Les mathématiques franciscaines et leur diffusion en Italie
Le cas du De macrocosmo de Marco Trevisano (Venise, XIVe siècle)
p. 123-177
Résumés
Eugenio Garin a émis l’hypothèse selon laquelle les Franciscains du Moyen Âge auraient joué un rôle important à la Renaissance, non seulement par leurs travaux d’optique, lesquels eurent un impact sur la naissance de la perspective en peinture, mais aussi et plus généralement par leur usage des mathématiques et plus précisément de l’arithmétique pour aborder les problèmes théologiques liés à la Création du monde. Autrement dit, ils auraient contribué à véhiculer un modèle influencé par le pythagorisme et le platonisme qui place les nombres au cœur de la compréhension du monde. Garin s’appuyait sur le cas particulier du franciscain Luca Pacioli, proche des humanistes et célèbre pour ses œuvres mathématiques. Est‑il un cas isolé ? Dans cette étude, nous proposons de revenir sur la question posée par Garin en examinant les spécificités de l’enseignement des mathématiques chez les Mendiants et en nous intéressant à la circulation de ce modèle en dehors des ordres à travers le cas de Marco Trevisano, un laïc vénitien mort en 1378 et auteur d’un long traité intitulé De macrocosmo. Ce texte illustre à sa manière la thèse de Garin, tout en apportant un éclairage nouveau sur les rapports entre frères et laïcs. En effet, Marco Trevisano entend corriger le modèle franciscain grâce à ses connaissances mathématiques. Dans le livre I, il semble corriger le traité sur les nombres de Jean Peckham. Dans le livre II, il copie le commentaire des Sentences de Gérard d’Odon pour finalement le critiquer sur les aspects les plus mathématiques de sa doctrine. En conclusion, il nous semble que les savoirs mathématiques franciscains devraient être étudiés dans le contexte plus large de leur diffusion en dehors de l’ordre.
Eugenio Garin hypothesised that the Franciscans of the Middle Ages played an important role during the Renaissance, not only through their work in optics, which had an impact on the birth of perspective in painting, but also and more generally through their use of mathematics and more specifically arithmetic to address theological problems related to the creation of the world. In other words, they would have helped to spread a model influenced by Pythagorism and Platonism which places numbers at the heart of our understanding of the world. Garin relied on the special case of the Franciscan Luca Pacioli, who was close to humanists and famous for his mathematical works. Is he an isolated case? In this study, we suggest returning to the question posed by Garin by examining the specificities of the teaching of mathematics among the Mendicants and by looking at the circulation of this model outside the Order through the case of Marco Trevisano, a Venetian layman who died in 1378 and who wrote a long treatise entitled De macrocosmo. This text illustrates Garin’s thesis in its own way, while shedding new light on the relationship between friars and laity. In fact, Marco Trevisano intends to correct the Franciscan model thanks to his mathematical knowledge. In Book I, he seems to correct the treatise on numbers by John Peckham. In Book II, he copies the commentary of the Sentences of Gerard d'Odon and finally criticizes him on the more mathematical aspects of his doctrine. In conclusion, it seems to us that Franciscan mathematical knowledge in Italy should be studied in the wider context of its diffusion outside the Order.
Entrées d’index
Mots-clés : Marco Trevisano, Franciscains, laïcs, mathématiques
Keywords : Marco Trevisano, Franciscans, laymen, mathematics
Texte intégral
1Dans une conférence sur « le franciscanisme et les origines de la Renaissance », Eugenio Garin tentait d’éclaircir les liens qui unissaient l’avènement de la perspective dans la peinture italienne renaissante et la réception des grands traités d’optique rédigés par des penseurs franciscains du XIIIe siècle comme Roger Bacon ou Jean Peckham1. Quoique l’idée directrice de cet essai ne soit guère originale – on connaissait déjà l’importance des traités médiévaux d’optique en Italie, de Bruneleschi à Léonard de Vinci –, Garin entendait soutenir une thèse singulièrement plus forte que la vulgate communément acceptée à l’époque. Par‑delà la science optique de la perspectiva, les penseurs franciscains auraient transmis à la Renaissance un modèle plus global de compréhension du monde, lointainement inspiré par Pythagore et Platon. Cette approche du réel consisterait à repérer dans le monde naturel la structure rationnelle et principalement mathématique qui a présidé à sa création. Or, si l’optique permet de rendre visible cette structure intelligible dans le monde sensible, en faisant apparaître les lois géométriques qui gouvernent notre perception du monde sensible, les rapports ainsi dévoilés pourraient encore être réduits à des formes géométriques et in fine à des nombres, dont la science, l’arithmétique, serait ainsi première. Autrement dit, selon ces penseurs franciscains, au plus proche des archétypes utilisés lors de la création du monde se trouveraient des nombres et des rapports entre nombres.
2Selon Garin, les Franciscains auraient ainsi, plus que les autres philosophes et théologiens du Moyen Âge, adhéré à une théorie de la Création proche à la fois du Timée de Platon, des premiers traités d’Augustin et d’une forme de néo‑pythagorisme, dont il ne donnait pas la source précise. Aussi, écrivait‑il, « puisque cet artisan a œuvré en poids, nombre et mesure [Sagesse XI, 21], il s’agissait de partir à la conquête de ces raisons infuses partout. […] C’est là, précisément là, que se trouve le lien avec la tradition franciscaine : l’étude de la lumière et de ses lois2 ». Les Franciscains auraient donc complété l’exégèse augustinienne du verset de la Sagesse par une théorie mathématique qui conjugue l’optique, la géométrie et l’arithmétique. De là cette idée si chère aux artistes de la Renaissance qu’imiter la nature reviendrait à suivre ces lois mathématiques qui sont au fondement du monde naturel et dont les secrets, révélés par la science optique, la perspectiva, feraient apparaître des relations numériques.
3Lorsque Garin prononce cette conférence en 1966, une telle proposition historiographique avait en réalité pour but d’ouvrir une troisième voie dans un débat encore vivace à l’époque et qui opposait, pour le dire de manière simpliste, deux visions antagonistes en histoire des sciences : celle de Pierre Duhem d’un côté, lequel voyait dans la théologie du XIIIe siècle les prémisses lointaines de la révolution scientifique moderne3 ; celle d’Alexandre Koyré de l’autre, pour qui la véritable révolution n’adviendrait qu’au XVIIe siècle, grâce à une véritable mathématisation de la physique et à une géométrisation complète de l’espace4. Or, pour ce dernier, un tel processus n’a été rendu possible qu’après le retour du platonisme et du pythagorisme à la Renaissance. En mettant en avant le rôle de la tradition franciscaine à la Renaissance, Garin entendait donc réconcilier ces deux points de vue en enracinant le retour du platonisme et du pythagorisme dans un moment précis et circonscrit de l’histoire de la philosophie médiévale, sans pour autant remettre en cause ni le génie propre de la Renaissance ni les avancées inédites de la modernité scientifique à l’époque de Copernic, Kepler et Galilée. Un même modèle, à la fois métaphysique et mathématique, aurait été transmis et interrogé depuis l’aube du Moyen Âge, réinterprété par les Franciscains, puis modifié au gré des divers usages qui en ont été faits entre le XIIIe et le XVe siècle, avant de donner lieu à une reformulation complète – et bien supérieure, aux yeux de Garin – au XVIe et surtout au XVIIe siècle. En termes plus contemporains, il s’agissait pour Garin de penser les rapports entre théologie et mathématiques sur le temps long sans abandonner « la légitimité des temps modernes5 » et sans renoncer complètement au rôle de la théologie dans l’imagination scientifique qui a permis de rompre avec le cadre fourni par la physique aristotélicienne pendant des siècles6.
4La proposition était forte. Mais le récit d’Eugenio Garin, comme tous les grands récits de la modernité, souffrait de plusieurs faiblesses, dont la principale était l’absence d’une étude historique précise de la transmission de ce modèle théologico‑mathématique franciscain en Italie entre le XIIIe et le XVe siècle. Comment un tel modèle a‑t‑il été élaboré, transmis, amendé et modifié durant cette période ? Dans quelle mesure l’Italie a‑t‑elle joué un rôle important dans la diffusion de ces idées franciscaines, au départ concentrées à Oxford et Paris ? Car si nous savons aujourd’hui que les traités franciscains de perspectiva étaient connus en Italie dès le XIIIe siècle7 et étaient encore lus au XVe et même au XVIe siècle8, l’exposé de Garin reposait quant à lui sur un seul cas, jugé emblématique : le franciscain Luca Pacioli.
5Né vers 1446 à Borgo San Sepolcro, près d’Arezzo, ce proche de Piero della Francesca, de Léon Battista Alberti et de Léonard de Vinci, illustrait parfaitement la thèse de Garin. En effet, ce franciscain inscrivait clairement ses traités mathématiques dans une perspective théologique plus vaste qui n’est pas sans rappeler celle des frères mineurs du XIIIe siècle. Citant à l’envi le verset de la Sagesse XI, 21, s’appuyant sur l’exégèse augustinienne pour exprimer le lien de dépendance ontologique entre la structure mathématique du monde matériel et les idées divines, réactualisant l’arithmétique du mathématicien néo‑pythagoricien Nicomaque de Gérase, transmise en latin grâce à l’Institution arithmétique de Boèce, Luca Pacioli entendait clairement faire apparaître, grâce aux mathématiques, et plus précisément grâce à sa théorie des proportions, la rationalité de la Création9. De plus, ajoutant la perspectiva aux sciences traditionnelles du quadrivium (arithmétique, géométrie, musique, astronomie), il prenait très au sérieux l’importance de l’optique dans le processus de divulgation des lois de la Création. Bref, tous les éléments semblaient réunis pour faire de cet auteur un cas paradigmatique du rapport entre franciscanisme et mathématiques au tournant du Moyen Âge et de la Renaissance.
6La méthode soulève toutefois un certain nombre de questions. S’agissait‑il d’un cas isolé et génial, ou était‑il représentatif d’une tendance philosophique et théologique encore frémissante dans l’Italie du XVe siècle ? Les avancées mathématiques contenues dans ses traités ont‑elles un lien direct avec son « franciscanisme » ? Dans quel milieu a‑t‑il développé ses principales idées ?
7Pour y voir plus clair, rappelons tout d’abord quelques éléments de la biographie de Luca Pacioli. Nous savons en effet qu’il s’est formé aux mathématiques dans sa jeunesse, principalement à la Scuola del Rialto de Venise (vers 1464), soit plus d’une décennie avant de prononcer les vœux en 1478 dans son village natal de San Sepolcro10. Par la suite, ses multiples pérégrinations l’amèneront à enseigner la théologie chez les Franciscains de San Sepolcro, mais aussi les mathématiques dans les écoles de Pérouse et de Venise, ainsi que dans plusieurs grandes universités italiennes, notamment à Florence, Pise et Bologne. Notons en outre que Luca Pacioli a été actif dans plusieurs cours italiennes, en particulier auprès de Ludovico Sforza et de Guidobaldo da Montefeltro. Dans ces conditions, comment savoir ce qui de son apprentissage des mathématiques dans les écoles d’abaque, de sa fréquentation des universités ou de ses études en théologie chez les frères mineurs fut le plus déterminant dans l’élaboration de son système ? Ne serait‑ce pas plutôt la rencontre de ces divers savoirs, dans divers milieux, qui lui permit de construire cette « théologie mathématique11 » apparemment originale ?
8Pour accréditer son hypothèse, Garin se contentait de rappeler l’existence d’une tradition franciscaine anglaise au XIIIe siècle, mais n’indiquait aucune étape historique entre l’époque de Roger Bacon et Jean Peckham et celle de Luca Pacioli. Pourtant, force est de constater que Luca Pacioli ne cite pas ou très peu d’auteurs franciscains dans ses œuvres. Dans sa Summa de arithmetica, par exemple, qui constitue sans doute son ouvrage le plus achevé, il se réfère principalement aux Éléments d’Euclide, au De arithmetica de Boèce, au Liber abaci de Leonardo Pisano, à l’Arithmetica et au De numeris datis de Jordanus de Nemore, au De sphera de Jean de Sacrobosco, ainsi qu’aux œuvres d’auteurs padouans plus récents, comme Blaise de Parme et Prosdocimo Beldomandi, qui étaient des laïcs. Quant aux bibliothèques, nous savons seulement qu’il a fréquenté celle des Dominicains de San Marco, à Florence, qui fut sans doute l’une des plus importantes pour les études mathématiques en Italie12. Mais il ne mentionne aucune bibliothèque conventuelle franciscaine. En dehors du fait qu’il est entré dans l’ordre des Frères mineurs et qu’il attribue un rôle de premier plan aux mathématiques et à la Perspectiva – comme de nombreux philosophes à l’époque –, l’influence franciscaine semble somme toute assez diffuse et difficile à repérer dans son œuvre. Du reste, comme le résume fort bien Argante Ciocci, sa Summa de arithmetica est « la tentative d’un frère franciscain, qui est à la fois maître d’abaque et magister theologiae, de combler le fossé linguistique, culturel et social entre la bottega et l’université13 ». En effet, l’intérêt du témoignage de Luca Pacioli réside précisément dans le reflet qu’il offre de la porosité entre les multiples univers auxquels il appartenait. Sans nécessairement renoncer à l’intuition centrale de l’essai de Garin, le cas Pacioli doit nous inviter à reconsidérer le rôle joué par les différents lieux de savoir qu’il a fréquentés dans l’élaboration de sa doctrine.
9Dans les pages qui suivent, nous souhaiterions apporter un nouvel éclairage sur ces questions à partir d’un autre cas, beaucoup moins célèbre que celui de Luca Pacioli, mais tout aussi original et intéressant du point de vue de l’histoire des idées. Il s’agit de Marco Trevisano, un patricien de Venise, mort en 1378, c’est‑à‑dire un siècle avant que Luca Pacioli ne prenne l’habit franciscain. En paraphrasant le jugement d’Argante Ciocci sur Luca Pacioli, son unique œuvre, le De macrocosmo, pourrait être décrite comme la tentative d’un laïc de combler le fossé intellectuel entre les écoles d’abaque et la théologie franciscaine14. En effet, ce long traité fournit sans doute l’un des témoignages les plus éblouissants de l’influence des théologiens franciscains en dehors des couvents dans l’Italie du XIVe siècle. Car, contrairement à Luca Pacioli, Marco Trevisano cite et discute de nombreux auteurs franciscains, comme Roger Bacon, Jean Duns Scot, et surtout Gérard d’Odon, dont il copie verbatim des pans entiers de son commentaire des Sentences de Pierre Lombard. Il semble aussi connaître l’ouvre de Jean Peckham, qu’il ne cite pas par son nom, tout en reprenant certaines idées qui viennent de lui. Son intention était d’ailleurs très claire : il souhaitait mettre à jour la théologie de la Création adoptée par certains franciscains en corrigeant certains points de doctrine grâce à ses connaissances mathématiques. Ce faisant, bien qu’il reconnût pleinement la force du modèle transmis par les Franciscains, il n’en critiquait pas moins les faiblesses dans l’usage qu’ils faisaient des savoirs profanes et en particulier des mathématiques. En creux, ce laïc vénitien nous dit que les théologiens franciscains n’étaient pas tous d’excellents mathématiciens. Plus encore, en le lisant on a l’impression qu’en vérité il n’y eut pas de véritables « mathématiques franciscaines », mais tout au plus un usage heuristique des mathématiques en théologie.
10Outre le fait qu’ils ont été tous deux formés à Venise, Marco Trevisano et Luca Pacioli partageaient sans doute un même projet, celui de mettre leur savoir mathématique au service d’un idéal métaphysique et théologique de compréhension profonde de la structure rationnelle du monde créé. L’un, Luca Pacioli, finira par entrer chez les Frères mineurs ; l’autre, Marco Trevisano, a préféré enrichir les réflexions franciscaines de l’extérieur, usant d’ailleurs de toutes les précautions nécessaires pour ne pas empiéter sur les prérogatives des frères. L’œuvre de Marco Trevisano, entièrement inédite et jamais étudiée à ce jour, éclaire donc en amont la transmission du savoir franciscain dans l’Italie du Trecento et, en aval, sa réception et sa transformation chez certains humanistes de la Renaissance. L’analyse des deux premiers livres du De macrocosmo, consacrés respectivement à la notion d’unité en arithmétique et à la division des quantités continues, fournira, espérons‑le, une nouvelle piste de recherche pour comprendre la diffusion du savoir franciscain dans les milieux laïques et non universitaires. En effet, l’hypothèse que nous souhaiterions explorer dans ces pages est la suivante : si les Franciscains ont sans doute transmis la trame d’une exégèse pythagorico‑platonicienne de Sagesse XI, 21, les développements mathématiques de ce modèle ne dépendent pas d’un enseignement franciscain de ces savoirs profanes. Pour le montrer, il faut dans un premier temps se pencher sur la nature de l’enseignement mathématique dans les studia franciscains, avant de nous tourner vers le De macrocosmo de Marco Trevisano.
Les Franciscains et les mathématiques
11L’hypothèse d’Eugenio Garin reposait sur ce qui lui semblait être une évidence : de nombreux auteurs franciscains se sont intéressés de près aux mathématiques et plus particulièrement à son application dans le champ de l’optique. Depuis lors, les travaux de Barnabas Hughes ont montré que l’Ordre n’avait produit que très peu de traités mathématiques, hormis quelques rares cas, justement célèbres, comme le Carmen de algorismo d’Alexandre de Villedieu, les Communia mathematica de Roger Bacon, ou encore la Perspectiva et le De numeris misticis de Jean Peckham au XIIIe siècle15. Or, le texte d’Alexandre de Villedieu contient essentiellement des règles mnémotechniques pour des calculs élémentaires qu’il emprunte à la tradition des manuels d’algorithmes. On ne peut donc pas parler dans ce cas de nouveautés ou de mathématiques franciscaines. Plus surprenant, Barnabas Hughes ne recense aucun traité mathématique franciscain au XIVe siècle. Il faut attendre le XVe siècle pour en voir apparaître quelques‑uns, comme le très rudimentaire Compendium mathematicae de Nicolas d’Orbellis ou les ouvrages déjà mentionnés de Luca Pacioli, auxquels il faudrait ajouter d’autres cas non recensés par Hughes, comme celui du frère Mariotto de’ Guiducci, actif dans les écoles d’abaque de Florence et auteur d’un Libro di arismetricha16. On ne peut donc parler d’une tradition franciscaine d’ouvrages mathématiques.
12Bien entendu, cela ne signifie aucunement que les questions mathématiques avaient disparu de la culture franciscaine pendant plus d’un siècle. Seulement, dès la fin du XIIIe siècle, celles‑ci sont disséminées dans des œuvres théologiques, la plupart du temps des commentaires bibliques, des commentaires sur les Sentences de Pierre Lombard ou des questions quodlibétiques, au détour de discussions plus larges, sur des sujets qui ne sont pas en eux‑mêmes mathématiques.
