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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Troisième débat

26 pluviôse / 14 février

Texte intégral

  • 1 [Condillac, 1746, p. 136-138].

1Géruzzez. Je n’ai qu’une observation à vous faire sur la méthode que les géomètres emploient dans l’enseignement de la géométrie. Je vous avertis que cette observation n’est pas de moi : elle n’en sera que meilleure. Elle est d’un auteur qui, peut-être, devrait être entre les mains de tous les élèves ; elle est de Condillac. Cet auteur, dans son excellent traité de l’origine des connaissances humaines1, après avoir rendu à la méthode des géomètres toute la justice qu’elle mérite, observe cependant qu’ils se sont écartés de la vraie génération des idées. Après avoir défini, dit Condillac, le point, ils font mouvoir le point pour engendrer la ligne, la ligne pour engendrer les surfaces, les surfaces pour engendrer les solides. D’abord les géomètres, dit Condillac, ont eu tort de définir le point : le point est une chose si simple, qu’elle n’a pas besoin de définition ; ensuite, ils n’ont pas suivi la vraie génération des choses et des idées.

  • 2 Édition originale : « les Anciens » (texte erroné).

2En effet, l’étendue des solides est la première qui se présente ; c’est celle que les sens2 nous transmettent : partout ce sont des solides que la nature offre à nos yeux.

3Prenez un solide, considérez-en l’extrémité sans songer à sa profondeur, vous aurez l’idée de toutes les surfaces ; prenez cette surface, et pensez à sa longueur, sans songer à sa largeur, vous aurez l’idée de la ligne ; enfin, réfléchissez sur l’extrémité de la ligne sans songer à la longueur, vous aurez un point : voilà la méthode de la nature.

4Les géomètres sont bien habiles, mais la nature l’est encore davantage ; puisque la nature nous mène du solide au point, je ne vois pas pourquoi les géomètres nous mènent du point au solide. Dans un moment où l’on s’occupe de la vraie méthode de connaître les générations des idées et la vraie méthode qu’enseigne la nature, cette observation n’est peut-être pas inutile.

5Monge. Les corps, tels que la nature nous les offre, c’est-à-dire jouissant de toutes leurs propriétés physiques, sont les objets de nos premières idées. La nature ne nous en présentant aucun qui ne soit étendu en longueur, en largeur et en profondeur, il est clair que la première idée que nous nous formons de l’étendue comporte celle des trois dimensions réunies et que c’est seulement par des abstractions, c’est-à-dire par des opérations ultérieures de l’esprit, que nous pouvons concevoir l’étendue dépouillée successivement d’une ou de deux de ses dimensions, et même de toutes trois, pour nous former l’idée de ce que, dans la géométrie, on nomme surface, ligne et point. Ainsi, comme vous l’observez avec raison, au commencement d’un cours de géométrie, ce n’est pas du point qu’il faut partir pour remonter, par degrés, à la ligne, à la surface et au solide ; c’est du solide lui-même qu’il faut descendre graduellement, et par des abstractions successives, jusqu’au point.

6Mais cette observation n’est nécessaire que pour les premières définitions ; lorsqu’au moyen de ces définitions on est convenu de ce qu’on doit entendre par points, par lignes et par surfaces, non seulement il n’est pas contraire à la méthode la plus sévère de regarder les surfaces comme engendrées par des lignes, et les lignes comme engendrées par des points, mais même cela devient absolument indispensable. C’est la seule manière que nous ayons de considérer des familles de surfaces dont la connaissance nécessaire aux arts et utile aux sciences a contribué au perfectionnement de l’analyse elle-même en la mettant en état de vaincre des difficultés nouvelles.

7Par exemple, dans les conférences précédentes, nous avons vu que les surfaces cylindriques avaient la propriété de pouvoir se développer et s’appliquer sur un plan sans déchirement et sans duplicature ; ce qui est impraticable pour un grand nombre d’autres et principalement pour celle de la sphère. Mais ces surfaces ne sont pas les seules qui jouissent de cette propriété ; les surfaces coniques à base quelconque, dont elles sont un cas particulier, en jouissent pareillement ; et les surfaces coniques elles-mêmes ne sont qu’un cas particulier de celles qui sont de nature à se développer sur un plan. Il est important dans les arts de connaître ces surfaces, parce que ce sont les seules que l’on puisse exécuter avec des substances flexibles, telles que des feuilles de carton, de tôle, de fer-blanc, de cuivre laminé, etc., sans qu’il soit nécessaire d’emboutir ces feuilles au marteau : ainsi les serruriers, les ferblantiers, les chaudronniers, les orfèvres ont un grand intérêt à les connaître.

