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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

Deuxième leçon

6 ventôse / 24 février

Texte intégral

1Citoyens, un ancien disait, que l’arithmétique et la géométrie étaient les ailes des mathématiques ; je crois en effet qu’on peut dire sans métaphore que ces deux sciences sont le fondement et l’essence de toutes les sciences qui traitent des grandeurs. Mais non seulement elles en sont le fondement, elles en sont, pour ainsi dire, encore le complément, car, lorsque l’on a trouvé un résultat, pour pouvoir faire usage de ce résultat, il est nécessaire de le traduire en nombres ou en lignes ; pour le traduire en nombre, on a besoin du secours de l’arithmétique ; pour le traduire en lignes, on a besoin du secours de la géométrie.

2L’importance de l’arithmétique m’engage donc à vous en entretenir encore aujourd’hui, quoiqu’on ait déjà commencé l’algèbre. Je reviendrai sur ses différentes parties et je ferai de nouvelles observations qui serviront à compléter celles que je vous ai déjà présentées. J’emploierai d’ailleurs le calcul algébrique lorsqu’il sera nécessaire pour donner plus de généralité aux démonstrations et aux méthodes.

3D’abord, par rapport à l’addition, il n’y a rien à ajouter à ce qui a déjà été dit. L’addition est une opération si simple qu’elle se conçoit d’elle-même. Mais à l’égard de la soustraction, il y a une autre manière de faire cette opération, qui peut quelquefois être plus commode que la manière ordinaire, surtout pour ceux qui y sont habitués ; c’est de changer la soustraction en addition, en prenant le complément de chaque chiffre du nombre qui doit être soustrait, d’abord à 10, et ensuite à 9. Supposons par exemple que l’on ait le nombre 2 635 à soustraire du nombre 7 853 ; au lieu de dire : 5 de 13, reste 8, entre 3 de 4, reste 1, 6 de 8, reste 2, et 2 de 7, reste 5, ce qui donne le reste total 5 218 ; je dirai : 5 complément de 5 à 10, et 3 font 8, j’écris 8, 6 complément de 3 à 9 et 5 font 11, je pose 1 et je retiens 1, ensuite 3 complément de 6 à 9 et 9, à cause de l’un retenu font 12, je pose 2, et retiens 1 ; enfin 7 complément de 2 à 9, et 8 à cause de l’un retenu font 15, je pose 5, et je ne retiens rien, parce que l’opération est finie et qu’il faut négliger la dernière dizaine qui avait été empruntée dans le cours de l’opération, ainsi on a également pour reste 5 218.

4Si on a des chiffres un peu considérables, cette manière est très utile, parce qu’il arrive souvent qu’on se trompe en employant la manière ordinaire de la soustraction, lorsqu’on est obligé d’emprunter pour soustraire un nombre d’un autre ; au lieu que, dans la manière dont il s’agit, on n’emprunte jamais : il suffit seulement de retenir, parce que la soustraction est convertie en addition. A l’égard des compléments, ils se prennent facilement à la simple vue, car tout le monde sait que 3 est le complément de 7 à 10, que 4 est celui de 5 à 9, etc. Quant à la raison de cette opération, elle se présente d’elle-même, car il est facile de voir que ces différents compléments forment le complément total du nombre qu’il s’agit de soustraire à 10, 100, 1 000, etc., suivant que ce nombre a 1, 2, 3, etc., de sorte que c’est proprement la même chose que si on ajoutait d’abord 10, 100, 1 000, etc. chiffres, de sorte que c’est proprement la même chose que si on ajoutait d’abord 10, 100, 1 000, etc., au nombre proposé, et qu’ensuite on en otât le nombre à soustraire de celui-là. D’où l’on voit en même temps pourquoi il faut supprimer une dizaine de la somme trouvée par la dernière addition partielle.

5Pour la multiplication, il se présente différents abrégés qui viennent du système décimal. D’abord, on sait que, s’il est question de multiplier par 10, il n’y a qu’à ajouter un zéro ; si l’on veut multiplier par 100, on ajoute deux zéros ; par 1 000, trois zéros, etc.

6Ainsi s’il fallait multiplier une partie aliquote de 10, par exemple, par 5, on n’aurait qu’à multiplier par 10, et ensuite diviser par 2 ; par 25 en multipliant par 100, et on diviserait par 4, et ainsi de suite, pour tous les produits de 5.

7Lorsqu’on a un nombre entier avec des décimales à multiplier par un nombre entier avec des décimales, la règle générale est de regarder les deux nombres comme des nombres entiers, ensuite de retrancher, de droite à gauche, dans le produit, autant de chiffres qu’il y a de décimales dans les deux nombres ; mais cette règle a souvent, dans la pratique, l’inconvénient d’allonger l’opération plus qu’il ne faut. Car, quand on a des nombres qui contiennent des décimales, ces nombres ne sont ordinairement exacts que jusqu’à un certain rang de décimales ; ainsi, on ne doit conserver, dans le produit, que les parties décimales du même ordre. Par exemple, si le multiplicande et le multiplicateur contiennent chacun deux rangs de décimales, et n’ont que ce degré de précision, on aurait, par la méthode ordinaire, quatre rangs de décimales dans leur produit ; par conséquent, il faudrait négliger les deux dernières comme inutiles, et même comme inexactes. Voici comment on peut s’y prendre pour n’avoir, dans le produit, qu’autant de décimales que l’on veut.

