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Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée

Viviani rival de Leibniz

Clara Silvia Roero

Texte intégral

Introduction

  • 1 Cf. U. Baldini, « L’attività scientifica nel primo Settecento », in Storia d’Italia. Annali 3, Scie (...)

1Il est bien connu qu’en Italie, au cours de la deuxième moitié du xviie siècle, les mathématiques non seulement avaient perdu la position de prestige qu’elles occupaient dans l’école de Galilée, mais, qui plus est, elles étaient incapables d’atteindre le niveau des nouvelles méthodes élaborées à l’étranger, comme la géométrie cartésienne et le calcul leibnizien. En effet, la plus grande partie des mathématiciens et des enseignants de mathématiques des universités préféraient poursuivre l’étude traditionnelle de la géométrie plutôt que se convertir à l’algèbre et aux méthodes analytiques inventées par Descartes et Fermat, développées ensuite par Hudde, Sluse et Wallis, pour ne citer que ces noms-là1.

  • 2 Cf. V. Viviani, De Maximis et Minimis geometrica divinatio in quintum Conicorum Apollonii Pergaei, (...)

2Vincenzio Viviani (1622-1703) est sans doute le représentant le plus influent de cette orientation qui privilégie l’étude des œuvres classiques grecques au détriment des auteurs contemporains. Aussi, ses recherches en mathématiques sont entièrement orientées vers la reconstitution de traités anciens que l’on considérait comme perdus2.

3Tourné vers le passé le plus éloigné, Viviani manifeste son peu de goût pour les méthodes modernes. La géométrie des indivisibles de Cavalieri ne lui inspire pas davantage de sympathie, en dépit de l’emploi répété qu’en fait Torricelli, au sein même de cette école galiléenne à laquelle Viviani s’honore, pourtant, d’appartenir.

4Sa manière désuète de faire des mathématiques et son refus obstiné de prendre en considération les méthodes de ses contemporains ne le condamnent pas à l’isolement – comme on pourrait s’y attendre – ni dans la communauté scientifique et mathématique proprement dite, ni dans le milieu politico-culturel de l’époque. Le fait est que sa charge de « Premier mathématicien du grand-duc de Toscane » et la dénomination, si souvent utilisée dans ses écrits, de « dernier disciple de Galilée », sont des titres qui lui permettent d’obtenir d’importantes reconnaissances officielles à l’étranger. En 1664 le roi de France Louis XIV lui accorde une pension annuelle pour ses travaux ; en 1696 il est élu membre de la Royal Society et en 1699 de l’Académie royale des Sciences de Paris.

5Ce sont justement sa position de prestige, et le bruit suscité par son Ænigma, qui vont secouer le milieu des mathématiciens italiens. Sans le vouloir, sa démarche poussera les nouvelles générations de mathématiciens et de savants à étudier les ouvrages publiés hors des frontières nationales.

Le défi de Viviani

  • 3 Cf. C. S. Roero, « La matematica tra gli ‘ affari di Stato ’ nel Granducato di Toscana alla fine de (...)
  • 4 Cf. V. Viviani, Formazione e Misura di tutti i Cieli […] Curiosa Esercitazione Matematica, Firenze, (...)

6Les deux titres auxquels on a fait allusion interviennent de manière évidente dans le déroulement des événements, suite au défi que Viviani lance en 1692 aux analystes ultramontains, en se servant du secrétariat du grand-duc de Toscane pour sa diffusion3. Le problème mathématique qui va jouer son rôle ici avait été étudié par Viviani dès le début de ses recherches, vers 1646, et s’inspirait de la lecture des œuvres d’Archimède4. Il consistait à déterminer une portion de surface sphérique exactement carrable, c’est-à-dire équivalente à la surface d’un carré que l’on peut construire à la règle et au compas.

  • 5 Die 4 April 1692 Ænigma Geometricum de miro opificio testudinis quadrabilis hemisphericae ; le seul (...)
  • 6 D. Pio Lisci Pusilli Geometra est, en fait, l’anagramme de Postremo Galilei Discipulo.
  • 7 Cf. Die 4 April 1692 Ænigma Geometricum […], cité note 5 : « Cuius divinatio, a secretis Artibus il (...)

7Le problème est présenté le 4 avril 1692, sur une feuille volante imprimée à Florence en un certain nombre d’exemplaires, sous le titre « Ænigma Geometricum de miro opificio testudinis quadrabilis hemisphæricæ (Énigme géométrique concernant l’admirable réalisation d’une voûte hémisphérique carrable)5 ». Le nom de celui qui propose l’énigme – D. Pio Lisci Pusillo Geometra – est marqué sur la feuille et correspond en fait à l’anagramme derrière laquelle se cache Viviani, désireux de souligner sa condition de dernier disciple de Galilée6. D’entrée de jeu, l’auteur déclare que son Ænigma est proposé surtout aux analystes, dans la mesure où il se sent incapable de comprendre leur méthode7. Quelques lignes plus loin, on apprend qu’il en a confié la solution au prince. Dans la dédicace du petit traité Formazione e misura di tutti i cieli que Viviani fait publier en mai 1692, on lit ceci :

  • 8 « […] Votre Altesse ayant rendu public le premier de ces problèmes, pour exciter les Analystes célè (...)

«[…] avendo l’A. V. fatto pubblico il primo di questi Problemi, per eccitare gli Analisti famosi, che in oggi illustrano il secolo, […] io non pretesi di provocare in ciò, né di chiamar, come dir si suole, alcuno a duello; il che mi fu sempre odiosissimo; ma sol di vedere la moltiplicità delle vie diverse, per le quali sarebbero tutti pervenuti a scoprire uno stesso, e così bel Vero Geometrico8

8Or, derrière cette motivation officielle se cachait, en fait, une situation bien différente. Leibniz est, en réalité, le principal antagoniste et le but de l’opération consiste à revendiquer la supériorité de la tradition géométrique italienne en démasquant la nouvelle méthode différentielle. Pour Viviani, celle-ci était dépourvue de toute validité générale. En s’arrêtant seulement à l’aspect algorithmo-algébrique, lié à d’« étranges symboles », l’auteur de l’Ænigma la considérait comme un « petit jeu enfantin », capable uniquement de résoudre des problèmes particuliers.

Les raisons du défi

  • 9 Cf. A. Robinet, G. W. Leibniz.. Iter Italicum (mars 1689 – mars 1690). La dynamique de la Républiqu (...)
  • 10 Cf. Leibniz, « Solutio illustris problematis a Galilæo primum propositi, de natura, et usu Lineæ, i (...)
  • 11 Cf. R. Caverni, Storia del metodo sperimentale in Italia, 6 vol., Firenze, 1891, vol. I, p. 212 ; 2 (...)
  • 12 Cf. A. Robinet, « Les rencontres de G. W. Leibniz avec V. Viviani et leurs suites (Florence, novemb (...)
  • 13 Cf. lettre de Bodenhausen à Leibniz, Florence, 19 janvier 1691 : « Viviani hat mich auch nebst den (...)

9Voici, en quelques mots, comment était née l’idée de Viviani. Au cours de son voyage en Italie en 1689-1690, Leibniz (1642-1716) avait eu de nombreux contacts avec des mathématiciens, des philosophes et, en général, avec des érudits et des diplomates italiens. À chacun d’eux il avait exposé l’importance de sa méthode, et l’intérêt qu’il y avait à l’étudier9. Revenu ensuite à Hanovre, il avait poursuivi l’action en faveur de ses méthodes mathématiques, et avait envoyé en Italie aussi sa solution du problème de la chaînette afin qu’elle fût publiée dans le Giornale de’ letterati di Modena10. Dans cet article, Leibniz faisait remarquer que Galilée n’était pas parvenu à résoudre correctement ce problème, puisqu’il avait indiqué comme solution la parabole ou une courbe de ce type. Ce fut justement cette remarque qui irrita profondément Viviani. Se considérant depuis toujours comme le dernier disciple de Galilée, il se faisait un point d’honneur de défendre le prestige de son maître11. Aussi, l’offense devait être vengée et, pour cela, Viviani sortit de son tiroir l’Ænigma pour la proposer aux analystes. Les lettres envoyées à Leibniz par ses amis résidant en Italie le montrent clairement : celles du baron Christian Bodenhausen, précepteur des enfants du grand-duc et d’Antonio Magliabechi, bibliothécaire des Médicis12. Lorsque, par exemple, Bodenhausen informe Leibniz (et celui-ci Mencke) de l’opinion que Viviani et les autres Italiens se faisaient de son calcul différentiel, il indique que pour eux cette méthode était un Kinderspiel ou un Kinder-werk, c’est-à-dire un jeu d’enfants, qui procédait au moyen de lettres et de symboles comme si c’étaient des noix13.

10Sans doute Viviani fut assez habile pour persuader le prince Ferdinand de l’incapacité des analystes à résoudre son problème et, en particulier, de l’incapacité de Leibniz, leur chef de file. La maison des Médicis n’aurait pas suscité dans l’Europe entière une telle action, si elle n’avait pas été persuadée du succès de l’opération.

11Le fait que dans la feuille volante du 4 avril 1692, on écrivait qu’une solution avait déjà été remise par l’auteur de l’Ænigma au Serenissimo Principe, dévoile les intentions réelles du grand-duché. Il s’agissait, en effet, de montrer aux cours européennes que la Toscane détenait toujours, dans le domaine des mathématiques, la supériorité dont elle jouissait au temps de Galilée.

La solution de Viviani

  • 14 « Premier problème. Étant donné un hémisphère, localiser sur sa surface non carrable une portion ég (...)

12Une autre confirmation de la stratégie employée par Viviani et par le prince Ferdinand tient au fait qu’à tous les mathématiciens de l’époque fut envoyé, par l’intermédiaire du secrétariat du grand-duché, le petit livre Formazione e misura di tutti i cieli, dans lequel, à côté de sept autres problèmes analogues, se trouve la solution de l’Ænigma, proposé ici dans une nouvelle version : « Problema Primo. Trovar una mezza sfera, ed assegnar sulla superficie curva di essa non quadrabile una portione, che sia eguale al quadrato della data retta AB14. »

13L’auteur donne ici uniquement la construction empirique de la solution inventée par lui et obtenue au moyen d’un tour, d’une perceuse et d’une scie. Viviani considère une sphère (figure 1) de diamètre horizontal AB et de centre E, représentée sur notre figure par le grand cercle ACBD disposé dans le plan vertical. Avec une perceuse dont le diamètre de la mèche est égal au rayon de la sphère, il imagine de perforer celle-ci en F et en G (milieux respectifs des rayons EA, EB), suivant la direction perpendiculière au plan qui contient le grand cercle ACBD.

14Ainsi, la surface carrable est obtenue par Viviani en perforant une sphère au moyen de deux cylindres égaux, ayant pour diamètre le rayon de la sphère et une et une seule génératrice en commun passant par le centre de la sphère. Si l’on scie celle-ci suivant son plan diamétral – c’est-à-dire suivant le plan qui contient les axes des deux cylindres – on obtient sur les hémisphères deux surfaces extérieures aux deux cylindres, dont chacune est égale au carré de AB. En raison de sa forme et de ses propriétés, cette portion de surface sphérique est appelée par Viviani « Vela Quadrabile Fiorentina ».

