Introduction : langue des disciplines au regard des langues de l’élève

1On pense souvent que les problèmes langagiers sont moins aigus en mathématiques que dans d’autres disciplines. Néanmoins, de nombreux chercheurs en didactique des mathématiques ont montré que cette idée commune doit être reconsidérée, y compris pour des élèves dont la langue d’instruction est la langue maternelle (Mathé 2006), ces difficultés pouvant être renforcées en contexte bilingue ou plurilingue (Durand-Guerrier et al. 2006, Million-Fauré 2011, Edmonds-Wathen et al. 2016, Le Pichon-Vorstman 2013).

2Par ailleurs, des études internationales conduites principalement dans des contextes où la langue d’instruction est l’anglais ont mis en évidence qu’au-delà des difficultés induites par une compétence insuffisante de la langue d’instruction, le plurilinguisme pouvait être, sous certaines conditions, un atout pour les apprentissages mathématiques (Barwell et al., 2016, p. 5-8). Les travaux concernant ces aspects sont cependant très peu développés dans l’espace mathématique francophone alors que, de par le monde, de nombreux élèves, dont la langue de communication en dehors l’école n’est pas le français, apprennent les mathématiques en français. Viviane Durand-Guerrier et Imed Ben Kilani (2004) ont mis en évidence les différences de fonctionnement grammatical de la négation entre l’arabe littéral et le français et leurs effets sur les apprentissages d’élèves tunisiens à la transition école de base / école secondaire (élèves de quinze-seize ans), étant donné que les mathématiques sont enseignées en arabe à l’école de base, et en français dans le secondaire, sans que soient prises en charge par l’institution les questions liées au changement de langue d’instruction.

3En nous appuyant sur les résultats de ces recherches, nous faisons l’hypothèse que la nécessité de questionner l’illusion de transparence du langage en classe de mathématiques devrait s’imposer lorsque l’on élabore des épreuves d’évaluation écrites en mathématiques, afin de pouvoir s’assurer que les questions langagières ne viennent pas occulter les compétences mathématiques sollicitées dans les épreuves. Nous présentons ci-dessous deux exemples issus de l’évaluation mathématiques de fin de CM2 (élèves de dix-onze ans) en France en 2013, montrant que ces questions restent relativement sous-estimées.

4Le premier exemple est un exercice classique de proportionnalité, le second est ce que l’on appelle un problème complexe. Pour chacun des deux problèmes, nous identifions tout d’abord brièvement les enjeux mathématiques, puis nous mettons en avant des aspects potentiellement problématiques du point de vue du langage et du contexte. Nous commentons ensuite les instructions et les analyses présentes dans le livre du maître. Cela constitue des éléments d’analyse a priori des exercices, que nous mettrons en perspective avec les copies d’élèves gitans recueillies lors de cette évaluation par Jérémi Sauvage et Carole Fleuret (chapitre 8) au cours de l’étude de terrain.

Un exercice classique de proportionnalité

5Il s’agit de l’exercice 10 de l’évaluation de mathématiques, qui en comporte trente-deux répartis en trois séquences. Cet exercice fait partie de la première séquence, qui en contient treize. Il comprend deux items (70 et 71) correspondant respectivement à la première et à la deuxième question.

Exercice 10

Résous le problème.

Recette du gâteau au yaourt pour 6 personnes :
– 3 pots de yaourt
– 5 pots de farine
– 2 pots de sucre en poudre
– 4 œufs

A - Quelle quantité de chaque ingrédient faut-il prévoir pour faire ce gâteau pour douze personnes ?

Fais tes calculs dans ce cadre.

Réponse :
– ……………………………….. – ………………………………..
– ……………………………….. – ………………………………..

B - Quelle quantité de chaque ingrédient faut-il prévoir pour faire ce gâteau pour 9 personnes ?

Fais tes calculs dans ce cadre.

Réponse :
– ……………………………….. – ………………………………..
– ……………………………….. – ………………………………..

(MEN/DGESCO 2013a, p. 18)

Enjeux mathématiques du problème

6Il s’agit d’un problème classique de proportionnalité à partir d’une recette, empruntée à un contexte largement répandu dans les classes de l’école primaire et pouvant renvoyer à des connaissances développées dans le cadre familial. Toutefois, les exercices de proportionnalité sont reconnus comme étant particulièrement difficiles – en particulier parce que la relation de proportionnalité met en œuvre quatre termes ou quatre grandeurs selon les contextes (Vergnaud 1991) –, et ce bien au-delà de l’école primaire (Lambrecht 2016).

