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De la nature à l’esprit

Le point de vue scientifique

Induction, principe de raison suffisante et continuité chez Poincaré*

Igor Ly

Texte intégral

  • * Exposé du 6 mai 2000 à l’ENS Fontenay – Saint-Cloud.

1Dans le chapitre XI de La Science et l’hypothèse, consacré au calcul des probabilités, Poincaré invoque à de nombreuses reprises le principe de raison suffisante et fait abondamment référence à l’induction en physique. Il s’agit ici de mettre en évidence le lien qu’entretiennent le principe de raison suffisante et le principe de l’induction au sein de la philosophie de Poincaré. Nous prendrons pour point de départ la question de la probabilité des lois induites en physique expérimentale, ce qui nous permettra d’établir que c’est en termes de continuité mathématique des grandeurs physiques qu’est déterminé le lien recherché.

2Qu’il s’agisse des mathématiques ou de la physique, Poincaré confère à l’induction une fonction centrale : la science procède du particulier au général. En physique, l’induction consiste à énoncer, à partir d’un certain nombre d’expériences particulières, une loi dont la vocation est de valoir pour tous les cas analogues à ces expériences particulières. Dès lors, Poincaré affirme que la loi induite n’est que plus ou moins probable : pour les cas que l’on n’a pas effectivement expérimentés, nous disons qu’il est probable que les choses se passeront de telle manière, mais nous ne pouvons pas en être sûrs. Nous pourrions dire que la probabilité augmente avec le nombre de cas effectivement observés, mais il ne semble pas que ce soit en ce sens que Poincaré parle de probabilité au sujet de l’induction.

3 Ainsi écrit-il :

  • 1 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 160.

« On ne doit jamais dédaigner de faire une vérification, quand l’occasion s’en présente. Mais toute expérience est longue et difficile, les travailleurs sont peu nombreux ; et le nombre des faits que nous avons besoin de prévoir est immense ; auprès de cette masse, le nombre des vérifications directes que nous pourrons faire ne sera jamais qu’une quantité négligeable.
De ce peu que nous pouvons directement atteindre, il faut tirer le meilleur parti ; il faut que chaque expérience nous permette le plus grand nombre possible de prévisions et avec le plus haut degré de probabilité qu’il se pourra. Le problème est pour ainsi dire d’augmenter le rendement de la machine scientifique1. »

4Ainsi, non seulement Poincaré constate que le nombre de cas favorables effectivement observés sera toujours négligeable devant le nombre de cas possibles (ce qui implique une très petite probabilité si celle-ci est définie comme étant égale au nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles) mais il affirme que cette disproportion est essentielle à la science : celle-ci a pour but et fonction, non pas d’accumuler les faits, mais d’élaborer des lois telles que le rapport entre le nombre de cas prévus par ces lois et le nombre de cas effectivement observés soit le plus grand possible.

  • 2 Leibniz, Principes de la nature et de la grâce, § 7.
  • 3 Nous ne discuterons pas ici la question de savoir si cette supposition implique un engagement ontol (...)

5Il faut donc comprendre autrement cette référence à la probabilité. C’est ici que le principe de raison suffisante intervient. Rappelons dès à présent le lien immédiat qu’entretiennent l’induction et le principe de raison suffisante. Leibniz énonce celui-ci comme suit : « Rien ne se fait sans raison2. » Dans le cadre de la science physique, ce principe peut se traduire ainsi : les phénomènes de la nature sont gouvernés par des lois (identifiées aux raisons des phénomènes). Or, l’induction consiste à élaborer des lois à partir de l’observation des phénomènes ; donc, pour induire, il faut déjà supposer qu’il y a des lois de la nature3.

  • 4 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 143.
  • 5 Leibniz, Principes de la nature et de la grâce, § 10.