15Avec cette publication, le premier mathématicien de la maison des Médicis veut prouver qu’il a respecté l’engagement, pris par écrit dans la feuille volante, de remettre sa solution au prince Ferdinand. Cependant, le fait que Viviani se soit borné ici à une simple construction sans donner de démonstration montre la précipitation avec laquelle l’opération stratégique avait été mise en place, visiblement à l’intention de Leibniz. On ne peut expliquer autrement l’absence de démonstration, d’autant que Viviani était un défenseur acharné de la tradition géométrique classique fondée sur la rigueur des démonstrations et des méthodes.

  • 15 Voir note 3, ainsi que Viviani, Formazione e misura di tutti i cieli […], op. cit., p. 6 : « Siccom (...)
  • 16 Cf. Ver Eecke, Pappus d’Alexandrie : la collection mathématique, Paris-Bruges, Blanchard, 1933, liv (...)
  • 17 Cf. entre autres, V. Viviani, De Locis […], op. cit., préface, pages non numérotées.
  • 18 Bibliothèque nationale de Florence, Ms. Palatino 1127, cc. 1-113.
  • 19 Plus précisément, à la Prop. XXIII, Théor. XI, et à la Prop. XXXI, Théor. XVIII.

16D’ailleurs, dans le petit livre Formazione e misura di tutti i cieli, l’auteur ne cache pas sa satisfaction du résultat obtenu qui lui permet, à son avis, de s’élever jusqu’à Archimède. Il est persuadé d’avoir été le premier à penser et à découvrir l’existence sur la sphère de surfaces exactement carrables15. On peut voir là aussi un signe de la précipitation avec laquelle a été rédigé l’opuscule de Viviani, puisque Pappus (IIIe-IVe siècles après J.-C.) avait déjà indiqué l’existence d’une surface carrable sur la sphère16. Le mathématicien grec décrit la spirale qui, en partant du pôle sur la surface sphérique, rejoint ensuite la circonférence de base. Cette spirale est obtenue par la composition de deux mouvements uniformes : celui du point qui parcourt le quart de la circonférence et celui du quart de cercle qui tourne autour de l’axe, dans le même intervalle de temps. Après avoir accompli une rotation complète autour de l’axe de la sphère, la spirale coupe (avec l’arc du grand cercle qui réunit ses extrémités) la surface sphérique en deux parties, l’aire d’une d’elles étant égale à l’aire du carré construit sur le diamètre de la sphère. Il n’y a aucun doute sur le fait que Viviani connaissait l’ouvrage de Pappus qu’il avait cité, ailleurs, à plusieurs occasions17. Cet oubli ne s’explique que par l’empressement excessif manifesté lors de la rédaction de ce petit livre. On en voudra pour preuve, le fait que dans le manuscrit inédit De terebratione solidorum18, composé par Viviani vers 1648 et dont le contenu est étroitement lié à l’Ænigma, Pappus est cité à plusieurs reprises19

Les solutions arrivées de l’étranger et les réactions des Médicis

  • 20 Cf. L. Tenca, Sulla risoluzione dell’enigma di Vincenzio Viviani in lettere sue e di suoi contempor (...)

17Viviani s’était lourdement trompé en considérant les analystes de l’époque incapables de résoudre son Ænigma. Les solutions qui arrivent à Florence de l’étranger sont en fait assez nombreuses, comme le confie à ses amis et à ses relations Viviani lui-même20.

  • 21 Cf. G. W. Leibniz, Constructio Testudinis Quadrabilis Hemisphericae, Acta Eruditorum Junii 1692, p. (...)
  • 22 Cf. Jac. Bernoulli, Ænigmatis Florentini Solutiones varie infinitae, Acta Eruditorum Augusti 1692, (...)
  • 23 Éditée dans Jac. Bernoulli, Die Werke von Jacob Bernoulli, vol. 2 (par C. S. Roero et T. Viola), Ba (...)
  • 24 Cf. J. Wallis, Problema Florentinum de mira Templi Testudine Quadrabili (A Solution of the Florenti (...)
  • 25 L’Ænigma de Viviani ainsi que les solutions données à l’époque ont été rééditées récemment dans Jac (...)

18Parmi les premières réponses il y a, justement, celles des analystes : Leibniz21, Jacob Bernoulli22 et L’Hôpital en collaboration avec Johann Bernoulli23. D’autres solutions arrivent d’Angleterre : celles de Wallis et de David Gregory24. Toutes ces réponses sont différentes et pour la plupart publiées dans des revues de l’époque25. Seule exception : la solution envoyée à Florence par le marquis de L’Hôpital en juin 1692.

19Par ailleurs, la correspondance de Leibniz relative à cette période met en évidence une donnée intéressante pour la compréhension de toute l’affaire. Le mathématicien allemand ne se serait pas intéressé à ce problème si la demande n’était venue de personnalités aussi prestigieuses que le grand-duc Côme III ou le prince Ferdinand. Voici ce qu’il écrit à Thévenot le 10 juin 1692 :

  • 26 Souligné par moi, cf. G. W Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Berlin, Akademie der Wissenscha (...)

« L’envoyé de Florence qui est à la Cour de Vienne m’a fait tenir par notre Envoyé un problème Architectonico-Géométrique imprimé sur une feuille, me faisant dire, que c’estoit par ordre du Grand Duc. Mais je croy que ç’a esté le Prince de Toscane qui l’aura fait envoyer qui se plaist à ces choses, et qui m’a fait l’honneur de me parler de telles matières à Florence. C’est de trouver un Temple Hemispherique ou Espece de Rotonde dont les 4 fenestres egalement disposées soyent tracées en sorte, que lors qu’on oste les fenestres, le reste de cette surface hemispherique soit parfaitement carrable. J’en trouvay d’abord la resolution, car j’avois déjà eu des ouvertures pour cela, autres fois, que j’avois négligé de poursuivre, comme bien d’autres, ainsi je renvoyay la reponse à Vienne, par le premier ordinaire c’est à dire le troisième jour après la reception de la lettre. Cela se reduit à la quadrature d’une Lunule spherique, quadratura carbasi, car elle ressemble à une voile enflée. Sans cette occasion je n’aurois pas mis la main à ces choses. Car j’ay tant d’autres à faire, qui sont plus importantes26. »

20Et le même jour, dans une lettre à Magliabechi, Leibniz confirme ces propos.

  • 27 «Le très révérend abbé de Monteacuto (i. e. Antonio Francesco Montanti), envoyé du Grand-Duc à la c (...)

«Reverendissimus Abbas de Monteacuto Magni Ducis in Cæsarea Aula Minister, nostro Ministro dedit schedam typis impressam, tanquam Serenissimi Domini sui jussu mihi destinatam, qua continetur: “Ænigma geometricum, de miro Opificio Testudinis Quadrabilis Hemisphæricæ die 4. April 1692 propositum a D. Pio Lisci Pusillo (sic ipse de se Autor loquitur) Geometra.” Res huc redit: Qæritur Templum Hemisphæricum, quatuor aequaliter sese habentibus fenestris ita perforatum, ut residua superficies hemisphærica sit quadrabilis. Solutionem ejus ait autor a se oblatam Serenissimo Ferdinando Magno Principi Hetruriæ; et a se desiderari, ut alii quoque interioris Analytices non expertes in ea artem experiri velint. Itaque suspicor Magni re verboque Principis Vestri jussu factum esse, ut Problema ad me perveniret. Accepi autem vigesimo septimo die Maji secundum vestri Calendarii stylum; et ut intelligas, inaccessum nihil esse, quod tantus Princeps aggredi jubet, ea ipsa die nodum solvi, idque infinitis modis, ex quibus tamen aliquot simpliciores exposui, et schemate ac festinato schediasmate complexus rem omnem, prefixa ad Magnum Principem Epistola Viennam per primum cursorem ordinarium remisi; nec dubito, quicquid id est, jam ad vos pervenisse. Jucundum autem erit discere an Vester ille Geometra certe non pusillus in eandem mecum solutionem inciderit (ut suspicari ex quibusdam problematis verbis licet); An diversum iter sit secutus; quod fieri potest, quoniam problema est ex numero indeterminatorum, quae solvere licet infinitis modis. Quanquam ego praeter specialem quandam constructionem generalia præcepta ascripserim, quibus mihi videtur contineri quicquid in eo genere praestari potest. Libenter enim paucis paginis complector, quae scribaci cuidam, et hoc unum agenti justi voluminis materiam darent. Sed tanta est Vitæ brevitas, tantaque multitudo eorum quae restant, praesertim ad usum Vitæ, perfectionemque artium ut in Geometricis methodos potius generales, quam specialia exempla quaeram; neque ego ista fuissem aggressus, quamvis perelegantia et dudum in potestate posita, nisi major illa jubentis autoritas excitasset27

  • 28 Cf. A. Fabroni, « Vincentius Vivianius », in Vitae Italorum doctrina eccellentium qui saeculis xvii(...)

21La rapidité de la solution de Leibniz suscita l’étonnement du prince et l’amertume de Viviani28.

  • 29 Cf. G. W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, op. cit., I, 8, p. 338-339 : « Sigr. Leibniz, No (...)

22Malgré cela, les rapports diplomatiques entre Leibniz et la maison des Médicis, en particulier avec le prince Ferdinand, se consolidèrent du fait de la pleine reconnaissance par ce dernier des mérites scientifiques de l’inventeur du calcul différentiel. On en voudra pour preuve la lettre très chaleureuse du 22 juillet 1692, envoyée de Florence par le prince en même temps que le petit ouvrage de Viviani29, ainsi que l’attitude de celui-ci à l’égard des analystes ultramontains à partir de cette date.

23Il est intéressant de remarquer qu’à la suite des événements liés à l’Ænigma, Viviani lui-même fit preuve de prudence à l’égard des analystes. Il semblerait même qu’il ait voulu leur présenter des excuses, puisque, en revenant sur ce sujet et sur son livre, il fait peser une partie des responsabilités sur la maison des Médicis, en affirmant qu’il a été obligé d’obéir aux ordres venus d’en haut. Dans une lettre adressée le 6 juillet 1696 de Florence à Raffaello Nardi qui se trouvait à Paris, Viviani écrit ceci :

  • 30 «Je vous prie, à l’occasion d’une rencontre avec Monsieur le marquis de L’Hôpital, de lui faire par (...)

« La prego nel trovarsi col Sig. marchese dello Ospedale a rassegnar a S. Sig.ria Ill.ma l’antica mia servitù ch’ebbi fortuna di dedicarle a Firenze et a dirle che il ragguaglio datomi da lei della pubblicazione della sua mirabil Analisi, fa più d’uno impaziente di vederla e mi avvisi di grazia se si venda ancora, e quanto costi […] L’ultimo trattatello [mio] è stato la Formazione e misura di tutti i Cieli delle volte antiche e di quel mio nuovo cielo quadrabile, stampato 4 anni sono benché fatto in età mia di 24 anni; il qual pur non sarebbe fuori se il Ser.mo Sig. Principe di Toscana non mi avesse dato impulso di distenderlo, almen nella forma ch’io feci, e di pubblicarlo, come feci per obbedirlo30. »

  • 31 Cf. V. Viviani, De Locis Solidis […], op. cit., Préface.

