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Géométrie, atomisme et vide dans l’école de Galilée

Les indivisibles de Roberval, une « petite différence » de doctrine, une moisson de résultats

Vincent Jullien

Texte intégral

Chronologie

  • 1 Il est publié dans le recueil Divers ouvrages de Monsieur Personnier de Roberval, Paris, Imprimerie (...)

1Cavalieri publie sa Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota en 1635. Roberval a écrit un Traité des indivisibles qui ne fut publié qu’en 1693 mais qui est attesté lors du premier inventaire post-mortem de ses papiers en 16761.

2Nous manquons des données historiques qui permettraient de savoir quand Roberval a rédigé son traité et, en l’état actuel des choses, nous ne pouvons que relever les points suivants.

  • 2 Lettre de Gilles Personne de Roberval, de Paris à Evangelista Torricelli, à Florence, juin 1647, pa (...)

31) Le témoignage explicite de Roberval lui-même : dans sa dernière lettre à Torricelli (que ce dernier ne lut pas puisqu’il était mort entre-temps) en 1647, voici comme il décrit les conditions d’élaboration de cet ouvrage2.

  • 3 Ceci nous mène en 1628, Roberval est un jeune homme de 26 ans.
  • 4 Cette généralisation aux angles exclut nécessairement que la doctrine robervalienne soit, en quelqu (...)
  • 5 Voilà qui est encore plus surprenant : les nombres sont annoncés eux aussi comme constitués d’indiv (...)

« Venons-en maintenant aux indivisibles, puisque je dis qu’ils sont pour quelque chose. Le très illustre Cavalieri les a-t-il inventés avant nous, je l’ignore. Je sais pourtant ceci : cinq ans avant qu’il ne l’ai dévoilée, cette doctrine m’a été utile dans la résolution complète de ces difficiles propositions.
Mais ne t’inquiète pas, je ne retirerai pas l’invention d’une si sublime doctrine à un tel homme. Je ne le puis, et ne le ferais pas si je le pouvais. Celui-ci l’a divulguée le premier, de ce fait, il l’a faite sienne. Qu’il en dispose donc et qu’il en prenne possession ; qu’enfin il jouisse du titre d’inventeur.
Fasse le ciel que dans l’avenir, ce que je n’ai point fait avant, je ne me charge pas de la fonction d’intermédiaire ridicule dans une telle affaire ; d’autant que je n’ai même pas divulgué cette doctrine parmi mes amis, doctrine que je n’avais pas décidé de rendre publique, par amour-propre de jeune homme3. Car j’espérais, entre-temps, atteindre facilement la renommée par ma doctrine, en résolvant des problèmes assez difficiles que je soumettais publiquement, chaque jour, à l’aide d’un pareil outil.
Et, assurément, je n’ai pas été déçu.
En effet, après que j’ai mis au point cette théorie, animé d’une ardeur intense, et que je l’ai étendue aux points, aux lignes, aux surfaces, aux angles4, aux solides, enfin aussi aux nombres5, il ne fut pas difficile d’obtenir de quoi réjouir mes amis et confondre mes rivaux.
Je triomphais donc un peu trop comme un gamin et taisais d’autant la doctrine elle-même, digne ainsi de ce qu’en dit le poète : “Il ne voit pas du tout quels sont les vents qui le portent.”
Moi qui, après avoir trouvé un filon, en exhibais quelques pépites que j’y avais recueillies, de façon à passer pour quelqu’un de riche et d’heureux ; pendant ce temps un autre fait voir le même filon qu’il a aussi découvert et, sous les applaudissements de tous, le met dans le domaine public. Si bien que dès lors, je risque d’être objet de risée en affirmant aussi l’avoir trouvé. »

  • 6 Cavendish à J. Pell, Manuscrit, Londres, BL, Add. Ms. 4278. Les relations entre Roberval et les mil (...)

42) Cette réclamation n’est pas adressée à Torricelli seulement. En effet, Cavendish écrit le 7 décembre 1646 à John Pell : « Roberval dit avoir établi sa méthode avant la publication par Cavalieri […] il est très habile dans l’usage de cette méthode6. »

5Il est exact que plusieurs textes des années trente témoignent de l’usage par Roberval des indivisibles :

  • le texte De trochoïde ejusque spatio utilise largement une méthode d’indivisibles et certains des résultats qu’il contient étaient établis en 1634-357 ;
  • Roberval écrit, en 1636, un Fragment sur la superficie et le solide de révolution d’une courbe générale. Traitement par la méthode des indivisibles8.
  • 9 F. de Gandt écrit ainsi : « Cavalieri n’est pas le seul inventeur des indivisibles, et l’on aurait (...)

6La lettre de Roberval est une pièce de plus dans une controverse possible sur la paternité de la – ou plutôt des – méthodes d’indivisibles. Si le fondateur reconnu, y compris par Roberval, est bien Cavalieri, il n’est pas sûr que ce soient ses idées, sa méthode et ses textes qui aient vraiment nourri les travaux et résultats des divers tenants de la « méthode des indivisibles », ni qu’ils aient été les mieux connus et les plus lus9.

  • 10 Descartes, Lettre à Mersenne du 27 mai 1638, A. T., Correspondance, II, p. 135-137. Descartes suggè (...)

7Des méthodes variées, par indivisibles étaient connues et utilisées par des mathématiciens non italiens, sans doute depuis les travaux de Kepler. On pense à Grégoire de Saint-Vincent mais aussi à Descartes qui réalise une quadrature de cycloïde à l’aide d’indivisibles hétérogènes en 163810.

8Ce que l’on va voir est que la modification de doctrine est parfaitement consciente chez Roberval.

La nature des traités

9Si le traité de Cavalieri n’expose pas – surtout – des résultats nouveaux c’est qu’il s’agit en principe de donner et de justifier les règles de la nouvelle doctrine géométrique. Le moyen est notamment de montrer la concordance entre les démonstrations par indivisibles et celles qu’établit la géométrie des Anciens.

  • 11 La seule étude systématique que je connaisse sur le Traité des indivisibles de Roberval est due à E (...)

10Le traité de Roberval est essentiellement constitué d’une masse de résultats très pointus, voire absolument nouveaux11. La justification doctrinale n’occupe que les deux premières pages.

11La version publiée en 1693 est en 55 pages, organisées en seize chapitres, chacun contenant plusieurs démonstrations (jusqu’à sept ou huit). En voici la liste :

  • 12 Le dernier groupe de résultats, concernant les courbes robervaliennes, n’a pas de titre (ce qui sem (...)

