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Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée

Algèbre et géométrie dans l’œuvre de Carlo Renaldini

Aldo Brigaglia

Texte intégral

  • 1 On trouvera des éléments de biographie concernant Rinaldini in Petti R., L’algebra di Carlo Rinaldi (...)
  • 2 Une liste des œuvres manuscrites de Rinaldini est publiée in « Pepe L., Carlo Renaldini e la geomet (...)

1Carlo Renaldini (ou Rinaldini) était né à Ancone, dans les Marches, en 1615. Académicien du Cimento, il fut professeur de philosophie à Pise à partir de 1649, puis à Padoue de 1667 jusqu’à sa mort survenue en 16981. Il publia, entre autres ouvrages, l’Opus algebricum en 1644, l’Ars analytica en trois volumes dans la période comprise entre 1665 et 1684, le De Resolutione et compositione en 1668 et le Geometra promotus en 16702.

2Je me propose tout particulièrement de montrer les apports de ce mathématicien italien tels qu’ils ressortent du De Resolutione, en relation notamment avec la Géométrie de Descartes. L’intérêt du texte de Renaldini réside, en effet, dans sa position à l’égard de cet ouvrage, position assez originale par rapport à celle de la plupart des galiléistes.

3Avant d’examiner plus particulièrement l’œuvre de Renaldini, je voudrais faire quelques remarques générales sur le cartésianisme en géométrie.

4Le refus manifesté par l’école italienne d’accueillir la géométrie cartésienne doit être attribuée essentiellement, me semble-t-il, à deux facteurs. Le premier réside dans la problématique même contenue dans la Géométrie, problématique qui est tout à fait extérieure à celle qui prévaut chez les grands maîtres du galiléisme, chez Galilée lui-même, et aussi chez Cavalieri et Torricelli. En effet, ce serait une grave erreur de juger les réactions des contemporains de Descartes à l’égard de son œuvre géométrique en prenant en compte les développements ultérieurs, rendus possibles, comme on le sait, par la création du calcul newtonien et leibnizien. C’est alors seulement que la méthode cartésienne de représentation des courbes prend la place de premier chapitre du calcul, place qu’elle a conservée jusqu’à nos jours. Or, il s’agit d’une position essentielle et subalterne à la fois, dans la mesure où cette manière de procéder se traduit par une sorte de gymnastique, permettant la manipulation analytique des fonctions et leur représentation graphique à partir des représentations géométriques les mieux connues.

  • 3 Cf. Schooten van Frans, Geometria a Renato Des Cartes, 2 vol., 1659-1661. L’ouvrage contient des ap (...)

5D’autre part, pour un mathématicien qui écrit entre les années 1650 et 1660, la Géométrie apparaît – et ce sera, pour les galiléistes, le deuxième facteur de désintérêt – comme un livre consacré surtout à la solution, au moyen de l’algèbre, de problèmes classiques (comme, par exemple, ceux présents dans les textes perdus d’Apollonius et d’Euclide), et en partie seulement à l’étude des courbes (algébriques). Il va de soi que ceci ne signifie nullement que la Géométrie ne contient pas, par exemple, le concept fondamental de définition d’une courbe par son équation. Seulement, ce concept semble jouer toujours un rôle d’instrument pour la solution des problèmes classiques. Les premiers indices d’une attitude nouvelle se trouvent, peut-être, dans l’édition de Schooten de la Géométrie, et, plus précisément, dans l’appendice de Jan de Witt (Elementa linearum curvarum), ainsi que dans l’œuvre de John Wallis (De Sectionibus conicis Tractatus, 1655)3. En effet, dans l’un et l’autre de ces deux ouvrages on indique le chemin menant à l’étude des propriétés des coniques à partir de leurs équations. Mais il s’agit de résultats globalement marginaux.

  • 4 Cf. Giusti E., Euclides Reformatus, Bollati Boringhieri, Torino, 1993.

6Comme l’a remarqué bien à propos Enrico Giusti4, l’école galiléenne s’était engagée dans une direction tout à fait différente : l’étude de problèmes de type « archimédien », souvent en relation avec la physique et concernant des aspects « transcendants ». Elle s’était assez peu intéressée à la problématique « apollonienne » de la solution – par des méthodes pas forcément algébriques – des problèmes classiques d’inclinaison, de traction, de résolution de triangles, etc. Aussi, il est probable que l’appareillage créé par Descartes – comme celui de l’école de Viète, d’ailleurs – apparaissait excessivement complexe, compte tenu de l’intérêt assez limité des problèmes qu’il semblait pouvoir résoudre.

