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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Sixième leçon

21 ventôse /11 mars

Texte intégral

[III.]

Des intersections des surfaces courbes

1[48.] Lorsque les générations de deux surfaces courbes sont entièrement déterminées et connues, lorsque, pour chacune d’elles, la suite de tous les points de l’espace par lesquels elle passe n’a plus rien d’arbitraire, lorsque, pour chacun de ces points, une des deux projections étant prise à volonté, l’autre projection peut toujours être construite, si ces deux surfaces ont quelques points communs dans l’espace, la position de tous ces points communs est absolument déterminée : elle dépend et de la forme des deux surfaces courbes, et de leurs positions respectives, et elle est de nature à pouvoir toujours être déduite de la définition des générations des surfaces, dont elle est une conséquence nécessaire.

2La suite de tous les points communs à deux surfaces courbes déterminées forme en général dans l’espace une certaine ligne courbe qui, pour des cas très particuliers, peut se trouver dans un certain plan, et n’avoir qu’une seule courbure ; qui, pour des cas infiniment plus particuliers, peut devenir une ligne droite, et n’avoir aucune courbure ; enfin qui, pour des cas infiniment plus particuliers encore, peut se réduire à un point unique ; mais qui, dans le cas général, est ce qu’on nomme courbe à double courbure, parce qu’elle participe ordinairement des courbures des deux surfaces courbes sur chacune desquelles elle se trouve en même temps et dont elle est l’intersection commune.

3[49.] Il existe entre les opérations de l’analyse et les méthodes de la géométrie descriptive une correspondance dont il est nécessaire de donner ici une idée.

4Dans l’algèbre, lorsqu’un problème est mis en équations et qu’on a autant d’équations que d’inconnues, on peut toujours obtenir le même nombre d’équations dans chacune desquelles il n’entre qu’une des inconnues ; ce qui met à portée de connaître les valeurs de chacune d’elles. L’opération par laquelle on parvient à ce but, et qui s’appelle élimination, consiste, au moyen d’une des équations, à chasser une des inconnues de toutes les autres équations ; et en chassant ainsi successivement les différentes inconnues, on arrive à une équation finale qui n’en contient plus qu’une seule dont elle doit produire la valeur.

5L’objet de l’élimination, dans l’algèbre, a la plus grande analogie avec les opérations par lesquelles, dans la géométrie descriptive, on détermine les intersections des surfaces courbes.

6En effet, supposons que, considérant un point dans l’espace et représentant par x, y, z les distances de ce point à trois plans rectangulaires entre eux, on établisse une relation entre ces trois distances, et que cette relation soit exprimée par une équation, dans laquelle entrent les trois quantités x, y, z, et des constantes. En vertu de cette relation, la position du point ne sera pas déterminée : car les quantités x, y, z pourront changer de valeur et, par conséquent, le point pourra changer de position dans l’espace sans que la relation exprimée par l’équation cesse d’avoir lieu ; et la surface courbe qui passe par toutes les positions que le point peut occuper ainsi, sans que la relation entre ces trois coordonnées soit altérée, est celle à laquelle appartient l’équation.

7Par exemple, supposons qu’une sphère dont le rayon soit exprimé par A ait son centre au point d’intersection commune des trois plans rectangulaires, et qu’en considérant un certain point sur la surface de la sphère, on imagine des perpendiculaires abaissées de ce point sur les trois plans et représentées par les lettres x, y, z ; il est évident que le rayon de la sphère, dirigé au point que l’on considère, sera la diagonale d’un parallélépipède rectangle dont les trois arêtes seront x, y, z ; que son carré sera égal à la somme des carrés des trois arêtes ; et qu’ainsi l’on aura l’équation x2 + y2 + z2 = A2. Cela posé, si le point change de position sur la surface de la sphère, ses distances x, y, z aux trois plans rectangulaires changeront ; mais sa distance au centre ne changera pas et la somme des carrés de ces trois coordonnées, qui est toujours égale au carré du rayon, aura toujours la même valeur : on aura donc encore, entre les coordonnées de ce point, la relation exprimée par l’équation x2 + y2 + z2 = A2. Cette équation, qui a lieu pour tous les points de la surface de la sphère, et qui a lieu pour eux seuls, est celle de cette surface. Toutes les surfaces courbes ont ainsi chacune leur équation et s’il n’est pas toujours facile d’avoir cette équation exprimée en quantités aussi simples que les distances x, y, z, il est toujours possible de l’obtenir en quantités plus compliquées, telles que les inclinaisons des plans tangents, les rayons des courbures : il suffit à notre objet d’en avoir fait connaître une pour exemple.

8Actuellement, si, ayant en x, y, z les équations de deux surfaces courbes différentes, et en supposant que pour les points des deux surfaces les distances soient prises par rapport aux mêmes plans rectangulaires, on élimine une des trois quantités x, y, z, par exemple z, entre les deux équations ; par la simultanéité de ces deux équations, on établit d’abord que ce n’est pas de tous les points de la première surface indistinctement, ni de tous ceux de la seconde, que l’on s’occupe, mais seulement de ceux de leur intersection, pour chacun desquels les équations doivent avoir lieu, puisqu’ils sont en même temps sur les deux surfaces. Ensuite l’équation en x, y, qui résulte de l’élimination de z, exprime la relation qui existe entre ces deux distances pour tous les points de l’intersection, quelle que soit la distance z qui a disparu et dont il n’est plus question dans l’équation ; elle est donc l’équation de la projection de l’intersection des deux surfaces sur le plan perpendiculaire aux z.

9On voit donc qu’en algèbre l’objet de l’élimination entre plusieurs équations à trois inconnues est de déterminer sur les trois plans auxquels tout l’espace est rapporté les projections des intersections des surfaces auxquelles les équations appartiennent.

10[50.] La correspondance entre les opérations de l’analyse et les méthodes de la géométrie descriptive ne se borne pas à ce que nous venons de rapporter ; elle existe partout. Si dans l’espace, pour opérer des générations quelconques, on fait mouvoir des points, des lignes courbes, des surfaces, ces mouvements peuvent toujours être dictés par des opérations analytiques ; et les objets nouveaux auxquels ils donnent lieu sont exprimés par les résultats même des opérations. Réciproquement, il n’y a aucune opération d’analyse en trois dimensions qui ne soit l’écriture d’un mouvement opéré dans l’espace et dicté par elle. Pour apprendre les mathématiques de la manière la plus avantageuse, il faut donc que l’élève s’accoutume de bonne heure à sentir la correspondance qu’ont entre elles les opérations de l’analyse et celles de la géométrie ; il faut qu’il se mette en état, d’une part, de pouvoir écrire en analyse tous les mouvements qu’il peut concevoir dans l’espace, et, de l’autre, de se représenter perpétuellement dans l’espace le spectacle mouvant dont chacune des opérations analytiques est l’écriture.

11[51.] Revenons actuellement à notre objet, qui est la méthode de déterminer les projections des intersections des surfaces courbes.

12Pour mettre plus de clarté dans l’exposition de cette méthode, nous ne la présenterons pas d’abord avec toute l’élégance dont elle est susceptible ; nous y arriverons par degrés. De plus, l’énoncé sera général et applicable à deux surfaces quelconques ; et quoique les lettres que nous emploierons se rapportent à la figure 26 (Pl. XI) qui présente le cas particulier de deux surfaces coniques à bases circulaires et à axes verticaux, il faut néanmoins toujours concevoir que les surfaces dont il s’agit peuvent être, chacune en particulier, tout autre qu’une surface conique.

13[52.] Premier problème général. Les générations de deux surfaces courbes étant connues et toutes les données qui fixent ces générations étant déterminées sur les plans de projection, construire les projections de la courbe à double courbure suivant laquelle les deux surfaces se coupent.

14Solution. On concevra une suite de plans indéfinis placés d’une manière convenue dans l’espace ; ces plans pourront, par exemple, être tous horizontaux et c’est en effet ce que nous supposerons d’abord. Dans ce cas, la projection verticale de chacun d’eux sera une droite horizontale indéfinie ; et parce qu’on est maître de les mener à distances arbitraires, nous supposerons que dans la projection verticale on ait mené tant de droites horizontales (fig. 26) ee', ee', ee', etc., qu’on ait voulu, et que la suite de ces droites soit la projection verticale de la suite des plans qu’on a conçus. Cela posé, on fera successivement, pour chacun de ces plans et par rapport à la droite ee' qui en est la projection, l’opération que nous allons indiquer pour celui d’entre eux qui est projeté en EE'.