24D’autre part Viviani, pour retrouver peut-être les faveurs du prince, tout en déclarant dans son dernier ouvrage De Locis solidis de 1701, ne pas comprendre la nouvelle analyse, compte Leibniz parmi les plus grands mathématiciens de l’époque et lui confère le titre de « Galileus alter », l’élevant ainsi au niveau de son maître bien-aimé31.

25Que l’attitude du prince à l’égard de Leibniz et des analystes ultramontains ait changé suite à ces événements et se soit même retournée, cela apparaît clairement, entre autres, d’après les accusations de xénophilie lancées par quelques mathématiciens italiens encore liés à la tradition géométrique défendue par Viviani. Parmi ceux-là, on trouve Guido Grandi qui se plaint à l’ami Tommaso Ceva en ces termes :

  • 32 «En vérité l’analytique est une chose merveilleuse, car en moins d’un quart d’heure on trouve avec (...)

« Veramente l’analytica è cosa meravigliosa, perché in manco di un quarto d’ora si trova con gran facilità la tangente di qualsisia stravagante linea proposta, e si rende nello stesso tempo utile ad infinite curve; ma perché distoglie l’applicazione dal trovare le dimostrazioni geometriche, et anco perché il calcolo può sempre essere soggetto a qualche sbaglio, io non me ne fido totalmente, e non mi ci abbandono poi con quella passione, con cui fanno tanti altri, che nulla preggiano, se non è imbrogliato con croci, con radici, e con altre versiere simili; e pure V. P. sa quanta stima siasi acquistata Leibnizio, i Bernoulli, e altri simili Autori per alcune poche facciuole stampate ne gli Atti di Lipsia pieni di questi intrighi. E li Italiani, che ne potrebbero ogni giorno, o almeno ogni settimana, non che ogni mese, o due volte l’anno dar fuori simili spezzature, se le tengono in tasca, et aspettano vengano li oracoli oltramontani ad erudirci di queste cose. Ma a parlare sul sodo: è egli mai venuto da Germania, dall’Olanda, dall’Inghilterra, dalla Francia un libro da compararsi con quello “De maximis et minimis” del Signor Viviani, e con quello (che presto uscirà compito) “De Locis Solidis” del medesimo; una “Centrobarica” del Guldino, un metodo tanto nuovo facile e generale come quello del Cavalerio, Trattati nuovi di Geometria, come quelli dell’Angeli, per non dir nulla della “geometria del moto” del suo Signor fratello, etc. e pure non sono arrivati in tanto tempo a fare persuaso il mondo letterario, che anche li Italiani possano qualche cosa in geometria, tutto che forse non abbiano tanta algebra quanto essi. Mi fa ridere il Leibnizio in non so qual luogo, ove avendo proposto un problema, determina ancora chi possa esere abile a scioglierlo, e non nomina veruno de li Italiani. Ma il peggio è che li Italiani stessi ci credono, et a me è stato consigliato di non mettere per extensum l’errore del Fermat e del Vallisio circa la tangente della quadratrice, ma contentarmi nell’opera mia di accennarlo, se volevo, in qualche luogo ben nascosto, non nella Prefazione, dove mi cadeva in acconcio, a fine di non dar nel naso ad un Prencipe Italiano di gran qualità, che stima assai questi oltramontani, e questi loro metodi, e poco o nulla le cose nate nel suo paese […]32. »

L’intérêt mathématique du problème

26L’analyse des solutions données à l’Ænigma de Viviani présente un intérêt particulier du point de vue de l’histoire des mathémathiques, car elle permet de comparer les méthodes employées dans les différents pays, d’évaluer les possibilités d’application de la géométrie analytique aux figures à trois dimensions, de voir quelles difficultés pouvaient créer ce type de problèmes, de décider, enfin, quelles étaient les conséquences produites. Pour cela il est indispensable d’examiner brièvement les différentes solutions parvenues à Florence, en commençant par celles des analystes.

  • 33 «La solution de [ce problème] me donne l’occasion de trouver en de très nombreuses manières non seu (...)

27Leibniz résolut l’Ænigma le 27 mai 1692, le jour même où il la reçut. Le lendemain il envoya sa solution au grand-duc de Toscane, ainsi qu’une lettre dans laquelle il exprimait son admiration pour Galilée et pour son école. Quant au problème, il le jugeait « très élégant et utile au progrès de la science », s’exprimant en ces termes : « Nam solutio ejus occasionem mihi dedit, innumerabilibus modis superficiei sphericæ partes non in plana tantum, sed et in quadrata redigenti33. »

  • 34 Cf. C. S. Roero, « Leibniz and the temple of Viviani. Leibniz’s prompt reply to the challange and t (...)
  • 35 De la sphère et du cylindre, I, prop. 33 ; cf. Archimède, Œuvres, par C. Mugler, Paris, Les Belles (...)
  • 36 Ibid., Mugler, op. cit., propositions 42 et 43, p. 95-97.
  • 37 Cf. F. Maurolico, Admirandi Archimedis Syracusani Omnia Mathematica […], Panormi, apud D. Cyllenium (...)

28Le résultat obtenu par Leibniz ainsi que sa démonstration furent publiés en juin 1692 dans les Acta Eruditorum. Jacob Bernoulli l’étudia attentivement et signala à l’auteur, entre autres, une banale erreur de calcul34. Leibniz commence par énumérer un certain nombre de propriétés concernant des portions de surfaces sphériques imaginées par Archimède et par des géomètres venus après lui. Il rappelle le célèbre théorème archimédien où l’on démontre l’équivalence entre la surface de la sphère et celle d’un cercle de diamètre double de celui de la sphère35, et le théorème plus général concernant la surface d’une calotte sphérique ou une portion de sphère enfermée entre deux plans parallèles entre eux36. Leibniz s’intéresse ensuite à l’aire du triangle sphérique formé de trois grands cercles et, l’ayant calculée, généralise le résultat à l’aire de triangles sphériques quelconques, c’est-à-dire formés de trois cercles quelconques. Le problème de Viviani est vu simplement comme une recherche de portions carrables d’une surface sphérique. Pour cela, Leibniz considère d’abord les aires élémentaires (figure 2) enfermées entre deux méridiens et deux parallèles et se sert d’une généralisation du théorème d’Archimède contenue dans l’édition de ses Œuvres publiées par Maurolico37.

29Il parvient ainsi à la relation :

30aire élémentaire LN : aire élémentaire NR = (HG x ST) : (GQ x TV).

31En indiquant ensuite de la manière suivante les longueurs des segments et des arcs :

32HK = PK = r, PL = a,

33sinus-verse PL = r (1 – cos PL) = x,

34sin PL = LS = y, QH = v,

35puisque, en vertu de son calcul infinitésimal, on a :

36LM = da, ST = d x, GH = d v,

37il trouve

38d’où :

39aire élémentaire LN = LM · NM = dx · dv

40De ces petites aires il passe ensuite au calcul de l’aire des triangles curvilignes ayant comme côtés deux méridiens et un parallèle (figure 3) :

41aire du triangle PMNP = PT . GH =

42sup. Cyl. GHAD = ʃdx dv = x dv.

43Leibniz considère alors les triangles curvilignes formés par deux méridiens et par une ligne sous-tendue quelconque (arc de cercle, mais pas nécessairement d’un grand cercle) et en détermine l’aire équivalente sur la surface du cylindre circonscrit. Il construit ensuite un cercle et une surface cylindrique qui lui est perpendiculaire (figure 4), constituée de « tous les sinus du cercle », c’est-à-dire que pour chaque point B sur la surface, AB est toujours perpendiculaire à BC et AB = BC.

44Comme dernière prémisse, Leibniz énonce le théorème déjà connu par d’autres (en particulier par Roberval, Huygens, Pascal et Grégoire de Saint-Vincent qui, cependant, ne sont pas cités), d’après lequel la surface cylindrique B (B) (C) C = A (A) x rayon du cercle. Il passe ensuite au problème proposé et met en évidence la quadrabilité d’une partie de la surface sphérique en démontrant, en particulier, dans la première solution proposée, que la voile ou lunule sphérique – c’est ainsi qu’il l’appelle – PALP est équivalente au carré du rayon de la sphère, c’est-à-dire au carré ΨQΚξ (figure 5).

45AKPQ représente la quatrième partie d’un hémisphère, PALP est la lunule sphérique formée par le quart de cercle PA et par la ligne APL qui a été tracée sur la surface sphérique de manière telle que, si l’on conduit par P un méridien quelconque PLS qui rencontre l’équateur en S, on a FS = PB ; autrement dit, le sinus de l’arc QS est égal au sinus-verse de l’arc PL. La surface cylindrique formée de tous les segments Sw est tracée perpendiculairement au quart de cercle KQA. Donc, d’après les théorèmes cités ci-dessus (théorème d’Archimède généralisé et théorème de Roberval-Huygens-Pascal-Grégoire), on trouve l’équivalence entre l’aire de la voile ou lunule PALP avec la portion de surface cylindrique ACQA qui est équivalente au carré ΨQΚξ. Leibniz démontre ce dernier passage sur une portion de voile P1 N1 L2 L P équivalente à la surface cylindrique 1S 1ω 2ω 2S, les deux étant équivalentes, d’après ce qu’on a dit, au rectangle 1F 2F 1M 2M. Ensuite il intègre, c’est-à-dire qu’il considère toute la voile, toute la surface cylindrique et tout le carré. Ainsi, la coupole de Viviani est simplement constituée de quatre voiles égales, du type décrit, et de quatre fenêtres égales qui se réunissent en P (figure 6).

46La quatrième partie de l’hémisphère AKPQ tourne donc trois fois de 90°, jusqu’à former l’hémisphère tout entier. Les quatre voiles ou lunules sphériques ont donc une surface égale à 4r2, c’est-à-dire au carré du diamètre de la sphère.

47Comme nous l’avons indiqué, Jacob Bernoulli (1654-1705) examina avec beaucoup d’attention la solution de Leibniz, et présenta ensuite ses solutions du problème de Viviani dans les Acta Eruditorum en août 1692. Cependant, il ne donna aucune démonstration, considérant que c’eût été inutile, puisqu’il employait la même méthode et s’appuyait sur les mêmes théorèmes déjà utilisés par Leibniz dans l’article publié dans cette revue au mois de juin de la même année.

  • 38 Cf. C. Huygens, Œuvres complètes, 22 vol., La Haye, Martinus Nijhoff, 1888-1950, vol. 10, 1905, p. (...)

