Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

Simon Stevin. De la vie civile, 1590

 | 
Catherine Secretan
, 
Pim Boer den

L’œuvre de Simon Stevin

La rhétorique mathématique dans la Statique de Simon Stevin

Dominique Descotes

Texte intégral

  • 1 Simon Stevin, Les Œuvres Mathematiques De Simon Stevin de Bruges. Ou sont inserées les Memoires Ma (...)

1Comme plusieurs travaux connus ont mis en lumière les aspects novateurs de l’œuvre mathématique de Stevin, la présente étude se cantonne au problème plus modeste de l’usage fait du style mathématique dans ses écrits de statique, question relative plutôt à la rhétorique qu’à la pensée scientifique. Quoique la traduction d’Albert Girard soit généralement reconnue comme très fidèle eu égard aux habitudes de l’époque, elle n’en conserve pas moins une marge d’approximation, sur laquelle le Père Bosmans a jadis attiré l’attention, fournissant du même coup d’utiles corrections ; la prudence s’impose donc sur ce point : nous éviterons autant que possible d’entrer dans des considérations d’ordre purement littéraire1.

2L’emploi des formes mathématiques de démonstration ne va pas de soi à l’aube du xviie siècle. La physique aristotélicienne n’a guère besoin des mathématiques, sauf de manière grossière. D’autre part la stricte division du savoir en compartiments étanches demeure de règle. On connaît l’argument opposé à Galilée :

nous ne sommes pas autorisés à utiliser les principes d’une science pour prouver les propriétés d’une autre. Par conséquent, quiconque pense pouvoir prouver des propriétés naturelles avec des arguments mathématiques est insensé, car il s’agit de deux sciences très différentes.

  • 2 William Shea, La révolution galiléenne, Paris, Seuil, 1992, p. 61.

3Comme l’écrit l’Académicien inconnu, « les propositions et preuves des mathématiques ne parviennent pas à démontrer la force et les causes véritables des opérations de la nature »2. Les ingénieurs de la Renaissance non plus n’ont pas toujours eu besoin d’une mathématique très élaborée. L’apparition d’une inspiration archimédienne explique pourtant l’existence de certains traités de mécanique présentés sous une forme géométrisée, comme le Mechanicorum liber de Guido Ubaldo. L’usage de la géométrie s’est imposé progressivement, pour formuler les lois de la nature. Mais Stevin va plus loin que la thèse que « la mécanique est le paradis des sciences mathématiques ». Il soutient nettement « que la statique est une science libérale particulière de mathématique », c’est-à-dire une discipline digne dans l’éducation des honnêtes gens, avec la grammaire, la rhétorique, les mathématiques, l’astronomie et la musique : donc un art qui n’est pas restreint au bas niveau des artisans ignorants. La promotion de cette discipline s’appuie sur l’idée qu’on n’y est pas livré au tâtonnement aveugle ni au hasard, qu’elle est objet de la raison, en mesure surtout de contribuer à la prospérité publique, tant pour le commerce que pour la politique des princes. Stevin compose un plaidoyer plein d’humour et d’ardeur en faveur de telles sciences :

  • 3 Œuvres, p. 124-125.

Quelqu’un ignorant l’ordre et la méthode du siècle sage, pourrait dire que l’apprentissage, et la rétention de tant de diverses matières subtiles que les arts libéraux contiennent, ne se peut faire sans amener quant et soi une vie pénible, et une négligence des choses plus nécessaires à l’économie, et qui font, comme on dit, fumer la cheminée ; voire il s’en trouve de tels qui ne peuvent croire comment cet exercice de Son Excellence (au milieu d’un gouvernement dont la renommée circuit toute la terre) se puisse faire sans le détriment d’autres affaires de plus grande importance. Or ceci sonne aux oreilles de ceux qui entendent que c’est de la méthode du siècle sage, ne plus ne moins que si un idiot des lettres s’émerveillait comment il serait possible que l’on retienne continuellement le nom et forme des caractères, la manière de lire et prononcer, et autres circonstances que la grammaire apporte quant et soi, sans négliger ses autres affaires. Mais tout ainsi qu’on répondrait là dessus, que telle exercice et remémoration du lire et écrire n’est pénible, qu’au contraire elle apporte un soulagement et facilité ; voire qu’il serait plus émerveillable que quelqu’un puisse manier de grandes affaires sans avoir connaissance des lettres : Pareillement on leur répondrait que l’apprentissage et exercice des sciences libérales, par une méthode du siècle sage, n’est nullement pénible, et difficile, ni n’apporte détriment en d’autres affaires, qu’au contraire elle amène un éclaircissement en toute façon ; et qu’il serait plus émerveillable comment quelqu’un serait propre et capable de grandes choses sans la connaissance d’icelles.3

4Cette noblesse, Stevin y revient à plusieurs reprises dans ses sommaires, où il rappelle que « Son Excellence » Maurice de Nassau s’y est intéressé, qui, sur des sujets comme l’âpreté des freins, a lu « les écrits de ceux qui sont plus renommés, tant anciens, que modernes, et [s’est] abouché pour ce sujet avec les plus expérimentés » ; ce qui

  • 4 Ibid., p. 514.

lui donna envie de s’exercer en la statique précédente, espérant par là pouvoir mieux comprendre la raison de ceci, à quoi il est parvenu finalement, faisant faire les brides et mords, non à l’aventure, comme auparavant, mais avec une certitude des longueurs nécessaires… 4

5De même, c’est de lectures de « son Excellence » relatives à la throchléostatique que sont nées la recherche du livre sur les poulies et plusieurs découvertes exposées en Appendice.

Mathématisation de la mécanique

6Comment Stevin conçoit-il cette subordination de la mécanique aux mathématiques ?

  • 5 Guido Ubaldo, Guidi Ubaldi e Marchionibus montis Mechanicorum liber, in quo haec continentur : De (...)

7Mathématisation s’entend en deux sens : d’abord comme la réduction des phénomènes à des figures géométriques ou des rapport arithmétiques auxquels s’applique le raisonnement, et dans ce sens, Stevin justifie l’emploi des mathématiques dans les questions de physique naturelle par la nature intrinsèque de la statique ; mais c’est aussi le recours aux formes rhétoriques de la mathématique euclidienne, que Stevin, qui en fait un usage affirmé, avec une fidélité rigoureuse qui a valeur de manifeste, explique par des exigences de clarté et de pédagogie5.

  • 6 Pierre Duhem, Les origines de la statique, I, Paris, Hermann, 1905-1906, 2 vol., p. 268-270.

8Stevin définit la mécanique comme science rationnelle par sa nature mathématique : « Statique est une science qui déclare les raisons, proportions et qualités des pesanteurs des corps. » C’est pourquoi la géométrie, science des rapports entre les grandeurs spatiales, peut servir à exprimer la statique, science des rapports entre les poids. Un des principes sur lesquels repose toute sa statique est la proportion : « Ut spatium agentis ad spatium patientis, sic potentia patientis ad potentiam agentis. » Du même coup, ce rapport avec la mathématique détermine aussi les bornes de la mécanique. Une statique et une hydrostatique sont par nature indépendantes du mouvement6 :

  • 7 Œuvres, IIIe livre de la Statique, De la pratique de l’art pondéraire, Au lecteur, p. 469, et Appe (...)

La statique enseigne seulement à mettre en équilibre le mouvant avec l’émeu. Et […] touchant la pesanteur ou puissance, que le mouvant a besoin d’avoir encore davantage, pour faire que l’émeu se puisse mouvoir (laquelle puissance ou pesanteur doit gagner et surpasser ce qui empêche le mouvement de l’émeu) la Statique ne montre pas la manière de trouver telle pesanteur ou puissance mathématiquement ; pour ce que l’émeu et ses empêchements n’ont aucune proportion avec un autre émeu, et ses empêchements.7

9En d’autres termes, il n’existe pas pour Stevin de relation simple entre la grandeur et le mouvement d’un mobile, et les résistances et empêchements variés qui lui sont opposés : « Res motas impedimentis suis non esse proportionales. » La statique pratique montre quelle puissance ou pesanteur fait équilibre avec un char,

sans mettre en ligne de compte les empêchements des accidents, tels que pourraient être le frottement de l’essieu dans le moyeu, des roues contre le pavé mal uni, du char contre l’air, etc., lesquelles puissances et empêchements la Statique ne montre pas, ne consistant point en raison, ou n’étant point proportionnelle.

10Stevin indique dans son Appendice qu’il n’y a pas lieu de déplorer cette limitation :

Cette connaissance d’équilibration suffit, car on sait qu’en une balance, où les pesanteurs sont égales, il ne faut pas grande puissance pour l’émouvoir (combien qu’elle ait aussi des empêchements à son mouvement)…

11Il n’en demeure pas moins qu’en se constituant en discipline mathématique, la mécanique se limite au problème de l’équilibre, le seul où l’on peut trouver des rapports.

12C’est dans ce cadre que Stevin envisage le problème du rapport entre la théorie et la pratique. « Théorie », écrit-il,

est un traité qui est par l’idée fait sans sujet matériel, comme entre autres théories, se voient celles d’Euclide, traitant par hypothèse des grandeurs, et nombres, et ce séparées de toute matière naturelle. La pratique, est un traité qui se fait essentiellement de matière naturelle, comme de mesurer terres, et circuits de villes, et de computer la pluralité de verges qui y sont comprises, et autres choses semblables.

13On voit par expérience que :

  • 8 Œuvres, p. 127.

La conclusion des propositions théoriques sont parfaites, mais celle de la pratique imparfaite : comme par exemple la théorie prouve et démontre que le rectangle de la demi perpendiculaire et de la base d’un triangle mathématique est égal à la superficie d’icelui triangle parfaitement, sans excès ni défaut ; mais si on mesure par effet un essentiel triangle, sur la terre, ou de matière plus polie, la conclusion en sera imparfaite, en partie pource que nous ne saurions mesurer aucune longitude si précisément qu’il ne diffère bien la millième partie de la largeur d’un cheveu, voire si par accident il se trouvait de l’avoir mesuré correctement, cela ne se pourrait démontrer, d’autre part pource que nulle ligne naturelle n’est si droite, ni nulle superficie plane, si plate comme les définitions. La propriété et la fin de la théorie, c’est qu’elle amène un fondement certain, de la manière d’opérer en la pratique, là où on suit aussi près la théorie, que la fin d’icelle requiert, pour l’usage humain.8

  • 9 Margareth Baron, The origins of the infinitesimal calculus, New York, Dover, 1969, p. 97.

14On peut sans aucune faute se consacrer à la théorie sans s’adonner à la pratique et vice versa, comme le font les professeurs des Universités et les artisans. Mais il n’y a guère de grand praticien qui méprise la théorie, et celle-ci doit tendre vers la pratique, servir de fondement pour en comprendre les différentes parties, sans faire apprendre aux débutants des choses inutiles en mélangeant les genres et les arts. Il est donc préférable d’enseigner la théorie avant la pratique, dans des traités construits comme des ensembles à part, en distinguant soigneusement entre la démonstration et l’application à l’usage des ingénieurs9. C’est pourquoi dans son Art pondéraire, Stevin commence non par les expériences concrètes, mais par des modèles abstraits, réduits à des épures géométriques, avec des poids, des poutres, des balances et des cordes abstraits, dont le caractère de construction rationnelle fictive est clairement marqué, et sur lesquels il raisonne par définitions, axiomes et propositions. Ce n’est qu’en fin d’analyse, aux traités consacrés à la Pratique de la statique et de l’hydrostatique, qu’apparaissent des objets concrets : branches d’arbre, échelles à transporter, roues mues par des hommes ou des animaux, selon qu’il est question de la spartostatique (art pondéraire par cordages), de l’acrobarique (art des pesanteurs au sommet du flottant, c’est-à-dire du chargement des navires), de la chalinothlipse (art de ménager la pression des freins des chevaux), ou de la trochléostatique (art des poulies).

Rhétorique mathématique

  • 10 Fouquelin, « La rhétorique française », Traités de poétique et de rhétorique de la Renaissance, Go (...)

15L’usage des formes classiques des mathématiques en mécanique repose sur le principe de l’indépendance du style géométrique par rapport aux conventions ordinaires de la rhétorique. Stevin s’explique là-dessus à propos de l’emploi de l’anaphore, figure qui consiste à répéter les mêmes syllabes ou les mêmes mots, en vue d’obtenir un effet d’amplification10. Stevin avertit qu’il sait bien que les règles de l’éloquence tendent à en restreindre l’usage :

  • 11 Le texte donne, entre crochets : copia verborum.

Il est bien vrai que […] communément, […] on cherche autant que faire se peut divers mots d’une même signification, un chacun estimant, comme bon rhétoricien, suivre les règles de rhétorique en cette façon, voulant par là démontrer qu’il abonde en mots et verbes.11

16Mais il répond que :

Jusqu’en la Rhétorique, c’est une règle des règles, que l’Orateur doit tâcher que les auditeurs ou lecteurs, croient ou concèdent son dessein final : d’où procède aussi que celui qui use de mots plus convenables ensuit d’autant mieux la science : tellement qu’il faut tâcher d’user de l’Anaphore quand c’est qu’il vient à point, comme aux Mathématiques où elle se rencontre souvent. Et aussi qu’il ne faut estimer que son usage soit faute d’abondance de mots, puisque comme a été dit, je l’ai ainsi fait de guet à pend, ni aussi que ce soit contre les règles de Rhétorique, puisque je fais cas de les avoir suivies.

