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Nicolas de Cues, penseur et artisan de l’unité

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David Larre

4. Sciences et connaissance symbolique chez Nicolas de Cues

Égalité et identité chez Nicolas de Cues

Jean-Marie Nicolle

Texte intégral

1L’ambition mathématique de Nicolas de Cues a été de résoudre le problème de la quadrature du cercle pour manifester la puissance de sa méthode reposant sur le principe de la coïncidence des opposés. L’enjeu philosophique est très important : si l’on peut transformer le droit en courbe – et réciproquement –, alors la logique aristotélicienne des espèces et des genres est invalidée. Au contraire, si la distinction des genres est indépassable, alors non seulement la quadrature du cercle est impossible, mais encore l’aristotélisme est confirmé dans un de ses principes essentiels.

2La quadrature du cercle est essentiellement un problème d’égalité.

31. Peut-on trouver un carré de périmètre égal à la circonférence d’un cercle donné ?

42. Peut-on trouver un carré de surface égale à celle d’un cercle donné ?

5Ces deux questions peuvent s’entendre de façon arithmétique – il s’agit de tomber sur une égalité stricte de deux mesures – ou de façon géométrique – il s’agit de rapporter le droit au courbe. Il est évident pour Nicolas de Cues qu’on ne saurait parvenir dans ces calculs à une vérité exacte ; on ne peut accéder qu’à une valeur approchée. Mais si l’on ne peut connaître la valeur numérique exacte d’un rapport, on peut cependant établir des égalités entre des rapports proportionnels. On arrive donc à une dernière question :

63. Peut-on établir des proportions rigoureuses entre des lignes droites et des lignes courbes, permettant de passer des unes aux autres sans difficulté ?

  • 1 Que nous citerons d’après une version que nous a gracieusement fournie le professeur Menso Folkerts (...)
  • 2 Que nous citerons d’après Nikolaus von Kues, Die philosophisch-theologischen Schriften, vol. III.

7 De telles proportions permettraient de résoudre les deux premières questions et, plus généralement, d’opérer des « transmutations » géométriques de figures rectilignes en figures courbes, et réciproquement. C’est ce dernier genre de quadrature que Nicolas de Cues prétend avoir trouvé grâce à sa méthode de la coïncidence des opposés. Du point de vue conceptuel qui nous intéresse ici, nous pouvons reformuler le problème autour des deux concepts de l’égalité et de l’identité : comment réduire l’altérité du droit et du courbe par une égalité entre leurs rapports ? Nous aurons recours à deux textes : le De circuli quadratura du 12 juillet 14501 et le De aequalitate de 14592.

8Au cours de ses recherches, Nicolas de Cues fut nécessairement conduit à enquêter sur la délicate question de l’égalité des grandeurs. On sait depuis Eudoxe qu’on peut toujours établir une égalité entre les nombres, par exemple entre un nombre pair et un carré, mais qu’on ne peut pas établir une égalité entre toutes les grandeurs, par exemple entre une ligne et une surface. Le texte le plus explicite est la Quadrature du cercle du 12 juillet 1450 dans lequel le Cusain discute du principe d’homogénéité des grandeurs afin de voir s’il est légitime de poser une proportionnalité entre des grandeurs rectilignes et des grandeurs circulaires. Loin d’aborder le problème en béotien, il semble parfaitement au courant de la difficulté. Et, de fait, toute son entreprise se joue au cours de cette discussion épistémologique.

9Dans un premier temps, il présente avec une très grande clarté les partisans des deux écoles :

  • 3 « Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hii habent necessario admittere circulorum peripherias (...)