48En effet, Bernoulli emploie lui aussi le calcul différentiel et intégral pour la solution du problème, comme le confirment aussi bien Huygens que le compte rendu du petit livre de Viviani Formazione e misura di tutti i cieli, paru en 1694 dans la même revue38. L’article de Bernoulli, assez court, se compose de cinq paragraphes, dont chacun présente une ou plusieurs solutions. Dans le premier il considère (figure 7) la surface d’un quart d’hémisphère ABCK limité par les quarts de cercle ABK, ACK, BCK, les deux premiers (ABK, ACK) étant disposés verticalement et le troisième (BCK) horizontalement. Bernoulli prend ensuite un point quelconque F sur l’arc du grand cercle AB et, après avoir tracé le grand cercle passant par F et C, prend sur ce dernier un arc FE égal à BF. Et d’indiquer alors que le point E se trouve sur le bord de la fenêtre BEC proposée, ce qui permet d’obtenir une des quatre fenêtres de la coupole. En fait, par cette règle de construction on aboutit à la fenêtre de Viviani, obtenue, comme on l’a vu, par l’intersection de la sphère et du cylindre. Mais Bernoulli ne connaissait pas encore cette solution, car il n’avait pas reçu le petit livre Formazione e misura di tutti i cieli. Il propose ensuite une intéressante analogie tirée de la géographie ou des recherches qu’il venait tout juste de terminer sur la courbe loxodromique et sur la navigation.

  • 39 « Si l’on conçoit la coupole comme s’il s’agissait de la surface du globe terrestre, C étant le pôl (...)

« […] hoc est, – écrit-il – si concipiatur Testudo ad instar superficiei Globi Terrestris, in qua C polus, BA æquator, BC primus meridianus, ac jungantur omnia loca (quorum eadem longitudo est & latitudo) curva BEC repræsentabit hæc curva fenestræ desideratæ marginem ; quippe Testudinis superficies ABECA, quæ relinquitur detracta fenestræ area BECB, æqualis quadrato radii, ac proinde tota Testudo quadrato diametri sphæræ39. »

  • 40 Cf. Joh. Bernoulli, « Supplementum defectus geometriæ cartesianæ […] », in Acta Eruditorum, Junii 1 (...)

49Dans les quatre autres paragraphes, Bernoulli construit des coupoles exactement carrables et même équivalentes à des figures carrables données (équivalentes, par exemple, aux célèbres lunules d’Hippocrate). En 1696 il revient sur le problème de Viviani, à l’occasion de l’invitation que lui adresse son frère Johann à chercher sur des conoïdes ou des sphéroïdes des surfaces exactement carrables40. Après avoir donné sa solution pour ces figures solides aussi, il souligne à la fin de l’article la concordance entre sa première solution de l’Ænigma et celle donnée par Viviani.

  • 41 Cf. C. Huygens, Œuvres complètes, op. cit., vol. 10, 1905, p. 336-338.
  • 42 Ibid., p. 329, 346, 354.

50Une autre démonstration de cette concordance fut donnée au mois d’octobre 1692 par Huygens qui, cependant, ne la publia jamais41. Comme la plupart des savants de l’époque, le mathématicien hollandais s’intéressa au problème de Viviani dans la mesure où il avait reçu de Florence la feuille volante et le petit livre de Viviani, ce que montrent les lettres qu’il échangea avec le marquis de L’Hôpital42. Ce dernier, sollicité par Huygens d’exprimer son appréciation sur l’Ænigma et sur le petit ouvrage de Viviani, lui adressa une lettre le 23 novembre 1692.

  • 43 Ibid., p. 346.

« À l’égard des Problèmes du Sieur Viviani, il y a près de huit mois que Mr. l’Envoyé de Florence me proposa celuy dont vous me parlez qui estoit sur une feuille volante en forme d’enigme. Je luy en donnay aussi tost trois solutions avec la démonstration et j’en aurois pu trouver par ma méthode une infinité d’autres mais cela ne vaut pas la peine que je vous en face ycy le détail. Le Sieur Viviani m’a envoyé depuis peu l’imprimé dont vous me parlez, qui ne renferme rien de considérable43. »

  • 44 Cf. G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, op. cit., vol. 1, partie 2, p. 224.

51Cette même suffisance à l’égard du problème arrivé de Florence se retrouve dans la correspondance avec Leibniz. Ainsi, dans une lettre du 24 février 1693, il écrit ceci : « Le problème de Mr. Viviany n’est pas des plus difficiles et vous louez beaucoup dans les autres ce qui vous a coûté à peine quelques momens44. »

  • 45 Cf. C. S. Roero, «La matematica tra gli “ affari di Stato ” […] », op. cit., p. 86-87. La solution (...)
  • 46 Cf. Joh. Bernoulli, Der Briefwechsel von Johann Bernoulli, 3 vol., Basel, Birkhäuser, 1955-1992, vo (...)

52La réponse de L’Hôpital au défi de Viviani adressé aux analystes est parmi les premières à parvenir à Florence45. Une réaction aussi rapide s’explique par les études engagées en France et l’intérêt envers le calcul leibnizien, surtout au sein du cercle de Malebranche, grâce, notamment, à l’œuvre de divulgation entreprise par Johann Bernoulli (1667-1748), très lié, à cette époque, au marquis de L’Hôpital. Les trois solutions envoyées par celui-ci à Florence au début du mois de juin 1692 ne furent jamais publiées par l’auteur. Elles étaient le fruit d’une collaboration entre L’Hôpital et Johann et peut-être étaient-elles uniquement dues à la plume des Bernoulli. Ce que Johann indique à son ami et disciple dans une lettre de 1694 en atteste. « Vous trouverez aussi dans cet extrait – écrit-il – la solution de l’enigme florentine par Mr. Viviani, mais elle est à peu près la même que celle que je vous avois donnée à Paris46. » On note, d’autre part, certaines ressemblances avec les solutions présentées par Jacob Bernoulli dans les Acta Eruditorum. Par ailleurs, les deux mathématiciens suisses étendaient le problème de Viviani à d’autres surfaces courbes, tels les cônes, les conoïdes et les sphéroïdes. Ainsi, après avoir proposé en 1696 la recherche de portions carrables sur ces solides, Johann énonce le résultat suivant pour le cône :

  • 47 « Une propriété remarquable du cône droit apparaît également ici, et puisque jusqu’à présent elle n (...)

« Hic etiam emergit insignis coni recti proprietas, quam quia a nemine hactenus animadversam scio, huc refero : Si super basi coni recti elevetur prisma rectum, habens pro basi figuram quamcunque sive rectilineam sive curvilineam, abscindet hoc prisma ex superficie conica portionem, qua erit ad basin prismatis, ut latus coni ad radium basis coni. Ex quo ultro patet, cuilibet spatio plano sive quadrabili sive non quadrabili posse sumi absolute spatium aequale ex superficie coni recti, et vicissim47. »

  • 48 Cf. C. S. Roero, La matematica tra gli « affari di Stato » nel Granducato di Toscana alla fine del (...)
  • 49 Cf. J. Wallis, Problema Florentinum de mira Templi Testudine Quadrabili, op. cit.
  • 50 Cf. J. Wallis, Problema Florentinum de mira Templi Testudine Quadrabili, op. cit., p. 587. La solut (...)

53L’Ænigma de Viviani est accueillie avec intérêt non seulement en Allemagne, en France, en Suisse et aux Pays Bas, comme on l’a vu, mais également en Angleterre48. John Wallis (1617-1703) reçoit la feuille volante seulement à la fin du mois d’août 1692 et se met aussitôt au travail, ne sachant rien des solutions déjà publiées. Sa démonstration est envoyée à Florence le 2 septembre 1692 et publiée dans le Philosophical Transactions de ce même mois de septembre49. Les remarques préliminaires du mathématicien anglais sur la manière dont est rédigé l’aenigma sont tout à fait singulières. Wallis avance même l’hypothèse de l’existence réelle du temple et indique que, d’après lui, il s’agit de la basilique de Sainte-Sophie à Constantinople. Il établit immédiatement le lien entre ce problème de quadrature et celui classique des lunules d’Hippocrate de Chios. Sa solution, démonstration à l’appui, repose sur des théorèmes d’Archimède concernant la surface de la sphère et les propriétés bien connues de la première lunule carrable d’Hippocrate, transmise par Simplicius dans son commentaire sur la Physique d’Aristote50.

54La solution consiste à retrancher de la surface d’un quart d’hémisphère ADP (équivalent au demi-cercle ABD, figures 8 et 9), une portion équivalente à la somme des aires du secteur AED et du quart de cercle DBC. La partie restante est équivalente au triangle ADC. Wallis imagine qu’elle se trouve au-dessus d’un plan parallèle à celui de la base (figure 9). Ainsi, sa coupole n’est autre qu’une calotte sphérique, dont l’aire est égale à celle du carré inscrit dans le grand cercle de la sphère. Donc, les quatre fenêtres sont simplement des portions d’une surface sphérique, adjacentes entre elles.

55Également en Angleterre, intervient le mathématicien David Gregory (1627-1720), dont la Solutio Problematis Florentini de testudine Quadrabili est publiée en 1694 dans les Philosophical Transactions. Le but principal consiste à fournir la démonstration mathématique de la construction empirique de Viviani. Gregory y parvient par une généralisation du théorème d’Archimède sur la sphère et sur le cylindre circonscrit à la sphère, en employant la méthode des indivisibles.

56Un autre auteur, italien cette fois, se propose d’en faire autant et publie en 1699 un ouvrage consacré entièrement à ces problèmes : la Geometrica Demonstratio Vivianeorum Problematum. Il s’agit de Guido Grandi (1671- 1742), qui traduit en latin le petit traité de Viviani de 1692 et démontre au moyen des indivisibles toutes les constructions qu’on y trouve. Le talent de Grandi se manifeste dans la présentation des innombrables propriétés qui apparaissent dans les intersections des solides et dans les projections des courbes délimitant les voûtes. Il ajoute des réflexions et des résultats personnels, notamment dans l’appendice, où est mentionnée une portion de surface parfaitement carrable sur le cône. Ce résultat avait déjà été énoncé par Johann Bernoulli, comme on l’a vu, mais n’était pas connu de Grandi.

57La définition mécanique de la courbe qui entoure la fenêtre de Viviani est d’un intérêt tout particulier. En suivant l’exemple de la spirale d’Archimède et de la spirale sphérique de Pappus, Grandi emploie deux mouvements uniformes. Partant de I, le point 5 (figure 10) décrit d’un mouvement uniforme l’arc IC, tandis qu’en même temps le quart de cercle CEI est rabattu d’un mouvement uniforme autour de l’axe EI sur le quart de cercle AEI.

  • 51 Cf. G. Grandi, Geometrica Demonstratio Vivianeorum Problematum, op. cit., p. 40.

58Le premier problème de Viviani est traité par Grandi en une cinquantaine de pages, contenant huit propositions au total et de nombreux corollaires et remarques. L’auteur déclare, entre autre, qu’il aurait pu démontrer la quadrature de la portion ASIC de la voile florentine par d’autres méthodes, en suivant, par exemple, celle utilisée par Pappus dans la proposition 30 du livre IV de sa Collection mathématique51. Et d’indiquer qu’il a préféré suivre des chemins différents afin d’offrir au lecteur plusieurs possibilités de recherche dans le domaine de la géométrie. Ainsi, Grandi se présente lui aussi comme l’héritier de la tradition géométrique de l’école de Galilée et son livre, le premier écrit par lui, se veut représentatif de cette tradition. Un signe caractéristique de son attitude apparaît clairement dans une lettre à Tommaso Ceva du 3 juillet 1700.