17En effet, il convient avoir

tâché à bon escient de décrire les propositions qui ont affinité de mots pareils, autant que la ressemblance des choses ou des propositions le requérait […] afin que ce qui est quasi une même chose ne semblât être diversifié par l’inconvenance des mots, comme si c’était tout une autre matière :

  • 12 Œuvres, p. 127.

18alors qu’il est courant, dans l’éloquence humaniste, de chercher la copia verborum, dans la tradition mathématique, l’identité des énonciations fait ressortir la généralité des propositions ou des relations : l’anaphore s’y impose donc d’elle-même, et la variété verbale « pourrait souvent causer des difficultés non petites à l’apprentif »12.

19Stevin justifie aussi la nécessité d’une rhétorique spécifique aux sciences et le recours aux formes euclidiennes de la démonstration, dans ce qu’elles ont de plus strict, voire de plus rituel, par la nécessité de la clarté d’exposition :

  • 13 Sur les parties classiques de la démonstration : voir Euclide, Éléments, Heath éd., I, New York, D (...)

On juge par des arguments assez bastants que les eléments d’Euclide sont encore des reliques du siècle sage, écrit-il, desquels les propositions sont divisées en deux genres, problèmes et théorèmes, lesquels ont plusieurs membres. En premier lieu la commune proposition a le donné, le requis, la construction et démonstration, ce qui est puis après prouvé par plusieurs exemples.13

20C’est, écrit-il,

une particularité en Euclide, touchant la méthode aussi, assavoir que les termes de l’art sont définis, devant que d’entrer en la matière, et ès propositions qui usent de ces termes-là.

21Les définitions doivent précéder, parce qu’elles sont indispensables pour comprendre le reste :

Ce que la raison naturelle même requiert, vu que les sciences ayant besoin de termes qui leur sont propres, et qui ne sont pas en usage ès propos familiers, et au partir de là ont nécessaires d’être entendus pour l’intelligence de la chose qu’ils déclarent : ce n’est donc pas sans raison de les apprendre devant les autres parties d’icelles.

  • 14 En traducteur scrupuleux, Albert Girard a ajouté, mais à part et en caractères différents, des déf (...)

22C’est pourquoi Stevin résout le problème du regroupement des définitions en tête d’ouvrage, souvent discuté parmi les humanistes, d’une manière toute conforme à la tradition : « Partant elles sont assez commodément mises ensemble par ordre au commencement d’un livre. » C’est ainsi qu’au commencement de la Statique, Stevin définit cette discipline elle-même, puis la pesanteur d’un corps, le centre de gravité, et d’autres notions moins générales, comme la perpendiculaire de gravité, les contrepoids, l’élevant et l’élévation ; au début de l’Hydrostatique, il définit successivement les termes de pesanteur connue, de matières parigraves, matière multigrave et minugrave, corps solide, vasiforme, fond et fond convenant14. Du reste, il se réserve d’en user avec souplesse, s’accordant le droit de varier lorsqu’il l’estime pertinent :

Il faut encore remarquer, dit-il, qu’en mon Arithmétique Française, j’avais ramassé toutes les Définitions au commencement du livre théorique, lesquelles ont été appelées la première partie : la cause de cela était à celle fin de garder l’ordre de la Dichotomie en tout et partout, selon le contenu de la Table d’icelui, mise au commencement derrière l’Argument. Mais si c’était encore à refaire j’eusse mis devant chaque partie, ou livre de diverse qualité, leurs propres Définitions à l’exemple d’Euclides, comme j’ai fait en ces présents mémoires ; car la Dichotomie n’en est pas moins suivie.

  • 15 Œuvres, p. 436.
  • 16 Œuvres, Des éléments hydrostatiques, p. 485.

23Suivent, conformément à l’ordre, les pétitions, autrement dit les postulats. Au début de la Statique, certaines d’entre elles posent les relations élémentaires dont le reste suit : « pétition I. Que les pesanteurs égales aux rayons égaux soient équipondérantes. » D’autres fixent des points que l’on décide de négliger ou de tenir pour constants dans la statique : la pétition III, par exemple, « que la pesanteur suspendue plus haut ou plus bas, demeure toujours de même poids », paraît poser le principe de la constance du poids, à quelque altitude qu’il se trouve ; vrai à la petite dimension d’une balance, le principe ne l’est pas nécessairement à grande échelle ; mais dans la statique, on décide de ne pas tenir compte de cette différence. Certaines pétitions sont relatives à la nature des éléments considérés dans la théorie : « Pétition II. Qu’aux lignes mathématiques on puisse attacher ou poser telle pesanteur que ce soit, sans qu’elles puissent rompre, ou plier »15. Quelques-unes sont en réalité des définitions déguisées, comme c’est le cas de la première de l’Hydrostatique : « La pesanteur d’un corps, soit celle de laquelle il est trouvé être pesant en l’air ; mais dans l’eau, qu’elle soit dite sa constitution en icelle »16. Naturellement, dans les livres consacrés à la pratique, les définitions se font plus rares.

24Les démonstrations ne commencent, toujours sur le modèle euclidien, qu’après ces principes. Stevin consacre un important développement au rappel de leurs différentes parties et de leur objet respectif.

  • 17 Œuvres, Arithmétique, livre I, p. 18-19.
  • 18 Antoine Arnauld, Nouveaux éléments de géométrie, Définitions (non pag.), Œuvres de Messire Antoine (...)

25« Le premier membre est une générale proposition, par laquelle on requiert avoir fait quelque chose » : « pour exemple, le premier problème suivant (par lequel on veut enseigner l’addition de nombres entiers) a son premier membre tel : Etant donnés nombres à ajouter entiers : Trouver leur somme ». Stevin distingue à la manière classique les théorèmes et les problèmes. « Théorème est une proposition en laquelle est seulement requis démonstration de quelque question proposée »17. « On nomme ainsi une proposition dont il faut démontrer la vérité : comme, que le carré de la base d’un angle droit, est égal aux carrés des deux côtés »18. Il s’achève donc toujours par il faut démontrer… Le problème est une proposition qui « tend à la pratique », et revient à établir une existence :

  • 19 Ibid.

C’est aussi une proposition qu’il faut démontrer ; mais dans laquelle il s’agit de faire quelque chose, et de prouver qu’on a fait ce qu’on avait proposé de faire : comme, faire passer par un point donné, une ligne parallèle à une ligne donnée.19

26Stevin le définit ainsi :

  • 20 Simon Stevin, Arithmétique, livre I, p. 18, Définition.

Par problème on entend [une proposition] en laquelle il est requis quelque action ou construction, et après la même encore sa démonstration, par laquelle on éprouve la construction être bonne.20

  • 21 Œuvres, IVe livre de la Statique. Des éléments hydrostatiques, p. 486.
  • 22 Ibid., problème I, proposition VI, p. 486.

27Sa nature pratique donne au requis la forme : il faut trouver… Dans le livre IV sur les Éléments hydrostatiques, c’est par une proposition V que Stevin énonce la loi selon laquelle un corps flottant à la surface d’un liquide pèse autant qu’un volume d’eau égal à sa partie immergée : « Un corps solide, minugrave à l’eau où il gît, est équipondérant à l’eau de laquelle il occupe le lieu. »21 C’est un théorème, mais on pourrait aussi l’énoncer sous la forme d’un problème : « Un solide de grandeur connue, flottant sur l’eau de pesanteur connue, ayant une partie dehors l’eau : trouver la pesanteur du corps solide entier. »22 Chez Stevin, les propositions se suivent en numérotation continue, alternant problèmes et théorèmes.

28Dans chaque proposition, différents membres sont explicitement distingués et annoncés par un titre en italique : le donné, le requis, la construction, la préparation, la démonstration, la conclusion.

  • 23 Euclide, Éléments, op. cit., I, p. 132 et suivantes.

29Après l’énoncé de la proposition elle-même, le second membre est le donné. « Par le vocable donné (qui est en use tant par Grecs et Latins que Français) entend-on la chose proposée conforme à la pétition du premier membre. » Euclide a consacré un ouvrage aux Data.23 En géométrie, une grandeur géométrique peut être donnée soit de position, de grandeur, in species ou de raison. Stevin se conforme en physique au modèle de la géométrie : dans la proposition que nous avons prise pour exemple, il annonce : « Le donné. Soit AB minugrave à l’eau CD, sur laquelle il flotte, son vasiforme AB, et sa partie dans l’eau soit EB ».

  • 24 Dans la langue de Stevin, le vasiforme, autrement dit un vaisseau, est défini comme suit : « vasif (...)

30Il ne faut pas croire que ce membre de la démonstration soit un ornement inutile : il sert à préciser des points auxquels le lecteur risquerait de ne pas accorder une attention suffisante. Dans l’exemple qui nous occupe, il faut par exemple distinguer le corps solide AB, dont il est dit qu’il est minugrave à l’eau, c’est-à-dire moins dense, et le vasiforme AB qui le contient, et dont il peut être enlevé pour être remplacé par de l’eau24.

31À ce donné succède le requis, « auquel on explique ce que du donné du second membre l’on veut avoir effectué », qui commence par il faut démontrer que… dans un théorème (comme dans notre Théorème V, « il faut démontrer que le corps solide AB, est équipondérant à l’eau, qui est égale à la partie EB, qui est dans l’eau CD »), et par il faut trouver… dans un problème, comme on l’a dit plus haut.

32Deux membres suivent souvent ces premiers, qui ne sont toutefois pas absolument nécessaires. Dans la construction « se fait par le donné quelque opération conforme au requis ». Et la préparation à la démonstration intervient lorsque les données ne sont pas suffisantes par elles-mêmes sans quelque transformation préliminaire.

33Ensuite seulement vient la démonstration,

… en laquelle on éprouve que la construction est vraie et conforme au requis. Laquelle démonstration quand elle semble difficile ou longue, nous la distinguons en articles, afin que quand l’on repère les choses qui sont devant démontrées, qu’on ne die pas seulement Comme nous avons démontré dessus, mais que l’on y peut encore ajouter l’article, là où telle chose a été démontrée.

34En mécanique, comme la résolution d’un problème ne peut être que concrète, Stevin parle d’opération. Dans l’exemple qui nous occupe, la démonstration va comme suit :

Ôtons AB corps solide du vasiforme AB, et puis remplissons-le d’eau jusques à ce que ledit vasiforme enfonce dans l’eau, autant comme devant avec le corps solide, l’eau de dedans et de dehors est toujours de même hauteur, d’autant que le vasiforme n’a ni pesanteur ni légèreté : par quoi l’eau de dedans pèsera autant que le corps solide AB, par la troisième pétition.

  • 25 Pétition III, p. 485.

35Le raisonnement s’appuie sur le troisième postulat proposé en tête du livre IV : « Le poids qui ne fait pas enfoncer si avant (dans un liquide) soit dit plus léger, mais plus avant, plus pesant ; et qui fait enfoncer également, équipondérant. »25

36Le dernier membre, la conclusion, « en laquelle on conclut [répétant quasi tous les mots du premier membre] que tout ce qui au problème était requis est accompli », figure en général sous forme abrégée après la démonstration.

37Cette rhétorique est, dit Stevin, celle du « siècle sage », entendons celle d’Euclide et d’Archimède, par opposition à la technique des auteurs moins rigoureux :

… quelques Commentateurs d’Euclide n’y (ont) fait nulle distinction, démontrant en faisant la construction ; mais ce n’est pas suivre l’ordre du siècle sage (ce qui soit dit non pas par mépris, mais pour déclarer le proposé).

38Parmi les anciens,

  • 26 Œuvres, p. 125.

… je mettrai encore en avant les écrits de Ptolémée (sans toutefois le mépriser en façon quelconque) et encore bien qu’iceux, à raison de leur bonne conséquence, semblent être tirés des livres qui avaient été écrits auparavant en vraie méthode mathématique au siècle sage, toutefois ils ne sont écrits d’un style mathématique, mais bien historique, sans que les définitions et les propositions soient distinguées.26

39Mais Stevin remarque que de nombreux modernes, « Purbache, Regiomonte et Copernique, et autres commentateurs d’icelui Ptolomée », ont « réduit des écrits en méthode d’Euclide, ou du siècle sage, avec des définitions, théorèmes, et problèmes bien rédigés en ordre », pour le rendre lisible. Lui-même se tient strictement au bon modèle, en mathématiques comme en physique, nullement par une réaction de docte aveuglément attaché à la tradition ancienne : la rigueur axiomatique d’un Archimède est pour lui conforme aux préceptes d’une rhétorique efficace.

40Car si artificielle qu’elle puisse paraître aux esprits non avertis, avec ses divisions fixes, cette forme facilite l’incorporation des propositions, aussi bien pour les experts que pour les novices. En fait,

  • 27 Œuvres, Arithmétique, livre I, p. 19.

… n’est l’utilité de telles distinctions pas petite, parce que quand construction, préparation de démonstration, et démonstration sont mêlés l’un en l’autre, que le même cause souventes fois grande obscurité.27

41Le fait de mêler les propositions et théorèmes n’ajoute aucune brièveté effective. Stevin estime que la véritable brevitas ne consiste pas à raccourcir le texte en mêlant les différentes parties de la démonstration pour éviter des répétitions, mais à rendre plus court le temps d’assimilation nécessaire au lecteur. Confondre construction et démonstration entraîne « de longues méditations », des interruptions constantes dans « le fil du chemin », un « rompement de tête inutile » et de la fatigue chez les apprentis. Là où « les membres sont confusément entrelacés l’un dans l’autre »,

  • 28 Œuvres, p. 125.

