Versión clásicaVersión móvil
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Monge

Huitième leçon

11 germinal / 31 mars

Texto completo

[V.]

1[103.] Ce que nous avons vu jusqu’à présent de la géométrie descriptive considérée d’une manière abstraite contient les principales méthodes dont on peut avoir besoin dans les arts.

  • 1 Éditions ultérieures : « dans toutes les villes un peu considérables... ». Sur ces écoles secondai (...)

2Si donc on avait établi dans tous les districts de la République et dans toutes les communes un peu considérables1 des écoles secondaires, dans lesquelles les jeunes gens de l’âge de douze ans et qui se destinent à la pratique de quelques-uns des arts auraient été exercés pendant deux années aux constructions graphiques et familiarisés avec les principaux phénomènes de la nature, dont la connaissance leur est indispensable, ce qui, en développant leur intelligence et en leur donnant l’habitude et le sentiment de la précision, aurait contribué, de la manière la plus certaine, aux progrès de l’industrie nationale et ce qui, en les accoutumant à l’évidence, les aurait garantis pour toujours de la séduction des imposteurs de tous les genres, et si nous ne nous proposions que de faire le livre élémentaire qui aurait dû servir de base à l’instruction de ces écoles secondaires, il faudrait terminer là les généralités et passer immédiatement aux applications les plus utiles et à celles dont l’usage est le plus fréquent. Mais nous ne devons pas écrire seulement pour les élèves des écoles secondaires, nous devons écrire pour leurs professeurs.

3On ne doit faire entrer dans le plan d’une instruction populaire que des objets simples et d’une utilité journalière. Mais, si un artiste rencontre une seule fois dans sa vie une difficulté dont il n’ait point été question dans les écoles, à qui s’adressera-t-il pour lever, si ce n’est au professeur ? Et comment le professeur la lèvera-t-il, s’il ne s’est exercé à des considérations d’une généralité plus grande que celles qui forment l’objet ordinaire des études ?

4Pour donner aux professeurs la connaissance de quelques propriétés générales de l’étendue et dont on peut avoir occasion de faire usage dans les arts, nous allons consacrer quelques leçons à l’examen de la courbure des courbes à double courbure et de celles des surfaces courbes.

De la courbure et des développées des courbes à double courbure

5[104.] On sait que, si une droite, considérée dans un plan, tourne autour d’un de ses points supposé fixe, tous les autres points de la droite décriront autour du point fixe des circonférences de cercles concentriques. Il n’y a aucune courbe qu’on ne puisse concevoir engendrée d’une manière analogue.

6Pl. XXIII, fig. 44. Soit MNO une courbe quelconque tracée sur un plan : si l’on conçoit qu’une droite AB se meuve de manière qu’elle soit perpétuellement tangente à la courbe, et sans prendre le mouvement dans le sens de sa longueur, chaque point P de cette droite décrira une courbe GPP'P"H qui aura évidemment les propriétés suivantes.

7Chaque élément PQ de la courbe décrite sera perpendiculaire à la direction correspondante de la droite AB ; car cet élément a la même direction qu’aurait en P l’élément d’un arc de cercle décrit du point M de contact, comme centre, et avec un rayon égal à PM. Ainsi la tangente en P de la courbe décrite sera perpendiculaire à la droite menée par le point P, tangente à la courbe donnée MNO.

8Si le point décrivant P est placé du côté vers lequel la droite AB s’approche de la courbe touchée, la courbe GP se dirigera vers MNO jusqu’à ce qu’elle la rencontre, ce qui arrivera lorsque le point décrivant sera devenu lui-même le point de contact de la droite AB, supposée transportée en CD : mais cette courbe ne se prolongera pas au-delà, et, si la droite continue son mouvement, le point P, et par conséquent la courbe qu’il décrit, se réfléchira en P’. La courbe décrite étant toujours perpendiculaire à la droite mobile, les deux branches GPP’ et P'P"H seront toutes deux perpendiculaires à la droite CD et par conséquent à la courbe MNO que cette droite touche en P'. Ces deux branches se toucheront donc elles-mêmes en P'.