  • 1 La remarque de Lagrange au sujet de l’écriture du multiplicateur — la nécessité ou non de commence (...)

8J’observe d’abord que, dans la manière ordinaire de faire la multiplication, on commence par les unités du multiplicateur qu’on multiplie par celles du multiplicande, et ainsi de suite. Mais rien n’oblige à commencer par la droite du multiplicateur ; on peut également commencer par la gauche ; et, à dire vrai, je ne sais pas pourquoi1 on ne préfère pas cette manière qui aurait l’avantage de donner tout de suite les chiffres de la plus grande valeur : car, ordinairement dans la multiplication des grands nombres, ce qui intéresse le plus, ce sont les derniers rangs de chiffres ; souvent même on ne fait la multiplication que pour connaître quelques-uns des chiffres des derniers rangs ; et c’est là, pour le dire en passant, un des grands avantages du calcul par les logarithmes, lesquels donnent toujours, dans des multiplications comme dans les divisions, ainsi que dans l’élévation aux puissances et dans l’extraction des racines, les chiffres suivant l’ordre de leur rang, à commencer par le plus élevé, c’est-à-dire, en allant de gauche à droite.

9En faisant la multiplication de cette manière il n’y aura proprement d’autre différence dans le produit, si ce n’est que l’on aura pour première ligne celle qui aurait été la dernière, suivant la méthode ordinaire ; pour seconde ligne celle qui aurait été l’avant-dernière, et ainsi des autres.

10Ceci peut être indifférent lorsqu’il s’agit de nombres entiers et qu’on veut avoir le produit exact ; mais lorsqu’il y a des parties décimales, l’essentiel est d’avoir d’abord dans le produit les chiffres des nombres entiers et descendre ensuite successivement à ceux des nombres décimaux. Au lieu que, suivant le procédé ordinaire, on commence par les derniers chiffres décimaux, et on remonte successivement aux chiffres des nombres entiers.

11Pour faire usage de cette méthode, on écrira le multiplicateur au-dessous du multiplicande, de manière que le chiffre des unités du multiplicateur soit au-dessous du dernier chiffre du multiplicande. Ensuite on commencera par le dernier chiffre à gauche du multiplicateur, qu’on multipliera comme à l’ordinaire par tous ceux du multiplicande, en commençant par le dernier à droite, et en allant successivement vers la gauche, et l’on observera de poser le premier chiffre de ce produit au-dessous du chiffre du multiplicateur, et les autres successivement à gauche de celui-ci. On continuera de même pour le second chiffre du multiplicateur, en posant également au-dessous de ce chiffre le premier chiffre du produit, et ainsi de suite. La place de la virgule, dans ces différents produits, sera la même que dans le multiplicande, c’est-à-dire, que les unités des produits se trouveront toutes dans une même ligne verticale avec celles du multiplicande, par conséquent celles de la somme de tous les produits ou du produit total, seront encore dans la même ligne. Ainsi il sera aisé de ne calculer qu’autant de décimales qu’on voudra. Voici un exemple de cette opération, où le multiplicande est 437,25, et le multiplicateur est 27,34.

12J’ai écrit, dans le produit, toutes les décimales ; mais il est aisé de voir comment on peut se dispenser de tenir compte de celles que l’on veut négliger.

13La ligne verticale est pour marquer plus distinctement la place de la virgule.

14Cette règle me paraît plus naturelle et plus simple que celle qui est attribuée à Oughtred et qui consiste à écrire le multiplicateur dans un ordre renversé.

15Au reste, il y a une chose à considérer dans la multiplication des nombres avec des décimales ; c’est que vous pourrez, à volonté, faire changer de place à la virgule, parce que si vous avancez la virgule de droite à gauche dans un des nombres, vous le multipliez par 10 ou par 100, etc. ; et si vous reculez d’autant la virgule de gauche à droite dans l’autre nombre, vous le divisez par 10 ou par 100, d’où il résulte que vous pouvez avancer à volonté la virgule d’un des deux nombres, pourvu que vous reculiez d’autant celle de l’autre nombre, vous aurez toujours le même produit. Par ce moyen, vous pouvez faire en sorte qu’un des deux nombres soit toujours un nombre sans décimales, ce qui rend la question plus simple.

