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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Lagrange

Première leçon1

16 pluviôse / 4 février

Texte intégral

  • 1 Cette conférence a été prononcée un quintidi, jour consacré à une séance de débats (le 16 pluviôse (...)

1L’arithmétique, à proprement parler, a deux parties : l’une est fondée sur le système décimal et sur la manière de placer les chiffres pour leur faire exprimer les différents nombres ; cette partie est celle qui contient les quatre opérations ordinaires, l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces opérations, comme vous l’avez vu, seraient différentes, si on avait adopté un autre système ; cependant il ne serait pas difficile de traduire les unes dans les autres, si on voulait changer de système.

2L’autre partie est indépendante du système de numération ; elle est fondée sur la considération des quantités et sur les propriétés générales des nombres. La théorie des fractions, celle des puissances et des racines, la théorie des proportions, celle des progressions arithmétiques et géométriques, et enfin la théorie des logarithmes, appartiennent à cette partie. Je vais faire précéder la conférence qui doit avoir lieu aujourd’hui par quelques observations sur les différentes branches de cette partie de l’arithmétique.

3On peut la regarder comme l’arithmétique universelle qui tient de près à l’algèbre ; car, si au lieu de fixer les quantités qu’on considère, au lieu de les déterminer en nombres, on veut les considérer d’une manière générale en les désignant par des lettres, on a l’algèbre. Vous avez déjà vu ce que c’est qu’une fraction ; l’idée des fractions est un peu plus composée que celle des nombres entiers : dans les nombres entiers, on ne considère qu’une quantité répétée ; pour avoir l’idée d’une fraction, il faut considérer la quantité même, divisée en un certain nombre de parties. Les fractions représentent en général des rapports, et servent à exprimer les différentes quantités, les unes par les autres ; en général, tout ce qui se mesure ne peut être mesuré que par des fractions, à moins que la mesure ne soit contenue un nombre entier de fois dans la chose mesurée.

4Vous avez vu comment une fraction peut être réduite à sa moindre expression.

5Lorsque le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par un même nombre, on peut trouver ce plus grand commun diviseur, par une méthode très ingénieuse et qui nous vient encore d’Euclide. Cette méthode est très simple et très analytique ; mais on peut la rendre encore plus sensible par la considération suivante. Supposez, par exemple, que vous ayez une longueur donnée, et que vous vouliez la mesurer : vous avez donc une mesure donnée et vous voulez savoir combien de mesures sont contenues dans cette longueur. D’abord vous portez la mesure autant de fois que vous le pourrez sur la longueur donnée et cela vous donne un nombre entier de mesures ; s’il n’y a pas de reste, l’opération est terminée, mais s’il y a un reste, il faut encore évaluer le reste ; si la mesure est divisée en parties égales, par exemple en dix ou douze etc., il est naturel de porter ce reste sur les différentes parties et de voir combien il y a de ces parties qui sont comprises dans le reste ; alors vous avez pour évaluer le reste une fraction dont le numérateur est le nombre des parties contenues dans ce reste et le dénominateur est le nombre total des parties dans lesquelles la mesure est divisée. Je suppose maintenant que votre mesure ne soit pas divisée et que vous vouliez néanmoins savoir quel est le rapport de la longueur proposée à la longueur que vous avez prise pour mesure ; voici l’opération qui se présente le plus naturellement. Si vous avez un reste, comme il est moindre que la mesure, il est naturel que vous cherchiez combien de fois il y sera compris. Supposons deux fois et qu’il y ait encore un reste ; reportez ce reste au reste précédent ; comme il est nécessairement plus petit, il s’y trouvera encore contenu un certain nombre de fois, comme trois fois, et il y aura un reste ou non, et ainsi de suite. Ayant tous ces différents restes, vous avez ce qu’on appelle une fraction continue ; par exemple, vous avez trouvé que la mesure était contenue trois fois dans la longueur proposée, vous avez d’abord le nombre trois ; ensuite vous avez trouvé que le premier reste est contenu deux fois dans la mesure ; vous aurez la fraction un divisé par deux. Mais ce dénominateur n’est pas complet, parce qu’il faudrait qu’il n’y eut pas de reste ; s’il y en a un, cela donne encore une autre fraction semblable, à ajouter à ce dénominateur, laquelle sera un divisé par trois, parce que nous avons supposé que ce reste était contenu trois fois dans le reste précédent, et ainsi de suite. Vous aurez ainsi la fraction 3 + 1/(2+1/3)etc., (le signe +, usité dans l’algèbre signifie plus et indique une addition à faire) pour exprimer le rapport entre la longueur donnée et celle que vous avez prise pour mesure. Les fractions de cette forme, s’appellent fractions continues et peuvent être réduites aux fractions ordinaires par les règles que vous connaissez. En effet, si on s’arrête d’abord à la première fraction, ce qui revient à ne tenir compte que du premier reste, et à négliger le suivant, on a 3 + 1/2 qui se réduit à 7/2. Pour avoir égard au premier et au second reste seulement, on s’arrêtera à la seconde fraction, et l’on aura 3 + 1(2+1/3) ; or 2 + 1/3 = 7/3, donc on aura 3 + 3/7, savoir 24/7, et ainsi de suite. Si dans l’opération on parvient à un reste qui mesure exactement le reste précédent, elle est terminée, et l’on aura par le moyen de la fraction continue une fraction ordinaire qui sera la valeur exacte de la longueur mesurée, exprimée par celle qui a servi de mesure. Si l’opération ne se termine pas ainsi, elle pourra aller à l’infini, et l’on n’aura que des fractions qui approcheront de plus en plus de la vraie valeur.

