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Mathesis, idéalité et historicité

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Jean-Toussaint Desanti

Une crise de développement exemplaire : la « découverte » des nombres irrationnels

Note de l’éditeur

Initialement paru dans Logique et connaissance scientifique, J. Piaget dir, Paris, Gallimard (Encyclopédie de la Pléiade), 1967, p. 439-464. © Éditions Gallimard (www.gallimard.fr). Tous les droits d’auteur de ce texte sont réservés. Sauf autorisation, toute utilisation de celui-ci autre que la consultation individuelle et privée est interdite.

Texte intégral

1À prendre le mot crise dans son sens le plus large, les mathématiques ne cessent jamais d’être en état de crise. Ouverture de conflits, remaniements de principes, réaménagement de méthodes accompagnent toujours le « progrès » à condition d’appeler progrès le triple mouvement d’élargissement des champs opératoires, d’extension des domaines d’objets, de spécification des systèmes d’axiomes. En ce sens le progrès des mathématiques est toujours critique, bien que, à certaines périodes et à l’intérieur de théories déjà mûres, leur développement puisse prendre l’allure d’une nécessité linéaire. Cependant l’histoire nous montre des moments privilégiés durant lesquels une et, parfois, plusieurs générations de mathématiciens ont eu une conscience explicite de l’« état de crise ». Il en a été ainsi dans l’Antiquité lors de la découverte des « irrationnelles ». Il en a été ainsi plus tard à plusieurs reprises : dans le cours du xviiie siècle, après la découverte du calcul infinitésimal, dès qu’il a fallu réfléchir sur la notion de « différentielle » (cf. Bayle, Dictionnaire à l’article « Zénon » ; cf. L’Encyclopédie à l’article « Infini ») ; au cours du xixe siècle, lorsque l’extension des opérations du calcul à des classes plus générales de fonctions (cf. le problème des cordes vibrantes, la définition de l’intégration pour les fonctions discontinues, etc.) a exigé un retour sur les principes de l’analyse, un remaniement des critères de rigueur, la substitution, suivant le mot de Dirichlet, des idées au calcul ; au milieu du xixe siècle lorsque la construction des géométries non euclidiennes a rendu sensible l’autonomie de la géométrie par rapport aux exigences de l’« intuition » et posé le problème de la nature des premiers principes ; à la fin de ce même siècle encore, lorsque les découvertes cantoriennes ont entraîné le remaniement de l’analyse à l’aide de la théorie des ensembles et posé, avec de nouvelles difficultés (cf. les paradoxes) et sur un terrain neuf (cf. Frege) le problème des rapports entre les mathématiques et la logique.

2Dire « quelques mots » sur chacune de ces crises (et la liste n’en est pas exclusive) aurait peu d’intérêt. Nous nous contenterons donc d’un exemple que nous décrirons avec assez de précision. La crise des « irrationnelles » nous semble convenir particulièrement. D’abord parce qu’elle est la première qui nous soit connue. Ensuite parce que les problèmes qu’elle a posés (comment dominer opératoirement le continu ?) ont commandé tout le développement de l’analyse. Enfin parce que la crise fut exemplaire. Elle n’a pas seulement entraîné une extension du domaine accessible au calcul. Elle a exigé une reconstruction de tout l’édifice mathématique et une remise en chantier de la notion d’être mathématique. Elle a brisé le cadre traditionnel (pythagorisme et platonisme) dans lequel, en partie, en raison des limitations de leur technique mathématique (ils étaient astreints à la considération des « figures » géométriques) les Grecs avaient tenté, en un premier moment, de penser le nombre ; elle a appelé une autre philosophie des mathématiques dont les éléments seront élaborés par Aristote. Ajoutons une dernière raison, purement pédagogique, de notre choix : l’analyse de la crise ne fait appel qu’à des notions mathématiques bien connues de tous, et l’effort de précision nécessaire ne se heurte pas, ici, à l’obstacle de la « technicité ».

3Un texte d’Aristote (Premiers Analytiques, 14 a 26) nous renseigne sur la manière dont les Grecs ont découvert les « irrationnelles » : « On prouve, écrit Aristote, l’incommensurabilité de la diagonale par cette raison que les nombres impairs deviendraient égaux aux nombres pairs, si on prenait la diagonale commensurable. » Le fait qu’Aristote ne donne pas le détail de la démonstration et qu’il la présente, d’une manière allusive, comme un exemple bien connu de raisonnement par l’absurde, est un indice du fait qu’avant Euclide déjà, les mathématiciens grecs n’éprouvaient plus d’inquiétude au sujet des irrationnelles. Et, de fait, nous savons par Platon (Théétète, 147 d) que Théodore avait construit les racines irrationnelles jusqu’à √17, et que Théétète avait proposé une méthode de construction de la suite indéfinie de ces mêmes racines. Nous savons aussi par Proclus, et par les scoliastes d’Euclide que, du vivant même de Platon, Eudoxe avait édifié une théorie générale des proportions englobant les grandeurs incommensurables.

4Pourtant, la découverte avait fait scandale. Si l’on en croit le premier scolie du livre X des Éléments d’Euclide elle est due aux pythagoriciens. Après avoir rappelé le contenu de la découverte, le scoliaste anonyme commente en ces termes la légende selon laquelle le pythagoricien qui avait, le premier, divulgué l’irrationalité de √2 aurait péri dans un naufrage : « Les auteurs de la légende ont voulu parler par allégorie. Ils ont voulu dire que tout ce qui est irrationnel et privé de forme doit demeurer caché. Que si quelque âme veut pénétrer dans cette région secrète et la laisser ouverte, alors elle est entraînée dans la mer du devenir et noyée dans l’incessant mouvement de ses courants. » La découverte de √2 avait donc paru livrer accès à l’univers redoutable de la démesure, à un domaine difficile à penser, irréductible aux normes habituelles du calcul et du discours bien réglé.

5Alogon, le mot grec qui désigne la notion d’« irrationnelle », peut en effet s’entendre en deux sens. En un sens restreint logos signifie « proportion », « rapport calculable ». Alogon désignerait alors la catégorie des grandeurs qui ne comportent pas de commune mesure assymetra mégéthé. En un autre sens plus général, logos veut dire « raison » (cf. logon didonai : « rendre compte »). Alogon signifierait alors : « dont on ne peut rendre compte », « dont l’existence met en danger les normes propres à assurer la cohérence du discours ».

6L’examen du raisonnement attribué aux pythagoriciens (cf. Euclide, Éléments, édition Heiberg, App. 27) montre qu’à l’origine du moins ces deux sens furent ressentis comme liés l’un à l’autre.

Soit AC la diagonale d’un carré ; et supposons la commensurable avec le côté AB. SoitImage 1000000000000011000000231B12E9E6DACB62B6.jpgle rapportImage 1000000000000021000000294F94F84C87F481FA.jpget supposons la fractionImage 1000000000000010000000242269876679038BFB.jpgréduite à sa plus simple expression : les entiers a et b doivent être premiers entre eux. Le théorème de Pythagore nous conduit à écrire a2 = 2b2 ; a est donc un nombre pair. Dès lors, si a et b sont premiers entre eux, b doit être nécessairement impair. D’autre part, la parité de a nous conduit à écrire a2c, c’est-à-dire a2 = 4c2 = 2b2. D’où b2 = 2c2, ce qui entraîne la parité de b. Ainsi l’hypothèse (Image 100000000000001000000022F9F69894445E8458.jpgirréductible) entraîne une contradiction : b doit être à la fois pair et impair.

