Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Monge

Premier débat

11 pluviôse / 30 janvier

Texte intégral

  • 1 [Archimède, 1970] : « De toutes les lignes ayant les mêmes extrémités, la plus courte est la ligne (...)
  • 2 [Legendre, 1794].

1Fourier. Après avoir considéré les points, les lignes, les plans, la sphère et la circonférence du cercle, il semble que les définitions de ces divers objets n’aient pas été données d’une manière bien rigoureuse dans les éléments de géométrie ordinaire ; et il me semble que, des considérations qui ont été exposées dans ces leçons de géométrie descriptive, on peut déduire des définitions exactes. Cette remarque peut paraître frivole ; car on n’a peut-être pas besoin de définir très exactement ces différents objets pour en connaître les propriétés. Je crois, cependant, qu’il est important de rechercher s’il est possible de définir bien exactement la ligne droite. On ne connaît guère de définition de la ligne droite que celle d’Archimède1, qui a paru insignifiante à plusieurs géomètres, soit que le texte fût mal compris, soit qu’aux anciennes définitions Archimède ait substitué une définition qui n’est pas encore à l’abri de toute attaque. Dans un excellent ouvrage qui vient d’être publié sur la science de l’étendue, on l’a adoptée2 ; mais on a dit qu’il fallait y joindre un axiome différent qui pourrait faire la base de tous les éléments. Quant aux définitions qui s’en trouvent dans quelques écrits modernes, ce ne sont que des principes : la question reste toujours comme elle était. Personne ne doute que la définition de la circonférence du cercle ne soit exacte, peut-être pourrait-on faire une remarque à ce sujet. La définition de la circonférence du cercle telle qu’on la donne ordinairement, suppose toujours la définition du plan ; car, on dit que la circonférence du cercle est une ligne dont tous les points sont également éloignés d’un point donné ; il faudrait ajouter : et qui est tracée sur un même plan ; ainsi, pour que la définition de la circonférence du cercle fût exacte, il faudrait que celle du plan fût rigoureuse. Or, on a coutume de dire qu’un plan est une surface sur laquelle une ligne droite peut s’appliquer dans tous les sens : donc la définition du plan supposant celle de la ligne droite, et la définition de la circonférence du cercle supposant celle du plan, la circonférence du cercle ne sera pas bien définie, si la ligne droite ne l’est rigoureusement.

2Dans les considérations qui ont été développées dans le programme de la géométrie descriptive, pour fixer la position d’un point, on dit qu’il faut rapporter ce point à trois points connus. Si nous appelons, ces trois points connus A, B, C, le point fixe dont il s’agit se trouvera distant des trois points A, B, C, de grandeurs qui peuvent être différentes pour chaque point, mais aussi qui peuvent être les mêmes. Supposons que D soit la distance connue du point, aux trois points A, B, C ; si l’on cherche la position de ce point dans l’espace, on vous a très bien exposé qu’il y en a deux, l’un d’un côté du plan, l’autre de l’autre ; actuellement, si l’on fait varier la distance D et qu’on demande un autre point qui ait la propriété d’être à égale distance des trois points donnés, et d’en être éloigné de la quantité égale à la nouvelle valeur de D, on trouvera encore deux nouveaux points ; et il n’est pas difficile de remarquer que ces deux nouveaux points seront dans la même ligne droite que les deux premiers. Il me semble que si l’on suppose dans l’espace trois points fixés, et qu’on prenne une série de points, dont chacun soit également éloigné de ces trois points, on aura une ligne droite ; ainsi l’on pourrait dire que la ligne droite est une série de points, dont chacun est à égale distance de trois points donnés.

3De même que la surface de la sphère a tous ses points à une distance donnée d’un point donné, on dirait que le plan est une série de points, dont chacun est à égale distance de deux points donnés ; puis on passerait à la définition de la ligne droite : on dirait que c’est un assemblage de points, dont chacun est à égale distance de trois points donnés ; et si l’on définissait la circonférence du cercle, on dirait que la circonférence est un assemblage de points, dont chacun est à une distance donnée de deux points donnés. En supposant les nombres 1, 2, 3, on peut donc définir très rigoureusement le plan, la circonférence du cercle et la ligne droite.

