Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Monge

Dixième leçon*

1er floréal / 20 avril (?)

Texte intégral

  • * Leçon publiée par Brisson en 1820.

1[132.] Après avoir exposé les principes généraux à l’aide desquels on résout les différentes questions qu’embrasse la géométrie descriptive, il est convenable d’en faire connaître quelques applications. Nous nous proposons de nous occuper d’abord de la détermination des ombres dans les dessins, et ensuite de la perspective.

2Dans une école destinée à répandre les méthodes de la géométrie descriptive, il serait convenable que les élèves commençassent les applications de ces méthodes par l’étude de la coupe des pierres et de la charpente. La correction rigoureuse des épures que comporte ce genre de recherches accoutume l’esprit et la main à plus de précision ; les problèmes qui se présentent sont plus variés en général et offrent plus d’exercice à la sagacité. Mais, dans un cours spécialement consacré à la géométrie descriptive proprement dite, il est naturel de prendre pour premier objet d’application la théorie des ombres qui doit être regardée comme le complément de cette science.

3On a dit que la géométrie descriptive doit être envisagée sous deux points de vue. Sous le premier, on la considère comme un moyen de recherche pour arriver, avec précision, à des résultats dont on a besoin ; et c’est ainsi que l’emploient la coupe des pierres et la charpente. Sous le second, elle est simplement un moyen de représenter les objets ; et dans ce cas, la détermination des ombres est pour elle un auxiliaire avantageux.

4Les personnes qui sont au courant des méthodes de cette science savent qu’une projection seule ne suffit pas pour définir un objet ; qu’il faut nécessairement deux projections, parce qu’il y a toujours sur un plan une des dimensions qui manque, mais qu’au moyen de deux projections, les trois dimensions se trouvent déterminées. Lors donc que l’on considère la description d’un objet faite complètement au moyen de ses deux projections, on doit comparer la projection horizontale avec la projection verticale ; et c’est de cette perpétuelle comparaison que l’on déduit la connaissance de la forme de l’objet proposé.

  • 1 L’utilisation des ombres propres et portées pour faciliter la lecture des dessins en double projec (...)

5Quoique la méthode des projections soit facile et qu’elle ne soit pas dépourvue d’un genre particulier d’élégance, cependant cette obligation de comparer sans cesse deux projections l’une à l’autre est une fatigue qu’on peut diminuer considérablement par l’indication des ombres1.

6Supposons en effet que l’on ait une projection horizontale, comprenant toutes les dimensions en longueur et en largeur, mais qui ne détermine en rien les dimensions en hauteur ; si l’on admet que les corps soient éclairés d’une manière bien connue (et il convient d’adopter en général la manière la plus naturelle, celle avec laquelle nous sommes le plus familiarisés) par des rayons de lumière parallèles entre eux, par exemple, ces corps vont porter ombre les uns sur les autres et sur le plan horizontal au-dessus duquel ils sont placés ; et, par le moyen de l’étendue des ombres et de leurs formes, on jugera immédiatement des dimensions verticales. Ainsi, la direction des rayons de lumière étant connue, on n’a pas besoin de deux projections : une seule, avec le tracé des ombres, donnera une idée complète de l’objet que l’on considère ; et si l’on a la projection horizontale et la projection verticale, l’une et l’autre avec les ombres construites, ces deux projections seront plus aisées à lire et montreront plus facilement l’objet que si l’on n’avait que les projections nues et sans ombres.

7Ainsi, pour tous les arts où il s’agit de représenter des objets, où la géométrie descriptive n’est pas employée comme moyen de recherche mais d’exposition, la détermination des ombres est avantageuse et rend plus parfaite la représentation que l’on se propose de tracer.

8La détermination des ombres comprend deux parties distinctes : l’une est la description graphique du contour des ombres, l’autre est la recherche de l’intensité des teintes à attribuer à chaque partie des surfaces qui reçoivent ces ombres.

9Nous nous occuperons d’abord de la première partie, de celle qui est relative à la description graphique.

De la description graphique des ombres

10[133.] La théorie des ombres est entièrement fondée sur un phénomène que tout le monde connaît, c’est que la lumière se propage en ligne droite. Nous sommes si accoutumés à cette proposition, que toutes les fois qu’on cherche à vérifier si une ligne est droite, on la compare à un rayon de lumière. Veut-on s’assurer qu’une règle est droite, on la compare, dans toute sa longueur, avec le rayon de lumière passant par ses deux extrémités ; cherche-t-on à savoir si une rangée d’arbres est alignée, on se place de manière que le rayon de lumière qui vient d’une extrémité de cette rangée jusqu’à l’œil passe le long des arbres, et si tous sont placés exactement le long de ce rayon, on reconnaît qu’ils sont parfaitement alignés.

11Nous admettons donc, comme principe, que la lumière se répand en ligne droite. Il faut cependant observer que cette proposition n’est rigoureusement vraie que quand le milieu dans lequel la lumière se meut est d’une densité uniforme ; mais dans les applications aux arts que nous avons ici uniquement en vue, on a rarement besoin de considérer les rayons de lumière comme prolongés à une grande distance et traversant des milieux de densités sensiblement différentes : il nous sera donc permis de supposer les milieux uniformes, et les rayons de lumière rigoureusement en ligne droite.

12Nous distinguerons deux cas : celui où l’espace est éclairé par un point lumineux unique et celui où il est éclairé par un corps lumineux de dimensions finies, et nous considérerons d’abord le premier cas.

13Le point lumineux lance dans tous les sens des rayons de lumière dont l’ensemble occupe entièrement l’espace si aucun corps ne s’offre pour les arrêter dans leur direction. Il n’en sera pas de même s’il se trouve un corps opaque, c’est-à-dire qui ne soit pas pénétrable aux rayons de la lumière, qui les arrête ou les réfléchisse en tout ou en partie : les rayons qui ne le rencontreront pas continueront de se répandre dans l’espace ; mais ceux sur la direction desquels il est placé seront arrêtés et ne s’étendront pas dans la partie de l’espace qui est au-delà et qui, par l’interposition du corps, sera ainsi privée de lumière.

