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    Plan détaillé Texte intégral Les démonstrations galiléennes de la loi de chute des graves dans le Dialogo et dans les Discorsi Les critiques de la loi galiléenne à l’Académie royale des Sciences Abréviations Notes de bas de page Auteur

    Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée

    Ce livre est recensé par

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    Table des matières

    Deux aspects de la critique de la loi galiléenne de chute des graves à l’Académie Royale des Sciences de Paris

    Michel Blay

    p. 167-183

    Texte intégral Les démonstrations galiléennes de la loi de chute des graves dans le Dialogo et dans les Discorsi La démonstration du Dialogo La démonstration des Discorsi Les critiques de la loi galiléenne à l’Académie royale des Sciences Les critiques de Edme Mariotte L’effort déductif de Varignon Abréviations Notes de bas de page Auteur

    Texte intégral

    1Peu de temps après la fondation en 1666 de l’Académie royale des Sciences, Bernard Frénicle de Bessy (1600-1675), dans le cadre de recherches collectives sur la force de la percussion, suggère à la séance du mercredi 27 juin 1668 « d’éprouver la force de la percussion et de la chute des corps pesants1 ». Ces travaux s’inscrivent dans l’ensemble de ceux qui visent à reprendre et « à éprouver » certains résultats obtenus antérieurement à la création de l’Académie. Il en est ainsi, par exemple, des recherches effectuées par Evangeliste Torricelli et par Benedetto Castelli à propos desquelles à la séance de l’Académie du mercredi 25 juillet 1668, l’abbé Picard fixe un programme précis et détaillé de recherches :

    « Le Mercredy 25e jour de juillet 1668. La compagnie estant assemblée on a traitté de la force des eaux courantes a presser et a mouvoir. Mr Picard, qui s’estoit chargé d’examiner cette matière a dict que pour la traitter solidement il falloit faire deux expériences qui sont le fondement des principales propositions qu’on peut faire sur le subject dont il s’agit.
    La première est de sçavoir s’il est vray comme dit l’abbé Castelly, que la vitesse de l’eau dans un mesme canal ou aqueduc croist en mesme proportion que sa hauteur sur le fond.
    La seconde est d’eprouver ce que dit Torricelli que l’eau qui s’escoule d’un vaisseau percé par le fonds ou a costé, a en sortant la mesme vitesse qu’elle auroit acquise en tombant de toute la hauteur de l’eau qui est dans le vaisseau2. »

    2Ce faisant, ces travaux sur la loi de Torricelli supposent, comme le note Fontenelle dans son Histoire de l’Académie royale des Sciences pour l’année 1668, « qu’il faut savoir la théorie de Galilée sur la chute des corps pesants3 ».

    3Les critiques adressées à la loi de Galilée ne vont pas tant porter sur l’expression généralement acceptée de cette loi – que ce soit sous la forme de la proportionnalité des espaces aux carrés des temps ou sous celle pour laquelle la progression des nombres impairs représente l’accroissement des espaces à chaque instant – que sur les difficultés spécifiques de l’analyse galiléenne du mouvement de chute des graves dans sa construction et son développement mathématique :

    • Qu’en est-il du début du mouvement et de l’accroissement continu de la vitesse ?
    • Qu’en est-il du statut des démonstrations de Galilée visant à établir la loi de chute des graves ?

    4Avant de nous engager dans l’analyse de ces questions, soulevées à l’Académie royale des Sciences respectivement par Edme Mariotte et par Pierre Varignon, il importe tout d’abord de revenir cursivement sur les démonstrations galiléennes de la loi de chute des graves dans le Dialogo et dans les Discorsi.

    Les démonstrations galiléennes de la loi de chute des graves dans le Dialogo et dans les Discorsi

    La démonstration du Dialogo4

    5Dans les premières lignes de sa démonstration, Galilée précise que la variation des degrés de vitesse est continue, sans qu’il se fasse de petits bonds ou des pauses comme le suggèrent par exemple, les atomistes :

    « Puisque, dans un mouvement accéléré, l’augmentation de vitesse est continue, on ne peut diviser les degrés de la vitesse qui croît sans cesse, en un nombre déterminé quelconque : comme ils changent de moment en moment, il y en a toujours une infinité5. »

    6Galilée représente alors chaque degré de vitesse par un petit segment de droite de telle sorte qu’au cours du premier temps AD il y a, en raison de la continuité affirmée du mouvement, une infinité de petits segments dans le triangle ADH :

    Image

    « On pourrait d’ailleurs mieux expliquer ce que je veux dire en dessinant un triangle ABC ; sur le côté AC, prenons autant de parties égales qu’on voudra, AD, DE, EF, FG ; par les points D, E, F, G, traçons des lignes droites parallèles à la base BC ; imaginons que les parties marquées sur la ligne AC sont des temps égaux et que les parallèles tracées par les points D, E, F, G, représentent les degrés des vitesse accélérées qui croissent également en des temps égaux, le point A étant l’état de repos6 ; le mobile qui part de A acquiert, par exemple, le degré de vitesse DH pendant le temps AD ; dans le temps qui suit, sa vitesse s’accroît au-delà du degré DH jusqu’au degré El, puis elle devient successivement plus grande dans les temps suivants, proportionnellement aux accroissements des lignes FK, GL, etc. ; or, l’accélération se fait continûment de moment en moment, et non par saccades [intercisamente] d’une partie assignable de temps à la suivante ; si on suppose que le terme A est le plus petit moment de vitesse, c’est-à-dire l’état de repos, et que le premier instant du temps qui suit est AD, il est évident qu’avant d’avoir acquis le degré de vitesse DH pendant le temps AD, on est passé par l’infinité de tous les autres degrés de vitesse de plus en plus petits, gagnés pendant l’infinité des instants qu’il y a dans le temps DA et qui correspondent à l’infinité des points qu’il y a dans la ligne DA. Si donc on veut représenter l’infinité des degrés de vitesse qui précèdent le degré DH, on doit concevoir qu’il y a une infinité de lignes de plus en plus petites, tracées à partir de l’infinité des points de la ligne DA, parallèlement à DH7. »