« Explication de la roulette – Proportion de la circonférence du cercle à son diamètre – Figure courbe égale au quarré – De la parabole – De la conchoïde – Des anneaux – De l’hyperbole – Proportion de la sphère ou sphéroïde, ou de leurs portions, au cylindre circonscrit, et au cône inscrit – De la conchoïde – Tracer sur un cylindre droit un espace égal à un quarré donné et ce d’un seul trait de compas – Tracer sur un cylindre droit un espace égal à la superficie d’un cylindre oblique donné et ce d’un seul trait de compas – Du solide de la roulette – Proportions des solides – Trouver le centre de gravité de la ligne AGEC – Centre de gravité du conoïde parabolique – [Les courbes robervaliennes]12. »

Homogènes contre hétérogènes, une claire opposition

  • 13 Voir par exemple E. Festa, « Aspects de la controverse sur les indivisibles », in Geometria e atomi (...)
  • 14 Sur les positions de Bradwardine, Walter Chatton et Henry of Barclay, cf. J. E. Murdoch, « Infinity (...)

12La composition du continu par agrégat d’indivisibles de dimension inférieure, proposée par Cavalieri – dans le domaine de la géométrie – a suscité des difficultés et des débats dont l’analyse est en cours, depuis longtemps et sans doute encore pour longtemps13. On sait que la tradition médiévale avait déjà examiné les deux hypothèses : celle des indivisibles de même espèce que la grandeur qu’ils composent et indivisibles d’une dimension immédiatement inférieure14

13Sur cette question, la pensée de Roberval s’oppose en principe tout à fait à celle de Cavalieri, et ceci de manière explicite. Outre le début du traité sur lequel nous reviendrons, il faut mentionner deux autres documents dans lesquels il expose la doctrine :

  • 15 B. N. Folio 358, Mss.fr. 9119. A. Gabbay penche pour cette date.

141) La quadrature de la parabole, écrit vraisemblablement vers 164215, dans lequel il donne la proposition suivante comme principe de la doctrine :

« Méthode pour réduire les démonstrations par les indivisibles à celles des anciens géomètres, par circonscrites et inscrites.
Lemme général.
S’il y a une vraie raison de R à S et deux quantités A et B telles que pour une petite quantité ajoutée à A alors la somme A à B une plus grande raison que R à S ; et pour une petite quantité retranchée à A, le reste A à B une plus petite raison que R à S ; alors je dis que A est à B comme R à S. »

  • 16 Les trois dernières propositions du livre VI des Éléments de géométrie (sur les raisons et proporti (...)
  • 17 Roberval disposait, dans sa bibliothèque privée du De centro Gravitatis de Lucas Valerio écrit en 1 (...)

15Le lemme justifie les passages à la limite des rapports obtenus avec les inscrites ou circonscrites. Il faut signaler que cette façon de penser l’égalisation des rapports est détaillée dans le long traité des Éléments de Géométrie de Roberval16. Sans doute doit-on rapprocher cette manière de penser l’identité des raisons, à la limite, des conceptions de Lucas Valerio que Roberval lisait et admirait17.

162) Dans la lettre à Torricelli déjà citée, il revient sur la question en ces termes :

  • 18 Je suppose ici qu’il s’agit des « quarrés-quarrés ».
  • 19 Il est donc bien clair que nous quittons une géométrie de la simple représentation et qu’il s’agit (...)

« Il y a cependant, entre la méthode de Cavalieri et la nôtre une petite différence. Celui-ci, en effet, considère les indivisibles de toute surface selon une infinité de lignes, les indivisibles de tout volume selon une infinité de surfaces.
C’est pourquoi, la plupart parmi les géomètres ordinaires (vulgaires ?) comme parmi les demi-savants prétentieux, qui veulent passer pour savants et qui, à défaut d’autre chose, peuvent seulement ceci, se dresser face aux œuvres des grands hommes, jaloux que ces œuvres n’aient pas été réalisées par eux. Comme si celui-là voulait que les surfaces soient réellement constituées de lignes ou les volumes de surfaces. Même si, en présence d’érudits, ceux-ci ne gagnent rien d’autre que le titre d’ignorant et de jaloux, les mêmes hommes cependant, face aux néophytes, diminuent sensiblement, par leur autorité, la renommée des savants et Cavalieri n’est pas sorti indemne de leurs mains.
Mais notre méthode, sans être à l’abri de tout reproche, évite au moins celui-ci, comparer des hétérogènes. Nous considérons en effet nos infinis ou indivisibles comme suit.
Nous concevons que la ligne est composée comme si elle était constituée de lignes infinies ou indéfinies en nombre, la surface de surfaces, le solide de solides, l’angle d’angles, le nombre indéfini d’unités indéfinies, et mieux, le plan par plan de plans par plan18 et ainsi de suite19 ; en effet chacune de ces catégories a ses propres propriétés.
De plus, en décomposant chaque figure en ses propres infinis, nous observons presque toujours une certaine égalité ou du moins un rapport connu entre la hauteur ou la largeur des parties. »

  • 20 On retrouvera les mêmes considérations chez Pascal.

17Enfin, il reconnaît qu’il lui arrivera de contrevenir à sa conception en homogènes, ce sera le fait d’abus de langage20. Il sera donc instructif d’examiner deux choses dans le Traité des indivisibles : l’exposition méthodologique du début et l’usage effectif des indivisibles dans quelques-uns des passages de l’ouvrage.

L’exposition méthodologique du début

18En une page et demie, Roberval expose quelques principes de la doctrine.

« Pour tirer des conclusions par le moyen des indivisibles, il faut supposer que toute ligne, soit droite ou courbe, se peut diviser en une infinité de parties ou petites lignes toutes égales entr’elles, ou qui suivent entr’elles telle progression que l’on voudra, comme de quarré à quarré, de cube à cube, de quarré-quarré à quarré-quarré, ou selon quelqu’autre puissance […] »

19La possibilité de partager de diverses manières la ligne de départ en petites lignes est posée : les petites lignes constituantes peuvent être égales, en progression arithmétique, en progression carrée, etc. (voir annexe p. 74)

20Le cas examiné ici est celui de la progression arithmétique qui permet d’aboutir à l’énoncé d’un résultat déjà presque classique :

« Quand toutes les petites lignes ont entr’elles pareille différence, comme est la suite des nombres 1, 2, 3, 4, 5 & c. alors elles sont toutes ensemble à la plus grande d’icelles prise autant de fois qu’il y en a de petites, comme le triangle au quarré qui a pour costé la plus grande ligne, c’est-à-sçavoir comme 1 à 2, comme on voit au triangle qui est icy, que la surface contient la moitié de l’espace que contiendroit le quarré […]. »

  • 21 Cf. Geometria…, Bologna, 2eédition, 1653, p. 170-172.
  • 22 La conception de Roberval sera reprise par Wallis. Ainsi, écrit E. Walker au terme d’une analyse pr (...)