9Le point P' dans lequel une courbe se réfléchit ainsi, de manière que ses deux branches se touchent à ce point, se nomme point de rebroussement.

10La courbe MNP'O, sur lequelle s’appuie la droite en la touchant perpétuellement, s’appelle la développée de la courbe GPP'P"H, parce qu’un de ses arcs quelconques MNP' est égal à la partie correspondante MP de la droite mobile, et la courbe GPP'P"H s’appelle la développante de la courbe MNO. Comme on peut avoir autant de courbes décrites de la même manière que l’on peut concevoir de points P, p, sur la droite AB, regardée comme indéfinie, il est évident qu’une même développée peut avoir une infinité de développantes différentes, telles que GPP'P"H, gpp'p"h ; et toutes ces développantes ont la propriété d’avoir les mêmes normales. Nous verrons incessamment que réciproquement il n’y a pas de courbe qui n’ait une infinité de développées différentes.

  • 2 Les bocards sont des machines à broyer les minerais ou d’autres matériaux.

11[105.] On fait usage dans les arts de quelques développantes, et principalement de celle du cercle qui est une spirale dont le nombre des révolutions est infini et dont toutes les branches successives sont éloignées les unes des autres d’une quantité constante, égale à la circonférence du cercle développé. C’est suivant la courbure de cette développante que l’on coupe les cames ou dents des arbres tournants qui soulèvent des pilons, comme dans les bocards2, parce que, le contact de la came avec le mentonnet du pilon étant toujours dans la même verticale, l’effort de l’arbre pour soulever le pilon est constamment le même. Vaucanson employait souvent la spirale développante du cercle comme moyen d’engrenage pour transmettre le mouvement d’un arbre tournant à un autre arbre qui lui était parallèle, surtout lorsqu’il fallait que l’engrenage fût exact et transmit subitement, sans temps perdu, le mouvement d’un arbre à l’autre.

  • 3 Éditions ultérieures : « Nous avons fait voir (104) comment... ».

12[106.] Dans ce qui précède, nous avons fait voir3 comment la développante peut être formée d’après la développée ; il est facile de concevoir comment, à son tour, la développée peut être formée d’après la développante. En effet, nous avons vu que toutes les normales de la développante sont tangentes à la développée. Si donc, par tous les points P, Q, d’une courbe proposée GPQP', on conçoit des normales, la courbe MNO, qui touchera toutes ces normales, sera la développée. De plus, si par deux points P, Q, consécutifs et infiniment proches, on conçoit deux normales PB, Qb, le point M où elles se couperont, pour se croiser au-delà, sera sur la développée ; et ce point pourra être regardé comme le centre d’un petit arc de cercle qui, étant décrit avec le rayon PM, aurait la même courbure que l’arc PQ de la courbe que l’on considère. Le rayon PM du cercle, dont la courbure est la même que celle de l’arc infiniment petit PQ d’une courbe, se nomme le rayon de courbure de cet arc ; le point M où se coupent les deux normales consécutives en est le centre de courbure ; et cette courbure est connue lorsque la position du point M est déterminée.

  • 4 La fin de la leçon reproduit presque mot pour mot les premiers paragraphes du mémoire de Monge sur (...)

13[107.] Jusqu’ici nous avons supposé que les courbes étaient planes, et nous n’avons considéré que ce qui se passe dans leur plan. Nous allons passer aux courbes à double courbure, telles que celles qui sont produites par l’intersection de deux surfaces courbes4.