14Concevez une surface conique ayant son sommet au point lumineux et enveloppant le corps opaque, et supposez-la prolongée indéfiniment ; elle sera, au-delà du corps opaque, la limite de la partie de l’espace dans laquelle pénètrent les rayons envoyés par le point lumineux, et de celle où il ne saurait en arriver aucun. Cette dernière partie, privée de lumière par l’interposition du corps opaque, est ce qu’on appelle l’ombre de ce corps ; telle est du moins la définition de ce qu’on entend par le mot ombre, lorsqu’en parlant d’une éclipse de Lune, par exemple, on dit que la lune entre dans l’ombre de la Terre. Le Soleil est le corps lumineux duquel les rayons partent et se répandent dans toutes les directions ; la Terre est le corps opaque qui intercepte une portion de ces rayons, et, derrière elle, par rapport au Soleil, il se trouve une partie de l’espace privée de lumière. Tant que la Lune est hors de cette partie, elle est éclairée et renvoie de la lumière, elle est visible, mais, du moment qu’elle y entre, elle ne reçoit plus de lumière, n’en renvoie plus et devient invisible.

15Dans le langage ordinaire toutefois, ce n’est pas là ce qu’on entend le plus souvent par le mot ombre, lorsque, par exemple, en se promenant au Soleil on remarque que les ombres sont courtes à midi. Dans cette acception, l’ombre n’est point l’espace privé de lumière par l’interposition d’un corps qui arrête une partie des rayons lancés par le point lumineux, mais c’est la projection de cet espace sur la surface qui la reçoit ; c’est dans ce dernier sens que nous emploierons habituellement ce mot.

  • 2 C’est le cas dit de l’ombre au Soleil, où le point lumineux est renvoyé à l’infini.

16Supposons que le point lumineux soit à une distance infinie, les rayons de lumière qui viendront de là jusqu’à nous seront parallèles entre eux, à peu près comme nous le paraissent ceux du Soleil2. Dans cette hypothèse, à laquelle nous nous arrêterons d’abord, on peut considérer deux cas : celui dans lequel le corps opaque qui porte ombre est terminé par des surfaces planes, et par conséquent par des arêtes rectilignes et par des sommets d’angles solides, et celui où il est terminé par des surfaces arrondies. Nous commencerons par nous occuper du premier qui est extrêmement simple.

17Si le corps qui reçoit la lumière et qui porte ombre est terminé par des faces planes, on conçoit aisément qu’une partie de ces faces est éclairée, que l’autre est obscure et que la ligne qui, sur ce corps, sépare la partie éclairée de celle qui ne l’est pas est formée par l’ensemble des arêtes rectilignes d’intersection des faces obscures et des faces éclairées ; cette ligne est facile à trouver et c’est elle qui détermine le contour de l’ombre cherchée. Si l’on conçoit que le corps opaque vienne à disparaître, mais que cette même ligne continue de subsister et qu’on lui suppose une épaisseur sensible, l’ombre de cette ligne, tracée sur la surface qui doit la recevoir, sera le contour de l’ombre du corps. On voit que, dans le cas que nous considérons, le problème se réduit à trouver l’ombre de certaines lignes droites connues de position.

  • 3 Édition de 1820 : « fig. 50 ». La numérotation des quatre dernières figures est décalée d’un numér (...)

18Pour fixer les idées et rendre ce qui précède plus sensible, supposons que le corps qui porte ombre soit le parallélépipède ABCDabcd (Pl. XXV, fig. 513), que la direction des rayons de lumière parallèles entre eux soit indiquée par Ll, et que le plan MN soit la surface qui doit recevoir l’ombre. On juge immédiatement, d’après la direction des rayons de lumière, que les faces ABCD, ABab, ADad, sont éclairées, et que les faces DCdc, CBcb ne le sont pas ; que les arêtes DC, CB, Bb, ba, ad et dD sont les limites de la partie éclairée et de la partie obscure. Les ombres D'C, CB', B'b', b'a', a'd' et d'D' de ces six arêtes sur le plan MN forment le contour ou les limites de l’ombre du parallélépipède ; les ombres des six autres arêtes, tombant dans l’intérieur de l’aire enveloppée par ce contour, sont confondues dans l’ombre totale du corps proposé.

19En général, quand il s’agit de corps terminés par des surfaces planes, les arêtes limites ou qui séparent les faces éclairées des faces obscures se distinguent immédiatement ou sont faciles à déterminer ; et plus tard nous indiquerons un moyen simple de les reconnaître sûrement, si dans quelques circonstances leur position pouvait laisser de l’incertitude. La question se borne donc, comme nous l’avons déjà dit, à trouver l’ombre d’un certain assemblage de lignes droites connues de position.

20Cherchons en premier lieu l’ombre d’une de ces droites. Nous observerons que le corps qui porte ombre étant connu de forme et de position par rapport aux plans de projection, les arêtes qui terminent ses faces sont également connues par rapport à ces mêmes plans, c’est-à-dire qu’on a ou qu’on peut trouver leurs projections horizontales et verticales. Supposons que l’objet lumineux soit un point unique placé à une distance infinie ; la direction des rayons de lumière, dans ce cas, sera donnée par la projection horizontale et verticale d’une ligne droite à laquelle ils devront tous être parallèles. Les rayons de lumière qui rencontrent la droite dont nous cherchons à déterminer l’ombre forment un plan dont la position, par rapport aux plans de projection, résulte de la condition de passer par la droite proposée et d’être parallèle à la direction de la lumière. Ce plan, prolongé, contient évidemment l’ombre de la droite ; ou, si l’on considère le corps dont cette droite est une des arêtes, il sépare la partie éclairée de l’espace de celle que l’interposition de ce corps prive de lumière. Ce même plan va rencontrer la surface sur laquelle l’ombre est reçue, suivant une certaine ligne qui est l’ombre portée par la droite sur cette surface, ou qui appartient au contour de l’ombre du corps proposé. La surface étant connue et déterminée par rapport aux plans de projection, on pourra toujours construire son intersection avec le plan que nous avons conçu et parvenir ainsi à connaître complètement cette partie du contour de l’ombre cherchée.

