Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Monge

Troisième leçon

21 pluviôse / 9 février

Texte intégral

1[11.] La convention qui sert de base à la méthode des projections est propre à exprimer la position d’un point dans l’espace, à exprimer celle d’une ligne droite indéfinie ou terminée, et par conséquent à représenter la forme et la position d’un corps terminé par des faces planes, par des arêtes rectilignes et par des sommets d’angles solides ; parce que, dans ce cas, le corps est entièrement connu quand on connaît la position de toutes ces arêtes et celle des sommets de tous ses angles. Mais, si le corps était terminé ou par une surface courbe unique et dont tous les points fussent assujettis à une même loi, comme dans le cas de la sphère, ou par l’assemblage discontinu de plusieurs parties de surfaces courbes différentes, comme dans le cas d’un corps façonné sur le tour, cette convention non seulement serait incommode, impraticable, et n’aurait pas l’avantage de faire image, mais encore elle manquerait de fécondité et elle serait insuffisante.

2D’abord, il est facile de voir que la convention que nous avons faite serait incommode, et même impraticable, si elle était seule ; car, pour exprimer la position de tous les points d’une surface courbe, il faudrait non seulement que chacun d’eux fût indiqué par sa projection horizontale et par sa projection verticale, mais encore que les deux projections d’un même point fussent liées entre elles, afin qu’on ne fût pas exposé à combiner la projection horizontale d’un certain point avec la projection verticale d’un autre ; et la manière la plus simple de lier entre elles ces deux projections étant de les joindre par une même droite perpendiculaire à la ligne d’intersection des deux plans de projection, on surchargerait les dessins d’un nombre prodigieux de lignes qui y jetteraient une confusion d’autant plus grande qu’on voudrait approcher davantage de l’exactitude. Nous allons faire voir ensuite que cette méthode serait insuffisante, et qu’elle manquerait de la fécondité nécessaire.

3Parmi le nombre infini de surfaces courbes différentes, il en existe quelques-unes qui ne s’étendent que dans une partie finie et circonscrite de l’espace et dont les projections ont une étendue limitée dans toutes les directions : celle de la sphère, par exemple, est dans ce cas. L’étendue de sa projection sur un plan se réduit à celle d’un cercle de même rayon que la sphère ; et on peut concevoir que le plan sur lequel on doit en faire la projection ait des dimensions assez grandes pour la recevoir. Mais toutes les surfaces cylindriques sont indéfinies dans une certaine direction, comme la droite qui leur sert de génératrice. Le plan lui-même, qui est la plus simple des surfaces, est indéfini dans deux sens. Enfin, il existe un grand nombre de surfaces dont les nappes multipliées s’étendent en même temps dans toutes les régions de l’espace. Or, les plans sur lesquels on exécute les projections ont nécessairement une étendue limitée. Si donc on n’avait d’autre moyen pour faire connaître la nature d’une surface courbe, que les deux projections de chacun des points par lesquels elle passe, ce moyen ne serait applicable qu’à ceux des points de la surface qui correspondraient à l’étendue des plans de projection ; tous ceux qui seraient au-delà ne pourraient être ni exprimés ni connus : ainsi la méthode serait insuffisante. Enfin, elle manquerait de fécondité, parce qu’on ne pourrait en déduire rien de ce qui serait relatif aux plans tangents de la surface, à ses normales, à ses deux courbures en chaque point, à ses lignes d’inflexion, à ses arêtes de rebroussement, à ses lignes multiples, à ses points multiples, à toutes les affections enfin qu’il est nécessaire de considérer dès qu’on veut opérer sur une surface courbe.

4Il a donc fallu avoir recours à une convention nouvelle qui fût compatible avec la première et qui pût la suppléer partout où elle aurait été insuffisante. C’est cette convention nouvelle que nous allons exposer.

5[12.] Il n’y a aucune surface courbe qui ne puisse être regardée comme engendrée par le mouvement d’une ligne courbe, ou constante de forme lorsqu’elle change de position, ou variable en même temps et de forme et de position dans l’espace. Comme cette proposition pourrait être difficile à comprendre à cause de sa généralité, nous allons l’expliquer sur quelques-uns des exemples avec lesquels nous sommes déjà familiarisés.