7 Dans ce contexte, le désintéressement de Cavalieri et de Torricelli à l’égard de la Géométrie est tout à fait compréhensible. Il ne s’agissait pas d’un excès de « classicisme euclidien ». Bien au contraire, il semblerait que les deux grands mathématiciens italiens aient fait preuve d’un certain détachement à l’égard de la problématique classique – qui, à partir de Viète, avait véritablement passionné les mathématiciens français – s’éloignant ainsi de celle soulevée par l’œuvre géométrique de Descartes. Après la mort en 1647 de ces deux représentants les plus éminents des tendances galiléennes en mathémathique, un autre élément vint s’ajouter aux causes de désintéressement : le déclin évident et indéniable de l’école italienne. Comme toutes les écoles en déclin, elle se renfermait sur elle-même, marginalisant ainsi de plus en plus sa propre problématique. Le désintérêt pour le langage cartésien était désormais le reflet du détachement à l’égard des courants les plus vivants de la mathématique internationale.

8Renaldini se situe de manière tout à fait naturelle, pour ainsi dire, au cœur même de cette période de décadence. L’analyse de son œuvre – et notamment des aspects intéressant directement le contexte italien – doit tenir compte du fait qu’il s’agit d’un mathématicien mineur, s’exprimant à l’intérieur d’une communauté de mathématiciens n’occupant pas une place d’avant-garde dans le contexte européen.

9L’ouvrage que j’ai examiné, le plus connu des écrits de Renaldini, est intéressant aussi par la mise en évidence de la manière dont l’influence cartésienne avait pu modifier la tradition de l’Analysis geometrica, due à l’école de Viète et tout particulièrement à Marino Ghetaldi, auteur du De Resolutione et compositione publié en 1630. Or, le livre de Ghetaldi a le même titre que celui de Renaldini et constitue, pour celui-ci, la première source d’inspiration. L’insertion du cartésianisme dans la filière de l’analyse géométrique – analyse que l’on fait remonter à Viète sans pouvoir l’affirmer, me semble-t-il, avec certitude – doit être attribuée, à mon avis, à Van Schooten et à son De Concinnandis demonstrationibus, apparu lui aussi dans l’appendice de l’édition de 1659 de la Géométrie. Aussi, avant d’entrer dans le vif du sujet, il ne me semble pas inutile de faire une brève digression sur les développements de l’Analysis geometrica au cours de la première moitié du xviie siècle.

  • 5 Comme on le sait, le livre VII des collections de Pappus était formé, dans l’ordre, du livre des Do (...)

10L’Analysis geometrica est fondée sur la redécouverte – et sur la réinterprétation résultant de l’emploi du langage algébrique – des techniques et des méthodes classiques, dues essentiellement à Apollonius. Ces techniques et ces méthodes étaient exposées avec force détails dans le livre VII des Collections de Pappus5, qui constituaient le Trésor de l’analyse. Le fait que ces textes, à l’exception des Données et d’une partie des Coniques, aient été perdus et qu’il en reste seulement les résumés faits par Pappus sans les démonstrations des différents théorèmes, joua le rôle d’un puissant stimulant pour l’approfondissement des différentes méthodes de résolution. Ainsi, il s’était constitué un vaste répertoire de problèmes « classiques », utile pour le processus d’appropriation et de dépassement de la tradition grecque, processus caractéristique du climat spirituel de la Renaissance.

11Dans toute la tradition qui commence au cours de la deuxième moitié du XVIe siècle, et se prolonge jusqu’aux années trente du siècle suivant – c’est-à-dire pendant toute la tradition algébrique précédant immédiatement l’apparition de la Géométrie de Descartes – l’emploi des méthodes algébriques apparaît entièrement conditionné par la redécouverte de l’antique méthodologie classique de l’ Analyse, assez bien sauvegardée, tout au moins en apparence. Le langage algébrique tend à devenir instrument du langage géométrique, ses méthodes se limitant à rechercher une interprétation parfaitement fidèle à l’égard du modèle géométrique.

12En revanche, avec l’arrivée de la Géométrie, l’algèbre pourra jouer un rôle libre de tout engagement à l’égard du modèle géométrique, faisant valoir entièrement, de ce fait, son particulièrement fort caractère euristique. Dans cet ouvrage Descartes s’était référé au modèle bien connu des trois ou quatre lignes et à celui « d’Héraclite »– que Renaldini utilisera à son tour – pour démontrer la supériorité des méthodes modernes sur celles classiques.

  • 6 Sur l’analyse géométrique au XVIe siècle, cf. Freguglia P., Ars analytica, Busto Arsizio, Bramante, (...)

13Au cours du XVIIe siècle l’analyse géométrique devient le banc d’essai des méthodes algébriques et est employée surtout par les élèves de Viète6. Parmi ceux-ci, on rappellera A. Anderson, M. Ghetaldi, A. Girard, W. Snell. À partir de la deuxième moitié du xviie siècle, la leçon cartésienne est assimilée et l’on assiste à un changement notable d’orientation.

  • 7 Cf. Brigaglia A., « Rapporti tra algebra e geometria ; problemi storici e problemi metodologici », (...)

