1Ces techniques, comme l’analyse des correspondances sont des approximations des données mais les régularisations qu’elles effectuent rendent les données beaucoup plus faciles à interpréter, ce qui est intéressant si l’on dispose d’indicateurs qui nous permettent de nous rendre compte de la validité des résultats.

2Parler de techniques « toutes choses égales par ailleurs » fait appel à l’idée que si un phénomène social est dû à plusieurs causes, il peut être intéressant de voir l’effet propre de chacune des causes, indépendamment des autres.

3Pour reprendre un exemple traité par ailleurs¹, si le fait d’avoir un fort niveau d’étude encourage à la lecture, et si l’on sait que les femmes lisent plus que les hommes : comme les deux aspects vont ensemble, on souhaite avoir une méthode qui neutralise l’effet de sexe pour isoler l’effet de niveau d’étude (et inversement qui neutralise l’effet de niveau d’étude pour avoir l’effet de sexe).

I. – Analyse tabulaire multivariée

4On dispose d’une méthode simple et ancienne pour traiter ce genre de question dans des tableaux croisés, c’est ce qu’on appelle l’analyse multivariée dont la base est d’abord de disposer d’une répartition de la population en ligne qui croise tous les cas de figure possible : dans l’exemple sur la lecture, 2 pour le sexe et 2 pour le niveau d’étude, ce qui fait 4 cas de figure que l’on va croiser avec la variable à expliquer. Nous allons traiter ici un exemple analogue pour chercher à savoir comment est adopté le nouveau style éducatif, précisément en tenant compte du sexe de l’enfant et du niveau d’étude du père². On a les 4 lignes suivantes :

5Le plus bas niveau de choix du nouveau style éducatif se trouve dans la première ligne : pour des garçons de la part d’un père de niveau d’étude inférieur. La proportion est de 13,33 %.

6Nous allons neutraliser successivement l’effet du sexe et du niveau d’étude. Commençons par le niveau d’étude où deux situations sont possibles pour voir l’effet du sexe, dans le cas du niveau inférieur (deux premières lignes) ou du niveau supérieur (deux dernières lignes).

71/ Effet du sexe : entre les deux premières lignes, toutes deux de niveau inférieur, la seule différence est que, en passant du sexe masculin au sexe féminin, la proportion de nouveau style éducatif passe de 13,33 % à 19,58 % soit une augmentation de 19,58 – 13,33 = 6,25 points.

8Refaisons le même calcul pour le niveau supérieur (les deux dernières lignes) : la différence est cette fois de 24,80 – 21,10 = 3,70. On constate donc qu’il y a dans les deux cas un effet féminin qui fait monter la proportion de nouveau style : l’idée d’approximation sera introduite ici en prenant la moyenne des deux effets : l’effet féminin est de (6,25 + 3,70) / 2 = 5,0 points de pourcentage.

92/ Effet du niveau d’étude : nous réutilisons les mêmes lignes du tableau mais de façon différente. Pour le sexe masculin (1^re et 3^e lignes), l’effet de niveau supérieur fait que l’on passe de 13,33 % à 21,10 % soit une augmentation de 7,77.

10Pour les sexe féminin (2^e et 4^e lignes) l’augmentation est de 24,80 – 19,58 = 5,22. Les deux effets vont dans le même sens et l’effet moyen est de 6,5.

11En utilisant ces effets moyens, il devient possible de présenter les données d’une manière spécifique à l’analyse « toutes choses égales par ailleurs » : par rapport à la situation masculin et niveau inférieur, de 13,3, l’effet féminin ajoute + 5,0 et indépendamment, l’effet niveau supérieur ajoute + 6,5. On résume l’information en donnant la situation d’où l’on est parti comme référence et l’on donne séparément les deux effets.