15Le plan EE' coupera la première surface en une certaine courbe, qu’il sera toujours possible de construire si l’on connaît la génération de la surface, car cette courbe est la suite des points dans lesquels le plan EE' est coupé par la génératrice dans toutes ses positions. Cette courbe étant plane et horizontale aura sa projection horizontale égale, semblable à elle-même et placée de la même manière ; il sera donc possible de construire cette projection, et nous supposerons que ce soit la courbe FGHIK.

16Le même plan EE' coupera aussi la seconde surface dans une autre courbe plane horizontale, dont il sera toujours possible de construire la projection horizontale, et nous supposerons que cette projection soit la courbe FOGPN.

17Cela fait, il peut arriver que les deux courbes dans lesquelles le même plan EE' coupe les deux surfaces se coupent elles-mêmes, ou qu’elles ne se coupent pas : si elles ne se coupent pas, quelque prolongées qu’elles soient, ce sera une preuve qu’à la hauteur du plan EE' les deux surfaces n’ont aucun point commun ; mais, si ces deux courbes se coupent, elles le feront en un certain nombre de points qui seront communs aux deux surfaces, et qui seront par conséquent autant de points de l’intersection demandée. En effet, en tant que les points d’intersection des deux courbes sont sur la première d’entre elles, ils sont sur la première des deux surfaces proposées ; en tant qu’ils sont sur la seconde courbe, ils sont aussi sur la seconde surface : donc, en tant qu’ils sont sur les deux courbes à la fois, ils sont aussi sur les deux surfaces.

18Or, les projections horizontales des points dans lesquels se coupent les deux courbes doivent se trouver, et sur la projection de la première, et sur la projection de la seconde ; donc les points F, G... de rencontre des deux courbes FGHIK et FOGPN seront les projections horizontales d’autant de points de l’intersection demandée des deux surfaces courbes. Pour avoir les projections verticales des mêmes points, il faut observer qu’ils sont tous compris dans le plan horizontal EE', et que leurs projections doivent être sur la droite EE'. Donc, si l’on projette les points F, G... sur EE' en f, g..., on aura les projections verticales des mêmes points.

19Actuellement, si pour toutes les autres horizontales ee', ee'..., on fait la même opération que nous venons de faire pour EE', on trouvera pour chacune d’elles, dans la projection horizontale, une suite de nouveaux points F, G..., et dans la projection verticale, une suite de nouveaux points f, g... Puis, si par tous les points F... on fait passer une branche de courbe, par tous les points G... une autre branche, et ainsi de suite, l’assemblage de toutes ces branches, qui pourront quelquefois rentrer l’une dans l’autre, sera la projection horizontale de l’intersection des deux surfaces ; de même, si par tous les points f... on fait passer une branche de courbe, par tous les points g... une autre branche, et ainsi de suite, l’assemblage de toutes ces branches, qui pourront aussi quelquefois rentrer les unes dans les autres, sera la projection verticale de l’intersection demandée.

20[53.] La méthode que nous venons d’exposer est générale, même en supposant qu’on ait choisi pour système de plans coupants une suite de plans horizontaux. Nous allons voir que, dans certains cas, le choix du système de plans coupants n’est pas indifférent, qu’on peut quelquefois le faire tel qu’il en résulte des constructions plus faciles et plus élégantes, et même qu’il peut être avantageux, au lieu d’un système de plans, d’employer une suite de surfaces courbes qui ne diffèrent entre elles que par une de leurs dimensions.

21Pour construire l’intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont verticaux, le système de plans le plus avantageux est une suite de plans horizontaux ; car chacun des plans coupe les deux surfaces en des circonférences de cercles dont les centres sont sur les axes respectifs, dont les rayons sont égaux aux ordonnées des courbes génératrices prises à la hauteur du plan coupant et dont les projections horizontales sont des cercles connus de grandeur et de position. Dans ce cas, tous les points de la projection horizontale de l’intersection des deux surfaces se trouvent donc par des intersections d’arcs de cercle. On sent que si les surfaces de révolution avaient leurs axes parallèles entre eux, mais non verticaux, il faudrait changer de plans de projection, et les choisir de manière que l’un d’entre eux fût perpendiculaire aux axes.

22[54.] S’il s’agissait de construire l’intersection de deux surfaces coniques à bases quelconques et dont les traces sur le plan horizontal fussent données ou construites, le système de plans horizontaux entraînerait dans des opérations qui seraient trop longues pour ce cas ; car chacun des plans horizontaux couperait les deux surfaces dans des courbes qui seraient bien à la vérité semblables aux traces des surfaces respectives, mais ces courbes ne seraient point égales aux traces ; il faudrait les construire par points, chacune en particulier, tandis que, si, après avoir mené une droite par les sommets donnés des deux cônes, on emploie le système de plans qui passent par cette droite, chacun de ces plans coupera les deux surfaces coniques en quatre droites ; et ces droites, qui seront dans le même plan, se couperont, indépendamment des sommets, en quatre points qui seront sur l’intersection des deux surfaces. Dans ce cas, chacun des points de la projection horizontale de l’intersection sera donc construit par l’intersection de deux lignes droites.

23[55.] Pour deux surfaces cylindriques à bases quelconques et dont les génératrices seraient inclinées diversement, le système des plans horizontaux ne serait pas le plus favorable que l’on pourrait choisir. Chacun de ces plans couperait, à la vérité, les deux surfaces dans des courbes semblables et égales à leurs traces respectives ; mais les courbes qui ne correspondraient pas verticalement aux traces auraient pour projections des courbes qui seraient distantes des traces elles-mêmes, et qu’il faudrait construire par points. Mais si l’on choisit le système de plans parallèles en même temps aux génératrices des deux surfaces, chacun de ces plans coupera les deux surfaces dans des lignes droites et ces droites se couperont en des points qui appartiendront à l’intersection des deux surfaces. Par là, les points de la projection horizontale seront construits par des intersections de lignes droites. Au reste, ceci n’est que la conséquence nécessaire de ce que nous avons dit pour le cas de deux surfaces coniques.

24[56.] Enfin, pour deux surfaces de révolution dont les axes seraient dans le même plan mais non parallèles entre eux, ce ne serait plus un système de plans qu’il serait convenable de choisir, ce serait le système de surfaces sphériques qui auraient leur centre commun au point de rencontre des deux axes : car chacune des surfaces sphériques couperait les deux surfaces de révolution dans les circonférences de deux cercles qui auraient leurs centres sur les axes respectifs et dont les plans seraient perpendiculaires au plan mené par les deux axes ; et les points d’intersection de ces deux circonférences, qui seraient en même temps et sur la surface sphérique et sur les deux surfaces de révolution, appartiendraient à l’intersection demandée. Ainsi les points de la projection de l’intersection seraient construits par les rencontres de cercles et de lignes droites. Dans ce cas, la position la plus avantageuse des deux plans de projection est que l’un soit perpendiculaire à un des axes, et que l’autre soit parallèle aux deux axes. Ce petit nombre d’observations, par rapport aux surfaces courbes qui se rencontrent le plus fréquemment, suffit pour faire voir la manière dont la méthode générale doit être employée, et comment, par la connaissance de la génération des surfaces courbes, on peut choisir l’espèce de section qui doit donner des constructions plus faciles.

25[57.] Lorsque les deux surfaces courbes sont définies de formes et de positions respectives, non seulement la courbe de leur intersection est déterminée dans l’espace, mais encore toutes les affections de ces courbes s’ensuivent immédiatement. Ainsi, par exemple, dans chacun de leurs points, la direction de leur tangente est déterminée ; il en est de même de celle de leur plan normal, c’est-à-dire du plan qui coupe la courbe à angle droit et qui est, par conséquent, perpendiculaire à la tangente au point d’intersection. Quoique nous devions avoir souvent occasion, dans la suite, de considérer les plans normaux aux courbes à double courbure, nous n’entrerons ici, par rapport à leur détermination, dans aucun détail, parce que ces plans étant toujours perpendiculaires aux tangentes, il nous suffira d’avoir donné la manière de construire les projections des tangentes aux intersections des surfaces courbes.

26[58.] Second problème général. Par un point pris à volonté sur l’intersection de deux surfaces courbes, mener la tangente à cette intersection.