14La manière dont Descartes affronte la problématique de l’analyse classique apparaît dans le troisième livre, qui est consacré essentiellement à la solution des problèmes de degré supérieur au deuxième et dont l’intérêt a été peut-être sous-estimé7. La méthode cartésienne, tout en étant centrée presque entièrement sur des problèmes semblables à ceux classiques de l’analyse géométrique (le problème d’Héraclite, la trisection de l’angle, etc.), renverse les relations entre géométrie et algèbre, aussi bien du point de vue méthodologique que de celui conceptuel concernant la « vérité » de la démonstration. L’algèbre de Descartes ne construit pas sa « vérité » en s’appuyant sur la géométrie. C’est même le contraire, à la limite, qui se produit.

15Tout cela a des répercussions considérables sur la manière d’affronter chaque problème concret. La force d’invention apparaît au second plan, face à la méthode systématique qu’il faut employer pour déterminer les solutions des problèmes et leur classement. De nombreux contemporains de Renaldini considèrent alors comme paradoxal l’emploi, assez fréquent chez Descartes, de calculs, souvent compliqués, pour résoudre des problèmes qui admettent une solution géométrique bien plus élégante. Le fait est que la simplicité cartésienne résulte certes – tout au moins pour l’essentiel –, de l’emploi des plus simples instruments (la règle et le compas, autant que possible), mais elle est aussi fondée sur l’emploi, le plus souvent algorithmique, des méthodes algébriques, et sur un usage minimal des propriétés géométriques. Aussi, comme on le verra, Descartes préfère employer une équation de degré élevé, mais géométriquement facile à déterminer, pour résoudre un problème dont il sait très bien qu’un choix approprié des inconnues (et un emploi très complexe de techniques géométriques assez sophistiquées) permettrait de le ramener à quelques calculs des plus élémentaires.

16Or, c’est en cela que consiste, justement, la nouveauté cartésienne. La lourdeur apparente des calculs algébriques cache, en fait, une simplicité conceptuelle permettant d’obtenir, tout au moins théoriquement, une méthode algorithmique que les techniques géométriques ne permettent pas d’obtenir. Parmi ses contemporains, assez peu de mathématiciens comprennent ce point de vue, et notre Renaldini ne sera pas l’exception. Il n’y a que Huygens, Leibniz et Newton qui semblent avoir saisi pleinement le sens de la méthode cartésienne, fût-ce en la soumettant à des critiques approfondies et parfois violentes.

17En tout cas, après la publication de la Géométrie, des interventions fleurissent, orientées notamment vers « l’amélioration » des solutions développées par Descartes. Elles trahissent, en fait, l’esprit de ces solutions, en introduisant des méthodologies essentiellement géométriques et surtout non algorithmiques, méthodologies fondées sur des raccourcis très astucieux. Van Schooten lui-même, qui fut pourtant l’éditeur de Descartes et le principal diffuseur de ses idées dans le milieu mathématique de l’époque, dans son De Concinnandis demostrationibus, auquel nous avons fait allusion ci-dessus, trahit en partie l’esprit cartésien lorsqu’il essaie par tous les moyens d’étayer la validité des méthodes algébriques à partir d’une prétendue identité de celles-ci avec les méthodes géométriques. Or, le livre de Van Schooten est un repère important pour la culture analytique de l’époque. Renaldini en fera un usage assez large.

  • 8 Pour les ouvrages de Renaldini publiés avant le De Resolutione et compositione libri duo, Patavii, (...)

18Comme je l’indiquais au tout début de cet article, je me limiterai à l’analyse de l’ouvrage mathématique de Renaldini, à mon avis le plus important : le De Resolutione et compositione, publié à Padoue en 16688. Voici la table des matières :

19Liber I

20Præfatio De loco resoluto.

211. « Quid sit resolutio et quid compositio mathematica. Euclidis Data liber singularis ad locum pertinens resolutum ab auctore recognitus et commentariis illustratus. » [Il s’agit d’une édition critique des Données d’Euclide ; cette partie du livre est, à mon avis, l’une des plus intéressantes.]

222. « Quæ actenus dicta sunt de methodo antiqua, Exemplis illustrantur ad resolutionem et compositionem theorematum. »

233. « De theorematibus pertinentibus ad Sectiones Conicas, aliusque lineas. »

244. « De exercitio analytico exercendo in resolutionibus atque compositionibus theorematum, ad cæteras partes matheseos pertinentium. »

255. « De methodo resolutiva pro theorematibus alijs physico-geometricis. »

266. « De experimentis ad veritates physicas indagandas. »

277. « A quibus cavendum analystæ, ne delusus quodammodo videatur. »

288. « Quod artifici magnopere curandum in oblati theorematis resolutione instruenda. »

299. « De recta demostrandi ratione ab analysta servanda. »

3010. « De particularis methodis, quas hucusque mathematicorum schola frequentavit. Deque peculiari ab auctore exculta. De auctoris methodo peculiari ac propria Methodus per indivisibilia procedens iterum perpenditur. De maximis et minimis. »

3111. « De problematum resolutione iuxta veteres ; seu de antiqua methodo per explicitum datorum usum ad problemata resolvenda. »

3212. « De methodo per implicitum datorum usum, quam auctor in locum antiquæ iam explicatæ subrogavit et in problematum resolutionibus adhibere consevit. De deductione. »

