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Le Siècle de la Lumière

Lumière : fondements philosophiques et scientifiques

Le chemin de la lumière chez Newton et Leibniz

Vincent Jullien

Texte intégral

1Un bâton plongé dans l’eau semble brisé, parce que les rayons lumineux changent de direction en arrivant dans l’eau. Pourquoi en est-il ainsi et quelle est la loi quantitative du phénomène ? Newton et Leibniz apportent chacun une réponse à ces questions, réponse que je vais parcourir en risquant une double réduction. Réduction des problèmes de vision et d’optique à la réfraction. La réflexion, l’image virtuelle, la recherche des foyers, les courbes anaclastiques, etc., sont aussi considérables, mais c’est un fait que le mystère du bâton brisé eut une place centrale, particulière dans les débats d’optique qui agitaient le xviie et le début du xviiie siècle. La seconde réduction est moins facilement excusable ; on semble faire de ces deux auteurs les premiers rôles de la pièce ; or telle n’est pas la réalité. Descartes, Huygens, Snellius, Fermat, Roberval, Halley, Mersenne, Hooke, Pardies et bien d’autres contribuèrent tout autant à la discussion. Aussi notre propos n’est-il pas de faire un exposé d’histoire de l’optique de cette période, mais de mettre en scène la comparaison de deux des plus grands savants philosophes de la fin du siècle, sur une troublante énigme de la vision, parce qu’ils nous révèlent – à cet endroit – des trames épistémologiques assez nettes et bien distinctes.

La loi de Descartes

2La relation à la base de la description de la réfraction de la lumière est la suivante : un rayon lumineux passant d’un premier milieu à un second milieu voit sa trajectoire modifiée conformément à l’égalité : sini / sinr = nr/ nidans laquelle, i désigne l’angle d’incidence, r l’angle de réfraction, ni l’indice de réfraction du premier milieu et nr l’indice de réfraction du second milieu.

3Il faut signaler que ces indices de réfraction sont inversement proportionnels à la vitesse de la lumière dans le milieu considéré. La loi de Descartes peut donc être exprimée ainsi : sini / sinr = vi/ vr. Ceci est une interprétation moderne du problème qui ne correspond que de loin à la façon qu’avait Descartes de la considérer. D’abord parce que Descartes penchait en faveur d’une transmission instantanée de la lumière. La considération des vitesses respectives est donc sans objet, et c’est d’ailleurs ce qui a donné lieu à bien des interprétations mal fondées des principes de Descartes. Ce dernier a son langage qui n’est en l’occurrence ni celui de la plus ou moins grande densité des milieux mais de leur dureté ou mollesse respective ; de même qu’il n’est pas question des vitesses des rayons mais de leurs plus ou moins grands empêchements.

4Celui-ci a donc le privilège d’avoir donné son nom à ce principe qu’il expose au livre II de sa Dioptrique.

5Des auteurs hostiles à Descartes ont vite mis en place une version selon laquelle il aurait rencontré la loi de réfraction chez le savant hollandais Snellius qui les avait découvertes on ne sait trop comment en 1621. Il n’en serait donc pas l’inventeur. Les études récentes semblent cependant bien établir que Descartes ne doit rien à Snellius. Il reste de toute façon la référence obligée, au xviie et au début du xviiie siècle, pour quiconque veut contribuer aux progrès de l’optique.

6Personne alors ne sait ce qu’est la lumière. La tradition dominante grecque – aristotélicienne – transmet une hypothèse ondulatoire ou plutôt vibratoire :

  • 1 J. Rosmorduc, Histoire de la physique ; de Thalès à Einstein, p. 26.

« Aristote donne de la lumière une explication vibratoire. L’objet lumineux vibre, met de ce fait en mouvement un milieu indéfini que le philosophe nomme le Diaphane lequel, à son tour, provoque le mouvement d’humeurs qui entrent dans la composition de l’œil1. »

7Descartes développe une théorie de la lumière-pression :

  • 2 Descartes, La Dioptrique, Discours II, A. T. VI, p. 103.

« Elle n’estoit autre chose qu’un certain mouvement ou une action receuë en une matière tres subtile qui remplist les pores des autres cors2 ».

8Huygens défend l’analogie ondulatoire avec le son et développe une théorie d’ondes lumineuses à progression sphérique. Leibniz et Malebranche adoptent ce point de vue comme Fermat, Roberval et la majorité des savants européens. Le modèle corpusculaire newtonien est donc vigoureusement critiqué lors de sa publication. Il convient de nuancer l’opinion selon laquelle Newton fut un partisan strict du modèle corpusculaire. Ainsi écrit Christine Villain :

  • 3 C. Villain, « Le modèle mécaniste de la réfraction ». A. Koyré a examiné ce qu’il appelle le modèle (...)

« On sait que la véritable théorie newtonienne était mixte, corpusculaire et ondulatoire. [...]. Newton ne pouvait cependant pas accepter une théorie ondulatoire seule qui ne saurait dit-il rendre compte d’une propagation en ligne droite... Le modèle corpusculaire [...] repris dans le Traité d’optique qui se réfère explicitement aux démonstrations des Principia [...] ne sera pas vraiment modifié [ensuite]3. »

9Cette situation appelle trois remarques :

    • 4 « D’après Newton, si la lumière était constituée d’ondulation ou de vagues, elle contournerait les (...)

    Chacune de ces hypothèses génère ses propres contradictions : la théorie vibratoire ne semble pas compatible avec la propagation rectiligne de la lumière et Newton ne manque pas d’en souligner les faiblesses à la fin du livre III de l’Optique4. La théorie corpusculaire suggère une analogie cinématique pour laquelle la réfraction est inversée (le corps, ralenti, s’écarte de la normale) : l’analogie avec le choc mécanique est impossible. Leibniz ne manque pas, à son tour d’en relever les insuffisances dans son Unicum opticae, catoptricae et dioptricae principium de 1682.

  1. La difficulté d’une appréhension sensible ou empirique des phénomènes lumineux va renforcer les explications a prioristes par les causes finales. C’est dans cette problématique que s’inscrit la démonstration leibnizienne (de même pour Fermat).

  2. Les formidables succès newtoniens dans la description de la mécanique des corps par l’attraction vont se répercuter dans sa conception de l’optique et bientôt masquer largement les points faibles de ses suppositions.