27Solution. Le point pris à volonté sur l’intersection des deux surfaces courbes se trouve en même temps et sur l’une et sur l’autre de ces surfaces. Si donc par ce point considéré sur la première surface on mène à cette surface un plan tangent, ce plan touchera l’intersection dans le point que l’on considère. Pareillement, si par le même point considéré sur la seconde surface on mène à cette surface un plan tangent, ce plan touchera l’intersection dans le point que l’on considère. Les deux plans tangents toucheront donc l’intersection dans le même point, qui sera en même temps un de leurs points communs et par conséquent un de ceux de la droite dans laquelle ils se coupent ; donc l’intersection des deux plans tangents sera la tangente demandée.

28Ce problème donne lieu à l’observation suivante, qui est d’un grand usage dans la géométrie descriptive.

29« La projection de la tangente d’une courbe à double courbure est elle-même tangente à la projection de la courbe, et son point de contact est la projection de celui de la courbe à double courbure. »

30En effet, si, par tous les points de la courbe à double courbure, on conçoit des perpendiculaires abaissées sur un des plans de projection, par exemple sur le plan horizontal, toutes ces perpendiculaires seront sur une surface cylindrique verticale qui sera coupée par le plan horizontal dans la projection même. De même, si, par tous les points de la tangente à la courbe à double courbure, on conçoit des verticales abaissées, elles seront dans un plan vertical qui sera coupé par le plan horizontal dans la projection même de la tangente. Or, la surface cylindrique et le plan vertical se touchent évidemment dans toute l’étendue de la verticale abaissée du point de contact et qui leur est commune ; donc les intersections de la surface cylindrique et du plan par le plan horizontal se toucheront dans un point qui sera l’intersection de la droite de contact de la surface cylindrique et du plan vertical. Donc enfin, les projections d’une courbe à double courbure et d’une de ses tangentes se touchent en un point qui est la projection du point de contact de la courbe.

31[59.] Nous allons actuellement faire l’application de tout ce qui précède à quelques cas particuliers ; et pour commencer par des considérations simples, nous supposerons d’abord qu’une des deux surfaces dont il faut déterminer l’intersection soit un plan.

32Première question. Construire l’intersection d’une surface cylindrique donnée par un plan donné de position.

33La position des plans de projection étant arbitraire, nous supposerons d’abord, ce qui est toujours possible, que ces deux plans aient été choisis de manière que l’un soit perpendiculaire à la génératrice de la surface, et que l’autre soit perpendiculaire au plan coupant, parce que, dans cette supposition, la construction est beaucoup plus facile ; puis, pour donner aux élèves l’habitude des projections, nous supposerons que les deux plans de projection soient placés d’une manière quelconque.

34Solution. Premier cas, dans lequel on suppose que la génératrice de la surface soit perpendiculaire à l’un des plans de projection, par exemple au plan horizontal, et que le plan coupant soit perpendiculaire à l’autre.

35Soit A (Pl. XII, fig. 27) la projection horizontale de la droite à laquelle la génératrice de la surface cylindrique doit toujours être parallèle ; aa" sa projection verticale ; BCDE la trace donnée de la surface cylindrique, trace qui sera la projection horizontale de la surface indéfinie, et, par conséquent, celle de la courbe d’intersection ; soit fg la projection verticale donnée du plan coupant, projection qui sera aussi celle de l’intersection demandée, et FG la trace horizontale du même plan : il est évident que si l’on mène à la courbe BCDE, et perpendiculairement à LM, les tangentes indéfinies Ee", Ce", les droites ee", ce" seront les projections verticales de la génératrice dans ses positions extrêmes, et que les points e',c', dans lesquels elles couperont la projection fg du plan coupant, termineront sur fg la projection verticale de l’intersection demandée.

36Cela posé, si par un point pris arbitrairement sur l’intersection (point dont la projection horizontale sera un point H, pris à volonté sur la courbe BCDE, et dont on aura la projection verticale en projetant le point H en i' sur fg), on veut mener la tangente à cette intersection, il est clair que cette tangente sera comprise dans le plan coupant, et que sa projection verticale sera la droite fg ; il est clair aussi qu’elle sera comprise dans le plan vertical tangent à la surface cylindrique, et que sa projection horizontale, qui sera la même que celle du plan tangent, sera la droite FHN tangente en H à la courbe donnée BCDE. Ainsi tout est déterminé par rapport à l’intersection demandée.

37[60.] Actuellement posons qu’il s’agisse de construire cette intersection telle qu’elle existe dans son plan, et, par un de ses points pris à volonté, de lui mener une tangente. Si le plan de projection verticale se trouve à une trop grande distance de la courbe BCDE, on pourra concevoir un autre plan vertical qui lui soit parallèle, qui passe dans l’intérieur de la courbe BCDE, et dont la projection horizontale soit la droite EC parallèle à LM. Ce plan vertical coupera le plan coupant dans une droite parallèle à sa projection fg, et autour de laquelle, comme charnière, nous supposons que le plan coupant tourne pour devenir vertical et présenter en face la courbe demandée. Cela posé, par tant de points H qu’on voudra, pris arbitrairement sur BCDE, on concevra des plans verticaux perpendiculaires au plan vertical de projection, et dont on aura en même temps les projections horizontales et verticales en menant par tous les points H des droites HJKii' perpendiculaires à LM. Chacun de ces plans coupera le plan coupant dans une droite horizontale perpendiculaire à la charnière, et dont la projection verticale sera le point de rencontre V des deux droites fg, ii'. De plus, dans chaque plan, cette droite horizontale rencontrera la charnière dans un point dont la projection horizontale sera l’intersection J des deux droites EC, HJKii' ; et elle rencontrera la courbe demandée dans des points dont les projections horizontales seront les intersections H, K de la droite HJKii' avec la courbe BCDE. Enfin, cette droite et toutes ses parties seront égales à leurs projections horizontales. Or, lorsque le plan coupant tourne autour de la charnière pour devenir vertical, toutes ces droites, qui d’abord étaient horizontales, ne cessent pas d’être perpendiculaires à la charnière et ne changent pas de grandeur. Donc, si par tous les points V on mène à fg des perpendiculaires indéfinies hk, et si sur ces perpendiculaires on porte JH de V en h, et JK de i' en k, on aura tant de points h, k qu’on voudra, par lesquels on fera passer la courbe demandée e'kc'h.

  • 1 La méthode dite « des points fixes » que Monge utilise plus loin (n° 68) évite de faire intervenir (...)

38[61.] La courbe étant construite dans son plan, s’il s’agit par un de ses points h, pris arbitrairement, de lui mener une tangente, on aura la projection verticale de ce point en abaissant du point h sur fg la perpendiculaire hi' ; on aura sa projection horizontale en projetant i' en H sur la courbe BCDE ; on aura la projection horizontale de la tangente demandée, en menant la droite FN, tangente en H à la courbe BCDE ; et il suffira de rapporter sur le plan de la courbe un point quelconque de la tangente, celui, par exemple, qui est projeté sur le point N pris arbitrairement, et dont la projection verticale est sur fg en a'. Or, en raisonnant pour ce point comme pour tout autre point du plan coupant, il est clair que, si par le point a' on mène à fg la perpendiculaire a'n, et que si sur cette droite on porte de a' en n la distance NA du point N à la droite EC, le point n sera le second point de la tangente. Donc en menant la droite hn, on aura la tangente demandée1.

39[62.] Quelle que soit la courbe donnée BCDE, on voit que l’intersection e'kc'h jouit de la propriété que, pour un de ses points quelconque, la sous-tangente a'n est égale à la sous-tangente AN de la première. Cette propriété, qui est très connue pour le cercle et l’ellipse, lorsque ces deux courbes ont un axe commun, n’a lieu par rapport à elles que parce qu’elles sont les intersections d’une même surface cylindrique par deux plans différents.

  • 2 Il s’agit d’une sinusoïde.

40[63.] Enfin, il peut arriver qu’on ait besoin de tracer sur le développement de la surface cylindrique l’effet de la section faite par le plan coupant. Pour cela, après avoir développé la courbe BCDE, avec toutes ses divisions, sur une droite RQ, si par toutes les divisions de RQ on lui mène des perpendiculaires indéfinies, on aura sur le développement de la surface les traces des différentes positions de la droite génératrice, et il ne s’agira plus que de porter sur ces perpendiculaires les parties des génératrices correspondantes comprises entre la section perpendiculaire BCDE et la section faite par le plan coupant. Or, ces parties de génératrices sont égales à leurs projections verticales et ces projections sont toutes terminées d’une part à la droite LM, et de l’autre à fg. Donc, si le point H, par exemple, tombe en S sur la droite RQ, en portant ii' sur la perpendiculaire qui passe par le point S, de S en T, le point T sera, sur la surface développée, celui où la génératrice qui passe par le point H est coupée par le plan coupant. La courbe XTYZ, qui passera par tous les points déterminés de la même manière, sera la courbe demandée2.