33Liber II

341. « De explicandis æquationibus puris, sive simplicibus. »

352. « De explicandis æquationibus compositis, et primo de quadraticis. Variæ et diversæ methodi explicandi æquationem, in qua quadratum afficitur negative, seu in qua quadratum afficitur multa plani sub latere, dataque coefficiente magnitudine. »

363. « De explicandis æquationibus solidis compositis, et primo de cubicis. »

374. « Methodi explicandi æquationes compositas quadrato-quadraticas et primo de æquationibus quadrato-quadraticis simpliciter affectis sub quadrato. »

385. « De theorematibus resolvendis beneficio speciosæ logistices. »

396. « Cautiones quibus indiget analysta in theorematis oblati resolutione instituenda, et quid inter antiquam et novam methodum intersit. »

407. « De problematis resolvendo speciosæ algebræ beneficio. »

418. « De cautionibus in cuiuslibet oblatis problematis resolutionis instituenda. Deque subsidaria coefficiente quantitate, quam auctor ad altos gradus in ipsamet resolutione vitandos, adhibere consevit. »

429. « Auctoris nova eaque methodus absolutissima, quæ demonstrantur omnium problematum effectiones, ex ijs deductæ resolutionibus quarum vestigia vel non licet vel non placet in componendo repetere ubi quod algebricum est ad geometricam φρασιν traducitur. »

4310. « De deductione quam græci Επαγωγην appellant. »

4411. « De methodo depromendi geometricas affectiones ex algebra veteri, sive usus veteris algebræ, ad geometrice problemata resolvenda. »

4512. « Auctor ostendit haud bene pluresque analystas extimasse problemata nonnulla sub algebram non cadere. »

4613. « De problematis illis quæ constructione operaria non egent sed postulant tantummodo ut quæsitum numero explicetur. »

4714. « Qua arte cognoscantur problemata impossibilia. »

4815. « Qua arte cognoscantur problemata vana et nugatoria. »

  • 9 Cf. « De Loco resoluto », p. 2, in De Resolutione […], op. cit.

49Renaldini accorde une grande importance aux questions de méthodologie, peut-être de manière excessive, eu égard à la problématique mathématique qu’il affronte. À ces questions est consacrée toute l’introduction (le De loco resoluto), alors qu’une assez longue partie porte sur la réfutation de la distinction, présente également chez Descartes, entre problèmes « mathématiques » (plans et solides) et problèmes « mécaniques ». Pour lui, en effet, « geometræ officium est quodcumque linearum genus sua persequi contemplatione » (le rôle du géomètre consiste à examiner très attentivement toute espèce de ligne)9. La distinction est également assez nette entre les axiomes – c’est-à-dire les dignitates, qui sont universellement vrais – et les postulats, qui sont vrais seulement à l’intérieur d’une discipline donnée (positiones).

50 Comme on l’a dit, le chapitre Ier est consacré à un exposé complet de ce qui peut être considéré comme le prototype des livres du Trésor de l’analyse, c’est-à-dire les Données d’Euclide, et comprend également un exposé sommaire des autres textes perdus.

51La méthode classique de l’analyse géométrique est exposée au chapitre II. Le style, emprunté à différents traités classiques – parmi lesquels le De Concinnandis de Van Schooten –, est intéressant pour son aspect méthodologique, qui permet le passage immédiat de l’analyse à la synthèse. Je donnerai comme exemple la démonstration d’un lemme de Pappus très connu, que Renaldini reprend dans le De Resolutione à la page 324. Ce problème est présenté par Pappus comme lemme pour la détermination du cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné. La solution de Renaldini n’est pas très différente de la solution classique, mais constitue un bon exemple de l’emploi de la resolutio et de la compositio géométriques.

52Le lemme est ainsi énoncé :

  • 10 Renaldini C., De Resolutione et compositione, op. cit., p. 324-326.

53« Circulo positione dato ABC, & datis duobus punctis D, E, inflectere DAE et facere BC ipsi DE parallelam » (Étant donné un cercle ABC et deux points extérieurs D et E, faire tourner DAE de telle sorte qu’on ait BC parallèle à DE)10.

54Supposons le problème résolu et rapportons-nous à la figure 1 (premier des quatre cas étudiés par Renaldini).

55Soit la droite DG tangente au cercle. On a DA . DB = DG2. De plus, si BF est elle aussi tangente au cercle, on a l’angle FBC égal à l’angle DFB, et l’angle FBC égal à l’angle DAE. D’où l’angle DFB égal à l’angle DAE. Donc, les triangles DBF et DAE sont semblables et la proportionnalité entre les côtés homologues permet d’écrire AD . DB = DE . DF. Mais DA . DB = DG2 est donné, donc DE . DF est donné et les points F et B sont donnés aussi. Le problème est donc entièrement résolu.

56Suit alors la compositio suivante :

57Soit F tel que DE . DF = DG2, c’est-à-dire DE : DG = DG : DB (1). Soit le segment FB tangent au cercle. Traçons le segment DB et prolongeons-le jusqu’au point A situé sur le cercle. Je dis que BC est parallèle à DE.