La situation ainsi créée est intolérable. Ou bien le rapportImage 100000000000001400000028F6EB06C68CC749EF.jpgest « pensable », et dans ce cas il est alogon « incalculable » : si l’on ne dispose pas des entiers et des rapports de grandeurs de formeImage 100000000000004400000028C91F079E2B17B08A.jpg, il est impossible de produire une combinaison finie d’entiers ou de rapports d’entiers donnant la valeur deImage 1000000000000013000000282F72DE12984B688D.jpg. Ou bien on pose que le rapportImage 1000000000000010000000240A70BB836B951B02.jpgdoit être calculable, mais dans ce cas, il est alogon « impensable » : la fractionImage 1000000000000013000000282F72DE12984B688D.jpgcomporte un dénominateur absurde ; il est à la fois pair et impair ; le principe du tiers exclu est en défaut. Penser l’incalculable ? Calculer l’impensable ? Quelle est la voie ? Sur ces questions, sur cette inquiétude, s’ouvre la « crise » des irrationnelles.

Un drame à trois personnages

7Le premier personnage est le nombre tel que l’ont conçu les pythagoriciens : architecture discontinue d’unités-points (les monades), indivisibles, réelles, constitutives de l’être même des choses. Le nombre dira Nicomaque (pythagoricien attardé du Ier siècle de notre ère, et l’une de nos sources les plus précieuses pour l’arithmétique pythagoricienne), est « un agrégat composé d’unités ». Conception tenace que l’on retrouvera chez Euclide lui-même qui écrit « une multiplicité (plêthos) constituée d’unités » (Éléments, VII, Déf. 1 et 2). Tout nombre est donc un individu bien déterminé. Dans cette conception, seuls les nombres naturels (entiers positifs finis) méritent le nom de nombres. Chacun de ces nombres est pensé comme une totalité bien fermée et comme un être achevé (une ousia). Et si un nombre est décomposable en d’autres nombres selon une loi, cette loi doit constituer son essence individuelle. Telle est par exemple la propriété pour un nombre d’être parfait (téléios) : c’est-à-dire « égal à la somme de ses facteurs y compris 1 » ; ainsi les nombres 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. De là l’usage du gnomon (les Grecs appelaient gnomon la figure formée par ce qui reste d’un carré lorsqu’on en a extrait un carré) comme procédé opératoire permettant de composer des nombres entiers selon une loi donnée : par exemple de construire la somme de n nombres impairs successifs. Cette somme est un nombre carré n2 individualisé, lisible comme une architecture bien délimitée d’unités points (voir la figure construite pour n = 3). Le second personnage est le principe de non-contradiction. Bien qu’on ne connaisse pas avec précision la date de la découverte des irrationnelles, on ne se tromperait pas de beaucoup en disant qu’elle doit être postérieure de quelques années aux écrits de Parménide (sur la chronologie, voir la discussion dans Heath, Greek Mathematics, Oxford, 1921, t. I, p. 156-157. Démocrite, né vers 470 avant notre ère, a écrit sur les irrationnelles un traité dont seul nous reste le titre. Ce qui laisse supposer que la découverte était déjà ancienne de son vivant). Or l’Éléate avait formulé le principe selon lequel une chose ne peut être à la fois ce qu’elle est et autre qu’elle n’est. Il donnait à cette proposition une valeur ontologique : elle était pour lui contemporaine de l’Être et consubstantielle à lui : « Non jamais, par aucune violence, cela ne pourra être obtenu : que soient des êtres qui ne sont pas » (Diels, Vorsokratiker, I, B, 7). Mais le principe donnait du même coup la mesure du pensable et de l’impensable : il délimitait la « voie de la vérité ». Il s’acquittait ainsi d’une fonction logique en introduisant dans le discours une région de validité dont il assurait la fermeture : toute une classe de propositions (celles qui impliquaient leur négation) se trouvaient exclues de la « voie de la vérité ». Ici le principe est accueilli dans sa pure fonction logique. Le raisonnement « par l’absurde » conduit à rejeter « l’impensable » : c’est-à-dire l’hypothèse de la commensurabilité de a et de b ; sinon, il existerait au moins un être (b) qui, en vertu d’une même opération, devrait être ce qu’il est du fait de cette opération et le contraire.

Image 1000000000000134000000AA39BD1B80BF631E57.jpg

Le troisième acteur est le champ opératoire dans lequel a été pratiquée l’opération de mesure des grandeurs et dans lequel se trouve investi l’objet « nombre ». Or le « nombre » résultat de l’opération de mesure n’est pas tout à fait le même être que le « nombre », ousia des pythagoriciens. L’« unité » (monas) n’y a pas exactement la même fonction : elle n’est plus un constituant ni même un élément ultime, irréductible, mais bien plutôt un moment opératoire posé, d’une manière purement idéale, au cours de la chaîne des actes par lesquels on construit pour une grandeur continue donnée (ligne, surface, volume), le quantum déterminé qui lui convient (son poson comme disaient les Grecs). S’il existe un nombre a qui exprime la mesure de AB en fonction d’une unité, un nombre b qui exprime la mesure de AC en fonction d’une unité (et peu importe ici qu’il existe une commune mesure de AB et AC en fonction de la même unité), on doit alors concevoir a et b d’une manière purement opératoire : le nombre-mesure d’une grandeur doit être pensé comme le multiple d’une partie aliquote, choisie arbitrairement, de la grandeur donnée. Les Grecs ont-ils été, de bonne heure, sensibles à cette nature opératoire du nombre ? Certainement. D’abord parce que cette nature est impliquée par la théorie des rapports telle, qu’avant Eudoxe, l’avaient construite les pythagoriciens eux-mêmes : le domaine des résultats de l’opérationImage 100000000000001000000026D2C3DBF0209AAE6C.jpgest plus riche que le domaine des entiers. Il comporte même (si b est plus grand que a, cas banal) des « nombres » plus petits que l’unité (ainsi on trouve dans Nicomaque le rapport appelé hyperepimoriosImage 100000000000002800000026BF3B6DDB50090C8A.jpg, n étant un entier quelconque). Mais d’autres indices peuvent encore nous guider : et en particulier le témoignage d’Aristote aux livres M et N de la Métaphysique. Après avoir exposé les définitions substantialistes de l’unité (1084 b 25 : l’unité point indivisible). Aristote reprend à son compte (1088 a-b) l’opinion des pythagoriciens selon laquelle l’unité n’est pas nombre mais principe des nombres. Or à ses yeux, principe ne signifie pas « constituant indivisible » : l’unité exerce la fonction de principe parce qu’elle est mesure : « que l’unité signifie la mesure c’est une évidence » (1087 b 33). Le nombre, ajoute-t-il plus loin (1088 a 5) « est une multiplicité mesurée et une multiplicité de mesures » (plêthos mémétrèménon kai plêthos métrôn). Cette conception de l’unité est peu compatible avec la conception de l’unité-monade. Puisque l’unité-mesure est homogène à la grandeur donnée et qu’elle est une portion arbitraire de cette grandeur, l’acte qui la distingue au sein d’un continu (segment de droite par exemple) pose implicitement ce continu comme divisible à volonté. C’est ainsi qu’Aristote, dans ce même texte, après avoir affirmé que l’unité est un indivisible ajoute aussitôt : « Lorsqu’il s’agit de la quantité cet indivisible ne l’est que par rapport à la sensation. » Ce qui laisse ouverte la possibilité de poursuivre la division en droit, aussi loin que l’on veut au-delà du minimum perceptible.