6Si maintenant on rapproche ce procédé de celui qu’on suit lorsqu’on cherche le plus grand commun diviseur de deux nombres, on verra que c’est la même chose ; mais dans la recherche du plus grand commun diviseur, on ne fait attention qu’aux différents restes dont le dernier est ce même diviseur ; au lieu qu’en employant les quotients successifs, comme nous l’avons fait plus haut, on obtient des fractions qui approchent toujours de plus en plus de la fraction formée par les deux nombres donnés, et dont la dernière est cette même fraction déjà réduite à ses moindres termes.

7Comme cette théorie des fractions continues est peu connue et qu’elle est néanmoins d’une grande utilité pour résoudre des questions numériques importantes, je vais m’étendre encore un peu sur la formation et les propriétés de ces fractions. Et d’abord supposons que les quotients trouvés, soit par l’opération mécanique, soit par celle du plus grand commun diviseur, soient comme ci-dessus, 3, 2, 3, 5, 7, 3 ; voici comment on peut, sans passer par la fraction continue, trouver tout de suite les différentes fractions qui en résultent.

8Le premier quotient étant supposé divisé par l’unité donnera la première fraction qui sera trop petite, a savoir 3/1. Ensuite, multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le second quotient, et ajoutant l’unité au numérateur, on aura la seconde fraction qui sera trop grande et qui sera 7/2. Multipliant de même le numérateur et le dénominateur de celle-ci par le troisième quotient et ajoutant ensuite au numérateur celui de la fraction précédente et au dénominateur celui de la fraction précédente, on aura la troisième fraction qui sera trop petite ; ainsi le troisième quotient étant 3, on dira 7 par 3 donne 21 et 3 fait 24, et de même 2 par 3 donne 6 et 1 fait 7 ; donc 24/7 sera la fraction cherchée. On suivra le même procédé, et puisque le quatrième quotient est 5, on dira 24 par 5 fait 120, et 7, numérateur de la fraction précédente 7/2 fait 127, de même 7 par 5 fait 35 et 2 fait 37 ; donc la nouvelle fraction 127/37, sera et ainsi de suite.