… on est contraint d’entendre la démonstration quant et quant la construction ; ce qui ne se peut faire, sans faire de longues méditations, avec les citations d’autres livres, qui sont cause d’interrompre le fil du chemin qu’on s’avait proposé de tenir, ce qui fait que les apprentifs des disciplines mathématiques se lassent, en les trouvant si obscures : l’on ne sait pas en lisant, si ce qui appartient à la seule démonstration, est nécessaire ou non, à l’intelligence de la construction : vu que l’écrivain ou l’inventeur même, quelque temps après en pourrait douter.28

42L’avantage des formes classiques de la géométrie, ce n’est pas seulement leur rigueur, c’est aussi que, comme on n’y fait qu’une chose à la fois, on la fait mieux. Stevin prend pour exemple Son Excellence :

… lisant quelque traité, où les membres sont distingués, comme j’ai fait en ces Mémoires-ci, tant qu’il m’a été possible, premièrement il les lisait, bien attentivement, en fondant intérieurement le contenu des Propositions, tant Problèmes que Théorèmes. Ce qu’ayant bien entendu, et remarqué, en pratiquant les mêmes, il s’est contenté des constructions simplement (délaissant les propositions en arrière, comme aussi les démonstrations qu’il avait une fois apprises auparavant), pour les suivre par effet.

43Autrement dit, le style géométrique classique est le seul qui soit apte à donner carrière à un esprit vraiment géométrique.

44D’autre part, cette rhétorique a une justification d’ordre pratique : s’il convient de procéder par regroupement préliminaire des définitions, c’est

… tant pour l’aide de l’inventeur que de l’apprentif, car l’auteur en la composition de ses propositions pourra plus aisément corriger lesdits termes qui ne sont pas à son jugement assez clairs, alors qu’ils sont rédigés en un, que non pas quand ils sont dispersés çà et là, ès lieux qui ont été mis de nécessité.

45Autrement dit, lorsque le savant estime qu’il doit changer une dénomination admise, il doit le faire de préférence au début de son ouvrage :

… le disciple ou apprentif y trouvera son avantage, en partie pource que la doctrine et apprentissage des mots étant d’une autre nature que non pas la matière même, et ainsi y procède plus aisément : et qui plus est, les mots étant bien enchaînés, se déclarent d’autant plus facilement.

46Du reste, l’ordre géométrique est aussi lié à sa propre pratique d’ingénieur, dont Stevin rend compte dans les termes suivants :

… il ne conviendra pas mal à ce que dessus, si je déduis ici comment j’ai expérimenté que cette règle est naturelle, à mon jugement : comme ainsi soit, que j’aie eu plus besoin de savoir quelque chose des ouvrages en terrains, ozieres, charpenteries, maçonneries, et fer (et autres qui seront plus amplement rédigées en l’architecture) que je n’en eusse pu apprendre par les livres, ou des Mathématiciens ; à cette fin, m’ayant servi d’un chacun manouvrier d’icelles en particulier, et pour aussi tant mieux avancer en cette affaire, voulant suivre l’ordre du siècle sage, je m’enquérais de la signification de leurs termes d’art que j’ignorais, autant que je pouvais remarquer m’être nécessaire, et les ayant mis en écrit par ordre comme définitions, après les avoir retenus par cœur, je parlais si proprement à eux, que nous nous entr’entendions l’un l’autre, comme si j’eusse été toujours avec eux, étant par ce moyen parvenu facilement en la connaissance de ce qui autrement eût requis un plus long temps.

47C’est ce qui explique que les traités de mécanique vont suivre le même ordre :

  • 29 Ibid., p. 125-126.

Or ainsi que ce ramas et apprentissage des définitions des sciences mécaniques, a été nécessaire devant que de venir à la chose, ainsi en est-il aux arts libéraux.29

48L’ordre du « siècle sage » s’accorde ainsi avec l’utilité pratique la plus concrète.

L’art d’inventer

49Cet ordre constant n’exclut pas chez Stevin l’inventivité dans le développement des preuves.

  • 30 Ibid., p. 434.
  • 31 Ibid., Statique, I, p. 435. Définition reprise dans Pierre Hérigone, Cursus mathematicus, nova, br (...)
  • 32 Œuvres, Des éléments hydrostatiques, p. 484, déf. X et XI.
  • 33 Ibid., Pétition I, p. 485, et Appendice, chapitre V, p. 503.

50Ses définitions sont souvent des définitions purement nominales, à telle enseigne que certaines d’entre elles sont sans répercussion dans la théorie. C’est naturellement le cas de celle de la statique comme « science qui déclare les raisons, proportions et qualités des poids et pesanteurs des corps »30. Mais c’est aussi le cas de la définition IX, qui explique que « la perpendiculaire de gravité des deux pesanteurs est nommée Anse »31, pure définition nominale : rien à en tirer pour la théorie. On trouve aussi dans la Chalinothlipse de nombreuses pures désignations rapportées aux différentes parties d’un dessin du mors des chevaux. Stevin rend ces définitions aussi précises que possible : au début de son Hydrostatique, il distingue le vide, « un lieu où il n’y a nul corps », du vidé, qui est « un vase où il n’y a que de l’air dedans »32. Combinée à celle entre pesanteur propre et constitution, dans la pétition I, « la pesanteur propre d’un corps, (soit celle de laquelle il est trouvé être pesant en l’air ; mais dans l’eau, qu’elle soit dite sa constitution en icelle », cette distinction conduira Stevin à remarquer dans son Appendice, qu’à la rigueur on ne devrait parler de pesanteur propre que dans le vide, et qu’on ne saurait en parler dans l’air que parce que « les circonstances de notre manière vulgaire à peser (à laquelle la Théorie doit toujours aspirer) ne se fait pas au vide, mais en l’air », c’est-à-dire dans du vidé33. Toujours sur les définitions, il faut ajouter que Stevin a le souci de ce que Pascal appelle le propre de chaque chose, et de la distinction des vocabulaires selon les domaines. Ainsi, dans le livre I de la Statique, il parle de lignes abstraites qui soutiennent les poids ; mais, dans la Spartostatique, il parlera de cordes.

  • 34 Œuvres, Ier livre de la Statique, définition IV, p. 434. Voir la définition de Guido Ubaldo, Mecha (...)

51Stevin use parfois dans sa Statique de définitions doubles, que leur rapport rend porteuses de signification : il définit par exemple d’abord le centre de gravité comme suit : « Centre de gravité, est celui, auquel si on imagine le solide être suspendu, il se tiendra en toutes les positions qu’on lui peut donner ». Puis il ajoute : « Centre de gravité est celui par lequel tout plan divise le corps en deux parties équilibres »34. La liaison entre les deux définitions est assurée par une longue déclaration, où Stevin s’explique sur sa conception du centre de gravité. Il commence par envisager le cas relativement élémentaire d’un globe, puis étend le concept d’un coup :

… ainsi il faut entendre qu’il y a un centre de gravité en tous corps, tant réguliers ou irréguliers, que de matière uniforme ou non, d’où le corps étant suspendu, tient telle position qu’on veut.

52Une explication complémentaire touche les solides dont la matière n’est pas uniforme, dans lesquels le centre géométrique et le centre de gravité ne coïncident pas nécessairement ; et on conclut que certains corps ont leur centre de gravité « hors de leur matière et figure, comme ès anneaux, crochets, vaisseaux, et autres semblables ».

  • 35 Livre I, définition IV, p. 434.

53Ces définitions d’esprit géométrique ont ceci de propre qu’elles n’enferment pas l’affirmation positive de l’existence du défini. Il est remarquable que, dans une définition aussi importante dans la statique que celle du centre de gravité, Stevin souligne fortement la part de fiction qu’elle comporte : « Centre de gravité, dit-il, est celui, auquel si on imagine le solide être suspendu, il se tiendra en toutes les positions qu’on lui peut donner »35. Mais il explique ensuite :

Nous avons dit en la définition « si on imagine » pource qu’il faut admettre en la définition, ce qui déclare le mieux qu’il est possible la nature du défini : ce que Pappus définissant le centre de gravité, au huitième livre de ses collections, le fait commodément par le moyen de l’imagination.

54Précaution que Stevin explique en un autre endroit :

  • 36 Œuvres, IIe livre de la Statique, De l’invention du centre de gravité, p. 457.

Si les figures planes avaient quelque pesanteur, ou si on voulait faire demande particulière de concéder qu’elles en eussent à raison de leur grandeur, on pourrait proprement parler de leur centre de gravité, de leur diamètre de gravité, etc. Mais d’autant qu’elles n’en ont pas, il le faudra entendre métaphoriquement, et prendre comme par hypothèse que la pesanteur des plans est à raison de leurs grandeurs. Car le faux étant concédé, afin d’apprendre le vrai puis après.36

  • 37 Œuvres, p. 433 ; René Dugas, La mécanique au xviiesiècle, Neuchâtel, éditions du Griffon, 1954, p. (...)

55En effet, ainsi déréalisé et réduit à une sorte de métaphore par abstraction, le centre de gravité devient un concept propre à un traitement mathématique37.

  • 38 Œuvres, p. 436 ; Archimède, De l’équilibre des figures planes, I, Mugler éd., Paris, Les Belles Le (...)
  • 39 Œuvres, p. 436.

56La même liberté paraît dans ce qui concerne axiomes et pétitions. Là encore, la mécanique de Stevin se glisse sans difficulté dans les formes littéraires classiques. Certaines pétitions peuvent se recommander de l’évidence, ou de l’autorité de la tradition : celle qui pose « que les pesanteurs égales aux rayons égaux soient équilibres », reprend la demande d’Archimède, « nous demandons que les poids égaux s’équilibrent à des distances égales », suffisamment évidente pour que Proclus estime que c’est plutôt un axiome qu’un postulat38. Mais d’autres sont moins évidentes, comme la pétition III, « que la pesanteur, suspendue plus haut ou plus bas, demeure toujours de même poids ». Certains principes sont marqués du même caractère fictif que les définitions mentionnées ci-dessus. Ainsi par exemple la pétition II : « Qu’aux lignes mathématiques on puisse attacher ou poser telle pesanteur que ce soit, sans qu’elles puissent rompre, ou plier. » Mais ce qui frappe surtout, c’est que parmi ces pétitions, on trouve parfois le faux posé comme vrai : la pétition V par exemple pose que « toutes les lignes à plomb, à savoir perpendiculaires à l’horizon, soient prises pour parallèles »39 ; la pétition VI du livre IV, « que la superficie de l’eau (qu’on appelle ordinairement la fleur d’eau) soit une superficie plane, au niveau, c’est-à-dire parallèle à l’horizon » ; et la pétition VII que

  • 40 Ibid., p. 485.

… si une colonne droite d’eau a sa base et couvercle parallèle à l’horizon, et sa superficie latérale perpendiculaire dessus (à savoir toutes les lignes droites entre les points correspondants du couvercle et de la base perpendiculaire à l’horizon) qu’on nous concède que ces perpendiculaires tendent au centre de la terre, et que la base et le couvercle soient parties de la superficie de la terre.40

  • 41 René Taton (dir.), La science antique et médiévale, Paris, PUF, 1957, p. 332, et Archimède, op. ci (...)

57On sait que cette demande a pour elle son caractère archimédien : dans le livre II des Corps flottants, Archimède admet tacitement que la surface de l’eau est un plan horizontal, et que les verticales sont des droites parallèles41. Mais ce qui caractérise le texte de Stevin, c’est que ces demandes sont pleinement assumées et déclarées. Or elles s’appuient sur des faussetés manifestes, que la figure qui les accompagne souligne de manière plus agressive encore que le texte : les plans AB et CD sont parallèles à la surface de la terre ; les perpendiculaires AB et BC d’un plan sur l’autre sont censées tendre vers le centre de la terre E, comme AFE et BGE, qui passent par les points F et G d’un rectangle FG semblable à DC, inférieur et intérieur à DC ; et AB et CD, quoique parallèles, sont censés être tous deux « parties de la superficie de la terre ».

  • 42 Blaise Pascal, L’équilibre des liqueurs, I, Œuvres complètes, II, Jean Mesnard éd., Paris, Desclée (...)

58Le contraste est frappant avec une démarche de type expérimental : il peut être adéquatement souligné par la comparaison avec la technique de Pascal dans ses Traités de l’équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l’air. Au début de son livre, Pascal établit le principe selon lequel les liqueurs pèsent suivant leur hauteur42 ; il s’appuie sur une expérience concrète, telle que le lecteur se trouve devant un fait déroutant certes, mais attesté par la réalité, et cela d’autant plus qu’une gravure met littéralement sous les yeux du lecteur les différentes formes de l’expérience :

Si l’on attache contre un mur plusieurs vaisseaux, l’un tel que celui de la première figure ; l’autre penché, comme en la seconde ; l’autre fort large, comme en la troisième ; l’autre étroit comme en la quatrième ; l’autre qui ne soit qu’un petit tuyau qui aboutisse à un vaisseau large par en bas, mais qui n’ait presque point de hauteur, comme en la cinquième figure ; et qu’on les remplisse tous d’eau jusques à une même hauteur, et qu’on fasse à tous des ouvertures pareilles par en bas, lesquelles ont bouche pour retenir l’eau : l’expérience fait voir qu’il faut une pareille force pour empêcher tous ces tampons de sortir, quoique l’eau soit en une quantité toute différente en tous ces différents vaisseaux, parce qu’elle est à une pareille hauteur en tous.