4Le Professeur. Citoyen, la clarté avec laquelle tu viens d’exposer tes réflexions et l’exactitude des observations que tu as faites précédemment sur des objets de physique sont une preuve de la sagacité de ton esprit. La définition que tu viens de donner de la ligne droite est rigoureuse ; et l’analogie que tu as remarquée entre cette définition et celles que l’on pourrait faire du plan, de la circonférence du cercle et de la surface de la sphère, a quelque chose de très piquant. Permets-moi cependant de te faire à cet égard quelques observations.

5Les considérations dont tu fais usage dans ta définition ont quelque chose de plus compliqué que la ligne droite que tu veux définir ; et elles supposent une habitude de la géométrie que l’on ne peut avoir acquise sans la notion de la ligne droite.

6Il est vrai que, pour bien définir un certain genre d’objets, il faut exposer une propriété qui convienne à tous les individus du genre, et qui ne convienne qu’à eux seuls : mais cela ne suffit pas ; il faut encore, parmi toutes les propriétés, choisir celle qui est la plus simple et la plus facile à concevoir : je vais en apporter un exemple frappant.

7Si, pour donner une idée de la circonférence du cercle, je disais qu’elle est la courbe parcourue par le sommet d’un angle droit qui se meut de manière que ses deux côtés soient perpétuellement tangents à une même section conique quelconque, je ferais une définition rigoureuse, parce que cette propriété convient à toutes les circonférences de cercle et ne convient qu’à elles ; mais cette définition manquerait de simplicité : parce que, pour faire connaître un objet assez simple en lui-même, j’emploierais les relations qu’il a avec d’autres objets beaucoup plus compliqués, et dont on n’acquiert, pour l’ordinaire, la connaissance qu’au moyen de celle-même de la circonférence du cercle. Cette définition ne serait donc pas propre à être employée au commencement des éléments de géométrie.

8Il ne suffit même pas que la propriété qui doit servir de base à une définition, soit simple et facile à concevoir ; il faut encore, si cela est possible, et surtout en géométrie, qu’elle fasse image. Ainsi, par exemple, si pour définir la ligne droite on disait : « concevons qu’un corps tourne autour de deux de ses points, comme un morceau de bois tourne entre les deux points d’un tour : la plupart des points de ce corps décriront des circonférences de cercles plus ou moins grandes ; mais un certain nombre d’entre eux ne changera pas de place pendant le mouvement du corps ; la suite de ces points dont la position qui ne change pas, forme une ligne droite », on ferait une définition qui, d’abord, ne serait pas assez simple à cause des idées du cercle et du mouvement circulaire qu’elle comporte et qui ensuite aurait de l’obscurité ; car on conçoit bien qu’il doit y avoir des points qui ne changent pas de place, mais on ne se représente pas leur position avec la même facilité. Cette définition ne montrerait pas la ligne droite ; elle pécherait donc encore, parce qu’elle ne ferait pas image.

9Il faut enfin que la propriété qui sert de base à une définition soit féconde et qu’elle conduise de la manière la plus directe aux autres propriétés plus compliquées, qu’il est important ou de découvrir ou d’enseigner.

10Bénoni-Debrun. Il me semble que la définition proposée par un de nos camarades, comporte une pétition de principe. Il définit la ligne droite, une ligne dont tous les points sont à égale distance de trois points donnés. De deux choses l’une : ou j’ai déjà la notion de la distance, ou je ne l’ai pas. Si j’ai déjà cette notion, il est plus simple de dire que la ligne droite est la plus courte distance d’un point à un autre ; si je ne l’ai pas, je suis obligé de recourir à celle de la ligne droite, et c’est un cercle vicieux.

11La discussion s’est ainsi engagée entre plusieurs élèves et elle durait encore lorsqu’un d’entre eux a dit :

12Ce n’est pas ici le lieu d’agiter de semblables questions ; nous ne sommes plus sur les bancs de l’école. Le but d’une définition est de convenir entre soi de l’objet d’une discussion. Lorsqu’un objet est simple, que tout le monde en a le sentiment, sa définition est inutile.

Notes

1 [Archimède, 1970] : « De toutes les lignes ayant les mêmes extrémités, la plus courte est la ligne droite ».

2 [Legendre, 1794].

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540