Il y en a qui admettent la quadrature du cercle. Ils doivent nécessairement soutenir que la circonférence du cercle peut être égale au périmètre du polygone […]. Ces personnes admettent aussi l’argument suivant, sans lequel elles n’arriveraient à rien, c’est-à-dire : où l’on peut donner un plus grand et un plus petit, on peut aussi donner un égal […]. Il y en a aussi qui refusent la quadrature du cercle, et ils refusent tout ce que j’ai dit à l’instant même. Ils affirment en effet qu’en mathématiques, cet argument ne vaut pas : où l’on peut donner un plus grand et un plus petit, alors on peut aussi donner un égal.3

  • 4 « Capiendo vero aequalitatem absolute… »

10 Nicolas de Cues insiste sur l’opposition entre les deux écoles qu’il a distinguées. Les premiers se contentent d’une égalité relative qui ne fait pas entrer en ligne de compte les grandeurs aliquotes, et donc ils ignorent le principe d’homogénéité des grandeurs. Les seconds exigent une égalité prise en un sens absolu4, n’admettant aucune différence d’une partie aliquote quelle qu’elle soit. Pour eux, aucune comparaison n’est possible entre des grandeurs hétérogènes.

11Malgré cette apparente clarté, le Cusain, comme nous allons le voir, était moins au fait de la difficulté que certains de ses prédécesseurs qui avaient réfléchi sur la question, notamment sur le cas des angles du demi-cercle, c’est-à-dire l’angle de contingence et l’angle d’incidence (ou corniculaire) (figure 1). Je veux parler de Thomas Bradwardine et de Nicole Oresme.

12Bien qu’il ait lu ces auteurs, Nicolas de Cues n’en tire pas, me semble-t-il, les conséquences nécessaires. Certes, on doit admettre qu’il ne pouvait pas accéder à une conception de la proportion meilleure que celle de Bradwardine et d’Oresme dans la mesure où aucune traduction nouvelle des Éléments d’Euclide n’était à sa disposition. On peut remarquer, à sa décharge, qu’il donne rarement des valeurs numériques à ses proportions, préférant réfléchir sur leur nature que sur leur évaluation exacte. Mais, toujours dans la Quadrature du cercle du 12 juillet 1450, Nicolas de Cues, en s’appuyant sur le cas de l’angle de contingence, semble redéfinir autrement les notions de plus grand, de plus petit et d’égal :

  • 5 « … tamen – cum angulus contingentiae sit minor omni angulo rectilineo – sic dato incidentiae datur (...)

Cependant, on peut, bien que l’angle de contingence soit plus petit que tout angle rectiligne, obtenir de cette façon un angle rectiligne plus grand qu’un angle d’incidence donné, qui cependant n’est pas plus grand d’une partie aliquote de l’angle rectiligne. De même, on peut obtenir un angle d’incidence plus petit qu’un angle rectiligne donné, à savoir autant qu’est l’angle de contingence, qui, cependant, n’est pas une partie aliquote de l’angle d’incidence, mais est plus petit que toute partie aliquote de celui-là.5

13 La variation du plus grand au plus petit semble devenir, pour lui, indépendante de l’exigence d’homogénéité ; la comparaison des grandeurs paraît pouvoir s’effectuer de manière intuitive, sans plus tenir compte des parties aliquotes. Certes, on n’aura plus affaire à des grandeurs exactement comparables, mais on pourra dire qu’une grandeur est la plus proche possible d’une autre, plus proche même que si la différence était celle d’une partie aliquote :

  • 6 « … et quod quocumque quadrato tali dato adhuc possit dari aliud praecisius circulo, licet nullum p (...)

On peut donner un carré plus grand pour un cercle donné – plus grand, cependant pas d’une partie aliquote de ce carré ; et on peut donner un carré de telle sorte qu’il soit un carré plus proche encore du cercle, au point qu’aucun ne sera plus proche et qu’aucun ne sera plus petit d’une partie aliquote du cercle.6

14Les notions de plus grand et de plus petit deviennent indépendantes de la notion d’égalité. Pour être bien compris, Nicolas de Cues déclare : Et je tiens ce point de vue pour le plus vrai. Comment donc conçoit-il l’égalité ? Quelle importance accorde-t-il à l’exigence d’homogénéité ? Pour apprécier sa position, voyons ce qui avait été établi au siècle précédent par Bradwardine et par Oresme.

