Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

 | 
Jean Dhombres

Leçons de Monge

L’invention d’une langue des figures

Bruno Belhoste et René Taton

Texte intégral

1Comparées à celle des autres professeurs de sciences de l’École normale, les leçons de Monge sont originales à un double titre, à la fois par la personnalité exceptionnelle du professeur et par le caractère particulier de son enseignement.

2Sans doute, en ampleur et profondeur, son œuvre mathématique n’égale pas celles de Lagrange et de Laplace. Monge, en revanche, était un professeur incomparable, ayant acquis une expérience de l’enseignement sans aucune mesure avec celle de ses collègues mathématiciens, supérieure même à celle de tout autre professeur de l’École normale. Chaleureux et captivant malgré une élocution difficile, s’exprimant autant par les gestes que par la parole, il pouvait s’imposer à un vaste auditoire. De tous les professeurs de l’École, c’était aussi le plus engagé dans la Révolution, plus encore qu’un Volney ou un Garat. Jacobin, ministre après le 10 août, actif collaborateur du Comité de salut public en l’an II, il était le seul à tutoyer les élèves à la façon républicaine.

  • 1 Voir l’annexe 21 : La géométrie descriptive après Monge.

3Son cours aussi apparaît singulier, se distinguant par sa nature de tous les autres, y compris ceux de mathématiques, dont on l’avait significativement séparé. Son enseignement était en effet entièrement nouveau. Le titre même de ses leçons, géométrie descriptive, ne renvoyait à rien de connu. Monge exposa une méthode géométrique certes inventée depuis presque trente ans, mais demeurée secrète pour des raisons étrangères à la science. La diffuser par la méthode révolutionnaire, c’était un coup d’audace, au même titre que celui de Garat, imposant l’analyse de l’entendement ou la grammaire générale. Seuls le prestige de Monge et une grande influence auprès des organisateurs de l’École normale expliquent l’introduction de cet enseignement. Si son objectif immédiat – la création d’écoles secondaires de géométrie descriptive dans toutes les grandes villes de la République – n’a pas été atteint, les sténographies imprimées, maintes fois rééditées, ont assuré une large diffusion à la géométrie descriptive, devenue au xixe siècle une matière à part entière de l’enseignement scientifique et technique1.

Le professeur, le savant, le révolutionnaire

4Les premiers mois de l’an III furent assurément pour Monge une période intense et difficile. Épuisé par ses multiples activités, malade pendant tout l’hiver, il éprouvait sans doute, à la veille de ses cinquante ans, enthousiasme et inquiétude. Enthousiasme de voir ses idées triompher dans la nouvelle École centrale des travaux publics, destinée à remplacer les anciennes écoles d’ingénieurs, dont il connaissait bien les défauts, et de pouvoir enfin exposer publiquement à l’École normale sa fameuse méthode géométrique. Mais aussi inquiétude devant l’ampleur de la tâche à accomplir. Le 20 pluviôse an III (8 février 1795), trois semaines après le début des cours à l’École normale, il exprimait ses craintes au conseil de l’École centrale des travaux publics : « Une indisposition qui m’a retenu chez moi et une espèce d’abattement qui en est peut-être la suite, m’ont privé de mon activité ordinaire », avouait-il, ajoutant à propos de l’École centrale que le temps s’était écoulé sans que tout ce qu’il croyait nécessaire ne fût exécuté [Langins, 1987, annexe C, p. 118]. Inquiétude aussi devant l’évolution de la situation politique, l’isolement croissant des Jacobins et la montée des attaques contre l’École normale. Quelques jours après la fermeture de l’École, à la suite des journées de prairial, Monge préféra se cacher pendant quelques mois pour échapper à la répression antijacobine.

  • 2 De nombreuses études biographiques ont été consacrées à Monge. On se reportera surtout aux notices (...)

5Un coup d’œil en arrière, sur sa carrière d’Ancien Régime et son engagement révolutionnaire, avant d’examiner son enseignement à l’École normale et à l’École centrale des travaux publics, permettra de mieux saisir les ressorts profonds de ces sentiments contrastés2.

Le professeur de Mézières

6Né à Beaune le 9 mai 1746 dans une famille de modeste bourgeoisie – son père était marchand mercier –, Gaspard Monge fit de brillantes études chez les oratoriens du collège de sa ville natale, avant d’enseigner quelque temps la physique au collège de la Trinité à Lyon. Rentré à Beaune à l’été de 1764, il réalisa avec un de ses amis un plan complet de sa ville natale. Ayant apprécié la qualité de ce travail, le capitaine du Vignau, commandant en second de l’École du génie de Mézières, de passage à Beaune, proposa à Monge de venir à Mézières, pour y travailler à la gâche, c’est-à-dire dans l’atelier de dessin, de coupe des pierres et de moulage. Monge accepta. Il quitta Beaune à la fin de l’année 1764 pour rejoindre Mézières, où il allait passer vingt années. Il avait alors dix-huit ans.

  • 3 Voir l’annexe 16 : Les problèmes de défilement.
  • 4 Sur les origines de la géométrie descriptive voir [Loria, 1921], [Taton, 1954], [Sakarovitch, 1989] (...)
  • 5 Sur ces traités inédits, publiés par Théodore Olivier en 1847 [Monge, 1847a et 1847b], voir [Taton, (...)
  • 6 Sur l’enseignement de Monge à l’École du génie de Mézières, voir [Taton, 1964] et [Belhoste, Picon (...)

7D’abord simple collaborateur technique, il se fit bientôt remarquer par la méthode rapide et élégante avec laquelle il sut résoudre l’un des problèmes classiques de l’art des fortifications, le défilement, en utilisant les méthodes de la coupe des pierres3. C’est à cette occasion, semble-t-il, qu’il commença à systématiser et à théoriser les procédés de construction graphique couramment utilisés à l’École de Mézières, qu’il devait rendre célèbres trente ans plus tard sous le nom de géométrie descriptive4. Grâce à la bibliothèque de l’École, assez bien fournie en ouvrages scientifiques, il put rapidement compléter sa formation et commencer ses premières recherches personnelles. Ses remarquables aptitudes mathématiques attirèrent bientôt l’attention du professeur de mathématiques de l’école, l’abbé Charles Bossut, qui l’employa à partir de 1766 comme répétiteur officieux de son cours. Deux ans plus tard, Monge remplaça Bossut dans son enseignement, tout en conservant le titre de répétiteur. C’est probablement à cette époque qu’il écrivit pour ses élèves deux petits traités, De la perspective et Des ombres, qui sont les premiers textes connus dans lesquels il utilise les méthodes de la géométrie descriptive5. A partir de 1770, il assura également l’enseignement de la physique en remplacement de l’abbé Nollet, tout en participant aussi aux exercices sur la coupe des pierres, le tracé des charpentes et les levers topographiques. C’est seulement en 1775 que l’octroi du titre de « professeur royal de mathématiques et de physique », accompagné d’un traitement plus décent, récompensa cette activité intense et multiple6.

  • 7 Sur ces mémoires voir [Taton, 1951, p.76-77 et p. 233-234] et l’annexe 14 : Sur la distance entre d (...)
  • 8 Sur Meusnier voir [Taton, 1951a, p. 234-235 et p.291-292] et [Lavoisier, 1986, annexe III, p. 299-3 (...)

8Quelques-uns de ses élèves à Mézières se révélèrent d’excellents géomètres, qui doivent être comptés parmi ses disciples, en particulier Charles de Tinseau (1749-1822), élève en 1769 et 1770, qui présenta à l’Académie à sa sortie de l’École deux mémoires de géométrie [1780a, 1780b], directement inspirés de Monge7, Lazare Carnot (1753-1823), élève en 1771 et 1772, et surtout Jean-Baptiste Meusnier (1754-1793), le disciple préféré, élève en 1774 et 1775, dont l’œuvre scientifique et technique se développa dans le droit fil de celle de son professeur8. Monge eut aussi comme élève à Mézières, à l’école préparatoire créée auprès de l’École du génie, Jean-Pierre Nicolas Hachette (1769-1834), qui fut son adjoint en l’an III aussi bien à l’École normale qu’à l’École centrale des travaux publics.

9Malgré ses lourdes charges professionnelles, Monge entreprit dès 1768 une série de recherches mathématiques, orientées pour l’essentiel vers la théorie des équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle, deux domaines qu’il souhaitait étudier en parallèle. De 1771 à 1780, il présenta devant l’Académie des sciences de Paris une série de huit mémoires mathématiques, cinq d’analyse et trois de géométrie différentielle. En mars 1772, il fut élu correspondant de l’abbé Bossut à l’Académie des sciences, ce qui lui permettait désormais d’assister aux séances lors des brefs séjours qu’il faisait à Paris chaque année. Il était en relation avec des académiciens comme Bossut, d’Alembert, Condorcet, Vandermonde et Lavoisier. Pourtant, du fait des longs délais de publication des recueils académiques, c’est seulement dans le courant de l’année 1776 que parurent ses premiers mémoires, en particulier quatre travaux d’analyse, suivis de deux autres en 1780, dont un mémoire de géométrie différentielle consacré à l’étude des surfaces développables et à son application à la théorie des ombres et pénombres (mémoire présenté à l’Académie le 11 janvier 1775) [Monge, 1780].

Un académicien parisien

10Isolé à Mézières pendant la plus grande partie de l’année, Monge ne pouvait s’intégrer plus complètement à la vie académique, comme il l’aurait souhaité. Au début de l’année 1776, il posa sa candidature à une place vacante d’associé libre, mais l’Académie lui préféra un chimiste amateur, de valeur assez modeste, le comte de Milly. Finalement, il put postuler à la fin de l’année 1779 à la place d’associé géomètre que libérait Vandermonde, celui-ci succédant dans la place d’adjoint géomètre à l’abbé Bossut, élu pensionnaire. Pour que l’Académie prît en considération sa candidature, il lui fallait résider au moins cinq mois par an à Paris. Or la direction du génie l’autorisa à passer la moitié de l’année à Paris pour y suppléer l’abbé Bossut, avec le titre d’adjoint, dans la chaire d’hydrodynamique créée au Louvre en 1775. Élu associé géomètre le 14 janvier 1780, il partagea dès lors son temps entre Paris, où il participait activement à la vie académique et où il assurait son nouvel enseignement, et Mézières, où il continuait tant bien que mal à diriger la formation technique et scientifique des élèves ingénieurs.

  • 9 Voir l’annexe 18 : Sylvestre-François Lacroix et la géométrie descriptive.

11Dans son cours du Louvre, il paraît avoir enseigné non seulement l’hydrodynamique, mais aussi l’analyse, exposant les méthodes de la géométrie analytique et de la géométrie différentielle. Il eut dans son auditoire deux jeunes gens, qu’il aida et protégea, Gaspard Riche de Prony (1755-1839) et Jean-Henri Hassenfratz (1755-1827), ses futurs collègues à l’École centrale des travaux publics, et Sylvestre-François Lacroix (1765-1843), qui fut son adjoint à l’École normale9. Pendant ce temps, malgré la nomination d’un adjoint pour le suppléer pendant ses séjours à Paris – son frère Louis, puis Claude Ferry (1750-1845)-, la direction de l’école de Mézières s’inquiétait de ses trop longues absences. Elle lui accorda cependant l’installation d’un laboratoire de chimie – Monge s’orientait alors de plus en plus vers la physique et la chimie – où il réalisa avec l’aide d’un jeune assistant, Jean-François Clouet, différentes expériences, dont, au cours de l’été 1783, un peu après Lavoisier, la synthèse d’une petite quantité d’eau.

12Quelques mois plus tard, Monge succéda à Bézout comme « examinateur des gardes du pavillon, gardes de la marine et aspirants », tandis que Laplace obtenait parallèlement le poste d’examinateur des élèves de l’artillerie. Monge bénéficiait ainsi de la protection du nouveau ministre de la Marine, le duc de Castries, qu’il avait connu en 1774 et de son amitié avec Jean-Nicolas Pache, précepteur des enfants du duc et son secrétaire au ministère. Bossut, probablement mécontent de cette nomination, lui retira bientôt la suppléance de sa chaire d’hydrodynamique. La tâche de Monge n’en restait pas moins très lourde : il lui fallait à la fois poursuivre son enseignement à Mézières, assurer, comme examinateur, les longues tournées d’inspection des écoles de la marine et participer pendant plusieurs mois aux activités de l’Académie des sciences. Une telle situation ne pouvait durer bien longtemps. Aussi, après de pénibles démêlés avec la direction de l’école et avec celle du génie, Monge, remplacé dans son poste de professeur par Claude Ferry, quitta définitivement Mézières le 24 décembre 1784, avec une pension de retraite de mille livres. Il conservait toutefois des liens assez étroits avec les Ardennes, ayant épousé en 1777 la jeune veuve d’un maître de forges de Rocroi, Marie-Catherine Huart (1747-1846), dont il eut deux filles, Émilie (1778-1874) et Louise (1779-1874).

  • 10 Sur le rôle de Monge auprès de Lavoisier, voir [Taton, 1991c].

13Fixé à Paris, en dehors de ses tournées annuelles d’inspection comme examinateur de la marine, Monge participait maintenant très activement aux travaux des chimistes qui se réunissaient autour de Lavoisier. Rallié à la nouvelle doctrine chimique, probablement au début de l’année 1785, il contribua de façon très efficace à son développement et à sa diffusion10. Hormis une série de quatre études d’analyse mathématique et de géométrie différentielle présentées entre juillet 1785 et février 1786, tous les mémoires lus par Monge devant l’Académie après 1781 étaient d’ailleurs consacrés soit à la physique soit à la chimie.

14À cause des très longs délais d’impression de ses premiers mémoires, ce déplacement de ses centres d’intérêt apparaît beaucoup moins nettement quand on examine la chronologie des publications : le mémoire sur la théorie des déblais et des remblais, où se trouve la première étude d’ensemble des lignes de courbure d’une surface, présenté deux fois à l’Académie, en janvier 1776, puis en mars 1781, ne parut qu’en 1784, et c’est seulement en 1785 que parut celui sur les développées, les rayons de courbure et les différents genres d’inflexion des courbes gauches, premier grand mémoire de géométrie différentielle de Monge, présenté à l’Académie dès 1771. Enfin, la série de mémoires sur la théorie des équations aux dérivées partielles et l’importante étude sur l’expression analytique de la génération des surfaces que Monge avait présentées à l’Académie entre juillet 1785 et février 1786, ne furent publiées qu’en 1786 et 1787.

15À la fin de 1785, Monge fut pressenti par le comte de Montesquiou pour enseigner la physique au Lycée, qui venait d’être fondé sous la protection de Monsieur, frère du roi. Monge refusa – « je professerais mal pour une réunion qui ne veut que passer la soirée », arguait-il –, mais il dut rechercher un jeune professeur pour enseigner « sous lui ». Il choisit Gengembre, dont il devint le conseiller, et offrit par la même occasion à Lacroix, alors à Rochefort, d’enseigner les mathématiques au Lycée « sous Condorcet ». Monge n’enseigna jamais lui-même dans cet établissement, mais en qualité de conseiller, il y connut sans doute Garat, le futur organisateur de l’École normale, qui y donnait un cours d’histoire.

  • 11 Sur l’activité de Monge comme examinateur de la marine, voir [Julia, 1989 et 1990].

16En fait, Monge était accaparé par ses fonctions d’examinateur, qu’il exerça jusqu’à son élection comme ministre de la marine au lendemain du 10 août 179211. Le poste comportait des obligations qui se révélèrent de plus en plus lourdes à la suite des réformes successives dans le régime des écoles de la marine, en particulier après l’importante ordonnance du 1er janvier 1786 qu’il avait en partie inspirée. Si le cours de Bézout continuait à servir de base à l’enseignement dans ces écoles pour les mathématiques et la dynamique, Monge rédigea, à la demande du ministre de la Marine, un Traité élémentaire de statique à l’usage des collèges de la marine [Monge, 1788], seul ouvrage publié par lui avant la Révolution.