58En effet, d’après (1) et d’après la relation DA : DG = DG : DB, on a :

59 DA : DE = DB : DF,

60donc les triangles DFB et DAB sont semblables et les angles DFB, DAE et FBC égaux entre eux. On a donc BC parallèle à DE.

61La solution proposée par Renaldini, d’une beauté classique, peut être comparée utilement à la solution algébrique, celle de Newton, par exemple, publiée dans l’Arithmetica Universalis, bien que celle-ci soit un peu embrouillée (Newton lui-même, dans ses études menées à la même époque sur les méthodes géométriques, ne cache pas sa préférence pour la solution classique).

  • 11 Ibid., p. 79-80.

62Dans ce même livre I, l’exemple donné au chapitre X est, me semble-t-il, particulièrement intéressant, car la méthode de résolution et de composition est illustrée par un tableau permettant la lecture respectivement de haut en bas et de bas en haut du schéma de résolution11.

63Il faut démontrer que dans tout triangle rectangle l’hypoténuse est à la somme des côtés, comme cette somme est à l’hypoténuse plus le double de la hauteur relative à celle-ci (In omni triangulo rectangulo ut est hypothenusa ad aggregatum laterum ambientium angulum rectum, ita hoc aggregatum ad aggregatum ex hypothenusa et duplo catheto). En appelant AC et CB le côtés du triangle et CD la hauteur relative à l’hypoténuse (figure 2), on obtient une solution analytique assez simple.

64 En simplifiant l’écriture, on obtient le tableau suivant :

65Conspectus Resolutionis atque compositionis (Illustration de la Résolution et de la composition)

Initium Resolutionis & finis Compositionis Puisque AB est à AC + CB, comme AC + CB est à AB2DC,
on a :
(Début de la Résolution et fin de la Composition) Rect (AB, AB2CD) = (AC+CB)2
mais
[Rect (AB, AB2CD) = AB2 + Rect (AB, 2CD)],
donc
(AC+CB)2 = AB2 + Rect (AB, 2CD) = AC2 + CB2 + Rect (AB, 2CD)
Finis Resolutionis & Initium Compositionis (Fin de la Résolution et début de la Composition) AC 2 + CB2 + 2 Rect (AB, CD) = AC2 + CB2 + 2 Rect (AC, BC)

66La solution analytique du problème équivaut à la solution algébrique suivante. Soient a, b les côtés, h la hauteur et c l’hypoténuse du triangle rectangle. Il faudra démontrer l’égalité :

67 (a+b)2= c (c+2h),

68c’est-à-dire

69 a2+ b2 + 2ab = c2 + 2ch = a2 + b2 +2ab,

70ce qui est trivial, car ch et ab sont égaux à deux fois l’aire du triangle, et donc égaux entre eux.

71L’analyse classique est, comme on le voit, déjà fortement algébrisée.

72Ne pouvant analyser ici l’ensemble de l’œuvre, assez vaste, de Renaldini, je me limiterai à quelques problèmes classiques, que cet auteur aborde par différentes méthodes.

73Le livre II – le plus directement relié aux méthodes cartésiennes – contient en particulier un chapitre VII intitulé De problematis resolvendis speciosae algebrae beneficio Comme chez Schooten, la méthode algébrique est étroitement reliée ici à la méthode classique de l’analyse. À l’égard de cette dernière elle joue, d’une certaine manière, le rôle de corollaire. Pour résoudre un problème donné, l’analyse exige une connaissance trop large des théorèmes euclidiens, alors que la méthode algébrique permet de s’arrêter à une proposition (analogismus) ou à une équation (aequatio), offrant ainsi une simplification du problème lui-même. Je pense qu’il n’est pas inutile de citer intégralement les deux premiers paragraphes du texte de Renaldini :

  • 12 Ibid., p. 399.

«In problematum resolutionibus iuxta huius artis præcepta perficiendis, ita procedendum, ut supponamus iam factum quod quaeritur, & per inde consequentia, tandem ad effectionem perveniamus. Raro autem contingit nisi in problematibus facilioribus, ut analysis institui possit nulla præunte praeparatione, in quo fortassis omnis posita difficultas, cum enim hæc fuerit adinventa, cætera fere omnia se dant in cospectum. Ad praeparationem autem, & ingenij alacritas, & in his disciplinis eruditio, conducit. Primum naturae quidem, secundum vero studjis, vigiljisque acceptum referri debet. Non satis est enim operam navasse primis Elementis, sed etiam oportet plurimas propositiones inde deductas novisse, ac propterea prae manibus habere figuram cuiuscunque generis proprietates, a quibus geometrica effectio ducit ortum.
Duo autem in problemate sunt, nempe datum ac notum, & insuper ignotum, atque quaesitum. Quod autem quaeritur ac ignotum est, per vocales denotare consuevimus, quod vero datum ac notum, per consonantes. Quaestio autem proposita sedulo pependenda est, et magnitudines tam datæ, quam quæsitæ iuxta eius tenorem, ita tractandae sunt, ut ratiocinando deveniamus ad id, quod fieri potest, vel nimirum ad analogismum trium terminorum, e quibus, qui postremo est loco sit quaesitus, duobus enim antecedentibus cognitis hic amplius non ignorabitur; vel ad analogismum quator terminorum, e quibus, qui postremum obtinet locum sit quaesitus, tribus enim prioribus cognitis, quartus prodidit & c. Vel ad aequationem, sive simplicem, sive compositam, & utraque sive plana sit, sive solida; quaelibet enim arte supra iam tradita feliciter explicatur, laterisque valor exhibetur12