41[64.] Il est évident que, si l’on prolonge la tangente au point H jusqu’à ce qu’elle rencontre la trace horizontale GF du plan coupant quelque part en un point F et que si l’on porte HF sur RQ de S en U, la droite TU sera tangente à la courbe ; car, lorsque la surface cylindrique se développe, ses éléments ne changent pas d’inclinaison par rapport au plan horizontal.

42Second cas, dans lequel on suppose la surface cylindrique et le plan coupant placés d’une manière quelconque par rapport aux deux plans de projections.

43[65.] Solution. (Pl. XIII, fig. 28) Soient AB et aa' les deux projections de la droite à laquelle la génératrice doit être parallèle ; CEDF, la trace donnée de la surface cylindrique ; et HGh, hb, les traces du plan coupant.

44On imaginera une suite de plans parallèles à la génératrice de la surface cylindrique, et qui seront de plus tous perpendiculaires à un des plans de projection, par exemple au plan horizontal ; chacun de ces plans sera projeté suivant une droite OK parallèle à AB, et coupera la surface en des droites qui seront des positions de la génératrice, et qui rencontreront le plan horizontal aux points d’intersection E, F de la droite OK avec la courbe CEDF. Si donc on projette les points E, F sur LM en e, f, et si par ces derniers points on mène à la droite aa' les parallèles ee', ff', on aura les projections verticales des intersections de la surface avec chacun des plans parallèles à la génératrice.

45Ces mêmes plans couperont aussi le plan coupant en des droites qui seront parallèles entre elles, qui auront toutes leurs traces horizontales sur les différents points O de la droite HG, et dont les projections verticales seront aussi parallèles entre elles. Pour avoir ces projections, il faut d’abord chercher la direction de l’une d’elles, de celle, par exemple, qui correspond au plan vertical mené par AB. Pour cela, si l’on prolonge AB jusqu’à ce qu’elle rencontre, d’une part, la trace du plan coupant en un point N et, de l’autre, la droite LM en un point B, et si l’on projette le point B en b sur hb, les deux points N et b seront sur les deux plans de projection les traces de l’intersection du plan coupant avec le plan vertical. Donc, si l’on projette le point N en n sur LM et si l’on mène la droite nb, on aura la projection verticale de cette intersection. Donc, en projetant sur LM tous les points O dans lesquels la trace GH est coupée par les projections des plans verticaux, ce qui donnera une suite de points o, et en menant par ces derniers les parallèles oik à nb, on aura les projections verticales des intersections du plan coupant par la suite des plans verticaux. Donc enfin les points de rencontre i, k de chaque droite oik avec les projections ee', ff' des sections faites dans la surface cylindrique par le plan vertical correspondant seront sur la projection verticale de l’intersection demandée ; et la courbe qui passera par tous les points i, k, ainsi déterminés, sera cette projection. Si l’on projette les points i, k en J, K sur la projection OK du plan vertical correspondant, on aura la projection horizontale des mêmes points et la courbe QKJP, qui passera par tous les points ainsi déterminés, sera la projection horizontale de l’intersection.

46[66.] Pour avoir les tangentes de ces deux projections aux points J, i, il faut se rappeler que ces tangentes sont les projections de la tangente à l’intersection. Or, cette dernière tangente étant en même temps dans le plan coupant et dans le plan tangent à la surface cylindrique, doit avoir sa trace horizontale dans l’intersection des traces horizontales de ces deux plans : de plus, la trace du plan tangent est la tangente en F à la courbe CEDF. Donc, si l’on mène cette tangente, et si, après l’avoir prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre la trace du plan coupant en un point G, on mène la droite GJ, cette droite touchera au point J la projection horizontale de l’intersection. Enfin, projetant le point G sur LM en g, et menant la droite gi, on aura la tangente en i de la projection verticale de la même courbe.

  • 3 Itérer pour les points T, U, V,... la construction donnée pour S nécessite, pour chacun de ces poi (...)

47[67.] S’il faut construire la courbe de l’intersection telle qu’elle existe dans son plan, on concevra que le plan coupant tourne autour de sa trace horizontale HG, comme charnière, pour s’appliquer sur le plan horizontal. Dans ce mouvement, chacun des points de la section, celui, par exemple, qui est projeté en J, décrira un arc de cercle dont le plan sera vertical, perpendiculaire à HG, et dont on aura la projection indéfinie en menant par le point J une droite RJS perpendiculaire à HG : donc, lorsque le plan sera abattu, le point de la section tombera quelque part sur un point de cette droite. Reste à trouver la distance de ce point à la charnière : or la projection horizontale de cette distance est JR et la différence des hauteurs de ses extrémités est la verticale is. Si l’on porte JR sur LM de s en r, l’hypoténuse ri sera cette distance. Donc, portant ri sur RJ de R en S, le point S sera un des points de l’intersection considérée dans son plan abattu sur le plan horizontal ; et la courbe STUV, menée par tous les points S semblablement construits, sera cette intersection elle-même3.

48[68.] Pour avoir la tangente de cette courbe au point S, il suffit d’observer que, pendant le mouvement du plan coupant, la tangente ne cesse pas de passer par le point G de la charnière : donc, si l’on mène la droite SG, on aura la tangente demandée.

49[69.] Deuxième question. Construire l’intersection d’une surface conique à base quelconque donnée par un plan donné de position.

50Solution. Nous supposerons, ce qui est toujours possible, que le plan vertical de projection soit placé perpendiculairement au plan coupant.

51Soient A et a' (Pl. XIV, fig. 29) les projections du sommet du cône ou du centre de la surface conique, BCDE la trace de cette surface sur le plan horizontal, fg la projection verticale du plan courant, et Gf sa trace horizontale. On imaginera par le sommet du cône une suite de plans perpendiculaires au plan vertical de projection : les projections verticales de ces plans seront les droites a'c menées par la projection du sommet ; et leurs traces horizontales seront les droites cC perpendiculaires à LM, qui couperont la trace de la surface conique quelque part en des points C, C'... Ces plans couperont la surface en des droites dont les projections verticales seront les droites a'c..., et dont on aura les projections horizontales en menant au point A les droites CA, C'A... Les mêmes plans couperont aussi le plan coupant dans des droites qui seront perpendiculaires au plan vertical. Les projections de ces droites seront les points h... de rencontre de fg avec les droites a'c..., et on aura leurs projections horizontales en abaissant des points h... sur LM les perpendiculaires indéfinies hH... Cela fait, les droites hH... couperont les droites correspondantes CA, C'A..., en des points H, H’... qui seront les projections horizontales d’autant de points de l’intersection demandée ; et la courbe PHQH', qui passera par tous les points construits de cette manière, sera la projection de l’intersection.

52[70.] Pour mener à cette courbe une tangente par un point H pris à volonté sur elle, il suffit de chercher sur le plan horizontal la trace de la tangente de l’intersection dans le point qui correspond au point H. Or, cette trace doit être sur celle du plan coupant, et par conséquent sur Gf ; elle doit être aussi sur celle du plan qui touche la surface conique dans la droite dont la projection est AH : de plus, si l’on prolonge AH jusqu’à ce qu’elle rencontre la courbe BCDE quelque part en un point C, la tangente CF de cette courbe au point C sera la trace horizontale du plan tangent. Donc le point F de rencontre des deux traces fG, CF, sera sur la tangente au point H de la courbe PHQH'.

53[71.] S’il est nécessaire de construire l’intersection considérée dans son plan, on pourra indifféremment concevoir, ou que le plan coupant tourne autour de Gf comme charnière, pour s’abattre sur le plan horizontal, et construire la courbe dans la position qu’elle aura prise alors, ou qu’il tourne autour de sa projection verticale fg pour s’appliquer sur le plan vertical ; c’est cette dernière hypothèse que nous allons suivre.

  • 4 Même remarque que pour la première question (n° 61) sur le recours possible à la méthode dite « de (...)

54Toutes les horizontales dans lesquelles la suite des plans menés par le sommet a coupé le plan coupant, et qui sont perpendiculaires à fg, ne changent pas de grandeur dans le mouvement du plan coupant, et ne cessent pas d’être perpendiculaires à fg : donc, si par tous les points h on mène à fg des perpendiculaires indéfinies, et si l’on porte sur elles les horizontales correspondantes KH, KH', de h en N et en N', les points N et N' seront des points de la section ; et la courbe RNSN', menée par tous les points ainsi construits, sera l’intersection considérée dans son plan4.