21Ce que l’on aura fait pour une première arête du corps qui porte ombre, on le fera pour une seconde, pour une troisième, et enfin pour toutes celles dont l’assemblage forme, sur ce corps, la séparation des faces éclairées des faces obscures.

22Si le point lumineux était à une distance finie, la solution précédente serait encore applicable en y apportant une légère modification. Les rayons de lumière partant de ce point dont on doit connaître les projections et dirigés vers la première des arêtes qu’on a considérées, formeront également un plan déterminé dans l’espace ou par rapport aux plans de projection, par la condition de passer par cette droite et par le point lumineux ; et les raisonnements que nous avons faits tout à l’heure, relativement au plan qui, dans la première hypothèse, contenait les rayons de lumière parallèles, se répéteront pour celui qui contient les mêmes rayons, lorsqu’ils partent d’un point placé à une distance finie.

23On voit que ces recherches ne sont que de simples applications des méthodes de la géométrie descriptive. Reconnaître, sur le corps qui porte ombre, les arêtes qui séparent la partie éclairée de la partie obscure ; par ces arêtes, faire passer des plans qui soient parallèles à la direction des rayons de lumière ou qui contiennent le point lumineux s’il n’est pas à une distance infinie et construire les intersections de ces plans avec la surface qui doit recevoir l’ombre : dans le cas qui nous occupe, telle est toute la solution.

24Nous avons dit que la distinction des arêtes limites dont les ombres circonscrivent l’ombre propre du corps est en général facile à faire ; et en effet, il suffit pour cela de chercher indistinctement les ombres de toutes les arêtes : celles d’entre elles qui entreront dans l’intérieur du polygone formant le contour de l’ombre du corps ne peuvent appartenir aux arêtes limites. Ainsi, dans la figure 51, les ombres b'c', d'c', Ce', A'a', A'D', A'B', des arêtes bc, dc, Cc, Aa, AD, AB, n’appartiennent à aucune des arêtes limites, puisqu’elles entrent dans l’intérieur du polygone a'b'B'C'D'd'.

25Mais on peut avec moins de travail reconnaître si de deux faces planes d’un corps, l’une est éclairée et l’autre obscure, ou si elles sont toutes deux obscures, ou toutes deux éclairées, et par conséquent si leur intersection est une arête limite ou non. En effet, par un point quelconque de cette intersection, imaginons un rayon de lumière ; si des deux faces l’une est éclairée et l’autre obscure, ce rayon de lumière prolongé les laissera toutes deux du même côté ; mais, si elles sont l’une et l’autre éclairées ou l’une et l’autre obscures, il passera entre elles deux. Cela posé, les deux faces planes que nous considérons appartiennent à deux plans donnés de position dans l’espace, et dont par conséquent on peut construire les traces sur les plans de projection, ainsi que les projections horizontale et verticale de leur intersection ; que par un point quelconque de cette intersection, on fasse passer une ligne parallèle à la direction de la lumière et que l’on construise ses deux points de rencontre avec les plans de projection ; si ces deux points sont en dehors des traces des plans proposés, le rayon de lumière ne passe pas entre les deux plans, et l’un est éclairé et l’autre ne l’est pas ; si l’un des points ou tous les deux se trouvent en dedans des traces, on en conclura que le rayon de lumière passe entre les deux plans et que ces plans sont tous deux éclairés ou tous deux obscurs : dans le premier cas, leur intersection est une arête limite ; dans le second, elle ne l’est pas. Ainsi l’on peut reconnaître d’avance quelles sont les arêtes par rapport auxquelles ont doit opérer, pour obtenir le contour de l’ombre du corps proposé.

26Les corps que l’on considère dans les arts présentent fréquemment des arêtes verticales ; c’est ce qui rend souvent utile l’observation suivante. La projection horizontale de la ligne verticale se réduit à un seul point ; la ligne passant par ce point dans le plan horizontal de projection et dirigée vers le point lumineux, renferme toujours la projection horizontale de l’ombre de la verticale, sur quelque surface que cette ombre soit reçue. Ce résultat est vrai, que le point lumineux soit à une distance finie ou infinie. En effet, dans l’un et l’autre cas, l’ensemble des rayons de lumière passant par la verticale forme un plan vertical qui doit contenir l’ombre de la verticale proposée, et qui la donnera par son intersection avec la surface qui doit recevoir l’ombre. La trace de ce plan vertical dans le plan horizontal de projection contiendra par conséquent la projection horizontale de l’ombre, quelle que soit la surface qui la reçoive.

27Au reste, cette observation s’applique également à toute droite perpendiculaire à un plan quelconque de projection. Le plan formé par les rayons de lumière qui passent par cette droite est perpendiculaire comme elle au plan de projection et sa trace sur ce plan doit contenir évidemment la projection, sur ce même plan, de l’ombre portée par la droite sur quelque surface que ce soit. On conçoit que dans quelques circonstances, et en choisissant avec intelligence les plans de projection, le résultat précédent peut simplifier beaucoup les opérations.

28Ce que nous venons de dire renferme à peu près tout ce qui est d’usage habituel dans la théorie des ombres et résout les questions relatives aux corps terminés par des surfaces planes et des lignes droites et éclairés par un point unique. Les livres qu’on a coutume de publier sur cet objet vont rarement plus loin et n’ajoutent guère à ce qui précède que divers développements d’opérations graphiques pour lesquels nous renverrons aux leçons de géométrie descriptive.