12Les deux effets vont dans le même sens : quand on a un enfant de sexe féminin, la propension à choisir le nouveau style d’éducation augmente de 5 % toutes choses égales par ailleurs, c’est-à-dire quel que soit le niveau d’étude du père. De même le niveau supérieur favorise une augmentation de 6,5 %. Le choix du point de départ est sans importance. Si on avait pris comme situation de référence le sexe féminin, l’effet masculin aurait simplement été inversé, il aurait fait baisser de 5 %, de même pour le niveau d’étude. D’une manière pratique, il faut choisir comme référence ce qui est le plus clair et le plus intelligible. Parler d’effet féminin est clair car on sait qu’il s’agit d’un effet sur les études qui a déjà été repéré³.

13Cette manière simplifiée de présenter les données (situation de référence + effets séparés) permet de reconstruire une approximation des données, dont on vérifiera, dans le cas présent, qu’on ne commet pas trop d’erreur en prenant l’approximation plutôt que la réalité qui, dans ce cas simple, est entièrement connue. L’erreur, malgré les simplifications apportées par l’utilisation de la moyenne simple, n’atteint pas 2 %.

14Dans la suite on utilisera une moyenne pondérée, c’est-à-dire que chaque élément de la moyenne vaudra au prorata de l’effectif du groupe. Par exemple, l’effet féminin qui était calculé simplement en prenant la moyenne ordinaire (6,25 + 3,70) / 2 = 5,0 sera calculé en pondérant le premier sous-effet de 6,25 par 278 (effectif des deux premières lignes d’où est tirée la différence et qui correspond à l’effectif total du niveau inférieur) et de même 3,70 sera pondéré par l’effectif du niveau supérieur). Le total général est de 512. Le calcul de moyenne pondérée est le suivant : (6,25 × 278 / 512) + (3,70 × 234 / 512) = 5,1. Ici, la différence est peu sensible car les deux groupes sont équilibrés. J’appelle cette manière de faire l’analyse tabulaire car tout est issu de calculs à l’intérieur de tableaux croisés⁴. Comme on va le voir, ses résultats sont toujours très proches de la manière de faire la plus utilisée, la régression logistique sur des modalités de réponses.

15Il faut parler de la régression logistique pour comprendre sa logique mais, comme l’analyse tabulaire produit des résultats très semblables, je ne chercherai pas ici à la présenter en profondeur : il vaut mieux interpréter les résultats dans une logique d’analyse tabulaire. Ce qui suit en montre la logique pour qui a déjà une idée de la régression en général.

II. – La régression multiple

16L’idée de la régression multiple (linéaire aussi bien que logistique) est d’avoir une variable à expliquer (y de y = ax + b de l’équation ordinaire d’une droite) et plusieurs variables explicatives (x₁, x₂, x_n pour une régression multiple de la forme y = a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n + b) où les x sont la présence (notée 1) ou l’absence (notée 0) d’une modalité explicative (dans l’exemple précédent, le fait d’être de sexe féminin ou de niveau supérieur) et où les a sont des coefficients numériques qui vont être calculés. Le coefficient b est appelé l’ordonnée à l’origine (en anglais intercept).

17Le nombre de coefficients a et de modalités x dans le cas de l’analyse précédente est de deux comme on l’a vu. En effet, dans le cas d’une question à deux modalités, définir l’effet féminin, c’est rendre compte de la question en entier car la deuxième modalité a servi de repère, de référence. Quand nous aurons une question à trois modalités (ou davantage), une seule servira de référence et les autres seront toutes un effet spécifique. Si l’on veut utiliser une variable reflétant une orientation politique en droite/centre/gauche, il faudra par exemple choisir le centre comme référence et l’on aura un effet gauche et un effet droite. On prend souvent une modalité intermédiaire comme référence (par exemple pour les tranches d’âge) mais ce n’est pas une obligation : le but du choix est de rendre l’interprétation plus aisée. Il faut prendre une situation de référence pour chaque question mais on a le choix.

18Prendre une modalité comme référence, c’est ne pas l’utiliser dans les données car on utilise toutes les autres modalités de la même question qui suffisent donc à l’information. Pour reprendre le codage d’une affiliation politique en trois modalités et qu’on prenne le centre comme référence, si un individu n’est ni de gauche ni de droite, c’est qu’il est du centre, même si cette modalité n’est pas indiquée, l’information qu’elle comporte est portée par les deux autres.