6Cette première supposition est cependant insuffisante, car tout le problème est de savoir quelles sont ces lois, autrement dit : quelle généralisation choisir. Poincaré écrit : « Toute proposition peut être généralisée d’une infinité de manières. Parmi toutes les généralisations possibles, il faut bien que nous choisissions4. » Ainsi le problème de la probabilité de l’induction est déplacé : il ne s’agit pas tant de savoir si la loi induite est plus ou moins probable, mais plutôt de savoir quelle est la loi la plus probable parmi celles qui sont appelées à gouverner le phénomène observé. Il ne suffit donc pas de dire qu’il y a des lois de la nature, il faut ajouter à cette affirmation un principe de discrimination entre les lois de la nature. Remarquons que le principe de raison suffisante est, dans la tradition philosophique et scientifique, souvent spécifié ainsi comme principe de discrimination des lois ; ainsi en est-il du principe du meilleur invoqué par Leibniz dans le choix divin, principe qui prend notamment la forme suivante : « Le plus d’effet produit par les voies les plus simples5 » ; il en va de même pour l’invocation d’un principe de simplicité chez Galilée lorsque celui-ci pose, sous une forme que l’on peut identifier à l’usage du principe de raison, l’uniformité de l’accélération du mouvement des graves en chute libre :

  • 6 Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, III, in Clavelin, La Philosophie naturelle de (...)

« Quand donc j’observe une pierre tombant d’une certaine hauteur à partir du repos et recevant continuellement de nouveaux accroissements de vitesse, pourquoi ne croirais-je pas que ces additions ont lieu selon la proportion la plus simple et la plus évidente ? Or tout bien considéré nous ne trouverons aucune addition, aucun accroissement plus simple que celui qui toujours se répète de la même façon6. »

  • 7 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 210.

7En fait, l’usage du principe de raison est ici, pour ainsi dire, contrapositif : on peut traduire le « pourquoi ne croirais-je pas ? » par quelque chose comme : il n’y a pas de raison que ce ne soit pas le cas. Nous nous autorisons ici cette surinterprétation du texte de Galilée parce que c’est sous cette forme, et en faisant aussi référence à la simplicité, que Poincaré invoque le principe de raison. Comme nous l’avons vu, c’est dans le chapitre XI de La Science et l’hypothèse, portant sur le calcul des probabilités, qu’apparaît le principe de raison : Poincaré détermine en effet ce principe, non seulement par les notions d’ordre légal et de simplicité, mais en outre par une référence au hasard et à la probabilité. Chercher à induire une loi à partir d’observations particulières implique que l’on suppose que le phénomène observé suit un ordre légal ; parmi les lois possibles, ce sera la plus probable qui sera choisie. Ainsi Poincaré écrit-il, au sujet de la recherche inductive d’une loi : « Le problème n’aurait aucun sens si, avant toute observation, je ne me faisais une idée a priori de la probabilité de telle ou telle loi [...]7. »

8Or, les lois réputées les plus probables sont les lois simples :

  • 8 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 164.

« Qu’importe [...] que la simplicité soit réelle, ou qu’elle recouvre une vérité complexe ? Qu’elle soit due à l’influence des grands nombres, qui nivelle les différences individuelles, qu’elle soit due à la grandeur ou à la petitesse de certaines quantités qui permettent de négliger certains termes, dans tous les cas, elle n’est pas due au hasard. Cette simplicité, réelle ou apparente, a toujours une cause. Nous pourrons toujours faire le même raisonnement, et si une loi simple a été observée dans plusieurs cas particuliers, nous pourrons légitimement supposer qu’elle sera encore vraie dans tous les cas analogues. Nous y refuser serait attribuer au hasard un rôle inadmissible8. »

  • 9 L’utilisation du principe de raison suffisante est identique lorsqu’il s’agit d’exclure la possibil (...)