9De cette manière, en employant les six quotients 1, 2, 3, 5, 7, 3, on aura les six fractions

103/1, 7/2, 24/7, 127/37, 913/266, 2 866/835, dont la dernière, en supposant l’opération terminée par le sixième quotient 3 sera la valeur cherchée de la longueur mesurée, ou bien sera la fraction même réduite à ses moindres termes.

11Les fractions qui précèdent sont alternativement plus petites et plus grandes que cette valeur, et ont l’avantage d’en approcher de plus en plus, et de manière qu’aucune autre fraction ne pourrait en approcher autant, à moins d’avoir pour dénominateur un nombre plus grand que le produit du dénominateur de la fraction dont il s’agit, et de celui de la suivante. Par exemple, la fraction 24/7 est plus petite que la vraie valeur qui est celle de la dernière fraction 2 866/835. Mais elle en approche plus que ne pourrait faire toute autre fraction dont le dénominateur ne surpasserait pas le produit de 7 par 37, c’est-à-dire, le nombre 259. Ce qui donne le moyen de réduire une fraction donnée, exprimée par de grands nombres, à des fractions exprimées en moindres nombres et aussi approchées qu’il est possible.

12La démonstration de ces propriétés se déduit de la nature de la fraction continue et de ce que, si on cherche la différence d’une fraction à sa voisine, on trouve une fraction dont le numérateur est toujours l’unité et le dénominateur est le produit des deux dénominateurs ; ce qui peut aussi se démontrer a priori par la loi de la formation de ces fractions. Ainsi la différence de 7/2 à 3/1 est 1/2, par excès ; celle de 24/7 à 7/2 est 1/14, par défaut ; celle de 127/37 à 24/7 est 1/259 par excès, et ainsi de suite. De sorte qu’en employant cette suite de différences, on peut encore exprimer, d’une manière fort simple, les fractions dont il s’agit par une suite d’autres fractions dont les numérateurs soient tous l’unité et les dénominateurs soient successivement les produits de deux dénominateurs voisins. Ainsi, si par plus de simplicité on fait usage des signes +, –, x, qui signifient plus, moins, et multiplié par et indiquent une addition, ou soustraction, ou multiplication à faire, on aura, au lieu des fractions ci-dessus, la série :

13Le premier terme est, comme l’on voit, la première fraction ; le premier et le second ensemble donneront la seconde fraction 7/2 ; le premier, le second et le troisième donnent la troisième fraction 24/7, et ainsi de suite, de sorte que toute la série sera équivalente à la dernière fraction.

14Il y a encore une autre manière, moins connue, mais, à quelques égards, plus simple, de traiter les mêmes questions et qui conduit directement à une série semblable à la précédente. En reprenant l’exemple ci-dessus, après avoir trouvé que la mesure entre trois fois dans la longueur mesurée et que le reste entre deux fois dans la mesure, avec un nouveau reste, au lieu de rapporter ce second reste au précédent, comme on en a usé plus haut, on peut le rapporter de nouveau à la mesure même. Ainsi, supposant qu’il y entre sept fois, avec un reste, on rapportera encore ce reste à la même mesure, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne, s’il est possible, à un reste qui soit une partie aliquote de la mesure, ce qui terminera l’opération ; autrement elle pourra aller à l’infini, si la longueur mesurée et la mesure sont incommensurables. On aura alors, pour l’expression de la largeur mesurée, la série :

15Il est clair que ce procédé peut s’appliquer de même à une fraction ordinaire, en retenant toujours le dénominateur de la fraction pour dividende et prenant successive ment les différents restes pour diviseurs. Ainsi la fraction 2 866/835 donnera les quotients

165, 2, 7, 18, 19, 46, 119, 417, 835 ; et de là, on aura la suite

17et, comme ces fractions partielles décroissent rapidement, on aura, en les réunissant successivement, les fractions simples :