19Les données qui sont traitées sont un tableau où, en ligne, se trouvent tous les individus de l’enquête et où, à chaque colonne, correspond une modalité (qui n’est pas la référence). Chaque modalité est codée en présence/absence, c’est-à-dire en 0/1. Pour l’exemple précédent, les trois cas possibles sont codés de la manière suivante :

20Si on veut garder la possibilité de non-réponse, il faut créer une modalité supplémentaire et on aurait alors le codage suivant (en conservant le centre comme référence).

21Comme on le verra, la multiplication du nombre de modalités a des effets plutôt négatifs sur la fiabilité des résultats et il vaut mieux donc recoder les non-réponses.

22Pour la question à expliquer, et quelque soit le nombre de modalités, seule est utilisée la modalité qui est précisément à expliquer.

23Quand un individu ne prend que les modalités qui sont toutes les références, pour lui, tous les x sont nuls. Le coefficient b correspond alors à la situation de référence et y = b.

24Pour mieux comprendre prenons le cas de la régression linéaire appliqué aux trois variables précédentes : la variable à expliquer (Y) est le Nouveau style éducatif, les variables explicatives sont l’effet féminin (X₁) et l’effet niveau supérieur d’éducation (X₂). La manière linéaire d’écrire l’équation de régression multiple Y = a₁ X₁ + a₂ X₂ + b devient :

NouvStyle = a₁ Féminin + a₂ NivSup. + b.

25En régression linéaire, les coefficients ont les valeurs suivantes (entre parenthèses, les valeurs correspondantes de l’analyse tabulaire avec pondération).

a₁ = 5,2 (5,1) effet féminin
a₂ = 6,6 (6,4) effet niveau supérieur
b = 13,8 (13,3) situation de la référence (masc., inf.).

26Finalement l’équation de régression s’écrit :

NS  = 5,2 Féminin + 6,6 NivSup. + 13,8
où NS désigne le Nouveau style

27Selon qu’on donne la valeur 0 ou 1 à chaque modalité, selon qu’elle est présente ou absente, le modèle linéaire conduit ici à quatre situations :

Si Fém. = 1 et NivSup. = 1 NS = 5,2 + 6,6 + 13,8 = 25,6 %
Si Fém. = 1 et NivSup. = 0 NS = 5,2 + 13,8 = 19,0 %
Si Fém. = 0 et NivSup. = 1 NS = 6,6 + 13,8 = 20,4 %
Si Fém. = 0 et NivSup. = 0 NS = 13,8 = 13,8 %

28On voit que, là aussi, les paramètres de la régression linéaire sont proches de ceux de l’analyse tabulaire et de l’observation. Dans les résultats de la régression linéaire, les paramètres ne sont pas présentés en pourcentage comme ici, mais en proportion, ce qui n’est pas difficile à transformer.

29En régression logistique, ce n’est plus la simple proportion p qui est estimée mais le rapport p / (1 – p) appelé en anglais odds, que l’on peut traduire par chances (on utilisera toujours le mot risques si le contexte le nécessite : on parle des chances d’avoir un examen, du risque d’être malade).

III. – Chances et rapport des chances

30En anglais, odd, sans s, désigne « la petite chose qui s’ajoute » : soit au nombre pair (even) et c’est alors le nombre impair, soit à un nombre quelconque : odd désigne alors ce qui est en plus du nombre rond (odd change désigne la monnaie faite à partir d’un billet), d’où par extension, ce qui est dépareillé ou non usuel. Passant de l’adjectif au nom au pluriel, odds passe de l’idée d’imparité à la désignation de l’inégalité, des avantages, des chances. L’usage le plus connu du mot est celui utilisé par les turfistes pour parler des chances d’un cheval, de sa cote : quand on dit que tel cheval est coté à 3 contre 1, cela signifie que sa probabilité de gagner est 3 fois plus grande que sa probabilité de perdre et donc, par conséquent, si l’on parie sur lui (et qu’il gagne) on obtiendra 3 fois la somme pariée alors que s’il perd, on perdra la mise. Les odds, les chances, mettent en rapport une situation dissymétrique : au numérateur on a la probabilité de la réussite, et, plus largement de la « bonne situation » et au dénominateur, la probabilité de l’échec, de la mauvais issue. Évidemment, la relation entre la probabilité de la réussite et celle de l’échec est la complémentarité à l’unité. Si la probabilité pour un cheval d’arriver gagnant est de 0,75, celle de son échec est de