21La quantité exprimée par l’expression toutes (ces petites lignes) ensemble peut ainsi être interprétée classiquement comme un équivalent de l’intégrale définie de la fonction identique. Le doute n’est pas permis : il s’agit de la même notion que celle qu’a proposée Cavalieri sous le nom de Omnes abscissae dans la Geometria : une ligne finie ON étant donnée, chaque point H obtenu encore par motion d’un plan détermine un segment une abscisse OH et l’on peut considérer Omnes abscissae de ON, soit la collection des segments intermédiaires21. La justification du résultat est cependant différente : géométrique-euclidienne chez l’un, arithmético-géométrique chez l’autre22.

22On se donne une ligne a. On en considère les petites parties (ou petites lignes) suivant la progression annoncée.

23On procède alors à une représentation par points des petites lignes : chaque petite différence étant représentée par un point.

24Plus le partage est fin, plus la règle annoncée est juste : en effet, l’aire du triangle associé aux points est a2/2.

25– Pour un partage grossier (en deux petites lignes), l’excès du nombre de points sur l’aire du triangle est 1/2 de celle-ci.

26L’expression discrète (nombre des points) de la somme excède de 1/2 le résultat de la « sommation continue ».

27– Pour un partage plus fin (en trois petites lignes), l’excès du nombre de points sur l’aire du triangle est 1/3 de celle-ci.

28– Pour un partage aussi fin que l’on veut (en n petites lignes), l’excès du nombre de points sur l’aire du triangle est 1/n de celle-ci, & puisqu’on voit que l’excès diminue toujours, il s’anéantira enfin dans la division indéfinie.

29Dans ces conditions, la raison 1/2 est validée.

30À cette justification inspirée de la sommation d’une série, s’en adjoint une autre, plus géométrique, fondée aussi sur l’arithmétisation du continu :

« […] ainsi ce triangle-cy qui a 4 de costé n’excède la moitié du quarré collateral, (c’est-à-dire qui a pareil costé) que de 2 qui est 1/4 de ladite moitié, ou la moitié du costé. Si le triangle avoit 5 de costé, il n’excéderoit que de 1/5 de la moitié du quarré collatéral : s’il en a 6, il n’excédera que de 1/6, & ainsi de suite. »

31La ligne commune aux carrés colatéraux exprime le double de l’excès. Plus le partage est fin, plus la ligne commune est pour une petite part dans le nombre de points du carré total : 1/n qui s’anéantit.

32La méthode est réutilisée sur le même mode quand les petites lignes suivent entr’elles l’ordre des quarrés pour obtenir une expression de La somme de toutes ces lignes. Là encore, et toujours sur un mode strictement géométrique, Cavalieri propose une collection équivalente aux sommations de Roberval : il considère Omnia quadrata abscissarum d’une ligne donnée.

33Cet exposé s’appuie donc sur l’assimilation des petites lignes à des points chargés de les représenter. On pourrait trouver cela d’autant plus paradoxal que Roberval insiste sur la nature en homogène de ses indivisibles.

  • 23 Voir notamment les preuves par les nombres dans son Hydrostatique, prop. XI, Exemple IV, in The Pri (...)
  • 24 Carl Boyer, The History of the Calculas, Dover, réédition, 1989, p. 142-143 : « The great French ma (...)

34En fait, si les indivisibles sont bien des homogènes, les algorithmes disponibles exigent que l’on somme des quantités discrètes. Il faut donc – pour les besoin du calcul – identifier fictivement les petites lignes à des points. Cette méthode n’est pas strictement caractéristique de Roberval. Peu avant lui, Simon Stevin23 a eu recours à des considérations assez proches. Cette association entre nombres et grandeurs géométriques se reconnaissait déjà les Anciens (chez Nicomaque24 notamment). Par ailleurs, la lecture de John Wallis ne peut que se trouver éclairée par de tels passages qui semblent pour le moins annoncer les méthodes d’indivisibles qu’il fera siennes.

35En une phrase, l’assimilation est donc légitimée.

« Or d’autant que toute ligne se termine par des points, au lieu de lignes on se servira de points ; & puis au lieu de dire que toutes les petites lignes sont à telle chose en certaine raison, on dira que tous ces points sont à telle chose en ladite raison. »

36Il faut donc accepter qu’à partir du moment où il est bien clair que les petites parties ne constituent pas réellement des figures hétérogènes, elles peuvent bien les représenter. Il s’agit d’une manière de dire, ou plutôt d’une manière de calculer. Et Roberval d’ajouter son nom à la liste de ceux qui – à peu près en même temps – établirent les équivalents de l’intégrale définie des puissances entières positives de x (Cavalieri, Torricelli, Fermat, Grégoire de Saint-Vincent…).

37Ces résultats fondamentaux sont réutilisés tels que dans le cours du traité où n’est plus mobilisé l’outil arithmétique qui aura donc fonctionné comme argument justificateur.

Analyse d’exemples d’utilisation des indivisibles dans le traité

38Nous ne présentons pas ici les démonstrations complètes des propositions examinées ; nous voulons seulement repérer, dans le cours de quelques-unes de celles-ci, quel type d’indivisibles est à l’œuvre et comment ils sont utilisés.

Explication de la roulette

  • 25 Traité des Indivisibles, p. 191-193.

39C’est le premier ensemble de résultats du traité25. On y trouve la quadrature de la cycloïde, à l’aide de sa compagne, c’est-à-dire d’une courbe de sinus.

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  • 26 La forme de la courbe et sa construction furent établis en 1634 par Roberval.

40Le diamètre AB subit deux mouvements composés26 et cette « course » est d’abord divisée en une infinité de parties égales :

« Or cette course du diamètre se divise en parties infinies & égales tant entr’elles qu’à chaque partie de la circonférence AGB, laquelle se divise aussi en parties infinies toutes égales entr’elles & aux parties de AC. »

41Roberval met donc en évidence deux courbes associées : A ; 1 ; 2 ; 3 ; 4… D (la sinusoïde) et A ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12… D (la roulette).