    7Cette infinité de segments, dont il n’est pas précisé s’ils possèdent ou non une épaisseur, est représentée, suivant Galilée, par la surface du triangle : « Or cette infinité de lignes nous est représentée finalement [in ultimo] par la surface du triangle AHD8 ». Cette surface, bien évidemment, ne représente pas l’espace parcouru puisque Galilée note :

    « Nous comprendrons ainsi que tout espace parcouru par le mobile dont le mouvement, commençant par le repos, va en accélérant uniformément, a consommé et utilisé l’infinité des degrés croissants de vitesse, correspondant à l’infinité des lignes qu’on peut concevoir, en commençant par le point A lui-même, parallèles à la ligne HD et aux lignes IE, KF, LG, BC, le mouvement se poursuivant autant qu’on veut9 ».

    8Quelle signification donner à la surface triangulaire représentative de tous les degrés de vitesse ? Ou, plus précisément, comment passer de la totalité des degrés de vitesse aux espaces parcourus ?

    9Comme ce sera encore le cas dans les Discorsi, Galilée va comparer un mouvement uniforme et un mouvement uniformément accéléré. Pour cela il prolonge tous les segments de manière à ce qu’ils représentent les degrés de vitesse d’un mouvement rectiligne uniforme :

    « Complétons maintenant le parallélogramme entier AMBC et prolongeons jusqu’à son côté BM non seulement les parallèles marquées dans le triangle, mais l’infinité des parallèles qu’on peut concevoir comme tracées à partir de tous les points du côté AC. La ligne BC était la plus grande parmi l’infinité des lignes du triangle, elle représentait pour nous le degré maximum de vitesse acquis par le mobile en mouvement accéléré, et la surface de ce triangle, prise en sa totalité, était la masse et la somme de toute la vitesse [la massa e la somma di tutta la velocità] avec laquelle le mobile a parcouru un tel espace pendant le temps AC10. »

    10Ainsi donc, loin d’être la représentation de l’espace parcouru, la surface du triangle ABC « est la masse et la somme de toute la vitesse » correspondant au parcours d’un certain espace (celui qui est représenté à côté de la figure triangulaire dans les Discorsi) pendant le temps AC.

    11Il en est alors de même pour le « parallélogramme » engendré par le mouvement uniforme :

    « […] de la même façon le parallélogramme se trouve être une masse et un agrégat d’autant de degrés de vitesse, mais ici chaque degré est égal au plus grand degré, BC […]11. »

    12Galilée a dégagé tous les éléments de sa démonstration, il ne lui reste plus qu’à comparer « la masse ou la somme de toute la vitesse » des deux mouvements :

    « […] de la même façon, le parallélogramme se trouve être une masse et un agrégat d’autant de degrés de vitesse, mais ici chaque degré est égal au plus grand degré, BC, et la masse de vitesse [massa di velocità] se trouve être le double de la masse des vitesses [massa delle velocità] croissantes du triangle, puisque ce parallélogramme est le double du triangle12. »

    13Ce n’est finalement qu’à l’issue de cette comparaison que celle relative aux espaces parcourus est introduite ; mais elle l’est en des termes, « il est fort raisonnable et probable », qui ne peuvent pleinement, en reprenant une expression de Fontenelle, « satisfaire la raison13 » :

    « Par conséquent, si le mobile qui, en tombant, a utilisé les degrés de vitesse accélérée correspondant au triangle ABC, a parcouru en autant de temps un tel espace, il est fort raisonnable et probable qu’en utilisant les vitesses uniformes, qui correspondent au parallélogramme, dans le même temps il parcourra d’un mouvement uniforme un espace double de l’espace parcouru par un mouvement accéléré14. »

    14Venons-en maintenant à la démonstration donnée dans les Discorsi.

    La démonstration des Discorsi15

    15Dans les Discorsi la loi galiléenne de chute des graves est formulée dans le Théorème II de la Troisième Journée. Cependant le développement géométrique de ce théorème repose entièrement sur les résultats obtenus dans le Théorème I ou Théorème dit du « degré moyen » qui vise à établir une correspondance entre un mouvement uniforme et un mouvement uniformément accéléré. Ce Théorème I, Proposition I, énonce que : « Le temps pendant lequel un espace quelconque est franchi par un mobile partant du repos, avec un mouvement uniformément accéléré, est égal au temps pendant lequel le même espace serait franchi par le même mobile avec un mouvement uniforme, dont le degré de vitesse serait la moitié du plus grand et dernier degré de vitesse atteint au cours du mouvement accéléré16. » Examinons maintenant les premières lignes du théorème :

    Image

    « Représentons par la ligne AB le temps pendant lequel un mobile, partant du repos en C, franchira d’un mouvement uniformément accéléré l’espace CD ; on représentera le plus grand et dernier des degrés de vitesse acquis durant l’intervalle de temps AB par la ligne EB, formant avec AB un angle droit ; menons AE : les lignes équidistantes et parallèles à BE, tirées des différents points de la ligne AB, représenteront les degrés croissants de vitesse après l’instant initial A17. »

    16Dans ce texte, Galilée introduit le degré de vitesse par sa représentation géométrique : un segment de droite (« les lignes équidistantes et parallèles à BE »). Comment parvient-il ensuite à passer de la vitesse ainsi représentée à ce qui constitue la clé de voûte de ce théorème, à savoir la comparaison des espaces parcourus ?