17Outre ses tournées annuelles d’examinateur et ses recherches en mathématiques, physique et chimie, Monge participa à la rédaction d’un assez grand nombre de rapports sur des mémoires scientifiques et des projets de machines soumis à l’Académie. En 1791, l’Académie des sciences, chargée par l’Assemblée constituante d’établir un système décimal de mesures, choisit de fonder ce nouveau système sur la mesure du méridien terrestre et elle désigna Monge et Meusnier commissaires pour mesurer les bases de départ de la triangulation projetée. Si, du fait de ses longues absences, il ne put jouer un rôle déterminant dans la commission, du moins fut-il, avec Lagrange et Borda, l’un des signataires du grand rapport sur le système des poids et mesures présenté à l’Académie des sciences le 29 mai 1793, alors que celle-ci vivait ses derniers jours.

Le savant en Révolution

18Bien qu’il fût lié, depuis ses premiers débuts, avec les administrations d’Ancien Régime et qu’il entretînt de bonnes relations avec certains personnages importants de l’époque, Monge restait profondément marqué par la modestie de ses origines et l’obscurité de ses débuts à Mézières. Il avait souffert de l’esprit de caste régnant à l’École du génie, dont le caractère très aristocratique avait été encore renforcé par une ordonnance de 1776 et surtout par une décision royale de 1781, qui réservait l’admission aux candidats ayant quatre degrés de noblesse, à la seule exception des fils de chevaliers de Saint-Louis. Homme des Lumières, longtemps membre de la loge « l’Union parfaite » du corps du génie, Monge aspirait sans doute, comme beaucoup d’autres, à des réformes d’ordre social et politique. Dès les débuts de la Révolution, il fut patriote. En juin 1790, il s’inscrivit à la Société patriotique de 1789, un club auxquels appartenaient de nombreux académiciens, dont Condorcet et Lavoisier, mais un an plus tard il l’abandonna pour adhérer à la Société patriotique de la section de Luxembourg, beaucoup plus avancée politiquement, où il retrouvait ses amis Pache, Vandermonde, Hassenfratz et Meusnier. Un peu plus tard, on ignore la date, il adhérait au club des Jacobins.

19Au lendemain du 10 août 1792, Monge, proposé par Condorcet et soutenu par Pache, fut élu par l’Assemblée législative ministre de la Marine dans le Conseil exécutif provisoire. Mais, malgré sa bonne volonté et sa connaissance des problèmes théoriques de la marine, il connut pendant ses huit mois de passage au ministère, dans une conjoncture politique et militaire il est vrai difficile, plus de déboires que de succès. Aussi c’est avec soulagement qu’il remit sa démission le 11 avril 1793 et qu’il reprit ses activités habituelles, tout en participant activement à la vie politique parisienne. Il prit part aux travaux de la Commission des poids et mesures de l’Académie puis de la Commission temporaire des poids et mesures, créée après la suppression des Académies pour poursuivre la préparation de la réforme métrologique. C’est lui qui fut chargé, le 27 août, d’inventorier les collections de la ci-devant Académie des sciences et, le 2 septembre, de poser les scellés sur le matériel de l’Observatoire de Paris.

  • 12 Voir l’annexe 20 : Un projet d’écoles secondaires pour artisans et ouvriers.
  • 13 Ce terme est employé également dans le tableau n° l annexé à la pétition du département de Paris im (...)

20Il intervint aussi dans les discussions relatives à l’instruction publique. Consulté en 1791 par Talleyrand pour la rédaction de son rapport sur l’instruction publique, il avait approuvé ensuite le projet de Condorcet, dont il était proche. Mais c’est au cours de l’été 1793 qu’il eut l’occasion d’exposer publiquement ses idées en matière d’éducation technique. Dans le cadre d’un projet d’organisation des degrés supérieurs de l’instruction présenté le 15 septembre 1793 devant la Convention par des représentants du département de Paris, il élabora en effet pour le premier niveau de cet ensemble un projet d’écoles secondaires pour artistes et ouvriers de tous les genres, qui fut joint à la pétition des délégués parisiens12. Dans ce projet, Monge employait pour la première fois l’expression, alors inédite, de géométrie descriptive, que les cours de l’École normale et de l’École centrale des travaux publics allaient faire connaître un peu plus tard13. Le projet du département de Paris fut adopté officiellement par un décret du 15 septembre 1793, mais, dès le lendemain, il fut remis en discussion puis ajourné de manière définitive.

21L’activité de Monge s’intensifiait et se diversifiait rapidement. Il participait en effet avec toute son énergie à l’effort de guerre. Dès sa création, en avril, le Comité de salut public avait décidé de mobiliser les savants. Le 7 septembre 1793, Monge fut chargé, avec ses amis Vandermonde et Berthollet, de rédiger un ouvrage élémentaire sur la fabrication de l’acier de forge et la cémentation. Ce bref Avis aux ouvriers enfer sur la fabrication de l’acier puddlé fut imprimé avant la fin de l’année [Berthollet, Monge et Vandermonde, 1793]. En même temps, Monge, avec Hassenfratz, organisait la grande manufacture d’armes créée par la Commune de Paris. Libéré en décembre de ses fonctions d’examinateur de la marine qu’il avait reprises après son départ du ministère, il travailla aussi dans le cadre de la section des armes du Comité de salut public, dirigée par Prieur, son ancien élève à Mézières. Il prépara de nombreux arrêtés du Comité concernant la fabrication des armes, en particulier celle des canons.

22Il joua un rôle actif dans les cours révolutionnaires de l’École des armes qui commencèrent le 1er ventôse (19 février 1794). Ces cours, divisés en trois séries, étaient destinés à former en trois décades des moniteurs de fabrication pour le salpêtre, les poudres et les canons. Choisis par les administrations de district, ceux-ci devaient porter, après leur instruction, leurs connaissances dans les ateliers de Paris et de province. L’une des trois décades était consacrée à la fabrication des canons, sous la direction de Monge, Hassenfratz et Périer. Parallèlement à ces cours, un arrêté du Comité de salut public en date du 18 pluviôse an II (6 février 1794), confia à Monge la préparation d’un ouvrage de référence, la Description de l’art de fabriquer les canons, qu’il rédigea en quelques mois [Monge, 1794]. L’École des armes servit de modèle pour tous les projets d’enseignement révolutionnaire qui fleurirent en l’an II, y compris pour l’École normale.

23Monge s’occupait en même temps de la construction puis du fonctionnement d’une vaste poudrerie implantée à Grenelle, dont l’explosion meurtrière, le 14 fructidor (31 août 1794), marqua pratiquement la fin de sa participation à l’effort de guerre. Il est vrai qu’entre temps la chute de Robespierre, le 9 thermidor (27 juillet 1794) avait bouleversé la scène politique. Bien que compromis aux yeux de certains thermidoriens par ses relations amicales avec d’anciens hébertistes comme Pache et Hassenfratz, Monge ne fut pas directement inquiété, mais, chargé avec Hachette d’une mission en Normandie par le Comité de salut public, il fut quelque temps éloigné de la capitale.

La fondation de l’École centrale des travaux publics

  • 14 Ce texte est reproduit dans [Langins, 1987a, annexe I, p. 226-269].

24Lorsque Monge quitta Paris, le 2 vendémiaire an III (23 septembre 1794), le projet d’une École centrale des travaux publics (rebaptisée École polytechnique un an plus tard) était en cours de discussion à la Convention. C’est pendant son absence que parurent, en annexe au rapport politique de Fourcroy, les Développements sur l’enseignement adopté pour l’École centrale des travaux publics, qu’il avait, selon toute vraisemblance, lui-même rédigés14

  • 15 Sur les origines de l’École centrale des travaux publics et sur sa fondation, voir [Langins, 1980, (...)

25De fait, avant même Thermidor, Monge s’était occupé avec ardeur de l’organisation de l’École centrale des travaux publics, dont la création, envisagée par les autorités dès l’été 1793, avaient été officiellement annoncée devant la Convention le 21 ventôse an II (11 mars 1794)15. À l’origine, il s’agissait uniquement d’agrandir l’École des ponts et chaussées, pour qu’elle forme tous les ingénieurs de la République, civils et militaires. La difficulté de l’opération, supervisée par une commission des travaux publics à caractère administratif, son ampleur et son urgence décidèrent le Comité de salut public à prendre lui-même en main l’organisation de la nouvelle école. Monge, qui travaillait dans ses bureaux et qui jouissait de l’entière confiance de Prieur et de Carnot, tous deux ingénieurs du génie, fut chargé de l’affaire. C’est pendant l’été, fort de son expérience de professeur et d’examinateur, qu’il rédigea les textes fondateurs, tandis que le directeur de l’École des ponts et chaussées, Lamblardie, préparait l’emménagement dans les dépendances du Palais-Bourbon. Le projet élaboré par Monge et approuvé par le Comité de salut public, malgré Thermidor, rompait assez radicalement avec le modèle des anciennes écoles d’ingénieurs : il prévoyait de faire de l’École centrale des travaux publics une école encyclopédique de haute culture scientifique et technique, entièrement indépendante des grands corps d’ingénieurs, que dirigeraient ses professeurs, recrutés parmi les meilleurs savants. Il n’est guère douteux que la fondation de l’École centrale des travaux publics exerça une influence sur l’École normale et qu’elle contribua à en dévier le projet initial vers un établissement d’enseignement supérieur à maints égards comparable.

26Dans le plan d’études de l’École centrale des travaux publics, la géométrie descriptive occupait une place centrale, à côté de la chimie et de l’analyse. Monge plaçait en fait sous le terme générique de géométrie descriptive, de création récente, puisqu’il n’était apparu pour la première fois sous sa plume qu’en 1793, dans le projet d’écoles secondaires du département de Paris, toutes les techniques graphiques, art du trait, dessin géométral, cartographie, etc, dont il avait uniformisé les procédés à Mézières par l’utilisation systématique de la double projection orthogonale, associée aux méthodes de génération de surfaces et aux coupes transversales par des plans auxiliaires. Dans les Développements, il divisait les connaissances à enseigner à l’École centrale des travaux publics en deux grands genres, les connaissances mathématiques et les connaissances physiques. Les premières consistaient soit dans « l’art de décrire les objets », soit dans l’analyse. La géométrie descriptive décrit les objets dont les formes sont « susceptibles d’une définition rigoureuse », tandis que le dessin s’attache à tous ceux « qui n’ont rien de précis dans leur dimension ». Quant à l’analyse, elle peut s’appliquer, entre autres, à la géométrie descriptive – à toute épure correspond une solution analytique –, thème que l’on retrouve plusieurs fois développé dans les leçons à l’École normale. En première année, précisaient les Développements, les élèves feront l’application à la géométrie descriptive, « de manière qu’ils seront en état de résoudre, par l’analyse, toutes les questions dont la géométrie descriptive donne la solution, et de se représenter, dans l’espace, le spectacle des objets dont les opérations de l’analyse sont l’expression ; cet exercice a deux avantages précieux, celui de porter, dans l’analyse, l’évidence qui est particulière à la géométrie, et celui de donner aux opérations géométriques la généralité qui est propre à l’analyse ».

27La géométrie descriptive, telle qu’elle est envisagée dans les Développements et dans l’arrêté du 6 frimaire an III (26 novembre 1794), comprend non seulement la « méthode des projections » mais aussi toutes ses applications aux sciences de l’ingénieur. En première année, l’instituteur doit enseigner ce que Monge appelait alors la stéréotomie : les « règles générales » pendant les deux premiers mois puis, pendant les dix autres mois, successivement les applications à la coupe des pierres, aux traits de la charpenterie, à la détermination des ombres, à la perspective linéaire et aérienne, au lever des places et des cartes, au nivellement et enfin à la description des machines simples et composées, à raison de deux mois pour chaque question. L’exposé théorique de la géométrie descriptive n’occupait donc qu’un sixième du temps accordé à la « stéréotomie ». Les deux dernières années de géométrie descriptive étaient consacrées à l’architecture (deuxième année) et aux travaux des ports et des fortifications (troisième année), c’est-à-dire à des connaissances ne se rattachant qu’accessoirement à la géométrie descriptive, au sens où nous l’entendons.

28À son retour de mission, début novembre 1794, Monge suivit de près le fonctionnement de l’école des chefs de brigade créée par un arrêté du 19 brumaire an III (9 novembre 1794). On avait prévu de partager les élèves de l’École centrale des travaux publics en brigades de vingt, dirigée chacune par un chef de brigade. Dès la fin de brumaire an III, soit six semaines avant l’ouverture des cours de l’École, vingt-quatre aspirants-instructeurs, nombre porté ultérieurement à cinquante, suivirent un enseignement spécial dans une école provisoire installée d’abord quai Voltaire puis à la maison Pommeuse près du Palais-Bourbon. Au terme de cette instruction, on devait choisir parmi eux les premiers chefs de brigade. Les matinées étaient réservées dans les premiers temps à la géométrie descriptive. Après l’ouverture des cours révolutionnaires, le 1er nivôse an III (21 décembre 1794), et jusqu’à l’élection des chefs de brigade, le 23 ventôse an III (13 mars 1795), les aspirants-instructeurs continuèrent, semble-t-il, à étudier et à dessiner dans la soirée à la maison Pommeuse.

29Nous savons peu de choses du fonctionnement de l’École des chefs de brigade. Le petit nombre des élèves et leur bon niveau d’ensemble (sur cinquante aspirants-instructeurs, vingt-quatre sortaient de l’École des ponts et chaussées et trois de l’École du génie) autorisaient une pédagogie différente de celle qui allait être adoptée aussi bien à l’École centrale des travaux publics qu’à l’École normale. Il n’y avait pour ainsi dire pas de cours magistraux, sauf, semble-t-il, en analyse appliquée à la géométrie. L’instruction consistait pour l’essentiel dans la réalisation de travaux par les élèves sous le contrôle et avec l’aide directe des instituteurs. C’était, au fond, l’organisation pédagogique des anciennes écoles d’ingénieurs.

30Bien qu’il n’enseignât pas officiellement à l’École des chefs de brigade – c’est Hachette qui était l’instituteur en titre de géométrie descriptive –, Monge participa activement à l’instruction. Il donna quelques leçons, probablement d’analyse. Surtout, il suivit chaque jour les travaux des aspirants-instructeurs, parfois jusque tard dans la soirée, renouant ainsi, après dix années d’interruption, avec son expérience d’enseignement à Mézières. On travaillait, semble-t-il, dans l’émulation et l’enthousiasme. En pluviôse et ventôse, les aspirants-instructeurs allèrent écouter les leçons de Monge à l’École normale. A son instigation, certains entreprirent même des recherches originales, relatives en particulier à la détermination analytique des teintes sur une surface éclairée ([Monge, 1795b] et [Dupuis de Torcy, 1795]). « L’un des élèves, écrit Brisson, se chargea de dessiner en secret une sphère, en disposant les teintes du lavis d’après les résultats du calcul : l’image était parfaite, sitôt qu’elle fut achevée, on la plaça sous les yeux de Monge. Il est difficile de se faire une idée du moment de bonheur qu’il éprouva ; vingt ans après il ne pouvait en parler sans émotion. » [Brisson, 1818, p.14-15].