29[134.] Passons maintenant au cas où le corps qui porte ombre n’est pas terminé par des surfaces planes. La ligne qui sépare, sur la surface du corps, la partie éclairée de la partie obscure n’est plus, en général, un assemblage d’arêtes facile à reconnaître ; c’est une courbe qu’il faut déterminer par la seule propriété d’être la limite de ces deux parties. Les rayons de lumière que reçoit la partie éclairée pénétreraient dans le corps s’ils étaient prolongés ; la partie obscure n’en reçoit pas, parce que ceux qui pourraient lui arriver auraient à traverser le corps qui porte ombre avant de lui parvenir ; mais il est facile de voir que les rayons qui vont à la courbe limite de la partie obscure et de la partie éclairée n’entrent pas dans ce corps et ne font que toucher sa surface. Ces derniers rayons sont donc tangents à la surface du corps ; chacun d’eux se trouve dans un plan tangent à cette surface et passant par le point lumineux. On peut donc construire la courbe dont il s’agit en menant du point lumineux une suite de plans tangents à la surface du corps proposé et en déterminant les points de tangence ; chacun de ces points appartiendra à la courbe cherchée. Nous ne nous arrêterons cependant point à ce mode de solution et nous allons en exposer un autre qui est aussi général et d’un emploi plus facile pour le genre de recherche dont il s’agit ; car on sait que l’élégance et la simplicité des constructions graphiques dépendent du système de moyens qu’on adopte pour obtenir chaque élément du résultat.

30Nous supposerons toujours le point lumineux à une distance infinie, et la direction des rayons de lumière indiquée par les projections horizontale et verticale d’une ligne donnée, à laquelle ces rayons doivent être parallèles. Le corps qui porte ombre étant connu de forme et de position par rapport aux plans de projection, ainsi que la surface sur laquelle l’ombre doit être reçue, on demande de construire la projection de cette ombre et, pour y parvenir, de déterminer, sur la surface du corps qui porte ombre, la courbe qui sépare la partie obscure de la partie éclairée. Cette dernière recherche, outre qu’elle entre dans la solution du problème qui nous occupe, est encore intéressante pour les arts du dessin et de la peinture, puisqu’elle fait connaître, sur la surface du corps éclairé, où doivent s’arrêter les teintes claires et commencer les teintes obscures.

31La méthode que nous allons exposer est analogue à celle qui a été donnée dans la géométrie descriptive pour les intersections des surfaces cylindriques.

32Concevons un système de plans parallèles à la direction de la lumière, et de plus, perpendiculaires à l’un des plans de projection, au plan vertical, par exemple. Les opérations que nous allons indiquer pour l’un des premiers plans se répéteront aisément pour les autres.

33Nous remarquerons d’abord que, puisqu’il est perpendiculaire au plan vertical de projection, il est entièrement projeté suivant sa trace, ainsi que toutes les lignes qu’il peut renfermer. On peut le concevoir comme composé de lignes parallèles à la direction de la lumière ou, ce qui revient au même, de rayons lumineux. Or, il doit en général couper la surface du corps qui porte ombre suivant une courbe. Des rayons de lumière situés dans le plan, les uns rencontrent la courbe et s’y arrêtent : ils font évidemment partie des rayons qui sont interceptés par le corps proposé et dont l’interruption produit l’ombre derrière ce corps ; les autres ne rencontrent pas la courbe et, n’éprouvant aucun obstacle, se propagent au loin dans l’espace ; enfin, il se trouve des rayons de lumière qui, placés entre ceux qui rencontrent la courbe et ceux qui ne la rencontrent pas, ne font simplement que la toucher ; et l’on observera que, si le corps qui porte ombre n’a pas des dimensions infinies, il doit se trouver en général deux rayons de ce genre. Ces derniers, tangents à la section du corps par le plan que nous considérons, sont aussi tangents à la surface de ce corps ; leurs points appartiennent donc, d’après ce que nous avons dit précédemment, à la courbe limite de la partie de la surface du corps qui est éclairée et de celle qui ne l’est pas ; enfin, leurs points de rencontre avec la surface sur laquelle l’ombre est reçue appartiennent également au contour de cette ombre.

34Ce sont donc ces rayons qu’il nous importe de reconnaître et de construire ; la propriété qui les caractérise doit nous en fournir les moyens. Puisqu’ils sont tangents à la courbe d’intersection de la surface du corps qui porte ombre, par le plan que nous considérons, leurs projections horizontales doivent être tangentes à la projection de cette même courbe. La surface du corps est connue, le plan coupant est donné de position ; supposons donc que la projection horizontale de leur intersection soit construite. Si nous menons à cette projection des tangentes parallèles à la direction du rayon de lumière projeté sur le plan horizontal, elles seront les projections des rayons dont il s’agit et les points de tangence seront les projections horizontales de ceux où ces rayons de lumière touchent la surface du corps proposé. La projection ou la trace du plan coupant sur le plan vertical contient la projection verticale du rayon de lumière, et, pour déterminer sur ces projections celles des points de tangence dont on vient de parler, il suffit d’élever par les projections horizontales de ces points des lignes perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection. On obtient donc ainsi, en projections horizontale et verticale, deux points de la courbe qui, sur la surface du corps proposé, sépare la partie éclairée de celle qui ne l’est pas.

35Si l’opération que nous venons d’indiquer se répète pour un nombre quelconque de plans parallèles à la lumière et perpendiculaires au plan vertical de projection, on trouvera, en projection horizontale, une pareille suite de points par lesquels, faisant passer une courbe, on aura la projection de la courbe limite qui, sur la surface proposée, sépare la partie éclairée de la partie obscure. On trouvera également, en projection verticale, une autre suite de points et la courbe qui les réunira sera la projection verticale de la même courbe limite.