14Si l’on conçoit une droite menée par le centre d’un cercle perpendiculairement à son plan et indéfiniment prolongée de part et d’autre, on sait que chacun des points de cette droite sera à égale distance de tous les points de la circonférence ; que par conséquent, si l’on imagine qu’une seconde droite terminée d’une part à un des points de la circonférence et de l’autre à un point quelconque de la perpendiculaire tourne autour de cette dernière comme axe en faisant constamment le même angle avec elle, son extrémité mobile décrira la circonférence du cercle avec la même exactitude que si l’on eût fait tourner le rayon autour du centre. La description du cercle au moyen du rayon, et qui n’est qu’un cas particulier de la première par sa simplicité, est plus propre à donner l’idée de l’étendue du cercle, mais, s’il ne s’agit que de description, la première peut dans certain cas avoir de l’avantage, parce qu’en prenant sur l’axe deux pôles placés de part et d’autre du plan du cercle, puis menant par ces deux points deux droites qui se couperaient en un point de la circonférence, et faisant ensuite mouvoir le système de ces deux droites autour de l’axe, de manière que leur point d’intersection fût fixe sur l’une et sur l’autre droite, ce point décrirait la circonférence du cercle, sans qu’il eût été nécessaire d’exécuter auparavant le plan dans lequel elle doit se trouver.

  • 5 Cette figure est la reproduction exacte de la figure 1 du mémoire de Monge sur les développées, le (...)

15[108.] Fig. 455. Soit KAaD une courbe à double courbure quelconque tracée dans l’espace. Par un point A de cette courbe soit conçu un plan MNPO perpendiculaire à la tangente en ; par le point a infiniment proche, soit pareillement imaginé un plan mnOP perpendiculaire à la tangente en a ; ces deux plans se couperont en une droite OP qui sera l’axe du cercle dont le petit arc Aa de la courbe peut être censé faire partie : de manière que, si, des points A, a, on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, ces perpendiculaires, égales entre elles, la rencontreront en un même point G qui sera le centre de ce cercle. Tous les autres points g, g', g"... de cette droite seront chacun à égales distances de tous les points de l’arc infiniment petit Aa et pourront par conséquent en être regardés comme les pôles. Ainsi, si d’un point quelconque g de cet axe on mène deux droites aux points A, a, ces droites gA, ga seront égales entre elles et formeront avec l’axe des angles AgO, agO, égaux entre eux : en sorte que, si l’on voulait définir la courbure de la courbe au point A, il faudrait donner la longueur du rayon de courbure AG et que, s’il s’agissait d’assigner le sens de la courbure, il faudrait donner la position du centre G dans l’espace. Mais, s’il est simplement question de décrire le petit arc, il suffira également ou de faire tourner la droite Ag autour de l’axe, sans altérer l’angle AgO qu’elle fait avec lui, ou de faire tourner le rayon de courbure AG perpendiculairement à cet axe.

16Ainsi la droite OP peut être regardée comme la ligne des pôles de l’élément Aa ; le centre de courbure de cet élément est celui de ses pôles dont la distance à l’élément est un minimum, enfin son rayon de courbure est la perpendiculaire AG, abaissée de l’élément sur la ligne des pôles.

  • 6 Cette figure est la reproduction exacte de la figure 2 du mémoire de Monge sur les développées, le (...)

17[109.] Fig. 466. Que l’on fasse actuellement sur tous les points de la courbe à double courbure la même opération que l’on vient de faire sur un de ses éléments, c’est-à-dire que par tous les points consécutifs A, A', A", A", etc., l’on fasse passer des plans MNOP, perpendiculaires chacun à la tangente de la courbe au point où il la coupe ; le premier de ces plans rencontrera le second dans une droite OP qui sera le lieu géométrique des pôles de l’arc AA' ; le second rencontrera le troisième dans une droite O'P', lieu des pôles de l’arc A'A", et ainsi de suite. Il est évident que le système de toutes les droites d’intersection, ou la surface courbe qu’elles forment par leur assemblage, sera le lieu géométrique des pôles de la courbe KAD ; car cette courbe n’aura point de pôle qui ne soit sur la surface et cette surface n’aura pas de point qui ne soit le pôle de quelqu’un des éléments de la courbe.

18[110.] Avant que d’aller plus loin, il est nécessaire d’exposer quelques propriétés dont jouissent les surfaces de ce genre, indépendamment de la courbe qui a servi à leur formation.