13Comme l’a souligné Barnabas Hughes, on trouve en effet chez des auteurs aussi différents que Alexandre de Halès, Bonaventure, Pierre de Jean Olivi, Roger Marston, Jean Duns Scot, Guillaume d’Alnwick ou Gonsalve d’Espagne des réflexions mathématiques sur certains axiomes d’Euclide, sur des énoncés géométriques, sur la nature des nombres ou encore sur l’infini et le continu, bien qu’aucun d’eux n’ait rédigé de traité de mathématique17. Pour le XIVe siècle, il faudrait compléter cette liste par de nombreux autres textes, comme les quaestiones sur la divisibilité infinie du continu de Walter Chatton, Gérard d’Odon, Nicolas Bonet ou Adam Wodeham18, ainsi que les réflexions de Guillaume d’Ockham sur les concepts fondamentaux de la géométrie19 ou encore les textes inclassables de Raymond Lulle20. Par comparaison, les frères des autres ordres mendiants semblent avoir nourri un intérêt moins prononcé pour ces questions, même s’il est vrai que plusieurs dominicains ont écrit sur des matières assez semblables, depuis Albert le Grand21 jusqu’à Dietrich de Freiberg22. De même, certains Augustins, comme Grégoire de Rimini23 ou Graziano dei Castellani24, ont aussi réfléchi sur la philosophie des mathématiques. S’il existe bel et bien un tropisme mathématique chez les Franciscains, il reste à en comprendre la nature précise.
14Si l’on s’arrête sur la production des quodlibeta, lieu par excellence des sujets qui débordent le cadre strict de la théologie, force est de constater que les questions mathématiques sont peu nombreuses chez les Franciscains, en dehors de celles consacrées au continu. Chez Pierre d’Angleterre, un contemporain de Jean Duns Scot, on ne compte que deux quaestiones explicitement qualifiées de mathematicae, l’une consacrée à l’influence des astres, l’autre au continu25. En comparaison, les quodlibeta dédiés à des sujets de philosophie naturelle sont extrêmement nombreux au XIVe siècle26. Par ailleurs, ces rares quaestiones mathematicae semblent le plus souvent subordonnées à des problèmes théologiques, ce qui n’a d’ailleurs rien de surprenant. Il ne s’agirait donc pas tant d’un tropisme mathématique que d’une manière particulière de faire de la théologie. Ce goût pour les mathématiques se traduit‑il par un enseignement spécifiquement franciscain, différent de celui que l’on pouvait trouver dans les universités et les studia des autres ordres mendiants ?
15Le premier point à noter est qu’il est extrêmement difficile de savoir quelle était la nature de l’enseignement de cette discipline au sein des couvents, si tant est qu’un tel enseignement existât27. Car les informations concernant les aspects institutionnels de cet enseignement font largement défaut28. Nous savons qu’il n’était pas formellement interdit d’étudier les sciences profanes, comme ce fut le cas dans certaines provinces dominicaines, même si les Constitutions de Narbonne imposèrent un contrôle des textes produits dans les couvents avant leur diffusion plus large29. Malgré cette plus grande liberté, par rapport à d’autres Ordres, la masse documentaire disponible indique que l’enseignement des studia artium franciscains se concentrait essentiellement sur le trivium et plus particulièrement sur la grammaire et la logique30. Cet enseignement était parfois complété par des cours de philosophie morale et de philosophie naturelle, notamment dans les studia generalia philosophiae, mais leur contenu restait assez rudimentaire31. Le cas des sciences du quadrivium reste quant à lui un mystère, malgré les compétences indéniables acquises dans ce domaine par certains frères depuis le XIIIe siècle32.
16Les inventaires de bibliothèques conventuelles franciscaines ne nous aident guère à y voir plus clair33. La plupart du temps, elles conservent peu de textes mathématiques, y compris en Angleterre, d’où étaient issus les frères qui s’intéressaient le plus aux sciences mathématiques34. En ce qui concerne l’Italie, on peut mentionner, par exemple, l’inventaire de la bibliothèque du couvent San Francesco de Candie, rédigé en 1417, dans lequel on ne trouve que des textes de logique, de philosophie naturelle et d’éthique, au milieu de nombreuses bibles, parfois commentées, de textes patristiques, de commentaires sur les Sentences de Pierre Lombard et autres traités de droit canon, mais aucun texte mathématique35. La situation est la même dans les bibliothèques des couvents de Santa Croce à Florence36, de Gubbio37, ou de plus petits couvents, comme celui de la Vernia38. Même à Bologne, où la logique et la philosophie naturelle occupent une place prépondérante, on ne compte aucun livre de mathématique dans l’inventaire de 142139. De même, la riche bibliothèque du couvent San Fortunato de Todi contient de nombreux textes philosophiques, mais un seul De sphera de Jean de Sacrobosco pour le domaine mathématique40. Même chose à Pise dans l’inventaire de 1331 de la bibliothèque de San Francesco, qui compte un De sphera, un livre de comput et un recueil de tables astronomiques41. La bibliothèque des Franciscains de Sienne contenait quelques textes liés à l’enseignement du quadrivium à la fin du XVe siècle, mais on ne sait rien des périodes antérieures42. Quant au couvent de San Antonio à Padoue, les inventaires de 1396 et 1447 mentionnent seulement des copies du De arithmetica de Boèce et du De sphera de Jean de Sacrobosco, ainsi qu’un recueil anonyme intitulé Liber diversarum scientiarum qui mériterait sans doute d’être étudié43.
17Seule exception notable, la bibliothèque du couvent d’Assise contenait plusieurs textes mathématiques avant l’inventaire de 138144. On y trouvait la Geometria d’Euclide, le De numeris misticis et la Perspectiva de Jean Peckham, l’Algorismus, le De sphera et le De computo de Jean de Sacrobosco, le De usu quadrantis de Campanus de Novara, le Carmen de algorismo d’Alexandre de Villedieu, ainsi qu’un De fractionibus numerorum et un Tractatus geometrie anonymes. Notons cependant que ces livres appartenaient à la bibliothèque privée (libraria secreta) du couvent à l’usage des frères et étaient classés parmi les outils pour la théologie, ce qui indique assez bien, semble‑t‑il, l’usage auquel ils étaient destinés45.
18Hormis ce cas apparemment singulier, aucune bibliothèque franciscaine ne semble avoir rivalisé avec celle qui servira aux Dominicains de San Marco, à Florence, au XVe siècle, et où le franciscain Luca Pacioli allait lui‑même travailler46. On pourrait ainsi multiplier les exemples, on constaterait ce même paradoxe : alors que les Franciscains semblent attacher la plus grande importance aux mathématiques, cette discipline est faiblement représentée dans les bibliothèques de leurs couvents. Peut‑être trouverait‑on plus d’informations en travaillant sur les livres à usage privé des frères, lesquels n’étaient généralement pas inventoriés, mais une telle tâche dépasserait largement le cadre de cet article.
19Face à la faiblesse de la documentation institutionnelle et des inventaires de bibliothèques, on considère généralement que les studia franciscains devaient suivre les programmes des facultés des arts des grandes universités européennes et plus particulièrement celles d’Oxford et Paris47. Si cette hypothèse était confirmée, elle expliquerait peut‑être la nature éminemment philosophique du traitement réservé aux questions mathématiques par une majorité des penseurs franciscains entre la fin du XIIIe siècle et la première moitié du XVe siècle. Car les indications relatives à l’enseignement des mathématiques dans les universités montrent que l’on n’y pratiquait guère les mathématiques, au sens technique du terme.
La nature de l’enseignement mathématique dans les studia et les universités
20Si l’on prend le cas de l’Université de Paris, probablement le mieux documenté à ce jour, on constate que malgré la présence de grands mathématiciens durant les XIIIe et XIVe siècles, comme Jordanus de Nemore, Jean de Murs ou Nicole Oresme, on conserve peu de textes mathématiques issus de la faculté des arts. Nous savons pourtant, grâce aux travaux de Claude Lafleur, que les mathématiques y étaient bel et bien enseignées dès la seconde moitié du XIIIe siècle, comme le montrent les Introductions à la philosophie et les Guides de l’étudiant qu’il a étudiés en détail48. Cependant, on le voit dans ces manuels, la nature, la place, l’importance et même le lieu de cet enseignement restent flous. Selon Guy Beaujouan, à l’époque des statuts de 1215, cet enseignement se déroulait probablement les jours fériés, au domicile du maître49. Mais à partir de 1255, la situation a changé et les textes exhumés par Claude Lafleur montrent qu’il existait désormais une obligation statutaire pour les maîtres d’enseigner les mathématiques à l’université et pour les étudiants d’être examinés dans cette discipline pour l’obtention de la licence50. Cela étant, l’enseignement du quadrivium semble de plus en plus écrasé par la philosophie naturelle51. Les Statuts de 1366 se contentent quant à eux de rappeler que les étudiants doivent avoir entendu parler de mathématiques en dehors de traités d’Aristote52.
21Les étudiants parisiens devaient connaître, au moins sous forme de résumés, une partie des Éléments d’Euclide, le De arithmetica de Boèce ou encore le traité connu sous le nom d’Algorismus. Cependant, les rares quaestiones mathematicae qui ont été conservées montrent un décalage entre le programme minimal des études mathématiques et les intérêts philosophiques des artiens. Les quaestiones du XIIIe siècle concernent essentiellement ce que nous appellerions aujourd’hui la « philosophie des mathématiques ». On n’y trouve aucune démonstration mathématique à proprement parler, mais seulement des réflexions sur la nature et le statut des objets mathématiques. Ce qui frappe, en effet, à la lecture des Introductions à la philosophie et des premières Quaestiones mathematicae au XIIIe siècle, c’est à la fois l’étendue des thèmes abordés dans cet enseignement (l’arithmétique, la géométrie d’Euclide, la musique, l’astronomie, mais aussi le Timée de Platon, la Consolation de philosophie de Boèce, Macrobe et même la rhétorique), le désordre apparent des rubriques qui l’organisent et le traitement extrêmement rapide qui est réservé à chacune d’elles (un ou deux folios seulement pour chaque chapitre).
22Si l’on prend l’exemple des Quaestiones mathematice anonymes contenues dans ms. Paris, BnF, lat. 16390 et lat. 1661753, il est frappant de constater que la partie sur l’arithmétique n’est qu’une rapide paraphrase de l’arithmétique boécienne sans grande originalité54. Concernant les nombres, le texte se poursuit avec un résumé des propositions du livre VII des Éléments d’Euclide, puis du livre I pour les notions de base en géométrie (le point, la ligne, etc.), sans les démonstrations. Suivent des résumés sur le De sphera de Jean de Sacrobosco, sur l’abstraction mathématique (à partir de la Métaphysique d’Aristote), puis, dans un certain désordre, des questions élémentaires et très générales sur la musique, l’astronomie et la géométrie (sur le statut des objets de ces sciences, sur la quantité et ses espèces, et sur l’abstraction nécessaire pour la saisie de ces objets). Plus étonnant, ce document ajoute à la fin de parcours des résumés de la Consolation de philosophie de Boèce (sur le bien, le libre arbitre et la providence) et du Timée de Platon (sur la création, les archétypes divins, les éléments, l’âme du monde). Cela montre bien, semble‑t‑il, combien la Faculté des arts subissait encore au XIIIe siècle l’héritage et l’influence de l’enseignement du XIIe siècle, centré sur Platon, Augustin et Boèce.
23Nous savons en tout cas que le De arithmetica de Boèce occupait encore une place très importante dans l’enseignement parisien du XIIIe siècle55. Dans certains textes assez élaborés d’un point de vue mathématique, comme l’Algorismus vulgaris de Jean de Sacrobosco, maître à Paris après 1221, ou l’Arithmetica de Jordanus de Nemore (mort en 1260), on voit qu’il s’agit toujours d’adapter l’arithmétique boécienne aux récentes découvertes sur la science des nombres venues du monde arabe. Comme le résume parfaitement Pearl Kibre, « il est probable que l’usage continu de l’Arithmetica boécienne au XIIIe siècle soit dû à sa teneur philosophique et au fait que cet ouvrage se prête aux aspects spéculatifs de l’exposition mathématique et scientifique56 ». De ce point de vue, ce qui valait pour les maîtres ès arts mentionnés ci‑dessus valait sans doute aussi pour certains franciscains du XIIIe siècle.
24On observe cependant un changement certain à Paris au tournant du XIIIe et du XIVe siècle. En effet, même si des mathématiciens comme Jean de Murs continuent l’effort de leurs prédécesseurs pour développer l’arithmétique boécienne57, le questionnement mathématique des artiens, comme celui des Franciscains d’ailleurs, s’oriente de plus en plus vers les problèmes de philosophie des mathématiques légués par le corpus aristotélicien et ses commentateurs (en particulier Avicenne et Averroès).
25On peut s’en persuader en parcourant les Quaestiones mathematicae de Raoul le Breton, l’un des maîtres les plus influents à Paris au début du XIVe siècle. Ces questions fournissent, semble‑t‑il, un bon exemple des préoccupations mathématiques des artiens parisiens58. Dans le prologue, Raoul le Breton commence par fournir une classification des sciences et rappelle la place des mathématiques par rapport aux autres savoirs, ainsi que les grandes divisions au sein du quadrivium. Les mathématiques n’y sont pas décrites comme la porte d’entrée vers toutes les autres vérités, comme le prétendait encore Boèce dans son De arithmetica, mais comme un simple outil. Il rappelle ensuite les principaux éléments qui introduisent à la science mathématique : l’algorismus, la sphère, le comput, l’astrolabe, le quadrant et les tables. Mais il se contente de donner cette liste, sans commentaire et sans en tenir compte dans la suite du texte, comme si l’usage de ces outils n’était pas pertinent pour les artiens. Passés ces brefs rappels, le corps du texte, constitué d’une cinquantaine de quaestiones, concerne essentiellement des problèmes philosophiques que les étudiants et les maîtres traitaient d’ordinaire dans leurs commentaires à la Métaphysique, à la Physique, au De generatione et corruptione, au De caelo et aux Catégories d’Aristote59. On y trouve pêle‑mêle des questions sur le rapport entre arithmétique et géométrie, sur la scientificité de l’arithmétique, sur le sujet de chaque branche du quadrivium, sur le concept de quantité, de nombre, de point, de ligne, de solide, ou encore sur la division du continu. Sur chacun de ces sujets, Raoul le Breton adopte une théorie que l’on pourrait qualifier d’aristotélicienne : primauté du continu sur le discret ; caractère abstrait du nombre, qui n’existe aucunement dans les choses ; divisibilité infinie du continu ; etc.
26Nous savons que les commentaires de Raoul le Breton aux diverses œuvres d’Aristote eurent une influence considérable sur les générations suivantes d’artiens parisiens et il y a tout lieu de penser que ce fut aussi le cas en ce qui concerne les mathématiques, si l’on en croit la grande reportatio de disputes mathématiques tenues à la Faculté des arts de Paris au début du XIVe siècle publiée intégralement par Giuseppe dell’Anna60. Cet ensemble de textes et de gloses restitue les points de vue de plusieurs maîtres contemporains (Sébastien d’Aragon, Hughes d’Utrecht, Simon de Padoue et de Theobalde d’Anchora) sur les mêmes sujets. Globalement, leurs thèses sont souvent proches de celles de Raoul le Breton dans ses propres Quaestiones mathematicae. Malgré quelques divergences de détail, ces maîtres s’accordent avec lui sur le statut ontologique des objets mathématiques (ce sont des abstractions forgées à partir du sensible et non des entités existant par soi), même si certains auteurs insistent sur l’idée qu’il existe un mode d’abstraction propre aux mathématiques. Ils affirment en outre que la science arithmétique est certes première par rapport à la géométrie par la noblesse de son objet, les nombres, mais seconde dans l’ordre d’engendrement des savoirs, dans la mesure où les nombres (quantité discrète) sont toujours abstraits à partir de la division des figures (quantité continue). Enfin, ils affirment avec Aristote que le continu est divisible à l’infini et n’est donc pas composé d’indivisibles. Comme Raoul le Breton, ces auteurs s’éloignent donc tout à fait du modèle pythagorico‑platonicien que nous avons rapidement décrit plus haut.
27La situation était probablement assez semblable dans les autres universités européennes. À Oxford, par exemple, nous savons qu’en 1340 les étudiants devaient encore suivre des leçons sur les premiers livres des Éléments d’Euclide, le De arithmetica de Boèce, le comput et l’Algorismus61. Certaines universités, comme celles de Vienne, en 1389, et celle d’Heidelberg au début du XVe siècle, y ajoutent la Perspectiva de Jean Peckham, ainsi que des leçons plus avancées sur les Éléments d’Euclide, mais on ne connaît pas de situation équivalente ailleurs en Europe avant ces dates62.
28Qu’en est‑il en Italie ? En ce qui concerne l’Université de Padoue, si elle a accueilli un enseignement de mathématiques, il devait ressembler à celui dispensé à Paris jusqu’au milieu du XIVe siècle, avant que des universitaires plus audacieux comme Blaise de Parme y commentent les œuvres de Thomas Bardwardine et Nicole Oresme, et que des spécialistes de la musique comme Prodoscimo di Beldomandi réfléchissent de manière très précise sur la théorie des proportions. Comme à Paris, la documentation statutaire ne fournit guère d’informations, mais il est probable que les programmes d’enseignement du quadrivium y furent assez réduits et traditionnels, comme à Bologne, où l’on retrouvait l’Algorismus, les Éléments d’Euclide, les tables alphonsines, la Theorica planetarum, les canons sur les tables de Jean de Lignières, ainsi que les textes de Ptolémée et un Tractatus quadrantis63.
29Dans sa grande monographie sur l’université de Padoue, Nancy Siraisi a tenté de reconstruire la teneur de cet enseignement64. D’abord, étant donné la place occupée par les autres sciences du quadrivium – astrologie, astronomie et musique – à Padoue, il serait étrange, explique‑t‑elle, qu’il n’y ait pas eu aussi un enseignement d’arithmétique et de géométrie dès le XIIIe siècle. Ensuite, le maître padouan Pietro d’Abano aborde des problèmes mathématiques dans son commentaire aux Problemata du Pseudo‑Aristote rédigé au début du XIVe siècle. Il y utilise notamment le De arithmetica de Boèce et l’Algorismus de Jordanus de Nemore. Enfin, Nancy Siraisi mentionne l’exemple de Witello, ce dominicain polonais qui étudia à Padoue et s’intéressa de près aux mathématiques et plus particulièrement à l’optique. On aurait donc là les traces d’un enseignement qui ne se limiterait pas à l’arithmétique boécienne, mais qui intégrerait les avancées les plus récentes, non seulement en mathématiques, grâce à Jordanus de Nemore, mais aussi en optique, notamment grâce à la Perspectiva de Jean Peckham.
30Ces arguments sont malheureusement insuffisants pour établir des conclusions fermes concernant l’enseignement des mathématiques à Padoue. Premièrement, il est impossible de savoir si Pietro d’Abano a acquis ses connaissances mathématiques à Padoue ou à Paris, où il séjourna plusieurs années. Deuxièmement, la principale œuvre scientifique de Witello, la Perspectiva, très proche, il est vrai, des traités de Roger Bacon et Jean Peckham, a été rédigée plusieurs années après son passage à l’Université de Padoue. Ces deux exemples reflètent donc au mieux une large diffusion européenne des modèles parisiens et oxoniens.
31En résumé, on peut dire que l’enseignement des mathématiques dans les Facultés des arts des grandes universités européennes était somme toute assez rudimentaire et qu’il s’agissait d’un enseignement que l’on pourrait qualifier de philosophique. Ses contours ont été progressivement modifiés par l’influence de la philosophie aristotélicienne, au point de se confondre avec un ensemble de quaestiones que l’on abordait aussi en commentant les œuvres d’Aristote.