6Les surfaces cylindriques peuvent être engendrées de deux manières principales : ou par le mouvement d’une ligne droite qui reste toujours parallèle à une droite donnée pendant qu’elle se meut, en s’appuyant toujours sur une courbe donnée, ou par le mouvement de la courbe qui servait de conductrice dans le premier cas et qui se meut de manière que, s’appuyant toujours par le même point sur une droite donnée, tous les autres points décrivent des lignes parallèles à cette droite. Dans l’une et l’autre de ces deux générations, la ligne génératrice, qui est une droite dans le premier cas et une courbe quelconque dans le second, est constante de forme : elle ne fait que changer de position dans l’espace.

7Les surfaces coniques ont de même deux générations principales.

8On peut d’abord les regarder comme engendrées par une droite indéfinie qui, étant assujettie à passer toujours par un point donné, se meut de manière qu’elle s’appuie constamment sur une courbe donnée qui la dirige dans son mouvement. Le point unique par lequel passe toujours la droite est le centre de la surface ; c’est improprement qu’on lui a donné le nom de sommet. Dans cette génération, la ligne génératrice est encore constante de forme ; elle ne cesse jamais d’être une ligne droite.

9On peut ensuite engendrer les surfaces coniques d’une autre manière, que, pour plus de simplicité, nous n’appliquerons ici qu’au cas de celles qui sont à bases circulaires. Ces surfaces peuvent être regardées comme parcourues par la circonférence d’un cercle qui se meut de manière que, son plan restant toujours parallèle à lui-même et son centre se trouvant toujours sur la droite dirigée au sommet, son rayon, dans chaque instant de mouvement, soit proportionnel à la distance de son centre au sommet. On voit que si, dans son mouvement, le plan du cercle tend à s’approcher du sommet de la surface, le rayon du cercle décroit pour devenir nul lorsque le plan passe par le sommet et que ce rayon change de sens pour croître ensuite indéfiniment, lorsque le plan, après avoir passé par le sommet, s’en écarte de plus en plus. Dans cette seconde génération, non seulement la circonférence du cercle, qui est la courbe génératrice, change de position, elle change encore de forme à chaque instant de son mouvement, puisqu’elle change de rayon, et, par conséquent, de courbure et d’étendue.

10Citons enfin un troisième exemple.

11Une surface de révolution peut être engendrée par le mouvement d’une courbe plane qui tourne autour d’une ligne droite placée d’une manière quelconque dans son plan. Dans cette manière de la considérer, sa courbe génératrice est constante de forme ; elle est seulement variable de position. Mais aussi on peut la regarder comme engendrée par la circonférence d’un cercle qui se meut de manière que son centre étant toujours sur l’axe et son plan étant toujours perpendiculaire à cet axe, son rayon soit à chaque instant égal à la distance du point où le plan du cercle coupe l’axe à celui où il coupe une courbe quelconque donnée dans l’espace. Alors la courbe génératrice change en même temps et de forme et de position.

12Ces trois exemples doivent suffire pour faire comprendre que toutes les surfaces courbes peuvent être engendrées par le mouvement de certaines lignes courbes et qu’il n’y en a aucune dont la forme et la position ne puissent être entièrement déterminées par la définition exacte et complète de sa génération. C’est cette nouvelle considération qui forme le complément de la méthode des projections. Nous aurons souvent occasion, par la suite, de nous assurer de sa simplicité et de sa fécondité.

13Ce n’est donc pas en donnant les projections des points individuels par lesquels passe une surface courbe que l’on en détermine la forme et la position, mais en mettant à portée de construire par un point quelconque la courbe génératrice, suivant la forme et la position qu’elle doit avoir en passant par ce point. Sur quoi il faut observer, 1) que chaque surface courbe pouvant être engendrée d’un nombre infini de manières différentes, il est de l’adresse et de la sagacité de celui qui opère de choisir, parmi toutes les générations possibles, celle qui emploie la courbe la plus simple et qui exige les considérations les moins pénibles ; 2) qu’un long usage a appris qu’au lieu de ne considérer pour chaque surface courbe qu’une seule de ces générations, ce qui exigerait l’étude de la loi du mouvement et de celle du changement de forme de sa génération, il est souvent plus simple de considérer en même temps deux générations différentes, et d’indiquer, pour chaque point, la construction des deux courbes génératrices.

14Ainsi, dans la géométrie descriptive, pour exprimer la forme et la position d’une surface courbe, il suffit, pour un point quelconque de cette surface, et dont une des projections peut être prise à volonté, de donner la manière de construire les projections horizontale et verticale de deux génératrices différentes qui passent par ce point.

