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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Monge

Deuxième leçon

9 pluviôse / 28 janvier

Volltext

1[7.] (Pl. I, fig. 1) Si, de tous les points d’une ligne droite indéfinie AB, placée d’une manière quelconque dans l’espace, l’on conçoit des perpendiculaires abaissées sur un plan LMNO, donné de position, tous les points de rencontre de ces perpendiculaires avec le plan seront dans une autre ligne droite indéfinie ab, car elles seront toutes comprises dans le plan mené par AB perpendiculairement au plan LMNO, et elles ne pourront rencontrer ce dernier que dans l’intersection commune des deux plans, qui, comme on sait, est une ligne droite.

2La droite ab, qui passe ainsi par les projections de tous les points d’une autre droite AB sur un plan LMNO, est ce qu’on appelle la projection de la droite AB sur ce plan.

3Comme deux points suffisent pour déterminer la position d’une ligne droite, pour construire la projection d’une droite, il suffit de construire celles de deux de ses points, et la droite menée par les projections de ces points sera la projection demandée.

4Il suit de là que, si la droite proposée est elle-même perpendiculaire au plan de projection, sa projection se réduira à un seul point, qui sera celui de sa rencontre avec le plan.

5Fig. 2. Étant données sur deux plans non parallèles, LMNO, LMPQ, les projections ab, a'b', d’une même droite indéfinie AB, cette droite est déterminée. Car si, par l’une des projections ab, l’on conçoit un plan perpendiculaire à LMNO, ce plan, connu de position, passera nécessairement par la droite AB ; de même, si, par l’autre projection a'b', l’on conçoit un plan perpendiculaire à LMPQ, ce plan, connu de position, passera par la droite AB. La position de cette droite, qui se trouve en même temps sur deux plans connus, et par conséquent à leur commune intersection, est donc absolument déterminée.

6[8.] Ce que nous venons de dire est indépendant de la position des plans de projection et a lieu également quel que soit l’angle que ces plans fassent entre eux. Mais si l’angle que forment les deux plans de projection est très obtus, l’angle que forment entre eux ceux qui leur sont perpendiculaires est très aigu ; et, dans la pratique, de petites erreurs pourraient en apporter de très grandes dans la détermination de la position de la droite. Pour éviter cette cause d’inexactitude, à moins qu’on n’en soit détourné par quelques considérations qui présentent de plus grandes facilités, on fait toujours en sorte que les plans de projection soient perpendiculaires entre eux. De plus, comme la plupart des artistes qui font usage de la méthode des projections sont très familiarisés avec la position d’un plan horizontal et la direction du fil à plomb, ils ont coutume de supposer que, des deux plans de projection, l’un soit horizontal et l’autre vertical.

7La nécessité de faire en sorte que dans les dessins les deux projections soient sur une même feuille et que dans les opérations en grand elles soient sur une même aire, a encore déterminé les artistes à concevoir que le plan vertical ait tourné autour de son intersection avec le plan horizontal, comme charnière, pour s’abattre sur le plan horizontal et ne former avec lui qu’un seul et même plan, et à construire leurs projections dans cet état.

  • 1 L’intersection des deux plans de projection est communément appelée ligne de terre, mais Monge n’e (...)

8Ainsi, la projection verticale est toujours tracée de fait sur un plan horizontal et il faut perpétuellement concevoir qu’elle soit dressée et remise en place au moyen d’un quart de révolution autour de l’intersection du plan horizontal avec le plan vertical. Pour cela, il faut que cette intersection soit tracée d’une manière très visible sur le dessin1.

9Ainsi, dans la figure 2, la projection a'b' de la droite AB ne s’exécute pas sur un plan qui soit réellement vertical : on conçoit que ce plan ait tourné autour de la droite LM pour s’appliquer en LMP'Q' ; et c’est dans cette position du plan qu’on exécute la projection verticale a'b'.

10Indépendamment des facilités d’exécution que présente cette disposition, elle a encore l’avantage d’abréger le travail des projections. En effet, supposons que les points a, a' soient les projections horizontale et verticale du point ; le plan mené par les droites Aa, Aa’ sera en même temps perpendiculaire aux deux plans de projection, puisqu’il passe par des droites qui leur sont perpendiculaires ; il sera donc aussi perpendiculaire à leur commune intersection LM ; et les droites aC, a'C, suivant lesquelles il coupe ces deux plans, seront elles-mêmes perpendiculaires à LM.

11Or, lorsque le plan vertical tourne autour de LM comme charnière, la droite a'C ne cesse pas, dans ce mouvement, d’être perpendiculaire à LM ; et elle lui est encore perpendiculaire lorsque, le plan vertical étant abattu, elle a pris la position Ca". Donc les deux droites aC, Ca", passant toutes deux par le point C, et étant toutes deux perpendiculaires à LM, sont dans le prolongement l’une de l’autre ; il en est de même des droites bD, Db", par rapport à tout autre point comme B. D’où il suit que, si l’on a la projection horizontale d’un point, la projection de ce même point sur le plan vertical supposé abattu, sera dans la droite menée par la projection horizontale perpendiculairement à l’intersection LM des deux plans de projection, et réciproquement.

12Ce résultat est d’un usage très fréquent dans la pratique.

13[9.] Jusqu’à présent, nous avons regardé la ligne droite AB (fig. 2) comme indéfinie, et alors nous n’avions à nous occuper que de sa direction ; mais il peut se faire que cette droite soit considérée comme terminée par deux de ses points A, B ; et alors on peut de plus avoir besoin de connaître sa grandeur. Nous allons voir comment on peut la déduire de la connaissance de ses deux projections.