    « Divisons BE en son milieu par le point F, et menons FG et AG respectivement parallèles à AB et FB ; le parallélogramme AGFB sera égal au triangle AEB puisque GF coupe AE en son milieu I, et que si, d’autre part, on prolonge les lignes du triangle AEB jusqu’à GIF, l’agrégat de toutes les parallèles contenues dans le quadrilatère sera égal à l’agrégat des parallèles comprises dans le triangle AEB18 : en effet les parallèles du triangle IEF sont équivalentes à celles du triangle GIA, et celles que contient le trapèze AIFB sont communes. Comme à tous les instants, pris un à un, de l’intervalle de temps AB correspondent tous les points, pris un à un de la ligne AB, et comme les parallèles menées à partir de ces points à l’intérieur du triangle AEB représentent les degrés croissants de la vitesse grandissante, tandis que de leur côté les parallèles contenues dans le parallélogramme représenteront autant de degrés d’une vitesse non croissante ; il apparaît qu’autant de moments de vitesse sont dépensés dans le mouvement accéléré selon les parallèles croissantes du triangle AEB que dans le mouvement uniforme selon les parallèles du parallélogramme GB19 en effet ; les moments qui font défaut dans la première moitié du mouvement accéléré (c’est-à-dire ceux qui représentent les parallèles du triangle AGI) sont compensés par les moments que représentent les parallèles du triangle IEF. Il est donc clair que des distances égales seront traversées en des temps égaux par deux mobiles dont l’un, partant du repos, se meut d’un mouvement uniformément accéléré, et dont l’autre, animé d’un mouvement uniforme, se déplace avec un moment de vitesse égal à la moitié du plus grand moment de vitesse atteint par le premier. CQFD20. »

    17Pour comparer les espaces parcourus, Galilée met donc en œuvre un raisonnement s’appuyant sur la comparaison de deux agrégats de parallèles compris dans des figures égales, d’une part, le parallélogramme AGFB et, d’autre part, le triangle AEB.

    18En outre, l’agrégat de toutes les parallèles comprises dans le triangle AEB représente l’agrégat de tous les degrés de vitesse d’un mouvement uniformément accéléré tandis que l’agrégat de toutes les parallèles comprises dans le parallélogramme AGFB représente l’agrégat de tous les degrés de vitesse d’un mouvement uniforme. Par conséquent, les agrégats des degrés de vitesse dans l’un et l’autre mouvement sont les mêmes :

    « Le parallélogramme AGFB sera égal au triangle AEB puisque GF coupe AE en son milieu I, et que si d’autre part, on prolonge les lignes du triangle AEB jusqu’à GIF, l’agrégat de toutes les parallèles contenues dans le quadrilatère sera égal à l’agrégat des parallèles comprises dans le triangle AEB21. »

    19Comment passer maintenant de la comparaison de ces agrégats à celle des espaces parcourus ?

    20Pour Galilée, ce passage « est clair ». Cependant il ne l’est pas vraiment à moins de préciser, ce qui n’est pas fait explicitement, dans quelle relation mathématique les agrégats des degrés de vitesse sont avec les espaces parcourus, de telle sorte que si cette relation est celle de la proportionnalité, alors seulement, de l’égalité des agrégats on peut conclure à l’égalité des espaces parcourus22 et donc que, en effet,

    « des distances égales seront traversées en des temps égaux par deux mobiles dont l’un partant du repos, se meut d’un mouvement uniformément accéléré, et dont l’autre, animé d’un mouvement uniforme, se déplace avec un moment de vitesse égal à la moitié du plus grand moment de vitesse atteint par le premier ».

    21Ce résultat établi, le Théorème II de la troisième journée des Discorsi, stipulant que « les espaces parcourus en des temps quelconques par le même mobile sont entre eux en raison double des temps, c’est-à-dire comme les carrés de ces mêmes temps23 », se déduit ensuite très facilement dans le cadre de la géométrie euclidienne.

    22De ces deux démonstrations galiléennes il suit entre autres :

    • d’une part que l’accroissement de vitesse est continu à partir du repos initial,
    • d’autre part que le passage de l’agrégat de toutes les vitesses à l’espace parcouru se fait, pour l’essentiel, sur la base des expressions galiléennes « il est fort raisonnable et probable » (Dialogo) et « il est donc clair » (Discorsi).

    23Ce sont ces données de l’analyse galiléenne qui vont faire l’objet des critiques exercées par certains membres de l’Académie royale des Sciences de Paris.

    Les critiques de la loi galiléenne à l’Académie royale des Sciences

    Les critiques de Edme Mariotte

    24Les critiques de Mariotte portent sur l’analyse galiléenne du début du mouvement et sur l’accroissement continu de la vitesse. Le mouvement de chute des graves passe-t-il, comme l’affirme Galilée dans le Dialogo et dans les Discorsi, par tous les degrés de vitesse à partir du repos ?

    25Mariotte formule ses critiques dans un Mémoire lu à la séance de l’Académie le 31 juillet 1677. On y lit dès les premières lignes :

    « Lemme Ier
    Les corps qui tombent par leur propre poids dans l’air libre, commencent leur chute avec une vitesse déterminée assez considérable et passent point par tous les degrés de lenteur24. »

    26Suit alors une sorte de démonstration expérimentale reposant sur l’étude des mouvements des plateaux d’une balance :

    « Soit une balance rigide et inflexible BAC dont le bras AC soit 50 fois plus grand que le bras AB, il est évident que si on suspend au point B, le poids D de 50 onces, et au point C le poids E de 2 onces, ce dernier poids descendra, et fera eslever le poids D. Soit un autre poids F esgal au poids E, et qu’on le laisse tomber en mesme temps que le poids E il ne commencera pas sa chutte avec une vistesse moindre que celle du poids E mais elle sera esgale ou plus grande, et par ce que la balance est supposée inflexible, le poids E ne peut se mouvoir en descendant que le poids D ne se meuve en montant, et qu’il ne se meuve 50 fois moins viste, donc le poids E ne passera pas par ce degré de lenteur, ny par tous les autres entre deux, et si le bras AC, est cent fois plus grand que le bras AB, il y aura encore un plus grand nombre de degrés de lenteur, par lesquels le poids E ne passera pas, et ainsy à l’infiny, donc il y a une infinité de degres de lenteur par lesquels le poids E ne passe pas en descendant, puisqu’il commence sa chutte avec une vistesse egale ou plus grande que le poids E, et par conséquent il commence à descendre avec une vistesse determinée, et assez considerable, ce qu’il falloit prouver25. »

    27Ainsi, un corps en chute libre, au début de son mouvement, ne passe pas par tous les degrés de vitesse, mais, au contraire, commence son mouvement avec une vitesse « determinée assez considerable ».