9Lorsque Poincaré écrit ici que la simplicité a toujours une cause, il ne fait que formuler en termes de cause le principe de raison suffisante. Par ailleurs, il est ici manifeste que l’affirmation de ce principe coïncide avec le refus du hasard. Comment inteipréter ce refus de l’intervention de hasard ? Nous avons ici affaire à une coïncidence (« une loi simple a été observée dans plusieurs cas particuliers »), c’est-à-dire à une rencontre, à une harmonie dont on dirait, si l’on ne l’attribuait à la détermination effective d’une certaine loi, qu’elle est improbable. Et c’est parce qu’elle est improbable que l’on pourrait être tenté de dire : « C’est un hasard9. » Dès lors deux attitudes sont possibles. Soit on accorde au hasard la production d’une telle coïncidence improbable ; soit on la lui refuse. Si on la lui refuse, ce que le principe de raison fait (on pourrait dire : « Il n’y a pas de raison qu’il en soit ainsi »), alors, en vertu même de l’improbabilité d’une telle coïncidence, on est conduit à affirmer qu’il est fort probable que la loi simple en question est effectivement à l’œuvre dans la production des cas particuliers observés ; et si c’est le cas, elle le sera aussi pour les cas similaires non observés.

10Seulement ce raisonnement n’est valable que lorsqu’on a effectivement affaire à une loi simple permettant de rendre compte d’un certain nombre d’observations : il est probable que les phénomènes observés sont effectivement régis par cette loi simple, mais cela ne veut pas dire qu’en présence d’un phénomène observé dont on ignore la loi, celle-ci sera probablement simple. Ce n’est pas la même chose ; et c’est pourtant ce que Poincaré affirme :

  • 10 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 161.

« Ceux qui ne croient pas que les lois naturelles doivent être simples, sont encore obligés souvent de faire comme s’ils le croyaient. Ils ne pourraient se soustraire entièrement à cette nécessité sans rendre impossible toute généralisation et par conséquent toute science10. »

11Par généralisation, Poincaré entend ici induction (le contexte ne laisse pas de doute sur ce point). Poincaré parle ici de croyance, mais le chapitre XI sur le calcul des probabilités montre que l’on peut identifier ici croyance et affirmation d’une forte probabilité : croire que la loi gouvernant un phénomène est simple, c’est affirmer qu’elle est probablement simple. Et c’est cette affirmation que le raisonnement précédent ne suffisait pas à justifier.

12 La phrase citée ci-dessus fournit cependant une indication qui permet de comprendre de façon plus satisfaisante la spécification classique du principe de raison suffisante comme croyance en la simplicité des lois. Pour comprendre cette affirmation, il faut établir deux points importants relatifs respectivement aux notions de prévision et de continuité.

13Nous l’avons vu, le principe de raison suffisante énonce qu’il y a un ordre légal de la nature, ou du moins qu’il est possible d’élaborer un tel ordre, et la science consiste à mettre en évidence cet ordre en généralisant, c’est-à-dire en induisant des lois à partir de l’expérience : « Le savant doit ordonner ; on fait la science avec des faits comme une maison avec des pierres ; mais une accumulation de faits n’est pas plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison », écrit Poincaré à la page 158 de La Science et l’hypothèse. Mais il ajoute immédiatement après : « Et avant tout le savant doit prévoir [...] sans généralisation, la prévision est impossible. » Cet ajout permet de déterminer plus précisément la nature des lois induites et de mieux comprendre en quoi consiste leur simplicité. En effet, ce texte peut être mis en parallèle avec une remarque du chapitre VII de La Valeur de la science :

  • 11 Poincaré, La Valeur de la science, p. 125.

« Comment les anciens comprenaient-ils la Loi ? C’était pour eux une harmonie interne, statique pour ainsi dire et immuable ; ou bien c’était comme un modèle que la nature s’efforçait d’imiter. Une loi, pour nous, ce n’est plus cela du tout ; c’est une relation constante entre le phénomène d’aujourd’hui et celui de demain ; en un mot, c’est une équation différentielle11. »

14Quelques pages plus haut, Poincaré écrivait, dans le même esprit :

  • 12 Poincaré, La Valeur de la science, p. 119.

