment. Les expressions « plus grand que », « plus petit que », sont, en ce domaine, distinctes des expressions « contenir » et « être contenu dans ». C’est ainsi que Cantor a démontré que l’ensemble des rationnels, qui contient l’ensemble des entiers, lui est équipotent. L’usage répété de l’application le conduit plus loin. Il montre qu’il est contradictoire de supposer l’existence d’une fonction appliquant d’une façon bi-univoque l’ensemble des points d’abscisse rationnelle d’un segment de droite sur l’ensemble des points appartenant à ce segment. Ce qui le conduit à énoncer que l’ensemble des nombres réels possède une puissance supérieure à celle du dénombrable. Il nomme cette puissance « la puissance du continu ». Plus généralement, il démontre que l’ensemble des parties d’un ensemble possède une puissance supérieure à l’ensemble lui-même. Et comme il suppose (sans l’énoncer explicitement comme axiome) qu’on peut toujours former l’ensemble des parties d’un ensemble quelconque, il disposait ici d’un moyen (non constructif !) d’engendrer une échelle infinie de puissances croissantes.

Le paradis cantorien

14Dix ans plus tard, en 1895 et 1897, Cantor devait généraliser à des ensembles quelconques les résultats obtenus sur les ensembles de points et créer la théorie des nombres cardinaux et ordinaux transfinis – donnant ainsi naissance à ce que D. Hilbert allait nommer « le Paradis que Cantor nous a donné ».

15Or dans ce Paradis un fruit, au moins, contenait un ver. Un seul exemple nous suffira pour le montrer. Le raisonnement par lequel Cantor démontre que l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble a une puissance supérieure à l’ensemble lui-même, utilise, dans le cas général, le tiers-exclu. C’est un raisonnement par l’absurde. Il suppose que l’objet nommé « ensemble quelconque » est assez bien défini pour qu’on puisse toujours décider, un objet étant donné, s’il appartient ou n’appartient pas à cet ensemble ou si une propriété P étant donnée, il la possède ou ne la possède pas. Tant qu’on raisonne, dans l’analyse classique, sur des ensembles de points pour lesquels on dispose généralement de correspondances fonctionnelles bien définies, une telle question peut être ajournée. Il n’en est plus de même dans les mémoires de 1895-1897, où l’on travaille sur des ensembles quelconques. Il importe alors que l’expression « ensemble » dénote toujours un objet bien défini, dont l’usage n’engendre pas de contradiction, quel que soit l’ensemble que l’on ait en vue. En particulier il doit être possible de considérer des ensembles dont les éléments soient eux-mêmes des ensembles. Rien ne nous empêche alors, semble-t-il (puisque nous avons la liberté de former des ensembles quelconques), de considérer l’ensemble E, nommé « ensemble de tous les ensembles ». Cet ensemble n’est pas vide par définition. Nous avons alors (semble-t-il) le droit de considérer comme bien défini l’ensemble de ses parties, P(E). Qu’en est-il de la puissance de P(E) ? Cantor, en 1899, découvre le paradoxe. La puissance de P(E) doit être supérieure à la puissance de E. Mais E est « l’ensemble de tous les ensembles » ; donc P(E), qui est un ensemble, est une partie de E, et doit alors avoir une puissance au plus égale à celle de E. Contradiction. Dès lors, ou bien le théorème fondamental qui permet d’« engendrer » les puissances est faux – et alors c’en est fait du « Paradis de Cantor » ; ou bien il importe de remettre complètement en chantier le concept d’ensemble – de façon à éliminer dès le point de départ cette contradiction insupportable. On pourrait ici incriminer la « naïveté » de Cantor, c’est-à-dire l’absence d’un formalisme suffisamment explicite et soigneux, et le fait qu’il ait laissé dans l’ombre le statut des notions d’ensemble et d’élément. On aurait tort. En 1902, Frege lui-même, qui avait pris tant de précautions, alerté par B. Russell, écrit avec désespoir dans un post-scriptum au second tome de ses Grundgesetze : « Rien ne peut arriver de pire à un auteur scientifique que de voir s’écrouler les fondations de son édifice, une fois l’œuvre achevée. » Et il ajoutait : « Solatium miseris, socios habuisse dolorum… quiconque en ses démonstrations fait usage des extensions de concepts, des classes, des ensembles est dans la même situation que moi. Ce qui est en question ce n’est pas seulement la façon dont j’ai moi-même fondé l’arithmétique, mais bien la possibilité de donner à l’arithmétique un fondement logique quel qu’il soit. »

16Ainsi ce siècle s’achève sur une interrogation. Le mouvement d’émergence des structures abstraites, dans lequel la configuration de la Mathesis se dessine à neuf, propose le concept d’un matériau minimal. Ce n’est plus le concept de nombre naturel, mais celui d’ensemble abstrait. L’activité mathématicienne devait produire les instruments techniques propres à le maîtriser, et à rendre plus proche et plus maniable le « paradis cantorien », à son tour relativisé. Mais ici commence une autre histoire.

Bibliographie

*

Bell E.T., The Development of Mathematics, New York – Londres, McGraw-Hill, 1945.

Bourbaki N., Éléments d’histoire des mathématiques, Paris, Hermann, 1960.

Cavaillès J., Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles, Paris, Hermann, 1937.

Cavaillès J., Méthode axiomatique et formalisme, Paris, Hermann, 1937.

Desanti J.T., Les Idéalités mathématiques, Paris, Seuil, 1968.

Frege G., Les Fondements de l’arithmétique, Paris, Seuil, 1970. — Écrits logiques et philosophiques, Paris, Seuil, 1971 (traduction de Cl. Humbert).

Russell B., The Principles of Mathematics, Cambridge, The University Press, 1903

Hadamard-Borel-Lebesgue, « Cinq lettres sur la Théorie des ensembles » dans E. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Paris, Gauthier-Villars, 1914.

Vuillemin J., La philosophie de l’algèbre, Paris, PUF (Épiméthée), 1962.

Notes

1 L’axiome dit d’Archimède est, on le sait, dû à Eudoxe ; il caractérise les grandeurs que les mathématiciens grecs maniaient : étant donné une grandeur m, il existe un entier K, tel que le produit m. K soit supérieur à toute grandeur donnée r, supérieure à m.

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