10Tel est donc le cadre général dans lequel prennent place les démonstrations des lois de la réfraction au xviie siècle. En fait, deux milieux étant considérés, trois facteurs leurs sont respectivement attachés : les angles du rayon et de la perpendiculaire à la surface de séparation, les densités et les vitesses de la lumière dans ces milieux. Les questions sont donc : les sinus sont-ils en raison des densités ou en raison inverse ? les sinus sont-ils en raison des vitesses ou en raison inverse ? Quatre solutions sont formellement possibles et selon les auteurs, elles sont presque toutes énoncées, c’est dire la confusion de la situation admirablement exprimée par la surprise de Fermat qui rendant compte de sa démonstration conclut :

  • 5 Fermat, lettre à M***, 1664, Œuvres, T. II, p. 485 et p. 487-488.

« ... et voilà que tout à coup, à la fin de mon opération, tout se débrouille et il me vient une équation très simple qui me donne justement la même proportion que M. Descartes. Je crus sur l’heure avoir équivoqué, car je ne pouvais me figurer qu’on aboutit à une même conclusion par des routes tout à fait opposées, M. Descartes supposant, pour un des moyens de sa démonstration que le mouvement de la lumière trouve plus de résistance dans l’air que dans l’eau, et moi supposant tout le contraire... Je refis donc pour lors la question à diverses reprises, en changeant les positions, et je trouvais toujours la même conclusion, ce qui me confirma deux choses ; l’une que l’opinion de M. Descartes sur la proportion des réfractions est très véritable ; et l’autre que sa démonstration est très fautive et pleine de paralogisme5. »

Newton, Leibniz

11Leurs partisans n’ont pas ménagé leurs efforts pour opposer les deux philosophes ; un terrain particulièrement tumultueux de cette confrontation étant l’analyse infinitésimale dont chacun peut revendiquer la paternité.

12Il m’a paru utile de les interroger, de les confronter sur le problème de la réfraction qui – par l’importance qu’il prit au xviie siècle – ne pouvait leur avoir échappé. Leurs réponses sont encore quasiment concomitantes et mobilisent d’ailleurs leur propre conception du calcul infinitésimal.

13Newton examine le problème de la réfraction dans ses deux principaux ouvrages : la xive section du livre I des Principia lui est presque entièrement consacrée de même que la partie I du livre I de l’Optique ainsi qu’une partie non négligeable des questions qui concluent le livre III.

14Leibniz le fait dans de brefs mais importants articles des Acta Eruditorium de Leipzig : Unicum opticae, catoptricae et dioptricae principium de 1682 et le célèbre Nova methodus pro maximis et minimis de 1684 ainsi que dans quelques passages du Discours de métaphysique et enfin dans le tardif Tentamen anagogicum de 1697.

15L’optique, en général, n’a pas du tout la même importance chez les deux auteurs. Elle couvre dans l’œuvre de Newton un champ de réflexion et d’expérimentation considérable ; le plus important après la mécanique céleste. Il est juste de signaler que le problème de la réfraction n’est pas – et de loin – celui qui préoccupe le plus Newton : on lui doit d’abord et surtout des pensées et expériences nouvelles et décisives en ce qui concerne la décomposition de la lumière blanche. On verra que l’optique est sans doute aussi le lieu le plus propice chez Newton pour prouver que l’on peut faire de la bonne physique sans a priori. Dans l’œuvre de Leibniz, l’optique joue un rôle quantitativement modeste et quasiment sans application ou découverte nouvelle. C’est par contre le lieu le plus propice pour montrer que de la bonne physique se fait a priori, c’est-à-dire selon les causes finales.

Newton

  • 6 A. Koyré signale dans les Études newtoniennes que : « L’explication de la réfraction et de la réfle (...)

16Une version « simplifiée » de la loi des sinus est donnée par Newton dans son Optique : elle constitue le cinquième axiome du livre I, c’est-à-dire une proposition non démontrée. Ce n’est en effet pas dans l’Optique qu’il faut chercher l’explication mathématique du chemin de la lumière mais bien dans les Principia6.

  • 7 Toutes les citations des Principia sont données ici, en français, dans la traduction de la marquise (...)

17Cette section du livre I s’intitule : « Du mouvement des corpuscules attirés par toutes les parties d’un corps quelconque » et rien n’indique qu’il doive y être question de la lumière7.

18La proposition 94. Théorème 48 affirme que :

« Si deux milieux identiques sont séparés par un espace délimité par deux plans parallèles, soit un corps, attiré ou repoussé lors de son passage à travers cet espace selon une direction perpendiculaire aux plans et ni mû, ni perturbé par aucune autre force. Que l’attraction soit la même aux mêmes distances de chacun des plans considérées d’un même côté du plan : je dis qu’alors le sinus d’incidence sur chaque plan sera dans une raison donnée au sinus d’émergence de l’autre plan. »

19Le cas général concerne donc un champ non uniforme, mais variant régulièrement. La démonstration considère d’abord le cas du champ uniforme (cas 1).

  • 8 Voir figure 1.

20On a donc en substance ceci : soient deux milieux homogènes séparés par l’espace E, entre deux plans parallèles (Aa) et (Bb)8 ; E est donc un interface entre les milieux. Un corps étant attiré ou poussé perpendiculairement vers l’un ou l’autre de ces milieux (c’est-à-dire que l’on a un champ gravitationnel constant perpendiculaire aux plans). Si un corps entre dans ce champ selon une certaine direction, le traverse en subissant son effet attractif et le quitte pour entrer dans le second milieu, alors, le sinus d’incidence sur l’un ou l’autre plan sera en raison donnée du sinus d’émergence sur l’autre plan.

21La démonstration fait appel à des outils qui sont en principe de géométrie ordinaire et à un important résultat galiléen (tiré de la quatrième journée des Discours sur deux sciences nouvelles). Ce résultat sur la nature de la trajectoire d’un corps soumis à une attraction constante est sans doute l’un des plus représentatifs de la mathématisation de la physique chez Galilée.

  • 9 Galilée, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, traduction et (...)
  • 10 Voir l’article cité de C. Villain.