  • 7 Thomas Bradwardine, Geometria speculativa, partie 2, chapitre 3, proposition 7.
  • 8 Numérotée III, 15, à l’époque : « La droite menée à angles droits avec le diamètre du cercle à part (...)

15Dans sa Geometria speculativa7, en s’appuyant sur la proposition III, 16 d’Euclide8, Bradwardine soutient qu’un angle d’incidence peut être plus grand ou plus petit qu’un angle rectiligne, mais qu’il ne lui sera jamais égal. Il est plus grand que tous les angles rectilignes aigus avant l’angle droit ; il est plus petit que tous les angles rectilignes obtus ou droits. Et, paradoxalement, il peut être augmenté ou diminué à volonté (figure 1).

16Il est le plus grand de tous les angles aigus parce qu’il diffère de l’angle droit seulement de l’angle de contingence (ou corniculaire) qui est plus petit que tout angle rectiligne. Il est plus petit que tous les angles rectilignes obtus jusqu’à l’angle droit parce qu’il est compris à l’intérieur de l’angle droit. Il peut être augmenté ou diminué à volonté, car si l’on décrit des cercles contingents de l’intérieur (figure 2), dont les centres s’étendent sur une même droite, on voit que plus le cercle est grand, plus l’angle d’incidence augmente (et plus l’angle corniculaire diminue) et, cependant, jamais il n’arrivera à l’égalité avec l’angle droit.

  • 9 Dans Questions de Physique, VII, 5 et Questions sur la géométrie d’Euclide, 19.

17Quant à Nicole Oresme9, il étudie les différents cas de l’improportionalité des angles au cours d’une discussion cherchant à démontrer que l’angle n’est pas une substance mais n’est qu’un accident. Il montre que des angles circulaires peuvent être soumis à augmentation et à diminution sans passer par l’égalité. Il donne trois cas :

18L’angle corniculaire formé entre deux cercles tangents va devenir brutalement plus grand qu’un angle rectiligne dès que les deux cercles commencent à s’entrecouper (figure 3).

19Si un cercle diminue jusqu’à disparaître, l’angle d’incidence constitué par la circonférence et le diamètre reste toujours plus grand qu’un angle rectiligne aigu sans jamais pouvoir être en rapport rationnel avec un angle rectiligne (figure 4).

20Enfin, dans le cas où une corde descend d’au-dessus du diamètre jusque vers la circonférence, on constate que l’angle d’incidence qui était plus petit que l’angle droit devient en un instant plus grand que cet angle droit et augmente infiniment, sans passer par l’égalité (figure 5). On peut donc fort bien comparer des angles de genres différents, des rectilignes et des courbes, dire que l’un est plus grand que l’autre, dire que tel angle augmente ou diminue, en dépasse un autre, mais sans jamais pouvoir affirmer une égalité.

21Oresme tire de l’étude de tous les cas de variations de lignes un tableau systématique des comparaisons des lignes, des proportions et des non-proportions. Il semble que cette étude systématique soit restée ignorée du Cusain.

  • 10 « Una igitur erit inter omnes ducibiles […] minus improportionalis quaesitae ».

22Si nous revenons à la quadrature du cercle du 12 juillet 1450, nous tombons, après cette proposition fondamentale, sur une affirmation des plus troublantes par la façon dont elle est avancée sans justification. Nicolas de Cues avance la notion de non-proportionnalité relative : parmi les lignes non proportionnelles (improportionales) à la ligne cherchée, certaines le sont moins que d’autres ; d’où l’on peut conclure : « Il y a donc une ligne parmi toutes celles qu’on peut mener […] qui sera la moins non proportionnelle à la ligne cherchée »10.

23 Cette ligne la moins non proportionnelle ne sera pas celle qui s’approche au plus près de l’égalité arithmétique, mais sera celle qui, au-delà du numérique et de l’hétérogène, parvient à une sorte d’égalité dont l’existence est posée comme nécessaire. Il y a là, bien entendu, un coup de force métaphysique de la part du Cusain. Il affirme, malgré tous les obstacles, une sorte de proportion entre le droit et le courbe. Or, passer d’une non-proportionnalité relative à l’affirmation de l’existence d’une proportion déterminée est bien le fait d’un glissement de sens, d’un manque de rigueur dans le raisonnement.