36Occupons-nous maintenant de la détermination du contour de l’ombre sur la surface qui doit la recevoir. Le plan parallèle à la lumière, que nous avons d’abord considéré, détermine en général, comme nous l’avons vu, deux rayons lumineux tangents à la surface du corps qui porte ombre et qui sont eux-mêmes situés dans ce plan. Les points de rencontre de ces rayons avec la surface qui reçoit l’ombre appartiennent au contour qu’il s’agit d’obtenir. Ces points de rencontre doivent évidemment être placés sur la courbe de l’intersection du plan avec cette même surface. Le plan et la surface étant connus et déterminés de position, on peut construire la projection horizontale de leur intersection. Supposons cette projection construite ; les projections horizontales des deux rayons de lumière que nous considérons la rencontreront en des points qui seront les projections de ceux où les rayons eux-mêmes rencontrent la surface ; et ces derniers points appartiennent, ainsi que nous l’avons dit, au contour demandé. Si, des points obtenus en projection horizontale, on mène des lignes perpendiculaires à la commune intersection des plans de projection, ces lignes détermineront, par leur rencontre avec la projection verticale du plan coupant sur lequel nous avons opéré, les projections verticales des mêmes points du contour de l’ombre portée.

37En répétant cette dernière opération pour chacun des plans parallèles à la direction de la lumière, on obtiendra, sur l’une et l’autre projection, une série de points par lesquels, faisant passer des courbes, on aura les projections horizontale et verticale du contour de l’ombre du corps proposé sur la surface destinée à la recevoir.

38Au nombre des plans parallèles à la direction de la lumière, il peut s’en trouver qui, après avoir coupé le corps portant l’ombre, ne rencontrent pas la surface qui doit la recevoir ; ou quelques-uns des rayons tangents à la surface du corps et déterminés par ces plans peuvent ne pas rencontrer ensuite la courbe d’intersection de ces mêmes plans avec la surface sur laquelle on suppose que l’ombre doit être portée. Dans l’un et l’autre cas, ces circonstances feront reconnaître que cette surface ne reçoit pas entièrement l’ombre portée par le corps, mais qu’une partie lui échappe, pour être reçue par une surface plus éloignée ou se perdre dans l’espace.

39Pour rendre tout ce qui précède plus facile à comprendre, nous allons l’appliquer à un exemple.

  • 4 Cette application des principes généraux au cas très particulier de la sphère est tout à fait dans (...)

40Soit une sphère représentée par les projections verticale et horizontale A, A' (Pl. XXVI, fig. 52) de deux de ses grands cercles4 ; supposons que la direction des rayons de lumière soit donnée par les projections LL, L'L' d’une ligne à laquelle ils doivent être parallèles, et cherchons les projections horizontale et verticale de la ligne qui sépare la partie éclairée de la surface de la sphère de la partie obscure, et celles du contour de l’ombre portée par la sphère sur un cylindre droit à base circulaire, donné en projection horizontale par le cercle B'.

41Conformément à la méthode que nous venons d’exposer, concevons une suite de plans parallèles à la direction de la lumière, perpendiculaires au plan vertical de projection et par conséquent projetés sur ce plan suivant leurs traces Pp, Ptp1, P2p2, etc. Considérons en particulier le plan P ; il coupera la sphère suivant une courbe dont la projection verticale ne peut être que sur la trace Pp et dont la projection horizontale sera la courbe p'p'p'p'. Après l’avoir construite, nous lui mènerons les deux tangentes Θ'θ' et TY, parallèles à L'L', lesquelles seront les projections horizontales de deux rayons de lumière tangents à la sphère ; quant aux projections verticales de ces mêmes rayons, elles ne peuvent être l’une et l’autre que la trace Pp elle-même. Les points de tangence T et Θ' sont les projections des deux points où ces rayons de lumière touchent la sphère et qui appartiennent par conséquent à la courbe qui sépare, sur sa surface, la partie éclairée de la partie obscure. Pour avoir les projections verticales de ces mêmes points, on mènera les deux lignes TT et Θ'Θ, perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection, prolongées jusqu’à la rencontre de la trace Pp, et l’on obtiendra ainsi, en T et Θ, les projections verticales des deux points dont il s’agit. En répétant pour chacun des plans P1, P2, P2, P4, etc., l’opération que nous venons d’exécuter pour le plan P, on trouvera, sur le plan horizontal, la courbe T'T'1T'2Θ'1Θ'Θ'3Θ'4T'3, et sur le plan vertical, la courbe TT1T2Θ1ΘΘ3Θ4T3, pour les projections de celle qui, sur la sphère, sépare la partie éclairée de la partie obscure.

42Reprenons les rayons de lumière dont T't' et Θ'θ' sont les projections horizontales, et dont Pp est la projection verticale, et cherchons les points où ils rencontrent la surface du cylindre ; ce seront des points du contour de l’ombre portée sur cette surface par la sphère. Le plan P coupe la surface du cylindre, suivant une courbe projetée sur le plan horizontal dans le cercle qui sert de base au cylindre. Les lignes TY et Θ'θ' rencontrent ce cercle dans les points r' et p', qui sont par conséquent les projections horizontales des points de rencontre que nous cherchons : pour avoir leurs projections verticales, il suffit de mener les lignes r'r et p'p perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection et jusqu’à la rencontre de la ligne Pp. Si l’on répète également cette dernière opération relativement aux autres plans P1, P2, etc., on trouvera les projections verticales de divers autres points du contour de l’ombre portée par la sphère sur le cylindre, et l’on construira la courbe rr1r2ρ1ρρ3ρ4 qui sera la projection verticale de ce contour.

43En considérant le plan P3 et les deux lignes T'3t'3 et Θ'3θ'3 qui sont les projections horizontales des deux rayons de lumière tangents à la sphère situés dans le plan dont il s’agit, on observera que l’une de ces projections, celle qui est désignée par T'3t'3, ne rencontre pas la base du cylindre qui est la projection horizontale, ainsi que nous l’avons observé de la section de la surface cylindrique par le plan P3 ; le rayon de lumière auquel appartient la projection T’3t’3, ne rencontre donc pas cette surface et passe à côté. On en conclura que l’ombre portée par la sphère n’est pas reçue en entier par le cylindre, et que le contour de cette ombre sur la surface cylindrique n’est point fermé, mais s’arrête aux points où les rayons de lumière tangents à la sphère sont aussi tangents au cylindre.

  • 5 C’est le cas dit « de l’ombre au flambeau », où le point lumineux est à distance finie.