    28Déjà, en 1673, dans son Traite de la percussion ou chocq des corps, Mariotte écrivait en des termes très voisins :

    « Un corps qui tombe dans l’air libre, commence à tomber avec une vitesse déterminée, et qui n’est pas infiniment petite ; c’est-à-dire, qu’elle est telle, qu’il y en peut avoir de moindres, en différents degrés26. »

    29Dans ce même Traité de la percussion, Mariotte, quelques pages plus loin, revient sur cette question en associant alors à sa critique des réflexions s’appuyant sur les célèbres paradoxes de Zénon d’Elée relatifs à la continuité du mouvement :

    « Galilée fait quelques raisonnements assez vray-semblables pour prouver qu’au premier moment qu’un poids commence à tomber, sa vitesse est plus petite qu’aucune qu’on puisse déterminer : mais ces raisonnements sont fondez sur les divisions à l’infiny, tant des vitesses que des espaces passez, et des temps de cheutes, qui sont des raisonnements très suspects, comme celuy que les Anciens faisoient pour prouver qu’Achille ne pourroit jamais attraper une tortue, auquel raisonnement il est difficile de répondre et d’en donner la solution ; mais on en démontre la fausseté par l’expérience, et par d’autres raisonnements plus faciles à concevoir. Ainsi l’on objectera à Galilée les raisonnements cy-dessus qui sont faciles à concevoir, particulièrement celui de la balance, et qui sont beaucoup plus clairs que les siens, qu’il a fondez sur les divisions à l’infiny, qui sont inconcevables, et sur certaines règles de l’accélération de la vitesse des corps, qui sont douteuses : car on ne peut sçavoir si le corps tombant ne passe pas un petit espace, sans accélérer son premier mouvement, à cause qu’il faut du temps pour produire la pluspart des effets naturels, comme il paroist lorsqu’on fait passer du papier au travers d’une grande flamme, avec une grande vitesse, sans qu’il s’allume ; et par conséquent on doit préférer les raisonnements cy-dessus à ceux de Galilée27. »

    30Ces idées se trouvent également, pour l’essentiel, dans son Essai de logique publié à Paris, sans nom d’auteur, en 1678 :

    « Les Sophismes qui se fondent sur la division infinie de l’espace, procedent aussi de ce qu’on ne peut comprendre l’infiny, et qu’il n’est pas d’une signification determinée, ce qui fait qu’on a peine à donner la solution de ces Sophismes ; mais il suffit de faire une preuve contraire facile à comprendre, comme, si on vouloit prouver qu’un homme qui courroit deux fois plus vîte qu’un autre, ne pourroit jamais l’atteindre, si ce dernier avoit une lieuë d’avance ; parce que pendant que le plus viste feroit cette lieuë, l’autre feroit une demie lieuë au delà ; et que quand le plus viste auroit fait cette demie lieuë, l’autre auroit fait un quart de lieuë au delà, et ainsi à l’infiny ; il faut répondre que si le plus viste fait une lieuë en une heure, et l’autre une demie lieuë dans le mesme temps, le premier aura fait trois lieuës en trois heures, et l’autre une lieuë et demie, et que par consequent le plus viste l’aura passé d’une demie lieuë ; ce dernier raisonnement est clair, et l’autre est obscur.
    Et si pour prouver qu’il n’y a point de mouvement dans la nature, on dit, Ce qui est meu se meut dans le lieu où il est, ou dans celuy où il n’est pas encore, l’un et l’autre est impossible ; donc il ne se fait point de mouvement : il faut répondre qu’il est difficile ou impossible de comprendre par le détail comme un corps passe d’un lieu à un autre, à cause que les espaces sont divisibles à l’infiny, et qu’on ne peut comprendre l’infiny ; mais que c’est une chose tres-claire, et qu’aucun raisonnement ne peut détruire, que les corps changent de place28. »

    31Une certaine évidence expérimentale est donc affirmée par Mariotte contre la continuité du mouvement et l’accroissement de la vitesse à partir du repos. C’est tout le travail galiléen de mathématisation du mouvement qui est ici critiqué au nom d’un empirisme illusoire. Quelques années plus tard, Leibniz, en donnant son principe ou sa loi de continuité, permettra enfin de sortir de ces difficultés et d’ouvrir définitivement la voie à la mathématisation du mouvement.

    32Ainsi, pour ne prendre qu’un exemple parmi les nombreuses formulations de ce principe de continuité, Leibniz précise en 1704 dans les Nouveaux Essais sur l’entendement humain qui ne seront finalement édités qu’en 1765 par Raspe :

    « Rien se fait d’un coup, et c’est une de mes grandes maximes et des plus vérifiées, que la nature ne fait jamais des sauts : ce que j’appellois la loi de continuité, lorsque j’en parlois autrefois dans les Nouvelles de la République des Lettres ; et l’usage de cette loi est très considérable dans la physique. Elle porte qu’on passe toujours du petit au grand, et à rebours par le médiocre, dans les degrés comme dans les parties ; et que jamais un mouvement ne naist immédiatement du repos, ni de s’y réduit que par un mouvement plus petit ; comme on n’achève jamais de parcourir aucune ligne ou longueur avant que d’avoir achevé une ligne plus petite29. »

    L’effort déductif de Varignon

    33L’objet du travail varignonien sur la loi galiléenne de chute des graves est tout différent de celui de Mariotte. Il s’agit pour Varignon de donner à la démonstration galiléenne une véritable perfection démonstrative, c’est-à-dire, finalement, de rendre compte des expressions « il est fort raisonnable et probable » et « il est donc clair ».