« Or ces deux lignes enferment un espace, estant séparées l’une de l’autre par tous les sinus, & se rejoignant ensemble aux deux extrémitez AD. »

42Le problème est rapidement ramené à la comparaison de cet espace avec le demi-cercle générateur.

43Cet espace plan existe du fait de la séparation due à tous les sinus. Voici une première manière de dire ; cependant le raisonnement ne se fera pas à partir de ces lignes sinus, mais de parties dont on va voir qu’elles sont des surfaces. Voici ce qu’en dit l’auteur :

« Or chaque partie contenue entre ces deux lignes est égale à chaque partie de l’aire du cercle AEB contenue dans la circonférence d’iceluy. »

44Il s’agit d’établir une égalité entre deux surfaces. Ce n’est pas par une égalité ligne à ligne (sinus à sinus) que se fait la quadrature. Elle sera établie par égalité une à une des parties qui constituent les indivisibles de ces surfaces. Il poursuit :

« car les unes & les autres sont composées de lignes égales, sçavoir de la hauteur A1, A2, & c. & des sinus E1, F2, & c. qui sont les mesmes que ceux des diamètres M, N, O, & c. »

45Le vocabulaire peut sembler trompeur, à cause des termes composées de lignes égales. Ici, la composition est clairement d’une autre nature que celle d’une surface par indivisibles en ligne, ce qui serait plus conforme à la doctrine cavaliérienne. La composition à l’œuvre ici constitue de petites trapèzes : la hauteur A1 A2 est composée avec les bases (sinus) El, F2, ce qui définit le trapèze A1 A2 F E. Les trapèzes de la première surface (le demi-cercle) ont même hauteur et même bases que les trapèzes de la seconde surface (entre la cycloïde et sa compagne). La conséquence est immédiate :

« ainsi la figure A4D12 est égale au demi-cercle AHB. »

46La sommation se fait à ce moment ; c’est une sommation de petits trapèzes. Les indivisibles qui servent sont alors des homogènes et on en vient à la conclusion :

« Or la ligne A123D divise le parallelogramme ABCD en deux également, parce que les lignes d’une moitié sont égales aux lignes de l’autre moitié, & la ligne AC à la ligne BD… »

  • 27 Dans son étude (voir supra note 11), E. Walker considère ce passage comme l’un des plus probants : (...)

47S’il est un endroit où des indivisibles hétérogènes sont peut-être présents, il se situe là. Par raison de symétrie entre des lignes, prises une à une, Roberval admet l’égalité des aires. Plus cavaliérienne est donc cette dernière phrase qui prouve la symétrie des deux parties du rectangle total séparées par la sinusoïde. Remarquons seulement qu’il s’agit d’un résultat géométrique général. Ceci accepté, Roberval donne l’aire de l’arc de cycloïde égal à trois fois la moitié de l’aire du cercle générateur27.

De la circonférence du cercle à son diamètre

  • 28 Comme le signale Margaret E. Baron, « Il réussit à déduire une proposition générale formellement éq (...)

48Ce paragraphe va établir la quadrature de la courbe des sinus. Outre l’intérêt intrinsèque majeur de ce résultat28, il faut remarquer des manipulations de raisons et de proportions étranges pour un euclidien orthodoxe comme Roberval. Nous les observerons dans le cours du raisonnement. On peut déjà annoncer qu’il n’est pas explicitement question, dans cette démonstration, d’indivisibles en homogènes : les aires sont bien constituées de lignes.

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49La figure étant donnée,

« Je dis que la ligne EF est à la circonférence CD comme tous les sinus ensemble […] sont à autant de sinus totaux ou demi-diamètres ».

  • 29 Résultat donné par Roberval au paragraphe suivant.

50Signalons que ce résultat permet immédiatement de montrer, par exemple, que l’aire comprise sous un demi-arc de sinusoïde est égale au carré ayant pour côté le rayon correspondant à la sinusoïde29.

  • 30 Traité..., p. 193.

51Considérons les triangles semblables CE2, OVE, GV3, PX3… TF7. Les deux lignes « extrêmes » EN et DF ne sont pas employées pour former ces triangles, mais – écrit Roberval – celà n’importe à cause de la division infinie dans laquelle nul fini ne porte préjudice30. En l’occurence, la grandeur constituée par toutes les lignes sinus demeure identique, avec ou sans ces deux lignes extrêmes. Tous ces triangles élémentaires sont par ailleurs semblables au triangle B8A ayant le diamètre pour hypoténuse et pour lequel l’arc A8 a été fait égal aux divisions infiniment petites comme CG.

  • 31 Voir ci-dessus, p. 58.
  • 32 Leibniz, Responsio ad difficultates, juillet 1695, in Parmentier, La Naissance du calcul différenti (...)

52Le rapport B8 à l’arc infinitésimal A8 est assimilé au rapport du diamètre à l’arc élémentaire A8. Sur ce point, deux observations sont utiles. Premièrement, l’identification de ces raisons correspond exactement à la méthode annoncée dans le lemme général placé au début de la quadrature de la parabole31 ; deuxièmement, cette situation est l’un des modèles justificatifs employés dans les débats entre « infinitistes » et adversaires ; il sera notamment repris et exploité par Leibniz lors de sa discussion avec Nieuwentijt32.

53On dispose donc d’une série d’identités de raisons :

« CE est à E2 comme OV à V2 comme GV à V3 comme PX à X3… comme TF à F7, toutes ces raisons étant par ailleurs identiques à celle du diamètre B8 à l’arc élémentaire CG. »

54Roberval va alors considérer tous les antécédents pris ensemble d’une part et tous les conséquents pris ensemble d’autre part, ce qui lui donne tous les double sinus CN et autres et la ligne EF.

55Voici qui est doublement curieux. Prendre tous les double sinus, pour considérer une aire, c’est manipuler des indivisibles hétérogènes ; prendre dans le même calcul la succession des lignes élémentaires comme E2, 2V… pour considérer la ligne EF n’aurait rien de singulier, si les deux grandeurs ainsi constituées n’étaient pas mises en rapport ! En effet, à partir de là, c’est bien la raison de tous les sinus à la ligne EF qui va être évaluée. Roberval a-t-il dépassé la contrainte de l’homogénéité des dimensions puisque l’antécédent est une aire alors que le conséquent est une ligne ? La suite du calcul se déroule comme si tel était le cas.