44[135.] Nous avons supposé jusqu’à présent que le point lumineux était à une distance infinie ; et cette hypothèse est celle qui est le plus fréquemment admise, parce qu’elle est à peu près conforme à la manière dont les corps sont éclairés par le Soleil ; mais si l’on supposait le point lumineux à une distance finie5, il suffirait, pour rendre la méthode précédente applicable encore dans ce cas, de substituer aux plans parallèles que nous avons employés une suite de plans assujettis à passer par le point lumineux et du reste toujours perpendiculaires au plan vertical de projection, comme dans la première hypothèse.

45Le procédé que nous venons d’exposer peut souvent se simplifier dans les questions particulières d’après la génération de la surface du corps qui porte l’ombre et de celle qui la reçoit. Nous renverrons, à cet égard, aux méthodes de la géométrie descriptive, qui, dans ces recherches, sont susceptibles de diverses applications intéressantes. Il nous suffit d’avoir fait connaître un mode de solution qui comprend dans toute sa généralité le problème de la détermination graphique des ombres, lorsque le corps lumineux se réduit à un point unique.

46La solution de ce problème satisfait à peu près tout ce que demandent habituellement les arts du dessin ; ce qui nous reste à dire nous donnera lieu de faire quelques observations qui ne seront pas sans intérêt sous le rapport de ces mêmes arts ; mais comme, en supposant que le corps lumineux ait des dimensions finies, les constructions graphiques deviennent extrêmement compliquées et seraient d’ailleurs d’un usage à peu près nul, ce sera plutôt sous le point de vue de la théorie que sous celui des applications que nous allons traiter cette dernière partie de la détermination linéaire des ombres.

47Lorsque le corps lumineux n’est qu’un point et que rien dans l’espace ne réfléchit la lumière, l’ombre portée par un corps opaque sur une surface placée derrière doit être parfaitement noire, puisque aucun rayon ne peut y arriver directement, à raison de l’interposition du corps opaque, ni indirectement, car nous supposons qu’il n’existe aucun autre objet qui puisse réfléchir de la lumière. Cette ombre étant donc d’un noir absolu, sera par conséquent égale dans toute son étendue ; et de plus elle se terminera brusquement à son contour qui sera une ligne parfaitement nette et prononcée.

48Il n’en est pas ainsi lorsque le corps lumineux a des dimensions finies le contour n’est pas tranché brusquement et c’est par une dégradation insensible que l’on passe du noir de l’ombre à la clarté.

  • 6 Monge présente ici les résultats obtenus par lui dès 1775 sur l’application des surfaces développa (...)

49En effet, cherchons ce qui a lieu dans ce cas, en supposant toujours qu’il n’existe dans l’espace que le corps lumineux, le corps opaque et la surface qui reçoit l’ombre6.

  • 7 Édition de 1820 : « également tangents aux deux derniers plans » (texte erroné).

50Concevons un plan tangent à la fois au corps lumineux et au corps opaque et tel que les deux corps se trouvent du même côté relativement au plan ; puis concevons-en un semblablement tangent et infiniment voisin du premier qu’il coupera suivant une droite tangente à la fois aux deux corps. Concevons encore un troisième plan tangent, infiniment voisin du second ; il le coupera suivant une autre droite également tangente aux deux corps7 et l’on observera que cette seconde ligne doit rencontrer la première, puisque l’une et l’autre se trouvent sur le second plan tangent. En multipliant ainsi les plans tangents, on aura une suite de lignes tangentes à la fois aux deux corps et se rencontrant deux à deux ; elles appartiendront à une surface que l’on doit reconnaître, d’après sa génération que nous venons d’indiquer, pour être du genre de celles qu’on appelle développables (110).

51Cette surface développable enveloppe à la fois le corps lumineux et le corps opaque ; et, dans la partie de l’espace qu’elle renferme au-delà de ce dernier, il ne peut pénétrer aucun rayon lancé par le corps lumineux ; l’aire de l’intersection de cette surface avec celle qui reçoit l’ombre sera donc d’un noir parfait, et par conséquent égal dans toute son étendue.

52Maintenant, concevons une autre suite de plans tangents au corps lumineux et au corps opaque, mais placés de manière que l’un de ces corps se trouve d’un côté du plan et que l’autre se trouve du côté opposé ; les intersections successives de ces plans donneront naissance, comme tout à l’heure, à une nouvelle surface développable qui enveloppera, ainsi que la précédente, le corps lumineux et le corps opaque ; mais on observera, par rapport à cette surface et aux lignes droites dont on peut la concevoir composée, que l’un des corps se trouve d’un côté et l’autre du côté opposé. Il résulte de cette disposition que, de tous les points extérieurs à cette seconde surface développable, on découvre en entier le corps lumineux sans qu’aucune partie de ce corps puisse être cachée par l’interposition du corps opaque. Si l’on construit l’intersection de cette surface avec celle qui reçoit l’ombre, chacun des points situés en dehors de cette intersection jouira d’une clarté totale, c’est-à-dire recevra tous les rayons qui peuvent lui parvenir du corps lumineux.

53Si l’on considère maintenant les deux surfaces développables à la fois, on remarquera que dans l’espace qu’elles comprennent entre elles, au-delà de leurs courbes de tangence avec le corps opaque, une partie des rayons lancés par le corps lumineux est interceptée par le corps opaque, et qu’ainsi cette portion de l’espace n’est pas complètement éclairée. Cherchant ensuite ce qui a lieu sur la surface qui reçoit l’ombre, on observera que l’aire comprise entre les deux contours donnés par les intersections de cette surface avec les deux surfaces développables forme en général une espèce d’anneau pour lequel l’ombre et la clarté sont incomplètes. Au milieu se trouve l’ombre absolue, et en dehors la clarté totale ; mais chacun des points situés dans l’aire annulaire elle-même ne reçoit qu’une partie des rayons émanés du corps lumineux, le reste lui étant enlevé par l’interposition du corps opaque. Si ce point pris sur l’aire annulaire est voisin du contour intérieur donné par la première surface développable, il ne peut recevoir la lumière que d’un très petit segment du corps lumineux, le corps opaque lui dérobant tout le reste ; il est par conséquent très près de l’obscurité. Si ce même point est voisin du contour extérieur donné par la seconde surface développable, il n’y a, par rapport à lui, qu’une très petite partie du corps lumineux qui reste couverte par le corps opaque ; il est donc très près de jouir de la clarté totale. On voit par là que, du contour intérieur au contour extérieur déterminés par les deux surfaces développables, l’ombre va en diminuant et la clarté en augmentant, de manière qu’il y a une dégradation insensible entre l’ombre absolue renfermée dans le contour intérieur et la clarté totale qui a lieu au-delà du contour extérieur : cette aire annulaire, qui entoure l’ombre absolue et dans laquelle l’ombre et la clarté sont incomplètes, se nomme la pénombre, ce qui signifie presque ombre.