    34C’est donc à la séance de l’Académie royale des Sciences du samedi 19 janvier 1692 que Varignon se propose de « démontrer »« l’opinion de Galilée touchant les espaces que parcourent les corps qui tombent30 ». Il faut prendre ici « démontrer » dans un sens fort car il s’agit pour Varignon de rendre raison du résultat galiléen ou de le démontrer « en général », c’est-à-dire de lui donner une perfection démonstrative identique à celle dont paraissait revêtue la géométrie euclidienne :

    « Galilée suppose que les vitesses des corps qui tombent, augmentent, comme les temps de leur chute ; et de là il a trouvé que les espaces que ces corps parcourent en tombant suivent la raison des quarrés des temps qu’ils emploient à les parcourir, mais il ne l’a prouvé que par induction, et non en général. Voicy comment il l’auroit pu faire, mesme suivant ses propres principes31. »

    35Puisque Varignon se propose de « démontrer » les résultats galiléens en utilisant les principes mêmes de Galilée, comment va-t-il parvenir à rendre raison des imprécisions galiléennes ?

    Image

    Histoire de l’Académie royale (Paris, 1733), II, 156

    « Que AB exprime tel temps que l’on voudra de la chute d’un corps. Puisque (hyp) les vitesses de ce corps en tombant suivent la raison des temps de sa chute, il est évident que si DE exprime la vitesse acquise dans telle partie AD qu’on voudra de ce temps AB, sa parallèle FG exprimera aussy la vitesse de ce corps à la fin du temps AF parce que DE est à FG comme AD est à AF. Par la même raison, HK exprimera la vitesse de ce corps à la fin du temps AH32 ; et ainsy dans toutes les parties imaginables du temps AB jusques à BC qui exprimera la vitesse de tout ce corps à la fin de tout ce temps. Si donc par tous les points de la ligne AB on imagine des parallèles à BC, elles exprimeront chacune la vitesse de ce corps à la fin de chacun des temps exprimez par les parties AB, prises depuis A jusqu’à chacun de ces points33. »

    36Cela étant, Varignon ne considère plus comme Galilée l’agrégat, mais par un glissement conceptuel susceptible de réintroduire implicitement les problèmes relatifs à la composition du continu et marqué par l’abandon de l’établissement préalable de l’égalité des figures géométriques (le triangle et le rectangle de Galilée), la « somme de toutes ces parallèles » :

    « Donc la somme de toutes ces parallèles exprimera la somme de toutes les vitesses que ce corps a eu dans tous les instans de sa chute34. »

    37Il s’ensuit alors :

    « Par exemple la somme de toutes les lignes parallèles à BC qui sont dans le triangle BAC exprimera la somme des vitesses que ce corps a eu dans tous les instans du temps AB ; de même la somme de ces parallèles comprises dans le triangle MAN, exprimera la somme de toutes les vitesses que ce corps a eu dans tous les instans du temps AM, et ainsy du reste35. »

    38Les « sommes » varignoniennes ayant remplacé d’un certain point de vue les « agrégats » galiléens, Varignon peut alors écrire très simplement, mais peu rigoureusement que « ces lignes étant supposées indéfiniment prez36 les unes des autres, il est évident que leurs sommes sont comme les surfaces des triangles ABC, AMN, etc.37 ». Et, par conséquent, « la somme des vitesses que ce corps a en tombant dans le temps AB, est à ce qu’il en a en tombant dans le temps AM comme ABC est à AMN38 ». Or, les deux triangles ABC et AMN étant semblables, le rapport de leurs aires est comme celui de AB2 à AM239, c’est-à-dire comme le rapport des carrés des temps « employés à tomber » ; d’où finalement :

    « Ainsy les sommes des vitesses qu’un corps a dans tous les instans de sa chute sont comme les quarrés des temps qu’il employe à tomber40. »

    39Varignon a donc établi le résultat suivant lequel les « sommes des vitesses » sont comme les carrés des temps. Comment va-t-il parvenir maintenant à exprimer que les espaces sont comme les carrés des temps, c’est-à-dire comment va-t-il construire une relation permettant de passer des « sommes des vitesses » aux espaces parcourus ?

    40À l’expression galiléenne « il est donc clair », Varignon répond par l’introduction d’un principe, fondé selon lui en raison, à savoir que « les effets sont toujours proportionnels à leurs causes » :

    « Or [les effets étant toujours proportionnels à leurs causes] il est évident que les espaces que les corps parcourent en tombant, sont comme somme de ces vitesses41, donc ils sont aussy comme les quarrés des temps que ces corps employent à tomber, ce qu’ il faloit démontrer42. »

    41Varignon emprunte, selon toute vraisemblance, son principe à John Wallis. En effet, ce dernier, dans la Proposition 7 de la première partie de sa Mechanica sive de motu tractatus geometricus (Londres, 1670-1671), écrit : « Les effets sont proportionnels à leurs causes adéquates43 », et commente ensuite cette Proposition dans un bref Scholie : « J’ai estimé qu’il fallait faire une prémisse de cette proposition universelle puisqu’elle ouvre la voie par où on passe de la pure spéculation mathématique à la physique ; ou plutôt elle lie l’une à l’autre44. » Ainsi cette proposition universelle sert à Varignon, comme le suggère Wallis, à passer de la pure spéculation mathématique en laquelle consiste ici l’obtention de la somme de toutes les lignes ou de toutes les vitesses, à la physique, c’est-à-dire à l’observation d’un espace parcouru en tant que cet espace parcouru est un effet physique dont la somme de toutes les vitesses est la raison mathématique. Pour Varignon, la loi galiléenne passe donc du registre de la physique expérimentale à celui de la physique mathématique ou, si l’on veut, elle est passée dans un registre où l’exigence de mathématicité se trouve pleinement satisfaite.