56On a ainsi l’identité :

« tous les sinus sont à EF comme le demi-diamètre est à l’arc élémentaire CG. »

57Il s’agit maintenant d’exploiter ce second rapport en considérant autant de demi-diamètres ou sinus totaux (qu’il y a de sinus) et toutes les parties égales à CG depuis C jusques en D.

58On obtient alors l’identité :

« tous les sinus sont à EF comme autant de demi-diamètres sont à la circonférence CD. »

59Voici donc une proportion entre quatre grandeurs qui sont deux à deux hétérogènes (aire à ligne). Enfin, en changeant, on obtient la proportion finale (en homogènes cette fois) :

« tous les sinus sont à autant de demi-diamètres : comme EF à la circonférence CD. »

De la conchoïde

  • 33 P. 198 à 200 du Traité des indivisibles.

60Il s’agit de réussir la quadrature de la conchoïde circulaire33.

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61Dans la mise en place du problème, les indivisibles sont explicitement donnés comme homogènes :

« Le cercle CGBR divisé (selon la règle des indivisibles) en parties infinies égales...
Ces lignes qui divisent la circonférence du cercle […] divisent tant la conchoïde que le cercle en triangles semblables, lesquels, par la force des indivisibles se convertissent et deviennent secteurs, et sont l’un à l’autre comme quarré à quarré (quoique dans le fini il y ait quelque chose à dire). Ainsi le secteur C12 est au secteur CBD ou CBV son égal comme le quarré de Cl au quarré de CB… »

62Il est clair qu’encore une fois la doctrine des indivisibles est très fortement animée par des passages à la limite qui permettent d’assimiler des petites portions de conchoïdes à des secteurs et donc de travailler sur des figures circonscrites.

63Il n’y a en effet aucun recours ici aux indivisibles en lignes pour faire une surface. La figure considérée est constituée de petites tranches déterminées par des variations infinitésimales de l’angle élémentaire.

64On doit noter que la sommation n’est pas directe, mais se fait par établissement d’une proportion :

« L’aire de la conchoïde est à aire du cercle générateur comme l’aire du cercle générateur plus l’aire du cercle auxiliaire est à l’aire du cercle genérateur »,

65donc :

« l’aire de la conchoïde est égale à l’aire du cercle genérateur plus l’aire du cercle auxiliaire. »

66Roberval utilise le passage à la limite sur des raisons comme il l’a annoncé dans le Lemme général.

Les lignes cyclo-cylindriques

  • 34 P. 213-230.

67Dans un long passage du Traité34, Roberval résout deux problèmes :

  • 35 Ce problème est débattu parmi les géomètres français depuis au moins 1638 : Lettre de Fermat à Mers (...)

« Tracer sur un cylindre droit un espace égal à un quarré donné et ce d’un seul trait de compas, puis tracer sur un cylindre droit un espace égal à la superficie d’un cylindre oblique donné et ce d’un seul trait de compas35. »

68Nous ne reprenons pas l’ensemble de la démonstration ; observons seulement que la solution associe la cyclo-cylindrique à la compagne de la cycloïde et requiert les résultats qui ont servi dans le calcul de l’aire de la courbe sinusoïdale (voir ci-dessus), et aussi que ce problème de quadrature concerne des figures de géométrie dans l’espace. Dans la démonstration, Roberval propose de mettre en correspondance ces sinus avec les lignes tracées le long du cylindre ; ils sont donnés en correspondance ligne à ligne :

« Les sinus EG, EH & c. sont égaux aux perpendiculaires élevées des points G, H & c. »

69Méthode confirmée par une note de bas de page, de Roberval :

« Il faut entendre icy que la figure ABC est faite de toutes les perpendiculaires élevées sur les points 2, 3, 4 & c. et que AB est egale à F1. »

70Doit-on comprendre que nous sommes à nouveau en indivisibles hétérogènes ? Oui et non puisque le raisonnement se poursuit selon la doctrine « officielle » de Roberval :

« Soient divisées les bases desdits cylindres oblique et droit en une infinité de parties égales, sçavoir, faisant autant de divisions sur le quart de cercle BLD que sur le demi-cercle AgT, et ce, tant aux bases supérieures qu’aux inférieures desdits cylindres ; et tirant des lignes par les points desdites divisions, on fera plusieurs parallélogrammes qu’on prendra au cylindre oblique d’une base à l’autre ; mais au cylindre droit on les prendra depuis la base inférieure jusqu’à la section faite au compas. Or lesdits parallélogrammes sont égaux en multitude en l’un et l’autre cylindre et on démontrera aussi égaux en quantité. »

71Il s’agit bien là d’indivisibles homogènes, de petits parallélogrammes qui n’ont pas la même forme mais ont la même aire. Voici donc une fois encore mêlées les deux conceptions.

Du solide de la roulette

  • 36 P. 230-232.

72Dans ce passage36, Roberval produit un groupe de démonstrations grâce auxquelles il obtient des cubatures se rapportant à la cycloïde. Il montre en effet que :

  • le volume du solide de révolution ayant pour axe la base de la roulette vaut 5/8 de celui du cylindre circonscrit ;
  • le volume du solide de révolution ayant pour axe la tangente au sommet de la roulette vaut 7/8 de celui du cylindre circonscrit ;
  • le volume du solide de révolution ayant pour axe une perpendiculaire à la base de la roulette en son extrémité vaut 3/4 de celui du cylindre circonscrit ;
  • le volume du solide de révolution généré par l’aire comprise entre la roulette et sa compagne et ayant pour axe une perpendiculaire à la base de la roulette en son extrémité vaut 1/2 de celui du cylindre circonscrit.
  • 37 La bibliographie sur la cycloïde au XVIIe siècle est considérable et il n’est pas utile, ici, d’exa (...)

73Ces résultats sont – semble-t-il – des premières et tiennent une place éminente dans le labyrinthe que constitue l’histoire de cette fameuse courbe. Pascal reviendra sur ces cubatures en 1658 lors du fameux défi qu’il lance aux géomètres européens37.

  • 38 Voir De trochoïde, p. 332, 3e proposition.

74Roberval ne donne pas le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe de symétrie de la roulette. Il s’en explique dans le texte De trochoïde38 :

«At circa solidum quod sit ex conversione trochoidis circa axem, eadem certitudo non contingit, nec potest, nisi inventa fuerit ratio diametri rotae ad ejus circumferentiam.»