8Le même concept, le même nom (nombre), se présente ainsi avec deux faces : une face « ontologique » (multiplicité constituée d’unités) ; une face « opératoire » (multiplicité de mesures). Or la crise éclate du fait des exigences propres au champ opératoire. Ce dernier s’enrichit ; il s’efforce, à travers cet enrichissement, d’atteindre une autre figure d’équilibre. Au cours de ce mouvement, la face « ontologique » du concept de nombre va être bouleversée. Le principe du tiers exclu aura à son tour à s’investir dans ce champ élargi : il faudra, faute de calculer « l’impensable », apprendre à penser « l’incalculable », l’intégrer à l’univers normé des objets maniables selon les règles strictes et compatibles du « jeu mathématique ».

En effet, si l’unité est maniée comme « unité de mesure » des grandeurs, le champ opératoire dans lequel sont investis les « nombres » doit être, en droit, co-extensif au domaine des grandeurs. En particulier si ce dernier domaine est fermé par rapport à l’opération de multiplication et par rapport à son inverse, le rapport « scandaleux »Image 100000000000001300000028A1CFE62830D6D531.jpgde deux grandeurs incommensurables ne peut simplement être expulsé du champ opératoire délimité par le domaine de validité de l’opération. C’est que, sans doute, le champ opératoire initial dans lequel se trouve investi le nombre (et où toute grandeur doit pouvoir s’exprimer comme multiple d’une de ses parties aliquotes) est plus riche que ne le laissait croire la représentation explicite qu’en avaient les premiers pythagoriciens, plus riche même que ne le laissait supposer la notion de partie aliquote. D’abord en raison de l’exigence de fermeture de l’opération directe, la multiplication, qui a toute portion p d’une grandeur a fait correspondre une grandeur mp de même espèce que a (mp pouvant être inférieur, égal ou supérieur à a) : le domaine des résultats de l’opération mp (p appartenant à la classe des a) doit contenir des objets composables avec les p et les a selon les mêmes règles opératoires. Mais surtout en raison de l’exigence de fermeture de l’opération inverse : si a et b sont composables selon l’opération directe, le rapportImage 1000000000000014000000284ECC067B56ECF4F8.jpgdoit être composable selon les mêmes opérations avec les objets de la classe (a, b) quels que soient a et b et en particulier indépendamment de la possibilité de calculer leur plus grande commune mesure. Cela veut dire qu’il doit être toujours possible d’adjoindre aux a, b, un opérateur α tel que si, quels que soient a et b,Image 1000000000000013000000282F72DE12984B688D.jpgest défini, a = αb. Dans le cas du carré et de sa diagonale √2 est un tel opérateur. Le champ opératoire initial, par cette adjonction, gagne son universalité et trouve sa figure d’équilibre. Si E est le domaine de définition de l’opération directe et si le domaine des résultats de cette opération n’est pas vide, l’adjonction d’opérateurs telsImage 1000000000000013000000282F72DE12984B688D.jpgque est nécessaire pour que le domaine des résultats de l’opération inverse ne soit pas vide (sauf pour certains éléments de E dont la nature est délimitée par les règles opératoires elles-mêmes, par exemple ici pour b = 0).

Ainsi des trois personnages de notre drame, le troisième est le plus exigeant. Il faut l’accueillir. Une voie reste donc interdite : celle qui eût consisté à éviter la crise en refusant au rapportImage 100000000000001100000022685AE490CE2B96A0.jpgle statut de résultat d’une opération effectuée sur des grandeurs. Et de fait, la démonstration d’incompatibilité présentée plus haut n’a pas été ressentie comme une impossibilité d’aller au-delà des grandeurs commensurables. Bien au contraire. Elle a été ressentie comme le premier moment dans la découverte d’une nouvelle espèce de grandeur : l’acte par lequel une « lacune » commençait d’être comblée dans l’univers en apparence bien clos des « nombres ».

La résolution de la crise

9Le problème va dès lors se trouver posé sur deux plans. Sur le plan de la réflexion philosophique, le concept traditionnel de nombre va se trouver bouleversé par suite de l’ouverture du conflit né de l’exigence d’avoir à investir, dans le même objet, la notion de pluralité discontinue et celle de grandeur continue. Sur le plan mathématique devra se développer une théorie définissant le statut des « rapports irrationnels », déterminant leur loi de construction et permettant, par un remaniement de l’édifice déjà construit, de déduire ces lois à partir des règles formelles propres au discours mathématique. L’alogon se trouvera ainsi intégré au sein d’un logos plus général et mieux réglé. La « crise » débouche sur un effort de rigueur.