14Lorsqu’une droite est parallèle à un des deux plans sur lesquels elle est projetée, sa longueur est égale à celle de sa projection sur ce plan ; car la droite et sa projection, étant toutes deux terminées à deux perpendiculaires au plan de projection, sont parallèles entre elles, et comprises entre parallèles. Ainsi, dans ce cas particulier, la projection étant donnée, la longueur de la droite qui lui est égale est aussi donnée.

15On est assuré qu’une droite est parallèle à un des deux plans de projection, lorsque sa projection sur l’autre est parallèle à l’intersection de ces plans.

16Si la droite est en même temps oblique aux deux plans, sa longueur est plus grande que celle de chacune de ses projections ; mais elle peut en être déduite par une construction très simple.

17Fig. 2. Soit AB la ligne droite, dont les deux projections ab, a'b' soient données, et dont il faille trouver la longueur ; si, par une de ses extrémités A, et dans le plan vertical qui passe par la droite, on conçoit une horizontale AE, prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre en E la verticale abaissée par l’autre extrémité, on formera un triangle rectangle AEB, qu’il s’agit de construire pour avoir la longueur de la droite AB, qui en est l’hypoténuse. Or, dans ce triangle, indépendamment de l’angle droit, on connait le côté AE, qui est égal à la projection donnée ab. De plus, si dans le plan vertical on mène par le point a' une horizontale a'e, qui sera la projection de AE, elle coupera la verticale b'D en un point e, qui sera la projection du point E. Ainsi, b'e sera la projection verticale de BE, et sera par conséquent de même longueur qu’elle. Donc, connaissant les deux côtés de l’angle droit, il sera facile de construire le triangle dont l’hypoténuse donnera la longueur de AB.

18La figure 2, étant en perspective, n’a aucun rapport avec les constructions de la méthode des projections : nous allons donner ici la construction de cette première question dans toute sa simplicité.

19Fig. 3. La droite LM étant supposée l’intersection des deux plans de projection, et les droites ab, a" b" étant les projections données d’une ligne droite, pour trouver la longueur de cette droite, par le point a" on mènera l’horizontale indéfinie He, qui coupera la droite bb" en un point e, sur laquelle, à partir de ce point, on portera ab de e en H. On mènera l’hypoténuse Hb", et la longueur de cette hypoténuse sera celle de la droite demandée.

20Comme les deux plans de projection sont rectangulaires, l’opération que l’on vient de faire sur un de ces plans pouvait être faite sur l’autre, et aurait donné le même résultat.

21D’après ce qui précède, on voit que si l’on a les deux projections d’un corps terminé par des faces planes, par des arêtes rectilignes et par des sommets d’angles solides, projections qui se réduisent aux systèmes de celles des arêtes rectilignes, il sera facile d’en conclure la longueur de telle de ses dimensions qu’on voudra. Car, ou cette dimension sera parallèle à un des deux plans de projection, ou elle sera en même temps oblique aux deux : dans le premier cas, la longueur demandée de la dimension sera égale à sa projection ; dans le second, on la déduira de ces deux projections par le procédé que nous venons de décrire.

22[10.] Ce serait ici le lieu d’indiquer la manière dont se construisent les projections des solides terminés par des plans et des arêtes rectilignes ; mais il n’y a pour cette opération aucune règle générale. On sent en effet que, selon la manière dont la position des sommets des angles d’un solide est définie, la construction de leurs projections peut être plus ou moins facile, et que la nature de l’opération doit dépendre de celle de la définition. Il en est précisément de cet objet comme de l’algèbre, dans laquelle il n’y a aucun procédé général pour mettre un problème en équations. Dans chaque cas particulier, la marche dépend de la manière dont la relation entre les quantités données et celles qui sont inconnues est exprimée ; et ce n’est que par des exemples variés que l’on peut accoutumer les commençants à saisir ces relations et à les écrire par des équations. Il en est de même pour la géométrie descriptive. C’est par des exemples nombreux et par l’usage de la règle et du compas dans des salles d’exercice que l’on peut acquérir l’habitude des constructions, et que l’on s’accoutume au choix des méthodes les plus simples et les plus élégantes, dans chaque cas particulier. Mais aussi, de même qu’en analyse, lorsqu’un problème est mis en équations, il existe des procédés pour traiter ces équations et pour en déduire les valeurs de chaque inconnue, de même aussi, dans la géométrie descriptive, lorsque les projections sont faites, il existe des méthodes générales pour construire tout ce qui résulte de la forme et de la position respective des corps.

23Ce n’est pas sans objet que nous comparons ici la géométrie descriptive à l’algèbre ; ces deux sciences ont les rapports les plus intimes. Il n’y a aucune construction de géométrie descriptive qui ne puisse être traduite en analyse ; et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues, chaque opération analytique peut être regardée comme l’écriture d’un spectacle en géométrie.

24Il serait à désirer que ces deux sciences fussent cultivées ensemble : la géométrie descriptive porterait, dans les opérations analytiques les plus compliquées, l’évidence qui est son caractère ; et, à son tour, l’analyse porterait dans la géométrie la généralité qui lui est propre.

Anmerkungen

1 L’intersection des deux plans de projection est communément appelée ligne de terre, mais Monge n’emploie jamais cette expression.

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© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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