Le cours préliminaire de stéréotomie

31C’est avec un mois de retard par rapport au calendrier initialement prévu que l’École centrale des travaux publics commença réellement à fonctionner. Pendant les trois premiers mois, les instituteurs résumèrent tout leur enseignement dans des cours préliminaires. On avait, en effet, recruté d’un seul coup par concours l’équivalent de trois promotions – soit quatre cents élèves prévus par la loi, un peu moins en réalité – et il s’agissait, par un enseignement accéléré, selon la méthode révolutionnaire, de réduire à deux ans au lieu de trois la formation effective des élèves classés dans les deux divisions supérieures. Monge était chargé de faire les cours préliminaires de stéréotomie et d’analyse appliquée à la géométrie.

  • 16 Ch. Gardeur-Lebrun, Journal de l’École centrale des travaux publics, Archives de l’École polytechni (...)

32Épuisé par des mois de travail ininterrompu, Monge tomba gravement malade en décembre 1794 et ne put participer au début des cours. Son successeur à l’École du génie de Mézières, Claude Ferry, le remplaça pour l’analyse appliquée à la géométrie. Ses leçons, très médiocres, ne respectèrent pas le programme prescrit par les Développements et n’abordèrent aucune des questions étudiées en géométrie descriptive [Langins, 1987a, p. 35-37, et annexe C, p. 119]. Quant au cours de stéréotomie, donné par Monge, il commença avec retard, le 21 nivôse (10 janvier 1795). « Il y avait toujours beaucoup d’auditeurs, écrit l’inspecteur des élèves Gardeur-Lebrun dans son Journal, qui tous à peu près sont restés à la première leçon de géométrie descriptive du citoyen Monge qui a été reçu aux applaudissements universels ; l’inspecteur des études Lagrange et le représentant du peuple Prieur y ont assisté de même que le Directeur et plusieurs instituteurs et adjoints. Le citoyen Monge a présenté les premières notions de cette géométrie descriptive avec une précision et une clarté qui ne laissent rien à désirer16. » Monge avait prévu vingt-quatre leçons. Tous les jours, pendant trois décades, sauf les quintidis et décadis, il donna une leçon d’une heure et demi environ. Il acheva son cours le 19 pluviôse (7 février 1795).

  • 17 Ce plan, présenté par Monge au Conseil de l’École le 20 frimaire an III (10 décembre 1794), est pub (...)

33De ce cours préliminaire, il ne reste aujourd’hui que le plan que nous reproduisons ci-dessous, avec l’indication des dates de chaque leçon, ainsi qu’un bref résumé rédigé par Monge lui-même17 :

  • 18 Voir la version manuscrite du plan de son cours publiée dans [Taton, 1951a, p. 93-95].

34Il ressort de ce plan que Monge consacra seulement quelques leçons à l’exposé de la « méthode des projections » et que l’essentiel du cours préliminaire de stéréotomie, conformément aux Développements, résumait les applications à la coupe des pierres et des bois, au dessin des ombres et à la perspective, au lever des cartes et à la description des machines. Monge avait envisagé, dans un premier temps de traiter la coupe des pierres et des bois avant les ombres et la perspective, conformément à la tradition de Mézières18. C’est le parti qu’il devait d’ailleurs adopter pour les leçons ordinaires, destinées à former de futurs ingénieurs. Mais, pour le cours préliminaire de stéréotomie, Monge préféra finalement intervertir l’ordre des matières. Comme il l’expliqua un peu plus tard à l’École normale, où il procéda de la même manière, « dans une école destinée à répandre les méthodes de la géométrie descriptive, il serait convenable que les élèves commençassent les applications de ces méthodes par l’étude de la coupe des pierres et de la charpente [...]. Mais dans un cours spécialement consacré à la géométrie descriptive proprement dite, il est naturel de prendre pour premier objet d’application la théorie des ombres, qui doit être regardée comme le complément de cette science ». Dans le même ordre d’idées, Monge choisit de présenter la perspective aérienne, qui trouve des applications dans le lavis, avant la perspective linéaire, contrairement à ce qu’il devait faire dans les leçons ordinaires. Ces modifications de détail sont symptomatiques des intentions de Monge, au moment où il présenta son cours préliminaire de stéréotomie : plutôt que de résumer en quelques séances l’enseignement que recevraient les élèves au cours de leurs trois années d’études, il entendait dégager l’esprit de sa méthode par une présentation très générale de la théorie et de ses applications. C’est exactement ce qu’il devait faire quelques jours plus tard à l’École normale.

Les leçons à l’École normale

35C’est pendant la mission de Monge en Normandie que la Convention avait décrété la création de l’École normale, le 9 vendémiaire an III (30 septembre 1794). Bien que Monge ne comptât pas parmi les initiateurs du projet, sa nomination comme professeur n’était pas une surprise. Déjà le 18 messidor an II (6 juillet 1794), il avait été nommé, avec d’autres futurs professeurs de l’École normale, Lagrange, Daubenton, Garat, Thouin, Vandermonde et Buache, membre du jury institué pour choisir les livres élémentaires destinés aux écoles primaires. Le concours n’ayant produit aucun bon résultat, le Comité d’instruction publique décida le 1er brumaire an III (22 octobre 1794) d’en confier l’exécution à des « hommes éminents ». Monge avait été chargé de rédiger les « instructions nécessaires pour rendre utiles aux élèves la fréquentation des ateliers, et les travaux manuels qui doivent occuper une partie du temps destiné à l’enseignement ». Sa nomination à l’École normale en découlait directement. En effet, pendant la discussion du décret instituant la nouvelle école, Lakanal annonça à la Convention que les auteurs des livres élémentaires en seraient aussi les professeurs. Et, de fait, dès le 11 brumaire (2 novembre 1794), Monge était sur la liste soumise au Comité d’instruction publique.

36Plus surprenant était le titre des leçons de Monge : l’enseignement de la géométrie descriptive, dont on ignorait tout, était-il adapté à une école qui devait, ne l’oublions pas, donner impulsion à la formation accélérée des instituteurs primaires ? Si l’organisation de l’École normale était restée fidèle au projet initial, Monge aurait dû donner, dans le même esprit qu’à l’École des armes, des leçons sur les arts mécaniques, puisqu’il était chargé d’en rédiger le manuel. Mais Garat avait, sans le dire, déjà infléchi le projet dans le sens d’une école de haute culture, inspirée de l’expérience du Lycée. Monge ne se fit donc aucun scrupule à concevoir un enseignement destiné non à de futurs instituteurs d’écoles primaires, mais à des professeurs d’écoles secondaires (secondaires au sens de Condorcet, c’est-à-dire intermédiaires entre les écoles primaires et les écoles centrales, dont la création venait d’être décidée par la Convention). L’influence de Sylvestre-François Lacroix, collaborateur de Garat à la Commission exécutive de l’Instruction publique et disciple de Monge, la volonté de ce dernier de diffuser sa géométrie descriptive pour en faire un langage commun à tous les artistes et aussi, ce point fut sans doute décisif sur le plan pratique, alors qu’il était surmené, la commodité qu’offrait un enseignement qu’il venait de faire à l’École centrale des travaux publics, expliquent le choix d’un pareil sujet.

Le déroulement des leçons

37Gaspard Monge prononça treize leçons pendant les quatre mois de fonctionnement de l’École normale. D’après le règlement, il parlait chaque primidi et sextidi, après Lagrange ou Laplace pour les mathématiques et Haüy pour la physique. En fait, il donna ses leçons les 1er, 9 et 21 pluviôse (20 et 28 janvier et 9 février 1795), les 1er, 11 et 21 ventôse (19 février et 1er et 11 mars), les 1er, 11 et 21 germinal (21 et 31 mars et 10 avril) et, sans doute, pour celles qui n’ont pas été publiées dans le Journal des séances, les 1er, 11, 21 et 26 floréal (20 et 30 avril et 10 et 15 mai), cette dernière date étant la plus douteuse. Lorsque l’École normale ouvrit ses portes, Monge n’avait pas encore terminé son cours préliminaire de stéréotomie à l’École centrale des travaux publics, et, pendant deux décades, il dut assurer en parallèle les deux enseignements : le 1er pluviôse (20 janvier), après avoir terminé vers dix heures du matin la neuvième leçon du cours préliminaire sur la perspective linéaire, il lui fallut traverser Paris pour donner sa première leçon à l’École normale ; chaque fois qu’il donnait une leçon ou participait à un débat à l’École normale – ce qui lui arriva encore les 9, 11 et 16 pluviôse (28 et 30 janvier et 4 février) –, Monge devait déplacer en début de matinée son cours préliminaire de l’École centrale, qu’il commençait habituellement à midi et quart, pour parler au Muséum à midi.

38Sur les conditions dans lesquelles Monge donnait ses leçons à l’amphithéâtre, on ne sait à peu près rien, en dehors des sténographies. Même s’il est vraisemblable qu’il s’aida de figures tracées au tableau et peut-être de quelques maquettes, la brièveté des leçons (trois-quarts d’heure) ne lui permettait pas d’entrer dans le détail des constructions graphiques. Le grand nombre des élèves, leur indiscipline et, pour la plupart, leur faible niveau mathématique, auraient d’ailleurs rendu illusoire un enseignement magistral de caractère trop technique. Monge se contenta donc à l’amphithéâtre de développer des considérations générales sur les méthodes et les applications de la géométrie descriptive, comme il achevait de le faire dans son cours préliminaire à l’École centrale des travaux publics.

39À vrai dire, il semble bien qu’à l’École normale il reprit à très peu près les leçons qu’il donnait depuis le 21 nivôse (10 janvier) au Palais-Bourbon. On ne peut manquer de constater, en effet, en comparant les intitulés des neuf premières leçons du cours préliminaire de stéréotomie aux leçons de l’École normale, la similitude dans l’ordre d’exposition. Excepté quelques différences significatives – la troisième, le début de la quatrième et la huitième leçons données à l’École normale traitent de questions qui ne sont pas abordées, semble-t-il, dans le cours préliminaire ; inversement, la quatrième leçon du cours préliminaire n’a pas vraiment d’équivalent à l’École normale – les plans des deux cours sont presque identiques. On notera en particulier que Monge consacra dans les deux cours à l’étude des surfaces des leçons qui paraissent relever davantage de la géométrie différentielle que de la géométrie descriptive. L’ordre et la matière des leçons que Monge prévoyait de donner à l’École normale sur les applications mais qu’il ne put prononcer, ne devaient pas non plus s’éloigner sensiblement de ceux adoptés précédemment à l’École centrale des travaux publics, comme on peut s’en convaincre en comparant les quelques indications fournies dans le Programme au plan du cours préliminaire de stéréotomie.

40On ignore en revanche s’il existait des différences de style et de contenu entre les deux cours. Les apparences, en tout cas, ne doivent pas nous abuser : tandis que les leçons de l’École normale donnèrent naissance à un ouvrage de référence, il ne reste presque rien du cours préliminaire de stéréotomie de l’École centrale des travaux publics ; par ailleurs, l’enseignement donné à l’École normale s’est trouvé amputé de toutes les applications techniques que Monge avait l’intention de développer, si bien que le texte publié s’est trouvé, par accident, déséquilibré au profit de la théorie. Tout compte fait, Monge consacra dans le cours préliminaire de stéréotomie plus de temps aux questions théoriques qu’il ne le fit à l’École normale : il prit treize heures et trente minutes pour terminer les neuf premières leçons de son cours préliminaire – et même davantage car il lui arrivait souvent de dépasser l’horaire imparti – contre neuf heures seulement pour ses douze leçons à l’École normale (en excluant la treizième leçon, consacrée à l’enseignement de la géométrie descriptive dans les écoles secondaires). En conclusion, on retiendra comme hypothèse la plus vraisemblable que Monge utilisa à l’École normale le canevas établi quelques jours plus tôt pour le cours donné à l’École centrale des travaux publics, en effectuant, face à un auditoire différent, quelques suppressions et digressions (on peut supposer, par exemple, que les démonstrations de géométrie plane par la méthode des projections qu’il donne dans la cinquième leçon sont des additions), mais sans modifier sensiblement l’économie générale de son exposé.

  • 19 L’église de la Sorbonne avait été choisie à l’origine pour accueillir les leçons de l’École normale (...)
  • 20 Ainsi, dans la leçon du 1er germinal, Monge annonça aux élèves son intention d’étudier « dans nos c (...)

41Dans le programme de ses leçons, Monge avait annoncé son intention d’organiser pour les élèves des séances de travaux graphiques. Deux professeurs adjoints, Lacroix et Hachette, l’assistèrent dans ces séances, qui se tenaient dans des salles de dessin aménagées dans l’ancienne église de la Sorbonne [Monge, 1811a, avertissement de l’éditeur]19 Monge compléta à la Sorbonne certaines leçons qui n’avaient pas été développées intégralement dans les quarante-cinq minutes réglementaires des leçons du Muséum20.

42Par ailleurs, Monge participa à trois séances de débats, les 11, 16 et 26 pluviôse (30 janvier et 4 et 14 février). Au cours de ces séances, communes à toutes les leçons de mathématiques et de physique, Monge eut à répondre aux questions et aux objections présentées très librement par certains élèves. Ces objections, en général d’ordre méthodologique, n’étaient pas d’un grand intérêt, excepté quelques interventions d’un élève exceptionnel, appelé à un brillant avenir, Joseph Fourier. Un arrêté du 20 pluviôse (8 février) remplaça les débats de mathématiques, qui. n’avaient pas fait leur preuve, par des conférences animées par une dizaine de directeurs choisis parmi les élèves, dont Fourier. Si les professeurs n’avaient pas à intervenir dans ces conférences entre élèves, ils devaient donner aux directeurs « les instructions nécessaires pour assurer le succès de leurs travaux ». Comme le remarque Paul Dupuy [Dupuy, 1895, p. 154], l’idée des directeurs de conférences, vraisemblablement suggérée par Monge, était inspirée du système des chefs de brigade institué à l’École centrale des travaux publics.

  • 21 Louis-Joseph Girard (1773-1844), étudiant chez un architecture puis dessinateur chez un décorateur, (...)

43Le Journal des séances, imprimé d’après la sténographie, ne rendait compte que des leçons à l’amphithéâtre et des séances de débats. Mais les professeurs avaient la possibilité de corriger, de compléter, parfois de recomposer entièrement leurs leçons d’après la transcription, avant qu’elle ne fût imprimée. Il n’est pas douteux que Monge usa très largement de cette possibilité pour développer les constructions graphiques qu’il n’avait pu qu’évoquer à l’amphithéâtre. Certains textes de leçons particulièrement étendus conservent probablement la trace de conférences complémentaires données soit à la Sorbonne, soit aux directeurs des conférences. Les adjonctions furent surtout importantes en ventôse (quatrième, cinquième et sixième leçons). Cette inflation des textes paraît commune à tous les professeurs, au point qu’un arrêté pris à la fin de ventôse dut limiter à vingt-quatre heures la relecture des copies sténographiées par les professeurs et à trois heures celle des épreuves. Cependant, pour la géométrie descriptive, s’ajoutent des raisons spécifiques. Au cours du mois de ventôse, Monge était en train de préparer son cours régulier de géométrie descriptive à l’École centrale des travaux publics et il profita de l’occasion qu’offrait la relecture des sténographies pour y insérer certaines des constructions graphiques qu’il destinait à ses élèves du Palais-Bourbon. On constate ainsi, une fois encore, que l’enseignement de Monge à l’École normale est inséparable de celui donné la même année à l’École centrale des travaux publics. C’est d’ailleurs très probablement un employé du bureau des dessinateurs de cette école, Louis-Joseph Girard, qui réalisa pour le Journal des séances de l’École normale les épures gravées par Delettre21.