32À partir du XIVe siècle, on observe le même phénomène dans la tradition franciscaine. Dans la plupart des textes franciscains recensés par Barnabas Hughes, les mathématiques sont convoquées pour résoudre des problèmes philosophiques ou théologiques très variés65. Au XIIIe siècle, certains franciscains suivaient encore l’idéal théologique du Timée de Platon, relu à travers les lunettes d’Augustin et surtout de Boèce, contre la philosophie des mathématiques d’Aristote, continuant ainsi l’effort de plusieurs grands penseurs du XIIe siècle, comme Thierry de Chartres par exemple66. Subordonnée à la théologie, la science mathématique n’en demeurait pas moins la voie royale pour passer du visible à l’invisible et remonter du monde vers son créateur67. À partir du XIVe siècle, les mathématiques semblent de plus en plus reléguées par les théologiens au rang de simple outil, parmi d’autres, pour aborder diverses questions. De plus, cet outil n’a plus rien de technique. Il s’agit de raisonner philosophiquement sur les objets mathématiques, comme le faisaient Aristote et ses commentateurs arabes. Si la géométrie occupe une place non négligeable dans ce corpus, l’arithmétique, en revanche, avec tout ce qu’elle charriait comme vision du monde, a presque disparu. Chez certains théologiens franciscains, on trouve encore la volonté de défendre l’importance du modèle mathématique défendu par le jeune Augustin et par Boèce, mais au sein de questions plus circonscrites et surtout identiques à celles que l’on discutait dans les Facultés des arts, comme celle de la divisibilité infinie ou finie du continue par exemple.
33Il n’est donc guère surprenant que les Franciscains des XIVe et XVe siècles n’aient pas produit beaucoup de traités mathématiques comparables à ceux de Roger Bacon ou Jean Peckham. Leurs connaissances techniques étaient vraisemblablement limitées, hormis chez ceux qui, comme Luca Pacioli, ont été formés ailleurs, dans les écoles d’abaque ou grâce à des cours privés. Les inventaires des bibliothèques franciscaines le montrent bien : rien ne distingue les lectures des artiens et des Franciscains. Même dans le cas particulier du couvent d’Assise, on voit que les références utilisées sont sensiblement les mêmes que dans les universités et servent à aborder des questions générales de philosophie des mathématiques. C’est bien ce que Marco Trevisano reproche aux Frères mineurs qu’il a lus attentivement. Souhaitant revenir au modèle théologique de certains Franciscains du XIIIe siècle, voire aux modèles en vogue au XIIe siècle, il juge utile de corriger les connaissances mathématiques des théologiens de son temps, trop faibles, selon lui, pour prétendre démontrer la structure mathématique du réel. Paradoxalement dont, si le modèle franciscain a joué un rôle à la Renaissance, c’est sans doute grâce aux usages qui en ont été faits en dehors des couvents, y compris chez des laïcs comme Marco Trevisano.
Marco Trevisano, un laïc nourri de culture franciscaine
34On connaît peu de choses de la vie de Marco Trevisano, pourtant issu d’une très importante famille du patriciat vénitien68. Dans les colophons des manuscrits du De macrocosmo, il est présenté comme un simple paroissien de San Marziale, à Venise, où subsiste encore aujourd’hui le Campiello dei Trevisani, ainsi que les vestiges de l’Ospizio dei Trevisani69. Marco Trevisano était donc un laïc, comme le montrent les enluminures qui ornent les deux magnifiques manuscrits du De macrocosmo le représentant au travail à son lutrin vêtu de l’habit noir traditionnel de la noblesse vénitienne, laissant seulement apparaître un col et un revers de cape rouges70. Seul élément certain, il est mort en 1378 avant d’avoir pu achever son grand‑œuvre qu’il dédie à son fils Ludovico.
35Marco Trevisano a commencé la rédaction des six livres qui constituent ce traité, long d’une centaine de folios, à l’âge de quarante ans et en avait cinquante lorsqu’il rédigeait le cinquième livre71. On peut en outre situer le terminus post quem du livre III en 1347 en raison d’une citation de la Summa judicialis de accidentibus mundi de Jean Eschenden, achevée à cette date. Quant au livre II, les citations du commentaire des Sentences de Grégoire de Rimini contenues confirment qu’il a été rédigé après 1344, date à laquelle l’ermite de saint Augustin termina sa lectura à Paris72. Grégoire de Rimini est ensuite retourné enseigner à Padoue entre 1347 et 1351, puis à Rimini jusqu’en 1357, date à laquelle il fut élu prieur général de l’Ordre. Il y a tout lieu de penser qu’il a rapporté avec lui une ou plusieurs copies de ce commentaire parisien, peut‑être celle qui était conservée dans la bibliothèque des Dominicains de Padoue jusqu’au XVe siècle73 ou encore celle que mentionne Agostino di Montefalco, l’éditeur de ce commentaire à Venise en 1522, lorsqu’il dit avoir eu sous la main les manuscrits originaux de l’auteur74. Le livre II pourrait donc être lui aussi postérieur à 1347 et même plus tardif si l’on en croit une brève allusion au franciscain Gérard d’Odon dans laquelle il est décrit comme mort, ce qui signifierait qu’il est postérieur à 134875.
36Nous ne savons malheureusement rien de précis concernant sa formation intellectuelle. On ne trouve aucune trace de lui parmi les étudiants ou les maîtres des grandes universités italiennes, pas même à l’Université de Padoue, ce qui s’explique peut‑être par les rapports compliqués avec la Sérénissime jusqu’en 1405. Après cette date, un membre éminent de la famille, Zaccaria Trevisano, y jouera un rôle très important76, mais avant cela on dénombre assez peu de patriciens vénitiens dans les rangs de l’université. Les seuls indices dont nous disposons indiquent qu’il fréquentait les milieux humanistes vénitiens, vivifiés à l’époque par la présence de Pétrarque. Il était notamment proche de Giovanni Conversini da Ravenna77, lequel mentionne Marco Trevisano comme un ami et un mécène dans une lettre au médecin Guglielmo da Ravenna qui accompagne la Consolatio qu’il a adressée à son maître Donato Albanzani après la mort de Pétrarque en 137478. Apparemment, Marco Trevisano débattait aussi d’astronomie avec Giovanni da Ravenna et plus précisément de l’influence des astres sur les mœurs humaines, comme en témoigne le petit traité De fato rédigé par ce dernier entre 1374 et 1379 lorsqu’il enseignait à Belluno, non loin de Venise, et dans lequel il s’en prend explicitement à l’auteur du De macrocosmo79.
37Nous savons en outre que notre homme entretenait des rapports étroits avec certaines écoles d’abaque. En effet, dans un Trattato di praticha d’arismetricha anonyme, rédigé vers 1460, on apprend qu’en 1372 Marco Trevisano envoya une question mathématique aux maîtres d’abaque d’une école de Florence80. Le problème était le suivant : connaissant la circonférence de la Terre grâce aux calculs de l’astronome arabe al‑Farghani, comment déterminer le point de rencontre de deux hommes partant d’un même point et parcourant la circonférence de la Terre en sens opposés, à des vitesses différentes, selon des progressions régulières81. Nous ne savons pas ce qui lui fut répondu à l’époque, mais il est intéressant de noter que la première réponse connue à ce problème précis fut donnée par… Luca Pacioli82.
38En dehors de ses connaissances en mathématiques et en astronomie, Marco Trevisano connaissait très bien la théologie et plus particulièrement les auteurs franciscains, comme l’indiquent les nombreuses citations qui rythment le De macrocosmo. Comment a‑t‑il pu acquérir un tel savoir ? Cela reste en partie un mystère, même s’il n’est pas rare que les nobles vénitiens reçoivent une partie de leur éducation auprès des ordres mendiants83. Dans le cas particulier de Marco Trevisano, on ne peut qu’étayer cette hypothèse par quelques indices qui laissent penser que des liens privilégiés unissaient sa famille aux Franciscains.
39Au siècle précédent, le 20 octobre 1294, on célébrait les funérailles d’un autre Marco Trevisano dans l’église franciscaine attenante à la Scuola grande di santa Maria della Misericordia, installée non loin de San Marziale, devant plus de 200 confrères, comme l’indiquent les statuts (Mariegole) de ladite école84. Cristoforo Cortese, le célèbre enlumineur vénitien qui a décoré l’un des manuscrits du De macrocosmo travaillait aussi dans cette école au tournant du XVe siècle85. Notons encore qu’au XVe siècle, un certain Francesco Trevisano raconte à Ludovico Foscarini que son père, un laïc, a souhaité être enterré avec les habits franciscains86.
40En dehors de ces rapports de dévotion, très répandus à l’époque, la grande famille Trevisano compte parmi ses membres un autre Marco, franciscain, quasiment contemporain de l’auteur du De macrocosmo. Grâce aux recherches menées par le Père Cesare Cenci sur les Franciscains de la région de Venise et de Padoue, nous pouvons affirmer avec certitude que cet homonyme, principalement connu pour sa compilation des privilèges de l’Ordre, n’est pas l’auteur du De macrocosmo87. Il apparaît pour la première fois dans la documentation en 1377, lorsque le pape demande qu’il devienne magister après qu’il a étudié et enseigné la théologie à Paris. Jusqu’ici, il pourrait être notre homme. Mais on le retrouve ensuite inquisiteur à Venise en 1384 et ministre de la province de San Antonio entre 1387 et 1393. Plus tard, en 1421, un franciscain du nom de Marcolino Trevisano de Venise – il n’est pas certain qu’il s’agisse du même individu –, est incarcéré pour des raisons obscures88. À ces dates, l’auteur du De macrocosmo est mort depuis longtemps. Notre Marco Trevisano n’était donc pas lui‑même franciscain, mais a probablement reçu une partie de son éducation chez des frères de la région. Pour autant, il souhaite bel et bien faire œuvre de théologien.
L’ambition théologique du De macrocosmo
41Dès les premières lignes du prologue, le De macrocosmo se présente comme un grand commentaire du verset de la Sagesse XI, 21 et se termine, aux livres V et VI, par un commentaire de la Genèse et de l’œuvre des six jours (Hexameron).
À tout intellect élevé qui contemple l’ordre des choses, il apparaît d’une lumière très éclatante que la structure universelle du monde est constituée en nombre, grandeur et temps, ce qui est renforcé, de manière authentique, par l’autorité de Salomon, lorsqu’il affirme au onzième chapitre de la Sagesse [XI, 21] : « Le seigneur a tout disposé en nombre, poids et mesure. » Et bien que cette autorité ait été exposée de diverses manières par diverses personnes et que son sens soit multiple, par « nombre » je comprends ici l’unité, puisque l’unité est le principe du nombre, comme cela apparaîtra plus bas grâce à la définition de ces deux termes, et que le nombre ne peut aucunement être saisi intellectuellement si l’unité qui le constitue n’a pas été d’abord saisie intellectuellement. Pour le présent propos, par « poids » je veux me référer à la grandeur, parce que le poids et la grandeur sont si proches et voisins qu’aucune chose ayant une grandeur ne peut exister sans poids, et réciproquement, en comprenant « poids » comme le fait le bienheureux et excellent docteur Augustin, pour qui chaque chose est amenée à la stabilité par le poids, de sorte qu’elle repose en son lieu. Car, au sens propre, rien ne peut être dans un lieu sans grandeur, c’est évident, et sans poids non plus, selon cette acception. Par « mesure » j’entends ici le temps. En effet, comme le dit Aristote au quatrième livre de la Physique, le temps est « la mesure du mouvement selon l’antérieur et le postérieur »89.
42Cette interprétation du verset de la Sagesse lui inspire le plan général du traité, qu’il divise en quatre grandes parties. Les trois premières correspondent à l’analyse des trois termes du verset (le livre I sur l’unité, le livre II sur les grandeurs continues et le livre III sur le temps et l’éternité du monde), la quatrième est elle‑même composée de trois livres consacrés à la création (le livre IV porte sur l’âge du monde, le livre V aborde sous forme de dialogue plusieurs thèmes, comme la création ou la Trinité, en appliquant les résultats des trois premiers livres à des citations scripturaires, et le livre VI est un commentaire de la Genèse, lui aussi sous forme dialoguée).
Dans la quatrième partie, à l’occasion de l’expression « le Seigneur a tout produit », ce qui équivaut à « il a tout créé », je chercherai à savoir si l’on peut se persuader ou s’il est probable que le monde entier a eu un début de création, et cette quatrième réflexion s’étendra jusqu’à une recherche sur les créations du créateur et premier artisan de toutes choses – du point de vue de la capacité – en tant qu’elles peuvent être ramenées à lui comme à un art premier. On part de cela, parce que selon l’Apôtre « par lui et en lui existent toutes les choses » dans lesquelles la nature de la Trinité incréée est suffisamment marquée. La réflexion de cette partie se prolongera aussi dans un Haexameron, c’est‑à‑dire l’œuvre des six jours pendant lesquels le Dieu glorieux a tout ensemble constitué et différencié le premier principe des choses par ses ordres. Il est suffisamment clair à partir de ce qui précède que ce livre nécessite un nom, raison pour laquelle, étant donné qu’il traitera de la cause première, à savoir Dieu, et de toute entité qui peut être créée, et qu’aucun sage ne doute qu’un tel monde très grand, qu’on appelle en grec macrocosmos, est composé de ces entités, il nous a plu d’appeler ce livre Du macrocosme ou du plus grand monde90.
43À notre connaissance, le XIVe siècle compte peu de textes comme celui‑ci, tant du point de vue de la forme que du contenu. Comment un simple laïc pouvait‑il se permettre de commenter la Bible, en latin, en s’opposant parfois aux rationes theologorum ? Si d’autres laïcs se sont aventurés dans le domaine de de la théologie, comme Raymond Lulle, Dante, Pétrarque ou Christine de Pizan, ils l’ont fait d’une tout autre manière, le plus souvent hors des sentiers battus de la stricte scolastique91. Marco Trevisano entend quant à lui concurrencer les maîtres en théologie sur leur propre terrain, en empruntant, dans un même texte, tous les registres dans lesquels il se sait exceller, dans le but affiché de les dépasser.
44Le prologue montre que Marco Trevisano avait parfaitement conscience de la nature et des limites de l’exercice auquel il se prêtait :
Une si haute et profonde spéculation relève d’une recherche nécessitant une intelligence plus haute que moi, Marco Trevisano de Venise, auteur de cette œuvre, je sais posséder sur ces choses, moi qui, pour dire vrai, confesse ma faiblesse et mon ignorance, la pauvreté de ma science et de mon vocabulaire ; mais même les sages ont à peine pu découvrir ces choses faites pour ce genre de faculté. Cependant, je ne renoncerai pas à traiter ce que j’ai promis, confiant dans la grâce inspiratrice du créateur de toutes les choses visibles et invisibles, qui, comme le conclut joliment l’éminent docteur Augustin dans À Orose, est « nombre sans nombre, poids sans poids, mesure sans mesure », estimant, par les efforts consacrés à cette œuvre, que non seulement cela t’apportera, à toi mon fils très cher Ludovico – puisses‑tu être béni ! – un fruit fécond, mais fournira aussi à nombre d’esprits très hauts le matériau pour réfléchir et pour parvenir au sommet de la très haute vérité92.
45Bien que l’adresse à son fils Ludovico eût peut‑être pour fonction initiale de limiter en apparence l’ambition de ce texte, dans le but ne pas froisser les autorités ecclésiastiques, Marco Trevisano n’exclut pas la possibilité que son texte puisse aussi profiter à certains théologiens – ces « esprits très hauts » – pour accéder aux vérités divines. Cette rhétorique, plein de fausse modestie, peine à cacher les raisons profondes qui l’ont poussé à rédiger cette somme. Conscient de n’être pas le premier à user de la sorte des mathématiques, il ne se prive pas pour autant de juger sévèrement les tentatives antérieures dont il a connaissance.
Et puisqu’il y a de nombreuses choses dans cet ouvrage qu’il faut déterminer d’une manière différente de celles de nos prédécesseurs et que j’ai vu que de nombreux hommes brillants dans les disciplines logiques, physiques et théologiques, ignoraient les sciences mathématiques et par-dessus tout l’arithmétique, comme si cela leur avait été totalement refusé par la nature, aussi, puisqu’il sera question de mathématiques et singulièrement d’arithmétique, je propose de traiter de cette façon les conclusions les plus claires et les plus évidentes autant que cette faculté m’a été concédée par le Christ. L’arithmétique est en effet la science la plus utile pour connaître n’importe quelles vérités, tant surnaturelles et divines que naturelles et créées. Et ainsi, comme la source et la racine de toutes les sciences elle se tient au milieu et pour ainsi dire au centre93.
46En affirmant ainsi la primauté et la centralité de l’arithmétique dans les sciences et même dans tout accès intellectuel aux réalités créées et incréées, Marco Trevisano s’inscrit dans une tradition illustrée de manière paradigmatique par le De arithmetica de Boèce et de son modèle néo‑pythagoricien Nicomaque de Gérase94. Après avoir rappelé que ceux qui, comme lui, suivent Pythagore, ne sauraient concevoir la sagesse sans les mathématiques95, Boèce justifiait la supériorité absolue de l’arithmétique en rappelant que « tout ce qui a été édifié par la nature en son premier âge apparaît formé selon le système des nombres ; car tel a été le premier modèle dans l’esprit du créateur96 ». On comprend mieux dès lors que l’auteur du De macrocosmo revendique à plusieurs reprises son appartenance à la tradition pythagoricienne et platonicienne97. Car la principale raison de cette allégeance, on l’aura compris, est que seule une théologie mathématique de ce type permet d’atteindre le but qu’il s’est fixé en commentant la Sagesse XI, 21 : chercher les relations numériques dans le monde et retrouver l’unité à partir de laquelle advient tout ce qui est. De là l’ambition des derniers traités du De macrocosmo de relire, dans les pas d’Augustin, le récit de la création dans la Genèse à travers ce filtre mathématique98.
47Conscient de l’outrecuidance dont il fait preuve en écrivant un traité de théologie, notre honnête homme prend toutes les précautions d’usage :
Cependant, si je parlais moins convenablement dans quelque partie de cette œuvre, en raison de la pauvreté de mon vocabulaire et de mon savoir, comme je l’ai rappelé plus haut dans ma confession, que l’on veuille bien m’en excuser. Bref, je détruis, j’annule, et à partir de maintenant tiens pour non-dit chaque chose que j’aurais pu dire, soit pas assez bien, soit trop loin du vrai, en soumettant à la fois l’œuvre et son auteur au jugement et à la correction de la sacro‑sainte Église romaine et à tous ceux auxquels il revient de corriger de telles choses et de remettre sur la voie de la vérité catholique ceux qui errent. En revanche, si quelques érudits trouvent quelque chose d’utile ou de convenable dans cette œuvre, qu’ils ne me l’attribuent pas, mais m’ignorent et rendent grâce à celui qui dispense tous les biens99.
48Afin de montrer de quelle manière Marco Trevisano entend corriger ses prédécesseurs, nous présenterons brièvement le contenu des deux premiers livres du De macrocosmo, dont le but est de montrer qu’il existe des unités ultimes et indivisibles dans tout ce qui existe, c’est‑à‑dire des atomes. C’est, selon l’auteur, l’unique manière d’interpréter correctement le célèbre verset de la Sagesse. La réalité a été organisée numériquement par Dieu lors de la Création du monde, il s’agit donc pour l’homme de retrouver les traces de cette structure grâce aux mathématiques.
49Le premier livre porte donc sur les nombres en tant que condition pour comprendre la position défendue dans le second livre à propos du continu.
Dans ce premier volume, nous enquêterons sur la division et la composition du continu. On se demandera s’il est divisible en entités toujours divisibles ou si l’on parvient à la fin à une entité dernière, minimale et indivisible. Pour que cet examen gagne en évidence, il nous faudra d’abord enquêter sur la quiddité de l’unité en tant qu’étant, c’est‑à‑dire en tant que point dans le continu. Nous reviendrons ensuite au problème proposé en donnant des arguments pour chaque camp, et en répondant que n’importe quel continu est composé d’unités et qu’il ne peut être divisé à l’infini, comme le soutiennent de nombreuses personnes parmi la foule des péripatéticiens100.