22La démonstration présente cependant une difficulté qui, selon les interprétations, peut même l’invalider. Il y est question d’un paramètre constant pour une parabole considérée, or, selon l’angle d’incidence la trajectoire ne se fait pas le long de la même parabole. Au cours de la démonstration galiléenne de la quatrième journée des Discorsi9 le paramètre problématique n’est pas mis en œuvre. Ce paramètre (appelé latus rectus par Newton) est constant pour une certaine famille de paraboles et renvoie d’ailleurs à une importante question de balistique10. Les mathématiques semblent donc sollicitées de manière un peu forcée ou obscure ; plus exactement il y a mélange de considérations géométriques et purement physiques ; l’analyse précise montre toutefois que Newton a raison de dire que le rapport est donné dès lors que les caractéristiques du champ, la vitesse initiale et l’épaisseur le sont.

23En effet, soit un champ d’accélération donnée a ; une particule de vitesse donnée ν0, une épaisseur donnée e ; alors pour tout angle d’incidence (compatible avec la ressortie de la trajectoire) on obtient :

24On observera que rien n’est dit quant à la nature de la constante donnant le rapport des sinus, sinon qu’elle ne dépend que du champ gravitationnel et pas de l’angle d’incidence.

25La suite de la proposition consiste en une généralisation : le champ uniforme peut être découpé en tranches parallèles, en une multiplicité de champs superposés ayant chacun une constante caractéristique. Alors le rapport des sinus reste déterminé, comme produit des rapports correspondants aux multiples passages.

  • 11 Clairault, Commentaires aux principes mathématiques de la philosophie naturelle, 1759.

26Si l’épaisseur des champs tend vers zéro et leur nombre vers l’infini, alors, la loi d’attraction devient une variation continue, une fonction et la raison des sinus reste donnée mais par un calcul intégral. Chaque instant d’attraction est une différentielle. On a ici quitté le terrain de la géométrie ordinaire pour celui de la généralisation par les algorithmes infinitésimaux. La démonstration reste à un niveau de formalisation quasi inexistant et le passage à la limite est tout à fait intuitif. Dans ses commentaires sur les Principia, Clairault a refait les calculs dans le cas général et confirme bien la thèse newtonienne11.

27Ceci est toutefois d’une grande importance car le modèle parabolique avec champ constant s’efface comme trajectoire tout en conservant, pour les situations plus complexes qui lui sont substituées, l’attribut de permanence du rapport des sinus. Or dans la fin de l’Optique, c’est bien à des champs d’attraction continuement variables que l’on aura affaire.

28La proposition 95. Théorème 49 établit que, les mêmes choses étant posées, les vitesses du corps avant et après sont en rapport inverse des sinus :

vi / vr = sinr / sini.

29Il n’est en principe pas question ici de la lumière, mais on ne saurait passer sous silence que le résultat annoncé est précisément contraire pour ce qui est de la réfraction lumineuse, si vi et vr sont les vitesses respectives de la lumière dans les deux milieux. L’expérience ne pouvait pas trancher à l’époque, où il était impossible de mesurer la vitesse de la lumière dans un certain milieu. Ce n’est qu’au xixe siècle que Foucault élabore les expériences qui donnent raison à Fermat et Descartes contre Newton et Leibniz.

  • 12 Descartes, La Dioptrique, Discours II, A. T. VI, p. 103.

30D’autre part, la démonstration s’appuie sur un principe de décomposition, verticale et horizontale de la vitesse, tout à fait « à la manière de » Descartes dans le discours second de sa Dioptrique. Descartes avait tenté de parer à l’objection des vitesses en argumentant dans le sens d’une moindre résistance à la lumière dans les corps les plus durs car « Une bale roule moins aysement sur un tapis que sur une table toute nuë12 ».

31La proposition 96. Théorème 50 affirme qu’il existe une position limite où « la réfraction n’a pas lieu » et où le corps ressort dans le premier milieu symétriquement à sa direction d’entrée. Ceci n’a aucune difficulté et correspond à une situation de pure géométrie dans laquelle le sommet de la trajectoire parabolique est atteint dans le champ de gravitation.

32Tout ceci n’aurait aucun rapport avec notre sujet et resterait dans le cadre strict de la mécanique gravitationnelle si un important scholie ne suivait ces propositions.

33Scholie : « On peut appliquer ces recherches sur l’attraction à la réflexion de la lumière et à la réfraction qui se fait, comme Snellius l’a découvert, en raison donnée des sécantes et par conséquent en raison donnée des sinus, comme Descartes l’a fait voir. »

34Nous voici donc en présence d’une analogie au terme de laquelle il est convenable d’étudier la trajectoire de la lumière comme celle des corpuscules solides. Le problème le plus considérable posé par cette analogie tient à l’apparente impossibilité d’y appliquer la méthode précédente qui suppose l’existence d’un champ, d’une zone d’attraction, donc de déviation. Dans le problème de la réfraction, il n’existe pas de telle zone. On va voir comment Newton tente de surmonter cette difficulté.

« Il est certain... que la propagation de la lumière est successive... et les rayons en passant près des angles des corps comme une lame de couteau (qu’ils soient transparents ou opaques)... s’infléchissent comme s’ils étaient attirés vers eux... considérant que cette inflexion des rayons a lieu dans l’air sans le couteau, il s’ensuit que ces rayons tombant vers celui-ci doivent être infléchis avant de l’avoir atteint. Il en est de même des rayons qui tombent sur du verre : ainsi la réfraction ne se fait pas dans le seul point de l’incidence ; mais peu à peu, par l’incurvation continuelle des rayons, laquelle se fait en partie dans l’air avant qu’ils n’atteignent le verre et en partie, si je ne me trompe, dans le verre même après qu’ils y sont entrés. »

  • 13 Voir figures 2 et 3.

35L’analogie annoncée demeure bien fragile ; il faut donc admettre que la surface de séparation des milieux génère une sorte de zone frontière, avant et après la séparation. Cette zone ainsi reconstituée joue alors le rôle du champ gravitationnel des propositions précédentes. On observera la discrète mais considérable modification présente dans les dernières phrases : on a d’abord affaire à des rayons frôlant une lame de couteau et on termine avec des rayons « entrant dans le verre13 ». L’argument n’est pas très convaincant et inspire d’ailleurs à son auteur un « Si je ne me trompe » bien révélateur.