44Les quatre leçons prononcées par Monge en floréal n’ont pas été publiées dans le Journal des séances. La transcription des sténographies et leur impression avaient pris un retard très important, si bien qu’à la fermeture de l’École, le 30 floréal (18 mai), les leçons n’avaient été transcrites que jusqu’au 4 floréal (23 avril) et distribuées que jusqu’à la trente-neuvième séance, le 23 germinal (12 avril). C’est donc seulement en prairial et messidor que les professeurs purent corriger les transcriptions et les épreuves de leurs leçons de floréal. Or Monge, menacé d’arrestation après les journées de prairial, préféra se cacher pendant deux mois, du 10 prairial (29 mai) au 8 thermidor (26 juillet), d’abord à Aulnay, dans la maison de campagne de son ami Berthollet, puis à Paris, dans une chambre, au cinquième étage d’une maison de la rue Jean-Jacques Rousseau. Il était alors trop tard pour corriger les transcriptions remises à sa femme pendant son absence. Celles-ci restèrent dans ses papiers et ce n’est qu’après sa mort que trois d’entre elles furent revues, corrigées et complétées par Brisson pour être publiées dans l’édition de 1820 de la Géométrie descriptive.

Les préliminaires de la géométrie descriptive

45Comme tous les professeurs, Monge commença ses leçons par la présentation de son programme. Il y justifiait l’introduction de la géométrie descriptive à l’École normale par la nécessité de donner à l’éducation une direction nouvelle, propre à soustraire le pays de la dépendance de l’industrie étrangère, c’est-à-dire anglaise, et à encourager les progrès de l’industrie nationale. A la fois moyen de représentation et moyen de découverte, la géométrie descriptive est en effet une langue nécessaire à tous les « artistes ». A l’École normale, comme à l’École centrale des travaux publics, les leçons devaient porter non seulement sur les méthodes générales mais aussi sur les applications, perspective, dessin des ombres, traits de la coupe des pierres et des bois et description des éléments des machines. Enfin Monge annonçait que les leçons orales seraient suivies d’exercices pratiques de construction graphique. Comme on le voit, il mettait donc l’accent dans son programme sur le caractère essentiellement technique de la géométrie descriptive.

46Monge exposa d’abord la méthode des projections et ses applications à la géométrie de la droite et du plan. Après avoir rappelé les deux objets de la géométrie descriptive, décrire et découvrir, Monge légitima la méthode des projections dans la leçon d’ouverture du Ier pluviôse (20 janvier). Étudiant successivement comment un point peut être rapporté soit à trois points, soit à trois droites, soit à trois plans, il montrait les avantages du dernier mode de représentation, employé d’ailleurs aussi bien en géométrie analytique qu’en géométrie descriptive. En géométrie descriptive, cependant, la méthode des projections permet de ne recourir qu’à deux plans. Cette première leçon à l’École normale montre un souci pédagogique, sans équivalent semble-t-il à l’École centrale des travaux publics. Pour faire sentir l’intérêt de sa méthode, Monge n’hésitait pas à rompre l’ordre logique d’exposition en utilisant des résultats démontrés plus avant dans le cours, sur les intersections de trois sphères et de trois cylindres.

47Dans la deuxième leçon, du 9 pluviôse (28 janvier), Monge étudia les projections orthogonales du point et de la droite sur deux plans non parallèles, montrant comment ces projections déterminent entièrement les éléments projetés. Dans le cas, le plus utilisé dans la pratique, de deux plans orthogonaux, le rabattement du second plan donne une épure plane équivalente, où les deux projections d’un même point se trouvent sur une même perpendiculaire à l’intersection des deux plans. Les deux projections d’un segment permettent d’en obtenir la longueur réelle, directement si le segment est parallèle à l’un des plans, ou par une construction simple dans le cas général. Les projections d’une surface polyédrique s’obtiennent de même et les longueurs réelles de ses arêtes peuvent être facilement mesurées.

48Monge comparait ensuite la géométrie descriptive à l’algèbre, thème récurrent dans ses leçons. « Il serait à souhaiter, disait-il, que ces deux sciences fussent cultivées ensemble : la géométrie descriptive porterait dans les opérations analytiques les plus compliquées l’évidence qui est son caractère et à son tour l’analyse porterait dans la géométrie la généralité qui lui est propre. » Par cette remarque, qui situait son cours par rapport à ceux de Laplace et de Lagrange, peut-être exprimait-il un regret. Nous le verrons en tout cas s’efforcer de réaliser à l’École centrale des travaux publics cette alliance des deux approches, descriptive et analytique, impossible à l’École normale où il n’enseignait que la géométrie descriptive.

49La marche des premières leçons était très progressive, trop progressive même aux yeux de certains élèves. Selon Fourier [1858], « on trouve qu’il est trop clair ou plutôt que sa méthode n’est pas assez rapide ». Après une première séance de débats, le 11 pluviôse (30 janvier), dominée par une discussion avec Fourier sur la définition de la ligne droite (voir [Steinschneider, 1889]), Monge dut se justifier au cours de la deuxième séance, le 16 pluviôse (4 février), de ne pas avoir introduit directement les projections orthogonales. Il avait voulu suivre la marche naturelle de l’esprit pour habituer ses élèves à l’emploi des objets et des procédés étudiés en géométrie descriptive : « Il fallait vous montrer la nature du spectacle que l’on y a toujours sous les yeux. Il fallait enfin exciter en vous quelques-unes des émotions que ce spectacle est propre à produire ; et si, parmi vous, il y en a un, à qui pendant la première leçon ou à la lecture de la première séance, le cœur ait battu, c’en est fait, il est géomètre. [...] En allant plus vite, j’aurais laissé échapper l’occasion de vous faire une belle leçon de géométrie et j’aurais manqué mon but qui est de vous familiariser avec les propriétés de l’étendue afin que vous puissiez accoutumer vos élèves à toute la rigueur dont elles sont susceptibles [...] »

50Dans la troisième leçon, du 21 pluviôse (9 février), Monge aborda l’étude des « surfaces courbes ». Il fit d’abord remarquer que si la convention donnée pour représenter un point permet aisément de figurer une surface polyédrique, elle ne s’applique pas directement aux surfaces courbes, car il faudrait repérer un nombre infini de points par leurs projections. D’où la nécessité d’une convention nouvelle pour les représenter. Cette convention se rattache à la conception d’ensemble des figures de l’espace selon Monge : elle consiste à considérer toute surface « comme engendrée par le mouvement d’une ligne courbe, ou constante de forme lorsqu’elle change de position, ou variable en même temps et de forme et de position dans l’espace ». Un cylindre peut être ainsi considéré comme engendré par le déplacement, soit d’une de ses génératrices, soit d’une directrice ; un cône par le déplacement d’une génératrice ou par transformation homothétique d’une directrice ; une surface de révolution, par la rotation d’une directrice ou par la transformation (translation associée à une variation de rayon) d’une section droite. Deux familles différentes de courbes génératrices, choisies de façon habile, permettent ainsi de représenter le point courant et de construire son plan tangent. Les différents modes de génération d’une surface ont l’avantage de donner un contenu visuel aux représentations analytiques dont elles constituent, en quelque sorte, la traduction géométrique.

51Cette conception des « surfaces courbes », longuement développée dans le cours d’analyse appliquée à la géométrie de l’École centrale des travaux publics, s’applique à la géométrie descriptive, où il suffit par convention, pour exprimer la forme et la position d’une surface, de donner la manière de construire les projections horizontales et verticales de deux génératrices différentes en un point quelconque. Monge traitait comme exemple le cas du plan : deux droites suffisent à le déterminer et, dans le cas général, ses deux traces sur les plans de projection donnent lieu aux constructions les plus simples. Cette façon de considérer le plan comme cas particulier d’une surface quelconque est beaucoup plus logique que la manière habituellement utilisée dans les traités élémentaires. Le débat du 26 pluviôse (14 février) lui donna l’occasion de revenir, à la demande des élèves, sur le problème général du mode de génération des surfaces, qu’il illustra sur l’exemple des surfaces développables.

52Toujours dans la troisième leçon, Monge aborda la géométrie des droites et des plans. Il semble avoir tenu compte alors des reproches d’excessive lenteur, car le rythme de la leçon s’accélérait, aux dépens des considérations générales. Monge résolvait huit questions, quatre à la fin de la troisième leçon et quatre encore dans la leçon suivante, du 1er ventôse (19 février) : mener par un point donné une droite ou un plan parallèle à une droite ou un plan donné (pl. II, fig. 4 et 5, p. 330), une droite perpendiculaire à un plan donné (pl. II, fig. 6, p. 330), un plan perpendiculaire à une droite donnée (pl. II, fig. 7, p. 330) ; construire l’intersection et l’angle de deux plans donnés (pl. III, fig. 8 et 9, p. 336), l’angle de deux droites données (pl. III, fig. 10, p. 336), l’angle d’une droite et d’un plan donnés ; étant donné l’angle de deux droites et l’angle de chacune d’elles avec le plan horizontal, construire la projection horizontale du premier de ces angles (pl. III, fig. 11, p. 336). La résolution de la dernière question fournit une application aux arts : la réduction des angles à l’horizon dans les opérations cartographiques de triangulation.

Plans tangents et intersections de surfaces

53Dans la suite de la quatrième leçon, Monge inaugura la deuxième partie de son cours, relative aux plans tangents et aux normales aux surfaces, partie qu’il poursuivit dans la cinquième leçon, le 11 ventôse (1er mars). Chaque point d’une surface étant déterminé par deux courbes génératrices supposées sécantes, comme on l’a vu dans la leçon précédente, les deux tangentes à ces génératrices définissent en ce point le plan tangent à la surface et, du même coup, la normale. Monge donna en exemples les constructions du plan tangent mené à un cylindre (pl. IV, fig. 12, p. 342), à un cône (laissé en exercice aux élèves) (pl. IV, fig. 13, p. 342) et à une surface de révolution (pl. V, fig. 14, p. 344) par un point donné de la surface. Dans la cinquième leçon, évoquant le cas où le point donné est pris hors de la surface, il nota qu’un plan est déterminé par trois conditions, équivalente chacune à celle de passer par un point donné, et que la propriété d’être tangent à une surface n’équivaut en général qu’à la donnée d’une seule condition. Il montrait alors intuitivement « que pour déterminer la position d’un plan au moyen de contacts indéterminés avec des surfaces courbes données, il en faut en général trois » et que l’on peut de même déterminer un plan par un seul (respectivement deux) point et par la propriété d’être tangent à deux (respectivement une seule) surfaces données. Néanmoins, ajouta-t-il, dans le cas des surfaces développables, la condition de contact équivaut à deux conditions simples et le plan tangent est déterminé par un seul point hors de la surface.

54Monge étudia ensuite plusieurs exemples de construction de plans tangents à des surfaces passant par des points extérieurs donnés. Il commença par la sphère, bien que cette surface ne soit qu’un cas particulier de surface de révolution. Il construisit d’abord par deux méthodes les plans tangents à la sphère menés par une droite donnée. La première méthode utilise un seul cône auxiliaire tangent à la sphère et ayant son sommet au pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur la droite donnée (pl. VI, fig. 16, p. 352). La seconde méthode, particulièrement élégante, utilise deux cônes auxiliaires tangents à la sphère et ayant leurs sommets respectivement à l’intersection de la droite donnée avec le plan horizontal et avec le plan frontal passant par le centre de la sphère (pl. VI, fig. 17, p. 352) Monge signala que les constructions deviennent plus élégantes et plus simples quand les deux plans de projection passent par le centre, ce qui donne deux contours apparents superposés. C’est d’ailleurs cette disposition qu’il adopta dans l’épure gravée pour l’École centrale des travaux publics. Il traita ensuite successivement les cas des plans tangents à deux sphères données et passant par un point (pl. VIII, fig. 21, p. 358) et des plans tangents communs à trois sphères. Monge donna aussi les constructions de plans tangents à un cylindre et à un cône menés par un point donné (pl. IX, fig. 23 et 24, p. 360). Enfin, pour construire le plan tangent à une surface de révolution passant par une droite donnée, il développa une méthode originale, utilisant comme surface auxiliaire l’hyperboloïde de révolution engendré par la rotation de la droite donnée autour de l’axe de la première surface (pl. X, fig. 25, p. 362).

  • 22 Voir l’annexe 16 : Les problèmes de défilement.

55Avant même d’exposer toutes ces constructions, Monge jugea nécessaire – ceci illustre parfaitement l’esprit de ses leçons à l’École normale – de donner deux exemples d’application pratique : dans la construction des voûtes, les joints doivent être constamment normaux à la surface de l’intrados ; en peinture, la couleur et l’éclat de la teinte à donner à un objet en chacun de ses points dépendent de la position du plan tangent à cet objet par rapport aux sources de lumière et à l’œil de l’observateur. Plus tard, dans la cinquième leçon, Monge donna un autre exemple d’application des plans tangents aux arts de la construction : la résolution du problème du défilement. C’est la solution de ce problème de fortification, on l’a vu, qui avait été, trente ans plus tôt, le point de départ de sa géométrie descriptive22. A l’École normale, il se contenta d’étudier le problème sur un cas très simple. Puis, reprenant l’exemple de la peinture, il aborda également dans cette leçon, le problème de la représentation des points brillants sur les corps, problème que plusieurs élèves de l’école des chefs de brigade venaient de résoudre analytiquement.

  • 23 Sur ce problème, voir l’annexe 14 : Sur la distance entre deux droites.
  • 24 Voir l’annexe 21 : La géométrie descriptive après Monge.

56Cependant, dès la quatrième leçon, Monge avait noté que la considération des plans tangents et des normales n’était pas seulement utile dans les arts, mais que c’était aussi « un des moyens les plus féconds que la géométrie descriptive emploie pour la résolution de questions qu’il serait très difficile de résoudre par d’autres procédés. » Monge illustra son affirmation par un premier exemple, peu convaincant, celui de la détermination de la distance de deux droites données par la méthode du cylindre (pl. V, fig. 15, p. 344), construction compliquée qu’il faut considérer comme un simple exercice, car, après l’avoir décrite, Monge esquissa en quelques mots le principe de la méthode par les plans perpendiculaires, beaucoup plus simple et naturelle, tout en conseillant aux élèves d’en chercher la construction pour s’exercer23. Beaucoup plus convaincantes étaient les applications à la géométrie plane de la première méthode de construction des plans tangents à la sphère passant par une droite donnée : propriétés de base des pôles et polaires par rapport au cercle, obtenues en considérant ce qui se passe dans le plan passant par la droite et le centre de la sphère (pl. VII, fig. 18 et 19, p. 356), qu’il étendait sans démonstration aux coniques (pl. VII, fig. 20, p. 356), puis aux quadriques dans l’espace à trois dimensions. De même, Monge déduisit de la considération des six cônes tangents à trois sphères données le théorème d’alignement des centres d’homothétie de trois cercles (pl. VIII, fig. 22, p. 358), étendu immédiatement et sans démonstration aux sphères (théorème de coplanéité des centres d’homothétie de trois sphères). Ces considérations de géométrie pure, entièrement absentes de son enseignement à l’École centrale des travaux publics, nourrirent la réflexion des géomètres de la première moitié du xixe siècle24.

  • 25 Laplace donne également l’interprétation géométrique de l’élimination algébrique dans la huitième l (...)

57Dans les deux leçons suivantes, Monge étudia la construction des intersections de surfaces (sixième leçon, le 21 ventôse (11 mars)), et leurs applications aux arts (septième leçon, le 1er germinal (21 mars)). L’intersection de deux surfaces est en général une courbe gauche, dite à double courbure. Le parallélisme existant entre la détermination de la courbe d’intersection et l’élimination algébrique qui permet d’obtenir les équations de ses projections à partir des équations des surfaces donne un nouvel exemple de la correspondance existant entre les opérations de l’analyse et les opérations de la géométrie descriptive25. Monge insista une fois encore sur cette idée qui lui était chère et qui formait le fondement de sa doctrine. Il faut, disait-il, que l’élève « se mette en état d’une part de pouvoir écrire en analyse tous les mouvements qu’il peut concevoir dans l’espace, et de l’autre de se représenter perpétuellement dans l’espace le spectacle mouvant dont chacune des opérations analytiques est l’écriture ».