(1 – 0,75) = 0,25

31et sa cote est de

p / (1 – p) soit 0,75 / 0,25

32c’est à dire 3 contre 1.

33Une difficulté de vocabulaire vient du fait que l’on parle aussi de chances pour désigner simplement la probabilité : ce qui lève l’ambigüité est le fait que les chances au sens de cote sont toujours suivies de la mention de contre.

34Ceci s’applique aussi dans le cas des cotes inférieures à 1 (car des chances supérieures à l’unité ne peuvent être confondues avec des probabilités toujours comprises entre 0 et 1). Par exemple si nous reprenons la première ligne du tableau 11 qui croise le choix d’un nouveau style éducatif avec la situation de l’élève, on a :

35Les chances de recevoir un nouveau style éducatif sont le rapport de la probabilité de l’avoir (18 / 135) = 0,1333 rapporté à son complément, la probabilité de ne pas l’avoir (117 / 135) = 0,8667 = (1 – 0,1333). Ces chances sont de 0,13333 / 0,8667 = 0,154 contre 1. Chances qui peuvent être calculées plus simplement en faisant le rapport des effectifs : 18 / 117 = 0,154.

36Plutôt que le rapport 0,154 / 1 qui ne parle pas à l’imagination, on le multipliera par 10 (ou par 100) et l’on dira que les chances de recevoir un nouveau style d’éducation pour ces garçons de faible niveau est de 1,54 contre 10 (de ne pas le recevoir) ou de 15,4 contre 100. Évidemment si l’on considérait les risques plutôt que les chances, ils seraient de l’inverse soit 117 / 18 = 6,5 de ne pas recevoir un nouveau style éducatif contre 1 (de le recevoir).

37Le tableau suivant nous donne le calcul pour les quatre situations :

38Examinons les chances pour les deux situations extrêmes : pour les garçons de niveau inférieur, les chances de recevoir un nouveau style éducatif sont de 15,38 contre 100 de ne pas en recevoir un, tandis que pour les filles de niveau supérieur elles sont de 32,98 contre 100, soit le double. Cela nous introduit au rapport des chances (en anglais Odds Ratio d’où l’abréviation OR souvent utilisée aussi en français).

39Si l’on prend comme référence, c’est-à-dire comme dénominateur du rapport, la situation masculine, le rapport des chances est le suivant :

OR : Chances FémNivSup. / Chances MascNivInf.

400,3298 / 0,1538 = 2,1 : les chances féminines (de niv. sup.) sont le double des chances masculines (de niv. inf.).

41Le rapport des chances (OR = Odds Ratio) est toujours un nombre positif tantôt inférieur à 1 tantôt supérieur, il servira de multiplicateur pour modifier les chances de la référence.

IV. – Équation de la régression logistique

42L’équation de la régression logistique décrit une situation générale à gauche du signe égal sous la forme des chances de l’obtenir (variable à expliquer, équivalent du y d’une régression linéaire). Il est fréquent d’écrire ces chances sous la forme p / (1 – p) car quand on aura les chances d’une situation particulière, on pourra en déduire la probabilité p.

43À droite du signe égal, on a les chances de la situation de référence multipliées par un ensemble de multiplicateurs qui dépendent de toutes les situations. Ces multiplicateurs sont les Odds Ratios.

44p / (1 – p) = chances de la référence × produit de multiplicateurs dépendants des situations. Ici les chances de la référence sont estimées à 0,1659.