  • 52 «Je regrette que vous ayez perdu votre temps à examiner à nouveau le premier problème de Viviani ; (...)

« Mi dispiace – écrit Grandi dans cette lettre – che Ella abbia perso il tempo in considerare di nuovo la dimostrazione del primo problema Vivianio; io nell’indice primo accenno tre dimostrazioni di quella verità, l’una è quella spartita in otto proposizioni; la seconda è un’applicazione che avverto potersi fare di una simile dimostrazione di Pappo, come accenno nello Scholio della seconda proposizione [ma accenno solo per ragionevolissimi motivi e non la stendo a bella posta]; la 3a è la più spedita, nello Scholio della pagina 37, alla quale avendo avuto riguardo un altro mio amico, ha detto che potevo da principio lasciare andare quei trabiccoli di solidi, e dimostrare semplicemente detta verità, come facevo in detto Scholio, maravigliandosi che avessi voluto far cadere così da alto una cosa tanto obvia; a cui io risposi, che dopo il fatto pareva cosa obvia, ma a trovarne da principio la soluzione non era così facile et a me essendo convenuto andare per strada così erta vanti di rinvenirla, non mi pareva il dovere che avendo poi scoperto un’altra via più piana, per questa sola dovessi condurre i lettori senza fargli assaggiare nulla di que’ travagli, che avevo durato. Oltre di che temevo di scemare il pregio dell’opera di quel Gran Geometra, che io commentavo, in farne apparire a’ lettori meno ardua, di quello che avessi provato io, la verità che cercavasi52 ».

Les échos suscités et les répercussions

  • 53 Cf. B. Fontenelle, Éloge de Viviani, Histoire de l’Académie royale des Sciences de Paris, 1705, p. (...)
  • 54 Cf. J. E. Montucla, Histoire des mathématiques, nouv. éd., 4 vol., Paris, 1799-1802 ; rééd. Paris, (...)

59L’Ænigma, née come un défi à l’analyse de Leibniz, se révéla un bien faible obstacle pour les spécialistes du calcul différentiel et intégral. L’analyse des différentes solutions et les lettres échangées entre spécialistes montrent que pour Leibniz, L’Hôpital, les frères Bernoulli et Huygens il s’agissait d’un problème élémentaire, sans difficultés particulières, ce que prouvent les appréciations exprimées par Fontenelle lors de l’éloge funèbre de Viviani53, appréciations reprises ensuite par les historiens54.

  • 55 Cf. A. Paoli, op. cit., ainsi que C. S. Roero, I matematici italiani e il celebre « Ænigma » di Vin (...)
  • 56 Cf. F. Baldelli, «Lo Studio bolognese fra Sei e Settecento », in Scienza e letteratura nella cultur (...)
  • 57 Cf. R. Franci, «Le lettere di G. Manfredi a G. Grandi», in Physis, XXIV, 1985, 4, p. 555-564 ; L. G (...)
  • 58 Cf. S. Mazzone, C. S. Roero, Jacob Hermann and the Diffusion of the Leibnizian Calculas in Italy, o (...)
  • 59 Cf. S. Mazzone, C. S. Roero, Jacob Hermann and the Diffusion of the Leibnizian Calculas in Italy, o (...)

60Le bruit provoqué en Italie par les réponses des analystes à ce problème, ainsi que les innombrables discussions sur le sujet, telles qu’elles apparaissent dans la correspondance de Viviani et de Grandi55, allaient produire un effet bénéfique sur les nouvelles générations de chercheurs en mathématique. À Bologne, certains élèves de D. Guglielmini, formés par lui en analyse et en géométrie cartésienne – en particulier les frères Gabriele et Eustachio Manfredi, Vittorio Francesco Stancari et, un peu plus tard, Giuseppe Verzaglia – commencèrent à étudier les revues et les ouvrages publiés à l’étranger pour y apprendre le calcul différentiel et intégral de Leibniz et des Bernoulli56. Grandi, conseillé par G. Manfredi, en fera autant57. En Vénétie, Tommaso Pio Maffei et Bernardino Zendrini suivirent un parcours culturel semblable ; ils passèrent de la lecture des œuvres de Descartes, notamment de la Geometria commentée par des Hollandais, à l’étude des articles des Acta Eruditorum58. Ainsi, à l’aube du nouveau siècle, le panorama des mathématiques italiennes subissait un changement graduel : il quittait le domaine étroit de la géométrie classique pour affronter de nouveaux horizons et de nouvelles problématiques. D’autres facteurs allaient contribuer à ce changement, entre autres l’arrivée en Italie de représentants de l’école leibnizienne, ainsi que la grande valeur scientifique de Gabriele Manfredi et de Jacopo Riccati59.

Conclusion

  • 60 Cf. C. S. Roero, « Leibniz and the temple of Viviani […] », op. cit., p. 434-436. Encore en 1726, J (...)

61L’Ænigma, qui avait mis en scène la rivalité de Viviani et Leibniz, eut deux répercussions heureuses en Italie. Tout d’abord, elle permit de débloquer une situation qui se prolongeait depuis longtemps déjà, en provoquant un changement de comportement à l’égard de Leibniz et de ses partisans non seulement dans le grand-duché de Toscane, mais dans tout le pays. D’autre part, elle poussa les mathématiciens à élargir les recherches autour du problème de Viviani, ce qui allait se traduire par une véritable explosion de résultats tout au long du XVIIIe siècle60.

  • 61 « […] quant aux démonstrations de ses voûtes carrables, il m’a répété à plusieurs occasions qu’il n (...)

62Quant à l’inventeur du défi – Viviani lui-même – un mystère persiste sur la manière dont il avait pu trouver ses résultats. En effet, comme je l’ai indiqué ci-dessus, Viviani ne fournit aucune démonstration mathématique. Dans une lettre du 26 mars 1715, son neveu Jacopo Panzanini confiait ceci à Guido Grandi : « […] per quanto riguarda le dimostrazioni delle sue volte quadrabili, più volte mi ha detto di non averle distese e che le dimostrava con un suo particolare metodo, che teneva rinserrato nella sua mente con animo di volerlo una volta distendere, e ciò mi viene confermato dal non ritrovarne fra i suoi scritti cosa veruna che concerna tal metodo61. » Nous savons cependant qu’au cours des années qui suivirent la publication de l’Ænigma, Viviani se préoccupa de compléter et de faire imprimer son manuscrit sur la perforation des solides ainsi que deux autres manuscrits, le Centrobarycorum libri duo et le Tetragonismicorum libri duo, opération qui n’aura, d’ailleurs, aucun succès. L’ébauche d’une lettre adressée, en 1696 déjà, à un cardinal, confirme cette décision.

  • 62 « Depuis de nombreuses années déjà, j’ai mis par écrit trois anciens petits ouvrages dont je suis l (...)

« Son già molti anni – écrit Viviani – ch’io mi trovo distese tre mie antiche operette di Geometria, l’una De tetragonismicis, l’altra De centrobarycis, divise ciascuna in due libri, e la terza De terebratione solidorum, e di tutte è gran tempo che sono intagliate le figure in bossolo assai ben fatte62. »

63Même si cette lettre ne fut jamais envoyée, il est certain que le projet d’édition avait été lancé. En effet, à la fin du manuscrit sur la perforation des solides, se trouvent les autorisations d’imprimer de 1715. Vraisemblablement, Viviani avait préparé une version italienne du De terebratione solidorum, comme semble le montrer le titre Libro unico sulla perforazione dei solidi que lui donnent les réviseurs, alors qu’ils citent les deux autres ouvrages avec leurs titres latins. Malheureusement, aussi bien cette version italienne que celle complète en latin n’ont pas été retrouvées. Le manuscrit Palatino 1127, qui n’est pas autographe mais qui contient des annotations de Viviani, ne comporte pas les figures et reste incomplet dans la partie finale, là où se trouvait, peut-être, la clé démonstrative de l’Ænigma. Les 43 propositions de ce manuscrit concernent des solides de rotation (cylindres, conoïdes paraboliques et hyperboliques, sphères, anneaux sphériques, etc.), perforés avec des cylindres suivant des rapports donnés. Leurs propriétés géométriques sont étudiées, par exemple, en liaison avec des surfaces et des volumes. Une analyse attentive de cette source inédite pourrait dévoiler le mystère du résultat donné par Viviani. Nous nous réservons cette tâche pour plus tard.

Notes

1 Cf. U. Baldini, « L’attività scientifica nel primo Settecento », in Storia d’Italia. Annali 3, Scienza e tecnica nella cultura e nella società dal Rinascimento ad oggi, Torino, Einaudi, p. 467-545 ; L. Pepe, « Note sulla diffusione della “Géométrie” di Descartes in Italia nel secolo XVII », in Bollettino di Storia delle scienze matematiche, II, 1982, p. 249-288.

2 Cf. V. Viviani, De Maximis et Minimis geometrica divinatio in quintum Conicorum Apollonii Pergaei, adhuc desideratum, Florentiæ, apud J. Cocchini, 1659 ; du même auteur, De Locis Solidis secunda divinatio geometrica in quinque libros iniuria temporum amissos Aristaei Senioris Geometriae, Florentiæ, apud P. A. Brigonci, 1701 ; cf. également, sur ce sujet, C. S. Roero, « Viviani and Leibniz : two different attitudes towards Archimedean tradition », in Studia Leibnitiana Leibniz’ Auseinandersetzung mit Vorgängern und Zeitgenossen, Stuttgart, F. Steiner, 1990, p. 231-243.

3 Cf. C. S. Roero, « La matematica tra gli ‘ affari di Stato ’ nel Granducato di Toscana alla fine del XVII secolo », in Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche, XI, 1991, 2, p. 85-142.

4 Cf. V. Viviani, Formazione e Misura di tutti i Cieli […] Curiosa Esercitazione Matematica, Firenze, nella stamp. di P. Matini, 1692, p. XI-XII : « Fra le proprietà più recondite, scoperteci nell’esame del Quanto dagli occhi speculativi degli antichi Geometri, stupendissima, al parer mio, fu quella, che vide già il perspicacissimo degl’ingegni italiani, il Principe nostro Archimede, col dimostrare la superficie curva della Sfera, o Globo, esser quattro volte tanto il suo cerchio massimo. Ed in vero, il ricercare, e poi trovar maniera di distendere in piano una tal superficie curva […] fu impresa da intraprendersi, e condursi a fine solo da quell’uomo quasi divino […] Ora io fin ne’ miei studi in età di 24 anni, riflettendo a questa singolarità di passione della Sfera, e vedendo esser già trapassati quasi 18 secoli, senza che da niuno dopo di quello ci fosse stata distesa in piano altra superficie curva, mi feci cuore di pormi ad indagare qualche altra via a così belli, ed utili scoprimenti più maestra ed universale, di quella battuta già da Archimede. » La datation est fournie, donc, ici par Viviani lui-même ; cf. également G. Grandi, Geometrica Demonstratio Vivianeorum Problematum, Florentiæ, Ex Typographia Iacobi de Guiduccis, 1699, p. 83.