Le point de vue de la réflexion philosophique

10Sur le plan philosophique, on a eu d’abord à s’interroger sur la validité de la conception pythagoricienne de la grandeur. C’est là une des interprétations possibles des célèbres apories de Zénon telles que nous les connaissons par Aristote et Simplicius. À travers la critique de la possibilité du mouvement une présupposition est mise en question et passée au crible de la logique éléate : c’est l’idée que le domaine d’existence du mouvement (la ligne, la surface, l’espace) est composé d’une multiplicité d’indivisibles. Il est vrai que, contre les pythagoriciens, l’argumentation de Zénon prouve plus qu’il n’est nécessaire. Elle conclut, non seulement à l’absurdité d’une pluralité d’indivisibles, mais (par l’emploi du procédé de la dichotomie) à l’absurdité de toute divisibilité du continu. Mais à travers cette argumentation apparaissent avec évidence les symptômes de crise et les risques courus à vouloir en expliciter les données à l’aide des ressources de la seule dialectique. Ainsi deux fragments cités par Simplicius (Diels, I, B, 29) exposent le « paradoxe » de la grandeur. Si toute grandeur est pluralité, deux hypothèses (contradictoires l’une de l’autre) sont seulement possibles : ou bien cette pluralité est infinie, ou bien elle est finie. Qu’elle soit infinie cela voudrait dire qu’une portion quelconque doit toujours pouvoir être divisée à l’infini jusqu’au minimum qui serait nul. Mais ce qui n’a aucune grandeur ne saurait être ajouté à soi-même pour composer une grandeur. Qu’elle soit finie, cela voudrait dire qu’elle est composée d’indivisibles ayant une certaine grandeur. Or ces indivisibles doivent être séparés. L’intervalle qui les sépare doit lui-même être un indivisible distinct d’eux. S’il est distinct, il doit à son tour être séparé par un indivisible distinct, et ainsi de suite à l’infini. (Nous avons suivi ici l’interprétation d’Abel Rey, Jeunesse de la science grecque, Paris, 1933, p. 161, qui nous paraît convaincante). La conclusion de l’argument débouche sur une structure de « paradoxe ». Chacune des hypothèses est contradictoire en elle-même. Chacune est contradictoire d’avec l’autre. La conclusion suggérée est que l’Être est un, continu, indivisible. Mais si nous négligeons cette conclusion pour nous attacher au seul « paradoxe », nous vérifierons que les ressources de la logique (le tiers exclu) sont ici investies dans le champ opératoire où était né √2. Quelle est, en effet, cette unité qui n’est rien, qui ajoutée à une grandeur « ne la rend pas plus petite » ? Simplicius dans son commentaire prend bien soin de le préciser : « Zénon ne veut pas supprimer l’unité », il veut simplement montrer que dans l’hypothèse de l’infinie divisibilité, l’unité s’évanouit. Cette unité c’est donc bien l’« unité-mesure » dont parlera Aristote ; elle peut être choisie arbitrairement, diminuée à l’infini, pourvu qu’elle demeure homogène à la grandeur donnée. À son tour, l’unité qui « comporte grandeur » (onkos : volume) et qui, ajoutée à elle-même, produirait une grandeur déterminée (orisménon, comme dira Eudoxe) est-elle autre chose que la monade indivisible des pythagoriciens ? Le « paradoxe » est obtenu dès le moment où le tiers exclu est utilisé comme un instrument de dissociation entre ces deux notions de l’unité, et réinvesti de nouveau dans chacun des champs distingués. Les deux fonctions de l’unité impliquent des concepts contradictoires de la grandeur : infinie, dans le premier cas, elle doit être finie dans l’autre. À son tour chacun des domaines où l’unité exerce sa fonction est pensé comme contradictoire dès le moment où l’on se rend attentif à l’enchaînement des actes par lesquels cette fonction s’exerce. Zénon semble se laisser guider par l’évidence constitutive des gestes opératoires : chaque fois c’est le résultat, supposé réalisé, de la chaîne d’opérations qui est pensé comme incompatible avec le domaine dans lequel doivent s’enchaîner ces gestes eux-mêmes ; infinité veut dire : exigence d’avoir à retrancher sans cesse d’une grandeur une partie d’elle-même ; le « résultat » supposé réalisé doit être un « néant » de grandeur : l’opération inverse (ajouter le néant à soi-même) est alors rendue impossible : le domaine dans lequel s’enchaînent les actes opératoires se supprime lui-même ; finitude veut dire : exigence de pouvoir toujours distinguer les éléments indivisibles constitutifs de la grandeur ; mais alors exigence d’avoir à poursuivre à l’infini une telle distinction si tout élément doit pouvoir être désigné d’une manière distincte. Le domaine initial (grandeur finie) se supprime encore lui-même. Si on ne craignait l’anachronisme on pourrait dire que Zénon pressent la propriété « opératoire » de l’ensemble des points rationnels définis sur un segment d’être partout dense sur ce segment. Quelle que soit l’hypothèse choisie, elle est reconnue contradictoire dès le moment où se trouve logiquement assumée l’exigence d’accomplir les actes prescrits par la nature du champ où est effectuable le concept de grandeur (ajouter à elle-même une fraction de la grandeur donnée ; désigner comme distincts deux indivisibles voisins).

11Il serait vain de déplorer ici l’absence du concept de limite d’une suite infinie, monotone, bornée et reprocher à Zénon de n’avoir pas vu que ce « néant » est encore quelque chose, parce que le propre de la division à l’infini est de n’atteindre qu’à la limite zéro. Dans cette situation de crise, dont Zénon semble bien l’interprète, l’argumentation de l’Éléate laisse voir, dans leur unité, l’obstacle à la solution et le chemin vers elle. L’obstacle est la tendance à substantialiser (à fétichiser, dirions-nous) le domaine des résultats de l’opération. L’unité « qui n’est rien » est le résultat supposé réalisé de l’opération de division à l’infini. Ce qui, au point d’arrivée idéal, possède cette propriété d’essence de n’être jamais atteint (√2, par exemple) est posé ici comme le point de départ nécessaire et déjà subsistant d’une genèse idéale toujours possible. La pensée se porte d’un seul mouvement à l’autre bout de la chaîne et s’y installe comme dans un principe. La voie vers la solution c’est d’être fidèle à l’exigence d’autonomie des champs opératoires qui porte tout ce mouvement. Les objets du champ doivent être composables à volonté selon des lois explicites ; « existent » les objets composables et les objets résultats ; et les objets résultats à leur tour gagnent le droit à l’existence si l’on peut montrer qu’ils sont des « objets » composables. Sur le plan philosophique la crise va vers sa solution à mesure que sont expulsées les vues substantialistes des pythagoriciens et de leurs successeurs platoniciens, une fois brisé le réalisme éléatique du continu.