59L’expérience concrète, soulignée par le renvoi systématique aux figures, sert de principe, d’où Pascal tirera ensuite les conséquences. Rien de plus opposé à la technique de Stevin, qui met à la base de sa statique les axiomes les plus abstraits, pour venir ensuite aux applications.

60Il en résulte tout naturellement une inversion des principes et des conséquences par rapport à Stevin. Au lieu que Pascal procède par recherche de la raison à partir des effets, commence par établir le fait que les colonnes de liquides pèsent suivant leur hauteur, puis étudie l’équilibre réciproque de deux colonnes de liquide dans des vaisseaux communicants, puis dans le modèle de la presse hydraulique, pour aboutir à imaginer, dans le milieu liquide, une balance abstraite dont les plateaux soutiennent des colonnes de liqueur, le tout presque sans employer la géométrie, Stevin procède tout différemment : ce qui est principe chez Pascal est théorème chez lui, et théorème démontré par une preuve géométrique par l’absurde. Les théorèmes initiaux traitant des corps dans l’eau établissent les vérités suivantes : « Un corps solide plus léger que l’eau ne submerge pas tout, mais une partie demeure dehors » ; « Un corps solide multigrave à l’eau submerge jusques au fond » ; « Un corps solide, parigrave à l’eau, se tient dans icelle en telle disposition et lieu qu’on voudra » ; « Un corps solide, minugrave à l’eau où il gît, est équipondérant à l’eau de laquelle il occupe le lieu. » Et c’est seulement à titre de conséquence que vient le principe de Pascal :

  • 43 Œuvres, théorèmes II à V, propositions II à V, p. 485-486, et théorème VIII, proposition X, p. 487 (...)

Sur le fond de l’eau, parallèle à l’horizon, repose un poids égal à la pesanteur de l’eau qui est égal à la colonne, dont la base est le fond susdit ; et la hauteur, la perpendicle sur l’horizon, entre le fond et la fleur de l’eau.43

61La démonstration procède de manière apagogique, more geometrico, et sans aucune référence à l’expérience :

Le donné. Soit ABCD une eau, en figure de parallélépipède rectangle, sa fleur AB, et EF un fond à niveau, EG la perpendicle entre le fond EF et la fleur d’eau ; la colonne soit celle qui est comprise entre le fond pour sa base EF, et GE hauteur, assavoir la colonne GEFH. Le requis. Il faut démontrer que sur le fond EF repose un poids égal à la pesanteur de l’eau de la colonne GEFH.

62Démonstration :

Si sur le fond EF repose un poids plus grand que GEFH, cela viendra à cause de l’eau prochaine : Soit, s’il est possible, de l’eau ADEG, et HFCB ; et de même pourra-on dire que sur le fond DE repose plus que l’eau ADEG, et sur FC plus que l’eau HFCB ; tellement que sur DC reposera plus que l’eau ADCB ; ce qui est absurde, étant icelui un parallélépipède rectangle. Semblablement on démontrera que sur EF ne repose pas moins que GEFH, et par conséquent sur EF reposera précisément un poids égal à la colonne d’eau GEFH.

63La dualité des problèmes et des théorèmes permet à Stevin de présenter les mêmes questions sous toutes leurs coutures, soit heuristique, soit théorique, soit pratique. Ainsi par exemple, dans les Éléments hydrostatiques, le problème IV, proposition XV, s’énonce comme suit :

Si le fond de l’eau est un parallélogramme non parallèle à l’horizon, avec son plus haut côté connu, et à fleur d’eau, connaissant aussi la ligne menée du plus haut côté, perpendiculaire sur le côté opposite, aussi connaissant la perpendiculaire entre la fleur d’eau et le niveau passant par le côté le plus bas, trouver le poids d’eau reposant à l’encontre.

64Autrement dit, en supposant un vaisseau rempli d’eau, on cherche le poids de l’eau qui pèse sur le côté ABCD. La proposition comporte plusieurs exemples : dans le premier, le côté ABCD est vertical ; dans le second, c’est un parallélogramme oblique, mais vertical encore ; dans le troisième, ABCD est un rectangle, mais « oblique à l’horizon » ; dans le quatrième, c’est un parallélogramme oblique à l’horizon. Dans tous ces cas, Stevin montre comment on peut évaluer la force que l’eau exerce sur cette paroi.

65Les propositions suivantes, XVI et XVII, ne sont en fait que des manières différentes de présenter celle-ci, sous forme de divers problèmes. Le problème V, proposition XVI, est formulé comme suit :

  • 44 Œuvres, p. 494.

Si le fond de l’eau est un parallélogramme non parallèle à l’horizon, ayant son plus haut côté à fleur d’eau, et connaissant le poids qui repose à l’encontre, aussi la ligne du plus haut côté perpendiculaire au plus bas côté, aussi la perpendiculaire du plus haut côté jusques au niveau passant par le côté plus bas, trouver le côté plus haut.44

66Les données ne sont plus les mêmes : la forme de la paroi, la force exercée par l’eau et « la perpendiculaire du plus haut côté jusques au niveau passant par le côté plus bas » étant données, on demande la hauteur de la fleur d’eau. Le problème VI, proposition XVII varie encore les données :

Etant le fond qui est dedans l’eau un parallélogramme non parallèle à l’horizon, ayant son côté plus haut connu, à fleur d’eau, comme aussi le poids qui repose à l’encontre, et la perpendiculaire du côté plus haut sur le niveau qui passe par le côté le plus bas, trouver la perpendiculaire du côté plus haut sur le côté opposé.

67On reconnaît la technique qui, comme dira Pascal, consiste à tourner une même proposition en tous sens, pour en extraire des conséquences nouvelles. Mais dans le cas qui nous occupe, ces variations répondent non seulement à une visée théorique, mais aussi à un souci pratique d’ingénieur, puisque ce sont les problèmes concrets qu’un hydrostaticien peut rencontrer.

Rhétorique des démonstrations

68La mathématisation n’affecte pas seulement la forme du discours : elle structure aussi les démonstrations.

  • 45 Ibid., p. 440.

69Dans certains cas, Stevin n’emploie que des preuves relativement élémentaires, s’appuyant sur la réduction des instruments tels que la balance à des modèles quasi abstraits. Le problème III, proposition IV, pour prendre un exemple simple, est ainsi posé : « Deux pesanteurs équilibres données, comme aussi la longueur d’un rayon, trouver la longueur de l’autre rayon »45. Connaissant les poids A et B, qui sont supposés en équilibre, et le bras DE, on cherche le bras EC.

70Stevin use d’un raisonnement apagogique, s’appuyant sur le principe que « de deux pesanteurs équilibres, la plus pesante a telle raison à la plus légère comme le long rayon au court », premier théorème qu’il a démontré. La construction indique que si A pèse 3 livres, et B 1 livre, DE a 6 pieds et EC 2. Le raisonnement va alors comme suit :

Soit EC, s’il était possible, plus long que 2 pieds ; le grand rayon aura donc moindre raison au plus court, que la majeure pesanteur à la plus légère, ce qui est contre la première proposition : donc EC n’est pas plus que 2 pieds. De même sera la démonstration que EC n’est pas moindre de 2 pieds ; et partant EC sera précisément 2 pieds : ce qu’il fallait démontrer.

71Démonstration très simple, qui se ramène en fait à l’établissement d’une proportion, mais où le double raisonnement par le faux rappelle les preuves apagogiques en usage chez Archimède, ce qui lui donne un air de rigueur toute géométrique.

  • 46 Ibid., p. 458. Voir Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », Mathesis, 37, 19 (...)

72Ailleurs, notamment pour ce qui touche les centres de gravité, les raisonnements se font plus complexes. Ainsi le théorème II, proposition II, qui énonce que « le centre de gravité des triangles est en la ligne menée d’un angle au milieu du côté opposé »46. La démonstration s’appuie sur la division du triangle en parallélogrammes, combinée avec le principe que des figures symétriques bilatéralement sont en équilibre, employé par Archimède pour prouver la loi du levier, et par Stevin lui-même dans sa loi du plan incliné. La préparation consiste à inscrire dans le triangle des parallélogrammes EOTF, GPSH, IQRN. Par la proposition I, 2e exemple, les centres de gravité de ces parallélogrammes sont sur AD.

73Girard affirme tout de go que « les quadrangles IR, GS, ET seront parallélogrammes, desquels les centres de gravité sont en AD ». Bosmans restitue une démonstration plus complexe :

  • 47 Noter qu’il ne va pas de soi que NM, ML et LD forment une ligne droite.

Puisque EF est parallèle à BC, et EO, FT à LD, il s’ensuit que EFTO est un parallélogramme, dont EL est égal à LF, ainsi que OD à DT. Par conséquent le centre de gravité du quadrilatère EFTO est sur DL, d’après la première proposition de ce livre. Par la même raison, le centre de gravité du parallélogramme GHSP sera en LM, et celui de IKRQ en MN. Et par conséquent le centre de gravité de la figure IKRHSFTOEPGQ formée par les trois susdits quadrilatères sera sur la ligne ND ou AD.47

74Suit un passage à l’infini : les parallélogrammes, multipliés indéfiniment, engendrent une figure qui diffère de moins en moins du triangle :

… plus il y a de pareils quadrilatères, moins la figure inscrite formée par les quadrilatères différera du triangle ABC. Car, si on menait des parallèles à BC par les milieux de AN, NM, ML et LD, la nouvelle figure formée (en achevant les parallélogrammes) ne différerait du triangle que précisément de la moitié de la différence précédente (et du triangle).

75Girard donne :

… et tant plus il y en a, tant moins différeront-ils du triangle, vu que si on menait des parallèles à BC par le milieu de AN, NM, ML et LD, achevant les parallélogrammes, ils ne différeront du triangle que de la moitié de la différence précédente…

76En effet, sur un triangle de côtés A et B, dont l’aire est donc AB/2, en construisant d’abord des parallélogrammes sur n divisions égales de la hauteur, puis des parallélogrammes sur 2n divisions, les triangles qui font la différence entre les sommes des parallélogrammes et le grand triangle auront pour côtés dans le premier cas A/n et B/n, et dans le second cas A/2n et B/2n.

77La différence entre le triangle et la première somme de parallélogrammes est donc :

78La différence entre le triangle et la deuxième somme de parallélogrammes est

79Le rapport des deux différences est donc :

  • 48 Œuvres, p. 458.

80En invoquant Euclide (X, Proposition 1), on peut rendre cette différence moindre que toute grandeur donnée. Stevin en conclut que « nous pouvons donc inscrire dans le triangle une figure de ce genre, qui s’en approche indéfiniment, de manière que la différence soit moindre qu’une surface donnée, si petite soit-elle », ce que Girard traduit : « Par quoi on en peut tant inscrire, que la différence sera moindre qu’aucune superficie donnée tant petite soit-elle »48. Un syllogisme conclut l’affaire :

81D’où j’argumente ainsi :

Lorsque deux pesanteurs diffèrent, on peut trouver une pesanteur moindre que leur différence.
Aux pesanteurs ADC, ADB, on ne peut trouver de pesanteur moindre que leur différence.
Les pesanteurs ADC, ADB ne diffèrent donc pas.

82Soient deux pesanteurs, PADC et PADB, et une grandeur b aussi petite qu’on le veut ; on établit que « la pesanteur de la partie ADC différera moins de la pesanteur de la partie ADB qu’aucune surface (b) qu’on saurait donner » :

83PADC – PADB < b

  • 49 Ibid., p. 458-459.

84La grandeur b est donc toujours plus grande que la différence des deux triangles. Par conséquent on ne peut pas trouver de pesanteur moindre que leur différence. À partir de là, le problème I, proposition III déterminera le centre de gravité d’un triangle donné49.

  • 50 Ibid., p. 467-468. Voir Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simo (...)

85Plus complexe encore est le problème X, proposition XXIII, où Stevin s’inspire de Commandino pour trouver le centre d’un conoïde parabolique donné50.

86Le conoïde est coupé par un plan FG parallèlement à BC, passant par le milieu H de l’axe AD. Les cylindres MK et FC sont circonscrits ; N et O sont leurs centres. Le cylindre IP est inscrit, de centre O lui aussi. Par construction AD = 2 DH, ou

87Ou, puisque AH est égal à HD, ex natura parabolae :

88Donc le rapport 2/1 est égal au rapport du cercle de rayon BD au cercle de rayon IH. Les hauteurs étant égales, on a

89Le centre de gravité R est situé de telle sorte que NR = 2 RO. D’après Stevin, O et R seront alors équidistants de E, donné tel que

AE = ED

90On aurait :

RE = EO = 1/12AD

91C’est donné sans démonstration. Pour le montrer, on fait, en considérant comme donné :

NR = 2RO
AE = 2ED
AR + RE = 2 (EO + OD)
(AH + HR) = 2 (EO + OD)
1/2AD + HR + RE + 2EO + 2OD = 2EO + 2HO = 2EO + 1/2AD
HR + RE = 2EO

92Or de NR = 2RO, on tire

NH + HR = 2 (RE + EO)
NH + HR = 2RE + 2EO

93On soustrait (2) de (1) :

(EH + RE) – (HN + HR) = 2 EO – (2RE + 2EO)
RE – HN = 2EO – 2RE – 2EO
3RE = HN

94Or

HN = 1/2AH = 1/4AD

95Et

3RE = 1/4AD → RE = 1/2AD

96Reste à prouver qu’il en va de même pour EO.