36Enfin Newton termine son scholie :

« À cause de l’analogie qui est entre le mouvement progressif de la lumière et celui des autres projectiles, j’ai cru nécessaire d’ajouter les propositions suivantes pour les opticiens. Au reste je ne m’embarrasse point de la nature des rayons, je n’examine point s’ils sont matériels ou non, mais je me contente de déterminer les trajectoires des corps qui peuvent être semblables à celles que décrivent les rayons. »

37On a ici l’un des multiples passages dans lesquels Newton se garde de tout dogmatisme pour le modèle corpusculaire strict.

38La proposition 97. Problème 47 confirme et exploite le glissement précédent : la configuration qui a fondé les raisonnements et démonstrations depuis le début va disparaître sans pour autant que les résultats qui en ont été déduits ne soient invalidés. Ceci peut être représenté comme ci-dessous :

39Newton écrit donc en introduction de sa démonstration :

« Supposant que le sinus d’incidence sur une surface quelconque soit au sinus d’émergence en raison donnée, et que l’inflexion de la trajectoire des corps près de cette superficie, se fasse dans un espace très petit que l’on puisse considérer comme un point ; on demande de déterminer une surface propre à faire converger en un lieu donné tous les corpuscules qui émanent d’un autre lieu donné. »

40Ce problème était vraisemblablement au cœur des préoccupations optiques : il n’est pas tant question de savoir le pourquoi de la déviation mais de la maîtriser : Descartes avait brillamment abordé la question des surfaces anaclastiques capables de faire converger en un point des rayons divergeant, issus d’une première source. La réponse décidera de la forme des lentilles optiques. Ce fut de même un des soucis de Huygens qui consacre aux « différentes figures des corps transparents et réfléchissants, par lesquelles les rayons sont rassemblés en un point ou détournés en différentes manières » le livre VI de son Traité de la lumière dont il avait exposé les principaux résultats en 1678 devant l’académie des Sciences.

41Nous n’examinons pas ici le détail de la démonstration mathématique elle-même, remarquable ; signalons simplement qu’elle mobilise les découvertes infinitésimales dans la mesure où Newton considère le rapport des variations infinitésimales (la raison dernière) du rayon incident et du rayon réfracté et montre qu’il est égal au rapport des sinus, donc donné. La courbe peut alors être construite – mais point par point – sans que l’on en aie une quelconque expression analytique.

42Le fait est que, venant à l’optique et à la réfraction de la lumière, Newton ôte à la loi des sinus son statut de proposition démontrée pour en faire une... « Supposition ».

43Voici une chute peut-être décevante mais en tout cas conforme avec son statut dans l’Optique.

44La dernière proposition 98. Problème 48, dans le cadre des mêmes suppositions, introduit en outre, sans autre forme de procès, la notion de surface, attractrice, ce qui confirme notre interprétation précédente du champ de gravitation implicitement généré par une surface de séparation.

45Il convient d’insister sur le point suivant : Newton ne dit pas à quoi est égal le rapport des sinus, il s’attache au fait qu’il s’agit d’un rapport constant. Le résultat est donc efficace s’il est couplé à une certaine expérience initiale. Il faut avoir examiné un cas, c’est-à-dire avoir fixé une direction d’incidence et avoir mesuré le rapport des sinus pour, ensuite, être en possession du fameux rapport qui permet de prévoir le chemin de la lumière, quelles que soient désormais les incidences.

  • 14 Newton, Avertissement à la première édition de l’Optique de 1704.

46C’est bien ainsi que la question est reprise dans l’Optique. La première édition date de 1704, mais dit l’auteur : « Une partie de ce traité sur la lumière et les couleurs fut écrite en 1675... Afin de rendre la théorie plus complète, j’ajoutai le reste, environ 12 ans après, excepté le troisième livre et la dernière proposition du second livre14 ». Le problème principal de Newton est quelque peu différent de celui de ses prédécesseurs puisqu’il centre son enquête sur la plus ou moins grande réfrangibilité de la lumière, selon la couleur, le milieu étant donné alors que les autres posaient la question de la réfrangibilité selon le milieu, le rayon étant supposé blanc.

  • 15 Toutes les citations de l’Optique sont données ici, en français, dans la traduction de Pierre Coste (...)

47La réfraction est examinée aux définitions II, IV, V, VI et VII et axiomes I à V du livre I, puis reprise dans les questions finales XVII à XXI, XXIII et XXIX du livre 11115.

48Dans la définition II est répété ce résultat selon lequel la transmission de la lumière n’est pas instantanée ; l’auteur en a déjà parlé dans les Principia : elle met sept minutes à nous arriver du soleil... mais ajoute-t-il, « j’ai défini tout exprès les rayons et les réfractions en termes si généraux, que les définitions que j’en donne peuvent convenir à la lumière dans les deux cas (instantanéité ou non) ».

49Voici qui est typique de Newton : il est possible, souhaitable peut-être de séparer le domaine des hypothèses systématiques de celui de la physique qui s’appuie et s’accommode de suppositions auxquelles on demande « seulement » de s’accorder avec l’expérience et le calcul mathématique. Il arrive donc que des suppositions différentes, opposées même, encadrent une même théorie physique. Cette explication implique aussi que la considération de la vitesse soit exclue du résultat.

50Les définitions IV, V VI et VII suivantes, désignent simplement les éléments de la configuration : angles d’incidence, de réfraction et simplifie la donne en considérant une lumière homogène, c’est-à-dire de même réfrangibilité.

51La loi des sinus fait l’objet des axiomes I à V.

52Le premier rappelle que les phénomènes étudiés sont coplanaires, le second que les angles d’incidence et de réflexions sont égaux.

53Le troisième est plus important qui assure la symétrie de la réfraction : « Si un rayon rompu est renvoyé directement au point d’incidence, il sera rompu dans la ligne déjà décrite par le rayon incident. » Ceci idéalise la réfraction puisqu’il n’y a aucune perte d’énergie : comme un pendule idéal qui remonterait réellement à la hauteur d’où il a été lâché. C’est un argument à l’encontre de l’analogie cinématique, notamment utilisé par Descartes.