75Nous nous arrêtons sur la première de ces propositions.

Image

76Le principe de ces démonstrations est le suivant : les solides de révolution sont entre eux en même raison que tous les carrés des aires génératrices. Il s’agit donc d’établir les raisons de tous ces carrés. La manière d’utiliser tous les carrés rappelle nettement les omnia quadrata de Cavalieri.

77Dans le cours de cette importante série de résultats, la méthode strictement en homogène semble battue en brèche. On peut lire au début du calcul :

« Ayant tiré la ligne QRS qui représente toutes les lignes tirées perpendiculairement de AN sur GDH. »

78Ce premier usage de toutes les lignes n’est pas en cause ; en effet, la suite montre – sans discussion possible – que cela signifie simplement que QRS représente une quelconque des lignes tirées perpendiculairement. Le calcul qui suit étant valable pour chacune de ces lignes. Il ne s’agit pas – encore – d’éléments indivisibles.

79Cependant, la suite confirme – cette fois à juste titre – que le raisonnement se fait bien selon des indivisibles en lignes. Pour établir son résultat, Roberval manipule tous les quarrez de ces lignes :

« Nous disons que le quarré de QR est égal aux quarrez de QS et SR, moins deux fois le rectangle QSR et ainsi des autres lignes tirées sur ledit quart AN. »

80Autrement dit : pour une quelconque des lignes comme QRS, on a :

« QR2 = QS2 + SR2 – 2. QS. SR »

« et de plus que le quarré VY est égal aux quarrez de VX et XY plus deux fois le rectangle VXY et ainsi des autres lignes tirées sur le second quart NC. »

81Et donc, pour une quelconque des lignes comme VXY, on a :

« VY2 = VX2 + XY2 + 2. VX. XY »
« Or les rectangles qui se trouvent dans l’espace AO sont égaux à ceux de l’espace NI. »

82Il est clair ici que les rectangles évoqués ici ne sont de véritables aires, mais des produit de lignes, c’est-à-dire qu’à chaque VX. XY correspond un QS. SR égal. Le calcul se poursuit :

« et étant de plus d’un costé, de moins de l’autre, on les ostera de part et d’autre. »

83Dans la sommation de tous les carrés QR2 et VY2, on pourra retrancher ces rectangles.

« Il restera donc que les quarrez de QR, VY et des autres lignes tirées de AC sur la ligne courbe AROYI pris tous ensemble seront égaux aux quarrez du demi-diamètre QS ou VX pris autant de fois et aux quarrez de SR, XY et autres lignes tirées de GD sur la courbe AOI pris aussi autant de fois […] »

84On aura donc, pour chacune des lignes :

« QR2 + VY2 = QS2 + SR2 + VX2 + XY2 »

  • 39 La manière dont est mené le calcul sur « les carrés », n’est pas sans évoquer la Geometria promota (...)

85Les indivisibles sont ici des lignes dont, pour les besoins du calcul on peut prendre tous les quarrez39.

86L’expression les rectangles qui se trouvent dans l’espace... pourrait passer pour typique d’une méthode en homogènes ; elle est, à l’inverse, absolument révélatrice d’un calcul en hétérogènes. Les rectangles n’étant pas ici de petites aires, mais les produits de deux lignes (par exemple QR. RS ou VX. XY) qui sont elles-même des indivisibles en ligne. On ne peut alors qu’évoquer tous les rectangles de Cavalieri.

87La suite établit le rapport 5/8 du solide de la roulette au cylindre.

Les courbes « robervaliennes »

  • 40 Lettre de Torricelli du 7 juillet 1646 : « Concipiaturque in parallelogrammo FBDE alia parabola eiu (...)

88Tel est le nom que Torricelli donne à ces courbes que Roberval lui a exposées (janvier 1646) sous le nom de quadratrices40.

89La fin du traité est consacrée à la démonstration d’un très intéressant résultat concernant ces courbes. On y trouve, en particulier, l’examen d’une situation où un espace d’aire finie a une longueur infinie. Nous allons voir qu’en cette occasion, Roberval reste – contrairement à l’exemple précédent – strictement en indivisibles homogènes.

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« Soit la ligne courbe ou circulaire BTEA divisée en une infinité de parties égales aux points V, T, F, E, D, & c. […] »

90À cette première courbe, Roberval en associe une seconde, de la façon suivante. À partir de chaque point, comme T, est menée une ligne comme TY, égale à la sous-tangente en T ; soit TY = RC.

91Une courbe COPQYZ est ainsi parfaitement déterminée. C’est celle-ci que Torricelli appellera robervalienne.

« Tout l’espace AFBC viendra à être divisé en secteurs infinis, lesquels, par les indivisibles, se convertissent en triangles, à cause que les petites portions des lignes courbes deviennent droites par la division infinie. »

92La doctrine des indivisibles est ici invoquée comme permettant l’assimilation de figures élémentaires à côtés curvilignes à des figures inscrites ou circonscrites polygonales, comme dans le passage suivant de la même démonstration.

« Je dis davantage que tout l’espace BFACQZ jusques au bout de la courbe CQZ tirée à l’infini, & qui est entre ladite courbe & la touchante B tirée aussi à l’infini, se trouve divisé en parallélogrammes infinis, l’un desquels est DOCG qui représente le moindre. C’est un parallélogramme, parce que dans les indivisibles, la touchante DG passe pour la partie de la ligne courbe DA […] »

93L’argument décisif est fourni dans le passage suivant :

« Pour venir à la conclusion, les parallélogrammes ont tous un mesme côté que les triangles, qui est chaque portion égale de la ligne courbe AEB […] tous ces triangles, dis-je, qui remplissent l’espace AFBC, partent du point C comme de leur sommet. Mais les parallélogrammes qui sont sur bases égales & entre mesmes parallèles que les triangles, sont doubles desdits triangles […] »

94Les portions indivisibles des deux figures sont mises en correspondance une à une et dans un rapport double. Chaque indivisible de BFACQZ vaut deux fois l’indivisible correspondant de AFBC.