AE = 2ED
AH + HR + RE = 2 ED = 2(HD–HE)
AH + HR + RE = 2HD – 2HR – 2RE
AH + 3HR + 3RE = 2HD
1/12AD = 3HR + 3.1/2 AD = AD
3HR = 1/4AD
HR = 1/12AD
HO = HR + RE + EO
1/4AD = 1/12AD + 1/12AD + EO
1/12AD = EO

97À partir de là, en multipliant les rapports, on obtient la suite : 1/12 1/24 1/48 1/96 etc.

98De même que, dans le cas envisagé par Stevin,

OE = 1/12AD

99Pour 4 cylindres circonscrits et 3 inscrits, on aurait OE = 1/24AD

100Pour 8 cylindres circonscrits et 7 inscrits, on aurait OE = 1/48AD

101Pour 16 cylindres circonscrits et 15 inscrits, on aurait OE = 1/96AD

102Et ainsi de suite, « toujours suivant la même progression approchant la moitié plus près l’une des fois que l’autre précédente ». Les deux centres R et O se rapprochent de plus en plus de E, ce qui autorise un nouveau raisonnement apagogique :

… ce qu’étant ainsi, E sera centre de gravité du conoïde parabolique ; car s’il est possible que ce soit dehors, comme entre EL, ou entre ES, alors on pourra tant prendre de cylindres à l’inscription et circonscription du conoïde, que le centre des circonscrits sera plus bas que celui du conoïde, ou que celui des inscrits sera plus haut que celui du conoïde ; ce qui est impossible. Et partant ce ne sera pas en autre lieu qu’en E, ce qu’il fallait démontrer.

103Les livres consacrés à l’hydrostatique contiennent eux aussi des raisonnements par les indivisibles. Le théorème IX, proposition XI, s’énonce comme suit :

  • 51 Œuvres, p. 488-489. Sur ce raisonnement, voir Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon (...)

Sur un fond convenant duquel le plus haut point est à fleur d’eau, repose un poids égal à la demi-colonne d’eau, de laquelle la base est pareille audit fond, et sa hauteur égale à la perpendicle comprise entre les niveaux qui passent par le plus haut et plus bas point dudit fond.51

104Dans un vaisseau AB plein d’eau, on considère le fond ACDE, qui se confond avec la paroi verticale. Il s’agit de montrer que la pression globale qui s’exerce sur ce fond est égale à la demi-colonne d’eau ACHDE. Stevin divise la paroi ACDE en bandes horizontales d’égale hauteur. Pour représenter la pression en chaque région, Stevin procède à une construction qui exprime cette réalité par elle-même purement intensive par un solide géométrique. Il est clair que l’eau presse plus la région TYDE de la paroi que ACVR. En ED, la pression peut être représentée par la longueur CD, puisque les liquides pèsent suivant leur hauteur : on peut aussi la représenter en traçant DH égale à DC. En TY pèse une colonne qui, selon le même procédé, sera représenté par YC, ou YA qui lui est égale. En AC enfin, la pression est nulle, et se réduit au point C. Si bien que la grandeur de la pression sur toute la paroi peut être représentée par la colonne ACHDE, ou par un solide homologue MNOPQ.

105Cette transposition en solide géométrique effectuée, Stevin entreprend de démontrer sa proposition. Il y parvient en appliquant plusieurs fois le même raisonnement à chacune des bandes de ACDE.

106Il envisage en premier lieu le fond ACVR, contre lequel, dit-il, repose plus que rien, puisqu’il est situé en dessous du niveau de l’eau, mais moins que le corps d’eau ACζγÁVR, car s’il était horizontal, c’est ce qui reposerait sur lui, par la proposition X.

107Stevin envisage ensuite RVXS, contre lequel repose plus que le corps d’eau ACζγVR, égal à RVγθXS, puisqu’il est plus bas que γV, mais moins que deux parallélépipèdes pris verticalement, donc moins que RVZδXS.

108Le raisonnement va de même avec trois, puis quatre parties de ACDE. Au bout du compte, en faisant deux additions séparées, on obtient deux solides, l’un inscrit à la demi-colonne ACHDE, l’autre circonscrit.

109Commence alors le passage à la limite. Entre les deux solides, les longueurs AC étant identiques, on peut ne considérer que les côtés des parallélépipèdes qui se trouvent sur la face CDBE du vaisseau. La différence entre le grand et le petit solide est de 4 carrés. Si on prend le côté pour unité, D = 4.

110Si on divise CD et DH en 8, et non plus en 4, on obtient une différence de 8 petits carrés ; mais ces 8 carrés ont pour côté 0,5 ; la différence n’est donc plus que la moitié de la précédente :

111Δ = (0,5 x 0,5) x 8 = 2

  • 52 Œuvres, p. 489b. Voir le texte originel dans Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode (...)

112Donc on peut la réduire à une grandeur moindre que toute donnée. Stevin conclut encore par un syllogisme52 :

Toute pesanteur qui diffère moins du poids reposant contre le fond ACDE, qu’on en saurait donner, est égale au poids reposant contre le fond ACDE.
Le poids de la demi-colonne ACHDE est une pesanteur différant moins du poids qui repose contre le fond ACDE qu’on ne saurait donner.
Le poids donc de la demi-colonne ACHDE est égal au poids qui repose contre le fond ACDE.

  • 53 Théorème X, proposition XV, p. 464-465.

113Ce qui est remarquable, c’est qu’en vue d’obtenir un plus grand effet de persuasion, Stevin n’hésite pas à user parfois de ces démonstrations difficiles, même lorsqu’il y en aurait de plus élémentaires. C’est le cas, par exemple, du théorème X, proposition XV, dans le livre II de la Statique, où il s’agit d’établir que « le centre de gravité des colonnes est au milieu de leurs axes ». Soit une colonne comme ci-dessous : il s’agit de montrer que son centre de gravité est sur l’axe53. En principe, il suffirait de tracer deux plans qui coupent la colonne en parties équilibres, joignant une arête et la droite milieu du côté opposé ; l’intersection est l’axe du solide. Celui-ci déterminé, on le coupe par le plan médian construit sur RS, ce qui donne le centre de gravité.

114Il n’est donc pas besoin de procéder par les indivisibles. C’est pourtant en décomposant la colonne en parties infinitésimales que procède Stevin. Sans doute est-il guidé par une volonté esthétique d’unité stylistique : quoique plus complexe, sa démonstration a vraisemblablement à ses yeux l’avantage d’être homogène à d’autres, relatives elles aussi aux centres de gravité, menées par les indivisibles.

  • 54 Voir l’Appendice, chap. IV, p. 502 ; Ier livre de la Statique, p. 447 et 437.
  • 55 Œuvres, p. 490B-491.
  • 56 L’explication d’Albert Girard, « c’est précisément la somme de tous les nombres, moins la moitié d (...)
  • 57 Traduction de Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin » (...)

115Ailleurs, au raisonnement géométrique, Stevin préfère le recours aux nombres. Les démonstrations géométriques, écrit-il dans l’Appendice de la Statique, sont « générales et donnent raison tout à fait, pourquoi la chose qu’on veut démontrer est telle » : elles permettent donc de « démontrer la généralité de la conséquence », « afin qu’on ne pense pas que cela soit ainsi par accident »54. Son caractère souvent apagogique a d’ailleurs l’avantage de la rendre très frappante ; non pas seulement parce qu’elle enferme une référence implicite à Archimède, mais parce qu’elle montre que les choses ne peuvent pas être autrement que la démonstration ne les établit. Mais les preuves par les nombres ont aussi leur utilité propre. Aux preuves géométriques qui le précèdent, le quatrième exemple du théorème IX, proposition XI, que nous avons résumé plus haut55, apporte un supplément de précision dans le traitement du passage à la limite. Stevin considère le vaisseau AEDBFG, dont la hauteur CD a un pied de haut, pour montrer que « l’eau reposant contre le fond AD est égale à la demi-colonne d’eau ayant AD pour base et AE perpendicle pour sa hauteur », soit un « demi-pied cubique »56. Il reprend alors la voie tracée dans le premier exemple : il divise d’abord la paroi ACDE en bandes parallèles égales HI, KL, MN parallèles à AC, et en arguant que « contre le fond AI repose plus que 0 », en « admettant que 0 soit un poids » dit l’original57, « d’avantage il repose moins à l’encontre que 1/16 pied » ; et ainsi pour les autres parties comme précédemment : « de même contre NL repose plus que 1/16, et moins que 2/16 ; et ainsi de suite.

116En supposant que ACDE soit divisé en 4 bandes, on peut dire que la pression qui s’y exerce est donc supérieure à

0 + 1/16 + 2/16 + 3/16 = 6/16

  • 58 Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », p. 109. Stevin montre que lim. 1/2n (...)

117Elle serait donc inférieure par défaut et supérieure par excès à 8/16, c’est-à-dire à 1/2. Le même raisonnement avec 10 divisions montrerait que la pression est supérieure à 45/100 et inférieure à 55/100, deux mesures qui elles aussi sont supérieure et inférieure à1/2. Et si on divise la paroi en 1 000 parties, les 1 000 poids plus légers feront 499 500 / 1 000 000, inférieur à 1/2 de 1/2 000, et les 1 000 poids plus lourds feront 500 500 / 1 000 000, supérieur à 1/2 de 1/2 000. De sorte qu’il ne repose pas contre la paroi 1/1 000 de pied en moins d’1/2 pied, ni 1/1 000 de pied en plus d’1/2 pied58. Plus le nombre des divisions grandit, plus les deux termes se rapprochent de 1/2. Un théorème arithmétique justifie ce fait qu’ils en sont toujours également distants. Car

  • 59 Voir Florian Cajori, A history of mathematical notations, I, New York, Dover, 1993, p. 158, § 164, (...)

… en une progression naturelle commençant par l’unité, et augmentant de l’unité progressivement, la moitié du carré du dernier, qui est le majeur, est moins que la somme de tous les nombres, mais plus que la somme sans le dernier.59

118En effet, par la nature des nombres triangulaires, somme des nombres naturels, on a

119Par conséquent lorsque l’on ajoute les pressions partielles, qui croissent comme les nombres naturels, quel que soit le nombre des parties de ACDE, on aboutit à deux sommes qui approchent par excès et par défaut la limite commune 1/2. Celle-ci a donc été déterminée non pas dans l’abstrait, mais par un théorème numérique. Stevin achève alors le passage à la limite, moment particulièrement délicat, en usant d’un syllogisme qui rappelle celui du Premier exemple :

Entre un poids quelconque et 1/2 pied d’eau, s’ils sont différents, se peut trouver un poids moindre que leur différence. Or entre le poids qui repose contre le fond AD, et 1/2 pied d’eau, on ne peut donner aucun poids moindre que leur différence. Le poids donc qui repose contre le fond AD n’est en rien différent de 1/2 pied d’eau.

  • 60 Voir Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », p. 180. (...)

120L’introduction de ces syllogismes dans les raisonnements mathématiques a pour nous quelque chose de surprenant ; mais elle répond aux nécessités de l’art de persuader : ils apparaissent aux points délicats des démonstrations, notamment par les indivisibles, pour rendre le raisonnement aussi ferme que possible, au point difficile qui effectue le passage à la limite : ils sont fréquents dans le livre II de la Statique, dans le Des éléments hydrostatiques, la Pratique de l’hydrostatique, et l’Appendice de la Statique60.

  • 61 Pierre Hérigone, Les Mécaniques, op. cit., p. 287-288.
  • 62 Théorème II, proposition II, p. 440-441. Voir Pierre Duhem, Les origines de la statique, op. cit., (...)
  • 63 Œuvres, Ier livre de la Statique, p. 449. Voir Pierre Duhem, Les origines de la statique, op. cit.(...)

121La netteté que Stevin apporte ainsi dans ses démonstrations excite d’ailleurs l’esprit d’examen chez ses lecteurs, dans la mesure où les fautes ne s’y dissimulent pas. Hérigone, qui l’a beaucoup exploité, a jugé devoir combler plusieurs lacunes parmi les axiomes. Il propose dans sa Mechanica une pétition omise par Stevin : « si deux poids suspendus à certaines distances sont équilibres, deux autres poids égaux à iceux suspendus de mêmes distances seront aussi équilibres. » De même l’axiome III, « Un poids égal à la pesanteur d’un corps étant suspendu par le centre de gravité, fait le même effet que la pesanteur du corps » et l’axiome IV : « Les poids équilibres à un même poids sont équilibres entre eux », sont des nouveautés de Hérigone61. C’est aussi la rigueur avec laquelle Stevin distingue les principes des démonstrations qui a permis à son traducteur Albert Girard de discerner certaines faiblesses logiques dans la Statique : il remarque par exemple que Stevin aurait dû mettre parmi les pétitions que le centre de gravité d’un corps solide suspendu est en sa perpendicle de gravité62. Une remarque analogue a été faite sur le triangle des forces, que Stevin généralise par pétition de principe63.

Entre l’abstrait et le concret

122Ces raisonnements géométriques engendrent une savante combinaison de constructions concrètes et de représentation intellectuelle abstraite.