7Pour résoudre le problème proposé dans l’exercice 10 présenté ci-dessus, les élèves doivent reconnaître qu’il s’agit d’une situation de proportionnalité, ce qui est un enjeu du cycle 3 de l’école primaire française. Néanmoins, comme on va le voir, dans cet exercice, les choix de variables didactiques mathématiques1 permettent de résoudre le problème sans mobiliser explicitement la relation de proportionnalité.

8Dans la première question, le nombre de personnes est doublé (le coefficient multiplicatif est l’entier 2), si bien que la quantité de chacun des ingrédients doit être doublée. Il s’agit d’une question mathématique qui devrait être maîtrisée par les élèves de ce niveau. Il est possible cependant de le résoudre sans faire appel à la multiplication, en ajoutant les quantités à elles-mêmes (ceci met en jeu la multiplication des entiers comme une addition itérée).

9Dans la deuxième question, le choix de neuf personnes correspond à un coefficient de proportionnalité de 9/6, qui par simplification donne 3/2 et dont la valeur décimale est 1,5. Mais ici encore, on peut résoudre le problème sans faire appel à la multiplication, en ajoutant la moitié de chaque quantité (on utilise ici la propriété de linéarité qui caractérise les relations de proportionnalité2). Cette procédure est souvent utilisée en acte par les élèves dans des situations d’introduction à la proportionnalité (Simard 2012).

10Dans les situations de proportionnalité, une erreur fréquente consiste à mettre en œuvre un modèle additif, ce qui ici revient à considérer que, puisque l’on passe de 6 à 9, il faut ajouter 3 à chaque quantité. On peut s’attendre à voir apparaître cette procédure, le modèle additif étant très résistant à ce niveau3 et même au-delà (Durand-Guerrier et al. 2010). Il faut noter cependant que les élèves disposent dans cette situation d’un contrôle sémantique : en effet, l’application du modèle additif conduit à passer de deux pots de sucre à cinq pots de sucre, ce qui correspond à une quantité supérieure à celle obtenue dans le cas de douze personnes (quatre pots de sucre). D’autre part, le choix des nombres à manipuler (entiers naturels inférieurs ou égaux à 12) montre que l’objectif pour les auteurs est de tester la reconnaissance de la situation de proportionnalité, et non la capacité à mettre en œuvre des calculs complexes.

Quelques commentaires sur le langage utilisé dans l’énoncé du problème

11Le vocabulaire utilisé, bien que renvoyant au langage courant, n’est pas élémentaire. On peut tout d’abord observer un phénomène de polysémie. Une recette a ici le sens de « Liste d’ingrédients avec les quantités associées ». Un autre sens du mot « recette » a pu être rencontré à l’école, ou dans la sphère familiale, par exemple dans le cas d’une activité commerciale, c’est celui de « somme récoltée lors de la vente de quelque chose ». Bien que l’on puisse penser que la confusion ne devrait pas apparaître dans ce contexte, certains travaux de recherche portant sur d’autres termes montrent qu’on ne peut pas les exclure (voir par exemple Mathé 2006 pour la polysémie des termes « arêtes » et « côtés »).

12Une seconde difficulté qui articule mathématiques et langage est liée au fait que l’on travaille avec des quantités et des mesures. D’une part, on a une quantité discrète : le nombre d’œufs (le nombre d’œufs doit nécessairement être un entier), le nombre de pots de yaourts ; d’autre part, dans la recette initiale les contenances de la farine et du sucre sont exprimées avec une unité de mesure non conventionnelle : le pot (sous-entendu le pot de yaourt vide), sous forme de nombre entiers – trois pots de farine, deux pots de sucre en poudre.

13À la lecture de l’énoncé, on peut se demander de quels pots il s’agit. Dans la pratique sociale évoquée par l’énoncé du problème, le pot de yaourt sert de mesure-étalon pour le dosage de la farine et du sucre. On peut imaginer facilement que certains élèves ne reconnaissent pas ce rôle de « mesure-étalon » attribué implicitement au pot de yaourt. Dans ce cas, il peut être difficile de comprendre ce que l’on doit faire avec les pots en question de l’exercice. Pour la question A, où il faut passer d’une recette pour six personnes à une recette pour douze personnes, on peut répondre avec un point de vue « quantité discrète » pour chacune des quatre quantités.