58Sacrifiant l’élégance d’un exposé général à la clarté que donne un exemple particulier, il expliqua la méthode des plans auxiliaires sur le cas particulier de l’intersection de deux cônes à bases circulaires horizontales, pour lequel les plans auxiliaires sont eux-mêmes horizontaux (pl. XI, fig. 26, p. 368) ; il montra ensuite que le choix des plans auxiliaires doit dépendre du problème à traiter : par exemple, plans passant par la droite des sommets pour l’intersection de deux cônes quelconques, ou parallèles aux deux systèmes de génératrices pour l’intersection de deux cylindres. Le cas des surfaces de révolution à axes concourants met en évidence la simplification introduite par des sphères auxiliaires centrées sur l’intersection des axes. Ainsi la méthode exposée n’est qu’une indication générale que l’intuition géométrique permet d’adapter à chaque cas.

  • 26 Voir p. 457, note 53.

59Monge détermina ensuite la tangente à l’intersection comme droite commune aux plans tangents aux deux surfaces. La construction nécessite un théorème important, quoique évident, dont il donna la démonstration, savoir que la projection de la tangente à une courbe est tangente à la courbe projetée au point correspondant. Suivaient divers exemples : sections planes d’un cylindre et d’un cône (cas particulier et cas général) avec développements et tangentes aux points courants (pl. XII, fig. 27, p. 372, pl. XIII, fig. 28, p. 374 et pl. XIV, fig. 29, p. 376), intersection de deux cônes avec tangente au point courant (pl. XV, fig. 30, p. 380), intersection d’une sphère et d’un cône avec développement et tangente aux points courants (pl. XVI, fig. 31, 32 et 33, p. 382), intersections de deux cylindres (pl. XVII, fig. 34, p. 386) et de deux surfaces de révolution à axes coplanaires (pl. XVIII, fig. 35, p. 388). Il termina la septième leçon par un exposé rapide de la construction par la méthode de Roberval-Torricelli de la tangente à la courbe décrite par un point mobile, considérée en quelque sorte en coordonnées bipolaires. Mais l’analyse de Monge était malheureusement entachée d’une erreur26.

  • 27 Le problème d’Estève a été étudié analytiquement par Estève [Estève, 1754] et par Lagrange [Lagrang (...)
  • 28 Voir l’annexe 19 : L’utilisation des aérostats pour le lever des cartes et le nivellement.

60Les applications de la construction des intersections de surfaces, en montrant que la géométrie descriptive « permet de suppléer l’analyse pour la solution d’un grand nombre de questions », offraient à Monge une nouvelle occasion d’illustrer la fécondité des procédés géométriques. Aussi lui consacra-t-il une très longue leçon. Il commença par construire les sphères inscrite (pl. XIX, fig. 39, p. 394) et circonscrite (pl. XX, fig. 38, p. 392) d’un tétraèdre. Il construisit ensuite le point défini par les distances à trois points donnés, c’est-à-dire un tétraèdre, connaissant une de ses bases et les distances des sommets de cette base au sommet opposé (pl. XIX, fig. 40, p. 392). Il traita également, comme exemple d’application aux arts, le célèbre problème topographique du relèvement en pays de montagne, dans le cas où l’observateur dispose d’un graphomètre muni d’un fil à plomb. Il ramenait très élégamment le problème à la recherche de l’intersection de trois cônes de révolution à axe vertical (pl. XXI, fig. 41, p. 398). Le même problème, dans le cas où l’instrument n’est pas garni d’un fil à plomb, revient à résoudre le problème d’Estève, c’est-à-dire à déterminer un tétraèdre connaissant sa base et les faces du trièdre opposé27. Monge obtenait le sommet du tétraèdre, et donc la position de l’observateur, en construisant l’intersection de trois tores axés sur les côtés de sa base triangulaire (pl. XXII, fig. 42, p. 400). Il examinait enfin comment déterminer la position des points inconnus d’un territoire, à l’aide d’observations faites à partir de points d’altitudes différentes situés sur la verticale d’un point donné. Ce problème de circonstance, puisqu’il s’agissait d’une application militaire des aérostats, se ramène à la construction de trois cônes de révolution dont deux d’axe vertical28.

Éléments de géométrie différentielle

  • 29 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

61Les deux leçons suivantes ne traitaient pas de géométrie descriptive stricto sensu, mais plutôt de ce que nous appelons aujourd’hui géométrie différentielle. Monge éprouva-t-il le besoin de justifier cette incursion dans un domaine que le programme de ses leçons n’avait pas annoncé ? En tout cas, il commença sa huitième leçon en précisant que ce qui allait suivre était destiné non aux futurs élèves des « écoles secondaires » mais à leurs professeurs. C’est donc, pour donner à ces derniers la connaissance de quelques propriétés générales de l’étendue, que Monge consacra deux leçons à présenter les principaux résultats qu’il avait obtenus au cours de ses recherches sur les courbes gauches et les surfaces29.

62Sa brève étude des courbes gauches, qui occupa toute la huitième leçon, donnée le 11 germinal (31 mars), rassemblait de façon vivante et intuitive la matière de son premier grand mémoire de géométrie différentielle [Monge, 1785], dont les six premiers paragraphes étaient repris à peu près textuellement : il définissait rapidement les points de rebroussement, les développées, les développantes, les rayons et les centres de courbure d’une courbe plane, donnant au passage un exemple simple d’application aux arts de sa théorie des courbes, avec l’emploi des développantes de cercle pour la fabrication des engrenages. Abordant ensuite le cas d’une courbe gauche, il construisait sa surface polaire (pl. XXIII, fig. 45, p. 406) et exposait, après avoir donné un aperçu succinct des surfaces développables, le mode de génération de ses développées. Il terminait en montrant comment engendrer une courbe quelconque connaissant sa surface polaire. Le style évocateur de Monge tranche ici avec la sécheresse de Laplace, étudiant la courbure d’une surface dans sa huitième leçon, dix jours plus tard (voir p. 110 à 112).

63Monge traita ensuite de la théorie des surfaces, à laquelle il consacra également toute la neuvième leçon, le 21 germinal (10 avril). Il donna de façon très suggestive les principaux résultats obtenus dans les deux importants mémoires présentés à l’Académie des sciences de Paris en 1774 et 1776 [Monge, 1780 et 1784] : étude des deux courbures principales en un point d’une surface et des rayons de courbure principaux et mise en évidence de la perpendicularité des directions principales, définition des lignes de courbure d’une surface quelconque et formation de la surface développable lieu de ses centres de courbure. Faute de pouvoir développer devant les élèves de l’École normale les raisonnements géométrico-analytiques qui lui permettaient de démontrer les différentes propriétés évoquées, comme il le fit peu après à l’École centrale des travaux publics, dans ses leçons d’analyse appliquée à la géométrie, Monge procéda là encore de façon très intuitive par généralisations successives, insistant sur le cas des surfaces simples les plus courantes et se limitant parfois à une description imagée.

  • 30 Voir l’annexe 15 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

64Afin d’en atténuer le caractère trop théorique, Monge termina ce rapide exposé de géométrie différentielle par deux applications de sa théorie des lignes de courbure. La première, relative à la coupe des pierres, était une théorie nouvelle de l’appareillage des voûtes suivant les lignes de courbure de leur intrados30, la seconde, relative à l’art de la gravure, concernait les hachures qui couvrent certaines portions de gravure et qui doivent être des projections de lignes de courbure.

Ombres et perspective

  • 31 Nous ne tenons compte ici ni de l’inversion de l’ordre des leçons, ni des ajouts de Brisson dans l’ (...)

65Le programme donné par Monge à l’ouverture de son cours prévoyait de nombreuses leçons sur les applications aux arts, mais les seules qu’il eut le temps d’exposer avant la fermeture de l’École étaient la construction des ombres, la perspective aérienne et la perspective linéaire. Les deux premières rendent les épures plus lisibles par l’illusion du relief, la troisième permet de représenter en perspective une figure de l’espace, dont on a construit l’épure31.

66Dans la dixième leçon, probablement du 1er floréal (20 avril), Monge présenta donc les méthodes de construction sur l’épure des ombres propres et des ombres portées sur une surface quelconque, qu’il s’agisse de la méthode classique, applicable aux corps polyédriques, déjà exposée dans son petit traité Des ombres au début de sa carrière à Mézières, ou de la méthode générale, applicable aux corps quelconques éclairés par une source lumineuse étendue et située à distance finie, donnée en 1775 dans un mémoire sur les surfaces développables [Monge, 1780].

67Considérant d’abord le cas d’une source lumineuse à distance infinie (cas dit de l’ombre au soleil), il remarquait que la ligne de séparation de l’ombre propre, si le corps éclairé est de forme polyédrique, est constituée de certaines arêtes du polyèdre, dont les ombres portées délimitent celle du corps. La construction de cette ombre portée se réduit alors à une application des méthodes de la géométrie descriptive, que l’on étend immédiatement au cas d’une source ponctuelle à distance finie (cas dit de l’ombre au flambeau).

68Monge étudia ensuite le cas plus difficile d’un corps terminé par une surface courbe. Si la source lumineuse est à distance infinie, la construction de l’ombre propre revient à déterminer la ligne de contact du cylindre tangent au corps éclairé et de directrice parallèle aux rayons lumineux ; tandis que l’ombre portée sur une surface est délimitée par l’intersection du même cylindre avec cette surface. Là encore, Monge montrait comment les méthodes de la géométrie descriptive, construction de plans tangents, utilisation de plans auxiliaires, permettent d’obtenir le résultat recherché. Il illustrait le procédé par la construction de l’ombre portée d’une sphère opaque sur un cylindre droit à base circulaire (pl. XXVI, fig. 52, p. 428). Monge termina sa leçon en généralisant la théorie au cas d’une source lumineuse étendue située à distance finie : l’ombre et la pénombre sur une surface donnée sont chacune déterminées par son intersection avec l’une des deux surfaces développables tangentes à la fois au corps éclairant et au corps éclairé. Monge prit l’exemple de deux sphères, l’une éclairante, l’autre éclairée, pour lequel les deux surfaces développables tangentes se réduisent à deux cônes droits à base circulaire, le cône d’ombre et le cône de pénombre (pl. XXVII, fig. 53, p. 432).

69Dans la leçon suivante, probablement du 11 floréal (30 avril), Monge compléta l’étude des ombres par celle de la perspective aérienne. La perspective aérienne n’étant pas encore constituée en corps de doctrine, il se proposait seulement de donner aux élèves « quelques idées jetées en avant ». Monge commença par établir la loi d’éclairement d’une surface, puis, distinguant corps mats et corps polis, il revint rapidement sur le problème de la détermination du point brillant sur une surface polie, déjà étudié dans la cinquième leçon. Il signalait ensuite que les phénomènes de diffusion et d’absorption par l’atmosphère réduisent l’intensité des couleurs et leur donnent une teinte bleuâtre, à mesure que les corps éclairés s’éloignent. D’où un procédé pour représenter la profondeur dont Monge critiquait l’abus dans les rendus d’architectes, estimant préférable, par exemple, de faire ressortir un avant-corps sur une façade par l’indication du reflet sur son arête éclairée. Après quelques remarques sur la vision de l’œil et certains effets d’optique, Monge acheva la leçon par une étude de la perception des couleurs.

  • 32 Voir l’annexe 17 : Théorie des ombres et des pénombres.

70La dernière leçon dont nous ayons trace, probablement donnée le 21 floréal (10 mai), était consacrée à la construction de la perspective d’une figure à partir de son épure. La méthode, très proche dans son principe de celle utilisée pour tracer les ombres au flambeau, consistait à ajouter à l’épure de la figure celles de l’œil et du tableau placé de profil ou plus généralement en position verticale, à construire sur l’épure ainsi complétée les droites joignant l’œil à chaque point de la figure et à prendre comme nouveau plan vertical le plan du tableau, l’intersection des droites avec le tableau formant la perspective recherchée (pl. XXVIII, fig. 54, p. 448)32.

  • 33 D’après une lettre de Brisson publiée dans [Monge, 1820, avertissement de l’éditeur, p.VI]. Voir l’ (...)

71Nous savons, enfin, que quelques jours plus tard, sans doute le 26 floréal (15 mai), Monge donna une ultime leçon, aujourd’hui perdue, aux élèves de l’École normale, dans laquelle, il présenta, probablement de façon improvisée, « des réflexions générales sur l’avantage de l’introduction de la géométrie descriptive dans l’instruction publique33 ».

La géométrie descriptive à l’École polytechnique

72Les leçons de Monge à l’École normale ne peuvent être séparées de ses activités, à la même époque, à l’École centrale des travaux publics. Nous l’avons déjà montré à propos du cours préliminaire de géométrie descriptive, nous le constatons également en étudiant les leçons ordinaires. Seul un examen attentif de son enseignement à l’École centrale des travaux publics à partir de germinal, aussi bien en analyse qu’en géométrie descriptive, permet de comprendre ce qu’il faisait réellement à l’École normale, exposé général à l’amphithéâtre et travaux pratiques à la Sorbonne, et d’éclairer ses allusions répétées aux méthodes de l’analyse.

Le cours de géométrie descriptive aux trois divisions

  • 34 Cours de géométrie descriptive de l’École centrale des travaux publics rédigé par Lomet, ingénieur (...)
  • 35 Les archives de l’École polytechnique conservent deux collections reliées d’épures gravées en l’an (...)

73L’enseignement aurait dû fonctionner sur le mode régulier à l’École centrale des travaux publics à partir du 1er germinal an III (21 mars 1795). Les chefs de brigade avaient été choisis, à la suite d’un vote des aspirants-instructeurs eux-mêmes, et les élèves répartis entre les trois divisions, les plus jeunes et les moins avancés formant la première division, dite de stéréotomie. Cependant, la faiblesse des élèves des deux divisions supérieures et la nouveauté de la géométrie descriptive convainquirent le Conseil de l’École d’organiser, à titre exceptionnel, un cours de stéréotomie commun aux trois divisions pendant les mois de germinal et de floréal. Le Journal de Gardeur-Lebrun, un résumé publié dans le Journal de l’École polytechnique [Monge, 1795b et 1795c], des rédactions du cours par Antoine-François Lomet et par Joseph Fourier34 et plusieurs jeux d’épures utilisées par les élèves [Monge, 1795c]35 permettent de reconstituer avec précision l’enseignement de Monge à l’École centrale pendant ces deux mois, contemporain de ses sept dernières leçons à l’École normale.

74Selon l’emploi du temps arrêté le 6 frimaire an III (26 novembre 1794), Monge devait donner son cours de stéréotomie le matin, six jours par décade (les primidi, duodi, tridi, sextidi, septidi et octidi), de huit heures jusqu’à neuf heures au plus tard. Il était prévu qu’après le cours les élèves se rendraient, par brigade, dans des salles particulières pour y exécuter « les opérations graphiques dépendantes de l’enseignement qu’ils suivent » jusqu’à deux heures de l’après-midi. Pendant les deux mois que dura son cours, les conditions d’enseignement, sans être aussi pénibles qu’à l’École normale, furent assez difficiles. L’auditoire, théoriquement très nombreux, était fantasque, les retards répétés et les absences de plus en plus fréquentes. Souvent moins de la moitié des élèves étaient présents à huit heures. Malgré sa mauvaise santé, Monge s’efforça d’assurer tous ses cours. Le 18 germinal (7 avril), extrêmement fatigué et victime d’une extinction de voix, il envoya chercher Hachette pour le remplacer, mais comme celui-ci n’était pas chez lui, il donna finalement lui-même la leçon, qui dura trois-quarts d’heure. Le primidi suivant, 21 germinal (10 avril), Monge se fit suppléer par Hachette, tout en faisant l’effort d’assister à la leçon. Dès le lendemain, il reprit son enseignement qu’il donna régulièrement jusqu’à son départ, le 7 prairial (26 mai). Au total, les élèves eurent trente deux leçons de stéréotomie, y compris celle donnée par Hachette le 21 germinal : dix-huit en germinal, treize en floréal, mois au cours duquel Monge supprima quelques leçons pour laisser aux élèves le temps de terminer leurs travaux graphiques, et trois en prairial.