123L’abstraction affecte parfois la représentation des objets statiques. Dans le problème VIII, par exemple, Stevin examine la manière dont deux pyramides soutiennent une colonne :

  • 64 Problème VIII, proposition XIV, p. 445-446.

Étant donnée une colonne, comme aussi deux points en son axe, l’un stable, l’autre mouvant en la plus grande partie, trouver un élevant direct au point mouvant, tenant la colonne en une disposition donnée.64

124On suppose donc que la pointe de la pyramide de droite soutient la colonne au point V, situé sur l’axe PQ, et que la seconde pyramide constitue un « élevant direct » qui soutient cette colonne en R. La représentation figurée n’est évidemment pas réaliste, et n’est marquée d’aucune réalité concrète, puisqu’elle suppose une pénétration des dimensions des corps : le cas est purement conceptuel. Mais Stevin parvient ainsi à montrer que dans cette hypothèse, la pyramide de gauche Œ soutient 2 livres, et la pyramide Φ 4 livres.

125La même remarque s’impose pour les corollaires voisins, où ce sont des lignes parallèles, sortes de cordes abstraites, dont Stevin suppose qu’elles pénètrent sans difficulté le corps des solides.

126Cette manière de raisonner a gêné certains lecteurs. C’est le cas de la théorie du principe du plan incliné, par exemple. Stevin la démontre dans l’abstrait, et non de manière expérimentale. L’énoncé général est le suivant :

Si un triangle a son plan perpendiculaire à l’horizon, et sa base parallèle à celui-ci, et sur un chacun des deux autres côtés, un poids sphérique, de pesanteur égale, comme le côté dextre du triangle, au senestre, ainsi la puissance du poids senestre à celle du poids dextre.

  • 65 Voir Œuvres, livre I, théorème XI, proposition XIX, p. 448.

127Stevin envisage d’abord seulement deux poids. Soit le triangle ABC perpendiculaire à l’horizon, dont AC est la base horizontale ; sur les côtés BC et AB, supposé double de BC, sont placés deux poids « en globe » E et D, de pesanteur égale : alors « comme le côté AB 2 au côté BC 1, ainsi la puissance ou pouvoir du poids E à celle de D »65.

  • 66 Voir Paul Sandori, Petite logique des forces, Paris, Seuil, 1983, p. 67, qui donne un résumé très (...)

128Puis Stevin met en jeu un collier de boules. Les boules G, H, I, K, L, M, N et O forment une série symétrique, dont les boules se contrepèsent deux à deux : O contrepèse G, N contrepèse H, M contrepèse I, L contrepèse K ; cela permet d’imaginer qu’on supprime la série de boules G-O sans changer l’équilibre des boules qui se trouvent sur AB et BC. Sur chacune des pentes AB et BC, le nombre de globes est proportionnel à la dimension des côtés, donc à la longueur de la pente. Il suffit alors de réunir en deux boules D et E les boules P, Q, R, D d’une part et E, F d’autre part66.

  • 67 Pierre Duhem, Les origines de la statique, I, p. 279 et suivantes.

129Le raisonnement apagogique qui établit cette proposition est célèbre, parce qu’il s’appuie sur le principe de l’impossibilité du mouvement perpétuel. Son point crucial est dans le fait que la situation qui résulterait d’un déplacement d’un seul cran de ces boules serait identique à la situation précédente ; de sorte que, si un tel déplacement se produisait, il n’y aurait aucune raison interne pour que le processus ne se poursuive pas ; les mêmes données étant retrouvées, la même cause devrait jouer une seconde fois ; à partir de quoi on engendrerait le mouvement perpétuel. L’impossibilité du mouvement perpétuel est un principe dont Stevin use sans l’avoir préalablement mis au nombre de ses postulats67. Mais on remarque surtout qu’il soutient un raisonnement dénué de caractère concret : car le « tout » est supposé pouvoir glisser et « tourner librement et sans accrochement » sur les points fixes T, V S. Est-ce bien réaliste ? On voit mal comment la tige qui en T doit servir de point fixe, peut ne pas bloquer les boules, en quelque sens qu’elles tournent. Il est vrai que ce n’est guère gênant au fond, puisque tout tient justement à ce que le collier de boules ne tourne pas ; mais cela témoigne que l’expérience a été conçue en pensée. On devine la gêne de Hérigone par la manière dont il adapte cette démonstration.

Si les poids proportionaux aux côtés d’un triangle n’étaient équilibres, le mouvement perpétuel se pourrait faire, ce qui est absurde, vu que la nature n’entreprend rien qu’elle n’en devienne à bout (cum natura nihil suscipiat quod non exequatur).

  • 68 Pierre Hérigone, Cursus mathematicus, III, Mechanica, Les Mécaniques, p. 303 et suivantes.

130Mais à la place des boules, il emploie un tuyau rempli d’eau, formant un circuit fermé, dans lequel on voit sans peine que le liquide demeure immobile68.

131Cependant cette abstraction géométrique que Stevin impose aux réalités de la statique autorise des rapprochements et des substitutions qui n’iraient pas de soi dans le concret, particulièrement lorsqu’il envisage successivement plusieurs dispositifs que leur apparence semble à première vue éloigner radicalement les uns des autres.

  • 69 Œuvres, p. 436.

132Le théorème I du livre I, par exemple, établit que « De deux pesanteurs, la plus pesante a telle raison à la plus légère, comme le long rayon au court »69 : les poids inégaux sont en équilibre quand ils sont en même proportion que les bras de balance. Pour le démontrer, Stevin réduit les conditions d’équilibre du levier au cas le plus immédiatement évident, celui de la balance aux bras égaux ; puis il effectue une extension à la balance à bras inégaux, par substitution aux portions du corps de poids égaux suspendus aux centres de gravité respectifs. Dans le premier exemple, il suppose donné le poids total de la colonne ABCD, 6 livres, et de ses six parties égales :

133AEFD = AGFH = GIKH = ILMK = LNOM = NBCO = 1 livre

134Il prend alors ADML pour plus grande pesanteur, de centre de gravité S, et LMCB pour moindre pesanteur, de centre de gravité X, de telle sorte que

135ADML = AEFD + EGHF + GIKH + ILMK

136LMCB = LNOM + NBCO

  • 70 Voir la définition VII de la barre de gravité, p. 435 ; et pour les perpendiculaires de gravité, d (...)

137Dans ce cas, la verge, ou barre de gravité (autrement dit les bras de la balance), est représentée par SX70, prise entre les perpendiculaires de gravité GS et NX. T est le centre de gravité de la colonne, d’où pendent ADML et LMCB. La démonstration visera donc à établir que

138Dans le deuxième exemple, Stevin fournit une démonstration d’ordre mathématique, pour montrer que la relation qui a été établie dans la première n’est pas accidentelle.

139Avec les données suivantes :

140ABCD = AEFD + EBCF et GM = MH

141AEFD a pour centre de gravité K, et GK = KI

142EBCF a pour centre de gravité L, et IL = LH

143il faut montrer que

144Stevin envisage ensuite l’objection « que cette démonstration tient lieu entre les corps de matière uniforme et qui sont ensemble une colonne ». Il répond que la pétition III, « la pesanteur, suspendue plus haut ou plus bas, demeure toujours de même poids », permet de dire que si l’un des corps est situé plus bas que l’autre, l’équilibre subsiste. De sorte que « les parties… de la colonne séparée demeurent aussi bien en équilibre que lorsqu’elles étaient conjointes, et les rayons en même raison ». Le dispositif est alors le suivant.

145Les deux parties de la poutre originelle, maintenant sectionnée, sont disjointes et suspendues par leur milieu respectif à un levier qui les supporte. L’aspect purement intellectuel de ces opérations est clairement indiqué. Mais dans la suite la substitution de poids quelconques aux parties de la colonne ramène au concret, avec des poids de cire, d’argile ou d’autres matières déformables. Enfin, dans la quatrième disposition, Stevin envisage des matières hétérogènes : EFDA est en plomb et EFCB en bois. La figure aboutit à un paradoxe : le poids le plus gros se trouve au bout du bras le plus long, et pourtant l’équilibre demeure. On a rejoint, par diverses transformations, une situation au fond commune, quoique paradoxale à première vue.

  • 71 Voir livre II, corollaire V, p. 449.

146De manière semblable, certains objets géométriques, tout dénués de réalité concrète qu’ils soient d’abord, conduisent à une généralisation et à l’unification de dispositifs différents. C’est le cas du triangle des forces71. Stevin commence par établir, sur une figure, une relation d’ordre géométrique.

147En vertu de la similitude des triangles LDI et ABC,

148Si en KD on applique un élevant direct M, qui équilibre la colonne, il sera de pesanteur égale. Et en fin de compte :

149Dans le triangle LDI, la force verticale M est proportionnelle au côté vertical, et la force E est proportionnelle au côté parallèle à la direction du fil.

150Ensuite, Stevin procède à une transposition sur des réalités concrètes d’apparence éloignée, mais où le même triangle réapparaît toujours. Dans cette figure, le poids du chariot est représenté par le côté vertical HI ; le côté KH, porté par la corde, est proportionnel à la traction du cheval.

  • 72 Œuvres, p. 505a.

151Dans la phase suivante, il généralise son principe en dissociant le triangle des forces du plan incliné : il le remplace par un fil qui tire dans la même direction, et l’on reconnaît le même triangle dans une figure de la Spartostatique72.

  • 73 Ibid., p. 449.

152De nouveau, le concret arrive à la fin de la chaîne, lorsque Stevin affirme sa proposition « non pas seulement des globes, mais de toute autre sorte de corps solides, coulants ou roulants… »73 À l’usage des esprits peu portés sur l’abstraction, « d’autant que plusieurs manouvriers n’entendent, ni ne peuvent mettre leur temps à lire ces propositions, qui toutefois voudraient voir à l’œil quelque raison qui les induise à croire cela », il propose des figures bien réalistes.

  • 74 Ibid., p. 486.
  • 75 Marin Mersenne, Les nouvelles pensées de Galilée, édition critique par P. Costabel et M.-P. Lerner (...)
  • 76 Marin Mersenne, F. Marini Mersenni Minimi Cogitata physico-mathematica, in quibus tam naturae quam (...)

153Dans certains cas, le raisonnement mathématique donne une évidence là où l’expérience pure laisserait place au doute : il fait disparaître provisoirement les difficultés pratiques. Tel est le cas du théorème IV, proposition IV : « Un corps solide, parigrave à l’eau, se tient dans icelle en telle disposition et lieu qu’on voudra. »74 Si l’énoncé paraît à première vue limpide, une expérimentation rigoureuse est difficile à réaliser. Le Père Mersenne en a dit quelques mots sur le cas de la boule de cire dans Les nouvelles pensées de Galilée : il est difficile d’ajouter dans une boule de cire des grains de sable qui lui donnent une gravité spécifique égale à celle de l’eau75. Il le précise dans les Hydraulica phaenomena, soulignant la difficulté du choix pour la substance à faire flotter, et indiquant qu’il n’est pas aisé de maintenir une boule de cire exactement en place, et que telle matière qui s’élève dans certains cas, comme le bois, peut s’enfoncer dans d’autres circonstances76.

154Le raisonnement suppose d’autre part qu’on ne change rien dans le vasiforme BC en substituant le solide A à l’eau qui se trouve en D ; or il est clair qu’on ne peut y parvenir qu’en provoquant un déplacement des particules ; pour que le raisonnement soit convaincant, il faut supposer que la fluidité et la continuité de l’eau rendent la chose indifférente. La substitution est purement intellectuelle : mais comme la démonstration mathématique s’adresse aux yeux de l’esprit, elle permet de concevoir ce que la main de l’expérimentateur ne réalise pas effectivement.

  • 77 Marin Mersenne, Cogitata…, Hydraulica phaenomena, prop. XLIII, p. 179-180.

155Par suite, la démonstration mathématique permet aussi d’écarter des hésitations théoriques, et non pas seulement des difficultés techniques. Dans le cas qui précède, on peut douter sur la raison qui fait que certains solides demeurent suspendus en même situation dans l’eau. Mersenne note dans les Hydraulica phaenomena que si telle matière qui s’élève dans certains cas, comme le bois quand il contient des parties d’air, s’enfonce quand elle est très imbibée d’eau, on risque de conclure que cette matière est plus légère que l’eau, alors que la remontée ne serait due qu’à l’inclusion d’air77. La lettre de Cornier à Mersenne du 18 août 1625 propose bien pour hypothèse que le phénomène des corps suspendus dans l’eau doit être attribué à l’agitation de l’eau, analogue à celle du vent. Le doute est possible. Le raisonnement tel que le présente Stevin a l’avantage d’écarter de telles spéculations, pour isoler le fait pur, quitte à chercher par la suite ses raisons cachées.

  • 78 Théorème III, proposition III, p. 485-486. C’est l’équivalent de l’énoncé d’Archimède, Des corps f (...)

156De manière analogue, dans l’Hydrostatique, Stevin note qu’ « un corps solide multigrave à l’eau submerge jusques au fond »78.

  • 79 Œuvres, p. 485.
  • 80 Blaise Pascal, OC, II, p. 1053-1054.