14Pour la question B, où l’on doit passer d’une recette pour six personnes à une recette pour neuf personnes, le point de vue « quantité discrète » entre en conflit avec la nécessité de considérer « quatre pots de yaourt et demi » et « sept pots de farine et demi », qui demande d’adopter un point de vue « contenance », qui, comme on l’a vu, est caché par le choix du « pot de yaourt » comme mesure-étalon. De ce fait, on peut envisager que certains élèves cherchent à proposer des nombres entiers, y compris dans cette situation, sans respecter strictement la relation de proportionnalité.

Ce que contient le livret du maître

15Le livret d’évaluation de l’élève est accompagné d’un livret pour le maître, dans lequel on peut lire :

Exercice 10. Organisation et gestion de données

Composantes de l’évaluation : Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de « trois »). Items 70-71.

Temps : 6 minutes

Dire aux élèves : « Lisez la recette du gâteau au yaourt et trouvez les quantités nécessaires pour 12 personnes puis pour neuf personnes. Vous pouvez faire vos calculs dans les cadres proposés. Vous écrivez les réponses dans les cadres prévus. Vous avez 6 minutes. »

(MEN/DGESCO 2013b, p. 30)

16En complément à l’explicitation de ces composantes, le livret propose des « Commentaires pour aider à l’analyse d’autres réponses » :

Item 70 : si l’élève repère que le problème relève de la proportionnalité (utilisation des propriétés multiplicatives de la linéarité - 12 personnes, c’est le double de 6), les erreurs de calculs sont très peu probables en raison de la simplicité des données.
Code 9 : un élève peut conclure à une transformation de type additif (transformation de 6 à 12 interprétée par [+6]) et produire un calcul additif, application de [+6], pour chaque ingrédient (réponses 9-11-8-10).
La réalisation d’un tableau peut aider à mathématiser les deux situations en les plaçant dans le même contexte de proportionnalité.

Item 71 : l’intuition engageant l’utilisation des propriétés multiplicatives de la linéarité – la moitié de 6 – et l’utilisation de la propriété additive pour obtenir les quantités pour 9 personnes, conduit à des décimaux.
On peut s’attendre à observer un taux de réussite très supérieur pour les deux valeurs entières (sucre et œufs) ; pour les deux valeurs décimales, on peut faire l’hypothèse d’erreurs de calcul (code 4), la moitié de 3 ou 5 n’étant pas calculée correctement, mais aussi d’évitement (code 3), les expressions « 1,5 ou 2,5 pots de… » étant socialement peu usitées. Pour approfondir ce sujet, consulter l’ouvrage « Le nombre au cycle 3 », parties 4 et 5, disponible sur le site internet Eduscol. (ibid.)

17Les commentaires vont dans le sens de notre identification des enjeux mathématiques. Par contre, on peut noter l’absence de références explicites à des difficultés langagières ou culturelles éventuelles, à l’exception de la remarque : « les expressions “1,5 ou 2,5 pots de…” étant socialement peu usitées ».

Analyse de quelques copies

18Nous avons eu accès aux réponses de neuf élèves gitans de CM2 à ces deux problèmes. Nous les avons classées comme l’indique le tableau ci-dessous :

19Ce qui frappe immédiatement à la lecture du tableau, c’est le nombre très élevé de non-réponses à la question B. À part deux élèves utilisant le modèle additif erroné, les autres ne proposent ni réponse ni calcul. Il est difficile à ce stade de faire des hypothèses consistantes sur les raisons de ces absences de réponses ; comme on l’a dit, le jeu de variable didactique nécessite de mobiliser une connaissance en acte plus élaborée (a minima la linéarité), on ne peut cependant pas exclure que les phénomènes langagiers ne viennent interférer ici avec cette augmentation de la difficulté mathématique. Pour mettre à l’épreuve cette hypothèse, il serait nécessaire de se donner d’autres moyens d’observation (par exemple, faire travailler des élèves en binôme sur ce problème en leur demandant de se mettre d’accord et les enregistrer afin d’avoir accès à leur verbalisation).