    42À travers ces deux aspects de la critique du travail galiléen relatif au mouvement de chute des graves, ce sont les tensions philosophiques et méthodologiques de la nouvelle Académie royale des Sciences qui se font jour. D’une part une tendance largement empiriste et peu portée sur l’usage des mathématiques que représentent ici les réflexions de Edme Mariotte et, d’autre part, une tendance que l’on peut dire rationaliste, de style cartésien, qui affirme avec Pierre Varignon la prépondérance de la physique mathématisée et de l’organisation déductive.

    43Les grands débats philosophiques du xviiie siècle se dessinent déjà !

    Abréviations

    44A. Ac. Sc. Registres : Archives de l’Académie des Sciences de Paris ; Registres manuscrits des procès-verbaux des séances de l’Académie royale des Sciences de Paris.

    45Histoire : Histoire de l’Académie royale des Sciences, 2 vol., Paris, 1733. T. I : « Depuis son établissement en 1666 jusqu’à 1686 » ; T. II : « Depuis 1686 jusqu’à son renouvellement en 1699 ».

    46Opere : Galilee, Opere, éd. Nationale italienne par A. Favaro et I. Del Lungo, 20 vol., Florence, 1890-1909.

    Notes de bas de page

    1 A. Ac. Sc. Registres, t. 3, fol. 74 r°.

    2 Ibid, fol. 99 r°. Sur ces questions voir en particulier Michel Blay. « Deux exemples de l’influence de l’école galiléenne sur les premiers travaux de l’Académie royale des Sciences de Paris » dans Geometria e atomismo nella scuola galileiana, M. Bucciantini et M. Torrini (éditeurs), Firenze, Leo S. Olschki, 1992, p. 49-65.

    3 Histoire, I (année, 1668), 74.

    4 Opere, VIII, 255 (Deuxième journée). Dans la suite nous utiliserons la traduction française donnée par René Fréreux et François de Gandt, Dialogue sur les deux grands systèmes du monde (Paris, Le Seuil, 1992), 241-242.

    5 Dialogue, 241.

    6 L’analyse du début du mouvement est un problème très délicat que nous développerons dans les pages suivantes. Dans cette perspective il est intéressant de noter que Cavalieri écrit, dans une lettre à Galilée en date du 19 décembre 1634 : « Or, puisque le début et la fin d’un mouvement ne sont pas mouvement […] », Opere, XVI, 174. Voir également Michel Blay, Les Raisons de l’infini (Paris, Gallimard – Essais, 1993), chapitre III intitulé « La science du mouvement dans les chantiers de l’infini ».

    7 Dialogue, 241.

    8 Ibid.

    9 Ibid., 241-242.

    10 Ibid., 242.

    11 Ibid.

    12 Ibid.

    13 Histoire de l’Académie royale des Sciences avec les Mémoires de mathématique et de physique pour la même année. Tirés des registres de cette Académie, Partie histoire, année 1703 (1705), 126.

    14 Dialogue, 242.

    15 Opere, VIII, 43-113. Dans la suite nous utiliserons la traduction française donnée par Maurice Clavelin, Discours concernant deux sciences nouvelles (Paris, Colin, 1970).

    16 Opere, VIII, 208 ; Discours, 139.

    17 Opere, VIII, 208 ; Discours, 139-140.

    18 Dans ces lignes, nous avons préféré utiliser le terme d’« agrégat » plutôt que celui de « somme » qui se trouve dans la traduction de Maurice Clavelin : « […] quod si parallelæ trianguli AEB usque ad IG extendantur, habemus aggregatum parallelarum omnium in quadrilatero contentarum æqualem aggregatui comprehensarum in triangulo AEB », Opere, VIII, 208-209.

    19 Nous avons légèrement modifié la traduction donnée par Maurice Clavelin. On doit en outre remarquer que Galilée introduit l’expression de « moments de vitesse » à la place de celle de « degrés de vitesse ». Même si ces deux expressions sont le plus souvent synonymes dans les textes galiléens, cette substitution, à cet endroit du raisonnement n’en reste pas moins quelque peu problématique.

    20 Opere, VIII, 208-209 ; Discours, 140.

    21 Opere, VIII, 208 ; Discours, 140.

    22 Sur ces mêmes difficultés, voir Maurice Clavelin, La Philosophie naturelle de Galilée (Paris, Colin, 1968), 309-310 ; Jacques Merleau-Ponty, Leçons sur la genèse des théories physiques (Paris, Vrin, 1974), 50-51 et Alexandre Koyré, Études galiléennes (Paris, Hermann, 1966 et 1980), 149 et sq. On peut également consulter P. Galluzzi, Momento. Studi galileiani (Rome, 1979) ; E. Giusti, « Aspetti matematici della cinematica galileiana », Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche, 1981, 32 et A. Nardi, « La quadratura della velocità. Galileo, Mersenne, La tradizione », Nuncius (1988), 27-64.