16La division est susceptible d’une simplification semblable ; car, comme le quotient reste le même en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur également par un même nombre, il arrive que dans la division vous pouvez avancer ou reculer la virgule de l’un et de l’autre nombre, pourvu que vous les avanciez ou reculiez également toutes les deux ; de sorte que par là vous pouvez réduire le diviseur à être toujours un nombre entier, ce qui facilite infiniment l’opération, parce que les décimales ne se trouvant que dans le dividende, on peut faire la division à l’ordinaire, et négliger dans l’opération les chiffres qui donneraient des décimales d’un rang inférieur à celles dont vous voulez tenir compte.

17Vous connaissez la fameuse propriété du nombre 9, qui consiste en ce que, si un nombre est divisible par 9, la somme de tous ses chiffres est aussi divisible par 9. Vous pouvez, par ce moyen, voir tout de suite non seulement si un nombre est divisible par 9, mais encore quel est son reste, car vous n’avez qu’à faire la somme des chiffres et les diviser par 9, le reste sera le même que celui du nombre proposé.

18La démonstration de ce procédé n’est pas difficile ; elle dépend de ce que les nombres 10 moins 1, 100 moins 1, 1 000 moins 1, sont tous divisibles par 9 ; ce qui est évident, ces nombres étant 9, 99, 999, etc.

19Si donc vous retranchez d’un nombre quelconque la somme de tous ses chiffres ou caractères, vous aurez pour reste le chiffre des dizaines, multiplié par 9, plus celui des centaines, multiplié par 99, plus celui des mille, multiplié par 999, et ainsi de suite ; d’où il est clair que ce reste est tout divisible par 9. Par conséquent, si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre proposé le sera aussi, et si elle n’est pas divisible par 9, le nombre ne le sera pas non plus ; mais le reste de la division sera le même de part et d’autre.

20Dans le cas du nombre 9, on voit clairement que 10 moins 1, 100 moins 1, etc., sont tous divisibles par 9 ; mais l’algèbre fait voir que cette propriété est générale pour tout nombre a ; car on trouve que a – 1, a2 – 1, a3 – 1, a4 – 1, etc., sont des quantités toutes divisibles par a – 1 ; en effet, en faisant la division, on a les quotients :

211, a +1, a2 + a +1, a3 + a2 + a + 1, etc.

22Il est aisé de conclure de là que cette propriété du nombre 9 a lieu dans notre système d’arithmétique décimale, parce que 9 est 10 moins 1, et que dans tout autre système fondé sur la progression a, a2, a3, etc., ce serait le nombre a – 1 qui jouirait de la même propriété. Ainsi, dans le système duodécimal, ce serait le nombre 11 ; de sorte que, dans ce système, tout nombre dont la somme des chiffres serait divisible par 11 le serait aussi.

23Mais on peut généraliser cette propriété du nombre 9, par la considération suivante : comme tout nombre, dans notre système, est représenté par la somme de quelques termes de la progression 1, 10, 100, 1 000, etc., multipliés chacun par un des neuf chiffres 1, 2, 3, 4, etc., 9, il est aisé de concevoir que le reste de la division d’un nombre quelconque par un diviseur donné, sera égal à la somme des restes de la division des termes 1, 10, 100, 1 000, etc., par le même diviseur, ces restes étant multipliés chacun par le chiffre correspondant qui multiplie chaque terme. Donc, si on dénote en général le diviseur donné par D et que m, n, p, etc., soient les restes de la division des nombres 1, 10, 100, 1 000, etc., par D, le reste de la division d’un nombre quelconque N, dont les caractères, en allant de droite à gauche, seraient a, b, c, etc., sera évidemment égal à m x a + n x b + p x c + etc. Ainsi, connaissant pour un diviseur donné D, les restes m, n, p, etc., qui ne dépendent que de ce diviseur et qui sont toujours les mêmes par le même diviseur, il n’y aura qu’à écrire ces restes au-dessous du nombre proposé, en allant de droite à gauche et faire ensuite les différents produits de chaque chiffre par celui qui est au-dessous. La somme de tous ces produits sera le reste total de la division du nombre proposé par le même diviseur D. Et si cette somme est plus grande que D, on pourra en chercher de nouveau le reste de la division par D, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive à un reste moindre que D qui sera le véritable reste cherché. D’où il s’ensuit que le nombre proposé ne sera exactement divisible par le diviseur donné qu’autant que le dernier reste trouvé de la sorte sera nul.

24Les restes de la division des termes 1, 10, 100, 1 000, etc., par 9, sont toujours l’unité ; ainsi la somme des chiffres d’un nombre quelconque est le reste de la division de ce nombre par 9. Les restes de la division des mêmes termes par 8, sont 1, 2, 4, 0, 0, 0 ; donc on aura le reste de la division d’un nombre quelconque par 8, en prenant la somme du premier chiffre à droite, du second (en allant de droite à gauche) multiplié par 2, et du troisième multiplié par 4.