« C’est Newton qui nous a montré qu’une loi n’est qu’une relation nécessaire entre l’état présent du monde et son état immédiatement postérieur. Toutes les autres lois, découvertes depuis, ne sont pas autre chose, ce sont, en somme, des équations différentielles12. »

15Si la science non seulement ordonne selon des lois, mais, en outre, permet de prévoir, c’est parce que les lois qu’elle induit sont d’un type particulier : ce sont des équations différentielles. En effet, ce que fournit une équation différentielle, c’est une information sur la ou les dérivées d’une certaine fonction (laquelle représente, dans le cas d’une loi physique, l’état du système étudié) ; or la valeur de la dérivée d’une fonction en un point exprime le « sens de variation », la « direction » que prend cette fonction en ce point. L’équation différentielle exprime donc la loi de passage entre un état et l’état qui lui est immédiatement postérieur et c’est grâce à cela que la science permet de prévoir.

16 Ainsi apparaît la condition imposée aux lois physiques : elles doivent prendre la forme d’équations différentielles. Ceci permet de préciser ce qu’entend Poincaré lorsqu’il parle de la simplicité comme principe déterminant les lois les plus probables. En effet, lorsqu’il parle de l’induction physique, Poincaré fait référence à l’interpolation, opération qu’il associe explicitement à l’hypothèse de simplicité :

  • 13 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 161.

« Il est clair qu’un fait quelconque peut se généraliser d’une infinité de manières, et il s’agit de choisir ; le choix ne peut être guidé que par des considérations de simplicité. Prenons le cas le plus banal, celui de l’interpolation. Nous faisons passer un trait continu, aussi régulier que possible, entre les points donnés par l’observation. Pourquoi évitons-nous les points anguleux, les inflexions trop brusques ? Pourquoi ne faisons-nous pas décrire à notre courbe les zigzags les plus capricieux ? C’est parce que nous savons d’avance, ou que nous croyons savoir que la loi à exprimer ne peut pas être si compliquée que cela13. »

17Dans ce texte, Poincaré identifie la simplicité de la loi recherchée à sa continuité et à sa régularité. Ces deux caractères n’en constituent en fait qu’un seul : ce que les mathématiciens appellent la n-continuité :

  • une fonction est C° si elle est continue,
  • une fonction est C1 si elle est dérivable et que sa dérivée est continue,
  • une fonction est C2 si elle est deux fois dérivables et que ses déri vées première et seconde sont continues,
  • ...,
  • une fonction est Cn si elle est n fois dérivable et si ses n dérivées successives sont continues.

18Ce que Poincaré décrit ici en termes de régularité exprime exactement ce caractère de n-continuité. Or ce caractère n’est pas autre chose que la différentiabilité, laquelle est requise pour qu’une fonction puisse vérifier une équation différentielle. Nous continuerons à parler de continuité, mais il faudra entendre la n-continuité, ce qui ne change rien fondamentalement puisque les caractéristiques mathématiques en question sont exactement de même nature.

19Faisons le point : nous avons à présent déterminé plus précisément la spécification du principe de raison suffisante comme croyance en la simplicité des lois. Il s’agit de la différentiabilité des lois recherchées dans le cadre de l’induction physique, ce que la conclusion du chapitre XI de La Science et l’hypothèse confirme :

  • 14 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 213.

« Pour entreprendre un calcul quelconque de probabilité, et même pour que ce calcul ait un sens, il faut admettre, comme point de départ, une hypothèse ou une convention qui comporte toujours un certain degré d’arbitraire. Dans le choix de cette convention, nous ne pouvons être guidés que par le principe de raison suffisante. Malheureusement, ce principe est bien vague et bien élastique et, dans l’examen rapide que nous venons de faire, nous l’avons vu prendre bien des formes différentes. La forme sous laquelle nous l’avons rencontré le plus souvent, c’est la croyance à la continuité, croyance qu’il serait difficile de justifier par un raisonnement apodictique, mais sans laquelle toute science serait impossible14. »