18qui approcheront toujours, de plus en plus, de la vraie valeur cherchée, et l’erreur sera moindre que la première des fractions partielles négligées. Au reste, ce que nous venons de dire sur ces différentes manières d’évaluer les fractions n’empêche pas que l’usage des fractions décimales ne soit presque toujours préférable pour avoir des valeurs aussi exactes que l’on veut. Mais il y a des cas où il importe que ces valeurs soient exprimées avec le moins de chiffres qu’il est possible. Par exemple, s’il s’agissait de construire un planétaire ; comme les révolutions des planètes sont entre elles dans des rapports exprimés par de grès grands nombres, il faudrait, ne pas trop multiplier les dents des roues et des pignons, se contenter de moindres nombres, et en même temps, faire en sorte que les rapports de ces nombres approchassent le plus des rapports donnés. Aussi est-ce cette question même qui a donné à Huygens l’idée de chercher à la résoudre par le moyen des fractions continues et qui a fait naître la théorie de ces sortes de fractions. Ensuite, en approfondissant cette théorie, on l’a reconnue propre à fournir la solution d’autres questions importantes. C’est pourquoi, comme elle ne se trouve guère dans les livres élémentaires, j’ai cru devoir en exposer les principes avec un peu de détails.

19Passons maintenant à la théorie des puissances, des proportions et des progressions.

20Vous avez déjà vu comment un nombre multiplié par lui-même donne le carré, et multiplié encore de même, donne le cube, et ainsi de suite. En géométrie, on ne va pas au-delà du cube, parce qu’aucun corps ne peut avoir plus de trois dimensions ; mais en algèbre et en arithmétique, on peut aller aussi loin que l’on veut. De là est née la théorie de l’extraction des racines, car, quoique tout nombre puisse être élevé au carré, au cube etc., il n’est pas vrai réciproquement que ce nombre puisse être un carré ou un cube exact. Le nombre 2, par exemple, n’est pas carré, parce que le carré d’un est un, le carré de deux est quatre ; n’y ayant pas d’autres nombres entiers intermédiaires, on ne peut pas trouver un nombre qui, multiplié par lui-même, produise deux ; vous ne le pouvez pas même en fractions, car, prenons une fraction réduite à ses moindres termes, le carré de cette fraction sera encore une fraction réduite aux moindres termes et par conséquent, ne pourra pas être égale au nombre entier 2. Mais, si on ne peut pas avoir la racine exacte de deux, on peut l’avoir approchée autant qu’on veut, surtout par les fractions décimales. Cela peut aller à l’infini, et vous pouvez approcher des vraies racines à tel degré d’exactitude que vous voudrez, en suivant les règles pour extraire les racines carrées et cubiques etc. Mais je n’entrerai ici dans aucun détail là-dessus. La théorie des puissances a produit celle des progressions : avant d’en parler, il faut dire quelque chose sur les proportions.

21On a vu que toute fraction exprime un rapport. Lorsqu’il y a deux fractions égales, vous avez donc deux rapports égaux ; alors les nombres que présentent les fractions ou les rapports forment ce qu’on appelle proportion. Ainsi, l’égalité des rapports de 2 à 4, et de 3 à 6, donne la proportion 2 à 4, comme 3 à 6, parce que 4 est le double de 2, comme 6 est le double de 3. De la théorie des proportions dépendent beaucoup de règles d’arithmétique ; elle est d’abord le fondement de la fameuse règle de trois qui est d’un usage si général ; vous savez que quand on a les trois premiers termes, pour avoir le quatrième, il n’y a qu’à multiplier les deux derniers, l’un par l’autre, et diviser le produit par le premier. On a imaginé ensuite différentes autres règles particulières, qui se trouvent dans la plupart des livres d’arithmétique, mais on peut s’en passer quand on conçoit bien l’état de la question. Il y a les règles de trois directes, inverses, simples, composées ; les règles de compagnie, d’alliage etc., tout se réduit à la règle de trois ; il n’y a qu’à bien considérer l’état de la question, et placer convenablement les termes de la proportion. Je n’entrerai pas dans ces détails, mais il y a une autre théorie qui est utile dans beaucoup d’occasions, c’est la théorie des progressions ; c’est quand vous avez plusieurs nombres qui ont la même proportion entre eux, et qui se suivent, en sorte que le second est au premier, comme le troisième est au second, comme le quatrième est au troisième, et ainsi de suite. Je commencerai par une observation.