  • 7 Dans les éditions ultérieures, la phrase commence par : « Ces surfaces... ». Monge fait allusion à (...)

19Nous avons déjà eu occasion de faire voir dans les débats que ces surfaces peuvent se développer sur un plan sans rupture et sans duplicature7. En effet, les éléments, tels que OPP'O', dont est composée la surface, sont des portions de plans infiniment étroites et qui se joignent successivement par des lignes droites. On peut donc toujours concevoir que le premier de ces éléments OPP'O' tourne autour de O'P' comme charnière, jusqu’à ce qu’il soit dans le plan de l’élément suivant 0'P'P"0" ; qu’ensuite leur assemblage tourne autour de O"P", jusqu’à ce qu’il soit dans le plan du troisième, et ainsi de suite. D’où l’on voit que rien n’empêche que de cette manière tous les éléments de la surface ne viennent sans rupture se ranger dans un même plan.

20De même que les plans normaux à la courbe KAD, par leurs intersections successives, forment une surface courbe à laquelle ils sont tous tangents, pareillement les lignes droites dans lesquelles ils se coupent se rencontrent successivement dans des points qui forment une courbe à double courbure à laquelle toutes ces droites sont tangentes : car deux de ces droites consécutives sont les intersections d’un même plan normal avec celui qui le précède et avec celui qui le suit immédiatement. Ces deux droites sont donc dans un même plan ; elles se coupent donc quelque part en un point et la suite de tous ces points de rencontre forme une courbe remarquable sur la surface développable. En effet, les droites consécutives, après s’être croisées sur la courbe qui les touche toutes, se prolongent au-delà et forment par leurs prolongements une nappe de surface, distincte de la nappe formée par les parties des mêmes droites avant leurs rencontres. Ces deux nappes se joignent sur la courbe qui est, par rapport à la surface entière, une véritable arête de rebroussement.

21Fig. 46. Actuellement, du point A de la courbe, par lequel passe le premier plan normal MNOP, soit menée dans le plan, et suivant une direction arbitraire, une droite Ag jusqu’à ce qu’elle rencontre la section OP quelque part en un point g ; par les points A', g, soit menée dans le second plan normal la droite A'g prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre la section O'P' en un point g' ; soit pareillement menée A"g'g" et ainsi de suite. La courbe qui passe par tous les points g, g', g", etc., est une développée de la courbe KAD ; car toutes les droites Ag, A'g', A"g", sont les tangentes de la courbe gg'g", puisqu’elles sont les prolongements des éléments de cette courbe. De plus, si l’on conçoit que la première, Ag, tourne autour de OP comme axe, pour venir s’appliquer sur la suivante, A'g, elle n’aura pas cessé d’être tangente à la courbe gg'g" ; et son extrémité A, après avoir parcouru l’arc AA', se confondra avec l’extrémité A' de la seconde. Que l’on fasse de même tourner la seconde ligne, A'g', autour de O’P’ comme axe, pour qu’elle vienne s’appliquer sur la troisième, A"g', elle ne cessera pas de toucher la courbe gg'g", et son extrémité A' ne sortira pas de l’arc A'A", et ainsi de suite. Donc la courbe gg'g" est telle que, si l’on conçoit qu’une de ses tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être tangente et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points de cette tangente décrira la courbe KAD ; donc elle est une de ses développées. Mais la direction de la première droite Ag était arbitraire et, suivant quelque autre direction qu’on l’eût menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre courbe gg'g" qui aurait été pareillement une développée de la courbe KAD. Une courbe quelconque a donc une infinité de développées qui sont toutes comprises sur une même surface courbe.

  • 8 En d’autres termes, les développées sont des géodésiques de la surface.