« Puisque les parallélogrammes sont doubles des triangles, par les indivisibles, l’espace qui est occupé par lesdits parallélogrammes […] sçavoir le quadriligne ZBFACQZ sera double de l’espace AFBC. »

95Ainsi le rapport qui a été montré unum ad unum est donné pour valable omnia ad omnia. Roberval peut terminer sa démonstration :

« Mais l’espace AFBC est celuy qui est fait par les triangles ; partant il sera égal à l’autre espace compris dans ZBCQZ, les deux lignes BZ et CZ estant tirées à l’infini, ce qu’il falloit démontrer. »

96Il est donc parfaitement clair ici, que les indivisibles servent à deux choses :

  1. former deux figures circonscrites, l’une en petits triangles, l’autre en petits parallélogrammes, figures qui, à la limite, égalent les figures cherchées ;
  2. établir une règle de comparaison, élément par élément (ici du simple au double) qui sera réputée valable dans la sommation de ces petits éléments.

97Il s’agit donc d’une sommation infinie de petites tranches dont l’épaisseur tend vers zéro.

Conclusion

98Dans cette étude, nous avons examiné un des problèmes posés par le Traité des indivisibles de Roberval, à savoir, celui de l’homogénéité ou de l’hétérogénéité des indivisibles avec la figure qu’ils constituent. Il s’agit bien d’une importante question, vigoureusement disputée par les géomètres du XVIIe siècle, mais le résultat de son examen peut sembler décevant en ce sens que, si le principe de la doctrine est fermement défendu par l’auteur, son application se révèle extrêmement lâche puisque les « deux doctrines » sont mises en œuvre.

99Ceci n’est-il pas l’indice qu’il ne s’agit pas – pour Roberval – de l’essentiel ? Sans pouvoir, ici, développer tous les arguments qui seraient nécessaires, nous pensons que deux autres aspects l’emportent dans ses préoccupations et font le succès de ses démonstrations. Les indivisibles (Roberval préférait l’expression mes infinis) sont produits par des modifications élémentaires, infiniment petites d’une grandeur qui devient la variable de la grandeur à évaluer ; ainsi, même quand ils ont l’air d’être en ligne, les indivisibles sont rapportés (sont composés) avec de petites variations (d’arcs, de lignes, d’angle...) ; de plus, le ressort des démonstrations est en règle générale un travail sur la limite d’un rapport, considération absente de la méthode de Cavalieri.

100Il reste qu’une étude complète du Traité des indivisibles reste à faire qui ne soit pas exagérément modernisante puisque la simple transcription en intégrales définies des centaines de quadratures et cubatures réalisées ne permet pas de réellement comprendre quelles étaient les mathématiques effectivement prétiquées par l’auteur du Traité.

Annexe : Schémas concernant le début du traité des indivisibles

101Soit une ligne divisée en lignes d’égales différences

102On peut représenter ces différences par des points

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103Argument arithmétique

104Partage grossier :

Image

105Surface = 2 ; Nombre de points = 3 ;

Excès : Image de la surface

106Partage plus fin :

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Surface = Image ; Nombre de points = 6 ;

Excès : Image de la surface

107Partage très fin :

Image

Surface = Image ; Nombre de points =Image

Excès : Image de la surface

108Quand n tend vers l’infini, l’excès tend vers zéro.

Notes

1 Il est publié dans le recueil Divers ouvrages de Monsieur Personnier de Roberval, Paris, Imprimerie royale, 1693, p. 190-245. Signalons tout de suite que Roberval avait, dans sa propre bibliothèque, un exemplaire de la Geometrie des Indivisibles de Cavallerius ainsi que la mentionne l’inventaire des notaires rédigé à sa mort.

2 Lettre de Gilles Personne de Roberval, de Paris à Evangelista Torricelli, à Florence, juin 1647, parue en latin dans Divers ouvrages de mathématiques et de Physique par Messieurs de l’Académie Royale des Sciences, p. 284-302, Paris, 1693. La traduction que nous donnons est de M. Brossard, G. Besson et V. Jullien.

3 Ceci nous mène en 1628, Roberval est un jeune homme de 26 ans.

4 Cette généralisation aux angles exclut nécessairement que la doctrine robervalienne soit, en quelque manière, interprétable en hétérogènes et en dimension n – 1. Une telle interprétation perd tout sens si l’on veut l’appliquer aux angles.

5 Voilà qui est encore plus surprenant : les nombres sont annoncés eux aussi comme constitués d’indivisibles. On en aura quelques explications dans la suite et aussi dans le début du Traité des indivisibles.

6 Cavendish à J. Pell, Manuscrit, Londres, BL, Add. Ms. 4278. Les relations entre Roberval et les milieux anglais semblent avoir été importantes : elles sont bien établies avec J. Pell, Cavendish, Hobbes. Il a sans doute aussi été le professeur du jeune Buckingham.

7 De trochoïde ejusque spatio, publié in Divers ouvrages..., Paris, Imprimerie Royale, 1693.

8 Roberval, Manuscrit, Archives de l’Académie des Sciences, coté MPcl dans le catalogue Gabbey qui recense et classe l’ensemble des textes connus de – ou à propos de – Roberval. Ce travail, d’une remarquable utilité pour les recherches sur Roberval, n’est pas encore paru ; il s’agit d’une communication personnelle.

9 F. de Gandt écrit ainsi : « Cavalieri n’est pas le seul inventeur des indivisibles, et l’on aurait pu invoquer d’autres pionniers […] Cavalieri est ainsi considéré comme le père fondateur, mais cela ne veut nullement dire que son livre a été réellement lu et sa méthode utilisée fidèlement : l’histoire des indivisibles durant cette période est plutôt le récit d’une suite de distorsions, de contresens et de métamorphoses plus ou moins conscientes. » F. De Gandt, « L’évolution de la théorie des indivisibles », p. 104, in Geometria e atomismo nella scuola galileiana, Firenze, 1992.

10 Descartes, Lettre à Mersenne du 27 mai 1638, A. T., Correspondance, II, p. 135-137. Descartes suggère qu’il s’agit de questions extrêmement faciles et donne une présentation très claire de la méthode des indivisibles en lignes.

11 La seule étude systématique que je connaisse sur le Traité des indivisibles de Roberval est due à Evelyn Walker. Sa thèse, A Study of The Traité des Indivisibles de Roberval a été publiée sous ce titre à New York, Teachers College, Columbia University, 1932. Dans ce travail, E. Walker dresse un inventaire complet des résultats en distinguant toutes les propositions établies par Roberval et en leur donnant une interprétation moderne. On obtient ainsi une impressionnante liste d’environ deux cents intégrales simples ou doubles. Les références plus récentes au Traité des indivisibles sont – à notre connaissance – tout simplement des reprises des appréciations d’E. Walker.

12 Le dernier groupe de résultats, concernant les courbes robervaliennes, n’a pas de titre (ce qui semble être un oubli).