55[72.] D’après tout ce qui précède, il est évident que, pour mener à cette courbe une tangente en un point N, pris arbitrairement sur elle, il faut du point N abaisser sur fg la perpendiculaire Nh, mener la droite a'h jusqu’à ce qu’elle rencontre LM en un point c, projeter ce dernier point en C sur la courbe BCDE, mener à cette courbe la tangente en C, qui coupera la trace Gf quelque part en un point F, et porter Ff perpendiculairement à fg de f en O. La droite ON sera la tangente demandée.

56Quant à la manière de construire le développement de la surface conique à base quelconque et de tracer sur ce développement l’effet de l’intersection par le plan coupant, nous l’exposerons incessamment, après avoir parlé de l’intersection de la surface conique par celle d’une sphère qui aurait son centre au sommet.

57[73.] Troisième question. Construire l’intersection de deux surfaces coniques à bases circulaires, et dont les axes sont parallèles entre eux.

58Solution. Nous ne répéterons pas ici sur la figure 26 tout ce que nous avons dit en exposant la méthode générale à laquelle cette figure servait de type ; nous observerons seulement que, dans le cas dont il s’agit ici, de même que dans celui de deux surfaces quelconques de révolution, les sections faites dans les deux surfaces par les plans horizontaux sont des cercles : mais nous entrerons dans quelques détails par rapport aux tangentes, dont nous n’avons pas eu occasion de parler.

59[74.] Pour trouver la tangente au point F de la projection horizontale de l’intersection, nous nous rappellerons qu’elle est la projection de la tangente de l’intersection des deux surfaces au point qui correspond à F et qu’il suffit, pour la déterminer, de trouver le point S qui est, sur le plan horizontal, la trace de la tangente de l’intersection. Or cette dernière tangente est dans les deux plans qui touchent les surfaces coniques dans le point de l’intersection ; donc, si l’on trouve les traces horizontales Rr, Qq, de ces deux plans tangents, elles détermineront par leur rencontre le point S. Mais le plan tangent à la première surface la touche dans une droite qui passe par le sommet et dont on aura la projection horizontale en menant la droite indéfinie AF. De plus, si l’on prolonge AF jusqu’à ce qu’elle rencontre en un point Q la trace circulaire horizontale TQUV de la surface, le point Q sera un point de la ligne de contact de la surface et du plan ; par conséquent la trace horizontale du plan sera tangente en Q au cercle TQUV : soit donc menée cette tangente Qq. Pareillement, si l’on prolonge le rayon BF jusqu’à ce qu’il rencontre en R la trace horizontale circulaire RXYZ de la seconde surface, et si l’on mène à ce cercle la tangente en R, cette droite Rr sera la trace horizontale du plan tangent à la seconde surface. Donc, si par le point S d’intersection des deux tangentes Qq, Rr, on mène la droite SF, on aura la tangente au point D de la projection horizontale de l’intersection.

60Quant à la tangente au point correspondant f de la projection verticale, il est clair qu’on l’obtiendra en projetant le point S en s et en menant ensuite la droite sf qui sera cette tangente.

61[75.] Il peut arriver qu’il soit nécessaire de construire sur le développement de l’une des surfaces coniques, peut-être même sur celui de chacune d’elles, l’effet de leur mutuelle intersection ; ce qui serait nécessaire, par exemple, s’il fallait exécuter les cônes avec des substances flexibles telles que des feuilles de métal : dans ce cas, on opérera pour chaque cône, comme nous allons l’indiquer pour le premier.

  • 5 Lire : « le point de la section rapportée dont la projection verticale est ƒ ». Édition ultérieure (...)

62Nous observerons d’abord que, lorsqu’une surface conique se développe pour devenir plane, les lignes droites qui sont sur cette surface ne changent ni de forme ni de grandeur, parce que chacune d’elles est successivement la charnière autour de laquelle s’opère le développement : ainsi tous les points de la surface restent toujours à la même distance du sommet. De plus, lorsque, comme dans ce cas, la surface conique est droite et circulaire, tous les points de la trace horizontale circulaire sont à égale distance du sommet ; ils doivent donc être à égale distance du sommet sur le développement, et par conséquent sur un arc de cercle dont le rayon est égal à la distance constante du sommet à la trace circulaire. Donc, si après avoir pris arbitrairement un point pour représenter le sommet sur le développement, on décrit de ce point comme centre et d’un rayon égal à aC, un arc de cercle indéfini, cet arc sera aussi indéfiniment le développement de la trace horizontale de la surface. Puis, si, à partir du point T de la trace par lequel on veut commencer le développement, on porte l’arc de cercle TQ sur l’arc qu’on vient de décrire, on déterminera la position du point Q sur le développement ; et la droite indéfinie, menée par ce point au centre du développement, sera la position qu’occupera la droite de la surface qui est projetée en AQ, et sur laquelle devra se trouver le point f de la section rapportée5. Pour construire ce point, il ne s’agira plus que de trouver sa distance au sommet et de la porter sur la droite indéfinie à partir du centre du développement. Pour cela, par le point f dans la projection verticale, on mènera l’horizontale fk jusqu’à ce qu’elle coupe le côté aC du cône en un point k et la droite ak sera cette distance. En construisant de même successivement tous les autres points de l’intersection et en faisant passer par tous ces points une courbe, on aura l’intersection des deux surfaces rapportées sur le développement de la première ; on opérera de même pour la seconde surface.

63[76.] Quatrième question. Construire l’intersection de deux surfaces coniques à bases quelconques.

64Solution. Soient A, a (PL XV, fig. 30) les projections du sommet de la première surface, CGDG' sa trace donnée sur le plan horizontal, B, b les projections du sommet de la seconde, et EHFH' sa trace sur le plan horizontal. On concevra par les deux sommets une droite dont on aura les projections en menant les droites indéfinies AB, ab, et dont on construira facilement la trace I sur le plan horizontal. Par cette droite on concevra une série de plans qui couperont chacun les deux surfaces coniques dans le système de plusieurs lignes droites ; et celles de ces lignes droites qui seront dans le même plan détermineront par leurs rencontres autant de points de l’intersection des deux surfaces. Les traces horizontales de tous les plans de cette série passeront nécessairement par le point I ; et, parce que la position de ces plans est d’ailleurs arbitraire, on pourra donc se donner arbitrairement leurs traces en menant par le point I tant de droites IK qu’on voudra, pour chacune desquelles on fera l’opération que nous allons décrire pour une seule d’entre elles.

  • 6 Éditions ultérieures : suppression de ce paragraphe.

65La petitesse du format du journal n’a pas permis de faire la figure complète. Nous invitons les élèves à la construire en grand et à tracer les courbes dans la plus grande partie de leur étendue qu’il sera possible6.

66La trace KI de chacun des plans de la série coupera la trace horizontale de la première surface conique en des points G, G', qui seront aussi les traces horizontales des lignes droites suivant lesquelles le plan coupe la surface conique : ainsi AG, AG' seront les projections horizontales indéfinies de ces droites, et l’on aura leurs projections verticales en projetant G, G' en g, g', et menant les droites indéfinies ag, ag'. Pareillement la trace KI du même plan de la série coupera la trace horizontale de la seconde surface conique dans des points H, H', par lesquels si l’on mène indéfiniment BH, BH', on aura les projections horizontales des droites suivant lesquelles le même plan de la série coupe la seconde surface, et l’on aura leurs projections verticales en projetant H, H' en h, h', et en menant les droites indéfinies bh, bh'.

67Cela fait, pour le même plan dont la trace est KI, on aura sur la projection horizontale un certain nombre de droites AG, AG', BH, BH' ; et les points P, Q, R, S, où celles qui appartiennent à l’une des surfaces rencontreront celles qui appartiennent à l’autre, seront les projections horizontales d’autant de points de l’intersection des deux surfaces. Ainsi en opérant successivement de la même manière pour d’autres lignes KI, on trouvera de nouvelles suites de points PQRS ; et faisant ensuite passer par tous les points P une première branche de courbe, par tous les points Q une seconde, par tous les points R une troisième, etc., on aura la projection horizontale de l’intersection demandée.

68Pareillement, pour le même plan dont la trace est KI, on aura sur la projection verticale un certain nombre de droites ag, ag', bh, bh', dont les points de rencontre seront les projections verticales d’autant de points de l’intersection.