50Marco Trevisano est un atomiste : il pense que toute quantité continue (une ligne, un plan, un solide, c’est‑à‑dire l’espace, mais aussi le corps, ainsi que le temps) est composée d’indivisibles, c’est‑à‑dire d’atomes. Pour comprendre cet atomisme qui trouve son application en géométrie, mais aussi en physique et finalement en théologie, il convient selon Trevisano d’envisager dans un premier temps ces atomes sous l’angle de l’arithmétique, c’est‑à‑dire comme des unités.
L’usage de l’arithmétique
51Le premier livre du De macrocosmo se présente comme un traité d’arithmétique. On y trouve une discussion générale sur le nombre et ses principales propriétés, au sein de laquelle sont cités les principaux traités en circulation à l’époque, comme les livres VII et IX des Éléments d’Euclide, le De arithmetica de Boèce, l’Algorismus, ou encore les textes de Jordanus de Nemore et Pierre de Dacie101. Cependant, derrière le caractère attendu de ces références et des thèmes abordés, Marco Trevisano cherche à démontrer une thèse inédite contre la plupart des mathématiciens de l’Antiquité et du Moyen Âge, à savoir que l’unité est elle‑même un nombre. C’est, selon lui, une condition nécessaire pour pouvoir penser la structure du monde matériel et de tous les corps qu’il contient sur le modèle des nombres. Ce faisant, il ne cherche pas seulement à corriger l’arithmétique des Franciscains, mais bien toute la tradition arithmétique depuis Euclide et Boèce.
52Dans tous les manuels médiévaux, le nombre entier est défini comme l’addition ou la collection d’unités, ce qui exclut l’unité, dans la mesure où, par définition, celle‑ci n’est pas une somme, mais ce qui est additionné. Au contraire, Marco Trevisano tente de montrer que les opérations sur les nombres, celles que manient quotidiennement les marchands et autres spécialistes d’abaque, obligent à considérer l’unité comme un nombre. En prenant comme point de départ les opérations arithmétiques décrites dans le livre VII des Éléments d’Euclide, il entend donc montrer qu’il n’y a aucune raison de traiter l’unité à part des autres nombres. À partir de nombreux exemples de relations entre nombres, comme des rapports de proportion ou des suites numériques, il démontre que l’unité est non seulement le premier nombre entier positif, mais aussi que ce nombre cumule un certain nombre de propriétés fondamentales en arithmétique.
Si à partir de ce qui a été dit avant nous avons démontré que l’unité est un nombre, le premier parmi tous, le premier nombre linéaire et le premier engendrant (generans), le premier carré ou nombre plan, c’est‑à‑dire premier engendré (generatus), premier nombre cube et corporel, c’est‑à‑dire premier produit (productus), mais aussi nombre régulier, impair, parfait, progressif, indivisible, non raréfiable, à partir de quoi est produite la matière de tous les étants corporels, il sera de toute façon manifeste à partir de ce qui vient d’être dit que l’unité est le premier principe matériel de tous les étants corporels, à partir de quoi, comme au commencement, toute la masse de la matière est composée102.
53L’unité est un nombre hors du commun par ses propriétés, mais c’est aussi un principe ontologique premier à partir duquel toutes les choses matérielles sont constituées :
À partir de tous ces éléments, nous pouvons affirmer avec évidence que l’unité, seule parmi les nombres à inclure toute perfection, puisqu’elle est le centre de toutes les grandeurs impaires régulières – car elle est le premier nombre linéaire et par conséquent engendrant (generans), le premier nombre carré, et par conséquent engendré (generatus), et le premier nombre cube, et par conséquent premier produit (productus) – porte assurément en elle la ressemblance du premier créateur. Elle est surtout tout à fait conforme à la Trinité, qui est une par essence et pourtant trois personnes. Selon ce que on l’a dit, toute nature corporelle créée, étant une essence, mais trois perfections, est composée de cette unité […]. Boèce dit que toutes les choses non créées, c’est‑à‑dire forgées par la nature en son premier âge apparaissent formées selon le système des nombres. Car tel a été le premier modèle dans l’esprit du Créateur103.
54Marco Trevisano annonce ici les principaux éléments qui seront développés dans les livres V et VI à propos de la Trinité et de la Création. L’unité arithmétique est comme l’image du Créateur, d’une certaine manière une et trine. Car les trois dimensions qui organisent l’espace dans lequel évoluent toutes choses sont comme le reflet ou la trace de la Trinité laissée par Dieu au moment de la Création.
55Cette nouvelle définition de l’unité repose sur des distinctions peu communes dans les livres d’arithmétique de l’époque. Marco Trevisano commence en effet par distinguer les nombres en acte et les nombres en puissance. Les nombres en acte correspondent aux nombres entiers positifs, c’est‑à‑dire à ceux qui nous permettent de compter et de dénombrer des objets. Quant aux nombres en puissance, ils correspondent aux nombres qui ne permettent pas de compter des choses, mais qui sont néanmoins nécessaires dans les calculs mathématiques. Marco Trevisano donne comme exemple de nombre en puissance le nombre {√(15 + 1/4) – ½}104. Ailleurs, dans le cours de ses démonstrations, il reconnaît l’existence des nombres irrationnels, du 0 et même des nombres négatifs, il montre qu’il sait les règles de l’algèbre et résout même des équations du second degré. Il est donc parfaitement conscient que l’arithmétique utilisée à l’époque par les théologiens, largement inspirée par le De arithmetica de Boèce, ne représente qu’une infime partie de la science des nombres. Seulement, l’ambition du De macrocosmo étant de comprendre le rôle des nombres dans la Création et dans la constitution ontologique des choses réelles, il lui faut se concentrer sur les nombres entiers.
56Il distingue ensuite, de manière plus classique, le nombre nombrant (numerus numerans), c’est‑à‑dire, selon lui, le concept dans l’esprit ou le mot utilisé pour compter des choses, et le nombre nombré (numerus numeratus), c’est‑à‑dire le nombre incarné dans les choses. Marco Trevisano est très clair sur ce point, il s’intéresse d’abord au nombre nombré en acte, c’est‑à‑dire aux choses singulières dénombrables qui composent le monde. Aussi peut‑il conclure que :
L’unité est plus que tout autre un nombre nombré, simple, principe par soi de tous les étants corporels, minimum indivisible du point de vue du continu, et qui, du point de vue de la quantité, ne peut ni être minorée ni majorée par raréfaction, mais que l’on peut toutefois distinguer selon des différences relatives à la position105.
57Si n’importe quel type d’objet peut être compté, il existe toutefois une unité ultime en toute chose quantifiable, qui n’est pas seulement un nombre, mais aussi l’équivalent d’un atome. Cette dernière précision indique le lien entre les nombres, les figures géométriques et les corps matériels qui composent notre monde. Toutes les choses matérielles créées occupent une certaine portion d’espace dans le monde et peuvent donc être appréhendées mathématiquement comme des formes géométriques en trois dimensions, c’est‑à‑dire comme des solides, eux‑mêmes constitués de surfaces, de lignes et finalement de points. Le point est donc l’équivalent de l’unité avec une position précise dans l’espace106. C’est ainsi que les nombres sont aux principes des choses, selon la formule souvent attribuée à Pythagore depuis l’Antiquité : par transitivité, les corps sont constitués d’unités dans l’espace, c’est‑à‑dire de points ou d’atomes107.
58Les conséquences philosophiques de cette subordination de la géométrie à l’arithmétique sont nombreuses. Retenons simplement ici que contrairement à Aristote, Marco Trevisano conçoit les quantités discrètes – les nombres – comme premières par rapport aux quantités continues. Autrement dit, les nombres ne sont pas issus de la division du continu, ils existent dans la chose avant toute division. Les nombres ne sont donc pas de simples abstractions à partir des données sensibles, mais sont au fondement même du continu, en tant que les unités ajoutées les unes aux autres dans l’espace composent de nouvelles entités qui peuvent être continues108.
59La thèse selon laquelle l’unité est un nombre présente un intérêt en soi pour l’histoire des mathématiques, puisqu’on l’attribue généralement à des auteurs plus tardifs, comme Michel Stifel au XVIe siècle109. En ce qui nous concerne, elle illustre surtout le genre d’information mathématique que Marco Trevisano souhaite apporter à la tradition franciscaine. Car, d’un côté, tous les mathématiciens semblaient exclure l’unité de l’ensemble des nombres entiers, de l’autre, certains théologiens, en particulier franciscains, avaient tendance à faire de l’unité un nombre lorsqu’ils se servaient d’arithmétique en théologie. Par exemple, lorsque saint Bonaventure aborde la symbolique des nombres dans son commentaire des Sentences de Pierre Lombard, il fait du nombre 1 le nombre parfait du fait que tous les autres nombres viennent de lui110. Plus important, pour montrer que la structure du continu, c’est‑à‑dire aussi bien l’espace, les corps et le temps, est exprimable par des nombres, il faut que l’unité soit considérée comme la partie indivisible des nombres entiers, comme le point est la partie indivisible des figures géométriques à une, deux ou trois dimensions. Autrement dit, il fallait que l’unité soit elle‑même un nombre pour être la partie d’un nombre111.
60À vrai dire, rares ont été les franciscains qui entraient autant dans les détails de l’arithmétique comme le fait Marco Trevisano dans le premier livre du De macrocosmo. À notre connaissance, il n’existe qu’un seul traité d’arithmétique comparable au premier livre du De macrocosmo : le De numeris misticis du franciscain Jean Peckham.
Une relecture du De numeris misticis de Jean Peckham ?
61Eugenio Garin ne connaissait pas ce texte lorsqu’il prononça sa conférence sur les Franciscains et la Renaissance italienne, alors même qu’il faisait jouer à Jean Peckham un rôle central dans sa reconstruction de la transmission de la science franciscaine. Ce traité sur les nombres illustre pourtant de manière remarquable sa thèse principale, plus encore que sa Perspectiva. Jean Peckham y place en effet l’arithmétique au cœur de l’exégèse de Sagesse XI, 21, tout en situant précisément cette science par rapport à la géométrie, la physique et l’optique.
62Il est vrai que le De numeris misticis n’a pas connu le même succès que la Perspectiva communis, mais ce texte est néanmoins copié dans plusieurs manuscrits, dont certains, conservés en Italie et au Vatican, datent des XIIIe et XIVe siècles112. On peut donc supposer qu’après qu’il a été lector à Viterbe et à Rome entre 1277 et 1279, le De numeris misticis, rédigé à une date incertaine dans les années 1270, a circulé à la Curie et dans certains couvents, comme celui d’Assise où deux exemplaires ont été conservés dans les fonds anciens. Il est malheureusement impossible de savoir si Marco Trevisano a eu accès à ce texte, puisqu’il ne le cite jamais. Les similitudes entre les deux textes sont cependant si frappantes qu’il vaut la peine de les comparer pour saisir les liens conceptuels qui unissent le De macrocosmo à la tradition franciscaine.
63Jean Peckham fait partie de cette génération de franciscains anglais formés aux sciences à Oxford sous l’influence de grands maîtres comme Adam Marsh ou Roger Bacon. L’influence de ce dernier sur Peckham est d’ailleurs incontestable, notamment dans le domaine de l’optique, mais on a probablement mésestimé l’importance des analyses de Robert Grosseteste en ce qui concerne l’arithmétique et la question du continu113. Comme Roger Bacon dans les Communia mathematica, Jean Peckham partage l’idée boécienne selon laquelle les mathématiques sont la condition sine qua non d’un accès à toutes les autres vérités créées et incréées114. Comme lui, il subordonne la perspectiva à la géométrie et à la physique115. Mais, il subordonne aussi la géométrie à l’arithmétique de manière beaucoup plus radicale que ne le faisait Roger Bacon et sa défense de l’atomisme mathématique le rapproche des analyses de Robert Grosseteste dans son De luce et ses Notes sur la Physique116.
64Dans son court Tractatus de perspectiva, qui vient compléter sa célèbre Perspectiva communis, Jean Peckham situait de manière systématique ses thèses sur l’optique dans un contexte théologique plus large avec force citations scripturaires et patristiques. Dès les premières lignes, par exemple, il cite un passage du De libero arbitrio d’Augustin dans lequel il est rappelé que les savants doivent s’éloigner des bassesses terrestres pour regarder « le nombre et la sagesse », avant de rappeler que c’est par les créatures que l’homme doit atteindre Dieu, « de sorte que par le nombre créé nous nous élevions vers [le nombre] incréé et par la lumière créée vers la lumière de sagesse incréée117 ». On distingue donc dans ce propos deux voies pour s’élever vers Dieu grâce aux mathématiques : l’arithmétique et l’optique.
65La science de la Perspectiva étudie la diffusion des rayons de lumière grâce à la géométrie dans le but d’exhiber les lois qui gouvernent notre appréhension du monde par la vue. Mais si l’on replace cette science dans le contexte originel de la métaphysique de la lumière de Robert Grosseteste, cette science donne aussi accès aux lois mathématiques qui ont gouverné la création de la matière à l’origine du monde. En partant de la réalité sensible, il serait donc possible de remonter non seulement à la structure géométrique du monde, mais aussi à sa structure arithmétique (la Création « en nombre » de Sagesse XI, 21). Jean Peckham l’explique en affirmant que la Perspectiva étudie les droites que suivent les rayons lumineux comme des entités à la fois mathématiques et naturelles, tandis que la géométrie s’en tient à la droite mathématique118. La géométrie est donc plus abstraite que la Perspectiva et permet de s’approcher plus près de la vérité de la Création.
66Ailleurs, dans un Quodlibet consacré à la diffusion de la lumière, Jean Peckham précise de manière fort intéressante ce rapport entre géométrie et physique119. Alors qu’il discute la thèse aristotélicienne de l’instantanéité de la diffusion de la lumière, il doit répondre à une objection selon laquelle sa propre thèse, selon laquelle la lumière est produite constamment (in fieri), impliquerait une forme d’atomisme (et ita divisibile ex indivisibilibus). Or le continu est divisible à l’infini ; donc, etc. Dans sa réponse, non seulement il accepte cet indivisibilisme, mais il tente de montrer comment un phénomène comme la diffusion de la lumière peut être à la fois continu et composé d’indivisibles. Pour ce faire, il utilise un exemple qui deviendra classique dans les débats du XIVe siècle sur le continu, celui de la sphère qui roule sur un plan. Le contact entre la sphère et le plan est toujours un point, mais le mouvement de la sphère est néanmoins continu. La droite constituée par le mouvement du point de tangence est donc continue et c’est pourtant le mouvement d’un point indivisible. Il en va de même pour la lumière : elle est engendrée en continu tout en étant composée d’indivisibles, comme dans la théorie du De luce de Robert Grosseteste. Si l’analyse de la lumière permet donc de rendre compte de la structure géométrique du monde matériel par ce qui nous le rend visible, n’est‑ce pas au niveau des unités ultimes qui composent ces figures géométriques que se trouve le savoir mathématique ultime pour comprendre la Création ? C’est précisément ce que Jean Peckham tente de montrer dans le De numeris misticis.
67Comme l’a bien montré Barnabas Hughes, l’analyse des nombres dans le De numeris misticis repose sur une longue tradition textuelle qui va d’Augustin à Bonaventure en passant par Boèce et Robert Grosseteste, dans laquelle se mêlent analyses mathématiques et interprétations symboliques des nombres dans l’exégèse120. Le traité se divise en deux parties bien distinctes, dont l’une traite des nombres en général à la manière d’un traité d’arithmétique, tandis que l’autre applique cette théorie à une analyse numérologique des Écritures121. Parce que l’œuvre tout entière semble dirigée vers l’exégèse, Barnabas Hughes classe le De numeris misticis parmi les commentaires scripturaires de Jean Peckham et non parmi ses œuvres philosophiques ou mathématiques122. Comme dans le Tractatus de perspectiva, cette dimension théologique apparaît dès les premières lignes du texte :
Le Seigneur Jésus a disposé toutes choses en nombre, mesure et poids, comme le dit la Sagesse [XI, 21]. Selon Augustin, il a fait jaillir toutes choses des nombres, parce qu’il a aussi tout créé grâce à des nombres immuables. Il a en outre transmis tes mystères dans les Écritures saintes enveloppés sous des nombres. J’enseignerai donc à propos des nombres ce que tu m’as enseigné de simple123.
68Laissons de côté la partie strictement numérologique du traité pour nous concentrer sur sa partie arithmétique. Selon Peckham, les sapientes mundi abordent les nombres de différents points de vue : en métaphysique, en géométrie, en musique et surtout en arithmétique124. La musique porte sur les nombres dans les sons, la géométrie sur la mesure des grandeurs, l’arithmétique sur toutes les quantités dénombrables et la métaphysique tâche d’explorer l’essence des nombres en général. Jean Peckham s’en tient essentiellement à l’arithmétique, mais il aborde aussi en passant quelques‑unes des questions métaphysiques importantes liées au mode d’être des nombres. Sur ce point, sa position est très claire : le nombre n’est pas une simple fiction de l’esprit, un simple concept, et encore moins une convention pour découper et mesurer le réel. Le nombre existe aussi réellement dans les choses. Il y a donc adéquation parfaite entre le numerus numerans et le numerus numeratus, non pas simplement parce que l’un serait abstrait à partir de l’autre, mais parce que ces nombres décrivent une même réalité sous deux angles différents. L’un se rapporte au corps mathématique, l’autre au corps naturel. Or ces deux corps sont en correspondance parfaite. L’un est le corps considéré sans matière, comme une figure géométrique, c’est‑à‑dire comme un solide à trois dimensions dans l’espace ; l’autre est le corps naturel considéré dans sa matérialité. Mais à chaque surface, droite ou point du corps mathématique correspond une surface, une droite ou un point dans le corps naturel125. Autrement dit, le nombre nombré correspond, dans les corps naturels, au nombre d’unités qui constituent et structurent le solide à trois dimensions. On retrouve donc ici l’intuition fondamentale de la tradition néo‑pythagoricienne transmise par Boèce, selon laquelle les nombres sont à la fois dans les idées et les choses, non par une simple relation de participation, comme chez Platon, non plus sur le mode d’une simple abstraction, comme chez Aristote, mais en tant que principe inscrit dans la matière de toute chose. Les solides sont composés de surfaces, les surfaces de droites, et les droites de points, et comme les points sont des unités dans l’espace, ces réalités spatiales peuvent aussi être exprimées en nombres. Du fait que les nombres sont inscrits dans les figures géométriques et parce que celles‑ci correspondent point par point à des choses dans la nature, on peut dire que les nombres sont au fondement de la réalité naturelle.