  • 3 Voir le développement de cette méthode dans la 10e leçon.

8Elles sont utiles dans les sciences ; car si l’on conçoit qu’un corps opaque soit éclairé par un corps lumineux dont les dimensions soient finies, quelles que soient d’ailleurs les figures des deux corps, l’ombre du premier, c’est-à-dire la partie de l’espace qu’il prive de lumière, est terminée par une surface développable3.

9Enfin, l’examen de leurs propriétés peut contribuer au perfectionnement de l’analyse : je n’en citerai ici qu’un seul exemple. Lorsqu’on veut cherche le point d’une surface courbe, pour lequel l’ordonnée est un maximum ou un minimum, la première condition à laquelle le point doit satisfaire, c’est que le plan tangent qui lui correspond soit perpendiculaire à l’ordonnée. Mais cette condition pourrait être satisfaite, sans cependant que l’ordonnée fût certainement un maximum ou un minimum ; ce serait dans le cas où la surface, dans ce point, deviendrait développable, parce qu’alors, ayant perdu une de ses courbures, il serait infiniment probable qu’elle aurait une inflexion par rapport à cette courbure, et qu’une partie de la surface passant au-delà du plan, l’ordonnée continuerait de croître ou de décroître, quoique le plan tangent lui fût perpendiculaire.

  • 4 Voir en particulier la 8e leçon.

10Il est donc nécessaire de connaître le genre des surfaces développables ; et l’on ne peut les définir d’une manière utile que par leur génération commune. Pour ne pas anticiper sur l’objet des leçons qui sont encore éloignées, je me contenterai d’indiquer ici cette génération4.

11Si l’on conçoit dans l’espace une droite qui se meuve de manière qu’elle soit perpétuellement tangente à une courbe à double courbure quelconque donnée, elle engendrera une surface développable.

12Cette définition renferme toutes les surfaces développables ; elle ne renferme qu’elles et elle exprime un de leurs principaux caractères.

13Ceci doit suffire pour prouver qu’on ne saurait se dispenser en géométrie de considérer la génération des surfaces par des lignes, et celle des lignes par des points, sans renoncer à des connaissances très précieuses, et par leur généralité, et par leur fécondité.

14Au reste, les géomètres connaissent parfaitement la nature des raisonnements qu’ils emploient ; ils savent pour chacun d’eux jusqu’à quel point ils peuvent y avoir confiance. La sévérité exagérée que des métaphysiciens, qui n’étaient pas géomètres, ont, à plusieurs reprises, essayé d’introduire dans la géométrie et dans l’analyse n’a jamais fait faire un pas à la science ; et elle a quelquefois retardé ses progrès, en occupant les géomètres de disputes frivoles et en les forçant d’épuiser leurs forces contre des fantômes.

  • 5 Allusion au « Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais » présenté par Monge devant l’Aca (...)
  • 6 Édition originale : « des surfaces développées » (texte erroné).

15Fourier. La matière que vous venez de présenter me paraît une des plus belles que l’on ait jusqu’ici considérée dans la géométrie. Il serait important que ceux qui voudront s’en occuper, connussent les sources où l’on pourrait puiser des lumières. Je sais que vous avez traité ces objets dans un mémoire de 17815 ; je demanderais s’il y a quelques autres ouvrages que l’on pourrait consulter. Je désirerais aussi que vous voulussiez bien répéter la définition générale que vous venez de donner des surfaces développables6.

  • 7 Dans le cadre de ce débat, Monge pouvait difficilement donner une véritable bibliographie du sujet
  • 8 Monge réalise en partie cet objectif dans les Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie [Monge, (...)

16Monge. Tout ce que je connais sur l’objet qui nous occupe consiste en un grand nombre de mémoires d’Euler, du citoyen Lagrange, et de quelques autres géomètres ; j’en ai aussi publié quelques-uns7. Mais ces mémoires sont épars dans les collections de diverses académies. Il serait à désirer, non pas qu’on les rassemblât dans un seul corps d’ouvrage, cela serait trop considérable, mais qu’on en recueillit tous les résultats, pour les présenter dans un cours systématique qui en facilitât l’étude8.