69Il faut observer ici qu’il n’est pas nécessaire de construire les deux projections de la courbe d’intersection indépendamment l’une de l’autre, et qu’un point de l’une étant construit, on peut trouver son correspondant sur l’autre projection, en le projetant par une perpendiculaire à la commune intersection des deux plans de projection sur l’une des droites qui doit le contenir ; ce qui fournit les moyens de vérifier les opérations et d’éviter, dans certains cas, les intersections de droites qui se couperaient sous des angles trop obliques.

70[77.] Pour trouver les tangentes à la projection horizontale, celle, par exemple, qui la touche au point P, il faut construire la trace horizontale T de la tangente de l’intersection au point qui correspond à P. Or, cette tangente est l’intersection des deux plans qui touchent les surfaces coniques dans ce point : sa trace sera donc dans la rencontre des traces horizontales de ces deux plans tangents. De plus, AG'P est la projection de la droite de contact du plan qui touche la première surface ; ainsi la trace de ce premier plan sera la tangente de la courbe CGDG' au point G' : soit G'TV cette tangente. Pareillement BH'P est la projection horizontale de la droite de contact du plan qui touche la seconde surface ; ainsi la trace horizontale du second plan tangent sera la tangente au point H' de la courbe EHFH' : soit H'TU cette tangente. Les deux tangentes G'V, H'U se couperont donc en un point T, par lequel si l’on mène la droite TP, on aura la tangente au point P demandée.

71En raisonnant de même pour les autres points Q, R, S, on trouvera, 1) que la tangente en Q doit passer par le point V de rencontre des tangentes en G' et en H ; 2) que la tangente en R doit passer par la rencontre X des tangentes en H et en G ; 3) que la tangente en S doit passer par la rencontre U des tangentes en G et en H'.

72Quant aux tangentes de la projection verticale, elles n’ont aucune difficulté lorsque celles de la projection horizontale sont déterminées ; car, en projetant les traces horizontales T, V, U, X des tangentes de l’intersection, on a les points par lesquels elles doivent passer.

73[78.] Cinquième question. Construire l’intersection d’une surface conique à base quelconque et celle d’une sphère.

74Nous supposerons ici que les deux surfaces sont concentriques, c’est-à-dire que le sommet du cône est placé au centre de la sphère, parce que nous aurons besoin de ce cas particulier pour la question suivante.

75Solution. Soient A, a (Pl. XVI, fig. 31) les projections du centre commun des deux surfaces, BCDE la trace horizontale donnée de la surface conique, am le rayon de la sphère, et le cercle If' g'm la projection verticale de la sphère. On concevra par le centre commun des deux surfaces une série de plans, que l’on pourra de plus supposer tous perpendiculaires à l’un des deux plans de projection. Dans la figure 31, nous les avons supposés verticaux. Chacun de ces plans coupera la surface conique dans un système de lignes droites et la surface de la sphère dans la circonférence d’un de ses grands cercles ; et pour chaque plan les rencontres de ces droites avec la circonférence du cercle détermineront des points de l’intersection demandée : soient donc menées par le point A tant de droites indéfinies CAE qu’on voudra, qui seront les projections horizontales d’autant de plans verticaux de la série, et en même temps celles des lignes suivant lesquelles ces plans coupent les deux surfaces. Chaque droite CAE coupera la trace horizontale BCDE de la surface conique en des points C, E, qui seront les traces horizontales des sections faites dans cette surface par le plan correspondant ; et si, après avoir projeté les points C, E sur LM en c, e, on mène les droites ac, ae, on aura les projections verticales des mêmes sections. Il s’agit actuellement de trouver les rencontres de ces sections avec celles de la sphère par le même plan.

76Pour cela, après avoir mené par le point A la droite GAF parallèle à LM, on concevra que le plan vertical mené par CE tourne autour de la verticale élevée par le point A et projetée en a'a, jusqu’à ce qu’il devienne parallèle au plan vertical de projection, et de plus qu’il entraîne avec lui les sections qu’il a faites dans les deux surfaces. Dans ce mouvement, les points C, E décriront autour du point A comme centre des arcs de cercle CG, EF, et viendront s’appliquer en G, F ; et si l’on projette ces derniers points sur LM en g, f, les droites ag, af seront les projections verticales des sections faites dans la surface conique, considérées dans la nouvelle position qu’elles ont prise en vertu du mouvement du plan. La section faite dans la surface de la sphère, considérée de même dans la nouvelle position, aura pour projection verticale la circonférence If' g'm. Donc les points de rencontre f', g’ de cette circonférence avec les droites ag, af, seront les projections des points de l’intersection demandée, considérés aussi dans la nouvelle position du plan.

77Actuellement, pour avoir les projections des mêmes points considérés dans leur position naturelle, il faut supposer que le plan vertical de la série retourne dans sa position primitive. Dans ce mouvement, tous ses points et, par conséquent, ceux de l’intersection qu’il contient décriront des arcs de cercles horizontaux autour de la verticale élevée par le point A comme axe et dont les projections verticales seront des droites horizontales. Donc, si par les points g’, f', on mène les horizontales g'i, f’h, elles contiendront les projections verticales des points de l’intersection : mais ces projections doivent aussi se trouver sur les droites respectives ac, ae ; donc elles seront aux points de rencontre i, h de ces dernières droites avec les horizontales g'i, f'h. Ainsi la courbe khni, menée par tous les points construits de la même manière pour toute autre droite que CE, sera la projection verticale de l’intersection demandée.

78Si l’on projette les points i, h sur CE en J, H, on aura les projections horizontales des mêmes points de l’intersection ; et la courbe KHNJ menée par tous les points J, H construits de la même manière pour toute autre droite que CE, sera la projection horizontale de l’intersection.

79[79.] Pour trouver la tangente au point J de la projection horizontale, il faut construire la trace horizontale P de la tangente au point correspondant de l’intersection. Cette droite doit se trouver à la rencontre des traces des plans tangents aux deux surfaces au point de l’intersection qui correspond au point J. Or, il est évident que, si par le point C on mène à la courbe BCDE la tangente CP, on aura la trace du plan tangent à la surface conique. Quant à celle du plan tangent de la sphère, on opérera comme nous l’avons vu pour les surfaces de révolution, c’est-à-dire en menant par le point g' au cercle If' g'm la tangente g’o prolongée jusqu’à la droite LM en o, en portant ensuite a’o sur CE de A en O et en menant par le point O la droite OP perpendiculaire à CE. Donc les deux traces CP, OP se couperont en un point P par lequel, si l’on mène la droite JP, on aura la tangente au point J.

80Enfin il est évident que l’on aura la tangente au point i de la projection verticale de l’intersection en projetant le point P sur LM en p et en menant ensuite la droite ip qui sera la tangente demandée.

81[80.] Si la sphère et la surface conique n’étaient pas concentriques, il faudrait concevoir par leurs deux centres une ligne droite, et choisir la série des plans coupants qui passerait par cette droite. Chacun de ces plans couperait la surface conique dans des droites, et celle de la sphère dans un de ses grands cercles, comme dans le cas précédent, ce qui donne également une construction simple. Mais alors il serait avantageux de placer le plan vertical de projection parallèlement à la droite menée par les deux centres, afin que, dans le mouvement que l’on fait faire à chaque plan coupant pour le rendre parallèle au plan vertical de projection, les deux centres soient immobiles et ne changent pas de projections, ce qui simplifie les constructions.

82[81.] Sixième question. Construire le développement d’une surface conique à base quelconque et rapporter sur cette surface ainsi développée une section dont on a les deux projections.

  • 7 La méthode proposée par Monge pour le développement du cône, dans laquelle intervient une sphère a (...)