54L’axiome quatre est en quelque sorte qualitatif : « Quand un rayon passe d’un milieu plus rare dans un milieu plus dense, la réfraction se fait en approchant de la perpendiculaire, de sorte que l’angle de réfraction se trouve moindre que l’angle d’incidence. » Rappelons que l’analogie corpusculaire se heurte ici à une sérieuse difficulté puisqu’un corps entrant dans un milieu plus dense est ralenti et s’écarte en conséquence de la perpendiculaire. Ceci va donc précisément à l’encontre d’un modèle cinématique et mécaniste et il est remarquable que tous les auteurs, Descartes, Fermat, Huygens, Leibniz tombent d’accord sur ce point. Il faut dire qu’il est celui qui peut être le plus universellement vérifié par l’expérience : chacun s’arrange donc pour le faire coïncider avec sa propre théorie.

55Il faut donc ici défendre l’idée « prêtée à Descartes » d’une vitesse supérieure de la lumière dans les corps plus denses.

56Enfin le cinquième énonce la loi des sinus : « Le sinus d’incidence est, ou exactement, ou fort approchant, en raison donnée au sinus de réfraction. » Prudence newtonienne ! La raison des sinus n’est pas expliquée et ses corrélations restent mystérieuses. Newton estime cependant détenir l’essentiel : « De là vient que si cette proportion est une fois connue dans une inclinaison particulière du rayon incident, elle sera connue dans toutes les inclinaisons ; et par cela même, on peut déterminer la réfraction dans tous les cas d’incidence sur le même corps réfringent... »

57Suivent trois pages d’exemples et de mode d’emploi de ce résultat. Il y a là des éléments caractéristiques de l’épistémologie newtonienne : la science ne se caractérise pas par la connaissance des causes premières qui demeurent cachées, mais, aidée par des expériences décisives, caractéristiques (en l’occurrence la mesure d’un rapport dans un cas particulier), elle s’élève au dessus du pur empirisme et devient prédictive et renouvelable identiquement.

58La relation sini / sinr = k est ainsi utilisable : si l’on connaît k pour une inclinaison particulière, alors on pourra déduire les angles pour tant d’autres inclinaisons qu’on voudra.

59Newton donne une application de ce principe, les milieux respectifs étant l’air et l’eau. Le rayon, issu de A, atteint la surface en C : où va-t-il ensuite ?

60On trace le sinus i, soit AD puis, connaissant k (en l’occurrence 3/4) on trace DH = k. sini. On projette alors H sur le cercle et on obtient le point E. Tout ceci est très proche de la dioptrique de Descartes.

61Cette partie de l’Optique donne en quelque sorte le mode d’emploi de la loi de Descartes et en confirme la validité. Sa démonstration n’est pas abordée ici, pas plus que l’examen des causes dont elle est un effet.

62La fin du livre III, bien plus tardive, revient précisément sur ces deux aspects du trajet de la lumière sous la forme interrogative bien connue.

63Examinons les questions XVIII, XIX et XX.

64Question XVIII :

« N’existe-t-il pas un Milieu subtil et éthéré qui vibre et transmet chaleur et lumière ?... La chaleur n’est-elle pas communiquée à travers le vide par les vibrations du Milieu beaucoup plus subtil que l’air, lequel milieu reste dans le vide après qu’on en a pompé l’air ? Et ce milieu n’est-il pas le même milieu qui rompt et réfléchit la lumière...? Et ce Milieu n’est-il pas excessivement plus rare et plus subtil que l’air et excessivement élastique et plus actif ? Ne pénètre-t-il pas, promptement tous les corps ? Et par sa force élastique n’est-il pas répandu dans tous les cieux ? N’existe-t-il pas un milieu subtil et éthéré qui vibre et transmet chaleur et lumière ? »

65On a souvent présenté cette proposition comme attestant de l’abandon par Newton d’une position trop strictement corpusculaire puisqu’y est envisagé un aspect vibratoire de la transmission lumineuse. Ce n’est toutefois pas la lumière elle-même qui serait onde, mais un milieu adapté qui en assurerait le transport par vibration.

66Question XIX :

« La réfraction de la lumière ne provient-elle pas de la différente densité de milieu éthéré en divers endroits, la lumière s’éloignant toujours des parties du milieu qui sont les plus denses ? Et sa densité n’est-elle pas plus grande dans les espaces libres et vides d’air et d’autres corps plus grossiers, que dans les pores de l’eau, du verre, du cristal, des pierres précieuses et d’autres corps compacts ?... »

67Par cette proposition, l’auteur attire l’attention sur le lieu même où se produit la différence de densité, c’est-à-dire la surface de séparation. Ainsi apparaît une cause efficiente de la réfraction : la plus ou moins grande densité d’Éther dans les milieux traversés. La lumière passant d’un milieu à un autre, quelque chose doit advenir qui va influer sur elle, mais quoi ? la réponse est esquissée dans la proposition suivante.

68Question XX :

« Ce milieu éthéré passant de l’eau, du verre, du cristal, et d’autres corps denses et compacts dans des espaces vides ne devient-il pas toujours plus dense par degrés, et ne rompt-il pas par ce moyen les rayons de lumière, non dans un point, mais en les pliant peu à peu en lignes courbes ? Et la condensation graduelle de ce milieu ne s’étend-elle pas à quelque distance des corps et ne produit-elle pas par là les inflexions des rayons de lumière, qui, passant près des extrémités des corps denses à quelque distance de ces corps ? »

69Voici donc la clé : autour de la surface de séparation se constitue une interface où la densité d’Éther est variable et cette variation restitue l’espèce de champ de gravitation que nous avions aperçu dans les Principia. Une différence importante vient de ce qu’il n’est pas constant, la déviation n’a donc aucune raison d’être parabolique, mais plus probablement exponentielle ou logarithmique. Jusqu’à présent, la démarche newtonienne a consisté à établir une corrélation entre l’existence d’une interface à densité variable et la modification de la trajectoire lumineuse.