25Les restes de la division des mêmes termes 1, 10, 100, 1 000, etc. par 7, sont 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, etc., où les mêmes restes reviennent toujours dans le même ordre : ainsi, ayant le nombre 13 527 541 à diviser par 7, je l’écrirai ainsi avec les restes au-dessous :

26Faisant ensuite les produits partiels et les ajoutant, je trouve d’abord le nombre 104 qui serait le reste de la division du nombre donné par 7 s’il n’était pas plus grand que ce diviseur ; je répète donc l’opération sur ce reste, et je trouve pour second reste 6, qui est le véritable reste de la division dont il s’agit.

27Je remarquerai encore à l’égard de ces restes et des multiplications qui en dépendent qu’on peut simplifier celle-ci en admettant des restes négatifs à la place de ceux qui se trouvent plus grands que la moitié du diviseur ; et pour cela il n’y a qu’à soustraire encore le diviseur de chacun de ces restes ; ainsi au lieu des restes ci-dessus 6, 4, 5, on aura ceux-ci – 1, – 3, – 2 ; ainsi les restes pour le diviseur 7 seront 1, 3, 2, – 1, – 3, – 2, 1, 3, etc à l’infini.

28De cette manière, j’aurai, dans l’exemple précédent :

29Je mets une barre au-dessous des chiffres qui doivent être pris négativement ; je soustrais la somme des produits de ces chiffres par ceux qui sont au-dessus d’eux, de la somme des autres produits, comme on le voit dans cet exemple. Il ne s’agit donc que de trouver pour chaque diviseur les restes de la division des nombres l, 10, 100, 1 000, etc. ; or la chose est aisée par la division actuelle, mais on peut y parvenir encore plus simplement, en considérant que si r est le reste de la division de 10, r2 sera celui de la division de 100, carré de 10 ; ainsi il n’y aura qu’à retrancher de r2 autant de fois le diviseur qu’il sera nécessaire pour que l’on ait un reste positif ou négatif moindre que la moitié de ce diviseur. Soit s ce reste, alors il n’y aura qu’à le multiplier par r, reste de la division de 10, pour avoir celui de la division de 1 000, parce que 1 000 est 100 x 10, et ainsi de suite.

30Ainsi, divisant 10 par 7, on a 3 de reste ; donc le reste de la division de 100 sera 9, ou bien 2, en retranchant le diviseur 3 ; ensuite le reste de la division de 1 000 sera le produit de 2 par 3, c’est-à-dire 6, ou bien – 1, en retranchant encore 3 ; de là le reste de la division de 10 000 sera le produit de – 1 par 3, savoir – 3 et ainsi de suite.

31Prenons pour diviseur 11 ; le reste de la division de 1 est 1, celui de la division de 10 est 10, d’où retranchant le diviseur 11, on a – 1 ; le reste de la division de 100 sera donc le carré de – 1, savoir 1 ; celui de la division de 1 000 sera 1, multiplié par – 1, savoir, – 1, et ainsi de suite ; de sorte que tous les restes seront 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, etc., à l’infini.

32De là résulte la propriété connue du nombre 11, savoir que si on ajoute et qu’on retranche alternativement tous les chiffres d’un nombre quelconque, c’est-à-dire, qu’on prenne la somme du premier, du troisième, du cinquième, etc., et qu’on en retranche la somme du second, du quatrième, etc., on aura le reste de la division de ce nombre par 11.

  • 2 Voir l’annexe 1 : De la théorie des restes à la théorie des congruences.

33Cette théorie des restes est assez curieuse, et a donné lieu à des spéculations ingénieuses et difficiles. On peut démontrer, par exemple, que quand le diviseur est un nombre premier, les restes d’une progression quelconque 1, a, a2, a3, a4, etc., forment toujours des périodes qui reviennent les mêmes à l’infini et qui commencent toutes comme la première par l’unité, de sorte que, lorsque l’unité paraît parmi les restes, on peut les continuer à l’infini par la simple répétition des restes précédents. On démontre aussi que ces périodes ne peuvent jamais contenir qu’un nombre de termes égal au diviseur, moins un, ou à une partie aliquote du diviseur moins un ; mais on n’a pu encore déterminer a priori ce nombre pour un diviseur quelconque donné2.

34Quant à l’usage de cette manière de trouver le reste de la division d’un nombre par un diviseur donné, elle pourrait être très utile si l’on avait à diviser plusieurs nombres par un même nombre, et former une table des restes. Comme la division par 9 et par 11 est très simple, on peut l’employer pour servir de preuve à la multiplication et à la division. En effet, ayant trouvé les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur, il n’y aura qu’à faire le produit de ces deux restes, et retranchant, s’il est nécessaire, le diviseur une ou plusieurs fois, on aura le reste de la division du produit, qui devra par conséquent s’accorder avec celui qu’on trouverait par la même opération. De même, comme, dans la division, le dividende, moins le reste, doit être égal au produit du diviseur et du quotient, on pourra y employer la même épreuve.