83Solution. On concevra la surface d’une sphère d’un rayon pris à volonté, et dont le centre soit placé au sommet du cône, et l’on construira, comme nous l’avons fait dans la question précédente, les projections de l’intersection de ces deux surfaces. Cela fait, il est évident que tous les points de l’intersection sphérique étant à la même distance du sommet, ils doivent aussi sur la surface développée se trouver à la même distance du sommet, et par conséquent sur un arc de cercle décrit du sommet comme centre et avec un rayon égal à celui de la sphère. Ainsi, en supposant que le point R (fig. 33) soit le sommet de la surface développée, si, de ce point comme centre et d’un rayon égal à am (fig. 31), on décrit un arc de cercle indéfini STU, ce sera sur cet arc que tous les points de l’intersection sphérique viendront s’appliquer, de manière que les parties de cet arc seront respectivement égales aux parties correspondantes de l’intersection sphérique. Il s’agit donc actuellement, après avoir pris à volonté sur cette intersection un point pour origine, par exemple, celui qui est projeté en n (fig. 31), et un point S (fig. 33) pour son correspondant sur la surface développée, de développer les différents arcs de l’intersection sphérique, et de les porter successivement sur l’arc de cercle STU de S en des points T. Pour cela, la courbe sphérique étant à double courbure, il faut lui faire perdre successivement ses deux courbures, sans altérer sa grandeur, de la manière suivante7 :

84L’intersection sphérique étant projetée sur le plan horizontal en NJKH (fig. 31), on peut la regarder comme tracée sur la surface d’un cylindre vertical, dont la base serait NJKH : on pourra donc développer cette surface, comme nous l’avons indiqué (fig. 27), et rapporter sur cette surface cylindrique développée l’intersection sphérique, en développant l’arc NJ (fig. 31) en N'J' (fig. 32), et en portant la verticale i'i (fig. 31) perpendiculairement à N'N' (fig. 32) de J’ en J". La courbe N"J"K"H"N", qui passera par tous les points J" ainsi déterminés, sera l’intersection sphérique privée de sa courbure horizontale sans avoir changé de longueur. On aura la tangente au point J" de cette courbe, en prenant JP (fig. 31), et la portant sur N'N' (fig. 32) de J' en P', et menant la droite J"P'.

85Actuellement, on développera la courbe N"J"K"H"N" pour la replier sur l’arc STU (fig. 33) : par exemple, on portera l’arc N"J" de S en T, et le point T sera, sur la surface conique développée, le point où s’applique celui de l’intersection sphérique, dont les projections sont J, i (fig. 31). Donc, si l’on mène la droite RT, on aura, sur le développement de la surface, la génératrice dont la projection horizontale est AC (fig. 31) : enfin, s’il se trouve sur cette génératrice un point qu’il faille rapporter sur la surface développée, il ne s’agira plus que de prendre (fig. 31) la distance de ce point au sommet de la surface conique et de la porter (fig. 33) sur RT de R en V ; et le point V sera sur la surface développée celui que l’on considère.

86[82.] Septième question. Construire l’intersection de deux surfaces cylindriques à bases quelconques.

  • 8 Éditions ultérieures : « Mais, lorsque l’on doit... ».

87Solution. Lorsque, dans la recherche qui donne lieu à la question dont il s’agit, on n’a pas d’autres intersections à considérer que celle des deux surfaces cylindriques, et surtout quand ces surfaces sont à bases circulaires, il est avantageux de choisir les plans de projection de manière que l’un d’entre eux soit parallèle aux génératrices des deux cylindres ; par là, l’intersection se construit sans employer d’autres courbes que celles qui sont données. Mais comme nous en verrons des exemples dans la leçon prochaine, lorsque l’on doit8 considérer en même temps les intersections de ces surfaces avec d’autres, il n’y a plus d’avantage à changer de plans de projection, et même il est plus facile de se représenter les objets en les rapportant tous aux mêmes plans. Nous allons donc supposer les génératrices des deux surfaces placées d’une manière quelconque par rapport aux plans de projection.

  • 9 La référence à la figure 34 manque dans l’édition originale.

88Soient donc TFF'U, XGG'V (Pl. XVII, fig. 349) les traces horizontales données des deux surfaces cylindriques ; AB, ab les projections données de la droite à laquelle la génératrice de la première doit être parallèle ; CD, cd, celles de la droite à laquelle doit être parallèle la génératrice de la seconde. On concevra une série de plans parallèles aux deux génératrices. Ces plans couperont les deux surfaces dans des lignes droites, et les rencontres des deux sections faites dans la première surface par les sections faites dans la seconde détermineront les points de l’intersection demandée.

89Ainsi, après avoir construit, comme dans la figure 15, la trace horizontale CE d’un plan mené par la seconde droite donnée parallèlement à la première, on mènera parallèlement à cette trace tant de droites FG' qu’on voudra, et l’on regardera ces parallèles comme les traces des plans de la série. Chaque droite FG' coupera la trace de la première surface en des points F, F', et celle de la seconde en d’autres points G, G', par lesquels on mènera aux projections des génératrices respectives les parallèles FH, F'H',... GJ, G'J'... ; et les points de rencontre P, Q, R, S, de ces droites, seront les projections horizontales d’autant de points de l’intersection des deux surfaces. En opérant de même pour la suite des droites FG', on trouvera une suite de systèmes de points, P, Q, R, S, et la courbe qui passera par tous les points trouvés de la même manière sera la projection horizontale de l’intersection.

90Pour avoir la projection verticale, on projettera sur LM les points F, F',... G, G'... en f, f',... g, g'..., et, par ces derniers points, on mènera aux projections des génératrices respectives les parallèles fh, fh',... gi, g'i',... qui, par leurs rencontres, détermineront les projections verticales p, q, r, s des points de l’intersection. En opérant de même pour toutes les autres droites FG', on aura de nouveaux points p, q, r, s ; et la courbe qui passera par tous ces points sera la projection verticale de l’intersection.

91Pour avoir les tangentes de ces courbes aux points S et s, on construira la trace horizontale F'Y du plan tangent en ce point à la première surface cylindrique ; puis la trace GY du plan tangent en ce même point à la seconde ; et la droite, menée du point S au point Y de rencontre de ces traces, sera la tangente en S. Enfin, projetant Y sur LM en y, et menant la droite sy, on aura la tangente au point s de la projection verticale.

92[83.] Huitième question. Construire l’intersection de deux surfaces de révolution, dont les axes sont dans un même plan.

93Solution. On disposera les plans de projection de manière que l’un d’entre eux soit perpendiculaire à l’axe d’une des surfaces et que l’autre soit parallèle aux deux axes. D’après cela, soient A (Pl. XVIII, fig. 35) la projection horizontale de l’axe de la première surface, aa' sa projection verticale, et cde la génératrice donnée de cette surface. Soit AB, parallèle à LM, la projection horizontale de l’axe de la seconde surface, a'b sa projection verticale, de manière que A et a' soient les projections du point de rencontre des deux axes ; et soit fgh la génératrice donnée de cette seconde surface. On concevra une série de surfaces sphériques, dont le centre commun soit placé au point de concours des deux axes. Pour chacune des surfaces de cette série, on construira la projection iknopq du grand cercle parallèle au plan vertical de projection ; et ces projections, qui seront des arcs de cercle décrits du point a' comme centre, et avec des rayons arbitraires, couperont les deux génératrices en des points k, p.

94Cela posé, chaque surface sphérique coupera la première surface dans la circonférence d’un cercle, dont le plan sera perpendiculaire à l’axe aa', et dont on aura la projection verticale en menant l’horizontale ko, et dont on aura la projection horizontale en décrivant du point A comme centre, et d’un diamètre égal à ko, la circonférence de cercle KROR'. De même, chaque surface sphérique de la série coupera la seconde surface de révolution dans la circonférence d’un cercle, dont le plan sera perpendiculaire au plan vertical de projection et dont on aura la projection verticale en menant par le point p une droite pn perpendiculaire à a'b.

  • 10 La méthode indiquée est générale, mais le fait que cette intersection soit une courbe plane située (...)

95Si le point r, dans lequel se coupent les deux droites ko, pn, est plus près des deux axes respectifs que n’en sont les points k, p, il est évident que les deux circonférences de cercles se couperont en deux points, dont le point r sera la projection verticale commune ; et la courbe menée par tous les points r, construits de la même manière, sera la projection verticale de l’intersection des deux surfaces10. Projetant le point r sur la circonférence du cercle KROR' en R et R', on aura les projections horizontales des deux points de rencontre des circonférences de cercles qui se trouvent sur la même sphère ; et la courbe menée par tous les points R, R' construits de la même manière, sera la projection horizontale de l’intersection demandée.

  • 11 Éditions ultérieures : suppression de « ce que la petitesse du format du journal ne nous a pas per (...)

96Ces exemples doivent suffire pour faire connaître la manière dont il faut employer la méthode de construire les intersections des surfaces, et de leur mener des tangentes, surtout si les élèves s’appliquent à construire avec la plus grande exactitude, s’ils emploient de grandes dimensions, et si, autant qu’il sera possible, ils tracent les courbes dans toute leur étendue, ce que la petitesse du format du journal ne nous a pas toujours permis de faire11.