Un problème complexe mettant en jeu la multiplication, la division par 2 et l’ordre

20Il s’agit de l’exercice 21 de l’évaluation, le dernier de la séquence 24 dont nous donnons l’énoncé ci-dessous :

Exercice 21

Résous le problème.
Un entrepreneur doit expédier 27 colis à un client. Il a deux possibilités pour faire livrer les colis :
– par bateau, en mettant tous les colis dans un container ;
– par la route, en mettant tous les colis dans un camion.
Le prix total du transport par bateau est de 420 euros par container, mais il partage le prix pour moitié avec un autre entrepreneur.
Le prix du transport par camion est de 8 euros par colis.
Quel mode de livraison sera le plus économique ?

Fais tes calculs dans ce cadre.

Réponse :
……………………………………………………………………………………………

(MEN/DGESCO, 2013a, p. 23)

Enjeux mathématiques du problème

21Nous avons ici un problème complexe (au sens où il y a plusieurs étapes de résolution et où les élèves ne disposent pas a priori d’une méthode standard), qui met en jeu une multiplication simple, une division simple et une comparaison d’entiers ne présentant pas de difficulté à ce niveau. L’enjeu mathématique principal est d’identifier le traitement mathématique adéquat pour répondre à la question posée. Cela suppose d’organiser les données numériques présentes dans le texte et de les mettre en rapport avec la question posée.

22Coût du transport en bateau : c’est une donnée du problème, mais il faut prendre en compte le partage pour moitié du prix, ce qui conduit à une division par deux ; le coût du transport par bateau est donc de 210 euros.

23Coût du transport en camion : le prix est donné par unité ; la quantité totale (nombre de colis) est connue, ce qui conduit à une multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre. Le coût du transport par camion est de 216 euros.

24Pour répondre à la question, il faut comparer les deux prix ainsi obtenus, et déduire que le mode de livraison par bateau est plus économique.

Quelques commentaires sur le contexte

25Dans la contextualisation proposée, un certain nombre d’éléments pourtant déterminants dans une situation réelle ne sont pas pris en compte. C’est le cas du lieu de livraison : celui-ci se situe-t-il sur un port (en bord de mer ou en bord de fleuve) ou au centre d’une grande (ou d’une petite) ville, ou dans une zone industrielle, etc. ? L’absence d’éléments sur ces aspects du contexte rend la question relativement artificielle vis-à-vis de la situation évoquée.

Quelques commentaires sur le langage

26Revenons aux informations données dans l’énoncé et à la question posée :

1. Le prix total du transport par bateau est de 420 euros par container, mais il partage le prix pour moitié avec un autre entrepreneur.
2. Le prix du transport par camion est de 8 euros par colis.

27Question : « Quel mode de livraison sera le plus économique ? »

28On peut noter :

• la polysémie de la préposition « par » qui apparaît avec deux significations différentes dans chacune des deux phrases, dont la syntaxe est en outre relativement complexe ;
• l’utilisation de l’expression « prix total » pour le transport par bateau en contradiction avec l’indication du « prix par container » ;
• le glissement de « mode de transport » à « mode de livraison » ;
• l’utilisation du terme « économique ».

Des difficultés langagières inaperçues ou sous-estimées

29Dans ce problème, les difficultés langagières sont nombreuses et susceptibles de faire obstacle à la compréhension des informations données dans l’énoncé. Nous faisons l’hypothèse que leur non-prise en compte dans les analyses a priori est susceptible de conduire à des conclusions erronées sur la capacité des élèves à mettre en œuvre les opérations adéquates dans un problème complexe. C’est ce qui ressort selon nous du début du commentaire de l’extrait du livret du maître, même si à la fin du premier paragraphe, les auteurs pointent les difficultés de compréhension et du vocabulaire, sans toutefois donner d’indication :