12Dans ces conditions, on aurait bien tort à notre avis de mépriser la théorie aristotélicienne de l’infini (cf. par exemple le jugement sévère de Brunschvicg, Les Étapes de la philosophie mathématique, 1re édition, Paris, 1912, p. 155). En prenant la mesure du degré d’autonomie des champs opératoires, Aristote a atteint le maximum d’intelligibilité compatible avec l’état et les besoins de la mathématique de son temps. On sait qu’il a nié l’existence de l’infini en acte. Celui-ci n’existe ni selon la division ni selon l’addition. Mais nier l’infini en acte n’était-ce pas une manière de sauver la validité des opérations mathématiques en dissociant physique et mathématique, en consacrant l’idéalité des domaines où sont effectuables ces opérations (et donc composables les objets qu’elles concernent) ? Aristote en était conscient lui-même puisqu’il écrit : « Ma théorie n’enlève rien aux considérations des mathématiciens, en supprimant l’infini qui existerait en acte selon l’accroissement infini qu’on ne saurait parcourir : car les mathématiciens n’ont pas besoin réellement de l’infini et ne l’utilisent pas ; ils ont seulement besoin d’une grandeur finie choisie aussi grande qu’ils le veulent : osèn an boulontai tèn pépèrasménèn » (Physique, 207 b 28). D’autres textes permettent de préciser ce point de vue. Ainsi dans Physique, 266 b 3, on trouve une proposition qui anticipe Euclide, X, 1 : « En ajoutant toujours au fini, on dépassera tout fini ; en retranchant on tombera au-dessous de tout fini, selon la même loi. » Lecteur (ou auditeur) d’Eudoxe, Aristote a parfaitement posé les conditions de possibilité de ce que nous appellerions aujourd’hui la « droite archimédienne ». La négation, pour des considérations cosmologiques, de l’infini selon l’addition (qui ne saurait exister même en puissance, car, dit-il, le ciel enveloppe et borne toute chose) n’empêche donc pas Aristote de réserver l’autonomie du domaine idéal des « grandeurs mathématiques ». Un mathématicien garde toujours le droit (pourvu qu’il explicite la nature de son opération) de construire une grandeur plus grande que toute grandeur finie si grande soit-elle (ou respectivement, plus petite). Et ce qui est impossible d’un point de vue physique devient concevable et même nécessaire d’un point de vue logique, c’est-à-dire dans le champ idéal où son maniées les grandeurs, même si les opérations ainsi définies et permises ne trouvent pas à s’investir dans le « monde ». Encore faudrait-il, sur ce dernier point, introduire une correction. Un certain usage « cosmologique » indirect de l’infini reste légitime. Si le temps est mesure du mouvement et s’il existe un mouvement de déplacement (phora) continu et éternel (celui du ciel) alors la proposition énoncée en 266 b 3, bien qu’elle ne s’applique pas aux dimensions du monde, s’appliquera cependant à la durée de son mouvement. Si le temps est cyclique la durée des révolutions successives pourra être rapportée à une « droite archimédienne ». Cf. Physique, 241 b : « Si l’on veut parler d’un mouvement unique » [et non d’une succession de mouvements distincts, de directions différentes, affectant des mobiles différents] « et si l’on veut qu’il soit infini quant au temps, cela n’est possible que pour un seul, le déplacement selon un cercle ». Ce mouvement peut en effet se recommencer indéfiniment lui-même et sa durée est privée de bornes. N’est-ce point là un indice du fait que la grandeur comme domaine d’opérations (domaine d’additivité des éléments quelconques de grandeur) est consciemment et dans son concept disjointe de la grandeur représentée comme dimension physique ? Cette autonomie du champ opératoire émerge encore dans la théorie aristotélicienne du continu divisible à l’infini (en puissance). La « topologie » rudimentaire du livre V de la Physique porte tous ses fruits au livre VI dans lequel sont analysés le processus et le domaine d’existence du mouvement. Le dépassement des apories de Zénon consiste en ceci que les indivisibles (points et instants) ne sont plus posés comme des êtres (ousiai) mais pensés comme de pures idéalités. Les difficultés qui naissent de la composition du continu ne sont donc pas des obstacles à la réalité du mouvement : on renverra dos à dos le réalisme de l’élément (monades pythagoriciennes, lignes insécables des platoniciens) et le réalisme éléate du continu indivisible. Le point n’est pas un constituant de la ligne mais la frontière idéale qui sépare deux portions, à leur tour indéfiniment divisibles, distinguées sur un continu. Qu’il soit pensé comme « indivisible » cela veut dire qu’il n’a pas d’existence sur la ligne en dehors de la fonction qu’il exerce et de la possibilité qu’il actualise sans cesse de distinguer sur cette ligne conformément au « lemme d’Eudoxe » des parties sans cesse plus petites. À son tour l’instant n’est qu’une frontière. Dans tout laps de temps, si petit soit-il, il est borne supérieure de l’ensemble des événements passés et borne inférieure de l’ensemble des événements futurs. Il n’est défini ni par son être (son contenu, ce qui se passe dans l’instant), ni par sa position, ni par une propriété intrinsèque qui le délimiterait comme constituant indivisible du temps. Il est entièrement défini par sa fonction de borne : indifféremment passé et futur, il n’est proprement ni l’un ni l’autre. Cette idéalité du point et de l’instant apparaît avec évidence dès le moment où Aristote précise que rien ne peut se passer dans l’indivisible : il ne peut être ni en mouvement ni en repos. On ne peut souligner plus nettement le fait qu’il est étranger à la physis. Il n’est rien qu’une condition idéale d’intelligibilité et de constructivité du domaine dans lequel sont compossibles les opérations idéales définies sur des grandeurs (addition, division des éléments distingués sur un continu).

13Ainsi sur le plan de la réflexion philosophique, la crise issue de la découverte des irrationnelles est perçue à partir du moment où apparaît la distance entre la représentation notionnelle du nombre (multiplicité d’unités) et le champ de la validité des opérations sur les grandeurs (continu divisible). Cette distance est d’abord pensée comme incompatibilité (Zénon). Dès ce moment la crise va, sur le plan philosophique, vers une solution provisoire. Zénon supprime les deux termes incompatibles : le résultat est l’expulsion du noyau pythagoricien. Ce qu’Aristote reconnaît c’est qu’il est impossible de supprimer le second terme (continu divisible) sans détruire la possibilité des opérations de la mathématique. C’est pourquoi dans le mouvement qui va vers la solution, le point d’équilibre est atteint dès l’instant où la validité du champ opératoire se trouve sauvegardée et fondée. Les éléments substantialisés par les pythagoriciens (points) sont pensés comme de pures idéalités, de pures conditions de construction du domaine d’existence des grandeurs. Mais alors les champs opératoires eux-mêmes sont soustraits au monde de la nature. Leur possibilité ne renvoie plus à un monde d’objets réifiés dans l’être. C’est au niveau même de l’abstraction opératoire qu’Aristote cherche la raison d’être des domaines d’opérations. De là des formules qui paradoxalement rappellent les mises en garde de certains analystes « empiristes » de la fin du xixe siècle contre les inquiétudes « métaphysiques » à propos du symbole ∞. Ainsi dans Physique, 207 b : « Dans la dichotomie le nombre est infini en puissance et non en acte : le nombre considéré a la propriété de dépasser toute quantité donnée ; mais ce nombre n’est pas posé séparément, à part de l’opération de dichotomie et l’infinité n’est pas une propriété qui demeure fixe ; au contraire, elle est une propriété en devenir, comme le temps et la mesure du temps. »

Le statut mathématique des rapports irrationnels

Sur le plan de la technique mathématique, la résolution de la crise a exigé la reconstruction de la théorie des rapports et des proportions due aux pythagoriciens. Il importait d’abord d’établir une théorie générale valable pour les grandeurs commensurables et incommensurables. La racine de cette théorie se trouve au livre V des Éléments d’Euclide. Par le scoliaste anonyme du livre V nous savons qu’elle est due pour l’essentiel à Eudoxe. Elle est donc contemporaine de Platon et a été connue d’Aristote. (Cf. dans les Météorologiques, 376 a 22, l’usage fait pour la théorie de l’arc-en-ciel de la proposition : «Image 10000000000000300000002C24C54AA107006AE8.jpgetImage 10000000000000340000002CB96246C0B30B87DF.jpgentraînentImage 100000000000005F0000002CE777EB60C45BE137.jpg», proposition formulée par Euclide, V, 24). En second lieu, il importait de tirer de cette théorie générale un ensemble de propositions permettant de construire et de classer « les racines irrationnelles » en fondant et en généralisant les résultats déjà obtenus par Théodore et Théétète (livre X des Éléments).

Le corps des propositions formé par les livres V, VI, VII, VIII, IX, X, constitue donc une théorie générale des opérations sur les grandeurs. Le domaine de validité de ces opérations est formé par un système d’objets qui a joué pour les Grecs le rôle qu’a eu pour nous l’ensemble des nombres réels. Ce système est constitué des « nombres » tels que les définit Euclide (multiplicité d’unités) et des opérateurs de la formeImage 100000000000001600000024E93102779E0D5BDE.jpg. Le fait que les Grecs étaient astreints à la considération des grandeurs géométriques leur a été, sur ce point, à la fois une limitation et une liberté. Une limitation parce qu’ils n’ont pas pu s’élever au-dessus du troisième degré et (plus particulièrement) parce qu’ils n’ont pas pu concevoir de nombre négatif : une grandeur est toujours un certain poson et – par définition – toujours plus grande que zéro. Mais une liberté aussi : le type même de l’« objet » mathématiquement composable était, pour eux, non point le nombre entier mais la fraction de grandeur. En raisonnant sur des « grandeurs » ils se situaient d’emblée au niveau de généralité suffisant pour pouvoir édifier, un jour, une théorie rigoureuse et parfaitement indépendante de toute conception « métaphysique » du nombre.