5 Die 4 April 1692 Ænigma Geometricum de miro opificio testudinis quadrabilis hemisphericae ; le seul exemplaire que j’ai trouvé de la feuille volante est conservé à Hannover (Landesbibliothek LH XXXV, VI, 12, c. 29r). Le texte qui parut dans les Acta Eruditorum de juin 1692 (p. 274-275) comporte des corrections linguistiques faites par Leibniz. Il fut publié également dans les Philosophical Transactions (17, 1692/93, p. 585-586).

6 D. Pio Lisci Pusilli Geometra est, en fait, l’anagramme de Postremo Galilei Discipulo.

7 Cf. Die 4 April 1692 Ænigma Geometricum […], cité note 5 : « Cuius divinatio, a secretis Artibus illustrium Analystarum vigentis ævi, expectatur, quod, in Geometriæ puræ historia, tantummodo versatus, ad tam recondita videatur invalidus. »

8 « […] Votre Altesse ayant rendu public le premier de ces problèmes, pour exciter les Analystes célèbres qui éclairent aujourd’hui notre Siècle, […] je n’ai pas prétendu provoquer, ni appeler quelqu’un, comme on’dit, en duel ; j’ai toujours eu horreur de cela et, en fait, j’ai voulu seulement voir la multiplicité des différentes voies par lesquelles tous seraient parvenus à découvrir une même – et si belle – Vérité Geométrique » ; cf. Formazione e misura di tutti i cieli, op. cit., p. VII-VIII.

9 Cf. A. Robinet, G. W. Leibniz.. Iter Italicum (mars 1689 – mars 1690). La dynamique de la République des Lettres. Nombreux textes inédits, Firenze, Olschki, 1988.

10 Cf. Leibniz, « Solutio illustris problematis a Galilæo primum propositi, de natura, et usu Lineæ, in quam catena, vel Funis extensionem non mutans se proprio pondere curvat », in Giornale de’Letterati di Modena, 1692, p. 128-132.

11 Cf. R. Caverni, Storia del metodo sperimentale in Italia, 6 vol., Firenze, 1891, vol. I, p. 212 ; 217-218 ; 315-316 ; 324-327 ; 332-334 ; et A. Favaro, « Amici e corrispondenti di Galileo Galilei. Vincenzio Viviani », in Atti del Regio Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti, LXXII, 1912-1913, partie 2, p. 1-155 ; désormais in A. Favaro, Amici e corrispondenti di Galileo Galilei, 2 vol., par P. Galluzzi (éditeur), Firenze, Salimbeni, 1983.

12 Cf. A. Robinet, « Les rencontres de G. W. Leibniz avec V. Viviani et leurs suites (Florence, novembre-décembre 1689) », in Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche, VII, 1987, p. 61-92 et op. cit., note 9, p. 242-244, 384-385, 246-247.

13 Cf. lettre de Bodenhausen à Leibniz, Florence, 19 janvier 1691 : « Viviani hat mich auch nebst den ersten analysin bey andern ignoranten sugilliret, und klar gesagt, es sey ein giocolino da ragazzi (ein Kinderspielchen) », in A. Robinet, G. W. Leibniz. Iter Italicum […], op. cit., p. 241 ; Leibniz à O. Mencke, août 1692 : « Nehmlich als ich mich ein paar wochen zu Florenz aufgehalten, haben H. Magliabechi, H. Baron Bodenhausen und andere guthe freunde alda, mehr wesen von meinen notitiis Mathematicis gemacht, als sie wohl meritiret, welches wie man hernach vernommen, dem H. Viviani in die augen gestochen, dieweil sein gebrauch gewesen seyn soll bey allen gelegenheiten die Teütschen zu verachten, sowohl als auch die neue Analysin Geometricam so Vieta und Cartesius in die Geometriam zu introduciren angefangen, und ist er mit den H. Magliabechi uber den fuss gespannet gewesen, dass er H. Sturmium und andere Teütsche gelobet, dahingegen H. Viviani vorgegeben, die Teütschen waren nur ex-scriptores, brachten nichts neues, und die neue Analysis sey nur ein Kinderwerck, da man mit notis als mit nucibus spiele », in G. W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Leipzig-Berlin, Akademie der Wissenschaften, I, vol. 8, 1970, p. 384-385 ; cf. également C. S Roero, « Il retaggio della geometria nel calcolo infinitesimale leibniziano », in Geometria Flussioni Differenziali. Osservazioni sui rapporti fra innovazione e tradizione nella matematica del Seicento (par di M. Panza et C. S. Roero), Napoli, La città del sole, 1995, p. 413-464, et tout particulièrement p. 447-452.

14 « Premier problème. Étant donné un hémisphère, localiser sur sa surface non carrable une portion égale au carré d’un segment AB donné » ; cf. V. Viviani, Formazione e Misura di tutti i cieli […], op. cit., p. 3. Ce problème est connu aujourd’hui sous le nom de « Finestra di Viviani », même si d’un point de vue historique la question proposée n’était pas celle-là. Ce n’était pas tellement la fenêtre qui intéressait, mais plutôt la surface restante, une fois enlevées les fenêtres. Avec l’expression « finestra di Viviani », on pense, en effet, à la détermination de l’aire de la portion sphérique obtenue par l’intersection de la sphère avec un cylindre perpendiculaire au plan de l’équateur, dont une génératrice passe par le centre de la sphère et dont le rayon est la moitié du rayon de la sphère. Viviani, en revanche, propose de disposer opportunément quatre fenêtres égales sur la base d’une coupole hemisphérique de manière telle que, si on enlève les fenêtres, la partie restante soit carrable.

15 Voir note 3, ainsi que Viviani, Formazione e misura di tutti i cieli […], op. cit., p. 6 : « Siccome altre infinite Vele si posson considerare sulla stessa superficie emisferica, quadrabili nei lor tutti, e nelle loro parti. Proprietadi in vero, non men rimarcabili di quante sieno state fin’ora estratte dall’indeficiente miniera della Geometria, delle quali sole, sull’esempio d’altri Inventori, avrei potuto far subito gran fracasso : e se l’ambizione mi avesse predominato, pregiarmi ancora (com’essi han fatto) più d’Archimede primo riduttore della superficie sferica in piano, allora che quarantasei, o più anni sono, io mi fossi considerato per iscropitore d’un metodo così vasto, ed universale, stato ignorato agli Antecessori, e propagabile in infinito a cose non men belle, che nuove, e col quale, in questo particolare, trovai nel medesimo tempo, non solamente l’estensione delle parti della superficie sferica in piani non ancora quadrabili, come fece Archimede, ma di più le sopraddette estensioni di parti infinite, e per più versi considerate, di simiglianti Vele, con ridurle a noti quadrati, o rettangoli. »

16 Cf. Ver Eecke, Pappus d’Alexandrie : la collection mathématique, Paris-Bruges, Blanchard, 1933, livre IV, prop. 30, p. 201-206.

17 Cf. entre autres, V. Viviani, De Locis […], op. cit., préface, pages non numérotées.

18 Bibliothèque nationale de Florence, Ms. Palatino 1127, cc. 1-113.

19 Plus précisément, à la Prop. XXIII, Théor. XI, et à la Prop. XXXI, Théor. XVIII.

20 Cf. L. Tenca, Sulla risoluzione dell’enigma di Vincenzio Viviani in lettere sue e di suoi contemporanei, Rend. Ist. Lomb. Scienze e Lettere, LXXXVI, 1953, s. III, XVII, p. 113-126 ; C. S. Roero, I matematici italiani e il celebre " Ænigma " di Vincenzio Viviani del 4 aprile 1692, in La storia delle matematiche in Italia, Atti del Convegno, Cagliari, 1982, Bologna, Monograf, 1984, p. 367-375, et C. S. Roero, La matematica tra gli " affari di Stato ” nel Granducato di Toscana alla fine del xvii secolo, op. cit., p. 85-142.

21 Cf. G. W. Leibniz, Constructio Testudinis Quadrabilis Hemisphericae, Acta Eruditorum Junii 1692, p. 275-279.

22 Cf. Jac. Bernoulli, Ænigmatis Florentini Solutiones varie infinitae, Acta Eruditorum Augusti 1692, p. 370-371.

23 Éditée dans Jac. Bernoulli, Die Werke von Jacob Bernoulli, vol. 2 (par C. S. Roero et T. Viola), Basel, Birkhäuser, 1989, p. 529-531.

24 Cf. J. Wallis, Problema Florentinum de mira Templi Testudine Quadrabili (A Solution of the Florentine Problem Touching the Figure of a Cupola), Philosophical Transactions (1692-1693), N. 196, p. 587-592 ; D. Gregory, Solatio Problematis Florentini de Testitudine Veliformi Quadrabili, Philosophical Transactions (1694), n. 207, p. 25-29.

25 L’Ænigma de Viviani ainsi que les solutions données à l’époque ont été rééditées récemment dans Jac. Bernoulli, Die Werke von Jacob Bernoulli, op. cit., vol. II, p. 515- 542.

26 Souligné par moi, cf. G. W Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Berlin, Akademie der Wissenschaften, I, vol. VIII, 1970, p. 287.

27 «Le très révérend abbé de Monteacuto (i. e. Antonio Francesco Montanti), envoyé du Grand-Duc à la cour impériale, a donné à notre ambassadeur une feuille imprimée à remettre en mes mains propres d’ordre de Sa Seigneurie Sérénissime, contenant l’Ænigma géométrique relatif à l’admirable exécution d’une voûte hémisphérique Carrable, proposée le 4 avril 1692 par D. Pio Lisci Pusillo (c’est ainsi que l’on parle de l’auteur), géomètre. Le problème revient à ceci : trouver un Temple Hémisphérique percé par quatre fenêtres pareillement disposées, de telle sorte que le reste de la surface hémisphérique soit carrable. Son auteur dit avoir donné sa solution au Sérénissime Ferdinand Grand Prince de Toscane et souhaiter que d’autres analystes également de renom, mais non spécialisés dans ce domaine, veuillent se mesurer avec ce problème. Aussi, je suppose que par des actes et des paroles de Votre Grand Prince il a été ordonné que le Problème me parvienne. Je l’ai reçu le 27 mai suivant votre calendrier, et afin que tu comprennes que rien n’est inaccessible aux ordres d’un si grand Prince, je l’ai résolu le jour même, en un nombre infini de manières. Cependant j’en ai exposé seulement quelques-unes parmi les plus simples, et j’ai envoyé l’ensemble, accompagné d’une lettre, au Grand Prince à Vienne par le premier courrier, avec figure et texte rédigés à la hâte. Je ne doute pas que, d’une manière ou d’une autre, vous l’ayez reçu. Ce serait agréable, d’ailleurs, de savoir si Votre Géomètre, qui n’est nullement petit, est tombé sur une solution semblable à la mienne (comme on peut le présumer d’après certains mots du problème), ou s’il a suivi un autre chemin, ce qui est possible car le problème est de ceux qui restent indeterminés, c’est-à-dire qui admettent un nombre infini de solutions. Bien que je n’aie donné, à part une construction spéciale, que des indications générales, il me semble qu’il y a dans celles-ci quelque chose pouvant être signal pour ce genre [de problèmes]. Je renferme simplement en quelques pages ce qui nécessiterait un copiste, et fournirait matière pour un volume entier à quelqu’un qui traiterait uniquement ce sujet. Mais la Vie est si courte et si nombreuses sont les choses qui restent à faire, en particulier pour servir à la Vie et à la perfection des arts, que je cherche plutôt des méthodes générales en géométrie, au lieu d’exemples particuliers. Je ne me serais jamais avancé dans ce domaine, bien qu’il soit élégant et à la mode depuis quelque temps, si je n’avais pas été poussé par la suprême autorité de celui qui en a donné l’ordre. » ; Bibliothèque nationale de Florence, Gal. 287, cc. 29v- 30v ; cf. également : A. Paoli, La scuola di Galileo nella Storia della Filosofia, Annali delle Università Toscane, vol. 22, 1899, p. 83-84 ; G. W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, op. cit., I. 8, p. 289-290.