70Il faut attendre la question XXIX pour en connaître la cause :

« Les rayons de lumières, ne sont-ce pas de fort petits corpuscules élancés ou poussés hors des corps lumineux ? Car de tels corpuscules passeront bien à travers des milieux uniformes en lignes droites, sans se plier vers l’ombre... Les corps transparents agissent (ed distant) en éloignement sur les rayons de lumière en les rompant, les réfléchissant et les pliant : les rayons à leur tour agitent à une certaine distance les particules de ces corps pour les échauffer, et cette action et réaction produite à certaine distance ressemble extrêmement à l’attraction réciproque des corps. Si la réfraction est produite par l’attraction des rayons, il faut que les sinus d’incidence soient aux sinus de réfraction en proportion donnée, comme je l’ai fait voir dans les Principes mathématiques de la philosophie naturelle ; et cette règle se trouve vérifiée par l’expérience... »

71Ainsi, la boucle est bouclée, les rayons obéissent à une loi d’attraction, qui ressemble fort à celle qui préside à la mécanique ordinaire. C’est bien un champ d’attraction qui est reconstitué de part et d’autre de la surface de séparation qui justifie alors son nom de surface attractive. Le modèle mathématique est d’ailleurs disponible : dans les Principia. La loi des sinus n’est plus un axiome, mais une nécessité démontrée, ainsi qu’en témoigne l’expression « Il faut que... »

72Newton répète qu’il n’utilise pas d’hypothèses ; prenons donc ses suggestions pour des suppositions qui, au prix de quelques habiles glissements, voire contradictions lui permettent de restituer une théorie multiforme certes, mais somme toute cohérente, depuis sa parabole des Principia jusqu’à sa surface attractive de l’Optique.

Leibniz

  • 16 Voir présentation de M. Parmentier in Naissance du calcul différentiel, Paris, Vrin, 1989, p. 147-1 (...)

73Il n’existe pas de traité d’optique de Leibniz et ses principaux textes sur le trajet de la lumière sont deux articles des Acta Eruditorium de Leipzig, dans l’ordre de parution : Unicum opticae, catoptricae et dioptricae principium de 1682 et le célèbre Nova methodus pro maximis et minimis... de 1684. On y ajoutera le Tentamen anagogicum, écrit en 1697 et on mentionnera quelques importantes références dans le Discours de métaphysique. Avant de l’écarter de notre recension, disons un mot d’un troisième article des Acta, De lineis opticis et alia publié en 1689 qui traite des courbes optiques et dont les applications possibles concernent la construction de microscopes et de télescopes. Le sujet sans doute véritable de cet article est cependant de pures mathématiques, les courbes optiques servant de « faire valoir16 ».

74Le second article, Nova Methodus..., est en quelque sorte le manifeste leibnizien du calcul différentiel et le problème de la réfraction y joue le rôle d’exemple probant d’utilisation efficace de cet algorithme nouveau. Comme dans l’Unicum principium, la question y comprend deux volets : quel est le principe fondamental présidant au parcours de la lumière ? et quel calcul donne la loi quantitative correspondante ? Le premier volet est davantage développé dans l’Unicum principium, le second, c’est-à-dire le calcul l’est davantage dans la Nova Methodus...

75La moindre difficulté :

« L’hypothèse primaire – écrit-il dans l’Unicum principium – commune aux sciences dont nous allons parler, grâce à laquelle toute direction des rayons de la lumière est susceptible d’être déterminée géométriquement, peut être ainsi définie : la lumière émise d’un foyer parvient au point à éclairer par le chemin le plus facile de tous ; on doit déterminer ce chemin en ne faisant intervenir d’abord que des surfaces planes, à condition d’ajuster ensuite les résultats au cas des surfaces concaves ou convexes en considérant les plans tangents. Je n’ai pas à tenir compte de certaines irrégularités ayant peut-être leur origine dans la génération des couleurs et dans d’autres phénomènes extraordinaires dont ne s’occupe pas dans la pratique l’opticien » (Unicum principium, p. 31).

76Il s’agit donc d’un problème de physique mais dont la résolution est doublement externe à la physique elle-même : d’abord parce qu’il dépend d’une hypothèse primaire qui est au sens propre méta-physique, ensuite parce que la méthode de résolution est géométrique. On pourrait dire qu’il va s’agir d’une approche strictement hypothético-déductive.

77Les perturbations concrètes sont dans un premier temps écartées pour ne pas gêner l’idéalisation de la situation : ainsi des variations dues aux différences de couleur. On sait qu’à l’inverse, ceci constitue une des principales préoccupations de Newton.

  • 17 D’Alembert, Article « Réflexion », Encyclopédie méthodique, rééd. ACL, Paris, 1989, T. III, p. 737.

78Quant au principe fondamental il est donc le suivant : « La lumière émise d’un foyer parvient au point à éclairer par le chemin le plus facile de tous. » Cet énoncé est lourd de sens et d’histoire. Il peut être considéré comme un héritage de philosophies anciennes : Aristote écrivait par exemple que « Dieu et la nature ne font rien inutilement » et d’Alembert rappelle dans l’Encyclopédie méthodique que : « Les anciens auteurs d’optique, pour prouver l’égalité des angles d’incidence et de réflexion se sont fondés sur ce principe que la nature agit toujours par les voies les plus courtes17. » M. Schrecker est plus précis lorsqu’il affirme :

  • 18 P. Schrecker, « Notes sur l’évolution du principe de moindre action », Isis, n° 89, sept. 1941, p.  (...)

« En tant que principe de rationalité de la nature, il se trouve déjà anticipé chez certains présocratiques. Dans le Timé de Platon, il se présente sous une forme mythique, comme l’engagement intimé [...] par la téléologie au mécanisme. Et la formule si souvent répétée par Aristote, que Dieu et la nature ne font rien en vain, contient évidemment en germe tout le développement ultérieur. Héron d’Alexandrie, Heliodore de Larisse, Ptolémée et d’autres Anciens l’ont déjà appliqué dans l’optique. Les scolastiques – saint Thomas, Guillaume d’Okham, Suarez – ont adopté la formule aristotélicienne comme point de départ, mais l’ont de plus en plus élaborée, insistant particulièrement sur l’idée que la nature suit toujours les voies les plus simples et les plus aisées et évite la dépense superflue... Les premiers auteurs qui l’ont fait revivre – Leibniz par exemple, et même encore Maupertuis et Euler – avaient nettement conscience de la tradition qu’ils continuaient et que, tout en précisant et en mathématisant la formule qui exprimait le principe, ils ne le faisaient nullement sortir du cadre dans lequel il était né dans l’Antiquité18. »

79Il est cependant clair que Leibniz n’en reste pas à ce degré de généralité vague. Le principe de minimum doit recevoir un contenu pour produire ses effets. S’il s’agit, en optique, d’un parcours minimum, alors, la trajectoire sans réfraction lui obéit bien, mais pas la réfraction : la lumière ne va pas en effet d’un point à un autre en ligne droite.