De là une conséquence qui, pour nous aujourd’hui est paradoxale. Le système formé par les nombres entiers et les opérateursImage 100000000000001600000024526899D5C296ED75.jpgest inextensible. Il est coextensif au continu. Il permet d’opérer universellement sur les grandeurs. Il constitue un groupe commutatif par rapport à la multiplication. Et pourtant ce même système est mutilé. Il ne constitue pas un groupe par rapport à l’opération d’addition. L’obstacle né de l’intuition n’est pas levé sur ce point, le champ opératoire n’est pas équilibré de l’intérieur ; il est borné de l’extérieur par une exigence qui tient au mode de « représentation » de la grandeur : la division est possible dans tous les cas sauf si le diviseur est nul ; la soustraction a – b n’est possible que si a > b car la différence doit toujours être une certaine grandeur. Or cette dernière exigence n’est pas définie en termes d’opérations (contrairement à l’interdiction opératoire de poserImage 10000000000000120000002A0311F4F39A622E61.jpg= ?).

Quant au groupe abélien multiplicatif formé par les nombres entiers et les opérateursImage 1000000000000014000000225857787D04BD9B06.jpg, il est, aux nombres négatifs près, fonctionnellement équivalent au corps des nombres réels. Bien entendu le corps des nombres réels est plus riche que le système des objets et opérateurs définis par Euclide, puisque les Grecs ignorent les racines supérieures au troisième degré. Mais il a la même structure : toute suite infinie d’éléments rationnels définit un nombre bien déterminé.

14Bornons-nous, pour le montrer, à analyser les premières définitions du livre V des Éléments. Les deux premières définitions se réfèrent d’une manière explicite à la notion de mesure :

15Une grandeur est dite partie d’une grandeur, la plus petite de la plus grande lorsqu’elle mesure la plus grande. La plus grande est dite multiple de la plus petite lorsqu’elle est mesurée par la plus petite.

16Par là est précisée la notion vague de « partie » telle qu’elle avait été pressentie au livre I, dans l’énoncé des notions communes : « le tout est plus grand que la partie ». La notion est ici définie d’une manière opératoire et mathématiquement utilisable : α est partie de a si a = (m étant un nombre entier). Du même coup se trouve délimité le concept de « grandeur ». Est grandeur tout objet susceptible d’être construit au moyen de l’opération a =  ; si α est une grandeur, est une grandeur de même espèce. Le nombre entier m fonctionne ici comme un « opérateur » qui, à la classe des objets α, fait correspondre la classe des objets .

17Les définitions 3 et 4 doivent être considérées dans leur connexion. Elles précisent le sens de l’expression : rapport (logos). La première est purement descriptive :

Le rapport entre deux grandeurs homogènes est une relation déterminée concernant leur évaluation quantitative (kata pelikotèta poia schésis).

18Le vocabulaire utilisé est instructif. L’auteur de la définition n’emploie pas le mot posotès (quantité) mais le mot pélikotès (degré de grandeur). Le premier désigne le résultat de l’opération de dénombrement effectuée sur des éléments discontinus. Le second, le résultat d’une opération de comparaison effectuée sur des grandeurs géométriques continues. Telle qu’elle est la définition est inutilisable à moins de ne forcer le sens de pélikotèta et de ne forger pour le traduire le néologisme « quantumplicité ». Mais alors on restreindrait l’énoncé aux seules grandeurs commensurables. C’est pourquoi cette définition se double d’une autre (définition 4) qui, elle, est opératoire :

On dit que deux grandeurs sont dans un rapport réciproque, si, lorsqu’elles sont multipliées, elles sont capables de se dépasser l’une l’autre.

19a et b sont dans un rapport donné s’il existe un nombre entier m tel que ma > b et un entier n tel que nb > a.

Cet énoncé est la remise en chantier opératoire du précédent : il précise le procédé selon lequel les grandeurs a et b sont reconnues quantitativement comparables. C’est l’opération définie en 1 et 2, par laquelle en général une grandeur peut être construite. Elle fait apparaître dans le champ des grandeurs une propriété d’essence ; dans tous les cas les objets du champ seront composables selon l’opération qui à a et à b fait correspondreImage 1000000000000010000000243632C0A0BC4E60AB.jpgquels que soient a et b, égaux ou inégaux, commensurables ou incommensurables : la seule condition restrictive est que les grandeurs a et b soient homogènes. Ce caractère opératoire apparaîtra sans peine si l’on songe aux conséquences de la définition :

20I. – Elle contient implicitement l’« axiome d’Archimède » : si AB < AC, il existe un entier m tel que AB m > AC. Or l’axiome est utilisé dans la démonstration de la proposition 1 du livre X des Éléments :

Soient deux grandeurs inégales : si de la plus grande on retranche une grandeur plus grande que sa moitié, si du reste obtenu on retranche une grandeur plus grande que sa moitié et si l’opération est répétée continuellement on obtient un reste moindre que la plus petite des grandeurs données.

21La définition 4 permet ainsi la mise en œuvre de la méthode d’exhaustion (cf. en particulier la démonstration de la proposition 2 du livre XII : « Des cercles sont comme les carrés de leurs diamètres » dans laquelle Euclide fait usage de la méthode d’exhaustion et justifie son raisonnement à l’aide de X, 1).

22II. – Elle introduit dans le champ des grandeurs un principe de fermeture : si a et b sont deux grandeurs homogènes (a < b) il existe une classe d’opérateurs m tels que le domaine des résultats de l’opération ma ne soit jamais vide pour m ≠ 0 et tels que la classe des objets ma puisse contenir une suite indéfiniment croissante d’éléments dont la borne inférieure soit b. Ces éléments sont composables entre eux et avec a et b selon les mêmes lois formelles.

23III. – Elle est utilisée implicitement (par la médiation elle-même implicite de X, 1) dans la démonstration de X, 2 qui établit un critère d’incommensurabilité :

Étant données deux grandeurs inégales, si la plus petite est tour à tour continuellement retranchée de la plus grande et si, chaque fois, le reste obtenu ne mesure jamais le reste qui la précède alors les deux grandeurs sont incommensurables.