69Fort de cette métaphysique du nombre, Jean Peckham détaille ensuite les principales propriétés des nombres selon l’arithmétique (nombres pairs, impairs, premiers, composés, abondants, déficients, rationnels, irrationnels), propriétés qui ont donc aussi leur équivalent in rebus. Parmi les propriétés des nombres, Jean Peckham distingue, à la suite d’Augustin, des nombres corporels et des nombres spirituels, et au sein de ces deux types de nombres, des nombres nombrés en acte et en puissance. Ce qu’il appelle « nombre corporel en acte » correspond, comme chez Marco Trevisano, aux nombres entiers positifs grâce auxquels nous comptons des choses (Peckham donne l’exemple de deux pierres). Le nombre corporel en puissance ou virtuel (potentialis seu virtualis) est défini quant à lui de manière originale en s’appuyant une fois de plus sur Augustin. Il existerait parmi ces nombres en puissance des nombres croissants, qui gonflent (tumentes), d’autres non croissants (non tumentes). Avec ce vocabulaire peu commun, Peckham semble vouloir désigner d’un côté la division infinie (c’est‑à‑dire la division infinie du continu est comme une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur croît à l’infini), de l’autre les nombres tels qu’ils existent avant en puissance avant la division et qui sont « comme des unités singulières » (quasi singulae unitates). Cette seconde catégorie de nombres en puissance correspondrait, selon Peckham, à ce que saint Augustin appelait les « raisons séminales » des choses, c’est‑à‑dire des formes incomplètes et invisibles, lesquelles existent en deçà des choses que nous pouvons voir et dénombrer, tout en restant dénombrables par Dieu.
70Après avoir abordé la plupart des propriétés des nombres décrites dans les traités d’arithmétique de l’époque, Jean Peckham se livre à une analyse plus détaillée des nombres en géométrie qui repose essentiellement sur le De arithmetica de Boèce. Il s’agit, comme chez Boèce, de montrer plus précisément comment toutes les figures géométriques peuvent être exprimées par des nombres.
71À notre connaissance, il n’existe aucun autre texte semblable à celui‑ci aux XIIIe et XIVe siècles. Bien qu’il soit difficile de savoir si Marco Trevisano a pu lire ce traité ou un autre qui s’en inspire, ou s’il a simplement suivi la même voie grâce à sa formation en arithmétique dans les écoles d’abaque, le De numeris misticis constitue cependant forme archétypale de la théorisation de l’arithmétique en contexte théologique dans le franciscanisme anglais du XIIIe siècle. Ce lien entre théorie des nombres, analyse atomiste du continu et théologie de la création est beaucoup moins explicite chez les Franciscains du XIVe siècle et c’est précisément ce que Marco Trevisano semble leur reprocher.
La composition du continu : Marco Trevisano lecteur et critique de Gérard d’Odon
72Le second livre du De macrocosmo est entièrement consacré à la question du continu. Toute quantité continue est‑elle divisible à l’infini, comme le soutient Aristote, ou la division s’arrête‑t‑elle à des entités indivisibles, comme le défendaient les atomistes de l’Antiquité ? Comme il l’a annoncé dès le premier livre, Marco Trevisano prend parti pour l’atomisme, se rangeant derrière Démocrite et Platon, tout en reconnaissant que leurs théories n’étaient pas tout à fait les mêmes, puisque le premier décrivait les atomes comme des corpuscules, le second comme des points. Marco Trevisano ne tranche pas ici pour l’une ou l’autre version de l’atomisme, même si l’argumentation du livre II, ajoutée à celle du livre I, laisse peu de doute sur son penchant pour Platon et plus encore pour le néo‑pythagorisme de Boèce. De ce point de vue, les thèses qu’il soutient sont très proches de celles défendues par certains frères franciscains de la fin du XIIIe siècle.
73L’un des premiers philosophes à avoir adopté cette forme d’atomisme mathématique fondé sur le parallélisme entre les nombres et les parties du continu n’est autre que Robert Grosseteste dans son De luce et dans ses Notes sur la Physique126 et l’on sait qu’il a enseigné dans un studium franciscain, probablement sans avoir jamais lui‑même endossé l’habit. Selon lui, le monde a été créé à partir d’un atome de lumière multiplié dans toutes les directions jusqu’à ce que soit formée la sphère parfaite de notre univers. Du fait que le monde a été ainsi créé à partir d’entités indivisibles indéfiniment multipliées dans l’espace, il est possible – ou du moins concevable – que la division de n’importe quelle partie de cette sphère s’arrête à ces entités indivisibles qui constituent la matière depuis son origine. Toute quantité continue est donc composée d’indivisibles, dont le nombre varie d’une chose à l’autre. Ce nombre, précise Robert Grosseteste, est pour nous infini, ou plutôt indéfini, mais Dieu sait exactement le nombre d’atomes dans chaque chose.
74Cette métaphysique de la lumière et l’atomisme mathématique qui l’accompagne ont déclenché un vif débat chez les Frères mineurs, en particulier outre‑Manche, mais aussi dans les autres ordres mendiants aux XIIIe et XIVe siècles. On compte en effet plusieurs franciscains parmi les défenseurs de cette forme particulière d’atomisme mathématique, comme Walter Chatton127, Gérard d’Odon128 ou Nicolas Bonet129, même si d’autres franciscains se sont vivement opposés au sein de l’ordre à cette vision de la réalité, comme Jean Duns Scot, Guillaume d’Alnwick, Guillaume d’Ockham ou Adam Wodeham130. Il est par ailleurs frappant de constater qu’il n’y eut pratiquement aucun défenseur de cet atomisme mathématique dans les Facultés des arts des grandes universités européennes, hormis peut‑être le cas singulier de Michel de Montecalerio131. Ce débat opposa donc essentiellement des théologiens, majoritairement issus des ordres mendiants. Que l’on pense par exemple au dominicain Guillaume Crathorn ou à l’ermite de saint Augustin Grégoire de Rimini132. On remarque aussi que ce débat a été particulièrement fort en Angleterre, principalement à Oxford, pendant les premières décennies du XIVe siècle. En France, le débat commence véritablement dans les années 1330 autour des franciscains Gérard d’Odon et Nicolas Bonet, avant d’être repris par d’autres maîtres de l’Université comme Nicolas d’Autrécourt et Michel de Montecalerio. En Italie, les débats anglais étaient certes connus, au moins partiellement, grâce à l’enseignement du franciscain Guillaume d’Alnwick à Bologne dans les années 1322‑1323, même s’il refusait lui‑même cet atomisme mathématique133. Hormis le franciscain Enrico di Montegiardino, dont la position est rapportée par un certain Johannes Gedeonis dans son traité De continuo, on ne trouve aucun atomiste avant Marco Trevisano134.
75Le second livre du De macrocosmo ne se présente pas comme un traité, mais plutôt comme une quaestio disputata universitaire, divisée en plusieurs articles. Le premier contient les arguments opposés à l’atomisme tirés d’Aristote, al‑Ghazālī, Jean Duns Scot et Grégoire de Rimini, auxquels Marco Trevisano ajoute des arguments scolaires (scolastice raciones) et deux arguments de son cru (raciones duas nostras adducemus). Dans le deuxième article, après avoir brièvement rappelé les doctrines de Platon et Démocrite, il démontre l’atomisme de six manières, par six « voies », auxquelles il ajoute ensuite quelques arguments et corollaires. Dans le troisième article, il donne un certain nombre de propositiones, puis répond aux arguments du premier article avant d’apporter quelques conclusiones.
76L’examen attentif de ce second livre nous apprend que Marco Trevisano a copié verbatim une partie du commentaire des Sentences de Gérard d’Odon (Giraldus Odonis ou Guiral Ot), franciscain originaire du village de Camboulit, près de Figeac, ministre général de l’Ordre après le départ de Michel de Césène, devenu célèbre par sa participation à la querelle de la vision béatifique autour des positions de Jean XXII135. Gérard d’Odon commenta par deux fois les Sentences de Pierre Lombard, à Paris, vers 1326‑1328, mais aussi à Toulouse, à une date antérieure, lorsqu’il y enseignait au couvent franciscain. Seul le commentaire parisien est conservé, mais il contient certains éléments de la lectura de Toulouse136. Dans ses œuvres philosophiques, comme dans son commentaire sur les Sentences, Gérard d’Odon soutient des thèses originales, notamment dans les domaines de la logique, de la métaphysique et de la philosophie naturelle. Il défend par exemple la possibilité qu’il existe plusieurs mondes137, refuse la notion aristotélicienne de lieu et lui substitue la notion d’espace138, et développe l’idée selon laquelle l’analyse du mouvement d’un projectile requiert l’existence d’une force imprimée dans l’objet (impetus)139. Il s’est aussi beaucoup intéressé à la question du continu à laquelle il a consacré un petit traité indépendant intitulé De continuo et deux quaestiones dans son commentaire des Sentences, au livre I, d. 37 et au livre II, d. 44. Ces trois textes sont très proches par leur contenu, mais comme l’a bien montré Sander de Boer, la quaestio contenue dans le livre I diffère quelque peu des deux autres140. C’est précisément à ce texte que Marco Trevisano emprunte de longs passages141.
77Dans le premier article, il lui emprunte la présentation des arguments d’Aristote, al‑Ghazālī et Jean Duns Scot et y ajoute seulement deux arguments tirés du commentaire des Sentences de Grégoire de Rimini, postérieur à celui de Gérard d’Odon, ainsi que quelques arguments qui lui sont propres. De même, une large partie de la determinatio de Marco Trevisano provient aussi du commentaire de Gérard d’Odon, notamment les six voies pour démontrer la vérité de l’atomisme mathématique.
78Citons, à titre d’exemple, les premières lignes du second article :
Gérard d’Odon, Sent. I, d. 37, ms. Sarnano, Biblioteca communale E. 98, f. 102va‑b. | Marco Trevisano, De macrocosmo, Ms. B, f. 14r ; T, f. 14v. |
Quantum ad primum, sciendum quod ut recitatur primo de generatione, opinio fuit Platonis et Democriti quod continuum componitur ex indivisibilibus et resolvitur in indivisibilia, diversimode tamen, quia Democritus asseverabat corpora componi ex athomis et resolvi in athoma sive in magnitudines indivisibiles. Plato vero ponebat corpus componi ex superficiebus, superficies ex lineis, lineas ex punctis. Et eodem modo resolvi. Conveniebant tamen in hoc quia uterque dicebat primam compositionem continui esse ex indivisibilibus et ultimam terminari ad indivisibilia. Ista autem opinio probatur esse veram per multas rationes. Sunt autem sex vie quarum prima est via dependentie essentialis, secunda continentie virtualis, tertia resolutionis, quarta minorationis, quinta mensure, sexta motus continui. | Quantum ad secundum articulum questionis sciendum quod ut recitatur primo de generatione, opinio fuit Platonis et Democriti quod continuum componitur ex indivisibilibus et resolvitur in indivisibilia, diversimode tamen, quia Democritus asseverabat corpora componi ex corpusculis athomalibus et resolvi in ea tamquam ad magnitudines indivisibiles. Plato vero ponebat corpus componi ex superficiebus, superficies ex lineis, lineas ex punctis. Et eodem modo resolvi conveniebat ; tamen in hoc ambo conveniebant. Uterque enim dicebat primam compositionem continui esse ex indivisibilibus et ultimam terminari ad indivisibilia. Hec autem opinio multipliciter probatur per multos. Sunt autem eorum sex vie ad probandum idem, quarum prima est via dependentie essentialis, secunda continentie virtualis, tertia resolutionis, quarta minorationis, quinta mensure, sexta motus continui. |
79La suite du texte est tout aussi proche pour chacune des six voies. La présentation de la première voie dite de la « dépendance essentielle » suffit à s’en convaincre.
Gérard d’Odon, Sent. I, d. 37, ms. Sarnano, Biblioteca communale E. 98, f. 102vb. | Marco Trevisano, De macrocosmo, Ms. B, f. 14r ; T, f. 14v. |
Ex prima via arguitur sic : in ordine essentialis dependentie est status ad aliquid simpliciter primum in ordine illo, non dependens ab aliquo alio in illo ordine. Sed totum continuum dependet essentialiter a medietatibus et ille medietates ab aliis medietatibus. Ergo necesse est stare ad aliquid primum simpliciter independens. Maior exponitur et probatur. Essentialis enim dependentia est in qua posterius dependet a priori, quod contradictionem implicat esse posterius sine priori et quod in tali ordine sit primum simpliciter patet quia essentialis dependentia tenet effectum in esse et nullum effectum tenet nisi sit terminata in esse. Et istud est medium per quod Aristoteles secundo Metaphysice probat statum in omni genere esse, quare insta est irrefragabiliter vera, primis principiis metaphysicis manentibus in sua veritate et manente essentiali ordine rerum. Minor patet quia unus cubitus dependet a duobus semicubitis. Sic quod contradictio est cubitum esse et semicubitum non esse, quod aliquod totum sit et partes eius non sint. Quare ratio est evidens. | Ex prima via arguitur sic : in ordine essencialis dependentie est status ad aliquid simpliciter primum in ordine illo, non dependens ab aliquo alio in illo ordine. Sed totum continuum dependet essencialiter a medietatibus et ille medietates ab aliis medietatibus. Ergo necesse est stare ad aliquid primum simpliciter independens. Maior exponitur et probatur. Essencialis enim dependencia est in qua posterius dependet a priori, sic quod contradiccionem implicat esse posterius sine priori. Et quod in tali ordine sit primum simpliciter patet, quia essencialis dependencia tenet effectum in se et nullum effectum tenet nisi sit terminata in se. Et istud est medium per quod Aristotelis secundo Metaphysice probat statum in omni genere cause, quare insta est irrefragabiliter vera, primis principiis mathematicis manentibus in sua veritate et manente essenciali ordine rerum. Minor eciam probatur, quia unus cubitus dependet a duobus semicubitis, sic quod contradiccio est cubitum esse et semicubitum non esse, intelligendo materialiter et non formaliter. Similiter contradiccio est quod aliquod totum sit et partes eius non sint. Quare racio est evidens. |
80Les positions de Gérard d’Odon sur le continu ont déjà été analysées en détail par Sander de Boer, il est inutile d’y revenir en détail142. Il s’agit pour lui de décrire la structure des entités continues comme des totalités composées de parties. De cette analyse méréologique du continu, il tire la nécessité de poser une première partie, elle‑même indivisible, qui serait en quelque sorte le principe du tout. Les six voies ont précisément pour but de montrer cela.
81Par la première via, Gérard d’Odon veut montrer qu’un tout continu dépend essentiellement de ses parties : le tout dépend de la moitié, la moitié de la moitié de la moitié, etc. Selon lui, cette divisibilité en parties présuppose que les parties préexistent au tout, ce qui implique une certaine primauté ontologique de la partie sur le tout. Gérard d’Odon va plus loin en affirmant qu’il existe un lien de dépendance ontologique entre la partie le tout, comme si les parties étaient la cause du tout. En appliquant l’argument de la régression à l’infini, Gérard d’Odon conclut qu’il faut poser l’existence d’un arrêt, d’une première partie qui ne dépend de rien d’autre dans l’ordre essentiel que constitue le tout continu.
82Avec la via continentiae, il veut montrer que le nombre de parties d’une totalité continue est nécessairement fini. Pour ce faire, il utilise un paradoxe dérivé des célèbres paradoxes de Zénon d’Élée : si le nombre des parties d’une quantité continue était infini et si chaque partie avait une existence en acte, alors le tout devrait être un infini en acte, ce qui est impossible selon la physique et la métaphysique aristotélicienne143. L’argument présuppose que si les parties n’existaient qu’en puissance dans le tout, elles ne pourraient pas participer à l’actualité du tout, à moins de supposer que cette puissance implique toujours la possibilité de son actualisation.
83La via resolutionis vise justement à renforcer l’argument précédent en expliquant le nombre fini des parties par ce qui ressemble à un principe de plénitude : toute puissance doit pouvoir être actualisée, au moins par la toute‑puissance divine144. Pour Aristote, un continu fini est divisible à l’infini en puissance, mais il est seulement divisible en un nombre fini de parties en acte. Mais si Dieu peut par sa toute‑puissance diviser une quantité continue jusqu’au bout, alors toutes ses parties seraient en acte. Si cette division était infinie, nous retomberions dans le paradoxe soulevé précédemment : la somme de ces parties devrait être infinie. Or, par hypothèse, il s’agit de concevoir la division d’un continu fini.
84La via minorationis poursuit l’argumentation sous un autre angle, en imaginant que Dieu puisse soustraire un indivisible à une quantité continue, par exemple un point à une ligne145. Le résultat de cette soustraction n’est plus le même tout, ce qui est le signe qu’il en est composé essentiellement. Mais si Dieu peut les ôter tous progressivement, c’est que le tout en est entièrement composé.
85Quant à la via mensurae, elle consiste à refuser l’inégalité des infinis, élaborée jadis par Robert Grosseteste et reprise par le théologien anglais Henry de Harclay au début du XIVe siècle146. Pour l’évêque de Lincoln, il fallait accepter la divisibilité infinie du continu, tout en admettant l’existence d’indivisibles. Dans n’importe quel continu il existe un nombre infini d’indivisibles. Les différences de grandeurs entre les quantités continues s’expliquent donc par des différences entre des infinis. Gérard d’Odon refuse cette thèse, comme on l’a vu, en affirmant que le nombre d’indivisibles est toujours fini dans un continu fini. L’argument repose ici sur l’idée de mesure. Comment peut‑on maintenir des proportions entre des quantités infinies et quelle sera l’unité de mesure qui permettra de comparer ces quantités ? Selon lui, il faut pouvoir compter pour mesurer, c’est pourquoi il faut des unités de mesure. Or, pour les raisons invoquées dans les précédents arguments, Gérard d’Odon pense qu’il faut poser l’existence d’une unité absolue, c’est‑à‑dire absolument indivisible.
86Pour finir, la sixième voie porte sur le mouvement continu (ex motu continui)147. Selon la Physique d’Aristote, il est impossible de décrire le mouvement d’un indivisible. Car décrire le mouvement d’un point reviendrait à décrire ses positions successives sans pouvoir rendre compte de la continuité de son mouvement. Au contraire, Gérard d’Odon affirme que l’on peut décrire le mouvement local comme un changement de position (situs) dans le lieu (locus) en un certain nombre d’instants. De ce point de vue, les points étant distingués par leur position dans l’espace, et un point peut changer de position dans un même lieu (un point sur un cercle en rotation change de position dans un même lieu, au sens aristotélicien du terme). D’ailleurs, même ceux qui n’acceptent pas que les points soient des parties du tout, mais pensent qu’ils sont seulement les termes de certaines grandeurs (la fin d’un segment de droite par exemple) doivent accepter la possibilité pour ces termes de se mouvoir selon Marco Trevisano. Si un segment de droite peut être mû localement, le point qui termine ce segment est aussi mû, au sens où il change de situs en parcourant un ensemble de positions ponctuelles en un certain nombre d’instants. Même chose pour la sphère qui roule sur un plan. Si, poursuit Gérard d’Odon, un point était maintenu dans l’être sans la droite à laquelle il appartient per potentiam absolutam, il devrait se mouvoir de la même manière que lorsqu’il était à l’extrémité d’une droite.
87Marco Trevisano accepte donc les arguments de Gérard d’Odon et les fait siens, sans discussion. Seulement, ce point de vue métaphysique sur le continu ne lui suffit pas et il souhaite le compléter par des considérations arithmétiques plus strictes ; d’où la nécessité des conclusions du livre I sur l’unité et le nombre. Car l’indivisible géométrique n’est rien d’autre que l’équivalent d’un point situé dans l’espace.
88Il faut préciser ici que ce qui s’apparente à ce que nous appellerions aujourd’hui un plagiat était monnaie courante au XIVe siècle et faisait même partie de la méthode que Monica Brinzei a qualifiée de « bricolage textuel148 ». Comme l’a bien montré Chris Schabel, cette pratique que l’on croyait surtout répandue chez les auteurs de la fin du XIVe siècle était déjà fréquente chez les Franciscains au début du XIVe siècle149. Par exemple, Aufredus Gonteri lit les Sentences de Pierre Lombard secundum alium et recopie des questions entières d’autres maîtres, dont certaines de Gérard d’Odon. Le bricolage textuel de Marco Trevisano n’est donc pas un simple plagiat. D’abord, il ajoute de nombreux éléments, soit tirés d’autres auteurs, comme Grégoire de Rimini, soit de sa propre invention. Ensuite, après avoir repris verbatim la solution de Gérard d’Odon au problème du continu, il le critique longuement dans le troisième article en mentionnant cette fois explicitement son nom (frater Geraldus ou parfois magister Geraldus)150.