  • 36 Procès-verbaux des séances du conseil d’administration de l’École centrale des travaux publics, 20 (...)

75Dans une déclaration importante au Conseil de l’École le 20 pluviôse an III (8 février 1795), Monge avait expliqué ce qu’il attendait des élèves : « Il faut [...] que les instituteurs des trois divisions rassemblent le matin pendant un temps assez court les élèves de leurs divisions respectives, pour leur communiquer et leur développer toutes les connaissances nécessaires au travail du jour, pour leur exposer les méthodes qu’ils employeront, et qu’immédiatement après les élèves se retirent dans leurs salles de brigade pour exécuter les opérations dont on leur aura appris le but et la théorie. Ainsi c’est dans des constructions graphiques, c’est dans des dessins que consistera tout le travail ostensible des choses. Ces dessins, ces constructions exigent de leur part des méditations ; mais il n’y aura aucun temps purement consacré à ces méditations ; elles auront eu lieu pendant toute la durée des constructions et l’élève qui aura en même temps exercé son intelligence et l’adresse de ses mains, aura pour prix de ce double travail la description exacte de la connaissance qu’il aura acquise36 ».

  • 37 Archives de l’École polytechnique, cote X2b219.
  • 38 Voir [Chasles, 1837, p.209 de la 3e édition].

76Chaque leçon était occupée par une, parfois deux ou plus rarement trois constructions graphiques. A vrai dire, on ne sait comment Monge procédait. Le 2 germinal (22 mars), d’après le Journal de Gardeur-Lebrun, Monge était déjà à l’amphithéâtre avec Hachette à sept heures trois-quarts, « occupé à tracer ses figures pour la leçon ». Utilisait-il le « tableau de démonstration » prévu par les Développements pour tracer les lignes au fur et à mesure des explications, ou bien avait-il à sa disposition des épures sur papier grand format, comme celles conservées aujourd’hui encore dans les archives de l’École37 ? Dictait-il les opérations de construction, ou seulement l’intitulé des problèmes ? « Personne, plus que Monge, n’a conçu et n’a fait de la géométrie sans figures », affirme Chasles, qui ajoute : « C’est une tradition, dans l’École polytechnique, que Monge savait, à un degré inouï, faire concevoir dans l’espace toutes les formes les plus compliquées de l’étendue, et pénétrer dans leurs relations générales et leurs propriétés les plus cachées, sans autre secours que celui de ses mains, dont les mouvements secondaient admirablement sa parole, quelquefois difficile, mais toujours douée de la véritable éloquence du sujet : la netteté et la précision, la richesse et la profondeur d’idées38 ».

77Si le déroulement des leçons magistrales de Monge nous reste mal connu, nous avons une idée assez précise du travail demandé aux élèves. Celui-ci consistait à rédiger au net la leçon et à refaire la construction graphique étudiée à l’amphithéâtre. Vers neuf heures, les élèves se rendaient dans les salles, où ils étaient placés sous la responsabilité de leurs chefs de brigade. Ceux-ci se réunissaient la veille au soir à la maison Pommeuse pour préparer avec Monge le travail du lendemain. Après avoir distribué aux élèves de leur brigade les planches gravées et, le cas échéant, les feuilles d’analyse correspondant à la leçon, ils répétaient la construction. Ils surveillaient le travail des élèves et signaient leurs feuilles de dessin quand ceux-ci avaient terminé. Monge et Hachette passaient régulièrement dans les salles pour contrôler la bonne marche du travail et aider les élèves. Les planches gravées servaient aux élèves de modèles pour leurs propres épures. Chacun disposait pour dessiner d’une règle, d’une équerre et d’un compas, d’un crayon à mine de plomb, d’une gomme élastique et de plumes à dessiner, bout d’aile et de corbeau. Les épures étaient tracées à l’encre de Chine sur des feuilles in-folio de papier de France.

78En principe, les élèves devaient retrouver par le seul raisonnement la marche à suivre dans la construction des épures, mais beaucoup, semble-t-il, se contentaient de reproduire servilement le modèle des planches, certains allant même jusqu’à reporter par piquage l’épure gravée sur leur feuille de dessin, procédé expéditif contre lequel Monge s’éleva avec énergie, invitant les chefs de brigade à faire plus attention afin de s’y opposer. Outre les épures des leçons à reconstruire, les élèves eurent à résoudre douze problèmes de géométrie descriptive, six donnés à la fin de germinal pour le mois de floréal et six à la fin de floréal pour le mois de prairial. Malgré la difficulté de ces problèmes, la presque totalité de ceux proposés à la fin de germinal furent résolus par le plus grand nombre des élèves. « Les solutions que beaucoup d’entre eux ont données, précise Monge [Monge, 1795c, p. 101], sont d’une marche aussi directe que les épures qu’ils ont présentées sont d’une construction élégante. » A la suite du départ de Monge, au début de prairial, les élèves ne traitèrent pas, semble-t-il, les problèmes proposés à la fin de floréal.

79Les planches in-folio de géométrie descriptive distribuées dans les salles sont une des plus belles réussites des premiers mois de l’École. Elles avaient été dessinées sur les instructions de Monge au bureau des dessinateurs créé dans l’École par un arrêté du 14 frimaire an III (4 décembre 1794) et installé dans la maison Pommeuse. Ce bureau, dirigé par Armand-Joseph Eisenman, était prévu à l’origine pour vingt-cinq dessinateurs ; il en comptait trente-six en germinal, dont un tiers d’élèves de l’École des ponts et chaussées. Les épures de stéréotomie semblent avoir été l’œuvre de Louis-Joseph Girard, le dessinateur probable des figures du Journal des séances de l’École normale, aidé peut-être de quelques autres jeunes dessinateurs. Le 30 pluviôse (19 février 1795), Monge demanda au Conseil de l’École l’autorisation de traiter avec un graveur pour l’exécution de ces épures. Huit jours plus tard, le Conseil décidait de passer les marchés pour l’achat des cuivres et du papier et l’exécution de la gravure. C’est à Delettre, le graveur des planches de l’École normale, que fut confié le travail. Il réalisa la plupart des planches assez rapidement pour que les élèves en profitent pendant les leçons de germinal et floréal. D’une très belle exécution, beaucoup plus grande que celles publiées dans le Journal des séances des Écoles normales, chaque planche portait en titre la partie du cours correspondante (préliminaires, etc.) et un numéro en chiffres romains. Sur chaque planche étaient gravées de une à trois épures, numérotées en chiffres arabes. Celles-ci, destinées à servir aux travaux d’élèves et non à illustrer un enseignement, ne comportaient aucune indication littérale, contrairement à celles de l’École normale (voir ill., p. 296).

80Les constructions étudiées à l’École centrale des travaux publics sont généralement identiques à celles de l’École normale et présentées dans un ordre très voisin (voir le tableau, p. 292-293). Le cours comprenait quatre parties, correspondant aux sept premières leçons de l’École normale : préliminaires, plans tangents aux surfaces, intersections de surfaces et applications des intersections des surfaces. Dans les préliminaires, Monge traitait quelques constructions qu’on ne trouve pas à l’École normale : traces d’un plan défini par trois points, angles d’un plan avec les plans de référence, perpendiculaire à une droite donnée issue d’un point donné, trièdre dont on connaît trois des six éléments caractéristiques, centre de gravité d’un tétraèdre. Pendant les préliminaires, Monge construisit la plus courte distance de deux droites par la méthode des plans parallèles, mais, un peu plus tard, Hachette, qui remplaçait Monge malade, donna aussi, comme application des constructions de plans tangents, la méthode des cylindres que Monge avait présentée à l’École normale. Dans la deuxième partie, Monge exposa, comme à l’École normale, les deux méthodes de construction des plans tangents à la sphère passant par une droite donnée, mais les épures étaient simplifiées par un choix plus judicieux des plans de référence, faisant passer la ligne de terre par le centre de la sphère. Monge construisit les plans tangents à un conoïde passant soit par un point donné de la surface, soit par une droite donnée de position. Il terminait par la construction de la plus courte « distance » entre deux cônes (« distance » signifiant ici un segment pris sur une normale commune aux deux cônes), pour laquelle, semble-t-il, il n’existait pas d’épure gravée. Dans la troisième partie, sur les intersections de surfaces, il proposait, outre les constructions données à l’École normale, celle des intersections d’un ellipsoïde de révolution et d’un hyper-boloïde de révolution par un plan de bout, ajoutant chaque fois à la recherche des intersections la construction de leurs tangentes. Dans la dernière partie, sur les applications des intersections de surfaces, il donna, entre autres, l’épure de l’intersection de trois cylindres, utilisée pour construire les points dont on connaît la distance à trois droites données, problème dont la solution, à l’École normale, était laissée aux élèves.

  • 1 Questions traitées dans les Feuilles d’analyse [Monge 1795-1796].

81Note (1)1

  • 2 D’après [Monge 1795b et c]

82Note (2)2

  • 3 D’après [Monge 1795d].

83Note (3)3

84Si les problèmes traités à l’École normale se retrouvent le plus souvent dans les leçons de stéréotomie à l’École centrale des travaux publics, étaient-ils étudiés dans un esprit différent ? Dans le manuscrit de Lomet, tous les préambules destinés à présenter de façon intuitive les méthodes utilisées ou les problèmes étudiés sont impitoyablement supprimés. Mais il n’est pas sûr que Lomet ait reproduit l’intégralité du cours de Monge, se contentant peut-être des seules constructions. Alors, par exemple, que les problèmes relatifs aux applications des intersections de surfaces utilisées pour les levers topographiques sont présentés comme des questions de pure géométrie dans le cours pris par Lomet, le compte rendu donné par le Journal de l’École polytechnique précisait que Monge donna en fait « quelques exemples de géographie pratique » et indiqua à cette occasion, « les avantages que l’on peut retirer des aérostats pour remplir un canevas de carte, dont les principaux points seraient donnés » [Monge, 1795c, p. 101]. De manière générale, le cours de Monge à l’École centrale des travaux publics comprenait probablement, outre l’étude des épures distribuées aux élèves, quelques considérations sur les applications de la géométrie descriptive aux arts, comme à l’École normale.

Les leçons d’analyse et la géométrie descriptive

85En réalité, ce qui distingue fondamentalement l’enseignement donné par Monge à l’École centrale des travaux publics en germinal et floréal de celui donné à l’École normale, c’est la façon de traiter la géométrie descriptive dans ses rapports avec l’analyse. À l’École normale, Monge, tout en signalant à plusieurs reprises aux élèves l’étroite correspondance existant entre les constructions graphiques et les solutions analytiques qu’elles représentent, limitait son enseignement à la seule géométrie descriptive, sauf dans les huitième et neuvième leçons, qu’il consacra à un brillant exposé de géométrie différentielle. Sans doute était-il gêné par la concurrence du cours de Laplace. En revanche, à l’École centrale des travaux publics, où il enseignait à la fois l’analyse appliquée à la géométrie et la stéréotomie, Monge s’efforça, comme le prévoyaient les Développements, d’associer plus étroitement les deux approches.

86C’est sans doute la piètre performance de Ferry pendant le cours préliminaire ainsi que l’absence de Laplace qui incitèrent Monge à reprendre en main l’enseignement de l’analyse à l’École centrale des travaux publics et à se charger, avec l’aide d’Hachette, du cours ordinaire pour les élèves de la division de stéréotomie. Monge commença son cours d’analyse le 1er germinal (21 mars), c’est-à-dire en même temps que son cours de stéréotomie aux trois divisions réunies. Les leçons avaient lieu l’après-midi, de cinq heures à six heures, tous les primidi et sextidi. Bien que le cours fût théoriquement réservé à la division de stéréotomie, de nombreux élèves des divisions supérieures demandèrent à y assister. Au total, Monge donna douze leçons d’analyse en germinal et floréal, mais les cinq dernières, du 6 au 26 floréal (du 25 avril au 15 mai), furent réservées aux chefs de brigade et aux seuls élèves capables de suivre, soit une soixantaine d’élèves ; les autres suivirent un cours plus élémentaire donné par Hachette.

  • 39 Les feuilles d’analyse ont été rééditées une première fois en thermidor an IX [Monge, 1801]. La pre (...)
  • 40 Ces feuilles n’ont pas de numérotation propre, mais, sur l’en-tête de chacune, est indiquée la plan (...)

87Monge entendait lier ses deux enseignements de stéréotomie et d’analyse, conformément aux indications des Développements. Cette préoccupation apparaît nettement dans son intervention au Conseil de l’École, le 30 pluviôse (18 février). Tout en présentant le tableau du travail des élèves pour l’étude de la géométrie descriptive pendant la première année, il demandait que l’on applique derrière chaque planche gravée, collée sur carton, une feuille de papier destinée à recevoir le calcul correspondant. Chaque élève aurait ainsi mis au dos de la construction graphique d’un problème sa solution analytique. Il ne semble pas que ce projet ait été exécuté. Cependant, les élèves reçurent des feuilles d’analyse rédigées par Monge [Monge, 1795-1796]39 : les premières feuilles, sous le titre d’Analyse appliquée à la stéréotomie, traitaient par l’analyse les constructions graphiques des planches I, II, III, IV, V, VIII et IX des préliminaires40. La géométrie des droites et des plans était ainsi abordée en parallèle par les méthodes de la géométrie descriptive et par celle de la géométrie analytique (voir, p. 297, l’exemple de la planche I). Monge mettait clairement en évidence dans l’étude de chaque problème le lien entre les deux points de vue. Il serait cependant excessif de faire des feuilles d’analyse appliquée à la stéréotomie une simple traduction analytique des constructions graphiques. Si Monge obtenait par exemple les équations de la droite et du plan par des procédés effectivement calqués sur les méthodes de la géométrie descriptive, il les transformait aussitôt en équations plus symétriques, qu’il utilisait dans la suite. De plus, il n’hésitait pas à utiliser toutes les ressources de l’analyse, y compris le calcul différentiel.

88Son absence, après les journées de prairial, interrompit brutalement son cours d’analyse appliquée à la géométrie. Dans les onze leçons d’analyse (au plus) données en germinal et floréal en parallèle avec celles de géométrie descriptive, Monge n’eut vraisemblablement guère le temps d’aller au-delà de l’analyse appliquée à la stéréotomie. Il est probable que la feuille d’analyse intitulée Des plans tangents et des normales aux surfaces courbes (voir [Monge, 1807, par. 1]), renvoyant à la planche X, fut la dernière étudiée en floréal. On notera à propos de cette feuille une anomalie qui illustre les rapports étroits entre le cours de géométrie descriptive et le cours d’analyse de Monge pendant cette période : la planche d’épure supposée correspondre à cette feuille n’existe pas (voir tableau, p. 292). Si cette lacune dans la série des épures était peut-être une erreur, on peut considérer aussi qu’elle était délibérée : Monge résolvait par l’analyse le problème général de la détermination des plans tangents et des normales aux surfaces, avant de les construire graphiquement pour certaines surfaces ou familles de surfaces d’un intérêt particulier : sphères, surfaces coniques et cylindriques, surfaces de révolution et conoïdes, qui faisaient l’objet des planches suivantes.