  • 12 Édition originale : « appliqué la géométrie à l’algèbre ». Erreur corrigée dans les éditions ultér (...)
  • 13 Mémoires de l’Académie royale des sciences depuis 1666 jusqu’en 1699, t. VI, Paris, 1730. En fait, (...)

97[84.] Dans tout ce qui précède, nous avons regardé les courbes à double courbure comme déterminées chacune par deux surfaces courbes dont elle est l’intersection, et c’est, en effet, le point de vue sous lequel elles se présentent le plus ordinairement dans la géométrie descriptive. Dans ce cas, nous avons vu qu’il est toujours possible de leur mener des tangentes. Mais, de même qu’une surface courbe peut être définie au moyen de la forme et du mouvement de sa génératrice, il peut arriver aussi qu’une courbe soit donnée par la loi du mouvement d’un point générateur ; et alors, pour lui mener une tangente, si l’on ne veut pas avoir recours à l’analyse, on peut employer la méthode de Roberval. Cette méthode, qu’il inventa avant que Descartes eût appliqué l’algèbre à la géométrie12, est implicitement comprise dans les procédés du calcul différentiel, et c’est pour cela que les éléments de mathématiques n’en font pas mention ; nous nous contenterons ici de l’exposer d’une manière sommaire. Ceux qui désireront en voir des applications nombreuses, pourront consulter les Mémoires de l’Académie des sciences antérieurs à 1699, dans lesquels les ouvrages de Roberval ont été recueillis13.

98[85.] Lorsque, d’après la loi de son mouvement, un point générateur est perpétuellement poussé vers un même point de l’espace, la ligne qu’il parcourt en vertu de cette loi est droite : mais si, dans chaque instant de son mouvement, il est en même temps poussé vers deux points, la ligne qu’il parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers, peut encore être une droite, est en général une ligne courbe. On aura la tangente à cette courbe en menant par le point de la courbe deux droites, suivant les deux directions différentes du mouvement du point générateur, en portant sur ces directions, et dans le sens convenable, des parties proportionnelles aux deux vitesses respectives de ce point, en achevant le parallélogramme et en menant la diagonale qui sera la tangente demandée, car cette diagonale sera dans la direction du mouvement du point décrivant, au point de la courbe que l’on considère.

99[86.] Nous ne citerons qu’un seul exemple.

100Un fil AMB (fig. 36) étant attaché par ses extrémités à deux points fixes A, B, si, au moyen d’une pointe M, on tend ce fil, et si l’on fait mouvoir la pointe de manière que le fil soit toujours tendu, la pointe décrira une courbe DCM qui, comme on sait, est une ellipse dont les points fixes A, B, sont les foyers. D’après la génération de cette courbe, il est très facile de lui mener une tangente par la méthode de Roberval. En effet, puisque la longueur du fil ne change pas, dans chaque instant du mouvement le rayon AM s’allonge de la même quantité dont le rayon BM se raccourcit. La vitesse du point décrivant dans la direction AM est donc égale à sa vitesse dans la direction MQ. Donc, si l’on porte sur MB, et sur le prolongement de AM, des droites égales MQ, MP, et si l’on achève le parallélogramme MPRQ, la diagonale MR de ce parallélogramme sera la direction du point générateur en M, et par conséquent la tangente au même point de la courbe. On voit clairement, d’après cela, que dans l’ellipse la tangente partage en deux parties égales l’angle BMP formé par un des rayons vecteurs et par le prolongement de l’autre ; que les angles AMS et BMR sont égaux entre eux, et que la courbe doit avoir la propriété de réfléchir à un des foyers les rayons de lumière émanés de l’autre.

101Il est facile d’étendre la méthode de Roberval au cas des trois dimensions et de l’appliquer à la construction des tangentes des courbes à double courbure. En effet, si un point générateur se meut dans l’espace, de manière qu’à chaque instant de son mouvement il soit poussé vers trois points différents, la ligne qu’il parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers, peut être plane et même droite, est en général une courbe à double courbure. On aura la tangente de cette courbe en un point quelconque, en menant par ce point des droites, suivant les trois directions différentes des mouvements du point générateur ; en portant sur ces droites, et dans le sens convenable, des parties proportionnelles aux trois vitesses respectives de ce point, en achevant le parallélépipède, et en menant la diagonale du parallélépipède, qui sera la tangente de la courbe au point que l’on considère.

102[87.] Nous allons appliquer cette méthode à un cas analogue à celui de l’ellipse ; et la figure 37 que nous allons employer représentera l’objet en perspective, et non pas en projection.

  • 14 En fait, comme l’a montré Ch. Dupin ([Dupin, 1804, p. 22-25] et [Dupin, 1813, p. 280]), la courbe (...)

103Trois points fixes A, B, C étant donnés dans l’espace, soit un premier fil AMB attaché par ses deux extrémités aux points A et ; soit un autre fil AMC, d’une grandeur indépendante de celle du premier, et qui soit attaché par ses extrémités aux deux points A et C ; si un point générateur, saisissant en même temps les deux fils, se meut de manière que ces fils soient toujours tendus, il parcourra une courbe à double courbure14. Pour mener à cette courbe une tangente au point M, il faut remarquer que la longueur du premier fil AMB étant constante dans chaque instant du mouvement, la quantité dont la partie AM s’allonge est égale à celle dont la partie MB se raccourcit, et que la vitesse du point générateur dans la direction AM est égale à sa vitesse dans la direction MB. De même, la longueur du fil AMC étant constante, la vitesse du point générateur dans la direction MC est encore égale à sa vitesse dans la direction AM. Donc, si sur le prolongement de AM, et sur les droites MB, MC, on porte les parties égales MP, MQ, MR, et si l’on achève le parallélépipède MPUSVQRT, la diagonale MS de ce parallélépipède sera la tangente demandée.

104Comme la méthode de Roberval est fondée sur le principe de la composition du mouvement, il est facile d’apercevoir que, dans les cas moins simples que ceux que nous avons choisis pour exemples, on peut s’aider des méthodes connues pour trouver la résultante de forces qui sont dirigées vers un point, et dont on connaît les grandeurs et les directions.

Notes

1 La méthode dite « des points fixes » que Monge utilise plus loin (n° 68) évite de faire intervenir un point supplémentaire N.

2 Il s’agit d’une sinusoïde.

3 Itérer pour les points T, U, V,... la construction donnée pour S nécessite, pour chacun de ces points, de déterminer un triangle analogue au triangle ris. La méthode « des points fixes », utilisée à la suite, permettrait d’éviter cet inconvénient.

4 Même remarque que pour la première question (n° 61) sur le recours possible à la méthode dite « des points fixes » pour alléger la construction.

5 Lire : « le point de la section rapportée dont la projection verticale est ƒ ». Édition ultérieure, avec le changement de notation D pour F et d pour ƒ : « le point D, d, de la section rapportée ».

6 Éditions ultérieures : suppression de ce paragraphe.

7 La méthode proposée par Monge pour le développement du cône, dans laquelle intervient une sphère auxiliaire, est sensiblement plus longue que la méthode classique utilisant une pyramide polygonale inscrite, mais elle donne une approximation meilleure. En outre, la suppression de la première, puis de la seconde courbure de la courbe d’intersection illustre sur un exemple la notion de courbe à double courbure.

8 Éditions ultérieures : « Mais, lorsque l’on doit... ».

9 La référence à la figure 34 manque dans l’édition originale.

10 La méthode indiquée est générale, mais le fait que cette intersection soit une courbe plane située dans un plan de bout constitue un cas très particulier.

11 Éditions ultérieures : suppression de « ce que la petitesse du format du journal ne nous a pas permis de faire ».

12 Édition originale : « appliqué la géométrie à l’algèbre ». Erreur corrigée dans les éditions ultérieures.

13 Mémoires de l’Académie royale des sciences depuis 1666 jusqu’en 1699, t. VI, Paris, 1730. En fait, les mémoires de Roberval avaient déjà été publiés dans Divers ouvrages [...] de l’Académie royale des sciences, Paris, 1693 [Roberval, 1693]. Sur la méthode de Roberval, voir [Duhamel, 1838] et [Hara, 1965].

14 En fait, comme l’a montré Ch. Dupin ([Dupin, 1804, p. 22-25] et [Dupin, 1813, p. 280]), la courbe indiquée ici comme à double courbure est une courbe plane du second degré. L’erreur est corrigée en note dans l’édition de 1820 et dans les éditions ultérieures.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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