89Les critiques portent essentiellement sur les réponses que Gérard d’Odon a apportées aux arguments mathématiques d’al‑Ghazālī et Jean Duns Scot, notamment les arguments par projection qui reposent sur l’incommensurabilité entre les côtés et la diagonale de certaines figures géométriques (on ne peut pas en rendre compte avec des nombres entiers) ou sur les paradoxes liés au nombre des parties dans les divisions égales d’un continu (si le nombre de points est pair, où passe la ligne médiane ? Et s’il est impair, ne doit‑elle pas couper un point en deux ?). Il s’agit de critiques de détail dont le but est simplement de montrer les approximations mathématiques de Gérard d’Odon. Ce dernier aurait donc raison sur le fond en défendant une position atomiste, comme d’autres franciscains avant lui, mais, conformément à ce que Marco Trevisano a annoncé dans le prologue, il faut le corriger lorsqu’il ne comprend pas certains arguments mathématiques. Après l’avoir longuement critiqué, Marco Trevisano s’explique sur les raisons de ces attaques :
Que l’on ne s’étonne pas si nous avons parfois eu la présomption de critiquer le maître dont nous suivons et imitons l’opinion, et qui est assurément notre intime et notre ami. Cet acte d’arrogance paraît détruire toutes les actions favorables à l’amitié, mais ce n’est pas le cas. Parce qu’ici la recherche suit la piste de la vérité, laquelle, si elle était tue, par crainte de la futilité, ou par négligence, surtout dans ce genre d’affaire où la fausseté conserve une grande probabilité, causerait un grand dommage pour nos successeurs. Si cet intime, que nous aimons, dont nous imitons la position comme si elle était tout à fait vraie, était vivant et entendait de telles choses, il ne ferait pas grand cas d’exhiber son honneur, de sorte que l’excellence du vrai serait sauve. C’est pourquoi, assurément, comme le dit Aristote, entre ces deux biens, il est saint d’honorer en premier la vérité. C’était aussi l’habitude de Platon de dire : Socrate est un ami, mais la vérité l’est plus encore151.
90Ce passage confirme à la fois la proximité entre les deux hommes, Gérard d’Odon étant qualifié d’ami et même de maître, et la méthode employée par Marco Trevisano pour revisiter l’exégèse de Sagesse XI, 21.
En guise de conclusion
91Que reste‑t‑il, au terme de ce parcours, de l’hypothèse d’Eugenio Garin ? Le De macrocosmo de Marco Trevisano, dont nous n’avons présenté que les aspects les plus saillants, montre que certaines idées typiques des milieux franciscains de la fin du XIIIe siècle circulaient dans l’Italie du Trecento en dehors des couvents et de leurs studia où les mathématiques n’occupaient plus la place qu’elles avaient occupée jadis. Le modèle théologico‑mathématique repéré par Garin chez certains franciscains du XIIIe siècle et chez Luca Pacioli au XVe siècle semble avoir été fragmenté, pour ne pas dire démantelé par les commentaires et autres quaestiones scolastiques du XIVe siècle. En effet, on se souvient que dans les années 1230, à Paris, un dominicain du couvent Saint‑Jacques, proche de Jean de Saint‑Gilles, se plaignait dans un de ses sermons de l’application systématique de la méthode mathématique aux questions métaphysiques et théologiques :
Il existe certaines personnes qui ont bien appris la langue spirituelle, c’est‑à‑dire la théologie, mais qui, en la corrompant par la philosophie, y introduisent des barbarismes. Celui qui a appris la métaphysique veut toujours procéder métaphysiquement dans les Écritures saintes. De même, celui qui a appris la géométrie veut toujours parler de points et de lignes en théologie. Aussi répandent‑ils de la poussière dans la lumière […]152.
92Ce genre de critique, semblable à celles que l’on trouve aussi chez certains franciscains refusant l’héritage des Robert Grosseteste, Roger Bacon ou encore Jean Peckham153, eut assez peu d’effets immédiats, si ce n’est une plus grande dilution des savoirs mathématiques dans des œuvres théologiques. On trouve toujours au XIVe siècle des théologiens franciscains parlant « de points et de lignes ». Mais, réduites au rang de simple outil, les mathématiques devaient perdre progressivement leur spécificité et leur technicité, y compris chez les Franciscains, pourtant plus prompts que les autres mendiants à se tenir informés des dernières avancées dans les sciences. Au XIVe siècle, on ne dénombre aucun traité mathématique ou théologique franciscain défendant un tel modèle de manière systématique. Le cas singulier de Marco Trevisano suggère en revanche que l’intérêt pour la théologie mathématique s’était déplacé des ordres mendiants vers certains milieux laïques.
93Dans le De macrocosmo, Marco Trevisano se plaint précisément de cet oubli des mathématiques de la part des théologiens franciscains du XIVe siècle. Cela lui paraît d’autant plus inacceptable qu’il a lui‑même acquis une connaissance mathématique solide dans les écoles d’abaque, parmi les laïcs. C’est là, en effet, dans ces écoles instituées au départ pour l’éducation des plus jeunes dans le but de former les futurs marchands, que la science mathématique s’est développée dans l’Italie des XIIIe et XIVe siècles154. Fort de ce savoir, Marco Trevisano a voulu redonner à la théologie cette consistance perdue qui faisait de la science des nombres le point de départ de l’enquête sur la mathématisation du monde. À la lumière de ce nouveau témoignage, il faudrait donc se demander si Luca Pacioli n’a pas fait le même genre de parcours, lui qui a aussi été formé dans les écoles d’abaque de Venise avant de prendre l’habit des Frères mineurs. Dans les deux cas, ne s’agissait‑il pas de réintégrer dans le savoir des frères une science profane dont ils avaient progressivement perdu la maîtrise ? Si tel est le cas, le scénario imaginé par Eugenio Garin doit être revu et considérablement amendé.
Bibliographie
Sources
Augustin 1972 = Augustin, De genesi ad litteram, éd. et trad. P. Agaësse et A. Solignac, Paris, 1972.
Blaise de Parme 2009 = Blaise de Parme, Questiones super perspectiva communi, éd. J. Biard et G. Federici‑Vescovini, Paris, 2009.
Boèce 1995 = Boèce, Institution arithmétique, éd. et trad. J.‑Y. Guillaumin, Paris, 1995.
Bonaventure 1889 = Bonaventure, In librum Sententiarum IV, dans Opera omnia IV, Quaracchi, 1889.
Cenci 1981 = C. Cenci, Bibliotheca manuscripta ad sacrum conventum Assisiensem, Assise, 1981 (2 vol.).
Denifle – Châtelain 1894 = H. Denifle et É. Chatelain (dir.), Chartularium Universitatis Parisiensis, Paris, vol. III, 1894.
Ferrari 1904 = L. Ferrari, L’inventario della Biblioteca di San Francesco di Pisa (1355), Pise, 1904.
Frati 1890 = L. Frati, Inventario della biblioteca francescana di Bologna (1421), dans Miscellanea francescana di storia, di lettere, di arti, V, 1, 1890, p. 110‑120.
Faloci‑Pulignani 1904 = D.M. Faloci‑Pulignani, La biblioteca francescana di Gubbio, dans Miscellanea francescana di storia, di lettere, di arti, IX, 5, 1904, p. 156‑163.
Lafleur – Carrier 2003 = C. Lafleur, en collaboration avec J. Carrier, Les Questiones mathematice (mss Paris, BnF, lat. 16390 et 16617) : un compendium de la Faculté des arts de l’Université de Paris au XIIIe siècle. Édition provisoire du texte intégral, dans Cahiers du laboratoire de philosophie ancienne et médiévale de la Faculté de philosophie de l’Université Laval, VI, 2003, p. 1‑56.
Luca Pacioli 1494 = Summa de arithmetica, Venise, 1494.
Luca Pacioli 1509 = Luca Pacioli, De divina proportione, Venise, 1509.
Mazzi 1897 = C. Mazzi, L’inventario quattrocentesco della biblioteca di S. Croce in Firenze, dans Rivista delle biblioteche e degli archivi, 8, 1897, p. 16‑31, 99‑113, 129‑147.
Hoffmann 1942 = G. Hoffmann, La biblioteca scientifica del monastero di San Francesco a Candia nel medio evo, dans Orientalia christiana periodica, VIII, 1942, p. 317‑360.
Humphreys 1966 = K. W. Humphreys, The library of the Franciscans of the convent of St. Antony of Padua at the Beginning of the Fifteenth Century, Amsterdam, 1966.
Humphreys 1978 = K. W. Humphreys, The library of the Franciscans of Siena in the late fifteenth century, Amsterdam, 1978.
Mencherini 1914 = S. Mencherini, Antichi inventari della Verna, in Studi francescani, I, 1914, p. 212‑222.
Menestò 1994 = E. Menestò, Gli inventari trecenteschi della biblioteca del convento francescano di San Fortunato di Todi, dans Immagini del medioevo. Saggi di cultura mediolatina, Spolète, 1994, p. 191‑232.
Murdoch – Synan 1966 = J. E. Murdoch et E. Synan, Two Questions of the Continuum: Walter Chatton, OFM and Adam Wodeham, OFM, dans Franciscan Studies, 26, 1966, p. 212‑288.
Peckham 1972 = Jean Peckham, Tractatus de perspectiva, éd. D.C. Lindberg, St. Bonaventure, 1972.
Peckham 1985 = Jean Peckham, De numeris misticis, in B. Hughes, De numeris misticis by John Peckham. A critical edition, dans Franciscanum historicum, 78, 1‑2, 1985, p. 2‑28 et 333‑383.
Peckham 1989 = Jean Peckham, Quodlibeta quattuor, éd. F. Delorme et G. J. Etzkorn, Frottaferrata, 1989.
Robert Grosseteste 2011 = Robert Grosseteste, De luce, éd. et trad. C. Panti, Pise, 2011.
Romanin 1855 = S. Romanin, Storia doctumentata di Venezia, Venise, 1855.
Guibert de Tournai 1953 = Guibert de Tournai, De modo addiscendi, éd. E. Bonifacio, Turin, 1953.
Études
Albertson 2014 = D. Albertson, Mathematical theologies. Nicholas of Cusa and the Legacy of Thierry of Chartres, Oxford, 2014.
Arrighi 2004 = G. Arrighi, La matematica dell’età di mezzo, Pise, 2004.
Bakker 2003 = Guiral Ot et le mouvement. Autour de la question De motu conservée dans le manuscrit Madrid, Biblioteca Nacional, 4428, dans Early science and medicine, 8, 4, 2004, p. 298‑319.
Bakker – De Boer 2009 = P. J. J. M. Bakker et S. De Boer, ‘Locus est spatium’. On Gerald Odonis’ Quaestio de loco, dans Vivarium, 47, 2009, p. 295‑330.
Barzazi 2013 = A. Barzazi, Formazione del patrizio e ordini religiosi : modelli a confronto, dans A. Caracausi et A. Conzato (dir.), Formazione alla politica, politica della formazione a Venezia in età moderna, Rome, 2013, p. 37‑58.
Beaujouan 1954 = G. Beaujouan, L’enseignement de l’arithmétique élémentaire à l’Université de Paris aux XIIIe et XIVe siècles, dans Hommage à Millás Vallicrosa, vol. I, Barcelone, 1954, p. 93‑124.
Beaujouan 1997 = G. Beaujouan, Le quadrivium et la Faculté des arts, dans O. Weijers, L. Holtz (dir.), L’enseignement des disciplines à la Faculté des arts (Paris et Oxford, XIIIe‑XIVe siècles), Turnhout, 1997, p. 185‑194.
Bermon 2001 = P. Bermon, La Lectura sur les deux premiers livres des Sentences de Grégoire de Rimini O.E.S.A. (1300‑1358), dans G. Evans (dir.), Mediaeval Commentaries on the Sentences of Peter Lombard, Leiden, 2001, p. 267‑85.
Bermon 2007 = P. Bermon, L’assentiment et son objet chez Grégoire de Rimini, Paris, 2007.
Bianchi 2002 = L. Bianchi, Ordini mendicanti e controllo ‘ideologico’: il caso delle province domenicane, dans Studio e studia : le scuole degli ordini mendicanti tra XIII e XIV secolo, Spoleto, 2002, p. 305‑338.
Björnbo 1903 = A. A. Björnbo, Die mathematischen San Marco Handschriften in Florenz (I), dans Bibliotheca mathematica, IV, 1903, p. 238‑345.
Björnbo 1905 = A. A. Björnbo, Die mathematischen San Marco Handschriften in Florenz (II), dans Bibliotheca mathematica, VI, 1905, p. 230‑238.
Björnbo 1911‑1912 = A. A. Björnbo, Die mathematischen San Marco Handschriften in Florenz (III), dans Bibliotheca mathematica, XII, 1911‑1912, p. 97‑132.
Blumenberg 1999 = H. Blumenberg, La légitimité des temps modernes, trad. M. Sagnol, J.‑L. Schlegel et D. Treierweiler, Paris, 1999.
Boas 1954 = G. Boas, A fourteenth‑century cosmology, dans Proceedings of the american philosophical society, 98, 1, 1954, p. 50‑59.
Brinzei 2011 = M. Brinzei (Calma), Plagium, dans I. Atucha, D. Calma, C. König‑Pralong, I. Zavattero (dir.), Mots médiévaux offerts à Ruedi Imbach, Turnhout, 2011, p. 559‑568.
Celeyrette 2009 = J. Celeyrette, An indivisibilist argumentation at Paris around 1335: Michel of Montecalerio’s Question on point and the contriversy with John Buridan, dans C. Grellard, A. Robert (dir.), Atomism in late medieval philosophy and theology, Leyde‑Boston, 2009, p. 165‑182.
Cenci 1962 = C. Cenci, Francesco da Lendinara e la storia della Provincia du S. Antonio, dans Archivum franciscanum historicum, 55, 1962, p. 104‑192.
Cenci 1965 = C. Cenci, Fr. Giovanni Zambotto da Mantova, Crocofero patriarca di Gradi (†1427), dans Rivista di storia della chiesa in Italia, 19, 1965, p. 436‑465.
Chojnacki 1997 = S. Chojnacki, La formazione della nobilatà dopo la Serrata, dans G. Arnaldi, G. Gracco, A. Teneti (dir.), Storia di Venezia, vol. III, Rome, 1997, p. 641‑725.
Ciocci 2003 = A. Ciocci, Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Rinascimento, Bari, 2003.
Compagno 2014 = C. Compagno, Il Liber de geometria nova et compendiosa di Raimondo Lullo, dans Amnitos, 31, 2014, p. 35‑45.
Cross 1998 = R. Cross, Infinity, continuity, and composition: the contribution of Gregory of Rimini, dans Medieval Philosophy and Theology, 7, 1998, p. 89-110.
Cross 2007 = R. Cross, Natural philosophy: an analytic index, dans Ch. Schabel (dir.), Theological Quodlibeta in the Middle Ages. The Fourteenth Century, Leyde‑Boston, 2007, p. 701‑758
Davy 1931 = M. M. Davy, Les sermons universitaires parisiens de 1230‑1231. Contribution à l’histoire de la prédication médiévale, Paris, 1931.
De Boer 1999 = S. De Boer, The importance of atomism in the philosophy of Gerard of Odo, dans C. Grellard et A. Robert (dir.), Atomism in late medieval philosophy and theology, Leyde‑Boston, 1999, p. 85‑106.
De Boer 2012 = S. De Boer, Gerard of Odo on the atomistic structure of continua. A discussion and edition of a tract found in Ms. Madrid, Biblioteca Nacional 4229, dans Documenti e studi sulla tradizione filosofica medievale, XXIII, 2012, p. 387‑427.
Delhaye 1969 = La place des arts libéraux dans les programmes scolaires du XIIIe siècle, dans Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge. Actes du quatrième congrès international de philosophie médiévale. Montréal, 1967, Paris‑Montréal, 1969, p. 161‑173.
Dell’Anna 1992 = G. Dell’Anna, Theorica mathematica et geometrica medievalia, Lecce, 1992.
Di Fonzo 1944 = L. Di Fonzo, Studi, studenti e Maestri dell’ ordine dei francescani conventuali del 1223 al 1517, dans Miscellanea Francescana, 44, 1944, p. 157‑195.
Duba 2007 = B. Duba, Continental Franciscain Quodlibeta after Scotus, dans Ch. Schabel (dir.), Theological Quodlibeta in the Middle Ages. The Fourteenth Century, Leyde‑Boston, 2007, p. 545‑568.
Duba – Schabel 2009 = B. Duba et C. Schabel, Introduction, dans Vivarium, 47, 2009, p. 147‑163.
Duhem 1984 = P. Duhem, Études sur Léonard de Vinci, Montreux, 1984 (3 vol.).
Favaro 1922 = A. Favaro, I lettori di matematiche nell’Università di Padova dal principio del secolo XIV alla fine del XVI, dans Memorie e documenti per la storia dell’Università di Padova, 1, 1922, p. 1‑70.
French – Cunningham 1996 = R. French et A. Cuningham, Before science: the invention of the friars’ natural philosophy, Aldershot, 1996.
Frioli 2005 = D. Frioli, Gli inventari delle biblioteche degli Oridini mendicanti, dans Libri, biblioteche e letture dei Frati mendicanti (secoli XIII‑XIV), Spolète, 2005, p. 303‑373.
Funkenstein 1995 = A. Funkenstein, Théologie et imagination scientifique du Moyen Âge au XVIIe siècle, trad. J.‑P. Rothschild, Paris, 1995.
Gargan 1972 = L. Gargan, La studio teologico e la biblioteca dei Domenicani a Padova nel tre e quattrocento, Padoue, 1972.
Garin 1967 = E. Garin, Il francescanesimo e le origini del rinascimento, dans Filosofia e cultura in Umbria tra medioevo e rinascimento, Pérouse, 1967, p. 113‑132.
Grauso 2014 = F. Grauso, La biblioteca francescana medievale di Assisi, lo scriptorium e l’attività dello studium, thèse de doctorat, dir. N. Bériou et C. Pulsoni, Université de Lyon 2, 2014.
Grellard 2004 = C. Grellard, Les présupposés méthodologiques de l’atomisme : la théorie du continu chez Nicolas Bonet et Nicolas d’Autrécourt, dans C. Grellard (dir.), Méthodes et statut des sciences à la fin du Moyen Âge, Lille, 2004, p. 181‑199.
Hahn 1982 = N.L. Hahn, Medieval mensuration: Quadrans Vetus and Geometrie due sunt partes principales, dans Transactions of the American philosophical association, New series, vol. 72, n° 8, 1982, p. i‑lxxxv, 1‑204.
Hentschel – Pickavé 2001 = F. Hentschel, M. Pickavé, Quaestiones mathematicales : Eine Textgattung der Pariser Artistenfacultät im frühen 14. Jahrhundert, dans J. A. Aertsen, K. Emery, Jr., A. Speer (dir.), Nach der Verurteilung von 1277: Philosophie an der Universität von Paris im letzten Viertel des 13. Jahrhunderts, Berlin, 2001, p. 632‑634.