  • 41 Fourier a pris en notes ces cours (Bibl. Institut, ms. 2044). Voir également les notes de Poinsot, (...)

89L’enseignement de la géométrie descriptive et de l’analyse à l’École centrale des travaux publics avait évidemment souffert de l’absence de Monge après les journées de prairial. Eisenmann avait donné quelques leçons de coupe de pierre aux élèves de la division de stéréotomie en utilisant les épures déjà préparées par Monge avant son passage dans la clandestinité et un chef de brigade, Malus, qui devait s’illustrer si remarquablement en optique, avait répété pour les mêmes élèves le cours de Hachette. À son retour, Monge reprit le cours de géométrie descriptive dès le 8 thermidor (26 juillet), donnant le matin des leçons sur la coupe des pierres et des bois, puis sur les ombres et la perspective six fois par décade à la division de stéréotomie et deux fois par décade aux deux divisions supérieures jusqu’au début de brumaire an IV (fin octobre 1795)41. En même temps, à raison de deux leçons d’une heure par décade, il poursuivit son cours d’analyse appliquée à la géométrie. Mais les leçons, destinées initialement aux élèves de stéréotomie, n’étaient plus suivies que par les chefs de brigade et quelques élèves des divisions supérieures. Monge continua cet enseignement pendant l’an IV, jusqu’à son départ pour l’Italie au début du mois de prairial (fin du mois de mai 1796).

En germinal et floréal an III, Monge enseigna en parallèle la géométrie descriptive et l’analyse appliquée à la géométrie à l’École centrale des travaux publics. À chaque planche de géométrie descriptive distribuée aux élèves était associée une feuille d’analyse traitant les mêmes questions ; ici, par exemple, la détermination d’une droite et d’un plan dans l’espace.

Équation de la ligne droite.
xzx = az + b, bxcorrespondazabxz’bxx’zz’,
xxazz’
x’, z’a a’premíete a’,cotangente a a

aa’

Par un point donné dans l’espace, mener une droite parallèle à une autre droite donnée.
x yzay – ax =ab’ – a’b.
x’ y’z’


Trouver les équations d une droite menée par deux points donnés dans l’espace. x’ y’z’x’’ y’’z’’




.
x’y’z’x’’y’’z"


Par un point donné dans l’espace, mener un plan parallèle à un autre plan donné.

Supposons que le plan donné soit connu 1°. par son ordonnée verticale à l’origine, ordonnée que nous représenterons par C ; 2°, par les angles que ses deux traces sur les plans verticaux forment avec l’horizon ; et que les tangentes de ces angles soient A pour celui qui est dans le plan des x z, et B pour celui qui est dans le plan des y, z.
Le plan pouvant être considéré comme engendré par le mouvement d’une des traces parallèlement à elle – même le long de l’autre, pour un point pris sur le plan, et correspondant aux coordonnées x, y, la verticale z sera composée de trois parties ; 1°. de l’ordonnée verticale C à l’origine ; 2°. de la quantité Ax dont la trace mobile s’élève le long de l’autre, pour se transporter sur le point ; 3°. de la quantité By, dont il faut s’élever sur la trace mobile, pour aller de la trace fixe au point.
Ainsi, l’équation du plan est ;
z = Ax + By + C.
Si le plan se meut parallèlement à lui-même, les tangentes A, B, restent constantes, et la quantité C est la seule qui varie. Si donc on veut avoir l’équation d’un plan parallèle au premier, et qui passe par un point dont les coordonnées soient x’, y’, z, il faut déterminer C, de manière que dans l’équation du plan donné, en faisant x – x, y – y, on ait z = z’ ;ce qui donne pour l’équation du plan parallèle ;
z – z’ = A(x – x’) + B(y – y’).
Pour introduire dans les calculs la symmétrie qui les rend plus faciles, et pour faire disparoître les dénominateurs • nous mettrons l’équation du plan, sous la forme
Ax + By + Cz + D = 0
à laquelle il est toujours facile de le ramener, et dans laquelle des quatre quantités constantes A, B. C, D, il n’y en a que trois qui soient nécessaires.

  • 42 Ces feuilles, contrairement aux précédentes, ont une numérotation propre, de X à XXIX, qui commence (...)

90Par rapport à germinal et prairial an III, on constate un net infléchissement dans le cours d’analyse à partir de thermidor. Alors qu’auparavant, les feuilles d’Analyse appliquée à la stéréotomie distribuées aux élèves correspondaient chacune à une planche, les dix-neuf feuilles distribuées à la suite de la planche X sous le titre d’Application de l’analyse à la génération des surfaces courbes n’avaient plus de correspondants graphiques42. Seules quelques allusions à la perspective, à la théorie des ombres et à la coupe des pierres rappelaient les liens existant entre l’analyse et la géométrie descriptive. En revanche, les questions n’étaient pas sans rapport avec les leçons données à l’École normale : la description du mode de génération des surfaces et leur étude locale, abordées dans un style géométrique à l’École normale, étaient traitées maintenant selon les ressources de l’analyse.

91Dans les feuilles X à XII (voir [Monge, 1807, art. 2-5]), Monge étudiait le mode de génération des familles de surfaces étudiées en géométrie descriptive et les expressions analytiques qui s’en déduisaient (équations aux dérivées partielles et intégrales) : successivement surfaces cylindriques, surfaces de révolution, surfaces coniques et conoïdes. Les feuilles suivantes, de XIII à XVI (voir [Monge, 1807, art. 6-9]), étaient consacrées à des familles de surfaces enveloppes qui n’étaient pas étudiées en géométrie descriptive. Pourtant, pour décrire devant les élèves les surfaces-canaux (feuille XIV, voir [Monge, 1807, art. 7]) et les surfaces enveloppes de cônes (feuille XV, voir [Monge, 1807, art. 8]), Monge utilisait dans son enseignement des constructions de géométrie descriptive, comprenant l’épure de leurs arêtes de rebroussement (voir ill., p. 300-301). Il est probable, bien que nous n’en ayons en général pas conservé trace, qu’il s’aidait assez systématiquement de constructions graphiques pour représenter aux élèves les surfaces étudiées de façon analytique.

  • 43 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

92Dans la feuille XIX (voir [Monge, 1807, art. 12]), consacrée aux surfaces développables, Monge reprenait sous une forme plus approfondie les considérations présentées à l’École normale. Il y démontrait en particulier l’équivalence des trois modes de génération des surfaces développables indiquées dans le débat du 26 pluviôse : surface polaire d’une courbe, surface engendrée par les tangentes à une courbe gauche donnée (c’est-à-dire à son arête de rebroussement) et enfin surface enveloppe de deux surfaces données, toutes se ramenant à la définition analytique d’une surface développable, comme enveloppe de tous les plans satisfaisant à deux conditions invariables données (famille à un paramètre). Enfin, les feuilles XXII et XXIII (voir [Monge, 1807, art. 15-16]) exposaient la théorie des lignes de courbure d’une surface, également étudiée à l’École normale. La différence entre les deux exposés est d’ailleurs remarquable. Alors qu’à l’École normale Monge procédait de manière progressive, par analogie et généralisations successives, à l’École polytechnique, où le niveau des élèves était plus élevé, la démarche analytique lui permettait d’obtenir directement les définitions et les théorèmes généraux43. Il donna également l’application de la théorie des lignes de courbure à l’appareillage d’une voûte ellipsoïdale, mais de façon plus rapide qu’à l’École normale.

  • 44 Ultérieurement, à l’École polytechnique, la géométrie analytique resta enseignée par le professeur (...)

93Ainsi, à l’École centrale des travaux publics, bien davantage qu’à l’École normale, où la présence de Lagrange et de Laplace lui interdisait toute incursion prolongée hors de la géométrie descriptive, Monge put mettre à l’épreuve de l’enseignement ses conceptions à la fois théoriques et pédagogiques sur les rapports entre l’analyse et la géométrie. Mais des événements extérieurs, la clandestinité pendant deux mois puis le départ pour l’étranger, l’empêchèrent de mener jusqu’à son terme cette expérience d’enseignement parallèle de la géométrie descriptive et de l’analyse appliquée à la géométrie44.

Les rééditions de la Géométrie descriptive

94Après l’an III, Monge n’enseigna plus la géométrie descriptive, qui restait pourtant, avec ses applications, une des parties principales du programme de première année de l’École polytechnique. Ses deux longues missions à l’étranger, la première en Italie du 4 prairial an IV (23 mai 1796) au 4 brumaire an VI (25 octobre 1797), la seconde en Égypte du 18 pluviôse an VI (6 février 1798) au 23 vendémiaire an VIII (15 octobre 1799), l’écartèrent durablement de l’École polytechnique à laquelle il avait consacré tant d’efforts la première année. C’est Hachette, son assistant de l’an III, qui avait dorénavant la responsabilité pleine et entière de l’enseignement de la géométrie descriptive.

95Lui-même et ses élèves ressentirent le besoin de s’appuyer, sinon sur un ouvrage couvrant l’ensemble de la question, applications comprises, du moins sur une présentation simple et générale des méthodes de base. Ayant été, avec Lacroix, associé à l’enseignement de Monge à l’École normale, Hachette connaissait parfaitement les neuf leçons publiées dans le Journal des séances et en appréciait le caractère élégant et clair. Malheureusement, leur dispersion dans les quatre premiers tomes de cette collection en rendait la consultation et l’emploi assez difficiles. D’où l’idée qui prit corps pendant le séjour de Monge en Égypte, de réunir ces leçons en un volume séparé avec les planches qui en constituaient le complément indispensable. Avec l’accord de Madame Monge, Hachette s’occupa donc lui-même de la préparation de cette édition séparée, qui fut publiée en mars 1799 sous le titre de Géométrie descriptive, avec, en sous-titre, Leçons données aux Écoles normales de l’an 3 de la République [Monge, 1799a].

  • 45 Pour la commodité du lecteur, nous avons indiqué cette subdivision dans notre édition des leçons.

96La Géométrie descriptive, réalisée en l’absence de son auteur, eut risqué de ne pas être pleinement fidèle et correcte si Hachette n’avait été très proche de la pensée de Monge et scrupuleux dans son souci de respecter l’esprit et même la lettre de son modèle. Le texte des neuf leçons est reproduit de façon quasi littérale, mais la division en leçons, devenue sans objet, est supprimée, ce qui obligea d’ailleurs Hachette à modifier quelques phrases de liaison. L’ouvrage s’ouvre sur une table des matières détaillée. Le corps du texte est organisé en cinq grandes parties, selon un plan déjà indiqué dans l’édition originale des leçons ; une subdivision plus détaillée, marquée par 131 numéros en chiffres arabes, a été ajoutée par Hachette45. Enfin, les coquilles ont été pour la plupart corrigées et dans les mesures, le pied est remplacé par le mètre, conséquence de l’officialisation du système métrique intervenue entre-temps. Les vingt-cinq planches, regroupant cinquante figures, dessinées par Girard et gravées par Delettre, sont très proches de celles de l’an III, excepté quelques modifications de détail dans les dernières planches. L’ouvrage est complété par trois brèves additions d’Hachette, concernant l’intersection de trois cylindres à base circulaire, la génération des surfaces réglées et les plans tangents à ces surfaces, directement inspirées de l’enseignement de Monge. La Géométrie descriptive de 1799 est traditionnellement considérée comme la seconde édition de l’œuvre de Monge, bien que la première, en neuf leçons dispersées au milieu d’autres contributions dans les quatre premiers tomes d’un recueil, ne constitue pas une première édition, au sens classique du terme.

97Monge poursuivit en l’an IV son enseignement d’analyse appliquée à la géométrie à l’École polytechnique. Dans la feuille XIV, distribuée aux élèves, il étudiait analytiquement la surface enveloppe engendrée par une sphère dont le centre parcourt une courbe plane donnée, dite surface canal. Pour illustrer sa leçon, il donna sur une grande feuille la construction par la géométrie descriptive de l’arête de rebroussement de cette surface, dans le cas simple où la courbe des centres est une développante de cercle. Alors, l’arête est une hélice tracée sur le cylindre droit élevé sur le cercle.

les Sections perpendiculaires sont des cercles de rayon constant, et dont taxe est une Courbe quelconque plane horizontale.
maniere pace era Trouver. 1équation générale de toutes les surfaces courbes soumises à cette génération, quelle axe soit d’ailleurs la courbe plane qui leur sert d’axe ; 2°. les équations de la caractéristique de ces surfaces ; 3°. celles de leur arrête de rebroussement.
Première manière, d’après la considération du plan tangent. 1°.La surface considérons d’une suite de de il est que coincide le pian de la qui la






(d2 /dx)(d2/ dy)

e

Autrementdes x’y’z’

xyz x – x’2 y – y’2 + z – z’2x – x’ y z – z’Idz’dx’2dz’dy’2j

x’y’z’

celle

dea x des de

98L’édition de 1799, largement utilisée à l’École polytechnique, devint l’édition de référence pour les rééditions ultérieures. La troisième édition, dite « nouvelle édition », publiée encore une fois par Hachette et sans intervention apparente de Monge, parut en 1811, avec un long supplément rédigé par Hachette [Monge, 1811]. Après un bref avertissement de l’éditeur, suivi du programme des leçons et de la table des matières, le texte principal reproduit à quelques détails près l’édition de 1799. La seule différence concerne la construction de la perpendiculaire à deux droites, le texte et la figure correspondante (voir n° 31, p. 346 et 347 et la fig. 15) ayant été légèrement modifiés. Par ailleurs, la suppression des additions de Hachette, rendue possible par l’adjonction d’un Supplément, a obligé l’éditeur à remplacer les deux dernières planches par une seule, dessinée par Girard et gravée par Stevigny. Le texte de l’édition de 1811, la dernière du vivant de Monge, est repris par toutes les éditions ultérieures, à l’exception d’une note relative à l’intersection de trois tores (voir n° 99, p. 401 et 402), remplacée à partir de la quatrième édition par une rectification du texte lui-même. Le Supplément de Hachette, long de 120 pages, revient sur différents problèmes traités par Monge dans ses leçons, qu’il développe, complète ou rectifie, en particulier sur la construction du plan tangent à la sphère mené par une droite donnée (voir n° 36, p. 350-353) et celle de l’intersection de trois tores (voir n° 98 et 99, p. 401 et 402). Plusieurs problèmes nouveaux et quelques questions de géométrie différentielle y sont également traités. Mais ce Supplément, œuvre personnelle de Hachette, ne concerne qu’indirectement les leçons de Monge et n’est reproduit dans aucune des éditions ultérieures.

  • 46 L’original de la lettre de Brisson à Lacroix est conservé à la Bibliothèque de l’Institut, ms. 2 39 (...)

99Après la mort de Monge, les manuels et les traités de géométrie descriptive se multiplièrent. La Géométrie descriptive de Monge, tout en continuant à être utilisée dans l’enseignement, présentait dorénavant un caractère essentiellement historique. En 1820, le neveu par alliance de Monge, Barnabé Brisson (1777-1828), ingénieur des ponts et chaussées et ancien élève de la première promotion de l’École polytechnique, publia une quatrième édition de la Géométrie descriptive [Monge, 1820], pour laquelle il ajouta, sous le titre de Théorie des ombres et de la perspective, les trois leçons jusqu’alors inédites sur les ombres et la perspective, extraites de leurs transcriptions par les secrétaires de l’École normale. Un extrait d’une lettre de Brisson à Lacroix, publié dans un avertissement de l’éditeur, donne quelques précisions sur la manière dont il a adapté le texte transcrit, très imparfait : mise au net du texte, inversion des leçons sur la perspective aérienne et la perspective linéaire et adjonctions de considérations nouvelles, en particulier sur les panoramas (voir n° 138, p. 452 et 453) et les corps mats (voir n° 141, p. 437-440)46.