  • 2 Il est intéressant de souligner cette phrase de Lagrange qui confirme que l’objectif de rectifier (...)

22On distingue communément, dans tous les livres d’arithmétique et d’algèbre, deux sortes de progressions, l’arithmétique et la géométrique, qui répondent aux proportions nommées arithmétiques et géométriques. Mais la dénomination de proportion me paraît très impropre pour ce qu’on appelle proportion arithmétique. Comme un des objets de l’École Normale est de rectifier la langue des sciences, on ne regardera pas cette petite digression comme inutile2.

23Il me semble donc que l’idée de proportion est déjà fixée par l’usage et ne répond qu’à ce qu’on appelle proportion géométrique. Quand on parle de la proportion des membres de l’homme, des parties d’un bâtiment, etc., quand on dit qu’un plan qu’on dessine doit être réduit proportionnellement à un plus petit, etc., quand on dit même, en général, qu’une chose doit être proportionnée à une autre, on n’entend par proportion que l’égalité des rapports, comme dans la proportion géométrique, et nullement l’égalité des différences, comme dans l’arithmétique. Ainsi, au lieu de dire que les nombres 3, 5, 7, 9 sont en proportion arithmétique, parce que la différence de 5 à 3 est la même que celle de 9 à 7, je désirerais que, pour éviter toute ambiguïté, on employât une autre dénomination ; on pourrait, par exemple, appeler ces nombres équidifférents en conservant le nom de proportionnels aux nombres qui sont en proportion géométrique, comme 3, 4, 6, 8.

24D’ailleurs, je ne vois pas pourquoi la proportion appelée arithmétique est plus arithmétique que celle que l’on nomme géométrique, ni pourquoi celle-ci est plus géométrique que l’autre. Au contraire, l’idée primitive de celle-ci est fondée sur l’arithmétique, puisque celle des rapports vient essentiellement de la considération des nombres.

25Au reste, en attendant qu’on ait changé ces dénominations impropres de proportions arithmétiques et géométriques, je continuerai à m’en servir pour plus de simplicité et de commodité.

26La théorie des progressions arithmétiques a peu de difficultés ; ce sont des quantités qui augmentent ou diminuent constamment de la même quantité, mais celle des progressions géométriques est plus difficile et plus importante, parce que beaucoup de questions intéressantes en dépendent. Par exemple, tous les problèmes sur l’intérêt composé et qui regardent l’escompte et beaucoup d’autres semblables.