74Dans le chapitre suivant Renaldini illustre, par de nombreux exemples, la méthode algébrique appliquée à la solution de problèmes géométriques particuliers. Je vais donner ici l’exemple d’un problème classique bien connu, que Schooten traite dans le De Concinnandis demonstrationibus. En fait, Renaldini reprend de manière intégrale le tableau assez suggestif permettant de comparer les méthodes algébrique et géométrique, données par le mathématicien hollandais. Le problème est le suivant :

  • 13 Ibid., p. 404.

75 Propositum latus AB utcumque divisum in C, ita protrahere ad AD, ut rectangulum ADB, quadrato CD sit aequale (Étant donné le segment AB divisé en C, le prolonger en D de telle manière qu’on ait)13 :

76On pose : AC = b ; CB = c ; BD = x ; IC = CB ; AI = b-c. Il en résulte le tableau suivant, qui montre clairement le passage du langage algébrique au langage géométrique :

  • 14 Ce tableau est équivalent à celui publié par Renaldini, ibid., p. 406.

Note14

77Suit la solution cartésienne classique des équations du second degré, que Renaldini exprime, dans l’un des cas, de la manière suivante :

  • 15 Ibid., p. 409.

78 Dato rectangulo sub lateribus, et differentia laterum, invenire latera (le produit de deux segments et leur différence étant donnés, déterminer les deux segments)15. En appelant b, z2 respectivement la différence et le produit, et a l’un des segments, Renaldini obtient immédiatement l’équation ba + a2 = z2 et la solution

79 D’où, la construction de la figure 3, avec b = AB ; z = CD ; a = DE.

  • 16 Ibid., p. 429-430.

80Renaldini s’attaque ensuite aux problèmes de degré supérieur au second. Il donne, entre autres, l’exemple concernant le lien entre les équations du troisième degré relatives au « cas irréductible » et à la trisection de l’angle16. Ce problème est dû, comme on le sait, à François Viète. Renaldini étudie le cas où l’équation est de la forme

81 a 3 – 3b2a = b2d

82En posant CE = d et CD = b, on a, comme le montre Viète, CA = a ; le triangle ABC est isocèle par construction, donc AB = CD et l’angle à la base est égal à la troisième partie de l’angle à la base du triangle isocèle CDE construit à partir des données initiales (figure 4).

  • 17 « Quadrato dato et uno latere producto, aptare sub exteriori angulo rectam magnitudine datam, quæ q (...)

83 Dans le chapitre IX, Renaldini aborde un problème classique bien connu – le Problème d’Heraclite – qui consiste à insérer entre le prolongement du côté d’un carré et un autre côté de ce même carré un segment de longueur donnée dont le prolongement passe par un sommet donné du carré17 (figure 5).

  • 18 « Datum sit quadratum AD – écrit Renaldini – et rectam quæpiam K, oporteat latus AC producere ad E (...)

84Le problème est résolu par la méthode géométrique dans le livre de Pappus18 – qui attribue cette solution à Héraclite, d’où le nom du problème – et par la méthode algébrique par Descartes et Newton. Puisque Renaldini le résout de plusieurs manières, s’attribuant par ailleurs le mérite de solutions originales, il n’est peut-être pas sans intérêt de confronter les solutions trouvées par Renaldini avec les solutions classiques.

85Renaldini reprend tout d’abord l’équation établie par Descartes. En posant AC = b ; EF = c ; DF = a, on a :

86 a4 – 2ba3 + (2 b2 – c2) a2 – 2 b3 a + b4 = 0

87La solution, qui n’est pas immédiate, de cette équation, s’écrit :

  • 19 Ibid., p. 431.

88Avec quelques raisons, dont je dirai un mot dans la suite de ma communication, Renaldini remarque que haec tamen resolutionis ratio per viam admodum salebrosam conducit quam calcavit Cartesius (Cependant cette méthode de résolution par une voie particulièrement difficile, emprunte celle qu’a parcourue Descartes)19.

89Pour comprendre la solution du mathématicien italien, il faut avoir à l’esprit sa solution d’un lemme déjà présent chez Pappus. Avec les notations de la figure 5, on a :

90 DG2 = CD2 + FE2

91À partir de ce lemme, la solution est immédiate : c’est celle d’Héraclite. On construit l’hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés sont les segments donnés CD, FE. On prolonge le côté BD de la longueur DG égale à la longueur de cette hypoténuse. Le cercle de diamètre BG rencontrera alors le prolongement de AC en E, qui est le point cherché. Sur la base de cette solution, Renaldini construit les siennes, qui sont des solutions « alternatives » à celle de Descartes. En fait, la première est identique à celle-ci, à ceci près qu’elle prend comme inconnue CF au lieu de FD, ce qui, à vrai dire, n’apporte strictement rien.