45Attention, cette valeur ne correspond pas strictement à l’observation 0,1538 (donnée par l’analyse tabulaire) car la régression logistique est un modèle estimé à partir de l’ensemble des données.

46Dans le cas présent, il y a deux OR multiplicateurs qui modifient les chances de la référence : un relatif au sexe féminin (valeur estimée = 1,39) et un relatif au niveau supérieur (valeur estimée = 1,51). L’équation de régression logistique s’écrit donc :

p / (1 – p) = 0,1659 x 1,39 (si Fém.) x 1,51 (si NivSup.)

47Cette équation permet d’examiner tous les cas de figures :

481/ Féminin et Niveau supérieur : les chances de la référence (0,1659) sont multipliées par le produit des deux multiplicateurs 1,39 x 1,51 = 2,09 : on retrouve le fait que les chances observées soient multipliées par deux.

49p / (1 – p) = 0,1659 x 1,39 x 1,51 = 0,348 d’où l’on tire p = 0,348 (1 – p) soit p = 0,348 – 0,348 p et donc p + 0,348 p = 0,348 et p (1 + 0,348) = 0,348 et finalement p = 0,348 / 1,348. Concrètement, quand on a des chances Ch, pour retrouver la proportion correspondante p, on prend p = Ch / (1 + Ch) formule appelée dans la suite « p issue des chances ». On a ici p = 0,348 / 1,348 = 0,258 soit 25,8 %.

502/ Masculin et niveau inférieur : c’est la situation de référence, il n’y a pas de coefficient multiplicateur, les chances 0,1659 ne sont pas modifiées et la proportion estimée est de p = 0,1659 / 1,1659 = 0,142 soit 14,2 %.

513/ Féminin seul : c’est là tout l’intérêt de la méthode qui consiste à voir l’effet d’une modalité seule, indépendamment des autres. Dans ce cas, les chances de la référence sont multipliées par le seul coefficient multiplicateur 1,39 qui correspond au sexe féminin.

p / (1 – p) = 0,1659 × 1,39 = 0,231

52d’où p = 0,231 / 1,231 = 0,187 soit 18,7 % c’est-à-dire 4,5 points de pourcentage de plus que pour la situation de référence (18,7 – 14,2). On dit que l’effet marginal en pourcentage est de 4,5 points (ou, d’une manière discutable mais courante de 4,5 %)

534/ Niveau supérieur seul :

p / (1 – p) = 0,1659 × 1,51 = 0,251

54d’où p = 0,251 / 1,251 = 0,200 soit 20,0 %. Le gain de pourcentage est de 20,0 – 14,2 = 5,8 %. L’effet niveau supérieur est plus important que l’effet féminin.

55Plusieurs remarques sont à faire :

561/ Les résultats de la régression logistique sont du même ordre que ceux de l’analyse tabulaire donnée plus haut : c’est toujours le cas. Ils sont également de même ordre que ceux de la régression linéaire.

572/ Si l’on compare la situation de référence, les effets simples et la situation où ses effets vont ensemble on a les quatre cas étudiés plus haut :
– masculin niv. inf. (référence) : 14,2 % ;
– féminin seul : 18,7 % soit un effet de 4,5 % ;
– niveau sup. seul : 20,0 % soit un effet de 5,8 % ;
– féminin et niv. sup. : 25,8 soit un effet de 11,6 % qui n’est pas égal à la somme des deux effets isolés car 4,5 + 5,8 = 10,3.

58Ce phénomène est général : si l’on veut calculer l’effet conjoint il faut multiplier entre eux les OR puis appliquer ce coefficient aux chances de la référence plutôt que d’ajouter algébriquement les effets marginaux en pourcentage. Cependant, il faut discuter ce principe car les précisions sont illusoires : ce que nous donne la régression logistique est un modèle qui, comme tout modèle, est simplificateur de l’observation. Vouloir isoler l’effet pur comme étant une réalité existante, alors que c’est une modélisation simplificatrice, risque de transformer une démarche exploratoire en création artificielle qui semble plus exacte que l’observation : c’est une démarche risquée.