27En général, quand une quantité augmente, et que la force augmentative, pour ainsi dire, est proportionnelle à la quantité même, elle produit des quantités en proportion géométrique. On a observé que, dans les pays où la subsistance était très aisée, comme dans les premières colonies américaines, la population doublait au bout de vingt ans ; si elle est double au bout de vingt ans, elle sera quadruple au bout de quarante ans, octuple au bout de soixante ans, etc. Ce qui donne, comme l’on voit, une progression géométrique qui répond à des espaces de temps en progression arithmétique. Il en est de même de l’intérêt composé : si on suppose qu’une somme donnée d’argent produise, au bout d’un certain temps, une certaine somme ; au bout d’un temps double, la même somme aura produit encore une pareille somme, et, de plus, la somme produite dans le premier espace de temps aura produit proportionnellement une autre somme pendant le second espace de temps, et ainsi de suite. On appelle communément la somme primitive, le principal ; la somme produite, l’intérêt, et le rapport constant du principal à l’intérêt, pour un an, denier. Ainsi le denier vingt indique que l’intérêt est la vingtième partie du principal, ce qu’on nomme aussi 5 pour 100, puisque 5 est la vingtième partie de 100. Sur ce pied, le principal sera augmenté au bout d’un an d’un vingtième ; par conséquent il se trouvera augmenté en raison de 21 à 20 ; au bout de deux ans, il sera augmenté encore dans la même raison, c’est-à-dire, dans la raison de 21/20, multiplié par 21/20 ; au bout de trois ans, dans la raison de 21/20, multiplié trois fois par lui-même, et ainsi de suite. Et l’on trouve que de cette manière il aura presque doublé au bout de 15 ans et sera décuplé au bout de 53 ans. Réciproquement donc, puisqu’une somme payée actuellement deviendra double au bout de 15 ans, il est clair qu’une somme qui ne devrait être payée qu’au bout de 15, n’aura actuellement qu’une valeur moitié moindre : c’est ce qu’on nomme la valeur présente d’une somme payable au bout d’un certain temps ; et il est clair que pour trouver cette valeur, il n’y aura qu’à diviser la somme proposée autant de fois par la fraction 21/20, ou bien la multiplier autant de fois par la fraction 20/21 qu’il y aura d’années à courir. Ainsi on trouvera de même qu’une somme payable au bout de 53 ans ne vaut à présent qu’un dixième ; d’où l’on voit combien peu d’avantage il y aurait à se défaire de la propriété absolue d’un fonds, pour n’en conserver la jouissance que pendant 50 ans, par exemple, puisque l’on ne gagnerait par là que le dixième en jouissance, tandis qu’on aurait perdu la propriété pour l’éternité.

28Dans les rentes viagères, la considération de l’intérêt se combine avec la probabilité de la vie, et comme chacun croit toujours pouvoir vivre très longtemps, et que, d’un autre côté, on peut ne pas faire beaucoup de cas d’une propriété qu’on est obligé d’abandonner en mourant, il en résulte un attrait particulier, quand on n’a point d’enfants, pour mettre son bien, en tout ou en partie, à fonds perdu. Néanmoins, quand on calcule une rente viagère à la rigueur, elle ne présente pas assez d’avantage, pour engager à y sacrifier la propriété du fonds.

29Aussi, toutes les fois qu’on a voulu créer des rentes viagères assez attrayantes pour engager les particuliers à s’y intéresser, il a fallu les faire à des conditions onéreuses pour l’établissement.

30Mais nous en dirons davantage là-dessus, lorsqu’on exposera la théorie des rentes viagères, qui est une branche du calcul des probabilités.

31Je finirai par dire encore un mot sur les logarithmes. L’idée la plus simple qu’on puisse se former de la théorie des logarithmes, tels qu’ils sont dans nos tables usuelles, consiste à exprimer tous les nombres par des puissances de 10 et ainsi les exposants de ces puissances en sont les logarithmes. De cette manière il est clair que la multiplication et la division de deux nombres se réduit à l’addition et à la soustraction des exposants respectifs, c’est-à-dire de leurs logarithmes, et par conséquent l’élévation aux puissances et l’extraction des racines se réduit à la multiplication ou à la division, ce qui est d’un avantage immense dans l’arithmétique, et y rend les logarithmes si précieux.

32Mais à l’époque où l’on a inventé les logarithmes, on ne connaissait pas encore cette théorie des puissances, on ne pensait pas que la racine d’un nombre pût être regardée comme une puissance fractionnaire. Voici comment on y est parvenu.