17Quant à la définition des surfaces développables que vous désirez que je répète, quoique son énoncé soit très simple, elle n’est peut-être pas la plus propre à faire sentir la nature de ce genre de surfaces. Je vais vous en présenter une autre qui, exigeant plus de détails, contribuera peut-être à les mieux faire connaître.

18Concevons tous les plans normaux consécutifs à une même courbe à double courbure : si nous considérons un de ces plans, il sera coupé par le plan suivant en une ligne droite ; le second sera coupé par le troisième en une droite différente de la première ; le troisième le sera par le quatrième en une nouvelle droite distincte des deux autres, et ainsi de suite. Cela posé, la droite qui se mouverait, de manière à passer par toutes les intersections des plans normaux consécutifs, engendrerait une surface développable.

19En effet, toutes les droites d’intersection successives, considérées deux à deux consécutivement, sont dans un même plan, puisqu’elles sont les intersections d’un même plan avec celui qui le précède immédiatement et avec celui qui le suit.

20Donc la surface sur laquelle elles se trouvent toutes peut être considérée comme composée de lames planes infiniment étroites, d’une longueur indéfinie, et qui se rencontrent toutes consécutivement dans des lignes droites. Or, si l’on conçoit que la première de ces lames tourne autour de la droite qui la joint à la seconde, comme charnière, jusqu’à ce qu’elle soit dans le même plan que la seconde ; qu’ensuite les deux ensemble tournent autour de la droite qui les unit à la troisième, jusqu’à ce qu’elles soient dans le même plan que la troisième, et ainsi de suite, il est évident que la surface entière sera développée sur un même plan, sans solution de continuité et sans duplicature.

  • 9 De nos jours, on définit en général une surface développable comme une surface réglée ayant même p (...)

21Cette définition est aussi générale que la première ; elle comprend toutes les surfaces développables, et elle ne convient qu’à elles seules9.

22Lebrun. Il me vient une réflexion sur la manière dont on pourrait caractériser les surfaces développables. Il me semble qu’on pourrait dire que ce sont celles qui ne sont courbes que dans un sens. Elles tiennent cette propriété de la ligne droite qui est leur génératrice ; en sorte que toute surface engendrée par le mouvement d’une droite peut s’étendre sur un plan.

23Monge. La première partie de votre observation est exacte. Les surfaces courbes ont en général dans chacun de leurs points deux courbures ; mais quelques-unes d’entre elles n’en ont qu’une dans tous leurs points, et ce sont les surfaces développables, comme vous l’avez remarqué : enfin, parmi toutes les surfaces, il n’y en a qu’une qui n’a pas de courbure : c’est le plan.

  • 10 Faute de temps, Monge ne reviendra pas sur les surfaces réglées non développables. Dans ses « Addi (...)

24Mais les surfaces développables ne sont qu’un cas très particulier de celles qui peuvent être engendrées par une ligne droite et qui ne peuvent pas se développer. Nous verrons, dans la suite du cours, que les surfaces engendrées par une droite, lorsqu’elles ne sont pas développables, ont un caractère remarquable ; c’est d’avoir, dans chacun de leurs points, leurs deux courbures en sens contraire, c’est-à-dire que de ces deux courbures, l’une présente sa concavité du même côté que l’autre présente sa convexité10.

Notes

1 [Condillac, 1746, p. 136-138].

2 Édition originale : « les Anciens » (texte erroné).

3 Voir le développement de cette méthode dans la 10e leçon.

4 Voir en particulier la 8e leçon.

5 Allusion au « Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais » présenté par Monge devant l’Académie des sciences en 1776 et 1781 et publié en 1784 dans le volume de l’Académie pour 1784 [Monge, 1784].

6 Édition originale : « des surfaces développées » (texte erroné).

7 Dans le cadre de ce débat, Monge pouvait difficilement donner une véritable bibliographie du sujet.

8 Monge réalise en partie cet objectif dans les Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie [Monge, 1795-1796] qu’il rédige alors à l’intention de ses élèves de l’École centrale des travaux publics.

9 De nos jours, on définit en général une surface développable comme une surface réglée ayant même plan tangent en tous points d’une même génératrice. L’équivalence de cette définition et des deux définitions données par Monge est un résultat classique d’analyse.

10 Faute de temps, Monge ne reviendra pas sur les surfaces réglées non développables. Dans ses « Additions » à l’édition de 1799, Hachette évoquera leur mode de génération et la construction du plan tangent en un de leurs points [Monge, 1799, p. 130-132, et fig. 49-50].

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© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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