593/ Les formules multiplicatrices que l’on rencontre souvent sont du type suivant :

p / (1 – p) = OR₁x¹ x OR₂x² x ChancesRéf.

60où ici OR₁ et OR₂ sont les OR de « féminin » et de « niveau supérieur » qui servent de coefficient multiplicateur.

61Les exposants X₁ et X₂ correspondent au codage des données en présence/absence, c’est-à-dire en 0/1 étudié plus haut. Pour l’OR = 1,39 correspondant à féminin, 1,39¹ = 1,39 correspond au fait qu’on traite la présence codée 1 de la modalité féminin et 1,39⁰ = 1 correspond au fait que l’on traite l’absence codée 0 de la modalité féminin. Le multiplicateur 1 est neutre et sans effet sur le reste. D’une manière plus imagée, on peut écrire.

p / (1 – p) = 1,39^Féminin × 1,51^NivSup. × ChancesRéf.

624/ Pour des raisons diverses, théoriques et historiques, une transformation logarithmique est souvent faite de la formule multiplicative. Cette transformation remplace le produit des OR et des chances de la référence par une somme où les exposants deviennent des multiplications. Dans le cas présent on a :

log(p / (1 – p)) = Féminin × log(1,39) + NivSup. × log(1,51) + log(ChancesRéf.)

63où « Féminin » ou « NivSup. » comme précédemment ne prennent que les valeurs 1 (présence) ou 0 (absence). D’une manière générale, on note ces indicateurs de présence/absence par x₁, x₂, etc., les résultats numériques des logarithmes (naturels) des OR par des coefficients a₁, a₂ et le log des chances de la référence par un coefficient b. On retrouve ainsi le symbolisme de la régression linéaire multiple :

log(p / (1 – p)) = a₁x₁ + a₂x₂ + b

64soit ici

log(p / (1 – p)) = 0,329 x₁ + 0,409 x₂ – 1,7964

65Ce qui ne simplifie pas la gestion pratique des résultats vient du fait que les programmes usuels donnent soit les coefficients a (log des OR) et b (log des chances de la référence), soit les OR et les chances de la référence, soit l’évaluation en pourcentage de la référence et les effets en pourcentage associés à un OR. Plutôt que de donner des formules directes qui permettent de passer des coefficients a et b aux autres résultats, la manière la plus simple est de se ramener aux OR.

66Pour passer des coefficients a aux OR, il suffit de prendre la fonction inverse du logarithme naturel, c’est-à-dire la fonction exponentielle.

67Par exemple pour la modalité « féminin » : les programmes donnent un coefficient a = 0,329. Pour retrouver l’OR on prend la fonction exponentielle (inverse du logarithme naturel ln).

Exp(0,329) = 1,39 (inversement ln(1,39) = 0,329)

68De même pour passer du coefficient b aux chances de la référence, il suffit de prendre l’exponentielle de b car exp(– 1,7964) = 0,1659.

V. – Utilisation de la régression logistique

69Après cette utilisation sur un exemple simplifié, utilisons la méthode en introduisant davantage de modalités, toujours pour expliquer le nouveau style d’éducation.

70Il faut cependant être prudent et ne pas introduire un trop grand nombre de modalités : comme le montre l’analyse tabulaire, introduire une nouvelle question (à plusieurs modalités), c’est faire un tri de profondeur supplémentaire, donc émietter les données et rendre les résultats instables (et non significatifs). On peut, pour faire ce choix des modalités à introduire, faire une analyse des correspondances préalable à partir d’une nouvelle variable d’intérêt, ici le niveau éducatif, et introduire toutes les variables explicatives pensables : religion, politique, niveau scolaire des grands-parents, etc.