54Nous n’avons encore considéré la distribution de l’ombre et de la lumière que sur la surface placée derrière le corps opaque ; il nous reste à la considérer également sur la surface même de ce corps.

55La courbe de tangence de la première surface développable avec le corps forme la ligne de séparation de la partie de la surface qui ne peut recevoir aucun rayon de lumière, de celle qui peut en recevoir. La courbe de tangence avec la seconde surface développable forme également, sur la surface du corps opaque, la ligne qui sépare les points pour lesquels une partie des rayons lumineux est interceptée par la convexité même du corps opaque, de ceux pour lesquels cette convexité ne peut en arrêter aucun. Il se trouve donc sur la surface du corps opaque, entre sa face obscure et sa face éclairée, une zone ou pénombre sur laquelle l’intensité de l’ombre diminue par gradation insensible, pour passer de l’ombre absolue à la clarté totale.

56Ce que nous venons d’exposer, en embrassant dans toute sa généralité le problème qui nous occupe, se simplifie beaucoup et devient très sensible dans des exemples particuliers. Supposons que le corps lumineux et le corps opaque soient l’un et l’autre des sphères représentées par les cercles L et O (Pl. XXVII, fig. 53), sur un plan de projection dans lequel leurs centres soient placés ; que la surface sur laquelle l’ombre doit être portée soit le plan SS perpendiculaire à la ligne LO qui joint les centres des sphères. Dans ce cas, tous les plans tangents à la fois aux deux corps et placés de manière qu’ils se trouvent tous du même côté par rapport à chaque corps formeront, comme on le sait, par leurs intersections successives, une surface conique que nous indiquerons par les lignes TT', TT', suivant lesquelles cette surface coupe le plan de projection. Son sommet, ou centre, tombera au-delà de la sphère O, si cette sphère est d’un rayon plus petit que la sphère L, et au contraire en-deçà de L, si cette dernière sphère est la plus petite. C’est à cette surface conique que se réduit la première surface développable que nous avons considérée en traitant le cas général. On voit aisément que l’espace qu’elle renferme au-delà de la sphère opaque ne peut recevoir aucun rayon de lumière émané de la sphère L ; son intersection avec le plan SS est un cercle dont MN est le diamètre et dont l’intérieur est absolument privé de lumière.

57Si l’on conçoit maintenant d’autres plans tangents également aux deux sphères, mais tels que, par rapport à chaque plan, l’une des sphères se trouve d’un côté et l’autre du côté opposé, ces plans, par leurs intersections successives, formeront une autre surface conique dont le sommet sera placé entre les deux sphères et que nous indiquerons, comme la première, par les lignes tt', tt', qui sont ses intersections avec le plan de projection ; cette seconde surface conique répond à la seconde surface développable que nous avons considérée dans le cas général. On voit de même que tout l’espace qu’elle laisse à son extérieur reçoit les rayons émanés de la sphère L, sans qu’aucun soit arrêté par la sphère O. Son intersection avec le plans SS est un cercle dont mn est le diamètre et tous les points du plan extérieurs à ce cercle reçoivent les rayons de lumière sans obstacle de la part de la sphère opaque.

58Mais l’espace compris entre les deux surfaces coniques au-delà de leurs courbes de tangence avec la sphère, et qui se trouve indiqué sur le plan de projection par les aires angulaires T'ct', T'ct', ne reçoit pas complètement les rayons lumineux de la sphère L, puisque chacun de ses points ne peut découvrir qu’une partie du corps lumineux, le reste lui étant dérobé par l’interposition de la sphère opaque : cet espace ne sera donc pas entièrement obscur ni entièrement éclairé. Les points du plan SS situés entre le cercle du diamètre MN et le cercle du diamètre mn seront dans ce cas ; l’intervalle de ces deux cercles formera donc un anneau pour lequel ni l’ombre ni la clarté ne seront absolues.

59Si, sur cet anneau, on prend un point voisin du cercle intérieur tel que le point p, on voit, d’après la figure, qu’il ne peut recevoir des rayons lumineux que de la partie de la sphère L correspondante à l’arc gf ; si au contraire on prend un point voisin du cercle extérieur tel que p', on voit qu’il peut recevoir des rayons de la partie de la sphère lumineuse correspondante à l’arc g'f', beaucoup plus grand que gf', la clarté doit donc aller en augmentant, ou l’ombre en diminuant, du cercle intérieur au cercle extérieur, ou dans l’étendue de ce que nous avons nommé la pénombre.

60Sur la surface de la sphère opaque, la courbe de tangence du premier cône est un cercle projeté suivant son diamètre aa. La courbe de tangence du second cône est un autre cercle projeté suivant son diamètre bb. La partie de la surface de la sphère O qui est au-delà du cercle aa est entièrement dans l’obscurité ; celle qui est en-deçà du cercle bb reçoit sans obstacle tous les rayons de lumière. Mais les points situés sur la zone comprise entre ces deux cercles ne voient qu’en partie la sphère lumineuse, sont par conséquent dans un état intermédiaire entre la clarté et l’obscurité, et l’ombre perd de son intensité du cercle aa au cercle bb sans qu’il y ait nulle part de passage brusque et précis : il y a également une sorte de pénombre dans l’étendue de cette zone.