13 Voir par exemple E. Festa, « Aspects de la controverse sur les indivisibles », in Geometria e atomismo nella scuola galileiana, Firenze, 1992.

14 Sur les positions de Bradwardine, Walter Chatton et Henry of Barclay, cf. J. E. Murdoch, « Infinity and continuity », in N. Kretzmann et alii The Cambridge History of Lather Medieval Philosophy, Cambridge University Press, 1982, ainsi que Adam de Wodeham, Tractatus de indivisibilibus, Rega Wood (éd.), Kluwer Ac., Publ., London, 1988.

15 B. N. Folio 358, Mss.fr. 9119. A. Gabbay penche pour cette date.

16 Les trois dernières propositions du livre VI des Éléments de géométrie (sur les raisons et proportions) convergent vers ce résultat. La proposition 40 établit – par l’absurde – « Si A augmentée est plus grande que B et que A diminuée soit moindre que B, l’augmentation ou la diminution étant moindre qu’aucune grandeur donnée d’un même genre ; A sans augmentation ni diminution sera égale à B ». La 42e et dernière est ainsi rédigée : « S’il y a quatre grandeurs telles qu’il y ait raison de la première à la seconde et raison de la tierce à la quarte, ces grandeurs n’étant pas des nombres, mais telles autres qu’on voudra ; ayant pourtant raison entr’elles, comme nous venons de dire, et que pour peu que l’on augmente la première, elle ait plus grande raison à la seconde, que la tierce à la quarte ; et que pour peu qu’on diminue la première, elle ait moindre raison à la seconde que la tierce à la quarte ; il y aura même raison de la première à la seconde que de la tierce à la quarte.
Que si les quatre grandeurs sont telles que pour peu qu’on augmente la seconde, la première ait à icelle moindre raison que la tierce à la quarte, et pour peu qu’on diminue la seconde, la première ait à icelle plus grande raison que la tierce à la quarte ; il y aura encore (sans augmentation, ni diminution) même raison de la première à la seconde que de la tierce à la quarte.
Cette 42e proposition est de très grande conséquence. »
Sur ces propositions, voir V. Jullien, Éléments de géométrie de G. P. de Roberval, Mathesis, Vrin. Paris, 1996, p 342-346.

17 Roberval disposait, dans sa bibliothèque privée du De centro Gravitatis de Lucas Valerio écrit en 1604. On trouve, dans cette œuvre (Livre I, props. 39-41 et Livre II, props. 12 à 18), des énoncés proches de ceux de Roberval quant à la limite des raisons.

18 Je suppose ici qu’il s’agit des « quarrés-quarrés ».

19 Il est donc bien clair que nous quittons une géométrie de la simple représentation et qu’il s’agit d’opérations abstraites dans une perspective algorithmique et pas seulement géométrique.

20 On retrouvera les mêmes considérations chez Pascal.

21 Cf. Geometria…, Bologna, 2eédition, 1653, p. 170-172.

22 La conception de Roberval sera reprise par Wallis. Ainsi, écrit E. Walker au terme d’une analyse précise, « Wallis reprend les indivisibles de Roberval sans lui rendre hommage. Il étend la thèse de Cavalieri avec des moyens strictement robervaliens » (Tr. V. Jullien), A Study…, op. cit., p. 24-29.

23 Voir notamment les preuves par les nombres dans son Hydrostatique, prop. XI, Exemple IV, in The Principal Works of Simon Stevin, édition Struik, Sweet & Zeitlinger, 1958, I, p. 433.

24 Carl Boyer, The History of the Calculas, Dover, réédition, 1989, p. 142-143 : « The great French mathematical triumvirat of Roberval, Fermat, and Blaise Pascal combined their interest in the geometry of Archimedes with an enthousiasm for the theory of numbers, and this colored their work. As a consequence, Roberval was led to make an association between numbers and geometrical magnitudes, which resembles strongly that of the Pythagoreans, particularly that of Nicomachus. »

25 Traité des Indivisibles, p. 191-193.

26 La forme de la courbe et sa construction furent établis en 1634 par Roberval.

27 Dans son étude (voir supra note 11), E. Walker considère ce passage comme l’un des plus probants : nous sommes bien en « petites surfaces ». Ce qui est mis en correspondance biunivoque, ce ne sont pas les lignes E1-81 ou F2-92, mais bien des trapèzes EF21 et 9812. L’ensemble de ces petits trapèzes constitue une figure circonscrite à l’aire cherchée. Dans son ouvrage The Origins of Infinitesimal Calculus (Pergamon Press, 1969), Margaret E. Baron, qui semble n’avoir pas eu connaissance de la thèse d’E. Walker, voit dans ce passage un usage d’indivisibles en ligne. Je crois cette position indéfendable après un examen minutieux du texte et des notations.

28 Comme le signale Margaret E. Baron, « Il réussit à déduire une proposition générale formellement équivalente à Image asinx.dx = a2 (cos p – cos q). The Origins of Infinitesimal Calculas, Pergamon Press, 1969, p. 160.

29 Résultat donné par Roberval au paragraphe suivant.

30 Traité..., p. 193.

31 Voir ci-dessus, p. 58.

32 Leibniz, Responsio ad difficultates, juillet 1695, in Parmentier, La Naissance du calcul différentiel, Vrin, Paris, 1989, p. 327-328.

33 P. 198 à 200 du Traité des indivisibles.

34 P. 213-230.

35 Ce problème est débattu parmi les géomètres français depuis au moins 1638 : Lettre de Fermat à Mersenne proposant le problème à Roberval. Solution partielle de Fermat fin 1638.

36 P. 230-232.

37 La bibliographie sur la cycloïde au XVIIe siècle est considérable et il n’est pas utile, ici, d’examiner les débats et polémiques qui mobilisèrent à peu près tous les géomètres, de Galilée à Wallis.

38 Voir De trochoïde, p. 332, 3e proposition.

39 La manière dont est mené le calcul sur « les carrés », n’est pas sans évoquer la Geometria promota de Cavalieri, en particulier au livre II, prop. XXIV, ou ses exercitationes, prop XXIV.

40 Lettre de Torricelli du 7 juillet 1646 : « Concipiaturque in parallelogrammo FBDE alia parabola eiusdem speciei, siue, quod idem est, linea Roberualliana (nova enim illa linea quam ipse excogitasti), Vir Clar…, Correspondance Mersenne », T. XIV, lettre n° 1485, p. 350.

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