Commentaires pour aider à l’analyse d’autres réponses

Les élèves éprouvant des difficultés à résoudre les problèmes mathématiques ont souvent développé de très mauvaises habitudes mentales : lecture partielle de l’énoncé, idée globale de « l’histoire » qui empêche de la mettre en séquences, mauvaise lecture de la question, absence de lien entre la question et l’énoncé. Il peut aussi y avoir des difficultés de compréhension de la situation, voire du vocabulaire.
L’exercice suppose une capacité à poser des étapes : coût du transport en bateau, coût du transport en camion, comparaison des deux coûts, interprétation.
Un premier type d’erreur peut porter sur la non-reconnaissance de la catégorie de problème à chaque étape : division-partage pour le transport en bateau et problème multiplicatif pour le transport en camion.
Enfin, si la comparaison des deux coûts est supposée ne pas poser de difficulté aux élèves (210 < 216), l’interprétation du résultat et la rédaction de la réponse écrite peuvent être délicates puisqu’il s’agit pour l’élève d’associer le terme « économique » au plus petit des deux coûts et de répondre non pas par un coût (ici 210 €) mais par un moyen de locomotion.
L’erreur peut provenir de l’oubli du partage du coût du transport au moment de la comparaison : dans ce cas, avec 216 < 420, l’élève indique que la livraison en camion est plus économique.
D’autres erreurs peuvent résulter des calculs (non-maîtrise des moitiés, non-maîtrise de la technique de la multiplication de deux entiers, non maîtrise des tables,…).

(MEN/DGESCO 2013b, p. 37)

30Adopter un point de vue didactique sur les difficultés des élèves invite à ne pas se contenter d’interpréter les difficultés des élèves en pointant leurs manques, lacunes ou mauvaises habitudes mentales, mais à s’interroger sur les difficultés inhérentes aux tâches proposées, dans ce cas en particulier sur les difficultés langagières. C'est d’autant plus important si l’on s’intéresse aux compétences mathématiques des enfants gitans, puisque, comme nous l’avons mentionné plus haut, ces effets risquent d’être renforcés pour des élèves dont le français n’est pas la langue habituelle (ou n’est pas la seule langue) de communication.

Quelques réponses d’élèves gitans de CM2

31Nous présentons ci-dessous le relevé des réponses des neuf élèves gitans de CM2 dont nous avons déjà donné le relevé des réponses pour l’exercice 10.

32On observe que seuls trois élèves ont fait le calcul pour le transport en bateau, et dans ce cas le calcul est correct. On ne peut exclure que pour les deux élèves qui ont fait correctement le calcul pour le transport par camion, les données pour le bateau soient difficiles à interpréter.

33Nous faisons l’hypothèse que les difficultés langagières de cet item font obstacle pour un certain nombre d’élèves à la compréhension de la situation et à l’interprétation des données. Des études plus poussées pourraient permettre de mettre à l’épreuve cette hypothèse. Une étude comparative des usages de la préposition « par » et d’autres prépositions de type « pour » entre la langue familiale des enfants et la langue française pourrait éclairer sur la possibilité d’un renforcement des difficultés d’interprétation. Certains travaux mettent en effet en évidence l’impact des différences grammaticales sur l’apprentissage des mathématiques en contexte plurilingue (Edmonds-Wathen et al. 2016).

Conclusion

34Dans l’introduction au livret du maître, on peut lire comme sources possibles d’erreur « des problèmes liés aux conditions, au contexte dans lesquels les connaissances doivent ou peuvent être mobilisées » (MEN/DGESCO 2013b, p. 2). Ce point nous semble s’appliquer aux deux exercices que nous avons analysés ci-dessus.

35Pour étayer cette hypothèse, on pourrait proposer de nouveau ces deux exercices à un petit groupe d’élèves et conduire ensuite des entretiens avec eux, en fonction des réponses produites. Cela constitue selon nous un enjeu de recherche important. En effet, prendre en compte les aspects langagiers dans l’élaboration des énoncés de problèmes pour une évaluation permet de dépasser l’illusion de transparence du langage mathématique. Pour paraphraser William V. Quine (1960) qui écrit que « la stupidité de notre interlocuteur, au-delà d’un certain point, est moins probable qu’une divergence linguistique » (1977, p. 101), on pourrait dire qu’avant d’attribuer aux élèves gitans une absence de maîtrise des connaissances mathématiques en jeu dans un problème complexe, il faudrait s’interroger sur les éléments langagiers et les éléments de contexte susceptibles de faire obstacle à la mise en œuvre de ces connaissances que l’on veut évaluer. Pour conduire de telles analyses, une collaboration entre didacticiens des langues et didacticiens des mathématiques est nécessaire.