20Il faut cependant clarifier ici une ambiguïté : nous avons dit que les lois physiques sont des équations différentielles et qu’elles sont obtenues par l’opération de l’induction. D’autre part, au sujet de l’induction, Poincaré fait référence à l’interpolation, qui consiste à tracer une courbe continue aussi régulière que possible entre les points obtenus expérimentalement. Mais ce que l’on obtient alors, c’est la représentation graphique d’une certaine fonction (différentiable) et pas une équation différentielle. Et Poincaré dit de cette fonction qu’elle est la loi recherchée. La loi est-elle l’équation différentielle ou la fonction interpolée ? En fait, cette ambiguïté est facilement levée. Faisons une analogie avec les équations algébriques ; soit l’équation Vx = 3 dont la solution est x = 9. Nous avons là deux formulations de la même chose ; il en est de même pour la fonction interpolée et l’équation différentielle qu’elle vérifie, ce qui donne le droit de dire indifféremment que l’une ou l’autre est la loi en question. Pourquoi Poincaré insiste-t-il cependant davantage sur la formulation en termes d’équations différentielles ?

  1. Parce que c’est le plus souvent l’équation différentielle qui est trouvée en premier, la fonction étant déterminée ensuite en résolvant cette équation.
  2. Parce qu’il arrive aussi souvent que l’on connaisse l’équation sans pouvoir la résoudre.
  3. Plus fondamentalement, parce que l’équation différentielle est plus générale que l’une de ses solutions. L’équation différentielle condense ainsi l’ensemble de ses solutions.
  4. Enfin, parce que l’équation différentielle exprime la dynamique du phénomène étudié, ainsi que nous l’avons vu plus haut.
  • 15 Poincaré, La Valeur de la science, p. 177.

21Nous possédons à présent les éléments permettant de mieux comprendre le lien entre le principe de raison suffisante et l’induction. Nous venons de voir qu’en définitive, le principe de raison suffisante trouve sa formulation spécifique en termes de continuité. Or c’est aussi en ces termes que Poincaré énonce le principe de l’induction : « Le conséquent est une fonction continue de l’antécédent15. » Considérons un exemple classique : le soleil chauffe la pierre. Cette proposition se décompose en l’énoncé de deux situations consécutives :

  • situation antécédente : exposition d’une pierre au soleil ;
  • situation conséquente : échauffement de la pierre.

22Passer de l’observation d’un tel phénomène particulier à l’énoncé général – c’est-à-dire : induire –, c’est affirmer que si une situation antécédente analogue se produit, une situation conséquente analogue s’en suivra. C’est donc affirmer que la proximité de deux situations antécédentes et la proximité des deux situations conséquentes sont corrélatives. Ce n’est pas autrement que l’on définit la continuité en mathématiques. Quel rapport existe-t-il à présent entre la continuité dont il s’agit dans l’énoncé du principe de l’induction et la continuité par laquelle Poincaré spécifie le principe de raison suffisante ? La difficulté réside dans le fait que la continuité supposée de la fonction vérifiant l’équation différentielle recherchée est la continuité par rapport au temps, ce qui n’est pas le cas de la continuité invoquée relativement au principe de l’induction.

23Nous allons essayer de montrer par un exemple que ces deux continuités sont interdépendantes. Cet exemple est celui de la chute des corps, dont nous allons nous efforcer de reconstruire succinctement (et de façon évidemment anachronique) la genèse à l’aide d’un outil fondamental de la théorie des systèmes dynamiques, théorie développée au XXe siècle, qui a pour noyau les équations différentielles et dont Poincaré fut le principal initiateur. Cet outil est l’espace des phases.

Loi de la chute des corps16

  • 16 Nous nous inspirons ici d’un exercice proposé dans : Arnold, Équations différentielles ordinaires, (...)