24Inspiré par la pratique archimédienne de la démonstration indirecte (si ce n’est ni plus grand ni plus petit, alors c’est égal), il pose une égalité qui n’a pas de signification arithmétique, mais seulement métaphysique. On peut y voir aussi la marque de la pratique fréquente de la théologie négative : ne pouvant définir positivement une notion, on passe par le procédé indirect de l’impossibilité de sa négation. Mais ce qui peut marcher dans des cas nettement définis à l’aide du principe du tiers exclu ne peut fonctionner dans des cas relatifs définis par une simple négation. En toute rigueur logique, parler d’une grandeur la « moins non proportionnelle » à une autre ne permet pas de dire que ces deux grandeurs soient égales, au sens strictement mathématique de l’égalité.

  • 11 De aequalitate, p. 362.
  • 12 « Sicut una ratio circuli est omnium circulorum dabilium praecisa ratio et adaequata, cur nec plus (...)

25Neuf ans plus tard, en 1459, Nicolas de Cues écrit un petit traité intitulé De aequalitate. On pourrait s’attendre à ce qu’il reprenne la question de l’égalité des grandeurs, et à avancer sur la question de la quadrature du cercle. Mais il n’en est rien. Certes, il y évoque abondamment les objets mathématiques, mais c’est pour dire qu’ils sont plus intelligibles que les objets naturels parce qu’ils sont dépourvus de matière et échappent à l’altérité. Les objets mathématiques sont sujets à la quantité, mais à une quantité non perceptive11, qui échappe à la matérialité. Quand on définit un cercle, tous les cercles qui répondent à cette définition sont traités à égalité, c’est-à-dire qu’on ne considère pas leur taille ou une autre dimension particulière. En tant que formes participant à la forme générale du cercle, tous les cercles sont égaux12.

  • 13 « … cum videat numerum in variis numeratis, videt etiam numerum innumerabilem omnia numerantem in s (...)

26 Il en est de même pour le nombre13 : le nombre en général est présent dans toutes les choses nombrées, mais, en tant que nombre nombrant, ce nombre échappe à l’inégalité ; il n’est ni autre, ni différent ; il est hors de tout dénombrement ; il reste égal à lui-même.

  • 14 Platon, Lettre VII, 342b-d.

27Nicolas de Cues s’inscrit clairement dans la tradition platonicienne des essences intelligibles. À plusieurs reprises, dans ce petit traité, afin d’illustrer la façon dont l’âme peut se saisir elle-même en dehors de toute altérité, il prend l’exemple de la définition du cercle, exactement comme Platon en parle dans sa lettre VII14 – grâce au concept par lequel un cercle est un cercle, le cercle était, est et restera toujours un cercle, sans aucun défaut –, sauf que, dans le contexte de la théologie chrétienne, ce concept de cercle devient l’œuvre de Dieu. Le Cusain se réfère explicitement à saint Jean : « Au commencement était le logos ». Dieu a créé toutes choses par le « verbe », et à son tour, lorsque l’homme cherche à se comprendre et à comprendre les choses, il recourt à des mots internes, c’est-à-dire à des concepts qui lui permettent ensuite de comprendre les choses externes. C’est aussi le moyen par lequel l’intellect va se comprendre lui-même.

  • 15 « … tamen si aequalitas capitur pro absoluto inalterabili… » (De aequalitate, p. 394).