35La proposition que je viens de supposer que le produit des restes de la division de deux membres par un même diviseur est égal au reste de la division du produit de ces nombres par le même diviseur, est facile à concevoir. En voici une démonstration générale.

36Soient M et N les deux nombres, D le diviseur, p et q les quotients, et r, s les deux restes ; il est clair qu’on aura M = pD + r, N = qD + s ; donc faisant la multiplication MN = pqD2 + spD + rqD + rs ; où l’on voit que tous les termes sont divisibles par D, à l’exception du dernier rs ; d’où il s’ensuit que rs sera le reste de la division MN par D. On voit de plus que si on retranche de rs un multiple quelconque de D comme mD, alors rs – mD sera aussi le reste de la division de MN par D, car en mettant la valeur de MN sous cette forme pqD 2 + spD + rqD + mD + rsmD, on voit que tous les autres termes sont divisibles par D. Ainsi on pourra toujours faire en sorte que le reste rsmD soit moindre que D, ou même moindre que D/2 en employant des restes négatifs.

37Voilà tout ce que j’avais à dire sur la multiplication et la division. Je ne vous parle pas de l’extraction des racines ; la règle est assez simple pour les racines carrées. Elle conduit directement au but et il n’y a presque pas de tâtonnement. Pour les racines cubiques et des degrés supérieurs, il est rare qu’on ait besoin d’extraire ces racines ; d’ailleurs, par le moyen des logarithmes, on les extrait avec une grande facilité, et l’on peut pousser l’exactitude en décimales aussi loin que celle des logarithmes mêmes le comporte. Ainsi, avec des logarithmes de sept chiffres, on peut extraire des racines avec sept chiffres ; et, en employant les grandes tables où les logarithmes sont poussés jusqu’à dix décimales, on peut avoir aussi dix chiffres dans le résultat.

38Une des opérations les plus importantes de l’arithmétique, est celle qu’on appelle la règle de trois, qui consiste toujours à trouver le quatrième terme d’une proportion dont les trois premiers sont donnés.

39Dans les livres ordinaires d’arithmétique, on a beaucoup compliqué cette règle. On l’a divisée en règles de trois simples, directes, inverses, composées.

40En général, il suffit de bien entendre l’état de la question ; la règle ordinaire de trois s’applique toujours également toutes les fois qu’une quantité augmente ou diminue dans le même rapport qu’une autre : par exemple, le prix des choses augmente en proportion de la quantité des choses, de sorte que la chose étant double, le prix devient double, et ainsi de suite ; de même, le produit du travail augmente en proportion du nombre des personnes employées. Mais il y a des choses qui augmentent à la fois dans deux rapports différents. Par exemple, la quantité du travail augmente suivant le nombre des personnes employées, et il augmente aussi suivant le temps qu’on emploie. Il y a d’autre choses qui diminuent à mesure que d’autres augmentent. Tout cela se réduit à une considération bien simple ; c’est que, si une quantité augmente en même temps, dans la proportion qu’une ou plusieurs autres quantités augmentent, et que d’autres quantités diminuent, c’est la même chose que si on disait que la quantité proposée augmente comme le produit des quantités qui augmentent en même temps qu’elle, divisé par le produit de celles qui diminuent en même temps. Ainsi, comme le résultat du travail augmente à mesure qu’il y a plus de travailleurs et qu’ils travaillent plus longtemps, et qu’il diminue à mesure que l’ouvrage est plus difficile, on dira que le résultat est proportionnel au nombre des travailleurs, multiplié par le nombre qui mesure le temps, et divisé par le nombre qui mesure ou exprime la difficulté de l’ouvrage.

41Cependant, il faut faire attention à une chose : c’est que la règle de trois ne peut proprement s’appliquer qu’aux choses qui augmentent toujours dans un rapport constant. Par exemple, on suppose que, si un homme fait dans un jour une certaine quantité d’ouvrage, deux hommes en feront le double, trois hommes le triple, quatre le quadruple, etc. Cela pourrait ne pas être ; mais dans la règle de proportion on le suppose, sans quoi on ne pourrait pas l’employer légitimement.

42Quand la loi de l’augmentation et de la diminution est variable, la règle de trois ne s’y applique plus, et les règles ordinaires d’arithmétique sont en défaut. Il faut avoir alors recours à l’algèbre.

43Si, parce qu’un tonneau d’une certaine capacité, se vide dans un certain temps, on voulait en conclure qu’un tonneau d’une capacité double employerait un temps double, on se tromperait ; car il se videra dans un temps plus court. La loi de l’écoulement ne suit point une proportion constante, mais une proportion variable, qui diminue à mesure qu’il reste moins de vide dans le tonneau.

44Vous verrez dans la mécanique que, dans les mouvements uniformes, les espaces parcourus suivent une proportion constante avec le temps. Dans une heure, on fait une lieue, dans deux heures, on en fera deux ; mais une pierre qui tombe, ne suivra pas la même proportion. Et si, dans la première seconde, elle parcourt 15 pieds, dans la deuxième seconde, elle en parcourt 45.