28 Cf. A. Fabroni, « Vincentius Vivianius », in Vitae Italorum doctrina eccellentium qui saeculis xvii et xviii floruerunt, Pisis, C. Ginesius, 1778-1805, vol. I, p. 302-339 ; et également C. S. Roero, La matematica tra gli « affari di stato » nel Granducato di Toscana […], op. cit., p. 124, 126-127.

29 Cf. G. W. Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, op. cit., I, 8, p. 338-339 : « Sigr. Leibniz, Non si dimostra mai diversa dalla stima che degnamente ne ha concepito il Mondo tutto, la profonda letteratura di V. S. in ogni genere di scienze, onde ho potuto non solo ammirare l’acutezzȧ del di lei ingegno, l’apertura della sua mente, et la solidità de’ fondamenti veri con i quali si è da lei pure replicato all’enigma geometrico che in nome mio le fu ultimamente trasmesso ; ma confermarmi inoltre nella cognizione del superarsi di gran lunga da lei pure nel possesso delle più astruse materie ogni qualunque concetto maggiore che verso la sua dottrina meritamente le viene retribuito dall’universale di tutti li Huomini dotti. L’essersi poi da V. S. accompagnato con una sua gentilissima dedicatoria a me medesimo, piena d’espressioni si obbliganti, quel suo Componimento, mi richiama a testimoniarle la mia gratitudine, et ad accertarla di aver ben ravvisato che anche in ciò, ella ha voluto non prescrivere verun limite alli impulsi cortesi del suo animo, et che io non lascio di valutare al più alto segno, et attenderò, che mi si presentino congiunture favorevoli, et adeguate per darlene le riprove anche con gli effetti. Dall’accluso Libretto che io mando a V. S. ella vedrà quanto riguarda la suddetta attenenza in seguela della pubblicazione del di sopra addotto Enigma ; et sia persuasa che io le bramo vivamente sempre durabili le benedizioni del Cielo. »

30 «Je vous prie, à l’occasion d’une rencontre avec Monsieur le marquis de L’Hôpital, de lui faire part de ma disponibilité à lui rendre service comme dans le passé, lorsque j’eus la chance de le faire à Florence ; dites-lui que les renseignements reçus de vous sur la publication de son admirable Analyse, rendent plus d’un impatient de la voir. De grâce, faites-moi sçavoir si elle est encore en vente et à quel prix […] [Mon] dernier petit traité a été la Formation et la mesure de tous les cieux des voûtes anciennes et de mon nouveau ciel carrable, imprimé il y a quatre ans, bien que je l’aie trouvé à l’âge de 24 ans ; il n’aurait pas paru si Monsieur le Prince de Toscane ne m’avait pas poussé à le rédiger comme je l’ai fait, et à le publier ensuite pour lui obéir » ; cf. lettre de Viviani à Raffaello Nardi du 6 juillet 1696, Bibliothèque nationale de Florence, Gal. 160, c. 9.

31 Cf. V. Viviani, De Locis Solidis […], op. cit., Préface.

32 «En vérité l’analytique est une chose merveilleuse, car en moins d’un quart d’heure on trouve avec une grande facilité la tangente d’une ligne quelconque aussi extravagante soit-elle, et se rend en même temps utile pour une infinité de courbes ; mais dans la mesure où elle éloigne de toute application permettant de trouver les démonstrations géométriques, et aussi en raison des erreurs qui peuvent toujours subsister dans un calcul, je ne lui fais pas entièrement confiance, et ne me laisse pas aller vers elle avec cette passion que manifestent tant d’autres, ceux-là même qui ne valorisent rien qui ne soit embrouillé avec des croix, des racines, et d’autres semblables diableries ; pourtant Votre Paternité sait bien l’estime que Leibniz, les Bernoulli et d’autres semblables auteurs ont pu acquérir avec quelques broutilles imprimées dans les Actes de Leipzig, qui sont pleins de ces embrouillaminis. Et les Italiens qui pourraient donner de tels morceaux chaque jour, ou tout au moins chaque semaine ou chaque mois ou deux fois par an, les gardent dans leurs poches, et attendent l’arrivée des oracles ultramontains pour faire notre érudition. Mais parlons sérieusement : est-il jamais venu d’Allemagne, de Hollande, d’Angleterre, de France un livre comparable au «De maximis et minimis » de Monsieur Viviani et à celui du même auteur (qui va bientôt paraître) “ De Locis Solidis ” ? une “ Centrobaryca ” de Guldin, une méthode aussi nouvelle facile et générale que celle de Cavalieri, des Traités nouveaux de géométrie, comme ceux de Degli Angeli, pour ne rien dire de la “ Geometria del moto ” de Monsieur votre frère, etc., n’ont pas persuadé en tout ce temps le monde littéraire que les Italiens aussi peuvent apporter quelque chose en géométrie, alors qu’ils ne disposent pas d’autant d’algèbre qu’eux. Me fait rire Leibniz, lorsque, je ne sais à quel endroit, après avoir proposé un problème, indique également qui serait apte à le résoudre, et ne nomme aucun Italien. Le pire est que les Italiens eux-mêmes y croient ; ainsi, on m’a conseillé de ne pas mettre in-extenso l’erreur de Fermat et de Wallis concernant la tangente de la quadratrice. Je dois me contenter seulement d’y faire allusion dans mon ouvrage, si je voulais, à un endroit bien caché et non pas dans la préface où il tombait très bien. Tout cela, pour ne pas me heurter à un Prince italien de grande qualité, qui a beaucoup d’estime pour les ultramontains et leurs méthodes, et peu ou rien pour les choses nées dans son pays […] » ; cf. lettre de G. Grandi à T. Ceva, Pise, le 11 novembre 1701, Bibliothèque universitaire de Pise, ms. 98, cc. 272v.-273r.

33 «La solution de [ce problème] me donne l’occasion de trouver en de très nombreuses manières non seulement la surface plane équivalente à des portions de surfaces sphériques, mais également de déterminer si elles sont carrables. » Cf. G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, par C. I. Gerhardt, 7 vol., Berlin, Halle, 1849-1863 ; réédité par Olms, Hildesheim 1971 ; en particulier vol. 5, Berlin, 1858, p. 270.

34 Cf. C. S. Roero, « Leibniz and the temple of Viviani. Leibniz’s prompt reply to the challange and the repercussion in the field of mathematics », Annals of Science 47, 1990, p. 423-443.

35 De la sphère et du cylindre, I, prop. 33 ; cf. Archimède, Œuvres, par C. Mugler, Paris, Les Belles Lettres, vol. 1, 1970, p. 76-78.

36 Ibid., Mugler, op. cit., propositions 42 et 43, p. 95-97.

37 Cf. F. Maurolico, Admirandi Archimedis Syracusani Omnia Mathematica […], Panormi, apud D. Cyllenium Hesperium, 1685, p. 63.

38 Cf. C. Huygens, Œuvres complètes, 22 vol., La Haye, Martinus Nijhoff, 1888-1950, vol. 10, 1905, p. 336, et M. Knorre, «Serenissimo principe di Toscana, Formazione e Misura di tutti i Cieli », in Ac ta Eruditorum, Maji 1694, p. 207.

39 « Si l’on conçoit la coupole comme s’il s’agissait de la surface du globe terrestre, C étant le pôle, BA l’équateur et BC le premier méridien, il suffira, pour trouver le contour de la fenêtre recherchée, de prendre tous les points ayant longitude et latitude égales. En effet, la surface ABECA de la coupole, c’est-à-dire ce qui reste après soustraction de l’aire BECDB correspondant à la fenêtre, sera égale au carré du rayon, et donc toute la coupole au carré du diamètre de la sphère» ; cf. Jac. Bernoulli, Ænigmatis Florentini […], op. cit., p. 370.

40 Cf. Joh. Bernoulli, « Supplementum defectus geometriæ cartesianæ […] », in Acta Eruditorum, Junii 1696, p. 268-269 ; Opera Omnia. Lausonnæ-Genevæ, 1742, 4 vol., vol. 1, p. 155-161 ; Jac. Bernoulli, « Complanatio Superficierum Conoidicarum et Sphæroidicarum », in Acta Eruditorum, Octobris 1696, p. 479-481.

41 Cf. C. Huygens, Œuvres complètes, op. cit., vol. 10, 1905, p. 336-338.

42 Ibid., p. 329, 346, 354.

43 Ibid., p. 346.

44 Cf. G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, op. cit., vol. 1, partie 2, p. 224.

45 Cf. C. S. Roero, «La matematica tra gli “ affari di Stato ” […] », op. cit., p. 86-87. La solution proposée par L’Hôpital a été publiée dans Die Werke von Jacob Bernoulli, op. cit., vol. 2, p. 529-531.

46 Cf. Joh. Bernoulli, Der Briefwechsel von Johann Bernoulli, 3 vol., Basel, Birkhäuser, 1955-1992, vol. 1, p. 232 ; cf. également, Jac. Bernoulli, Die Werke von Jacob Bernoulli, op. cit., vol. 2, p. 632-634.

47 « Une propriété remarquable du cône droit apparaît également ici, et puisque jusqu’à présent elle n’a été prise en compte par personne, que je sache, je vais l’indiquer : “ Si sur la base d’un cône droit on élève un prisme droit ayant pour base une figure quelconque rectiligne ou courviligne, ce prisme sépare une portion de la surface conique qui sera à la base du prisme dans le rapport de l’apothème du cône au rayon de la base du cône.” D’où il apparaît clairement, d’autre part, qu’à une surface carrable ou non carrable peut correspondre de manière générale une égale surface prise sur le cône droit, et inversement» ; cf. Joh. Bernoulli, Supplementum defectus […], op. cit., p. 269 et Opera Omnia, op. cit., vol. 1, p. 155-161.

48 Cf. C. S. Roero, La matematica tra gli « affari di Stato » nel Granducato di Toscana alla fine del xvii secolo, op. cit., p. 109-115.

49 Cf. J. Wallis, Problema Florentinum de mira Templi Testudine Quadrabili, op. cit.

50 Cf. J. Wallis, Problema Florentinum de mira Templi Testudine Quadrabili, op. cit., p. 587. La solution de Wallis reprend le resultat établit par Archimède : la surface courbe d’un hémisphère est équivalente à quatre demi-cercles ; d’autre part, Hippocrate avait montré la manière de carrer une certaine lunule. Or, si on enlève de chacune des quatre parties de la voûte hémisphérique ce qui manque à la lunule par rapport à son demi-cercle, ce qui reste est équivalent au carré inscrit dans le plus grand cercle de la sphère.