28L’égalité dont Nicolas de Cues nous parle dans ce traité, malgré la fréquence des exemples mathématiques, n’a donc rien de mathématique. Il s’agit d’une égalité métaphysique, de ce qu’il appelle une égalité absolue. Ce concept d’égalité absolue est le concept de ce qui est simple ou inaltérable ; à ce concept, rien ne peut être ajouté ou soustrait ; c’est le concept de l’immuable absolu15, qui précède toute diversité de l’être, toute augmentation ou diminution de l’être. Dans la généalogie cusaine des principes, l’égalité vient après l’infinité qui n’est ni inégale, ni égale à rien. Elle vient aussi après l’unité dont elle est une image : c’est de l’unité posée une fois que naît l’égalité. Mais l’égalité est avant toute distinction, car c’est elle qui permet la comparaison et la proportion. L’égalité mesure l’inégalité et la précède ; l’inégalité est postérieure à l’égalité, car elle procède par déficience de l’égalité de l’unité. L’égalité est avant toute pluralité et toute altérité.

29Nicolas de Cues traite un délicat paradoxe, celui de l’égalité engendrante, de l’égalité engendrée, et de l’égalité qui procède des deux : s’agit-il de trois égalités différentes, auquel cas, elles ne seraient donc pas égales entre elles ? Il surmonte la difficulté en disant que le nombre qui permet de dire les « trois » égalités n’est pas un nombre qui les énumère. C’est un nombre en soi, un nombre antérieur à toute altérité, et, par conséquent, ces trois égalités n’en font qu’une. On comprend alors que l’égalité en question est une notion trinitaire. L’égalité est le nom le plus adéquat, c’est-à-dire « le plus égal » au premier et éternel commencement de l’être. C’est le commencement le plus parfait. L’égalité absolue est identique au Créateur du ciel et de la terre. Elle désigne, dans le lexique théologique du Cusain, la figure du Fils de Dieu. L’égalité est le nom de Dieu le Fils. Mais l’égalité concerne aussi les trois personnes divines qui ne sont pas égales par accident, mais en essence, de même qu’elles sont une par essence. L’égalité est le fait qu’une chose ne soit ni plus ni moins que ce qu’elle est ; c’est la puissance qui donne forme à ce qui est.

30Cependant, dans le De aequalitate, Nicolas de Cues utilise aussi le mot idem pour parler du rapport entre Dieu et le logos. Au commencement était le logos, avant toute altérité. Aussi, Dieu et le logos ne se distinguaient pas. Le logos n’était autre que Dieu, il était identique à Dieu. Puis, Dieu a engendré son Fils.

  • 16 Voir De aequalitate, p. 396.
  • 17 Voir De aequalitate, p. 400.

31J’estime que ses spéculations métaphysiques sur l’égalité conduisent le Cusain à une confusion malheureuse entre l’égalité et l’identité. Certes, il définit bien deux choses égales comme étant celles entre lesquelles il n’y a ni du plus ni du moins16, mais ce n’est pas au sens où, après les avoir mesurées, on ne trouverait entre elles aucune différence quantitative. Deux choses sont égales parce que l’égalité est ce qui leur confère leur quiddité. Dans la quiddité, il n’y a ni plus ni moins. C’est après la quiddité qu’apparaît la pluralité des choses, que les différences surgissent, et parmi ces différences, les inégalités. La confusion du Cusain se trouve, me semble-t-il, précisément à cet endroit : il confond la différence en général qui fait l’altérité avec la différence en quantité. Il assimile le même à l’égal, le différent à l’inégal. Caractéristiques sont les trois exemples17 qu’il donne pour illustrer l’engendrement du continu par des indivisibles : il soutient que le temps est une continuation de « maintenants », mais le « maintenant » est une égalité parce qu’on ne peut pas trouver un « maintenant » plus grand ou plus petit. Il définit le mouvement comme une continuité de repos, mais le repos est une égalité puisqu’on ne peut le mesurer. Enfin, il définit la ligne comme le développement d’un point, mais le point reste égal à lui-même. Dans l’accumulation de ces trois exemples, il est évident que le Cusain ne distingue plus la qualité de la quantité.

32Également caractéristique de la quasi-synonymie des deux termes est cette formule que l’on trouve dans le De docta ignorantia :

  • 18 De docta ignorantia, I, 3, Herder éd., vol. I, p. 202 : « … quanto inscripta plurium angulorum fuer (...)