45En général, la règle de trois n’est applicable qu’au cas de la proportion constante. Ce cas a lieu dans la plupart des choses qui sont d’un usage ordinaire. En général, le prix est toujours proportionné à la quantité de choses ; de sorte que, si une chose vaut tant, deux choses vaudront le double, trois le triple, quatre le quadruple, etc. Il en est de même du produit du travail, relativement au nombre des travailleurs et la durée du travail ; il y a néanmoins des cas où l’on pourrait aussi se tromper. Si deux chevaux, par exemple, peuvent traîner une masse d’un certain poids, il serait naturel de croire que quatre chevaux traîneraient un poids double, six un poids triple ; cependant cela n’est pas à la rigueur, car il faudrait que les quatre chevaux tirassent tous également, et de la même manière, ce qui est presque impossible dans la pratique. Il arrive de là que l’on trouve souvent par le calcul des résultats qui s’éloignent de la vérité, mais alors ce n’est pas la faute du calcul, car il rend toujours exactement ce qu’on y a mis. On a supposé la proportion constante ; le résultat est fondé sur cette supposition ; si elle est fausse, le résultat sera nécessairement faux. Toutes les fois qu’on a voulu accuser le calcul, on n’a fait que rejeter sur le calcul la faute de celui qui l’avait fait : il avait employé des données fausses ou inexactes ; il fallait bien que le résultat le fût aussi.

46Parmi les autres règles de l’arithmétique, il y a celle qu’on appelle d’alliage, qui mérite une considération particulière, parce qu’elle peut avoir beaucoup d’applications. Quoique l’alliage se dise principalement des métaux mêlés ensemble par la fusion, on le prend en général pour le mélange d’un certain nombre de choses de différentes valeurs, qui composent un tout d’un égal nombre de parties, et d’une valeur moyenne ; ainsi, la règle d’alliage a deux parties.

47Dans la première, on cherche la valeur moyenne et commune de chaque partie du mélange quand on connaît le nombre des parties, et la valeur particulière de chacune d’elles.

48Dans la seconde, on cherche la constitution même du mélange, c’est-à-dire le nombre des parties des choses qui doivent être mélangées ou alliées, quand on connaît le nombre total des parties et leur valeur moyenne.

49Supposons, par exemple, que l’on ait plusieurs setiers de blé de différents prix, on peut demander quel est le prix moyen ; ce prix moyen doit être tel que, si chaque setier était de ce prix, le prix total de tous les setiers ensemble fût encore le même. D’où il est aisé de voir que, pour trouver, dans ce cas, le prix moyen, il n’y aura qu’à chercher d’abord le prix total, et le diviser par le nombre des setiers.

50En général, si on multiplie le nombre des choses de chaque espèce par la valeur de l’unité de chaque chose, et qu’on divise ensuite la somme de tous ces produits par le nombre total des choses, on aura la valeur moyenne, parce que cette valeur, multipliée elle-même par le nombre des choses, redonnera la valeur entière de toutes les choses prises ensemble.

51Cette valeur moyenne est d’une grande utilité dans presque toutes les affaires de la vie : quand on a plusieurs résultats différents, on aime à réduire tous ces résultats à un terme moyen qui produit cependant le même résultat total.

52Vous verrez, quand il sera question du calcul des probabilités, qu’il est presque tout fondé sur ce principe.

53Les registres des naissances et des morts ont donné lieu à la construction des tables qu’on appelle de mortalité, et qui montrent combien sur un nombre donné d’enfants nés en même temps ou dans la même année, il y en a de vivants au bout d’un an, de deux, de trois, etc. On peut demander d’après cela quelle est la vie moyenne d’une personne d’un âge donné ? Si on cherche dans ces tables le nombre des vivants à cet âge, et qu’ensuite on additionne le nombre des vivants à tous les âges suivants, il est clair que cette somme donnera le nombre total des années qui auront été vécues par la totalité des vivants à l’âge donné ; par conséquent, il n’y aura qu’à diviser la somme dont il s’agit, par le nombre des vivants à l’âge donné. Le quotient sera la vie moyenne, ou bien le nombre d’années que chaque personne devrait vivre encore, pour que le nombre total des années vécues fût le même, et que chaque personne eût vécu également.

54On trouve de cette manière, en prenant le milieu entre les résultats des différentes tables de mortalité, que, pour un enfant d’un an, la vie moyenne est d’environ 40 ans ; qu’à dix ans, elle est encore de 40 ans ; à 20, de 34 ; à 30, de 26 ; à 40, de 33 ; à 50, de 17 ; à 60, de 12 : à 70, de 8 ; à 80, de 5.