  • 20 Ibid., p. 432.

92La deuxième solution de Renaldini20 est, en revanche, assez intéressante, car elle est calquée sur la solution géométrique indiquée ci-dessus, tout juste habillée, si l’on peut dire, d’un langage algébrique. D’après la figure 5, on établit immédiatement les égalités suivantes :

93 EH 2 + HG2 + FE2 = FE2 + EG2 = FG2 = FD2 + DG2.

94En langage algébrique, en remarquant que HG est égal à FD et en prenant comme inconnue a = DG, on a :

95b2+ c2 = a2,

96d’où une solution immédiate, beaucoup plus simple que celle de Descartes.

97Ici je voudrais faire quelques remarques, qui renvoient à ce que j’indiquais au début de cet article. Il est évident que la deuxième solution proposée par Renaldini n’est qu’un habillage algébrique du lemme énoncé ci-dessus. Dans ce cas précis, l’algèbre n’offre rien à la géométrie. Tout au plus l’ensemble de la démonstration permet de revendiquer une plus grande simplicité des méthodes géométriques par rapport aux algébriques. Mais on ne peut certes affirmer que la solution proposée par Renaldini soit « nouvelle ». Il est tout à fait évident que Descartes la connaissait parfaitement, et qu’il se rendait compte de sa plus grande simplicité apparente. Voici, d’ailleurs, ce qu’il écrivait à ce propos :

  • 21 La Géométrie, livre III, AT. VI, p. 463.

« Que si on posait BF ou CE ou BE pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait beaucoup plus aisée à démêler ; & on y viendrait assez aisément, au lieu que, si c’était DG qu’on supposa, on viendrait beaucoup plus difficilement à l’équation, mais aussi elle serait très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n’est point solide, si en le cherchant par un chemin, on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple, en le cherchant par un autre21. »

98Ce que Descartes a voulu signaler, c’est justement l’essence de sa méthode, qui consiste à choisir les solutions algébriques non certes en raison de leur simplicité, mais de leur validité méthodologique. Aujourd’hui nous dirions qu’elles sont plus algorithmiques. La méthode cartésienne consiste à prendre comme point de départ de la démonstration la relation la plus évidente entre les données et les questions, et à la mettre en équation. Ainsi, les difficultés sont transférées vers une machinerie algébrique lourde, certes, mais fondée sur une méthode générale particulièrement efficace. Dans notre cas, l’inconnue la plus évidente pour Descartes est FD, car elle est liée de manière directe et naturelle aux données. Ce choix conduit, certes, à une équation complexe. Mais le choix de DG comme inconnue, bien que conduisant à une équation assez simple, est « non naturel », puisqu’il repose uniquement sur la fantaisie géométrique, échappant à toute analyse de type méthodique et algorithmique.

  • 22 Cf. Brigaglia A., op. cit.

99Renaldini n’a pas compris, me semble-t-il, la signification exacte de l’innovation cartésienne. D’ailleurs, il n’est pas le seul dans ce cas, et se retrouve en bonne compagnie avec Schooten lui-même, et avec la plus grande partie de ses contemporains travaillant tous, plus ou moins, à l’amélioration des solutions proposées par Descartes, ne se rendant pas compte du caractère général et génial de sa méthode. Tout autres seront les critiques de Newton, qui va essayer de surmonter le machinisme excessif de l’appareillage algébrique cartésien en le dotant d’une analyse géométrique plus attentive, aussi méthodique, d’ailleurs, que celle de Descartes. Dans le cas spécifique du problème que nous venons d’examiner, Newton exploite jusqu’au bout les symétries du problème et choisit comme inconnue le segment BM (avec M point milieu du segment EF). Il parvient ainsi à formuler sa regula fratrum bien connue22.

100 En conclusion, on peut affirmer que, dans le panorama italien de la deuxième moitié du XVIIe siècle, Renaldini apparaît comme un mathématicien original en raison, justement, de sa prédilection pour les méthodes algébriques. II saisit certains aspects importants de la méthode cartésienne, notamment l’usage de l’unité de mesure pour ramener toute grandeur a des segments, mais reste assez éloigné de l’essence même de la nouvelle géométrie. On remarquera à ce propos que, dans son Geometra promotus publié en 1670, Renaldini a compris qu’une courbe peut être définie par son équation – c’est ainsi, en effet, qu’il introduit ses courbes médicéennes – mais n’a pas une vision claire de la possibilité de représenter graphiquement la courbe elle-même par une équation. Ainsi, les dessins de ses courbes médicéennes sont tout à fait approximatifs. En fait, il est constamment pris dans de telles contradictions.