100Parmi les nombreuses rééditions de la Géométrie descriptive postérieures à 1820, quelques-unes méritent d’être rapidement signalées. Les cinquième, sixième et septième éditions, de 1827, 1838 et 1847 sont identiques à celles de 1820. D’autres éditions furent publiées parallèlement à Bruxelles, en 1827 et 1854. L’édition la plus récente, publiée en 1922 chez Gauthier-Villars sous forme de deux petits volumes de la collection « Les maîtres de la pensée scientifique », reproduit également l’édition de 1820, avec insertion des planches, au format plus réduit, dans le cours du texte.

101Quant aux traductions, plusieurs furent réalisées au xixe siècle. Seules quelques-unes ont été effectuées à partir de l’édition de 1799. C’est le cas, en particulier, d’une traduction espagnole, publiée à Madrid en 1803, et d’une traduction anglaise, publiée à Londres en 1809 par F.J. Heather. Toutes les autres éditions sont basées sur la quatrième édition de 1820, préparée par Brisson. Signalons, entre autres, la traduction allemande de G. Scheiber, publiée à Karlsruhe et Fribourg en 1828-1829, la traduction italienne de J. Corridi publiée à Florence en 1838 et une nouvelle traduction anglaise en 1851. Deux traductions plus récentes, commentées et annotées, méritent une attention particulière : la nouvelle traduction allemande par G. Haussner, publiée à Leipzig en 1900 dans la collection Ostwald’s Klassiker, n° 117, et la traduction russe par V.F. Gazé, publiée à Moscou en 1947 avec la collaboration de T.P. Kraviets, D.I. Karguine et A.M. Loukowskaïa. Il faut signaler enfin une traduction chinoise, publiée à Pékin en 1984.

***

102L’an III est dans la vie de Monge une année d’exception. Après des mois d’intense activité au service de la Nation, malgré la fatigue accumulée, il y a quelque chose de prodigieux à le voir se dépenser sans compter aussi bien à l’École normale qu’à l’École centrale des travaux publics, qu’il avait contribué de façon décisive à créer. Non seulement, il marqua par ses leçons orales toute une génération d’ingénieurs et de professeurs, mais surtout, à cette occasion, lui qui n’aimait guère rédiger, il réalisa dans l’urgence ce qui allait devenir ses deux œuvres majeures, la Géométrie descriptive et l’Analyse appliquée à la géométrie.

103Monge appartient, en effet, à cette sorte de savants pour qui l’enseignement est une source d’inspiration incomparable. C’est pour ses élèves, et pour eux seuls, qu’il trouva la force de mettre par écrit ses idées concernant l’analyse et la géométrie, idées pour lui déjà anciennes mais qu’il n’avait fait connaître qu’en partie et dans des mémoires dispersés. D’un point de vue mathématique, l’Analyse appliquée à la géométrie, rédigée pour l’École polytechnique, présente sans doute le plus d’intérêt, mais la Géométrie descriptive possède bien davantage la grâce, si rare, de faire aimer les mathématiques, qui était celle de l’enseignement de Monge même. Voilà pourquoi l’ouvrage a contribué si puissamment au renouveau de la géométrie au xixe siècle. Deux siècles plus tard, le charme n’en est pas épuisé et le lecteur d’aujourd’hui, alors que la géométrie descriptive, devenue un chapitre fermé des mathématiques, a pour ainsi dire disparu de l’enseignement, sera sensible encore à ses beautés.

Notes

1 Voir l’annexe 21 : La géométrie descriptive après Monge.

2 De nombreuses études biographiques ont été consacrées à Monge. On se reportera surtout aux notices de deux proches de Monge, [Brisson, 1818] et surtout [Dupin, 1819] et aux deux biographies modernes [de Launay, 1933] et [Aubry, 1954], ainsi qu’au chapitre biographique de [Taton, 1951a, p. 9-49 et bibliographie].

3 Voir l’annexe 16 : Les problèmes de défilement.

4 Sur les origines de la géométrie descriptive voir [Loria, 1921], [Taton, 1954], [Sakarovitch, 1989], [Belhoste, Picon et Sakarovitch, 1990], [Belhoste, 1990] et l’annexe 17 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

5 Sur ces traités inédits, publiés par Théodore Olivier en 1847 [Monge, 1847a et 1847b], voir [Taton, 1951a, p.77-79] et [Belhoste, 1990]. Les plus anciennes copies connues ont été rédigées en 1768 par Joseph Gabriel Monnier, alors élève à Mézières (Archives du génie, art. 21, section 13, carton 1).

6 Sur l’enseignement de Monge à l’École du génie de Mézières, voir [Taton, 1964] et [Belhoste, Picon et Sakarovitch, 1990, p. 72-90].

7 Sur ces mémoires voir [Taton, 1951, p.76-77 et p. 233-234] et l’annexe 14 : Sur la distance entre deux droites.

8 Sur Meusnier voir [Taton, 1951a, p. 234-235 et p.291-292] et [Lavoisier, 1986, annexe III, p. 299-304]. Voir aussi l’annexe 16 : Les problèmes de défilement, pour sa méthode de défilement, et l’annexe 12 : Sur la notion de courbure, pour son fameux mémoire de géométrie différentielle [Meusnier, 1785].

9 Voir l’annexe 18 : Sylvestre-François Lacroix et la géométrie descriptive.

10 Sur le rôle de Monge auprès de Lavoisier, voir [Taton, 1991c].

11 Sur l’activité de Monge comme examinateur de la marine, voir [Julia, 1989 et 1990].

12 Voir l’annexe 20 : Un projet d’écoles secondaires pour artisans et ouvriers.

13 Ce terme est employé également dans le tableau n° l annexé à la pétition du département de Paris imprimée au début d’octobre 1793 (voir [Guillaume, 1894, p. 414] et l’annexe 20 : Un projet d’écoles secondaires pour artisans et ouvriers). Il figure en outre, sous la forme « géométrie descriptive ou graphique », dans le programme d’enseignement des « écoles élémentaires des arts et d’économie sociale » préparé par une commission du Bureau consultatif des arts et métiers et imprimé au milieu de septembre 1793 [Lavoisier, 1893, p. 516-558] (voir aussi [Baker et Smeaton, 1965]). Une telle coïncidence n’est certainement pas l’œuvre du hasard. Certains des rédacteurs du programme du Bureau consultatif des arts et métiers, en particulier Hassenfratz, étaient au courant de la préparation du projet du département de Paris et savaient l’importance que Monge accordait à la géométrie descriptive dans le programme des « écoles pour artisans et ouvriers de tous genres »

14 Ce texte est reproduit dans [Langins, 1987a, annexe I, p. 226-269].

15 Sur les origines de l’École centrale des travaux publics et sur sa fondation, voir [Langins, 1980, et 1991] et [Belhoste, 1989].

16 Ch. Gardeur-Lebrun, Journal de l’École centrale des travaux publics, Archives de l’École polytechnique, X2b/329.

17 Ce plan, présenté par Monge au Conseil de l’École le 20 frimaire an III (10 décembre 1794), est publié en pluviôse dans le Programme de l’enseignement polytechnique de l’École centrale des Travaux publics [Langins, 1987a, annexe G, p. 142-146]. Le résumé, rédigé en floréal, est publié dans le Journal de l’École polytechnique [Monge, 1795a].

18 Voir la version manuscrite du plan de son cours publiée dans [Taton, 1951a, p. 93-95].

19 L’église de la Sorbonne avait été choisie à l’origine pour accueillir les leçons de l’École normale et des travaux avaient été entrepris pour l’aménager à cet effet. Le retard du chantier et l’hostilité du Comité des finances obligèrent le Comité d’instruction publique à se rabattre finalement sur l’amphithéâtre du Muséum. On voit cependant que l’École normale utilisa bel et bien l’église de la Sorbonne, contrairement à ce qu’affirme Paul Dupuy [Dupuy 1895, p. 93].

20 Ainsi, dans la leçon du 1er germinal, Monge annonça aux élèves son intention d’étudier « dans nos conférences de la maison Sorbonne » la construction de l’intersection de trois cylindres à base circulaire (voir le n° 94, p. 396-397).

21 Louis-Joseph Girard (1773-1844), étudiant chez un architecture puis dessinateur chez un décorateur, entra au bureau des dessinateurs de l’École centrale des travaux publics le 6 pluviôse an III (25 janvier 1795) pour dessiner les épures de géométrie descriptive en collaboration avec Monge qui l’initia lui-même à la méthode. Girard resta jusqu’à sa mort employé à l’École polytechnique, comme répétiteur de dessin graphique, tout en enseignant également à l’École des mines et à l’École des Beaux-arts.

22 Voir l’annexe 16 : Les problèmes de défilement.

23 Sur ce problème, voir l’annexe 14 : Sur la distance entre deux droites.

24 Voir l’annexe 21 : La géométrie descriptive après Monge.

25 Laplace donne également l’interprétation géométrique de l’élimination algébrique dans la huitième leçon de son cours.

26 Voir p. 457, note 53.

27 Le problème d’Estève a été étudié analytiquement par Estève [Estève, 1754] et par Lagrange [Lagrange, 1775b].

28 Voir l’annexe 19 : L’utilisation des aérostats pour le lever des cartes et le nivellement.

29 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

30 Voir l’annexe 15 : La coupe des pierres et la géométrie descriptive.

31 Nous ne tenons compte ici ni de l’inversion de l’ordre des leçons, ni des ajouts de Brisson dans l’édition de 1820 [Monge, 1820, p.136-188].

32 Voir l’annexe 17 : Théorie des ombres et des pénombres.

33 D’après une lettre de Brisson publiée dans [Monge, 1820, avertissement de l’éditeur, p.VI]. Voir l’annexe 20 : Un projet d’écoles secondaires pour artisans et ouvriers.

34 Cours de géométrie descriptive de l’École centrale des travaux publics rédigé par Lomet, ingénieur (Antoine-François Lomet, ingénieur des ponts et chaussées, était le conservateur des modèles de l’École centrale des travaux publics), conservé à la Bibliothèque de l’École nationale des ponts et chaussée (ms. fol. 150), et notes de Fourier sur les leçons de Monge, sans titre, conservées à la Bibliothèque de l’Institut (recueil de cours, ms. 2044).

35 Les archives de l’École polytechnique conservent deux collections reliées d’épures gravées en l’an III (A1b/108). La Bibliothèque nationale en possède une également (V 5 972). De plus, certains portefeuilles d’élèves des premières promotions ont été conservés : pour l’an IV, celui de Desclos-Lepeley, un élève de la promotion de nivôse an III, à la Bibliothèque nationale (V 4 829), pour l’an V celui d’Angion, un élève de la promotion de nivôse an V, à la Bibliothèque de l’École nationale des ponts et chaussées (ms. 22).

36 Procès-verbaux des séances du conseil d’administration de l’École centrale des travaux publics, 20 pluviôse an III (8 février 1795), archives de l’École polytechnique. L’intervention de Monge est publiée dans [Langins, 1987, annexe B, p. 117].

37 Archives de l’École polytechnique, cote X2b219.

38 Voir [Chasles, 1837, p.209 de la 3e édition].

39 Les feuilles d’analyse ont été rééditées une première fois en thermidor an IX [Monge, 1801]. La première partie, sur l’analyse appliquée à la stéréotomie, fut publiée, sous une forme un peu différente et avec des compléments sous le titre d’Algèbre appliquée à la géométrie [Monge et Hachette, 1805] et les autres feuilles, également complétées, en 1807, sous le titre d’Application de l’Analyse à la géométrie [Monge, 1807]. On trouvera une étude complète des feuilles d’analyse de l’an III et de leurs rééditions en ouvrages dans [Taton, 1951a, p.120-132 et p. 209-228].

40 Ces feuilles n’ont pas de numérotation propre, mais, sur l’en-tête de chacune, est indiquée la planche correspondante. Dans l’édition de l’an IX [Monge, 1801], les feuilles sont numérotées de 1 à 3bis.

41 Fourier a pris en notes ces cours (Bibl. Institut, ms. 2044). Voir également les notes de Poinsot, (Bibl. Institut, ms. 964).

42 Ces feuilles, contrairement aux précédentes, ont une numérotation propre, de X à XXIX, qui commence là où s’arrête celle des planches correspondant aux feuilles d’analyse appliquée à la stéréotomie. Dans l’édition de l’an IX [Monge, 1801], elles sont numérotées de 4 à 31. Enfin, dans l’Application de l’analyse à la géométrie [Monge, 1807], le texte correspondant aux feuilles est divisé en vingt-deux paragraphes numérotés. Pour chaque feuille, nous renvoyons au texte correspondant de cet ouvrage de référence.

43 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

44 Ultérieurement, à l’École polytechnique, la géométrie analytique resta enseignée par le professeur de géométrie descriptive, tandis que les problèmes de géométrie différentielle étaient du ressort du professeur d’analyse appliquée à la géométrie.

45 Pour la commodité du lecteur, nous avons indiqué cette subdivision dans notre édition des leçons.

46 L’original de la lettre de Brisson à Lacroix est conservé à la Bibliothèque de l’Institut, ms. 2 396.

Notes de fin

1 Questions traitées dans les Feuilles d’analyse [Monge 1795-1796].

2 D’après [Monge 1795b et c]

3 D’après [Monge 1795d].

Table des illustrations

URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 140k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 608k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 96k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 536k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-5.jpg
Fichier image/jpeg, 564k
Légende En germinal et floréal an III, Monge enseigna en parallèle la géométrie descriptive et l’analyse appliquée à la géométrie à l’École centrale des travaux publics. À chaque planche de géométrie descriptive distribuée aux élèves était associée une feuille d’analyse traitant les mêmes questions ; ici, par exemple, la détermination d’une droite et d’un plan dans l’espace.
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 236k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-7.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-8.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-9.jpg
Fichier image/jpeg, 28k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-10.jpg
Fichier image/jpeg, 24k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-11.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-12.jpg
Fichier image/jpeg, 28k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-13.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-14.jpg
Fichier image/jpeg, 248k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-15.jpg
Fichier image/jpeg, 8,0k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-16.jpg
Fichier image/jpeg, 24k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-17.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-18.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-19.jpg
Fichier image/jpeg, 24k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-20.jpg
Fichier image/jpeg, 28k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-21.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-22.jpg
Fichier image/jpeg, 20k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-23.jpg
Fichier image/jpeg, 16k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-24.jpg
Fichier image/jpeg, 24k
URL http://books.openedition.org/editionsulm/docannexe/image/490/img-25.jpg
Fichier image/jpeg, 18k

Auteurs

Bruno Belhoste, agrégé d’histoire, est chercheur au Service d’histoire de l’éducation de l’Institut national de la recherche pédagogique, où il travaille sur l’histoire de l’enseignement scientifique. Il a complété sa formation par des études de mathématiques et publié une biographie, Cauchy : un mathématicien légitimiste (Belin, 1985), dont une version très augmentée vient de sortir en américain chez Springer-Verlag (Cauchy, a biography, 1991). Il prépare une thèse d’État sur l’histoire de l’École polytechnique.

René Taton, ancien directeur de recherche au CNRS et ancien directeur d’étude à l’École des hautes études en sciences sociales, fut notamment le directeur de l’Histoire générale des sciences parue en quatre volumes aux Presses universitaires de France. Il dirigea également un volume intitulé Enseignement et Diffusion des sciences au xviiie siècle (Hermann, réédition 1984). Ses travaux sur l’Œuvre scientifique de Monge (Vrin, 1951) et sur l’Œuvre scientifique de Desargues sont des références incontournables.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540