33L’idée primitive est celle de deux progressions correspondantes, une arithmétique, l’autre géométrique : c’est ainsi qu’on les a conçues ; mais il fallait trouver le moyen d’avoir les logarithmes de tous les nombres. Comme les nombres suivent la progression arithmétique, pour qu’ils puissent se trouver tous parmi les termes d’une progression géométrique, il est nécessaire d’établir cette progression de manière que les termes successifs soient très rapprochés l’un de l’autre, et pour prouver la possibilité d’exprimer ainsi tous les nombres, l’inventeur Néper les a d’abord considérés comme exprimés par des lignes et des parties de lignes, et il a considéré ces lignes, comme engendrées par le mouvement continuel d’un point, ce qui est très naturel.

34Il a donc considéré deux lignes : la première engendrée par le mouvement d’un point qui décrit en temps égaux des espaces en progression géométrique, et l’autre engendrée par un point qui décrit des espaces qui augmentent comme les temps, et qui forment par conséquent une progression arithmétique correspondante à la géométrique. Et il a supposé, pour plus de simplicité, que les vitesses relatives de ces deux points étaient égales, ce qui lui a donné les logarithmes qu’on a d’abord appelés naturels, ensuite hyperboliques lorsqu’on a reconnu qu’ils pouvaient être exprimés par l’aire de l’hyperbole entre les asymptotes. De cette manière, il est clair que pour avoir le logarithme d’un nombre quelconque donné, il ne s’agira que de prendre sur la première ligne une partie égale au nombre donné, et chercher quelle partie de la seconde ligne aura été décrite en même temps que cette partie de la première.

35Conformément à cette idée, si on prend par les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres très peu différents 1 et 1,0000001, et pour ceux de la progression arithmétique, 0 et 0,0000001 ; et qu’on cherche successivement par les règles connues tous les termes suivants des deux progressions, on trouve que le nombre 2 est, à la huitième décimale près, le 6 931 472e de la progression géométrique : de sorte que le logarithme de 2 est 0,6931472, le nombre 10 se trouve le 23 025 858e de la même progression. Par conséquent, le logarithme de 10 est 2,3025850, et ainsi des autres. Mais Néper, n’ayant pour objet que de déterminer les logarithmes des nombres moindres que l’unité pour l’usage de la trigonométrie où les sinus et cosinus des angles sont exprimés en fractions du rayon, a considéré la progression géométrique décroissante dont les deux premiers termes seraient 1 et 0,9999999, et il en a déterminé, par des calculs immenses, les termes suivants. Dans cette hypothèse, le logarithme que nous venons de trouver pour le nombre 2, devient celui du nombre 1/2 ou 0,5, et celui du nombre 10 se rapporte au nombre 1/10 ou 0,1, ce qui est facile à concevoir par la nature des deux progressions.

  • 3 Lagrange exprime toujours le même souci d’examen des méthodes a posteriori, a priori, etc. (cf. In (...)

36Ce travail de Néper parut en 1614 ; on en sentit tout de suite l’utilité et on sentit en même temps qu’il serait plus conforme au système décimal de notre arithmétique, et par conséquent beaucoup plus simple de faire en sorte que le logarithme de 10 fût l’unité, moyennant quoi celui de 100 serait 2, et ainsi de suite. Pour cela, au lieu de prendre, pour les deux premiers termes de la progression géométrique, les nombres 1 et 1,0000001, il aurait fallu prendre les nombres 1 et 1,0000002302, en conservant 0 et 0,0000001 pour les termes correspondants de la progression arithmétique ; d’où l’on voit que, tandis que le point qui est supposé engendrer par son mouvement la ligne géométrique ou des nombres aurait décrit la partie très petite 0,0000002302..., l’autre point qui doit engendrer en même temps la ligne arithmétique ou des logarithmes, aurait parcouru la partie 0,0000001 ; et qu’ainsi les espaces décrits en même temps par ces deux points au commencement de leur mouvement, c’est-à-dire leurs vitesses initiales, au lieu d’êtres égales, comme dans le système précédent, seraient dans le rapport des nombres 2,302... à 1, où l’on remarquera que le nombre 2,302... est précisément celui qui, dans le premier système des logarithmes naturels exprime le logarithme de 10. Ce qui peut aussi se démontrer a priori3, comme nous le verrons, lorsqu’on appliquera à la théorie des logarithmes les formules algébriques. Briggs, contemporain de Néper, est l’auteur de ce changement, dans le système des logarithmes, ainsi que des tables de logarithmes dont on fait usage communément. Il en a calculé une partie, et le reste l’a été par Vlacq, Hollandais.