101Son oeuvre ressemble plutôt à un catalogue de problèmes et d’exemples intéressants, qu’au traité systématique et méthodologique qu’il croit avoir réalisé. Peut-etre aurait-elle joué un rôle important du point de vue didactique dans un milieu davantage ouvert aux nouveaux langages des mathématiques. Mais Carlo Renaldini manquait de la dimension culturelle indispensable aux défenseurs de toute tendance nouvelle. Aussi, il reste le représentant typique d’un milieu arriéré et marginal.

Notes

1 On trouvera des éléments de biographie concernant Rinaldini in Petti R., L’algebra di Carlo Rinaldini, con appendice di lettere inedite, thèse de doctorat sous la direction de E. Giusti, Firenze, 1994. Parmi les lettres de et à Renaldini, il y a celles échangées avec Vincenzio Viviani.

2 Une liste des œuvres manuscrites de Rinaldini est publiée in « Pepe L., Carlo Renaldini e la geometria cartesiana », Atti del Convegno « Il pensiero matematico nella ricerca storica italiana », Ancona, 1992.

3 Cf. Schooten van Frans, Geometria a Renato Des Cartes, 2 vol., 1659-1661. L’ouvrage contient des appendices dues à trois disciples de van Schooten : Jan de Witt, Johan Hudde et Hendrick van Heuraet ; Wallis J., De Sectionibus conicis nova methodo expositis Tractatus, Oxonii, L. Lichfield, 1655.

4 Cf. Giusti E., Euclides Reformatus, Bollati Boringhieri, Torino, 1993.

5 Comme on le sait, le livre VII des collections de Pappus était formé, dans l’ordre, du livre des Données d’Euclide ; des deux livres de la Section de rapport, des deux livres de la Section d’aire, des deux livres de la Section déterminée et, enfin, des deux livres des Contacts, tous d’Apollonius ; il y avait ensuite les trois livres des Porismes d’Euclide, les deux livres des Inclinaisons, les deux des Lieux plans et les huit des coniques, tous d’Apollonius ; il y avait enfin les cinq livres des Lieux solides d’Aristée, les deux livres des Lieux à la surface, d’Euclide, les deux livres des Médiétés, d’Eratosthène. Signalons qu’aucune des encyclopédies françaises du XXe siècle les plus importantes ne mentionne le nom d’Aristée. Seule La Grande Encyclopédie, H. Lamirault & C. Éditeurs, Paris, 1885-1902, en 31 volumes, le mentionne au tome III : « Nom donné par Pappus à un mathématicien qui aurait vécu à Alexandrie en même temps qu’Euclide […] » (n. du t.).

6 Sur l’analyse géométrique au XVIe siècle, cf. Freguglia P., Ars analytica, Busto Arsizio, Bramante, 1988.

7 Cf. Brigaglia A., « Rapporti tra algebra e geometria ; problemi storici e problemi metodologici », in Materiali del Convegno Per una storia dell’algebra, Quaderni Pristem, Milano 1994, et Bos H., « Arguments on motivation in the rise and decline of a mathematical theory : the “Construction of equations” », in Archive for the History of Exact Science, 1984, 30, 331-380.

8 Pour les ouvrages de Renaldini publiés avant le De Resolutione et compositione libri duo, Patavii, impensis hæredum Frambotti 1668 – c’est-à-dire l’Opus algebricum (1644), l’Opus Mathematicum (1655) et l’Ars analytica, pars I (1665) – cf. Petti R., op. cit.

9 Cf. « De Loco resoluto », p. 2, in De Resolutione […], op. cit.

10 Renaldini C., De Resolutione et compositione, op. cit., p. 324-326.

11 Ibid., p. 79-80.

12 Ibid., p. 399.

13 Ibid., p. 404.

14 Ce tableau est équivalent à celui publié par Renaldini, ibid., p. 406.

15 Ibid., p. 409.

16 Ibid., p. 429-430.

17 « Quadrato dato et uno latere producto, aptare sub exteriori angulo rectam magnitudine datam, quæ quidem ad oppositum angulum pertingat », cf. Renaldini, op. cit., Lib. II, p. 430.

18 « Datum sit quadratum AD – écrit Renaldini – et rectam quæpiam K, oporteat latus AC producere ad E usque, ita ut ducta ab E versus B, cuiusmodi est EF sit æqualis rectæ K. Pappus aggressus huius problematis resolutionem eam effectionem adinvenit, […] adeo ut producere debeamus BD in G et facere DG æqualem rectæ, quæ potest aggregatum quadratorum, quorum unum est BC, nempe ex BD, aliud ex K ; protracto enim latere AC, donec occurret peripheriæ in E, & ducta EB, interceptum segmentum EF æquabitur k ; & problemati satisfacit » ; cf. Renaldini, op. cit., p. 431.

19 Ibid., p. 431.

20 Ibid., p. 432.

21 La Géométrie, livre III, AT. VI, p. 463.

22 Cf. Brigaglia A., op. cit.

Auteur

Université de Palerme, enseignant.

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