71À partir d’une analyse de cette sorte, on va retenir les indicateurs suivants :
– le sexe de l’enfant ;
– le fait qu’il soit scolairement en retard ou non ;
– l’opinion politique du répondant (qui est la mère), que l’on regroupera en quatre modalités : droite, gauche, écologistes et le regroupement de ceux qui refusent de se positionner ou qui se qualifient au centre (dans la suite « ni gauche ni droite ») ;
– un indicateur de pratique religieuse : on qualifie un répondant de lié à la religion s’il a un des caractères suivants : pratique religieuse régulière de la mère, enseignement religieux donné à l’enfant, communion solennelle faite par l’enfant.

72La variable à expliquer est toujours le fait d’avoir choisi un nouveau style éducatif.

73Pour chaque question, il faut examiner l’effet d’une des modalités et donc en prendre une comme référence. Pour le sexe on prendra « masculin » comme référence pour voir s’il y a un effet « féminin » : comme il n’y a que deux modalités, prendre l’option inverse correspondrait à inverser simplement le signe de l’effet, ce qui n’a pas beaucoup d’importance. Pour le retard, on prendra le fait de ne pas y être comme référence (donc à l’heure ou en avance). Pour la politique, le fait de n’avoir pas d’opinion marquée (centre ou refus), pour la religion, le fait de ne pas en avoir.

74Les résultats sont donnés directement par les programmes mais le détail est important pour comprendre les résultats :

751/ évaluation de la situation de référence : le fait d’être masculin, à l’heure, ni gauche ni droite, sans religion. Le modèle de la régression logistique donne un paramètre qui indique 1) le logarithme des chances de la référence = – 1,3987 qui permet d’obtenir 2) les chances de la référence :

exp(– 1,3987) = 0,2469

76et donc 3) par la formule p issue des chances vue plus haut p = Ch / (1 + Ch) la proportion estimée = 0,2469 / 1,2469 = 0,198 soit 19,8 %

772/ pour chacune des modalités ayant un effet (autre que la référence), on a, par exemple pour le cas de la religion, le logarithme du rapport des chances (Odds Ratio ou OR) = – 0,5118 : comme il est négatif, son exponentielle sera inférieure à 1 :

exp(– 0,5118) = 0,60.

78Quand la religion est présente, les chances de la référence sont multipliées par 0,60 soit 0,60 x 0,2469 = 0,1481 et la proportion dans cette situation est égale à 0,1481 / 1,1481 = 0,1290 soit 12,9 %. On voit qu’on a baissé de 6,9 points de pourcentage. On note cet « effet marginal » en négatif soit – 6,9.

79D’une manière analogue, les différents effets marginaux sont les suivants :

80Dans les programmes usuels, ces résultats sont jugés significatifs ou non en utilisant un indicateur qui suit une distribution du Khi-deux. Ici, tous les effets sont significatifs sauf celui de la gauche.

81Les programmes usuels donnent plus ou moins de détails, mais une version complète peut donner les coefficients logarithmiques, les OR, les effets marginaux, leur seuil de signification : dans le tableau 17 ci-dessous, trois étoiles correspondent à un seuil de 1 %, deux à 5 %, une à 10 % et ns veut dire non-significatif.

82Si seuls les coefficients sont indiqués, il faut se souvenir que l’exponentielle d’un coefficient négatif correspond à un OR inférieur à 1 qui correspond à un effet marginal négatif. L’influence est alors négative et, symétriquement, elle est positive quand le coefficient est positif. De même un OR plus grand que 1 correspond à un effet marginal positif (et réciproquement s’il est inférieur à 1).

83L’interprétation que l’on peut faire est qu’il y a des caractéristiques qui sont plus ou moins importantes dans le choix d’un nouveau style éducatif et que ces caractéristiques peuvent agir indépendamment les unes des autres. En ce qui concerne l’enfant, le fait qu’il soit en retard agit puissamment (+ 18 %), beaucoup plus que le fait qu’il soit de sexe féminin (+ 5 %) : on retrouve des résultats déjà étudiés. Par contre, les opinions touchant les parents sont également à prendre en compte : si l’option de gauche paraît neutre, l’option écologiste, c’est-à-dire une certaine non-conformité au modèle des classes moyennes supérieures agit dans le sens d’un choix éducatif non conformiste (+ 8 %). Inversement, le choix de droite (– 10 %) ou le choix religieux (– 7 %) manifestent bien ce refus d’un choix éducatif non traditionnel. Le choix d’un style éducatif nouveau fait de confiance en l’enfant, de respect de son développement, s’impose plus quand il est en difficulté mais peut être aussi choisi au nom d’options politiques et sociales. La régression logistique manifeste que ces choix sont faits « toutes choses égales par ailleurs » c’est-à-dire d’une manière indépendante.