Plus grand sera le nombre des angles du polygone inscrit, plus il sera semblable au cercle, mais jamais on ne le fait égal au cercle, même lorsqu’on aura multiplié les angles à l’infini, s’il ne se résout pas en identité avec le cercle.18

33En passant des mathématiques à la théologie, Nicolas de Cues fait passer l’égalité des accidents à la substance ; l’égalité perd sa fonction quantitative pour devenir un trait de la quiddité. Parce que le nombre est la première notion créée, parce que la pluralité est le premier indice de l’altérité dans les choses créées, l’égalité qu’il veut placer avant le nombre devient un concept si démesuré – dans tous les sens du terme – qu’il en perd toute exactitude et ne peut plus servir à résoudre ses problèmes mathématiques.

Notes

1 Que nous citerons d’après une version que nous a gracieusement fournie le professeur Menso Folkerts (Institut für Geschichte der Naturwissenschaft de Munich) qui prépare l’édition scientifique des écrits mathématiques du Cusain pour l’académie de Heidelberg.

2 Que nous citerons d’après Nikolaus von Kues, Die philosophisch-theologischen Schriften, vol. III.

3 « Sunt qui circuli quadraturam admittunt. Et hii habent necessario admittere circulorum peripherias aequari posse peripheriis polygoniarum figurarum […]. Illi etiam hoc argumentum admittunt, sine quo nihil attingerent, scilicet : Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale […]. Sunt et qui circuli quadraturam negant, et hii omnia iam dicta negant. Aiunt enim, argumentum in mathematicis non procedere : ubi est dare magis et minus, quod ibi sit dare aequale ».

4 « Capiendo vero aequalitatem absolute… »

5 « … tamen – cum angulus contingentiae sit minor omni angulo rectilineo – sic dato incidentiae datur rectilineus maior, qui tamen non est maior aliqua parte aliquota rectilinei anguli ; sic dato rectilineo datur incidentiae angulus minor, scilicet quantum est angulus contingentiae, qui tamen non est pars aliquota incidentiae, sed minor omni parte aliquota eius ».

6 « … et quod quocumque quadrato tali dato adhuc possit dari aliud praecisius circulo, licet nullum praecisissimum, et nullum minus circulo parte aliquota eius ».

7 Thomas Bradwardine, Geometria speculativa, partie 2, chapitre 3, proposition 7.

8 Numérotée III, 15, à l’époque : « La droite menée à angles droits avec le diamètre du cercle à partir d’une extrémité tombera à l’extérieur du cercle, et dans le lieu compris entre la droite et la circonférence, une autre droite ne sera pas intercalée ; en outre, d’une part l’angle du demi-cercle est plus grand, d’autre part l’angle restant plus petit, que tout angle rectiligne aigu ». (Euclide, Éléments, t. 1., traduction Vitrac)

9 Dans Questions de Physique, VII, 5 et Questions sur la géométrie d’Euclide, 19.

10 « Una igitur erit inter omnes ducibiles […] minus improportionalis quaesitae ».

11 De aequalitate, p. 362.

12 « Sicut una ratio circuli est omnium circulorum dabilium praecisa ratio et adaequata, cur nec plus nec minus sunt quam circuli, sive circuli fuerint inter se aequales, sive inaequales quoad quantitatem et cetera accidentia » (De aequalitate, p. 400-402).

13 « … cum videat numerum in variis numeratis, videt etiam numerum innumerabilem omnia numerantem in se » (De aequalitate, p. 372).

14 Platon, Lettre VII, 342b-d.

15 « … tamen si aequalitas capitur pro absoluto inalterabili… » (De aequalitate, p. 394).

16 Voir De aequalitate, p. 396.

17 Voir De aequalitate, p. 400.

18 De docta ignorantia, I, 3, Herder éd., vol. I, p. 202 : « … quanto inscripta plurium angulorum fuerit, tanto similior circulo. Nunquam tamen efficitur aequalis, etiam si angulos usque in infinitum multiplicaverit, nisi in identitatem cum circulo se resolvat ».

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