55On a, par exemple, fait différentes expériences : trois expériences ont donné chacune quatre pour résultat ; deux expériences ont donné cinq ; une a donné six. Pour avoir le résultat moyen, on multipliera 4 par 6, 5 par 2, et 1 par 6. On ajoutera ensemble tous ces produits, ce qui fait 28, et on divisera ce nombre, par le nombre des expériences, savoir 6, ce qui donnera 4 2/3 pour le résultat moyen de toutes ces expériences.

56Au reste, vous sentez que ce résultat ne peut être regardé comme exact qu’autant qu’on suppose que toutes les expériences sont également exactes, cependant elles peuvent ne pas l’être. Alors il faut chercher à tenir compte de ces inégalités, ce qui demande un calcul plus compliqué : c’est l’objet de plusieurs recherches, dont les géomètres se sont occupés.

57Voilà pour ce qui regarde la première partie de la règle d’alliage ; l’autre partie est l’inverse de celle-ci : étant donnée la valeur moyenne, trouver combien il faut prendre de chaque chose pour avoir cette valeur moyenne.

58Les problèmes de la première espèce sont toujours déterminés, parce que, comme on vient de le voir, il n’y a qu’à multiplier le nombre par la valeur de chaque chose et diviser la somme de tous ces produits par le nombre des choses.

59Les problèmes de la seconde espèce sont, au contraire, toujours indéterminés, mais la condition de n’avoir que des nombres positifs et entiers, pour résultat, sert à limiter le nombre des solutions.

60Supposons qu’on ait des choses de deux espèces ; que la valeur de l’unité de la première espèce, soit a, celle de l’unité de la seconde espèce soit b, et qu’on demande combien on doit prendre d’unités de la première espèce et d’unités de la seconde, pour en former un composé, ou un tout dont la valeur moyenne soit m.

61Nommons x le nombre des unités de la première espèce qui entreront dans le composé, et y le nombre des unités de la seconde espèce ; il est clair que ax sera la valeur des x unités de la première espèce, et by celle des y unités de la seconde ; donc ax + by sera la valeur totale du mélange ; mais la valeur moyenne du mélange devant être m, il faudra que la somme x + y des unités du mélange multipliée par m, valeur moyenne de chaque unité, donne la même valeur totale. Donc on aura l’équation ax + by = mx + my ; faisant passer d’un côté les termes multipliés par x, et de l’autre les termes multipliés par y, on aura (a – m) x – (mb) y ; et divisant par am, il viendra x = (mb)y/am où l’on voit que le nombre y peut être pris à volonté ; car, en donnant à y une valeur quelconque, on aura toujours une valeur correspondante de x qui satisfera à la question. Telle est la solution générale que donne l’algèbre ; mais, si on ajoute la condition que les deux nombres x et y soient entiers, alors on ne peut plus prendre y à volonté. Pour voir comment on peut satisfaire de la manière la plus simple à cette dernière condition, on divisera la dernière équation par y, et l’on aura x/y = (mb)/(am). Pour que x et y soient tous deux positifs, il faudra que les deux quantités mb, et am soient de même signe, c’est-à-dire que, si a est plus grand ou moindre que m, b soit au contraire moindre ou plus grand que m ; c’est-à-dire que m doit tomber entre les deux quantités a et b, ce qui est d’ailleurs évident de soi-même. Supposons a le plus grand et b le plus petit des deux prix, on cherchera la valeur de la fraction (mb)/(am) qu’on réduira, s’il est nécessaire, à ses moindres termes. Soit B/A cette fraction réduite à ses moindres termes ; il est visible qu’on aura la solution la plus simple, en prenant x = B, et y = A, mais comme une fraction demeure la même, en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre, il est visible qu’on pourra prendre aussi x = nB, et y = nA, n étant un nombre quelconque qu’il faudra supposer entier pour que x et y soient entiers. Et il est facile de démontrer que ces expressions de x et y sont les seules qui résolvent la question proposée. Suivant la règle ordinaire d’alliage, on ferait x quantité de la chose la plus chère, égale à mb, excès du prix moyen sur le plus bas, et y quantité de la chose moins chère, égale à am, excès du plus haut prix sur le prix moyen ; ce qui rentre dans la solution générale que nous venons de donner.

62Supposons maintenant qu’au lieu de deux espèces de choses il y en ait trois dont les valeurs soient, à commencer par la plus haute, a, b, c ; soient x, y, z, les quantités qu’il faudrait prendre de chacune pour former un mélange ou un composé, dont la valeur moyenne soit m. La somme des valeurs des trois quantités x, y, z sera ax + by + cz, d’après les valeurs particulières a, b, c de l’unité de chacune de ces quantités. Mais cette valeur totale doit être la même que si toutes les valeurs particulières étaient égales à m, auquel cas il est clair que la valeur totale serait mx + my + mz. Donc il faudra satisfaire à l’équation ax + by + cz = mx + my + mz ; laquelle se réduit à cette forme plus simple (am)x + (bm)y + (cm) z = 0. Comme il y a trois inconnues dans cette question, on pourrait en prendre deux à volonté ; mais si on veut qu’elles soient toutes exprimées par des nombres positifs et entiers, on observera d’abord que les nombres am, et mc sont nécessairement positifs, de sorte qu’en mettant l’équation sous cette forme (am) x – (mc) z = (mb) y, la question sera réduite à trouver deux multiples des nombres donnés am et mc dont la différence soit égale à (mb)y.