51 Cf. G. Grandi, Geometrica Demonstratio Vivianeorum Problematum, op. cit., p. 40.

52 «Je regrette que vous ayez perdu votre temps à examiner à nouveau le premier problème de Viviani ; dans la première table des matières je fais allusion à trois démonstrations de cette vérité ; la première est celle divisée en 8 propositions ; pour la deuxième, j’indique qu’il s’agit d’une application possible d’une démonstration semblable de Pappus et j’y fais allusion dans le Scolie de la deuxième proposition (mais j’y fais seulement allusion, pour des motifs tout à fait raisonnables, et c’est à dessein que je ne l’ai pas rédigée) ; la troisième, dans le Scolie de la page 37, est celle qui marche le mieux. L’ayant regardée, un de mes amis m’a dit que je pouvais laisser de côté au début cette machinerie de figures solides, en démontrant tout simplement cette vérité, comme je le faisais dans le Scolie. Mon ami s’étonnait que je voulus faire tomber de si haut une chose aussi évidente ; je lui répondis qu’après coup cela semblait évident, mais qu’au début il n’était pas si facile de trouver la solution. Ayant emprunté un chemin tout à fait raide je peux m’enorgueillir de l’avoir trouvée. Il ne me semblait pas qu’ayant découvert une autre voie plus intelligible, je devais conduire les lecteurs uniquement dans cette voie et ne faire rien savourer des travaux que j’avais supportés. De plus, je craignais de diminuer la valeur de l’œuvre du Grand Géomètre, qui était l’objet de mon commentaire, si je faisais apparaître aux lecteurs la vérité que l’on cherchait moins difficile de ce que j’avais moi-même expérimenté » ; cf. A. Paoli, La scuola di Galileo nella Storia della Filosofia, op. cit., p. 77-78.

53 Cf. B. Fontenelle, Éloge de Viviani, Histoire de l’Académie royale des Sciences de Paris, 1705, p. 145-146 : «En 1692, il proposa dans les Actes de Leipsic, un Problème qui consistoit à trouver l’art de percer une Voûte hémisphérique de 4 fenêtres, telles que le reste de la Voûte fût absolument quarrable. Le problème venait de A. D. Pio Lisci pusillo Geometra, qui était l’ Anagramme de Postremo Galilæi Discipulo, et il marquoit que l’on attendait cette Solution de la Science secrète des illustres Analystes du temps. Ce qu’il entendoit par cette Science secrète, étoit sans doute la Géométrie des Infiniments petits, ou le calcul différentiel, qu’à peine connoissoit-on de réputation en Italie. Le Problème de M. Viviani fut en effet bientôt expédié par cette Méthode. M. Leibnits le résolut le même jour qu’il le vit, et le donna dans les Actes de Leipsic (Leipzig) en une infinité de manières, aussi bien que M. Bernoulli de Bâle. Le nom de M. le Marquis de L’Hôpital ne parut point alors dans les Actes, parce que la guerre l’avoit empêché de recevoir ce Journal. Mais M. l’Envoyé de Florence à Paris lui ayant proposé cette Énigme qui étoit sur une feuille volante, M. de L’Hôpital lui en donna aussitôt trois solutions et lui en auroit donné une infinité d’autres, sans la trop grande facilité qu’il y trouva. Il paroit que ceux qui étoient dans l’ancienne géométrie, quelques profonds qu’ils fussent, n’étoient pas destinés à faire beaucoup de peine par leurs Questions aus Géomètres du Calcul différentiel. »

54 Cf. J. E. Montucla, Histoire des mathématiques, nouv. éd., 4 vol., Paris, 1799-1802 ; rééd. Paris, Blanchard, 1968, vol. 3, p. 94-95.

55 Cf. A. Paoli, op. cit., ainsi que C. S. Roero, I matematici italiani e il celebre « Ænigma » di Vincenzio Viviani, et La matematica fra gli « affari di Stato » nel Granducato di Toscana alla fine del xvii secolo, cités.

56 Cf. F. Baldelli, «Lo Studio bolognese fra Sei e Settecento », in Scienza e letteratura nella cultura italiana del Settecento par R. Cremante et W. Tega, Bologna, Il Mulino, 1984 ; U. Baldini, «L’attività scientifica nel primo Settecento », op. cit. ; M. Cavazza, « La corrispondenza inedita tra Leibniz, Domenico Guglielmini, Gabriele Manfredi », in Rapporti di scienziati europei con lo Studio Bolognese fra ’600 e ’700, par M. Gavazza, Studi e Memorie per la Storia dell’università di Bologna, nuova serie, vol. VI, Bologna, 1987, p. 51-79 ; E. Manfredi, V. F. Stancarii Schedae Mathematicae, Bononiæ, 1713 ; G. Manfredi, De constructione aequationum differentialium primi gradus, Bononiæ, 1707 ; S. Mazzone, C. S. Roero, Guido Grandi – Jacob Hermann Carteggio (1708-1714), Firenze, Olschki, 1992 ; L. Pepe, « Il calcolo infinitesimale in Italia agli inizi del secolo XVIII », in Bollettino di Storia delle scienze matematiche, 2, 1981, p. 43-101 et «Sulla trattatistica del calcolo infinitesimale in Italia nel secolo xviii », in La storia delle matematiche in Italia […], op. cit., p. 145-227 ; A. Robinet, G. W. Leibniz. Iter Italicum (mars 1689 – mars 1690) […], op. cit., et L’Empire leibnizien. La conquête de la chaire de mathématiques de l’université de Padoue. Jacob Hermann et Nicolas Bernoulli, Trieste, LINT, 1991 ; L. Tenca, «Guido Grandi matematico cremonese », in Rend. Ist. Lomb. Sci. Lett., LXXXVIII (1950), p. 492-510, ainsi que : «L’attività matematica di Guido Grandi», in Periodico di Matematiche, 29, 1951, p. 181 -197, « La corrispondenza epistolare fra Tomaso Ceva e Guido Grandi », in Rend. Ist. Lomb. Sci. Lett. Cl. Sci., s. 3, LXXXIV (1951), p. 519-537, «Le opere di Guido Grandi», in Bollettino Storico Cremonese, XVIII (1952-1953), «Epistolario manoscritto del Padre Guido Grandi (Aggiunte a quello pubblicato da Ferrari) », in Archivio Storico Lombardo, s. 8, v. IV (1953), p. 273-280.

57 Cf. R. Franci, «Le lettere di G. Manfredi a G. Grandi», in Physis, XXIV, 1985, 4, p. 555-564 ; L. Giacardi, « Guido Grandi e il calcolo leibniziano. Presentazione di un manoscritto inedito», in Bollettino di Storia delle scienze matematiche, XIV, 1994, 2, p. 195-238 ; S. Giuntini, «Gabriele Manfredi – Guido Grandi Carteggio (1701-1732) », in Bollettino di Storia delle scienze matematiche, XIII, 1993, p. 3-144 ; S. Mazzone, C. S. Roero, Jacob Hermann and the Diffusion of the Leibnizian Calculas in Italy, Firenze, Olschki, 1997 ; M. L. Soppelsa, Leibniz e Newton in Italia. Il dibattito padovano (1687-1750), Trieste, LINT, 1989 ; G. Piaia, M. L. Soppelsa, I Riccati e la cultura della Marca nel Settecento europeo, Firenze, Olschki, 1992.

58 Cf. S. Mazzone, C. S. Roero, Jacob Hermann and the Diffusion of the Leibnizian Calculas in Italy, op. cit. ; M. L. Soppelsa, Leibniz e Newton in Italia. Il dibattito padovano (1687-1750), op. cit. ; G. Piaia, M. L. Soppelsa, I Riccati e la cultura della Marca nel Settecento europeo, op. cit.

59 Cf. S. Mazzone, C. S. Roero, Jacob Hermann and the Diffusion of the Leibnizian Calculas in Italy, op. cit.

60 Cf. C. S. Roero, « Leibniz and the temple of Viviani […] », op. cit., p. 434-436. Encore en 1726, Jacob Hermann, qui fut l’un des premiers à enseigner en Italie le calcul infinitésimal de Leibniz, rappelait l’élégance du problème proposé par l’Ænigma en suggérant quelques élargissements : « Is (i. e. Viviani) enim impresso programmate ænigma suum peritioribus Analystis examinandum commendavit his verbis : « Cujus divinatio a secretis artibus illustrium analystarum vigentis ævi expectatur, quod in Geometriæ pura historia versatus, ad tam recondita videatur invalidus. » Ex hoc proponendi modo, et ex quod ad celeberrimos ævi sui Geometras Programma suum mitti curavit, facile quis in opinionem venerit, hoc ænigma arduum et difficile solutu Autori suo visum fuisse : verumtamen cum non dubitarit quin recentioribus Analystis statim sit solvendum, forte non tam a difficultate quam elegantia Problema hoc suum tanti fecit, et credibile quoque est, hoc ænigma præclarissimo viro in Veterum Geometria innutrito et magna diligentia cuncta excutere solito, plus negotii dedisse quam aliis Analystis, qui methodos infinitesimales magis in promptu habebant. Sed omnium fere elegantissime videntur esse constructiones, quas Vivianus ipse in peculiari opuscolo Italico sermone, anno 1692, Florentiæ edito, sed sine demonstrationibus, publico impertivit […] Demonstrationes a Viviano suppressas, ex propria penu deinceps deprompsit et dedit P. Abbas Guido Grandus in singulari opere, quod Problemata Vivianea inscripsit. Totius ænigmatis solutio eo redit, ut Testudo iis fenestris aperiatur, quibus de superficie tota hemispherii detractis, residua maneat superficies geometrice quadrabilis, quod infinitis diversis modis fieri potest » ; cf. J. Hermann, De epicycloidibus in superficie sphaerica descriptis, Commentarii Academiæ Scientiarum Imperialis Petropolitanæ 1, 1726, p. 210-212.

61 « […] quant aux démonstrations de ses voûtes carrables, il m’a répété à plusieurs occasions qu’il ne les avait pas mises par écrit et qu’il les obtenait par une méthode personnelle. Il gardait cette méthode enfermée dans son esprit avec l’intention de la mettre par écrit, ce qui est confirmé par le fait que parmi ses écrits je n’ai rien trouvé concernant ladite méthode», cf. L. Tenca, «Sulla risoluzione dell’enigma di Vincenzio Viviani in lettere sue e di suoi contemporanei », in Rend. Ist. Lomb. Scienze e Lettere, LXXXVI (1953), s. III, XVII, p. 114.

62 « Depuis de nombreuses années déjà, j’ai mis par écrit trois anciens petits ouvrages dont je suis l’auteur, l’un De tetragonismicis, l’autre De centrobarycis, chacun comportant deux livres, et le troisième De terebratione solidorum. Les figures correspondantes de tous ces ouvrages ont été gravées il y a quelque temps déjà », Bibliothèque nationale de Florence, Gal. 101, c. 124.

Auteur

Université de Turin, enseignante.

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