La démonstration est encore une « démonstration par l’absurde ». Si dans les conditions précisées par les hypothèses du théorème, on suppose a et b commensurables, leur commune mesure e devra mesurer c = a – mb. Elle devra donc mesurer d = b – nc. Elle mesurera de même chacun des restes successivement obtenus en poursuivant continuellement cette même opération. Or parmi ces restes, en vertu de X, 1, il s’en présentera un, r, qui devra être inférieur à e. Mais e devra le mesurer : ce qui est absurde : car « le plus grand ne saurait mesurer le plus petit ». La démonstration utilise un axiome implicite : si e mesure a et b, il mesurera également a + nb. L’utilisation de X, 1, est elle-même implicite. Euclide se borne à énoncer : « répétons continuellement l’opération jusqu’à ce que nous obtenions un reste plus petit que la commune mesure supposée ». Il sous-entend donc que, dans la chaîne des soustractions successives, les entiers, m, n, p, … doivent être choisis de manière queImage 10000000000000900000002D1B3E96795C7812DA.jpg, etc. On voit bien ici à quel point cette démonstration diffère de la démonstration d’incompatibilité attribuée aux pythagoriciens. Elle n’est pas seulement plus générale. Le critère d’incommensurabilité est obtenu moyennant l’hypothèse normative du caractère « archimédien » du champ des grandeurs et fournit par là le moyen d’approcher le rapportImage 100000000000001300000028213F2AC5EA2B9927.jpgd’aussi près que l’on voudra : si a < b et s’il existe un entier m tel que ma > b alorsImage 100000000000006C000000281F151C473F6BAB9F.jpg. Si μ est la borne inférieure des m tels que ma > b, on disposera toujours d’un intervalle homogène de grandeur (1, μ) dans lequel le problème sera de chercher, dans une chaîne d’opérations réglées, à approcher d’aussi près que l’on voudra le rapportImage 100000000000001300000028213F2AC5EA2B9927.jpg. Ainsi l’alogon, l’« incalculable », est rigoureusement pensé : son concept est devenu opératoire. De la définition 5 enfin, qui énonce les conditions de proportionnalité, on peut dire qu’elle achève dans toute sa généralité (aux nombres négatifs près) la construction du champ opératoire des grandeurs :

Des grandeurs sont dans le même rapport, la première à l’égard de la seconde, la troisième à l’égard de la quatrième, lorsque quels que soient les équimultiples que l’on prenne de la première et de la troisième, et quels que soient les équimultiples que l’on prenne de la seconde et de la quatrième, les premiers sont chaque fois, soit supérieurs, soit égaux, soit inférieurs aux seconds pris dans l’ordre correspondant.

Autrement dit soit a, b, c, d. On considère ma et mc, nb et nd. Si mand entraîne mcnd, alorsImage 100000000000003000000024ED455492E1F12360.jpg. De Morgan (cf. Heath, Euclid’s Elements, New York, 1956, t. II, p. 123) a donné de ce même énoncé une formulation équivalente :Image 1000000000000036000000259E39B665B95695F0.jpgsi, quels que soient les entiers m et n, mA compris entre nB et (n = 1) B entraîne que mC soit compris entre nD et (n = 1)D.

24On jugera du progrès accompli vers la rigueur et la généralisation si l’on se réfère à la définition de la proportion rapportée par Aristote (Topiques, 158 b 25) :

Dans un parallélogramme toute sécante parallèle à l’un des côtés divise d’une manière semblable à la fois les côtés qu’elle coupe et la surface du parallélogramme : car les surfaces subissent les mêmes soustractions que les lignes et c’est là la définition de l’égalité du rapport.

25Il s’agit bien là d’une « définition » descriptive sur laquelle il serait impossible de bâtir une théorie mathématique des proportions. Certes le procédé indiqué par Aristote permet de construire un rapport de proportionnalité entre des grandeurs incommensurables : si le parallélogramme est un carré la sécante coupera la diagonale selon le même rapport que les côtés. Mais le procédé est encore intuitif ; la notion de soustraction des fractions homologues est acceptée sans justification. Elle ne permet pas d’établir dans toute sa généralité l’indépendance de la définition proposée par rapport à l’hypothèse de la commensurabilité : cette indépendance peut tout au plus être vérifiée sur un modèle sans qu’on en comprenne la raison profonde. Bien au contraire c’est la définition elle-même qui semble obtenue par une sorte de description abstractive à partir d’un procédé bien connu de construction des segments proportionnels, dans le cas trivial des grandeurs commensurables. Il se trouve que l’opération réalisée est générale : mais sa loi reste occultée et sa généralité non perçue. C’est cette loi que la définition 5 exprime dans toute sa pureté abstraite. On a pu montrer (cf. Heath, loc. cit., t. II, p. 125) qu’elle est équivalente à la définition de l’égalité des nombres réels au sens de Dedekind. Elle établit ainsi l’équivalence entre la notion de rapport telle qu’elle est définie à V, 4 et la notion de coupure.

26On sait en effet qu’on appelle coupure sur l’ensemble des nombres rationnels R (supposé ordonné par la relation ≤) un mode de décomposition de cet ensemble en deux classes A et B telles que : 1) tout nombre appartenant à A est inférieur à tout nombre appartenant à B ; 2) tout nombre inférieur à un nombre appartenant à A appartient à A et tout nombre supérieur à un nombre appartenant à B appartient à B ; 3) pour α appartenant à A et β appartenant à B, (β – α) peut être rendu aussi petit que l’on voudra. (Cette dernière condition permet de montrer qu’il existe un nombre unique séparant les deux classes.) S’il existe dans A un nombre α supérieur à tous les autres, tous les x appartenant à A sont inférieurs ou égaux à ce nombre. S’il existe dans B un nombre β inférieur à tous les autres tous les y appartenant à B sont supérieurs ou égaux à β. On dira alors que, dans chaque cas, la coupure définit un nombre rationnel. S’il n’existe pas dans A de nombre supérieur à tous les autres ni dans B de nombre inférieur à tous les autres, il existera un nombre unique ξ tel que tous les x appartenant à A lui soient inférieurs et que tous les y appartenant à B soient supérieurs. Dans ce cas la coupure définit le nombre irrationnel ξ. Tout nombre rationnel ou irrationnel, est défini par une coupure : on nomme ensemble des nombres réels le système des nombres ainsi défini.

Or un rapport « euclidien »Image 10000000000000180000002885BB7F22210397D3.jpgtel qu’il est défini en V, 4 décompose l’ensemble des nombres entiers et des rapports rationnels en deux classes A et B ; la classe A contient les « objets » qui sur cet ensemble le précèdent ; la classe B les objets qui le suivent selon la relation ≤.

27La seule restriction concerne la classe A : elle est bornée inférieurement par zéro. (Les grandeurs négatives sont exclues.) On vérifiera dès lors aisément que la condition d’égalité des nombres réels au sens de Dedekind et la condition d’égalité des rapports au sens d’Euclide sont équivalentes.

28Soient r et r’ deux nombres réels définis respectivement par les coupures A|B et A’|B’. On dira que r = r’ si, pour tout xn appartenant à A, pour tout x’n appartenant à A’, pour tout yn appartenant à B, pour tout y’n appartenant à B’, on a à la fois : x’nyn et xny’n. La démonstration est immédiate :

29xnryn ; x’nr’y’n ; r = r’ entraîne donc xny’n et x’nyn

302° Réciproquement on vérifiera les implications :

31xny’nrr’ et x’nyn → r’r

32La conjonction des deux implication entraîne : r = r’.

33La classe A est alors identique à la classe A’ et la classe B est identique à la classe B’ : tout x appartenant à A (par exemple) inférieur ou égal à tout y’ appartenant à B’, appartient à A’ ; tout x’ appartenant à A’ inférieur ou égal à tout y appartenant à B, appartient alors à A.