24L’espace des phases est l’espace de tous les états possibles du système étudié. Il a donc pour dimension le nombre de paramètres définissant l’état du système. Dans le cas d’un corps en chute libre verticale, l’état est défini par deux grandeurs : la position et la vitesse. L’espace des phases est donc à deux dimensions. La courbe, tracée dans l’espace des phases, constituée par les points représentant à chaque instant l’état du système est appelée la trajectoire du système ; elle représente en quelque sorte son histoire. C’est l’ensemble de ces courbes qu’il s’agit de déterminer : on connaîtra alors la fonction représentant l’état de tout corps en chute libre à chaque instant, une fois connue sa position et sa vitesse intiales.

25Faisons une série d’expériences consistant à mesurer, à intervalles de temps réguliers, la position (la hauteur par rapport au sol) et la vitesse d’un corps en chute libre. On obtient alors sur l’espace des phases des ensembles de points de la forme suivante (voir dessin 1, page 198).

26Si l’on procède alors à une interpolation, les courbes obtenues sont censées représenter la succession de tous les états des corps en chute libre étudiés. Cette courbe est donc considérée comme paramétrée par le temps : f(t) = (x(t) ; v(t)), avec x = position et v = vitesse. Au lieu de chercher directement l’expression de f(t), cherchons l’équation différentielle qu’elle vérifie. On s’intéresse donc aux vecteurs (dx/dt ; dv/dt) en chacun des points mesurés.

27Or, on a :

28dx/dt = v

29dv/dt = -g, g étant une constante positive, si l’on admet l’hypothèse de Galilée selon laquelle l’accroissement de vitesse est constant.

30On obtient alors, à l’aide des mesures effectuées, le schéma suivant (voir dessin 2, page 198) chaque flèche représentant le vecteur (dx/dt ; dv/dt) = (v ; -g).

  • 17 Cf. Arnold, Équations différentielles ordinaires, p. 26.

31On sait alors17 que si ces vecteurs sont considérés comme les éléments d’un champ de vecteurs continu (ce qui équivaut à procéder à une interpolation sur les vecteurs représentés ci-dessus), alors les orbites de ce champ de vecteurs (c’est-à-dire : les courbes tangentes en chaque point de l’espace au vecteur correspondant à ce point) représentent des fonctions du temps h(t) = (h 1 (t) ; h2 (t)) vérifiant en chaque point l’équation différentielle suivante :

32dh1/dt = v(t)

33dh2/dt = -g

34On a donc : h = f (définie plus haut). En supposant le champ de vecteur continu, on peut ainsi étendre à tous les points de l’espace des phases (c’est ici que l’on induit) l’équation différentielle suivante :

35dx/dt = v(t)

36dv/dt = -g

  • 18 En résolvant cette équation, on obtient évidemment : x(t) = – 1/2gt2 + Ct + D, avec C et D constant (...)

37qui est la loi de la chute des corps18.

  • 19 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 213.

38Quel enseignement tirer de cet exemple ? L’hypothèse de continuité imposée par le principe de raison suffisante pour induire la loi (l’équation différentielle) à partir de la donnée des mesures a ici pris la forme de l’hypothèse sur la continuité du champ de vecteurs. Or, il est manifeste que cette hypothèse s’identifie exactement avec le principe de l’induction tel que le formule Poincaré : « Le conséquent est une fonction continue de l’antécédent. » Ainsi, le recours à une représentation donnée sur l’espace des phases – qui est le cadre naturel de l’étude des équations différentielles – permet de mettre en évidence la coïncidence entre la condition de continuité imposée par le principe de raison suffisante et celle qui définit le principe de l’induction. Il en résulte que le principe de l’induction apparaît comme une forme du principe de raison suffisante, une fois celui-ci spécifié et compris comme croyance en la continuité, croyance « sans laquelle, comme l’écrit Poincaré, toute science serait impossible19 ».

Bibliographie

Références bibliographiques

ARNOLD, Vladimir, Équations différentielles ordinaires, 5e édition en français, Paris, MIR – Librairie du globe, 1996.