Hernandez 2014 = R. Hernadez, A space in the bupboard: the organization of the book collection in the Franciscan convent of Sant’Antonio in Padua during the Fifteenth Century, dans Bulletin of International medieval research, 19, 2014, p. 101‑121.
Høyrup 2014 = J. Høyrup, Mathematics Education in the European Middle Ages, dans A. Karp et G. Schubring (dir.), Handbook on the History of Mathematics Education, New York, 2014, p. 109‑124.
Hughes 1982 = B. Hughes, Franciscans and Mathematics (I), dans Archivum franciscanum historicum, 76, 1982, p. 98‑128.
Hughes 1984 = B. Hughes, Franciscans and Mathematics (II), dans Archivum franciscanum historicum, 77, 1984, p. 3‑66.
Humphreys 1990 = K. W. Humphreys, The Friars’ Libraries, Londres, 1990.
I Francescani e le scienze, 2012 = I Francescani e le scienze. Atti del XXXIX Convegno internazionale. Assisi, 6‑8 ottobre 2011, Spoleto, 2012.
Imbach – König‑Pralong 2013 = R. Imbach et C. König‑Pralong, Le défi laïque. Existe‑t‑il une philosophie de laïcs au Moyen Âge ? Paris, 2013.
Kibre 1981 = P. Kibre, The Boethian De institutione arithmetica and the Quadrivium in the thirteenth century university milieu at Paris, dans M. Massi (dir.), Boethius and the liberal arts. A collection of essays, Berne‑Francfort‑Las Vegas, 1981, p. 67‑80.
King 1989 = M.L. King, Umanesimo e patriziato a Venezia nel Quattrocento, Rome, 1989 (2 vol.).
Kohl 1975 = B.J. Kohl, The works of Giovanni Conversino da Ravenna: a catalogue of manuscripts and editions, dans Traditio, 31, 1975, p. 349‑367.
Kohl 1983 = B.J. Kohl, Conversini, Giovanni, dans Dizionario biografico degli italiani, 28, Rome, 1983, p. 574‑578.
Kohl – Day 1974 = B. J. Kohl, J. Day, Giovanni’s Consolatio ad Donatum and the death of Petrarch, dans Studies in the Renaissance, 21, 1974, p. 9‑30.
König‑Pralong 2011 = C. König‑Pralong, Le bon usage des savoirs. Scolastique, philosophie et politique culturelle, Paris, 2011.
Koyré 1962 = A. Koyré, Du monde clos à l’univers infini, Paris, 1962.
Lafleur 1997a = C. Lafleur, Une trace de l’exégèse « artienne » de l’Institution arithmétique de Boèce : le début des Questiones mathematice (ms. Paris, BnF, lat. 16390), dans C. Lafleur (dir.), L’enseignement de la philosophie au XIIIe siècle. Autour du « Guide de l’étudiant » du ms. Ripoll 109, Turnhout, 1997, p. 489‑520.
Lafleur 1997b = C. Lafleur, La réglementation « curriculaire » (de forma) dans les introductions à la philosophie et les guides de l’étudiant de la Faculté des arts de Paris au XIIIe siècle : une mise en contexte, dans C. Lafleur (dir.), L’enseignement de la philosophie au XIIIe siècle. Autour du « Guide de l’étudiant » du ms. Ripoll 109, Turnhout, 1997, p. 521‑548.
Lindberg 1970 = D. C. Lindberg, John Peckham and the science of optics. Perspectiva communis. Edited with an introduction, English translation, and critical notes, Madison‑Milwaukee‑Londres, 1970.
Lindberg 1982 = D. C. Lindberg, On the applicability of mathematics to nature: Roger Bacon and his predecessors, dans The British journal for the history of science, vol. 15, n° 1, 1982, p. 3‑25.
Lo Bello 2013 = A. Lo Bello, Albert the Great and Mathematics, dans I. M. Resnick (dir.), A companion to Albert the Great. Theology, Philosophy, and the Sciences, Leyde, 2013, p. 381‑396.
Mariani Canova, 1978 = G. Mariani Canova, Miniature delle’Italia settentrionale nella Fondazione Giorgio Cini, Venise, 1978.
Massi 1981 = M. Massi, The influence of Boethius’ De arithmetica on late medieval mathematics, dans M. Massi (dir.), Boethius and the liberal arts. A collection of essays, Berne‑Francfort‑Las Vegas, 1981, p. 81‑95.
Monego 2012 = L. Monego, Le mariegole latine della sculo di Santa Maria e San Francesco dei mercanti ai Frari, tesi di laurea, Università Ca’Foscari, 2012.
Murdoch 1982 = J. E. Murdoch, William of Ockham and the logic of infinity and continuity, dans N. Kretzmann (dir.), Infinity and continuity in Ancient and Medieval thought, Ithaca, 1982, p. 165‑206.
Murdoch 2009 = J. E. Murdoch, Beyond Aristotle: Indivisibles and infinite divisibility in the later Middle Ages, dans C. Grellard et A. Robert (dir.), Atomism in late medieval philosophy and theology, Leyde‑Boston, 2009, p. 15‑38.
Panti 2014 = C. Panti, Natural continuity and the mathematical proofs against indivisibilism in Roger Bacon’s De celestibus (Communia Naturalium, II), dans P. Bernardini et A. Rodolfi (dir.), Roger Bacon’s Communia Naturalium: a 13th Century philosopher’s workshop, Florence, 2014, p. 159‑190.
Paravicini Bagliani 1975 = A. Paravicini Bagliani, Witelo et la science optique à la cour pontificale de Viterbe (1277), dans Mélanges de l’École française de Rome. Moyen Âge et Temps modernes, 87, 1975, p. 427‑453.
Rashdall 1895 = H. Rashdall, The Universities of Europe in the Middle Ages, vol. I, Oxford, 1895.
Robert 2010 = A. Robert, Atomisme et géométrie à Oxford au XIVe siècle, dans S. Rommevaux (dir.), Mathématiques et connaissance du réel avant Galilée, Montreuil, 2010, p. 15‑85.
Robert 2017 = A. Robert, Atomisme pythagoricien et espace géométrique au Moyen Âge, dans T. Suarez‑Nani, O. Ribordy, A. Petagine (dir.), Lieu, espace, mouvement : physique, métaphysique et cosmologie (XIIe‑XVIe siècles), Turnhout, 2017, p. 181‑206.
Roest 2000 = B. Roest, A History of Franciscan Education (c. 1210‑1517), Leyde‑Boston‑Cologne, 2000.
Rose 1975 = P. L. Rose, The Italian Renaissance of Mathematics. Studies on Humanists and Mathematicians from Petrarcha to Galileo, Genève, 1975.
Sabbadini 1924 = R. Sabbadini, Giovanni da Ravenna, insigne figura d’umanista (1343‑1408), Côme, 1924.
Schabel 2004 = C. Schabel, The Sentences commentary of Geraldus Odonis, OFM, dans Bulletin de philosophie médiévale, 46, 2004, p. 115‑161.
Schabel 2005 = C. Schabel, Haec, Ille. Citation, quotation, and plagiarism in 14th century Scholasticism, dans I. Taifacos (dir.), The origins of European Scholarship, Stuttgart, 2005, p. 163‑175.
Schabel 2009 = C. Schabel, Gerald Odonis on the plurality of worlds, dans Vivarium, 47, 2009, p. 331‑347.
Senocak 2012 = N. Senocak, The Poor and the Perfect. The Rise of Learning in the Franciscan Order (1209‑1310), Ithaca‑Londres, 2012.
Siraisi 1973 = N. Siraisi, Arts and Sciences at the Studium of Padua before 1350, Toronto, 1973.
Spiesser 2003 = M. Spiesser, Les manuels d’arithmétique pour les marchands dans la France du XVe siècle, dans Bulletin de l’APMEP, 444, 2003, p. 32‑50.
Stegmüller 1977 = F. Stegmüller, Repertorium Biblicum Medii Aevi, vol. 9, Madrid, 1977.
Thakkar 2009 = M. Thakkar, Mathematics in Fourteenth‑Century Theology, dans E. Robson et J. Stedall (dir.), The Oxford handbook of the History of Mathematics, Oxford, 2009, p. 619‑638.
Trevisano 1995 = I. Trevisano, I Trevisano, Grugliasco, 1995.
Ulivi 1994 = E. Ulivi, Luca Pacioli, una biografia scientifica, dans E. Giusti et C. Maccagni (dir.), Luca Pacioli e la matematica del Rinascimento, Firenze, 1994, p. 15‑78.
Ulivi 2002 = E. Ulivi, Benedetto da Firenze (1429‑1479), un maestro d’abaco del XV secolo, Florence, 2002.
Ulivi 2015a = E. Ulivi, Masters, questions and challenges in the abacus schools, dans Archive for the history of exact sciences, 69, 2015, p. 651‑670.
Ulivi 2015b = E. Ulivi, Su maestro Grazia dei Castellani teologo e matematico del XIV secolo, dans Bolletino di storia delle scienze matematiche, 35, 2015, p. 111‑144.
Van Egmond 1980 = W. Van Egmond, Practical mathematics in the Italian Renaissance: A catalog of Italian abbacus manuscripts and printed books to 1600, Florence, 1980.
Verger 1978 = J. Verger, Studia et universités, dans Le scuole degli ordini mendicanti (secoli XIII‑XIV), Todi, 1978, p. 175‑203.
Wallace 1959 = W.A., Wallace, The Scientific Methodology of Theodoric of Freiberg, Fribourg, 1959.
Weijers 1995 = O. Weijers, La disputatio à la Faculté des arts de Paris (1200‑1350 environ). Esquisse d’une typologie, Turnhout, 1995.
Weisheipl 1964 = J. A. Weisheipl, Curriculum of the Arts Faculty at Oxford in the Early Fourteenth Century, dans Mediaeval Studies, 26, 1964, p. 143‑165.
Notes de bas de page
1 Garin 1967.
2 Ibid., p. 131 (nous traduisons).
3 Duhem 1984, vol. II.
4 Koyré 1962.
5 Blumenberg 1999.
6 Funkenstein 1995.
7 Paravicini Bagliani 1975.
8 Blaise de Parme 2009.
9 Luca Pacioli 1509, I, 2, f. 2r‑3r.
10 On trouvera une biographie très complète dans Ulivi 1994.
11 Nous empruntons l’expression à David Albertson, qui l’utilise pour d’autres auteurs, en particulier Thierry de Chartres et Nicolas de Cuses. Voir Albertson 2014.
12 Luca Pacioli 1494, dist. VI, tract. III, art. V, f. 67r. Sur la bibliothèque de San Marco, voir Rose 1975, p. 26‑36. Pour la liste des manuscrits mathématiques, voir Björnbo 1903, 1905 et 1911‑1912.
13 Ciocci 2003, p. 23‑24.
14 Le De macrocosmo est contenu dans deux manuscrits : B = ms. Baltimore, Johns Hopkins University, Milton Eisenhower Library, MSB 17A, f. 1r‑104v ; et T = ms. Turin, Museo civico d’arte antica (Palazzo Madama), 931, f. 1r‑86v. Dans les notes suivantes nous désignerons ces manuscrits par les lettres B et T. La seule description de ce texte existante à ce jour se trouve dans Boas 1954, qui ne connaissait à l’époque que le manuscrit B. Toutes les citations du De macrocosmo sont issues de notre travail d’édition critique du texte intégral que nous publierons intégralement sous peu chez l’éditeur Vrin. Nous ne donnons pas ici les variantes et les notes de sources.
15 Hughes 1984.
16 Ulivi 2002, p. 14.
17 Hughes 1982.
18 On trouvera aussi une liste des quodlibeta consacrés à cette question dans Cross 2007, p. 718.
19 Murdoch 1982.
20 Il est notamment l’auteur d’un Liber de geometria nova et compendiosa. Voir Compagno 2014.
21 Lo Bello 2013.
22 Wallace 1959.
23 Cross 1998.
24 Ulivi 2015b.
25 Il commence sa seconde série de quodlibeta en précisant ceci : In secunda disputatione nostra generali proponebantur questiones 27 ; alique questiones pertinentes ad scientiam naturalem seu physicam, alique pertinentes ad doctrinalem seu mathematicam, alique ad harum omnium principalem, scilicet theologiam (Vat. Lat. 932, f. 189ra, cité dans Duba 2007, p. 575). En réalité, seules les questions 10 et 11 abordent les mathématiques.
26 Cross 2007.
27 Le sujet est souvent laissé de côté, y compris dans les ouvrages récents sur les Franciscains et les sciences (voir I Francescani e le scienze, 2012).
28 Les Constitutions générales sont muettes à ce propos et ne font qu’évoquer l’étude des « arts » sans plus de précision.
29 Bianchi 2002.
30 Senocak 2012, p. 216‑217 et 222‑224. Lorenzo di Fonzo semble suggérer que le quadrivium était absorbé dans la rubrique générale de philosophia, mais sans précision sur le contenu de cet enseignement. Voir Di Fonzo 1944.
31 Roest 2000, p. 138‑140. Selon lui (p. 140) : « It is generally assumed that the mendicant schools of philosophy (and in particular the studia generalia philosophiae) more or less followed the besic outlines of the quadriuvium courses in the arts faculties of Bologna, Paris and Oxford » ; et il ajoute « In Franciscan studia philosophiae training in natural philosophy was often straightforward and streamlined […]. »
32 Le quatrième traité du Rudimentum doctrinae de Guibert de Tournai consacre une de ses parties au quadrivium, mais ce traité est malheureusement perdu. Voir la description des chapitres dans Guibert de Tournai 1953, p. 22‑31.
33 Pour une vue d’ensemble de ces inventaires, voir Frioli 2005.
34 Voir la liste des manuscrits franciscains donnée par Humphreys 1990, passim.
35 Hoffmann 1942.
36 Mazzi 1897.
37 Faloci‑Pulignani 1904.
38 Mencherini 1914.
39 Frati 1890.
40 Menestò 1994.
41 Ferrari 1904.
42 Humphreys 1978.
43 Id. 1966 et Hernandez 2014.
44 Voir Cenci 1981, sub voce. Un manuscrit conservé aujourd’hui à Münich (Bayerische Staatsbibliothek, cod. Lat. 23595) mais ayant appartenu au couvent contient à lui seul plusieurs de ces textes. Quant au Tractatus geometrie anonyme, il s’agit du traité souvent désigné par son incipit « Geometrie due sunt partes principales ». Voir Hahn 1982.
45 Voir à ce sujet Grauso 2014, p. 124‑125.
46 Björnbo 1903 ; id. 1905 ; id. 1911‑1912. Voir aussi l’article de M. Husson dans ce volume.
47 Verger 1978.
48 Lafleur 1997a.
49 Beaujouan 1954 et 1997.
50 Lafleur 1997b.
51 Voir à ce sujet les remarques de Delhaye 1969, p. 169.
52 Denifle et Châtelain 1894, p. 143.
53 Le texte est édité dans Lafleur et Carrier 2003. Je remercie Claude Lafleur de m’avoir fait parvenir cette édition.
54 Voir aussi la description dans Lafleur 1997a, p. 506‑520.
55 Voir Kibre 1981.
56 Kibre 1981, p. 74.
57 Massi 1981.
58 Les quaestiones mathematicae de Raoul le Breton sont conservées dans deux manuscrits : Paris, Bnf, Lat. 16609, f. 30ra‑40ra (41ra) et Bruxelles, Bibliothèque Royale, 3540‑47, f. 1r‑32r. On trouvera la liste des questions, ainsi que l’édition de leur prologue, dans Weijers 1995, p. 161‑171. Pour une brève présentation des quaestiones de Raoul le Breton, voir Hentschel et Pickavé 2001.
59 Nous avons pu regarder son commentaire sur la Physique d’Aristote dans le ms. Vatican, BAV, Vat. Lat. 3061, f. 63r‑126v et l’on trouve des intitulés de quaestiones très proches, notamment sur la question du continu (par exemple, f. 61va : Utrum continuum componatur ex indivisibilibus et f. 62ra‑rb : utrum puncta habeant esse in linea).
60 Dell’Anna 1992.
61 Weisheipl 1964.
62 Voir les remarques de Høyrup 2014.
63 Pour un résumé, voir Rashdall 1895, p. 249‑250.
64 Siraisi 1973, notamment p. 67‑72.
65 On en trouvera aussi l’illustration dans Thakkar 2009.
66 Voir Albertson 2016.
67 Voir à ce sujet les remarques de French et Cunningham 1996.
68 Sur l’importance de la famille Trevisano dans la noblesse vénitienne du Trecento, voir Chojnacki 1997. Pour une étude généalogique des différentes branches de la famille, voir Trevisano 1995.
69 À la fin du texte on peut en effet lire la note suivante (ms. B, f. 104v) : Adverte quisque presens opus inspexerit quod dominus Marcus Trivisano de contrata Sancti Martialis Venetiarum huiusmet operis auctor quippe Aurelius id ipsum non complevit, morte preventus, anno Domini millesimo trigentesimo septuagesimo octavo, cuius animam Jesu Christo feliciter commendare dignetur quicumque in eo legerit. Amen. Pour des raisons chronologiques évidentes, le fils de Marco, Ludovico Trevisano, ne peut être le célèbre cardinal éponyme du XVe siècle, né en 1401.
70 Quelques images du ms. B sont visibles sur le site suivant : http://ds.lib.berkeley.edu/MSB17A_33 (consulté en janvier 2019). Les enluminures des deux manuscrits sont assez semblables, toutes deux d’origine vénitienne et du XVe siècle. Celle du ms. B (f. 2r) a été réalisée par le célèbre enlumineur Cristoforo Cortese, celle du ms. T (f. 3r), un peu plus tardive, provient probablement des enlumineurs qui officient notamment au monastère du Corpus Domini. Je tiens à remercier chaleureusement Giordana Mariani Canova pour son aide dans l’étude de ces enluminures.
71 Ces éléments de datation ont été repérés par George Boas (Boas 1954).
72 Pour la biographie de Grégoire de Rimini, on peut se reporter à la synthèse de Pascale Bermon (Bermon 2007, p. 16‑26).
73 Gargan 1972, p. 224.
74 Bermon 2001, p. 270.
75 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 26v ; T. f. 26r.
76 Il n’apparaît pas, en tout cas, parmi les lecteurs en mathématiques recensés dans Favaro 1922.
77 Notons au passage que Giovanni Conversini a été formé par son oncle franciscain Tommaso del Frignano. Voir Kohl 1983.
78 Kohl – Day 1974, p. 14.
79 Ms. Venise, Fondazione Querini Stampalia, Cl. IX, Codice 11 (MSS 1006), [ff 58v‑64v] f. 61ra : Porro iudicantes ex siderum observationibus actus humanos eaque ut rerum nostrarum fatum dicentes minime suaserint facile ut eorum discipulus fiam, licet indignum me dixerint et quidem quin nuper veneciis coram pathavino nostro et domino M. Trevisano huius studii indagatori solertissimo hanc partem segregare esse debere contendi, non mea auctoritate, que nulla extat […]. Sur ce texte, voir Kohl 1975, p. 354 et Sabbadini 1924, p. 200. Sabbadini identifie clairement ce Marco Trevisano à l’auteur du De macrocosmo (p. 40).
80 Ms. Paris, BnF, Lat. 573, f. 138v (cité dans Ulivi 2015a, p. 658) : Questa quistione mandò a Firenze Marcho Trevigiano nel 1372.