22Les droites A'g' et A"g' forment des angles égaux avec la droite O'P' ; et l’élément g'g" étant le prolongement de la droite A"g', il s’ensuit que les deux éléments consécutifs gg', g'g" de la développée gg'g", forment des angles égaux avec la droite O'P' qui passe par leur point de rencontre. Or, lorsqu’on développe la surface pour l’appliquer sur un plan, les éléments de la développée ne cessent pas de faire les mêmes angles avec les droites O’P’ ; donc deux éléments consécutifs de la courbe gg'g", considérés dans la surface étendue sur un plan, forment des angles égaux avec une même ligne droite ; donc ils sont dans le prolongement l’un de l’autre. Il suit de là que chacune des développées d’une courbe à double courbure devient une ligne droite lorsque la surface qui les contient toutes est étendue sur un plan ; donc elle est sur cette surface la plus courte que l’on puisse mener entre ses extrémités8.

23On déduit de là un moyen facile d’obtenir une développée quelconque d’une courbe à double courbure lorsqu’on a la surface développable qui les contient toutes. pour cela, il suffit, par un point de la courbe, de mener un fil tangent à la surface et de plier ensuite ce fil sur la surface en le tendant : car, en vertu de la tension, il prendra la direction de la courbe la plus courte entre ses extrémités ; il se pliera par conséquent sur une des développées.

24[111.] On conçoit, d’après cela, comment il est possible d’engendrer, par un mouvement continu, une courbe quelconque à double courbure : car, après avoir exécuté la surface développable touchée par tous les plans normaux de la courbe, si, du point donné dans l’espace et par lequel la courbe doit passer, on dirige deux fils tangents à cette surface, et si, après les avoir pliés ensuite sur la surface en les tendant, on les fixe par leurs autres extrémités, le point de réunion des deux fils qui aura la faculté de se mouvoir avec le plan tangent à la surface, sans glisser ni sur l’un des fils ni sur l’autre, engendrera, dans son mouvement, la courbe proposée.

25[112.] Tout ce que nous venons de dire par rapport aux courbes à double courbure convient également aux courbes planes, avec cette différence seulement que, tous les plans normaux étant perpendiculaires au plan de la courbe, toutes les droites de leurs intersections consécutives sont aussi perpendiculaires au même plan, et par conséquent parallèles entre elles. La surface développable touchée par tous ces plans normaux est donc alors une surface cylindrique, dont la section perpendiculaire est la développée ordinaire de la courbe. Mais cette surface cylindrique contient de même toutes les développées à double courbure de la même courbe ; et chacune de ces développées fait, avec toutes les droites génératrices de la surface cylindrique, des angles constants. Le filet d’une vis ordinaire est une des développées de la développante du cercle qui sert de base à la surface cylindrique sur laquelle il se trouve et, quelle que soit la hauteur du pas de la vis, si le diamètre du cylindre ne change pas, le filet sera toujours une des développées de la même courbe.

Notas

1 Éditions ultérieures : « dans toutes les villes un peu considérables... ». Sur ces écoles secondaires, voir l’annexe 20 : Un projet d’écoles secondaires pour artisans et ouvriers.

2 Les bocards sont des machines à broyer les minerais ou d’autres matériaux.

3 Éditions ultérieures : « Nous avons fait voir (104) comment... ».

4 La fin de la leçon reproduit presque mot pour mot les premiers paragraphes du mémoire de Monge sur les développées, les rayons de courbure, etc. [Monge, 1785, §§ I-XIII]. Ce texte se trouve également dans la deuxième édition des Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie [Monge, 1801, n° 30].

5 Cette figure est la reproduction exacte de la figure 1 du mémoire de Monge sur les développées, les rayons de courbures, etc. [Monge, 1785].

6 Cette figure est la reproduction exacte de la figure 2 du mémoire de Monge sur les développées, les rayons de courbure, etc. [Monge, 1785].

7 Dans les éditions ultérieures, la phrase commence par : « Ces surfaces... ». Monge fait allusion à sa longue intervention sur les surfaces développables dans le 3e débat (voir p. 332-335).

8 En d’autres termes, les développées sont des géodésiques de la surface.

Índice de ilustraciones

URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/504/img-1.jpg
Archivo image/jpeg, 447k

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Condiciones de uso: http://www.openedition.org/6540