CLAVELIN, Maurice, La Philosophie naturelle de Galilée, Paris, Albin Michel, 1996.

LEIBNIZ, Gottfried Wilhelm, Principes de la nature et de la grâce, Paris, Flammarion, 1996.

POINCARÉ, Henri, La Science et l’hypothèse, Paris, Flammarion, 1968.

POINCARÉ, Henri, La Valeur de la science, Paris, Flammarion, 1970.

Notes

1 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 160.

2 Leibniz, Principes de la nature et de la grâce, § 7.

3 Nous ne discuterons pas ici la question de savoir si cette supposition implique un engagement ontologique ou si son statut est seulement méthodologique et régulateur.

4 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 143.

5 Leibniz, Principes de la nature et de la grâce, § 10.

6 Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, III, in Clavelin, La Philosophie naturelle de Galilée, p. 285.

7 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 210.

8 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 164.

9 L’utilisation du principe de raison suffisante est identique lorsqu’il s’agit d’exclure la possibilité d’une situation physique, ou du moins de lui attribuer une probabilité très faible. Ainsi, au sujet de l’unique distribution initiale des petites planètes du système solaire qui aurait pour conséquence la non-uniformité de cette distribution aujourd’hui, Poincaré écrit : « Pour cela, il faudrait qu’à l’époque 0 les petites planètes eussent été toutes placées sur une sorte de spirale d’une forme particulière à spires extrêmement serrées. [...] pourquoi jugeons-nous cette distribution initiale improbable ? Il est nécessaire de l’expliquer, car, si nous n’avions pas de raison de rejeter comme invraisemblable cette hypothèse saugrenue, tout s’écroulerait et nous ne pourrions plus rien affirmer au sujet de la probabilité de telle ou telle distribution actuelle. Ce que nous invoquerons, c’est encore le principe de raison suffisante, auquel il faut toujours revenir. [...] il nous semble qu’il n’y a pas de raison suffisante pour que la cause inconnue qui a donné naissance [aux petites planètes] ait agi suivant une courbe si régulière et pourtant si compliquée, et qui paraîtrait précisément avoir été choisie exprès pour que la distribution actuelle ne fût pas uniforme » (Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 205- 206). Nous avons ici affaire au cas inverse de celui de l’induction : lorsqu’on a affaire à la coïncidence résidant dans le fait qu’une loi simple est vérifiée dans plusieurs cas particuliers, le principe de raison permet d’affirmer que cette loi gouverne effectivement les phénomènes en question ; à l’inverse, lorsque la coïncidence n’est pas constatée, mais imaginée sans que soit posée une loi (une raison) à l’œuvre (c’est le cas pour la distribution initiale des petites planètes du système solaire), alors le principe de raison suffisante impose que l’on attribue une très faible probabilité à cette situation de coïncidence. Dans les deux cas, le principe de raison suffisante coïncide avec le refus d’attribuer au hasard (à l’absence de loi déterminante) la production d’une coïncidence.

10 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 161.

11 Poincaré, La Valeur de la science, p. 125.

12 Poincaré, La Valeur de la science, p. 119.

13 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 161.

14 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 213.

15 Poincaré, La Valeur de la science, p. 177.

16 Nous nous inspirons ici d’un exercice proposé dans : Arnold, Équations différentielles ordinaires, p. 30.

17 Cf. Arnold, Équations différentielles ordinaires, p. 26.

18 En résolvant cette équation, on obtient évidemment : x(t) = – 1/2gt2 + Ct + D, avec C et D constants.

19 Poincaré, La Science et l’hypothèse, p. 213.

Notes de fin

* Exposé du 6 mai 2000 à l’ENS Fontenay – Saint-Cloud.

Table des illustrations

Titre Dessin 1
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Titre Dessin 2
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Auteur

Ingénieur de l’École centrale de Lyon, agrégé de philosophie, PRAG à l’université d’Angers, prépare une thèse sur Henri Poincaré.

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