81 Ms. BnF, Lat. 573, f. 138r‑138v (cité dans Ulivi 2015a, p. 658) : Credesi, per gli astrologhi, la Terra girare 20400; dove adunque 2 huomini si partono, et l’uno va inverso levante et l’altro inverso ponente, et muovonsi da uno punto solamente. Et l’uno va, il primo dì un miglio, e il sechondo 2 miglia, e il terzo dì 3 miglia, e chosì ogni dì il primo va più un miglio che ‘l dì passato. E il sechondo huomo va, il primo dì uno miglio, il sechondo dì 8 miglia, et chosì ogni dì va il seguente numero chubo, cioè il terzo dì 27 miglia et il quarto dì 64 miglia. Adimandasi in quanti dì si schonterranno insieme.
82 Ulivi 2015a.
83 Comme l’a bien montré Antonella Barzazi pour le XVIe siècle (Barzazi 2013), les ordres mendiants jouèrent un rôle de premier plan dans la formation intellectuelle du patriciat vénitien. Il est certain que de tels liens existaient déjà au XIVe siècle.
84 Monego 2012, p. 69 et 87.
85 Le nom de Cristoforo Cortese apparaît dans la Mariegola della Scuola di Santa Maria della Misericordia e San Francesco ai Frari (ms. Venise, Fondazione Cini, inv. 2503, f. 16r), qui date des années 1406‑1408. Voir Mariani Canova, 1978, p. 67. Rappelons, en outre, que son œuvre la plus connue est une représentation des funérailles de saint François (Ms. Paris, Musée Marmottan, Collection Wildenstein, inv. 6076).
86 Voir King 1989, vol. II, p. 51.
87 Cenci 1962, p. 141.
88 Ibid., p. 145 ; id. 1965, p. 462, note 180.
89 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 1r ; T, f. 2r : Cuilibet elevato intellectui rerum ordinem speculanti luce clarius innotescit universam mundi machinam consistere in numero, magnitudine atque tempore, quod auctoritate Salomonis autentice roboratur dicentis Sapientie 11° capitulo : Omnia disposuisti domine in numero, pondere et mensura. Et licet hec auctoritas a diversis diversimode exponatur, et eius sit multiplex intellectus, verumtamen per numerum eciam ipsam unitatem intelligo, quoniam et ipsius numeri unitas est principium, ut inferius ex utriusque diffinicione patebit, et numerus intelligi nequaquam potest si unitas constitutiva eius prius non fuerit intellecta. Per pondus magnitudinem volo ad presens propositum denotari, quoniam pondus et magnitudo tanta sunt vicinitate propinqua, ut nichil habens magnitudinem esse potest absque pondere, nec econtra, accipiendo pondus ut accipit beatus doctor et egregius Augustinus, secundum quod unumquodque per pondus ad stabilitatem trahitur, ut quiescat in suo loco. Nichil enim absque magnitudine locari postest proprie, ut patet, nec absque pondere sic accepto. Per mensuram vero volo tempus intelligi. Est enim tempus, ut quarto Physicorum Aristoteles dixit, mensura motus secundum prius et posterius.
90 Marco Trevisano, De macrocosmo, mss. B, f. 1r‑1v ; T, f. 2r : In quarta vero parte, occasione illius verbi ‘omnia fecisti Domine’, quod idem est quod ‘omnia creasti’, pertractabo utrum sit aliquo modo suadibile vel probabile mundum universum habuisse creacionis principium, et ista quarta speculacio se extendet ad perscrutandum pro modulo capacitatis de condicionibus creatoris et primi opificis omnium secundum quod in ipso omnia recunduntur velut in arte prima. Ex ipso quia secundum Apostolum : « per ipsum et in ipso sunt omnia », in quibus satis innuitur increate racio trinitatis. Protendetur eciam huius partis speculacio ad <h>exameron, id est opera sex dierum in quibus Deus gloriosus rerum primum principium cuncta suis ordinibus constituit et distinxit. Ex quibus satis liquet quod nomen sibi vendicat liber iste, quoniam cum de prima causa que est Deus de omnique manerie creabilis entitatis in eo tractetur [B f. 1v], et ex hiis nulli est dubium sapienti maiorem mundum constitui, qui Grece macrocosmos dicitur, librum de macrocosmo, id est de maiori mundo, libuit appellare.
91 Voir les belles analyses de Imbach – König‑Pralong 2013.
92 Marco Trevisano, De macrocosmo, mss. B, f. 1v ; T, f. 2r‑v : Sed tam alta et profunda speculacio est alcioris indaginis intellectus quam ego Marcus Trivisano Venetus in eis [T f. 2v] auctor operis me esse cognoscam, qui ut verum fatear me ydiotam confiteor et ignarum tam scientie quam vocabulorum pauperie que apta huiusmodi facultati vix potuerunt a sapientibus inveniri. Non tamen tractare desistam que promisi in creatoris omnium visibilium et invisibilium gracia inspirante confisus qui ut pulcre ad Orosium deducit doctor egregius Augustinus est ‘numerus sine numero, pondus sine pondere et mensura sine mensura’, existimans ex laboribus huic operi impendendis non solum tibi fili mi dilectissime Ludovice, utinam benedicte, fructum uberem profuturum, sed multorum altissimis ingeniis prebere materiam speculandi proveniendique ad apicem altissime veritatis.
93 Marco Trevisano, De macrocosmo, mss. B, f. 1v ; T, f. 2v : Et presertim cum multa sint in hoc opere determinanda difformiter intellectibus precessorum, vidi quam plurimos peritos in dyalecticis, physicis et theologycis disciplinis, mathematicas tamen sciencias et pre ceteris arismeticam ignorantes, ac si a natura fuisset eis hanc scire totaliter denegatam. Cum itaque de mathematicis et singulariter de arismetica tractatus occurret huiuismodi conclusiones clarissime planissimeque in quantum michi erit concessa a Christo facultas tractare propono. Est enim arismetica ipsa utilissima sciencia ad veritates quaslibet cognoscendas, tam supernaturales et divinas quam naturales et creatas. Et ideo ipsa tamquam fons et radix omnium aliarum constituitur in medio tamquam centrum.
94 Boèce 1995, I, 1, 7, p. 8. Sur cette tradition latine, voir Albertson 2014.
95 Ibid., I, 1, 1, p. 5.
96 Ibid., I, 2, 2, p. 11.
97 Par exemple, Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 8v ; T, f. 9v : Quoniam nos hic Platonici ac Pitagorici quodammodo esse volumus, non omnem viam eorum sequentes ou encore B, f. 33v ; T, f. 34v : Nos vero credimus quod posicio Pitagore fuerit alia et bona, bene intellecta in quantum pertinet ad posicionem principii materialis. Ailleurs il ajoute « ses propres arguments pythagoriciens » (B, f. 5r ; T, f. 6r).
98 Sur l’importance des nombres dans l’exégèse du récit de la Création, outre le De ordine et le De musica, voir Augustin 1972, IV, iii, 7 – vi, 2, p. 289‑297.
99 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 1v ; T, f. 2v : Si autem in parte aliqua huius operis dicerem minus apte paupertatis vocabulorum et scientie, ut commemoravi superius, confessio me excuset. Casso denique annullo et ex nunc habeo pro non dicto unumquodque quod per me minus bene aut non vere dici contingeret submittens opus et opificem determinacioni et correccioni sacrosancte romane ecclesie omniumque aliorum quorum interest talia corrigere et errantes ad viam reducere catholice veritatis. Si autem quidquam utile vel accomodum in hoc opere invenerint studiosi non michi attribuant sed ignoscant et gracias referant bonorum omnium largitori.
100 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 2r ; T, f. 3r : De divisione et composicione continui hoc in primo volumine indaginem faciemus. Quesituri an sit divisibile in semper divisibilia aut tandem deveniatur ad ultimum minimum atque indivisibile. Prius tamen, ut hec consideracio sit evidencior, erit a nobis investigandum de unitatis quidditate in quantum illa est ens sive punctum in continuo. Postea ad dubitacionem propositam redibimus arguentes utramque partem questionis, determinando quodlibet continuum ex unitatibus componi neque in infinitum dividi, prout plurima Perypateticorum turba opinata est […].
101 Hormis Blaise de Parme et Prosdocimo Beldomandi, les sources citées par Marco Trevisano sont à peu près les mêmes que celles citées par Luca Pacioli dans sa Summa de arithmetica.
102 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 9r ; T, f. 10r : Quod si per nos ex premissis demonstratum sit quod unitas sit numerus et primus omnium, primus linealis et primus generans et primus quadratus ac superficialis ac primus generatus, primus cubus et corporalis ac primus productus et regularis, impar, perfectus, progressivus, indivisibilis, irrarefactibilis, ex quo materia omnium corporalium encium constat, manifestum utique erit ex dictis quod unitas est primum principium materiale omnium encium corporalium, ex quo velut a primo tota massa materie componitur.
103 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 10v‑11r ; T, f. 11v : Ex his omnibus evidenter affirmare possumus quod unitas que solo inter numeros omnem perfeccionem includit, cum sit centrum omnium magnitudinum imparium regularium, nam est primus linealis, et per consequens generans, est quadratus primus, et per consequens generatus, est cubus primus, et per consequens productus [B f. 11r], profecto gerit similitudinem primi creatoris, habet utique conformitatem maximam cum trinitate, que est una essencia, persone vero tres. Ex qua unitate, prout dictum est, componitur tota natura corporalis creata que est una essencia, perfecciones vero tres […] Quod Boecius in primo seu principio sue Arismetice inspiciens sic dicebat : ‘Omnia quecumque a primeva rerum natura increata scilicet constructa sunt numerorum videntur racione formata. Hec enim, scilicet ydea vel racio numerorum, fuit principale in animo conditoris exemplar’.
104 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 2r ; T, f. 3r.
105 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 2v ; T, f. 3v : Unitas utique est numerus numeratus, simplex, principium omnium encium corporalium per se, minimum indivisibile secundum continuum, qua racione quantitatis non potest esse minor neque maior racione raritatis, distinguibilis tamen secundum differencias situales.
106 Cette manière de présenter le rapport entre unité et point est assez commune chez les théologiens franciscains. Voir Robert 2010 et 2017.
107 Voir Boèce 1995, II, 4, 9, p. 91.
108 Chez Aristote, le discret et le continu s’opposent irrémédiablement. C’est précisément la nouveauté de l’atomisme mathématique médiéval d’avoir essayé de penser le continu comme composé d’entités discrètes indivisibles sans espace ou vide entre elles, contrairement à l’atomisme antique.
109 Je remercie Sabine Rommevaux d’avoir attiré mon attention sur ce point.
110 Bonaventure 1889, IV, d. 1, p. 2, a. 1, q. 3, p. 35‑36.
111 Il serait trop long de détailler ici ce point, mais la nouveauté de l’analyse proposée par Marco Trevisano tient au fait qu’il conçoit le rapport entre parties et tout sur le mode de la multiplication et non seulement de l’addition. C’est en se multipliant que l’unité engendre des grandeurs, de même que c’est en passant à la puissance supérieure, au carré et au cube, qu’elle engendre de nouvelles dimensions.
112 Voir la liste dans Peckham 1985, p. 21‑26.
113 Voir à ce sujet les remarques dans Lindberg 1970, p. 10‑11 et 24‑29.
114 Voir les textes cités par Kibre 1981, p. 75‑77.
115 Sur Roger Bacon, voir Lindberg 1982.
116 Roger Bacon refuse quant à lui cet atomisme. Voir Panti 2014.
117 Peckham 1972, p. 23.
118 Peckham 1972, p. 24 : Sciendum igitur quod geometria considerat lineam in quantum est mathematica, sed perspectiva lineam considerat non tantum in quantum mathematica sed in quantum naturalis. Unde habet pro subiecto lineam radiosam et geometriae quantum ad hoc subaltenatur, sed magis physicae quia magis est naturalis quam mathematica.
119 Peckham 1989, p. 20‑23 : Quodlibet, I, q. 7 : Utrum esse luminis sit in continuo fieri aut habeat esse manens.
120 Voir l’introduction dans Peckham 1985.
121 On notera au passage que le titre donné par l’éditeur – celui‑ci varie selon les manuscrits – n’est pas sans rappelé le De numeris mysticis Sacrae Scripturae d’Hughes de Saint Victor.
122 C’est aussi le cas dans le Repertorium Biblicum Medii Aevi de Friedrich Stegmüller (voir Stegmüller 1977, p. 222).
123 Peckham 1985, p. 333 : Omnia Domine Ihesu teste Sapientia numero et mensura et pondere disposuisti. Omnia secundum Augustinum numeris respersisti, quia etiam per numeros incommutabiles omnia condidisti. Tua insuper misteria in Scripturis Sanctis sub numerorum velaminibus tradidisti. Ideo de numeris tradam simplicibus que me simplicem docuisti.
124 On remarquera que l’astronomie a disparu de ce nouveau quadrivium au profit de la métaphysique et que, étrangement, la perspectiva n’y est pas mentionnée.
125 Peckham 1985, p. 334‑335 : Non differunt numerus mathematicus et numerus naturalis qui dicitur numeratus, nisi sicut corpus mathematicum et corpus naturale. Dixerunt aliqui etenim punctum cuius pars non est et lineam cuius non est latitudo et superficiem cuius non est profundum in rerum natura non esse, sed tantum in ymaginatione secundum quod huiusmodi. Sed horum error per hoc patet quia et corpus si est finitum terminatur non ad corpus, quia sic iretur in infinitum, ergo ad superficiem ; item, superficies terminatur non ad superficiem eadem ratione, ergo ad lineam carentem omni latitudine ; similiter et linea si non est infinita, terminatur ad punctum penitus indivisibile. Ergo in omni corpore naturali habente superficies diversas, omnia ista sunt in acto suo existentia secundum essentiam et diffinitionem mathematicam, habente inquam superficies diversas. Quoniam spera habet tantum unam superficiem et ideo nec punctum nec lineam in actu. Sic igitur omnes res mathematice sunt in ipsis rebus naturalibus.
126 Voir Robert Grosseteste 2011 (notamment l’introduction et les commentaires de Cecilia Panti). Pour une mise en contexte de son atomisme, voir Robert 2017.
127 Murdoch et Synan, 1966.
128 De Boer 1999.
129 Voir Grellard 2004.
130 Pour une présentation générale des protagonistes de ce débat au XIVe siècle, voir Murdoch 2009.
131 Celeyrette 2009.
132 Murdoch 2009.
133 Voir Murdoch et Synan 1966.
134 Johannes Gedeonis, Tractatus de continuo, ms. Vat. Lat. 3092, f. 113va‑124rb.
135 Pour une biographie plus complète, voir Duba – Schabel 2009.
136 Sur ces commentaires, voir Schabel 2004.
137 Schabel 2009.
138 Bakker – De Boer 2009.
139 Bakker 2003.
140 De Boer 2012.
141 Cette quaestio est aujourd’hui conservée dans quatre manucrits : Sarnano, Biblioteca Comunale, E.98, f. 102v‑107v ; Valencia, Biblioteca de la Catedral, 139, f. 120r‑125v ; Napoli, Biblioteca Nazionale, VII.B.25, f. 234v‑244v ; (sous forme fragmentaire) Madrid, Biblioteca Nacional, 65, f. 185r et 205v.
142 De Boer 2009.
143 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 14r‑v ; T, f. 14v.
144 Ibid., B, f. 14v‑15r ; T, f. 15r‑v.
145 Ibid., B, f. 15v‑16r ; T, f. 15v‑16r.
146 Ibid., B, f. 16r ; T, f. 16r.
147 Ibid., B, f. 16r‑17r ; T, 16r‑17v.
148 Brinzei 2011.
149 Schabel 2005.
150 Voir, par exemple, Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 18v ; T, f. 19r : Ex hiis sequuntur 3 corollaria quorum duo explicite sunt contra Geraldum et sequentes, negantes lineam compositam ex paribus. ; B, f. 22v ; T. f. 22v : Et tunc ad secundam rationem Algazelis cum dicebatur capiamus unam magnitudinem compositam ex 7 indivisibilibus etc. Ad hoc respondet Geraldus dicens quod illa duo mobilia occurrunt sibi in medio et hoc est quando unum ipsorum tangit anterius et aliud posterius. Sed ista responsio non videtur bona, quia non vadit ad difficultatem […] ; B, f. 23r ; T, f. 23r : Ad istam frater Geraldus respondet […] Ista responsio […] sic dupliciter deficit, primo quidem quia non videtur forte intelligere opinionem antiquorum ; ibid. : Hic respondet dictus magister Geraldus; quod ista ratio multipliciter deficit […].
151 Marco Trevisano, De macrocosmo, B, f. 26v ; T, f. 26r‑v : Non autem miretur aliquis, si nos doctorem, cuius opinionem sequimur atque imitamur et nostrum utique familiarem et amicum interdum improbare presumpsimus. Videtur utique facinus insolentie amicantium facta destruere. Non est autem ita. Quoniam hic veritatis investigatio indagatur, que si taceatur, ob talem inanitatis reverentiam, aut propter negligentiam, et precipue in eo negotio, ubi falsitas magnam obtinuit probabilitatem, maxima iactura posteris est. Etiam si ipse familiaris dilectus a nobis, cuius positionem veluti verissimam imitamur, vivens existeret, et talia audiret, huiusmodi quidem honoris exhibitionem parvipenderet, ut veri excellentia salvaretur. Quare profecto quidem Aristoteles bene ambobus enim amicis existentibus, sanctum est prehonorare veritatem. Sic erat et Platonis consuetudo dicere : Amicus est Socrates sed plus amica veritas.
152 Davy 1931, p. 340‑341, cité et corrigé dans Mulchahey 1998, p. 227 : Sunt enim qui bene linguam spiritualem didicerunt, id est theologiam, sed tamen in ea barbarizant, eam per philosophiam corrumpentes. Qui enim metaphysicam didicit semper vult in sacra Scriptura metaphysice procedere. Similiter qui geometriam didicit semper loquitur de punctis et lineis in theologia. Item spargunt pulverem in lucem […].
153 On trouvera des remarques très éclairantes à ce sujet dans König‑Pralong 2011.
154 On peut se faire une idée de la technicité des mathématiques enseignées dans ces écoles grâce à la synthèse sur les manuels d’arithmétiques utilisés par les marchands, dans Spiesser 2003. Pour l’Italie, voir Arrighi 2004. Voir par ailleurs le nombre considérable de traités produits en Italie dans Van Egmond 1980.
Auteur
Le texte seul est utilisable sous licence Licence OpenEdition Books. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.
Le Thermalisme en Toscane à la fin du Moyen Âge
Les bains siennois de la fin du XIIIe siècle au début du XVIe siècle
Didier Boisseuil
2002
Rome et la Révolution française
La théologie politique et la politique du Saint-Siège devant la Révolution française (1789-1799)
Gérard Pelletier
2004
Sainte-Marie-Majeure
Une basilique de Rome dans l’histoire de la ville et de son église (Ve-XIIIe siècle)
Victor Saxer
2001
Offices et papauté (XIVe-XVIIe siècle)
Charges, hommes, destins
Armand Jamme et Olivier Poncet (dir.)
2005
La politique au naturel
Comportement des hommes politiques et représentations publiques en France et en Italie du XIXe au XXIe siècle
Fabrice D’Almeida
2007
La Réforme en France et en Italie
Contacts, comparaisons et contrastes
Philip Benedict, Silvana Seidel Menchi et Alain Tallon (dir.)
2007
Pratiques sociales et politiques judiciaires dans les villes de l’Occident à la fin du Moyen Âge
Jacques Chiffoleau, Claude Gauvard et Andrea Zorzi (dir.)
2007
Souverain et pontife
Recherches prosopographiques sur la Curie Romaine à l’âge de la Restauration (1814-1846)
Philippe Bountry
2002