    23 Opere, VIII, 209-210 ; Discours 140-141.

    24 A. Ac. Sc. Registres, t. 7, fol. 118 r°.

    25 Ibid., fol 118 v°-119 r°.

    26 Mariotte, Traitté de la percussion ou chocq des corps. Dans lequel les principales Règles du mouvement contraires à celles de Mr. Descartes, et quelques autres modernes ont voulu établir, sont démonstrées par leurs véritables causes (Paris, 1673). Cet ouvrage sera, avec quelques modifications, de nombreuses fois réédité, le nom de Descartes disparaissant du titre. Il sera également repris dans Œuvres de Mr Mariotte, 2 vol. (Leyde, 1717), I, 77. La Proposition XI de l’édition de 1717 correspond à la Proposition X de l’édition de 1673.

    27 Traitté de la percussion (Paris, 1673), 247-249 et Œuvres, I, 80-81.

    28 E. Mariotte, Essai de logique (Paris, 1678, rééd Paris, le Corpus, 1992), 168 dans l’édition du Corpus.

    29 G.W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Sechster Band, Nouveaux Essais, Akademie Verlag (Berlin, 1962), 56. Sur ces questions voir également Michel Blay « Principe de continuité et mathématisation du mouvement dans la deuxième moitié du XVIIe siècle », Studia Leibnitiana (1992), 191-204.

    30 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 76 r°-770 v°, et Histoire, II, 155-157.

    31 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 76 r°. Dans Histoire, II, 155, la dernière phrase devient : « M. Varignon fait voir comment il auroit pu faire, même suivant ses propres principes. »

    32 Sur la figure accompagnant le manuscrit, on trouve la parallèle supplémentaire HK entre FG et MN.

    33 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 76 v°. Il y a quelques légères modifications dans Histoire, II, 156 :
     – « soit AB une ligne quelconque qui exprime tel tems qu’on voudra de la chute d’un corps, puisque par l’hypothèse des vitesses de ce corps […] »,
     – « […] et ainsi dans toutes les autres parties imaginables du tems AB jusqu’à BC qui exprimera toute la vitesse de ce corps à la fin de tout ce tems […] ».

    34 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 77 r° et Histoire, II, 156.

    35 Ibid.

    36 Il y a « infiniment proche » dans Histoire, II, 156.

    37 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 77 r°.

    38 Ibid.

    39 Ibid.

    40 Ibid., fol. 77 r°-77 v°.

    41 « Somme de », oublié initialement, a été ajouté entre les lignes du manuscrit par la même main. On lit dans Histoire, II, 157 : « […] en tombant sont comme les sommes des vitesses. » Par ailleurs, bien que le principe énoncé ici soit très classique il acquiert, comme nous le verrons dans les lignes suivantes, avec Varignon et Wallis un statut bien spécifique lié au processus de la mathématisation.

    42 A. Ac. Sc. Registres, t. 13 fol. 77 v°.

    43 « Effectus sunt causis suis adæquatis proportionales », Mechanica sive de motu tractatus geometricus (Londres, 1670-1671), dans Opera Mathematica, 3 vol. (Oxford, 1693-1699), I (1695), 584.

    44 « Universalem hanc Propositionem præmittendum etiam duxi, quoniam viam aperit qua, ex pure Mathematica speculatione, ad Physicam transeatur ; sen potius hanc et illiam connectit », ibid, I (1695), 584.

    Auteur

    • Michel Blay

      ENS Fontenay/Saint Cloud, chercheur.

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    1 A. Ac. Sc. Registres, t. 3, fol. 74 r°.

    2 Ibid, fol. 99 r°. Sur ces questions voir en particulier Michel Blay. « Deux exemples de l’influence de l’école galiléenne sur les premiers travaux de l’Académie royale des Sciences de Paris » dans Geometria e atomismo nella scuola galileiana, M. Bucciantini et M. Torrini (éditeurs), Firenze, Leo S. Olschki, 1992, p. 49-65.

    3 Histoire, I (année, 1668), 74.

    4 Opere, VIII, 255 (Deuxième journée). Dans la suite nous utiliserons la traduction française donnée par René Fréreux et François de Gandt, Dialogue sur les deux grands systèmes du monde (Paris, Le Seuil, 1992), 241-242.

    5 Dialogue, 241.

    6 L’analyse du début du mouvement est un problème très délicat que nous développerons dans les pages suivantes. Dans cette perspective il est intéressant de noter que Cavalieri écrit, dans une lettre à Galilée en date du 19 décembre 1634 : « Or, puisque le début et la fin d’un mouvement ne sont pas mouvement […] », Opere, XVI, 174. Voir également Michel Blay, Les Raisons de l’infini (Paris, Gallimard – Essais, 1993), chapitre III intitulé « La science du mouvement dans les chantiers de l’infini ».

    7 Dialogue, 241.

    8 Ibid.

    9 Ibid., 241-242.

    10 Ibid., 242.

    11 Ibid.

    12 Ibid.

    13 Histoire de l’Académie royale des Sciences avec les Mémoires de mathématique et de physique pour la même année. Tirés des registres de cette Académie, Partie histoire, année 1703 (1705), 126.

    14 Dialogue, 242.

    15 Opere, VIII, 43-113. Dans la suite nous utiliserons la traduction française donnée par Maurice Clavelin, Discours concernant deux sciences nouvelles (Paris, Colin, 1970).

    16 Opere, VIII, 208 ; Discours, 139.

    17 Opere, VIII, 208 ; Discours, 139-140.

    18 Dans ces lignes, nous avons préféré utiliser le terme d’« agrégat » plutôt que celui de « somme » qui se trouve dans la traduction de Maurice Clavelin : « […] quod si parallelæ trianguli AEB usque ad IG extendantur, habemus aggregatum parallelarum omnium in quadrilatero contentarum æqualem aggregatui comprehensarum in triangulo AEB », Opere, VIII, 208-209.

    19 Nous avons légèrement modifié la traduction donnée par Maurice Clavelin. On doit en outre remarquer que Galilée introduit l’expression de « moments de vitesse » à la place de celle de « degrés de vitesse ». Même si ces deux expressions sont le plus souvent synonymes dans les textes galiléens, cette substitution, à cet endroit du raisonnement n’en reste pas moins quelque peu problématique.