157La démonstration comporte deux points : 1) que le solide A s’enfoncera dans l’eau, 2) qu’il ira jusqu’au fond. Le raisonnement de Stevin repose sur la pétition III, « le poids qui ne fait pas enfoncer si avant, soit dit plus léger ; mais plus avant, plus pesant ; et qui fait enfoncer également, équipondérant »79. Le fait que A va jusqu’au fond découle du fait que l’on peut recommencer le même raisonnement pour chaque endroit qui se trouve à la verticale au-dessous de FHG. Mais en fait, il n’est pas tout à fait évident qu’il soit strictement valable aussi bien à fleur d’eau que lorsque le corps est déjà complètement submergé. La difficulté apparaît dans l’établissement du second point : « On démontrera de même que A ne se pourra tenir comme ici en I, mais qu’il enfoncera plus que l’eau au même lieu, et partant qu’il ira jusqu’au fond de l’eau ». Cela revient à considérer qu’il n’y a pas de différence entre la position du solide lorsqu’il est en surface et lorsqu’il est en I : or on peut hésiter là-dessus. La démonstration de Pascal est plus satisfaisante, parce qu’elle enferme la raison des effets, en invoquant l’existence d’une balance abstraite sur les plateaux de laquelle pèsent d’une part une colonne d’eau, d’autre part le solide A et la colonne qui le surplombe. Une telle idée n’apparaît pas chez Stevin. Cependant de nouveau, le lecteur trouve évidente la nécessité de la continuation du mouvement vers le bas, parce qu’elle s’exprime sous la forme d’une récurrence purement mathématique80.

  • 81 Œuvres, p. 487.

158Le raisonnement mathématique présente aussi l’avantage d’introduire des notions qui seraient difficilement compréhensibles si l’on s’en tenait à la seule perspective pratique. Le théorème VII, proposition VIII de l’Hydrostatique formule en ces termes le principe d’Archimède : « Tout corps solide est plus léger dans l’eau qu’en l’air, de la pesanteur de l’eau égale en grandeur à icelui. »81 On raisonnerait aujourd’hui à l’aide de l’idée de poussée : si on place dans le récipient D un corps solide A, la poussée de l’eau ambiante vers le haut, égale au poids de l’eau évacuée, s’opposera à l’attraction de la gravité sur le corps.

  • 82 Problème II, proposition IX, p. 487. Archimède, Des corps flottants, op. cit., I, proposition 6, p (...)

159Stevin, lui, raisonne sur le vasiforme D. Tant qu’il est plein d’eau, il pèse le poids de cette eau. Quand on en enlève l’eau, il est allégé d’autant ; quand on y ajoute le corps A, il s’alourdit d’autant ; mais le poids de l’eau retirée doit être défalqué, autrement dit compté négativement. Donc il faut soustraire du poids du solide le poids d’un volume égal d’eau. Pour que le raisonnement soit clair, il faut donc introduire, au moins provisoirement, une grandeur négative. Cette idée de la pesanteur négative est utilisée explicitement dans la proposition suivante : « Etant donnée la quantigravité de l’eau et du corps solide, aussi la pesanteur dudit corps, trouver sa constitution dans l’eau », c’est-à-dire en déduire si le corps montera, tombera ou restera en même situation dans l’eau82. Stevin commence par le cas d’un corps solide minugrave à l’eau. Dans ce cas, dit Archimède,

… les corps solides plus légers qu’un liquide (de même volume), plongés par force dans ce liquide, sont renvoyés vers le haut avec une force égale au poids dont le liquide, qui occuperait le même volume que la grandeur solide, l’emporte sur le poids de cette grandeur.

160Voici comment raisonne Stevin : on admet que le corps C lui-même pèse deux livres, et que la quantigravité de l’eau et du corps solide est de 5 à 1.

161Le volume d’eau égal au corps C pèse donc 2 x 5 = 10 livres. « Reste moins 8 livres », écrit Stevin : ce nombre négatif – 8 représente une poussée en légèreté, c’est-à-dire élevante, de 8 livres. Le montage suivant rend sensible cette notion de pesanteur négative, compréhensible dans l’abstraction mathématique mais beaucoup moins immédiate lorsqu’on s’en tient à la réalité concrète.

162Enfin, le raisonnement mathématique autorise certaines constructions qui vont diamétralement contre la réalité, par exemple pour concevoir la mesure d’une pression. Considérons le théorème IX, proposition XI :

  • 83 Théorème IX, proposition XI, p. 488-489. Voir Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode (...)

Sur un fond convenant duquel le plus haut point est à fleur d’eau, repose un poids égal à la demi-colonne d’eau, de laquelle la base est pareille audit fond, et sa hauteur égale à la perpendicle comprise entre les niveaux qui passent par le plus haut et plus bas point dudit fond.83

163Autrement dit, sur la paroi verticale ABCD pèse un poids d’eau équivalent au solide de la demi-colonne ACHDE.

164Stevin procède encore par passage à la limite. On part du vaisseau AB, dont on considère le fond ACDE. En prenant DH égal à DC, on trace CH. L’angle DHC fait donc 45° ; ACHDE forme la demi-colonne de base ACDE et de hauteur DH. Il faut montrer que le poids qui repose contre le fond ACDE, supposé mobile, est égal à la demi-colonne ACHDE, autrement dit que si I est un poids équipondérant ACHDE, si KL est une corde parallèle à DH, si K est le centre de gravité de l’effort du poussement qui s’exerce sur le fond ACDE, alors le poids I contrepèse l’effort de l’eau pour tenir le fond. Si l’on construit un solide géométrique homologue à ACHDE, dans lequel MP correspond à AD et MNOP à ACDE, le pressement de MNOQP verticalement est identique à la pression qu’exerce ACHDE sur ACDE. On a vu plus haut comment Stevin décomposait les pressions en divisant le fond ACDE en bandes parallèles.

165Dans le deuxième exemple, le fond ACHDE est oblique ; mais la démonstration est la même.

166On montrera donc que sur ACDE pèse l’équivalent d’une demicolonne oblique qu’il faut évaluer.

167La hauteur du triangle CDH est AO. Il a donc pour surface :

168Le solide cherché a do,c pour mesure :

169Mais on sait que CD = DH, et que par suite les deux parallélogrammes ACDE et (ED.DH) sont identiques. On peut donc transcrire :

170Par conséquent, le poids d’eau qui exerce sa pression se définit comme une demi-colonne de base ACDE et de hauteur AO, que l’on pourrait représenter comme ci-dessous.

171Le troisième exemple, plus complexe, suppose un fond dont l’extrémité supérieure se trouve sous fleur d’eau :

  • 84 Théorème X, proposition XII, p. 491-492.

Etant un fond convenant dans l’eau ayant son extrémité supérieure, sous fleur d’eau, le poids qui repose à l’encontre est égal à la pesanteur de la colonne d’eau, ayant ledit fond pour base, et pour hauteur la perpendiculaire entre la fleur d’eau, et le plus haut point du fond ; et davantage la moitié de la perpendicle, depuis le plus haut point du fond jusques au niveau passant par le plus bas.84

172Cette fois, il s’agit de trouver ce qui presse sur ABCD, c’est-à-dire un fond (convenant) oblique dont le sommet est entièrement immergé, et non plus à fleur d’eau.

173Sur ABCD pèse une eau que Stevin concrétise sous la forme suivante.

174Il est montré être l’équivalent d’une colonne de base ABCD, et de hauteur EG, soit (AE + AG), soit (AE + AF/2).

175Pour le montrer, Stevin construit géométriquement un solide équivalent au premier, mais tel que CK soit vertical et non plus horizontal.

176Et c’est de ce dernier solide que, moyennant quelques transformations géométriques élémentaires, Stevin montre qu’il est équivalent à la moitié de la colonne définie plus haut. Il est clair que, dans ces raisonnements, à peu près tout va contre l’évidence et la possibilité concrète. Du point de vue pratique, d’abord, on voit mal comment on pourrait opérer pour que le poids I soit relié au fond ABCD comme sur la figure : la construction est purement conceptuelle. Quant aux transformations géométriques qui suivent, elles n’ont aucune liaison directe avec la réalité physique : les constructions n’ont pas de prétention à refléter quelque chose de réel, et ne survivent pas à la démonstration du théorème.

177Il faudrait naturellement opposer sur ces aspects la technique de Stevin à celle de Pascal. L’un et l’autre ont le souci de faire appel au regard de l’esprit, en proposant à leur lecteur des expériences et des dispositifs qui permettent de lire pour ainsi dire dans la variété des apparences les principes de rationalité. Mais Pascal n’accorde à la géométrie qu’un rôle auxiliaire dans les Traités de l’équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l’air. Non qu’il ignore l’emploi du raisonnement géométrique ; mais même lorsqu’il invoque des expériences imaginaires, il demeure toujours aussi près que possible de la réalité concrète. Chez Stevin au contraire, la rationalisation commence par un emploi du style et des formes rhétoriques de la mathématique. Il faut admirer d’autant plus l’ampleur d’un génie qui s’est montré capable de tenir tout l’entre-deux, de la théorie abstraite à la pratique de l’ingénieur.

Conclusion

  • 85 De la Chalinothlipse, p. 515, proposition I.

178Cette universalité intellectuelle est indissociable du projet scientifique et littéraire de Stevin. Pour l’histoire des sciences, celui-ci marque fortement l’évolution qui conduit la mécanique dans le sens de la rationalisation. Mais ce n’est pas seulement en vue d’obtenir une plus grande rigueur qu’il en use ainsi : la rhétorique mathématique sert l’invention, comme en témoignent les derniers exemples que nous avons proposés, ainsi que l’exposition des vérités : l’art de découvrir les vérités nouvelles et celui de les persuader, comme dirait Pascal. Plus profondément, elle poursuit aussi un but d’inspiration humaniste. L’intervention systématique de la géométrie dans la théorie de la physique répond à la volonté de Stevin d’ennoblissement de la mécanique. Écrivant en langue vernaculaire, Stevin vise d’abord à mettre cette science à la portée d’un lectorat qui n’appartient pas seulement au monde des savants. Il n’entend pas pour autant la ravaler au point que les « piqueurs et faiseurs de mords » à l’esprit étroit, « lesquels pourraient dire selon le commun proverbe, Qu’il faut croire un chacun ès choses de son art », se croient en mesure de la maîtriser seuls : « on les réfutera pareillement », répond-il, « parce qu’ils se veulent mêler de juger de la statique, n’y connaissant rien… »85. Ce qu’il entreprend, c’est de toucher ceux des artisans qui sont capables de prendre de la hauteur par rapport à leur pratique bornée, et, plus largement, tous ceux dont l’activité libérale s’appuie de près ou de loin sur la mécanique. L’usage de la mathématique sert ainsi à mettre la recherche savante à la portée des honnêtes gens et à en rendre les productions utiles au public. Mais pour se faire entendre de l’honnête homme, il faut savoir se forger un langage à la fois universel et « intéressant ». Quelque différents que soient les moyens qu’il y emploie, ce sera aussi l’ambition de Pascal, qui sur ce point encore est le disciple de Stevin.

Notes

1 Simon Stevin, Les Œuvres Mathematiques De Simon Stevin de Bruges. Ou sont inserées les Memoires Mathematiques, Esquelles s’est exercé le Tres-haut et Tres-illustre Prince Maurice de Nassau […]. Le tout reveu, corrigé et augmenté Par Albert Girard Samielois, Mathematicien, 1634, 222 + 678 p., in-folio (désigné désormais par : Œuvres). Selon Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », Mathesis, 37, 1923, p. 14, chaque fois qu’Albert Girard ne dispose pas d’un texte original de Stevin ou de la traduction latine, il traduit de manière correcte au fond, mais sans souci toujours exact des nuances de la pensée.

2 William Shea, La révolution galiléenne, Paris, Seuil, 1992, p. 61.

3 Œuvres, p. 124-125.

4 Ibid., p. 514.

5 Guido Ubaldo, Guidi Ubaldi e Marchionibus montis Mechanicorum liber, in quo haec continentur : De libra, de vecte, de trochlea, de axe in peritrochio, de cuneo, de cochlea, Superiorum permissu et privilegio. Pisauri, apud Hieronymum Concordiam, MDLXXVII. Sur la notion de mathématisation, voir Michel Blay et Robert Halleux, La science classique, Paris, Flammarion, 1998, p. 603.

6 Pierre Duhem, Les origines de la statique, I, Paris, Hermann, 1905-1906, 2 vol., p. 268-270.

7 Œuvres, IIIe livre de la Statique, De la pratique de l’art pondéraire, Au lecteur, p. 469, et Appendice, chapitre II, p. 501 : « Que l’esmeu et ses empêchements n’existent en aucune proportion ».

8 Œuvres, p. 127.

9 Margareth Baron, The origins of the infinitesimal calculus, New York, Dover, 1969, p. 97.

10 Fouquelin, « La rhétorique française », Traités de poétique et de rhétorique de la Renaissance, Goyet éd., Paris, Livre de poche, 1990, p. 388 et suivantes.

11 Le texte donne, entre crochets : copia verborum.

12 Œuvres, p. 127.

13 Sur les parties classiques de la démonstration : voir Euclide, Éléments, Heath éd., I, New York, Dover, 1956, p. 129 et suivantes.

14 En traducteur scrupuleux, Albert Girard a ajouté, mais à part et en caractères différents, des définitions qu’il jugeait nécessaires, pour les mots de diversigravité, quantigravité et creux extérieur du submergeant.

15 Œuvres, p. 436.

16 Œuvres, Des éléments hydrostatiques, p. 485.