Soit alorsImage 100000000000003D00000028E5AA4EA4DE9E81F1.jpgau sens d’Euclide et supposonsImage 10000000000000180000002885BB7F22210397D3.jpgirrationnel ;Image 1000000000000016000000246FA4FE00548D8A6A.jpgdécompose l’ensemble des rationnels en deux classes A et B ;Image 100000000000001C0000002C3913CADE9D7CECBD.jpgle décompose en deux classes A’ et B’. Pour toutImage 100000000000003700000025B751DF68413FB0E3.jpgappartenant à A on pourra écrire :Image 100000000000003200000024D170618B3F064DE3.jpgou encore an < bn c’est-à-dire, d’après l’hypothèse, an̓ < bn’ (Déf. V) et doncImage 100000000000003600000025C766C59DA57605D4.jpg. On vérifiera de même que pour toutImage 100000000000007600000028EC7A93B83419971C.jpg. La classe A est identique à la classe A’ et la classe B identique à la classe B’. La même vérification s’appliquerait au cas où,Image 1000000000000014000000242A5E6A63CD6E3067.jpgétant supposé rationnelImage 100000000000001400000024D43541BE2D2CC2D2.jpgappartiendrait à A (par exemple) et coïnciderait avec un des nombresImage 1000000000000011000000242B136BC5683ED28F.jpg.Image 10000000000000320000002210796111794094F4.jpgentraînerait an’ = bm’ et doncImage 10000000000000360000002359F8D5775563FB58.jpg. Quel que soitImage 1000000000000013000000244E30ECEABB2D5AB9.jpg, rationnel ou irrationnel, la condition d’égalité des nombres réels au sens de Dedekind est satisfaite.

34Ainsi les deux énoncés d’Euclide (4 et 5) définissent un « objet » abstrait qui introduit dans l’ensemble des « grandeurs » rationnelles le même mode de décomposition que celui qu’y introduit la définition moderne des nombres réels. Le système formé par ces objets jouira des mêmes propriétés formelles que l’ensemble des nombres réels positifs. Comme lui il sera inextensible (aux nombres négatifs près) ; comme lui il sera isomorphe à l’ensemble des points d’un continu linéaire. La distorsion sur laquelle s’était ouverte la crise des irrationnelles est maintenant réduite. À son seul niveau, en déployant les seules lois internes capables d’assurer son équilibre, la pensée opératoire a comblé le fossé qui la séparait de l’origine « intuitive ». Dans ce mouvement, le continu géométrique, naïvement concerné et opératoirement dominé dès la mise en œuvre de l’opération élémentaire de mesure, trouve la loi de son intelligibilité : il est reconstruit comme concept mathématique à partir d’une généralisation des opérations qui avaient permis de dominer le champ des grandeurs naïves. Les propriétés qu’il semblait tenir de son origine, les exigences logiques déployées par ces propriétés (cf. Zénon et Aristote) sont maintenant oubliées. L’objet neuf ainsi posé ne doit plus son essence qu’aux seules règles explicites qui permettent de le construire. La « crise des irrationnelles » est, pour un temps, résolue.

35Que conclure de la description qui précède ? Il importe de se garder de toute généralisation. Nous ne pouvons prétendre, à partir d’un seul exemple, définir la structure de toute crise, ni son mode nécessaire d’apparition et de développement. Chacune des crises évoquées en commençant s’est nouée et résolue dans un « univers mathématique » spécifique. Et seule une confrontation minutieuse pourrait permettre de préciser « le concept » de crise…

36Cependant, même si l’on se bornait à décrire à grands traits la crise de fondement consécutive à la découverte de la théorie des ensembles (par exemple) on verrait apparaître, dans un autre monde de culture, une structure analogue à celle que nous venons de dégager. Ici encore il a fallu apprendre à penser un « objet » neuf, à lui donner accueil dans le champ, déjà réglé, du discours mathématique. Il a fallu remettre en chantier les règles du discours lui-même et tenter d’édifier de nouveau ce même discours dans l’enchaînement des opérations qui donnent naissance à l’objet qu’il importait d’accueillir.

37Bien entendu, l’objet (la notion d’ensemble) était ici bien différent de √2. Il ne fut pas, à l’origine du moins, une région inquiétante de l’univers mathématique. Au contraire, il fut un instrument d’analyse dont la mise en œuvre s’était imposée pour l’étude des fonctions les plus générales. On connaît les origines modestes de la théorie des ensembles : les mémoires consacrés par Cantor en 1871 et 1872 (cf. principalement les Math. Annalen, 1872, V, p. 123) aux problèmes posés par les conditions de convergence des séries trigonométriques. On sait que pendant les premières années la théorie des ensembles s’est développée en symbiose avec l’analyse. L’inquiétude vint plus tard, lorsque la théorie édifiée systématiquement eut gagné son autonomie. Elle était alors déjà intégrée au cœur de l’analyse comme un outil qui avait fait ses preuves et qu’on ne pourrait sacrifier sans dommages. Que faire alors, si pris dans son concept le plus général, l’objet nommé ensemble se révélait imprécis, voire contradictoire ? Plutôt que de renoncer à l’outil en courant le risque d’amputer gravement les mathématiques ne valait-il pas mieux reconstruire du même mouvement l’ancien édifice et le nouvel objet ?

38Et cette fois encore, comme au temps d’Eudoxe, mais dans un autre champ et avec d’autres instruments, l’exigence opératoire fut la plus forte. On ne sacrifia pas la mathématique à l’idée de ce que devait être sa vérité. Bien au contraire : c’est la logique elle-même qu’on tenta de réédifier pour porter ses principes et ses méthodes au degré de clarté et de distinction exigé par le progrès de la mathématique vivante. À son tour la mathématique devait chercher à travers ce mouvement une autre unité, une nouvelle figure d’équilibre. Sur cette voie, aujourd’hui encore, elle est toujours en route.

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Bibliographie

Aristote, Physique ; livre II, chap. 4-8 ; livre VI, particulièrement le chapitre 9, consacré à l’exposé et à la critique des arguments de Zénon.

Brunschvicg L., Les Étapes de la philosophie mathématique, Paris, F. Alcan, 1912.

Dedekind R., Stetigkeit und irrationale Zählen, dans les Gesammelte Mathematische Werke, vol. 3, R. Fricke, E. Noether et O. Ore éd., Braunschweig, F. Vieweg, 1932 [1862], p. 315.

Euclide, Elements, traduction anglaise et commentaires par Thomas L. Heath, Cambridge, University Press, 19262 ; le même ouvrage a été publié dans la collection Dover, 2 volumes, New York, 1956.

Heath Thomas L., A History of Greek Mathematics, 2 volumes, (t. I), Oxford, Clarendon, 1921.

Piaget J., Introduction à l’épistémologie génétique, 3 volumes, (t. I), Paris, PUF, 1950.

Platon, Théétète, 147 d-148 b.

Rey A., La Science dans l’Antiquité, t. II, La Jeunesse de la science grecque, Paris, La Renaissance du livre, 1933.

Tannery J., Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, 2 volumes (t. I, chapitre 1), Paris, Hermann, 19042.

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