15[13.] Appliquons actuellement ces généralités au plan qui, de toutes les surfaces, est la plus simple et celle dont l’emploi est le plus fréquent.

16Le plan est engendré par une première droite donnée d’abord de position, et qui se meut de manière que tous ses points décrivent des droites parallèles à une seconde droite donnée. Si la seconde droite est elle-même dans le plan que l’on considère, on peut dire aussi que ce plan est engendré par la seconde droite, qui se meut de manière que tous ses points décrivent des droites parallèles à la première.

17On a donc l’idée de la position d’un plan par la considération de deux lignes droites, dont chacune peut être regardée comme sa génératrice. La position de ces deux droites dans le plan qu’elles peuvent engendrer est absolument indifférente : il ne s’agit donc, pour la méthode des projections, que de choisir celles qui exigent les constructions les plus simples. C’est pour cela que, dans la géométrie descriptive, on indique la position d’un plan en donnant les deux droites suivant lesquelles il coupe les plans de projection. Il est facile de reconnaître que ces deux droites doivent rencontrer en un même point l’intersection des deux plans de projection, et que, par conséquent, ce point est celui où elles se rencontrent elles-mêmes.

18Comme il arrivera très fréquemment que nous ayons des plans à considérer, pour abréger le langage, nous donnerons le nom de traces aux droites selon lesquelles chacun d’eux coupera les plans de projection et qui serviront à indiquer sa position.

19[14.] Ces préliminaires étant posés, nous allons passer aux solutions de plusieurs questions successives qui rempliront le double objet de nous exercer à la méthode des projections et de nous procurer les moyens de faire ensuite de nouveaux progrès dans la géométrie descriptive.

20Première question. Étant donnés (Pl. II, fig. 4) un point dont les projections soient D, d, et une droite dont les projections soient AB et ab, construire les projections d’une seconde droite menée par le point donné parallèlement à la première.

21Solution. Les deux projections horizontales de la droite donnée et de la droite cherchée doivent être parallèles entre elles ; car elles sont les intersections de deux plans verticaux parallèles, par un même plan. Il en est de même des projections verticales des mêmes droites. De plus, la droite demandée devant passer par le point donné, ses projections doivent passer respectivement par celles du même point. Donc, si par le point D on mène EF parallèle à AB, et si par le point d on mène ef parallèle à ab, les droites EF et ef seront les projections demandées.

22[15.] Seconde question. Étant donnés (fig. 5) un plan dont les deux traces soient AB, BC et un point dont les projections soient G, g, construire les traces d’un second plan mené par le point donné parallèlement au premier.

23Solution. Les traces du plan demandé doivent être parallèles aux traces respectives du plan donné, puisque ces traces, considérées deux à deux, sont les intersections de deux plans parallèles par un même plan. Il ne reste donc plus à trouver, pour chacune d’elles, qu’un seul des points par lesquels elle doit passer. Pour cela, par le point donné, concevons une droite horizontale qui soit dans le plan cherché ; cette droite sera parallèle à la trace AB et elle coupera le plan vertical en un point qui sera un de ceux de la trace du plan cherché sur le vertical, et l’on aura ses deux projections en menant par le point g l’horizontale indéfinie gF, et par le point G la droite GI parallèle à AB. Si l’on prolonge GI jusqu’à ce qu’elle rencontre l’intersection LM des deux plans de projection en un point I, ce point sera la projection horizontale de l’intersection de la droite horizontale avec le plan vertical. Donc ce point d’intersection se trouvera sur la verticale IF, menée par le point I. Mais il doit se trouver aussi sur gF ; donc il se trouvera au point F d’intersection de ces deux dernières droites. Donc enfin, si par le point F on mène une parallèle à BC, elle sera, sur le plan vertical, la trace du plan cherché ; et si, après avoir prolongé cette trace jusqu’à ce qu’elle rencontre LM en un point E, on mène ED parallèle à AB, on aura la trace du même plan sur le plan horizontal.

24Au lieu de concevoir sur le plan cherché une droite horizontale, on aurait pu concevoir une parallèle au plan vertical, ce qui, par un raisonnement absolument semblable, aurait donné la construction suivante :

25On mènera par le point G, et parallèlement à LM, la droite indéfinie GD ; par le point g on mènera gH parallèle à CB, et on la prolongera jusqu’à ce qu’elle coupe LM en un point H, par lequel on mène HD perpendiculaire à LM : cette dernière coupera GD en un point D par lequel, si l’on mène une parallèle à AB, on aura une des traces du plan demandé ; et si, après avoir prolongé cette trace jusqu’à ce qu’elle rencontre LM en un point E, on mène EF parallèle à BC, on aura la trace sur le plan vertical.