17 Œuvres, Arithmétique, livre I, p. 18-19.

18 Antoine Arnauld, Nouveaux éléments de géométrie, Définitions (non pag.), Œuvres de Messire Antoine Arnauld, docteur de la maison et société de Sorbonne, publiées par Gabriel du Pac de Bellegarde et Jean Hautefage, Paris-Lausanne, S. d’Arnay, 1775-1783, 43 tomes en 38 volumes, XLII.

19 Ibid.

20 Simon Stevin, Arithmétique, livre I, p. 18, Définition.

21 Œuvres, IVe livre de la Statique. Des éléments hydrostatiques, p. 486.

22 Ibid., problème I, proposition VI, p. 486.

23 Euclide, Éléments, op. cit., I, p. 132 et suivantes.

24 Dans la langue de Stevin, le vasiforme, autrement dit un vaisseau, est défini comme suit : « vasiforme, est celui qui a seulement la superficie extérieure du corps qu’il contient ; et duquel il peut être séparé par imagination », définition VII, p. 484.

25 Pétition III, p. 485.

26 Œuvres, p. 125.

27 Œuvres, Arithmétique, livre I, p. 19.

28 Œuvres, p. 125.

29 Ibid., p. 125-126.

30 Ibid., p. 434.

31 Ibid., Statique, I, p. 435. Définition reprise dans Pierre Hérigone, Cursus mathematicus, nova, brevi et clara Methodo demonstratus, per Notas reales et universales, citra usum cujuscumque Idiomatis Intellectu faciles, Paris, Henry Le Gras, 1634, 4 vol. ; 1637, 5 vol. ; 1642, 6 vol. ; t. III, Mechanica, Les Mécaniques, p. 285. Définition VIII : « Amborum ponderum pendula gravitatis diameter ansa dicitur. Le diamètre pendule de deux poids s’appelle anse. »

32 Œuvres, Des éléments hydrostatiques, p. 484, déf. X et XI.

33 Ibid., Pétition I, p. 485, et Appendice, chapitre V, p. 503.

34 Œuvres, Ier livre de la Statique, définition IV, p. 434. Voir la définition de Guido Ubaldo, Mechanicorum liber, op. cit., Definitiones, p. 1 : « Centrum gravitatis uniuscujusque corporis est punctum quoddam intra positum a quo si grave appensum mente concipiatur, dum fertur, quiescit ; et servat eam, quam in principio habebat positionem : neque in ipsa latione circumvertitur. Hanc centri gravitatis definitionem Pappus Alexandrinus in octavo Mathematicorum collectionum libro tradidit. Federicus vero Commandinus in libro de centro gravitatis solidorum idem centrum describendo ita explicavit. Centrum gravitatis uniuscujusque solidae figura est punctum illud intra positum, circa quod undique partes aequalium momentorum consistunt. Si enim per tale centrum ducatur planum figuram quomodocumque secans semper in partes aequeponderantes ipsam dividet. » Voir aussi Suppositiones, 1 : « Unius corporis unum tantum est centrum gravitatis. »

35 Livre I, définition IV, p. 434.

36 Œuvres, IIe livre de la Statique, De l’invention du centre de gravité, p. 457.

37 Œuvres, p. 433 ; René Dugas, La mécanique au xviie siècle, Neuchâtel, éditions du Griffon, 1954, p. 55 ; Pierre Souffrin, Trois études sur l’œuvre d’Archimède, Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, 14, 1980, p. 20.

38 Œuvres, p. 436 ; Archimède, De l’équilibre des figures planes, I, Mugler éd., Paris, Les Belles Lettres, 1971, p. 80 ; Proclus, Commentaire, 181, Morrow éd., Princeton University Press, p. 142.

39 Œuvres, p. 436.

40 Ibid., p. 485.

41 René Taton (dir.), La science antique et médiévale, Paris, PUF, 1957, p. 332, et Archimède, op. cit., III, p. 3-4.

42 Blaise Pascal, L’équilibre des liqueurs, I, Œuvres complètes, II, Jean Mesnard éd., Paris, Desclée de Brouwer, 1970, p. 1044 (noté ci-après OC) ; Pierre Hérigone, Cursus mathematicus, Mechanica, p. 224. Hérigone considère comme un « principe ou axiome des spiritales » que « l’eau du tuyau dont la perpendiculaire est plus longue, pèse plus que l’eau du tuyau dont la perpendiculaire est plus courte » ; « aqua tubi longioris perpendiculi praeponderat aquae tubi brevioris perpendiculi ».

43 Œuvres, théorèmes II à V, propositions II à V, p. 485-486, et théorème VIII, proposition X, p. 487-488.

44 Œuvres, p. 494.

45 Ibid., p. 440.

46 Ibid., p. 458. Voir Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », Mathesis, 37, 1923, p. 15 ; Carl Boyer, The history of the calculus, New York, Dover, 1959, p. 99 et suivantes ; Margareth Baron, The origins of the infinitesimal calculus, 1969, p. 97 et suivantes.

47 Noter qu’il ne va pas de soi que NM, ML et LD forment une ligne droite.

48 Œuvres, p. 458.

49 Ibid., p. 458-459.

50 Ibid., p. 467-468. Voir Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 37, 1913, p. 187-17 et suivantes ; Carl Boyer, The History of the Calculus, p. 101 et suivantes. Stevin se réfère à Commandino dans la Construction, p. 467. Commandino s’inspire lui-même de Maurolico, De momentibus aequalibus, prop. XXI, p. 175. Voir un résumé de leurs méthodes dans Margareth Baron, The Origins of the Infinitesimal Calculus, p. 91 et suivantes. Sur l’absence d’originalité de Stevin par rapport à Commandino, voir Henri Bosman, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », p. 187-17 et suivantes.

51 Œuvres, p. 488-489. Sur ce raisonnement, voir Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », p. 61.

52 Œuvres, p. 489b. Voir le texte originel dans Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », p. 193-23.

53 Théorème X, proposition XV, p. 464-465.

54 Voir l’Appendice, chap. IV, p. 502 ; Ier livre de la Statique, p. 447 et 437.

55 Œuvres, p. 490B-491.

56 L’explication d’Albert Girard, « c’est précisément la somme de tous les nombres, moins la moitié du dernier », s’établit ainsi :
Image img24.jpg
Ce qui explique « pourquoi le 1/2 demeure toujours également distant des deux termes, lesquels en approchent toujours, sans que jamais ils y puissent parvenir ».

57 Traduction de Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », p. 195-25, note 1 : « ghenomen dat o gewicht waer » (Waterwicht, p. 30).

58 Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », p. 109. Stevin montre que lim. 1/2n = 0, et par suite que lim. Sn = lim. Sn–1 = 1/2

59 Voir Florian Cajori, A history of mathematical notations, I, New York, Dover, 1993, p. 158, § 164, sur les notations de Girard : il introduit deux symboles nouveaux : ff plus que équivalent de notre >, et § moins que équivalent de notre <.

60 Voir Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », p. 180. Stevin use de syllogismes variés en baroco, darii et celarent. Voir livre II de la Statique, proposition II, p. 458, proposition XV, p. 465, proposition XVI, p. 466, proposition XVIII, p. 466 ; livre IV de la Statique, Des éléments hydrostatiques, proposition XI, p. 489 et 491 ; livre V de la Statique, Commençant la pratique de l’hydrostatique, proposition III, p. 500, et Appendice de la Statique, chapitre I, p. 501.

61 Pierre Hérigone, Les Mécaniques, op. cit., p. 287-288.

62 Théorème II, proposition II, p. 440-441. Voir Pierre Duhem, Les origines de la statique, op. cit., I, p. 270-271.

63 Œuvres, Ier livre de la Statique, p. 449. Voir Pierre Duhem, Les origines de la statique, op. cit., I, p. 276.

64 Problème VIII, proposition XIV, p. 445-446.

65 Voir Œuvres, livre I, théorème XI, proposition XIX, p. 448.

66 Voir Paul Sandori, Petite logique des forces, Paris, Seuil, 1983, p. 67, qui donne un résumé très clair de ces démonstrations.

67 Pierre Duhem, Les origines de la statique, I, p. 279 et suivantes.

68 Pierre Hérigone, Cursus mathematicus, III, Mechanica, Les Mécaniques, p. 303 et suivantes.

69 Œuvres, p. 436.

70 Voir la définition VII de la barre de gravité, p. 435 ; et pour les perpendiculaires de gravité, définition V, p. 434.

71 Voir livre II, corollaire V, p. 449.

72 Œuvres, p. 505a.

73 Ibid., p. 449.

74 Ibid., p. 486.

75 Marin Mersenne, Les nouvelles pensées de Galilée, édition critique par P. Costabel et M.-P. Lerner, Paris, Vrin, 1973, 2 vol., I, p. 53.

76 Marin Mersenne, F. Marini Mersenni Minimi Cogitata physico-mathematica, in quibus tam naturae quam artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur, Hydraulica phaenomena, prop. XLIII, A. Bertier, 1644, p. 179-180.

77 Marin Mersenne, Cogitata…, Hydraulica phaenomena, prop. XLIII, p. 179-180.

78 Théorème III, proposition III, p. 485-486. C’est l’équivalent de l’énoncé d’Archimède, Des corps flottants, I, prop. 7, Mugler éd., III, Paris, Les Belles Lettres, 1971, p. 16 : « Les grandeurs plus lourdes qu’un liquide [de même volume], abandonnées dans ce liquide, descendent vers le bas jusqu’à ce qu’elles aient atteint le fond. » Archimède montre dans la même proposition qu’elles « seront allégées dans le liquide du poids du liquide contenu dans un volume égal au volume de la grandeur solide ».

79 Œuvres, p. 485.

80 Blaise Pascal, OC, II, p. 1053-1054.

81 Œuvres, p. 487.

82 Problème II, proposition IX, p. 487. Archimède, Des corps flottants, op. cit., I, proposition 6, p. 14.

83 Théorème IX, proposition XI, p. 488-489. Voir Henri Bosmans, « Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin », p. 189-19 et suivantes ; Henri Bosmans, « Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin », p. 58 et suivantes ; René Dugas, La mécanique au xviie siècle, Neuchâtel, éditions Griffon, 1954, p. 58-59.

84 Théorème X, proposition XII, p. 491-492.

85 De la Chalinothlipse, p. 515, proposition I.

Table des illustrations

URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 466k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 335k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 43k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 856k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-5.jpg
Fichier image/jpeg, 1,1M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 293k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-7.jpg
Fichier image/jpeg, 426k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-8.jpg
Fichier image/jpeg, 266k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-9.jpg
Fichier image/jpeg, 82k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-10.jpg
Fichier image/jpeg, 104k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-11.jpg
Fichier image/jpeg, 85k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-12.jpg
Fichier image/jpeg, 1,1M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-13.jpg
Fichier image/jpeg, 1,5M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-14.jpg
Fichier image/jpeg, 62k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-15.jpg
Fichier image/jpeg, 242k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-16.jpg
Fichier image/jpeg, 321k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-17.jpg
Fichier image/jpeg, 1,4M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-18.jpg
Fichier image/jpeg, 716k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-19.jpg
Fichier image/jpeg, 61k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-20.jpg
Fichier image/jpeg, 186k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-21.jpg
Fichier image/jpeg, 263k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-22.jpg
Fichier image/jpeg, 22k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-23.jpg
Fichier image/jpeg, 225k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-24.jpg
Fichier image/jpeg, 91k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-25.jpg
Fichier image/jpeg, 927k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-26.jpg
Fichier image/jpeg, 153k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-27.jpg
Fichier image/jpeg, 1000k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-28.jpg
Fichier image/jpeg, 120k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-29.jpg
Fichier image/jpeg, 756k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-30.jpg
Fichier image/jpeg, 92k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-31.jpg
Fichier image/jpeg, 467k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-32.jpg
Fichier image/jpeg, 94k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-33.jpg
Fichier image/jpeg, 595k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-34.jpg
Fichier image/jpeg, 407k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-35.jpg
Fichier image/jpeg, 813k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-36.jpg
Fichier image/jpeg, 62k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-37.jpg
Fichier image/jpeg, 187k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-38.jpg
Fichier image/jpeg, 76k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-39.jpg
Fichier image/jpeg, 1,2M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-40.jpg
Fichier image/jpeg, 562k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-41.jpg
Fichier image/jpeg, 991k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-42.jpg
Fichier image/jpeg, 180k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-43.jpg
Fichier image/jpeg, 267k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-44.jpg
Fichier image/jpeg, 42k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-45.jpg
Fichier image/jpeg, 158k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-46.jpg
Fichier image/jpeg, 331k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-47.jpg
Fichier image/jpeg, 1,0M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-48.jpg
Fichier image/jpeg, 541k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-49.jpg
Fichier image/jpeg, 1016k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-50.jpg
Fichier image/jpeg, 119k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-51.jpg
Fichier image/jpeg, 75k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-52.jpg
Fichier image/jpeg, 106k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-53.jpg
Fichier image/jpeg, 1,1M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-54.jpg
Fichier image/jpeg, 1,0M
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-55.jpg
Fichier image/jpeg, 254k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-56.jpg
Fichier image/jpeg, 172k
URL http://books.openedition.org/enseditions/docannexe/image/1164/img-57.jpg
Fichier image/jpeg, 1,1M

Auteur

Professeur de Littérature française, Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand

© ENS Éditions, 2005

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540