VI. – Variations

84On peut présenter les mêmes résultats sous forme d’une formule, soit additive en utilisant les coefficients logarithmiques, soit multiplicative en utilisant les Odds Ratios. À gauche du signe égal, on a la variable à expliquer, les chances de la situation générale dans le cas multiplicatif, son logarithme dans le cas additif.

85Manière de faire multiplicative : les chances du cas général sont égales aux chances de la référence multipliée par les rapports des chances (OR) des différentes modalités autres que de référence. Dans l’exemple du tableau 17 on a :

p / (1 – p) = 0,60^ReligOui × 0,45^Droite × 1,0^Gauche × 1,59^Écolog. × 1,31^Fém. × 2,47^RetardOui × 0,2469

86Quand une modalité est prise (codage logique = 1), son rapport de chance est pris, si elle n’est pas prise (codage logique = 0), le multiplicateur vaut 1 donc est neutre. Cette formule permet de cumuler plusieurs situations : étudions par exemple le cas d’une mère écologiste (OR = 1,59) dont l’enfant est en retard (OR = 2,47). Le produit des rapports appliqué aux chances de la référence est égal à (calculé avec 4 décimales) :

1,5858 × 2,4682 × 0,2469 = 0,9664

87d’où l’on tire par p issue des chances :

p = 0,9664 / 1,9664 = 0,491 soit 49,1 %.

88L’écart à la situation de référence est de 49,1 – 19,8 = + 29,3. On remarquera que cet écart est différent de la somme des deux effets marginaux correspondants 8,3 + 18,1 = 26,4. Ce résultat est général et entraine la consigne « qu’on n’a pas le droit d’additionner algébriquement les effets marginaux », ce qui est exact mais qui ne doit pas laisser penser que les résultats calculés avec le passage aux OR sont contradictoires avec la dite somme. De toute façon, comme déjà dit, les résultats obtenus sont les résultats de l’estimation d’un modèle, non d’une observation (que peut donner le détail d’une analyse tabulaire).

89Manière de faire additive : le logarithme (naturel) des chances du cas général sont égales au logarithme des chances de la référence additionné des logarithmes des OR des modalités autres que la référence. Dans l’exemple du tableau 17 on a :

ln(p / (1 – p)) (quantité appelée aussi logit)
ln(p / (1 – p)) = – 0,51ReligOui – 0,79Droite + 0,003Gauche + 0,46Écolog. + 0,27Fém. + 0,90RetardOui – 1,40

90Quand une modalité est prise (codage logique = 1), son coefficient logarithmique est pris, si elle n’est pas prise (codage logique = 0), le coefficient logarithmique vaut 0, donc est neutre. Si nous reprenons l’exemple précédent (Écologiste et retard) et en prenant les valeurs exactes à la 4^e décimale,

ln(p / (1 – p) = 0,4611 + 0,9035 – 1,3987 = – 0,0341

91l’exponentiel du membre de gauche nous donne les chances p / (1 – p), exp(– 0,0341) = 0,9665. On retrouve à l’arrondi près le coefficient multiplicateur précédent qui conduit donc au même résultat.

92Cette gymnastique de calculs permet de s’assurer de la bonne compréhension des résultats mais la lecture rapide qui est faite des résultats porte soit sur le signe des coefficients logarithmiques, soit sur la position par rapport à l’unité des OR, soit sur le signe des effets marginaux, tout en vérifiant qu’ils sont significatifs.