80Contemporain de Descartes, Fermat a proposé un principe général de minimum de temps, qui lui permit d’ailleurs de retrouver avec surprise le résultat de Descartes. Leibniz, comme Fermat et comme Maupertuis après lui, réhabilite donc l’usage des « Causes finales » dans la physique ; c’est là, bien entendu le point d’opposition le plus important contre Descartes qui avait voulu les en bannir.

81Avant d’examiner ce qui pour Leibniz doit être minimisé, prêtons attention à ses justifications méthodologiques :

« Nous réduisons donc à la pure géométrie et au calcul, toutes les lois des rayons de la lumière vérifiées par l’expérience, en adoptant un principe unique, tiré de la cause finale, si l’on veut bien considérer correctement les choses : car le rayon issu de C ne délibère pas pour savoir de quelle façon il peut parvenir le plus facilement possible au point E, ou au point D ou au point G et ce n’est pas non plus par soi-même qu’il se dirige vers ces points, mais c’est l’auteur de toutes choses qui a créé la lumière, de telle façon que de sa nature découle ce résultat, le plus beau qui soit. C’est pourquoi ils se trompent gravement, pour ne pas les juger plus sévèrement ceux qui avec Descartes rejettent de la physique les causes finales ; alors que cependant, outre l’admiration pour la sagesse divine, elles nous fournissent un très beau principe pour trouver également les propriétés de ces choses dont la nature profonde ne nous est pas encore si clairement connue que nous soyons capables de nous servir des causes efficientes prochaines et d’expliquer les ouvrages que le Créateur a mis en œuvre pour produire ces effets et arriver à ses fins. Nous nous apercevons donc aussi que les réflexions des Anciens également sur ces sujets ne doivent pas être méprisées au point où il le paraît aujourd’hui à certains. » (Unicum principium, p. 33)

82Chasser les causes finales pour n’admettre que les efficientes, un credo du mécanisme cartésien revient donc à restreindre nos domaines de connaissance.

83Le principe de Fermat implique une vitesse moindre dans les milieux plus denses, point sur lequel Leibniz s’en sépare : ce n’est donc pas la durée du trajet qui doit être minimisée. La considération des vitesses va même être écartée du raisonnement de Leibniz : ce qu’il va minimiser, ce qui donc déterminera le « Chemin le plus facile » est ainsi défini : « Les difficultés du chemin dans les différents milieux sont en raison composées et de la longueur des chemins et de la résistance des milieux » (id., p. 32). La définition reste valable dans le « Nova methodus... » de 1684.

84Une vaste littérature s’est développée pour savoir s’il y avait ici l’expression de ce que Maupertuis définira comme « Principe de moindre action » et une retentissante polémique sur cette question mit aux prises ce dernier avec König et Voltaire. L’affaire continue d’être discutée par les spécialistes. Nous n’en dirons pas plus ; deux aspects retiendront davantage notre attention.

85L’expression de la loi de minimum est en parfaite harmonie avec le système général de Leibniz et plus particulièrement avec sa théorie de la création. Les substances venues à l’existence, comme les phénomènes résultent d’un calcul divin. Dieu est en fait le grand calculateur qui optimise le rapport des effets aux causes. Ce calcul ne se fait pas arbitrairement ou de manière contingente. Le monde et ses composants existent d’abord en tant qu’ensemble logique et aussi avec une densité d’être et une harmonie maximales. Il serait contradictoire avec l’infinité de la volonté et de la liberté et de l’entendement divin qu’il en fut autrement. Un phénomène physique doit donc obéir à ce principe d’économie : pas de cause inutile.

86Le second aspect concerne ses découvertes mathématiques. Lorsqu’il intervient sur la question de la réfraction, Leibniz vient de se doter de l’algorithme de différentiation qui, mathématiquement, permet de découvrir dans toute sa généralité les extrema d’une variation de type fonctionnelle. L’occasion est trop belle d’en manifester la force dans un aussi redoutable et important problème que celui de la réfraction.

87Le calcul lui-même est plus détaillé dans la « Nova methodus... » dont nous reprendrons les notations :

88SS est une surface séparant deux milieux de « résistances » différentes notées r et h. Un rayon lumineux va de E en C et coupe la surface en un point F. Le problème revient à connaître l’emplacement de F pour que le chemin soit le plus facile.

89Leibniz définit, comme il l’a annoncé, une « fonction difficulté » :

D = EF.r + FC.h.

90La variable est x = QF. Il exprime alors D en fonction des paramètres connus et de x. Les paramètres fixés sont :

e = EQ, p = QP, c = CP

91On a donc :

g(x) = (e2 + x2)1/2 f(x) = ((p-x)2 + c2)1/2 et d = g.r + f.h.

92À ce stade, Leibniz opère la jonction de son principe a priori et de sa récente découverte du calcul infinitésimal : « Grâce à ma méthode de maximis et minimis, qui a l’avantage sur toutes les méthodes connues jusqu’ici de réduire prodigieusement les calculs... » (id., p. 32).

93Il s’agit de minimiser d en calculant sa différentielle et en l’annulant

d’ = f’.h+ g’.r

94Il ne s’agit pas seulement, comme chez Newton, de réaffirmer le caractère constant, ou donné du rapport des sinus, mais aussi d’en indiquer le contenu. La question revient à savoir ce que sont les constantes de réfraction des milieux. Sur ce point, Leibniz se montre assez hésitant : en 1682, il les définit comme « résistances des milieux à la lumière » et en 1684, ces constantes sont les « densités des milieux », l’auteur ajoutant cependant qu’« il ne faut toutefois pas considérer que cette densité est déterminée à notre guise, mais par la résistance que les milieux opposent aux rayons lumineux » (Nova methodus, p. 115). L’affaire est assez embrouillée, la densité étant déterminée par la résistance !

95À ceci, il faut ajouter deux observations.