26[16.] Troisième question. Étant donnés (fig. 6) un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un point dont les deux projections soient D, d, construire, 1) les projections de la droite abaissée perpendiculairement du point sur le plan ; 2) celle du point de rencontre de la droite et du plan.

27Solution. Les perpendiculaires DG, dg, abaissées des points D et d sur les traces respectives du plan, seront les projections indéfinies de la droite demandée ; car si par la perpendiculaire on conçoit un plan vertical, ce plan coupera le plan horizontal et le plan donné en deux droites, qui seront l’une et l’autre perpendiculaires à la commune intersection AB de ces deux plans : or, la première de ces droites, étant la projection du plan vertical, est aussi celle de la perpendiculaire qu’il renferme ; donc la projection de cette perpendiculaire doit passer par le point D et être perpendiculaire à AB.

28La même démonstration a lieu pour la projection verticale.

29Quant au point de rencontre de la perpendiculaire et du plan, il est évident qu’il doit se trouver sur l’intersection de ce plan avec le plan vertical mené par la perpendiculaire ; intersection qui est projetée indéfiniment sur EF. Si l’on avait la projection verticale fe de cette intersection, elle contiendrait celle du point demandé ; et parce que ce point doit aussi être projeté sur la droite dg, il se trouverait à l’intersection g des deux droites fe et dg. Il ne reste donc plus à trouver que la droite fe : or, l’intersection du plan donné avec le plan vertical qui lui est perpendiculaire rencontre le plan horizontal au point E, dont on aura la projection verticale e en abaissant Ee perpendiculairement sur LM ; et elle rencontre le plan vertical de projection en un point dont la projection horizontale est l’intersection F de la droite LM avec DG, prolongée, s’il est nécessaire, et dont la projection verticale doit être sur la verticale Ff et sur la trace CB ; elle sera donc au point f de leur intersection.

30La projection verticale g du pied de la perpendiculaire étant trouvée, il est facile de construire sa projection horizontale ; car si l’on abaisse sur LM la perpendiculaire indéfinie gG, cette droite contiendra le point demandé : or, la droite DF doit aussi le contenir ; donc il sera au point G de l’intersection de ces deux droites.

31[17.] Quatrième question. Étant donnés (fig. 7) une droite dont les deux projections soient AB, ab, et un point dont les deux projections soient D, d, construire les traces du plan mené par le point perpendiculairement à la droite.

32Solution. On sait déjà, par la question précédente, que les deux traces doivent être perpendiculaires aux projections respectives des deux droites ; il reste à trouver, pour chacune d’elles, un des points par lesquels elle doit passer. Pour cela, si, par le point donné, on conçoit, dans le plan cherché, une horizontale prolongée jusqu’à la rencontre du plan vertical de projection, on aura sa projection verticale en menant par le point d une horizontale indéfinie dG, et sa projection horizontale en menant par le point D une perpendiculaire DH à AB, prolongée jusqu’à ce qu’elle coupe LM en un point H, qui sera la projection horizontale du point de rencontre de l’horizontale avec le plan vertical de projection. Ce point de rencontre, qui doit se trouver dans la verticale HG et dans l’horizontale dG, et par conséquent au point G d’intersection de ces deux droites, sera donc un des points de la trace sur le plan vertical ; donc on aura cette trace en menant par le point G la droite FC perpendiculaire à ab ; donc enfin, si par le point C, où la première trace rencontre LM, on mène CE perpendiculaire à AB, on aura la seconde trace demandée.

33S’il était question de trouver le point de rencontre du plan avec la droite, on opérerait exactement comme dans la question précédente.

34Enfin, s’il fallait abaisser une perpendiculaire du point donné sur la droite, on construirait, comme nous venons de le dire, la rencontre de la droite avec le plan mené par le point donné, et qui lui serait perpendiculaire ; et l’on aurait, pour chacune des deux projections de la perpendiculaire demandée, deux points par lesquels elle doit passer.

Table des illustrations

URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/498/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 332k

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Lire

Accès ouvert
Liseuse ePub PDF du livre
Chargement PDF du chapitre

Freemium

Offert par