  • 8 A partir de ce paragraphe, la fin de la leçon est l’œuvre de Brisson [Brisson, 1820, p. VI-VII].

61On peut regarder, en général, comme inutile de déterminer d’une manière géométrique les contours des pénombres, ce qui serait d’ailleurs fort long et fort embarrassant ; mais quelques observations assez simples peuvent fournir des données sur la mesure de la largeur qu’il convient de leur attribuer8.

62La distance entre le corps lumineux L et le corps opaque O, restant la même, si l’on rapproche parallèlement à lui-même le plan SS de ce dernier, la ligne Nn qui indique la largeur de la pénombre diminue ; si on éloigne ce plan, elle augmente. On voit aisément qu’elle est proportionnelle à la distance du corps opaque au plan sur lequel l’ombre est portée, et qu’elle dépend d’ailleurs de l’angle ncN formé par les arêtes TT" et tt' des deux cônes qui enveloppent la sphère opaque et la sphère lumineuse, angle qui dépend lui-même de la distance entre le corps opaque et le corps lumineux et des dimensions de ce dernier.

63Si nous supposons que le corps lumineux soit le Soleil, la distance de cet astre à la Terre étant partout sensiblement la même, l’angle dont il s’agit sera toujours égal, quel que soit le corps opaque que l’on considère comme éclairé par le Soleil. Cet angle mesure ce qu’on appelle le diamètre apparent du Soleil ; il est d’environ un demi-degré et, de cette donnée, on peut conclure que la largeur de la pénombre sera environ la 115e partie de la distance comprise entre le point qui porte l’ombre et celui où elle est reçue sur le plan, que nous supposons à peu près perpendiculaire à la direction du rayon de lumière. Il est facile de voir que, s’il s’éloignait de cette position, la largeur de la pénombre augmenterait dans le rapport inverse du sinus de l’angle que le plan ferait avec la direction de la lumière : on trouverait, par exemple, en supposant cet angle de 45 degrés, que la largeur de la pénombre devrait être la 81e partie de la distance entre le point qui porte l’ombre et celui où cette ombre est reçue.

64Il est donc essentiel, dans les dessins, de donner une plus grande largeur à la pénombre à mesure que l’ombre portée s’éloigne de l’objet qui la produit ; et les résultats que nous venons d’indiquer suffisent pour faire connaître l’étendue à donner à chaque partie de la pénombre, avec plus de précision même que l’exécution des dessins ne le comporte ordinairement.

65Nous avons remarqué qu’il se trouvait également une pénombre, ou zone incomplètement éclairée, sur la surface du corps opaque. Supposons toujours que ce corps soit la sphère ; et pour trouver l’étendue de l’arc ba qui mesure la largeur de la pénombre, concevons aux points b et a deux normales à la surface, qui, dans le cas de la sphère, seront les deux rayons ob et oa. On sait que l’angle formé par les normales est égal à celui que forment entre elles les tangentes TT" et tt' ; ainsi, la mesure de l’arc ba ne dépend que de deux éléments, l’angle formé par les tangentes et le rayon ob auquel l’arc est proportionnel.

66Si la lumière vient du Soleil, l’angle dont il s’agit est toujours le même, quel que soit le corps éclairé, et d’un demi-degré à peu près.

67On en conclura donc que la largeur de la pénombre sur la sphère est à peu près égale à la 115e partie du rayon.

68On peut, sans erreur sensible, étendre ce résultat à un corps de figure quelconque, en observant que, pour avoir la largeur de la pénombre correspondante à un point déterminé de la ligne de séparation de la face obscure et de la face éclairée de ce corps, il faut concevoir par ce point, et dans le sens du rayon de lumière, un plan normal à la surface du corps et prendre la 115e partie du rayon de courbure de cette section.

69En nous bornant à ce qui précède, sur cette partie de la théorie des ombres qui a pour objet la détermination géométrique de leurs contours, il nous reste à traiter de celle qui est relative à la recherche de l’intensité des teintes qu’il faut donner aux différentes parties des surfaces ombrées pour qu’elles nous offrent, dans les dessins, toutes les apparences d’ombre et de lumière que les objets imités nous présentent dans la nature ; mais, pour embrasser un tel sujet dans toute son étendue, il ne suffit pas d’envisager uniquement, comme nous l’avons fait jusqu’à présent, un corps lumineux, un corps opaque et une surface qui reçoit l’ombre, en faisant abstraction de toute circonstance accessoire. Il faut étudier les objets avec tout ce qui les entoure dans la réalité et avoir égard, entre autres choses, à la position du spectateur et aux modifications que la lumière peut éprouver avant d’arriver à son œil, pour y porter la sensation du spectacle sur lequel il attache sa vue ; ces considérations nous semblent exiger que nous fassions précéder ce que nous avons à dire sur cette matière par l’exposition de la théorie de la perspective.

Notes

* Leçon publiée par Brisson en 1820.

1 L’utilisation des ombres propres et portées pour faciliter la lecture des dessins en double projection est traditionnelle chez les architectes et les ingénieurs.

2 C’est le cas dit de l’ombre au Soleil, où le point lumineux est renvoyé à l’infini.

3 Édition de 1820 : « fig. 50 ». La numérotation des quatre dernières figures est décalée d’un numéro par rapport à l’édition de Brisson.

4 Cette application des principes généraux au cas très particulier de la sphère est tout à fait dans la ligne suivie par Monge dans certaines de ses leçons précédentes.

5 C’est le cas dit « de l’ombre au flambeau », où le point lumineux est à distance finie.

6 Monge présente ici les résultats obtenus par lui dès 1775 sur l’application des surfaces développables à la théorie des ombres et des pénombres [Monge, 1780].

7 Édition de 1820 : « également tangents aux deux derniers plans » (texte erroné).

8 A partir de ce paragraphe, la fin de la leçon est l’œuvre de Brisson [Brisson, 1820, p. VI-VII].

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540