  1. Selon Leibniz (et Newton), les vitesses et les constantes sont proportionnelles, tant qu’on nomme celles-ci des densités, cela peut encore passer, avec les arguments courants, mais comment soutenir que la vitesse de la lumière est d’autant plus grande que la résistance à celle-ci est forte ? C’est pourtant ce que fait Leibniz à l’aide de toute une argumentation qui distingue l’aptitude d’un milieu à être illuminé et son aptitude à être traversé par les rayons.

    • 19 S. Bachelard, p. 29-30.

    Dans le texte bien plus tardif du Tentamen anagogicum, Leibniz modifie une part de son résultat, sans s’en expliquer, subrepticement pourrait-on dire. Madame S. Bachelard avance des arguments selon lesquels Leibniz est alors revenu au principe de Fermat du temps le plus court et au résultat selon lequel la raison des sinus est inversement proportionnelle à celle des résistances19.

  • 20 Discours de métaphysique, § XXII, Nouveaux Essais, L. IV, chap. VII § 15.

96La modification du résultat n’est pas sans rapport avec une modification de son interprétation / justification ; délaissant le principe de voie la plus courte ou même de voie la plus aisée, Leibniz va désormais préférer celle de « voie la plus déterminée20 ». On notera que cette évolution admet un strict répondant mathématique dans la mesure où l’annulation de la dérivée conduit à la découverte des extrema et pas forcément des minima. Mais dit Leibniz, les uns et les autres sont équivalents, du point de vue de la détermination.

Conclusion

97Il est clair que ni Newton, ni Leibniz n’ont élucidé les rapports intimes entre la structure même des milieux et le déplacement de la lumière. Un point commun particulièrement important est à souligner : l’un comme l’autre sont ignorants des causes efficientes ou causes secondes. C’est lorsqu’ils essaient de s’aventurer sur ce terrain que leurs explications semblent les moins convaincantes : la déviation courbe de Newton par attraction / répulsion, la résistance / densité de Leibniz. Leur raisonnement constituent deux possibles réponses à l’impossibilité où se trouve notre entendement de connaître les causes immédiates, les secrets de la nature : Newton a recours à un inductivisme mathématisé, Leibniz à un finalisme mathématisé. Pour le premier, la théorie de la réfraction sera fruit du mariage entre une expérience cruciale et une démonstration mathématique, pour le second entre un principe métaphysique et une démonstration mathématique.

  • 21 Leibniz, De ipsa natura, P. S. IV, p. 506.

98L’importance des causes finales en physique est réaffirmée avec beaucoup d’insistance par Leibniz dans de nombreuses œuvres : « Il est évident que la cause finale est utile en physique et qu’elle sert à découvrir des vérités cachées21. » Même si :

  • 22 Leibniz, Discours de métaphysique, § XXII.

« La voie des causes efficientes... est plus profonde en effet et en quelque façon plus immédiate et a priori, [elle] est en récompense assez difficile quand on en vient au détail... mais la voie des finales est plus aisée et ne laisse pas de servir souvent à deviner des vérités importantes et utiles qu’on serait bien longtemps à chercher par cette autre route plus physique22... »

  • 23 Newton, Optique, livre 3, question XXVIII.

99Il n’est sans doute pas faux d’opposer à celle-ci la réponse newtonienne devant la faiblesse du mécanisme radical. Tournant le dos à la déduction rationnelle, d’essence strictement mathématique, il s’affirme partisan d’une méthode inductive, elle aussi de nature mathématique. C’est à partir d’observations et d’expériences mesurées que l’on peut « raisonner sur les phénomènes, sans feindre d’hypothèses et déduire les causes des effets jusqu’à ce que nous arrivions à la toute première cause, laquelle certainement, n’est pas mécanique23 ». Grâce à la structure mathématique sous-jacente de la philosophie naturelle, nous pouvons savoir quelque chose de la nature quoiqu’en restant ignorant de ses principes premiers.

100La mathématisation de la physique est la voie commune des deux savants, mais là où Newton fait des mathématiques pour valider sa physique, Leibniz se fait physicien pour affermir et valider ses mathématiques.

Notes

1 J. Rosmorduc, Histoire de la physique ; de Thalès à Einstein, p. 26.

2 Descartes, La Dioptrique, Discours II, A. T. VI, p. 103.

3 C. Villain, « Le modèle mécaniste de la réfraction ». A. Koyré a examiné ce qu’il appelle le modèle synthétique de Newton et le poids respectif des pôles ondulatoires et corpusculaires dans la pensée newtonienne. Voir Études newtoniennes, p. 68-70.

4 « D’après Newton, si la lumière était constituée d’ondulation ou de vagues, elle contournerait les angles », A. Koyré, Études newtoniennes, note 70, p. 81

5 Fermat, lettre à M***, 1664, Œuvres, T. II, p. 485 et p. 487-488.

6 A. Koyré signale dans les Études newtoniennes que : « L’explication de la réfraction et de la réflexion totale, à partir du concept d’attraction, a été développée par Newton dans les Principia (livre I, sect. XIV). »

7 Toutes les citations des Principia sont données ici, en français, dans la traduction de la marquise du Chastelet.

8 Voir figure 1.

9 Galilée, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, traduction et présentation par M. Clavelin, Paris, A. Colin, 1970.

10 Voir l’article cité de C. Villain.

11 Clairault, Commentaires aux principes mathématiques de la philosophie naturelle, 1759.

12 Descartes, La Dioptrique, Discours II, A. T. VI, p. 103.

13 Voir figures 2 et 3.

14 Newton, Avertissement à la première édition de l’Optique de 1704.

15 Toutes les citations de l’Optique sont données ici, en français, dans la traduction de Pierre Coste, parue à Amsterdam en 1720.

16 Voir présentation de M. Parmentier in Naissance du calcul différentiel, Paris, Vrin, 1989, p. 147-149.

17 D’Alembert, Article « Réflexion », Encyclopédie méthodique, rééd. ACL, Paris, 1989, T. III, p. 737.

18 P. Schrecker, « Notes sur l’évolution du principe de moindre action », Isis, n° 89, sept. 1941, p. 329-330.

19 S. Bachelard, p. 29-30.

20 Discours de métaphysique, § XXII, Nouveaux Essais, L. IV, chap. VII § 15.

21 Leibniz, De ipsa natura, P. S. IV, p. 506.

22 Leibniz, Discours de métaphysique, § XXII.

23 Newton, Optique, livre 3, question XXVIII.

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