  • 3 Voir la dernière partie de l’annexe 4 : Sur les fractions continues.

63Cette question est toujours résoluble en nombres entiers quels que soient les nombres donnés dont on cherche les multiples, et quelle que soit la différence donnée de ces multiples. Comme elle est assez curieuse par elle-même et qu’elle peut être utile dans beaucoup d’occasions, nous allons en donner ici une solution générale, déduite des propriétés des fractions continues. Supposons donc en général que M et N soient deux nombres entiers donnés et qu’on en cherche deux multiples xM, zN dont la différence soit donnée et égale à D. On aura donc à satisfaire à l’équation xMzN = D, x et z étant supposés des nombres entiers. D’abord il est clair que si M et N n’étaient pas premiers entre eux, il faudrait que le nombre D fût aussi divisible par le plus grand commun diviseur de M et N, et la division faite, on aurait une pareille équation où les nombres M et N seraient premiers entre eux ; ainsi nous pouvons les supposer déjà réduits à cet état. J’observe maintenant que si on connaissait la solution de cette équation, pour le cas où le nombre D serait égal à l’unité positive ou négative, on en pourrait déduire la solution pour une valeur quelconque de D. Supposons en effet qu’on connaisse deux multiples de M et N, qui soient pM et qN, dont la différence pMqN soit = ± 1 ; il est clair qu’il n’y aura qu’à les multiplier tous les deux par le nombre D, pour que la différence devienne égale à ± D, car en multipliant l’équation précédente par D, on aura pDM – qDN = ±D. Qu’on retranche maintenant cette équation de l’équation proposée xMyN = D, ou qu’on l’y ajoute, suivant que le terme D aurait le signe + ou –, il est clair qu’il viendra celle-ci : (x + pD) M – (z + qD) N = 0 ; laquelle donnera sur le champ, comme nous l’avons vu plus haut dans le cas de l’alliage de deux choses différentes, x ± pD = nN, z + qD = nM, n étant un nombre quelconque. De sorte que l’on aura généralement x = nN ± pD et x = nM ± qD, où l’on pourra prendre un nombre quelconque entier, positif ou négatif, pour n. Il ne reste donc plus qu’à trouver les nombres p et q, tels que l’on ait pMqN = ± 1 ; or cette question se résout facilement par les fractions continues ; car nous avons fait voir, en traitant de ces fractions, que si on réduit la fraction M/N en fraction continue, qu’ensuite on en déduise toutes les fractions successives, dont la dernière sera la fraction même3 M/N ces différentes fractions sont telles que la différence entre deux fractions consécutives est toujours égale à une fraction dont le numérateur est l’unité, et le dénominateur le produit des deux dénominateurs. Ainsi désignant par K/L la fraction qui précédera immédiatement la dernière fraction M/N, on aura nécessairement LMKN = 1 ou – 1, suivant que celle-ci sera plus grande ou moindre que l’autre, c’est-à-dire suivant que le quantième de la dernière fraction M/N, dans la suite de toutes les fractions successives, sera pair ou impair, puisque la première fraction de cette suite est toujours plus petite, la seconde plus grande, la troisième plus petite, etc., que la fraction primitive, qui est la même que la dernière. Ainsi on fera p = K, et q = L, et le problème des deux multiples sera résolu dans toute sa généralité.

64Maintenant il est clair que, pour appliquer cette solution à la question ci-dessus, concernant l’alliage, il n’y aura qu’à faire M = am, N = mc, et D = (m – b) y, de sorte que le nombre y demeurera indéterminé et pourra être pris à volonté, ainsi que le nombre n qui entre dans les expressions de x et z.

Notes

1 La remarque de Lagrange au sujet de l’écriture du multiplicateur — la nécessité ou non de commencer par la droite — fait écho à une question surgie au cours de la première séance de débats du 11 pluviôse, posée par l’élève Placiard qui avait demandé pour quelles raisons on commençait seulement l’opération de division par la gauche. Lagrange et Laplace avaient chacun à leur manière tenté d’y répondre (p. 197-198). Lagrange, qui visiblement a réfléchi à la question et n’a pas trouvé d’arguments tout à fait convaincants, en vient à dire que l’écriture par la gauche aurait l’intérêt de donner les chiffres les plus précieux pour fixer au début l’ordre de grandeur du produit et aurait peut-être plus de commodité que l’écriture ordinaire.

2 Voir l’annexe 1 : De la théorie des restes à la théorie des congruences.

3 Voir la dernière partie de l’annexe 4 : Sur les fractions continues.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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