    20 Opere, VIII, 208-209 ; Discours, 140.

    21 Opere, VIII, 208 ; Discours, 140.

    22 Sur ces mêmes difficultés, voir Maurice Clavelin, La Philosophie naturelle de Galilée (Paris, Colin, 1968), 309-310 ; Jacques Merleau-Ponty, Leçons sur la genèse des théories physiques (Paris, Vrin, 1974), 50-51 et Alexandre Koyré, Études galiléennes (Paris, Hermann, 1966 et 1980), 149 et sq. On peut également consulter P. Galluzzi, Momento. Studi galileiani (Rome, 1979) ; E. Giusti, « Aspetti matematici della cinematica galileiana », Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche, 1981, 32 et A. Nardi, « La quadratura della velocità. Galileo, Mersenne, La tradizione », Nuncius (1988), 27-64.

    23 Opere, VIII, 209-210 ; Discours 140-141.

    24 A. Ac. Sc. Registres, t. 7, fol. 118 r°.

    25 Ibid., fol 118 v°-119 r°.

    26 Mariotte, Traitté de la percussion ou chocq des corps. Dans lequel les principales Règles du mouvement contraires à celles de Mr. Descartes, et quelques autres modernes ont voulu établir, sont démonstrées par leurs véritables causes (Paris, 1673). Cet ouvrage sera, avec quelques modifications, de nombreuses fois réédité, le nom de Descartes disparaissant du titre. Il sera également repris dans Œuvres de Mr Mariotte, 2 vol. (Leyde, 1717), I, 77. La Proposition XI de l’édition de 1717 correspond à la Proposition X de l’édition de 1673.

    27 Traitté de la percussion (Paris, 1673), 247-249 et Œuvres, I, 80-81.

    28 E. Mariotte, Essai de logique (Paris, 1678, rééd Paris, le Corpus, 1992), 168 dans l’édition du Corpus.

    29 G.W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Sechster Band, Nouveaux Essais, Akademie Verlag (Berlin, 1962), 56. Sur ces questions voir également Michel Blay « Principe de continuité et mathématisation du mouvement dans la deuxième moitié du XVIIe siècle », Studia Leibnitiana (1992), 191-204.

    30 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 76 r°-770 v°, et Histoire, II, 155-157.

    31 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 76 r°. Dans Histoire, II, 155, la dernière phrase devient : « M. Varignon fait voir comment il auroit pu faire, même suivant ses propres principes. »

    32 Sur la figure accompagnant le manuscrit, on trouve la parallèle supplémentaire HK entre FG et MN.

    33 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 76 v°. Il y a quelques légères modifications dans Histoire, II, 156 :
     – « soit AB une ligne quelconque qui exprime tel tems qu’on voudra de la chute d’un corps, puisque par l’hypothèse des vitesses de ce corps […] »,
     – « […] et ainsi dans toutes les autres parties imaginables du tems AB jusqu’à BC qui exprimera toute la vitesse de ce corps à la fin de tout ce tems […] ».

    34 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 77 r° et Histoire, II, 156.

    35 Ibid.

    36 Il y a « infiniment proche » dans Histoire, II, 156.

    37 A. Ac. Sc. Registres, t. 13, fol. 77 r°.

    38 Ibid.

    39 Ibid.

    40 Ibid., fol. 77 r°-77 v°.

    41 « Somme de », oublié initialement, a été ajouté entre les lignes du manuscrit par la même main. On lit dans Histoire, II, 157 : « […] en tombant sont comme les sommes des vitesses. » Par ailleurs, bien que le principe énoncé ici soit très classique il acquiert, comme nous le verrons dans les lignes suivantes, avec Varignon et Wallis un statut bien spécifique lié au processus de la mathématisation.

    42 A. Ac. Sc. Registres, t. 13 fol. 77 v°.

    43 « Effectus sunt causis suis adæquatis proportionales », Mechanica sive de motu tractatus geometricus (Londres, 1670-1671), dans Opera Mathematica, 3 vol. (Oxford, 1693-1699), I (1695), 584.

    44 « Universalem hanc Propositionem præmittendum etiam duxi, quoniam viam aperit qua, ex pure Mathematica speculatione, ad Physicam transeatur ; sen potius hanc et illiam connectit », ibid, I (1695), 584.

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    Blay, M. (1999). Deux aspects de la critique de la loi galiléenne de chute des graves à l’Académie Royale des Sciences de Paris. In E. Festa, V. Jullien, & M. Torrini (éds.), Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée (1‑). ENS Éditions. https://doi.org/10.4000/books.enseditions.24963
    Blay, Michel. « Deux aspects de la critique de la loi galiléenne de chute des graves à l’Académie Royale des Sciences de Paris ». In Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée, édité par Egidio Festa, Vincent Jullien, et Maurizio Torrini. Lyon: ENS Éditions, 1999. https://doi.org/10.4000/books.enseditions.24963.
    Blay, Michel. « Deux aspects de la critique de la loi galiléenne de chute des graves à l’Académie Royale des Sciences de Paris ». Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée, édité par Egidio Festa et al., ENS Éditions, 1999, https://doi.org/10.4000/books.enseditions.24963.

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    Festa, E., Jullien, V., & Torrini, M. (éds.). (1999). Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée (1‑). ENS Éditions. https://doi.org/10.4000/books.enseditions.24843
    Festa, Egidio, Vincent Jullien, et Maurizio Torrini, éd. Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée. Lyon: ENS Éditions, 1999. https://doi.org/10.4000/books.enseditions.24843.
    Festa, Egidio, et al., éditeurs. Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée. ENS Éditions, 1999, https://doi.org/10.4000/books.enseditions.24843.
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