  • 4 Dans l’édition de la leçon qui figure dans les Œuvres de Lagrange, avant la phrase finale la leçon (...)

37Ces tables parurent à Goude en 1628, elles contiennent les logarithmes de tous les nombres depuis 1 jusqu’à 100 000, calculés jusqu’à dix décimales, et elles sont maintenant très rares, mais on a reconnu depuis que, pour les usages ordinaires, sept décimales suffisaient et c’est ainsi qu’ils se trouvent dans les tables dont on se sert journellement. Briggs et Vlacq employèrent différents moyens très ingénieux pour faciliter leur travail. Celui qui se présente le plus naturellement et qui est encore un des plus simples, c’est de partir des nombres 1, 10, 100, etc., dont les logarithmes sont 0, 1, 2, etc., et d’intercaler, entre les termes successifs des deux séries, autant de termes correspondants qu’on voudra, dans la première par des moyennes proportionnelles géométriques, et dans la seconde par des moyennes arithmétiques. De cette manière, quand on sera parvenu à un terme de la première série, qui approchera jusqu’à la huitième décimale du nombre donné dont on cherche le logarithme, le terme correspondant de l’autre série sera, à la huitième décimale près, le logarithme de ce nombre. Par exemple, pour avoir le logarithme de 2, comme 2 tombe entre 1 et 10, on cherche d’abord, par l’extraction de la racine carrée de 10, le moyen proportionnel géométrique entre 1 et 10 ; on trouve 3,1627766, et le moyen arithmétique correspondant entre 0 et 1, sera 1/2, ou bien 0,50000000, ainsi on est assuré que ce dernier nombre est le logarithme de l’autre. Puisque 2 est encore entre 1 et le nombre qu’on vient de trouver, on cherchera de même le moyen proportionnel géométrique entre ces deux nombres, on trouve le nombre 1,37823941 ; ainsi, en prenant de même le moyen arithmétique entre 0 et 0,50000000, on aura le logarithme de ce nombre, lequel sera 0,25000000. Maintenant 2 étant entre ce dernier nombre et le précédent, il faudra, pour en approcher toujours, chercher le moyen géométrique entre ces deux-ci, ainsi que le moyen arithmétique entre leurs logarithmes, et ainsi de suite. On trouve ainsi, par un grand nombre de pareilles opérations, que le logarithme de 2 est 0,3010300, que celui de trois est 0,4771213, etc., en ne poussant l’exactitude que jusqu’à la huitième décimale. Mais ce calcul n’est nécessaire que pour les nombres premiers, car pour ceux qui sont le produit de deux ou de plusieurs leurs logarithmes se trouvent en faisant simplement la somme de logarithmes de leurs facteurs4.

38Comme le temps destiné dans cette séance aux mathématiques est déjà écoulé, nous remettrons la conférence à la décade prochaine.

Notes

1 Cette conférence a été prononcée un quintidi, jour consacré à une séance de débats (le 16 pluviôse) et publiée dans le tome 1 des débats en 1795 aussi bien qu’en 1800. Mais elle doit incontestablement être considérée comme une leçon, et a été insérée comme telle dans l’édition des Œuvres de Lagrange. La deuxième leçon de Lagrange, celle du 6 ventôse, prononcée également le jour d’un débat, fut par contre insérée parmi les leçons dès 1795. On pourra se reporter à l’annexe 4, sur la théorie des fractions continues, qui doit faciliter la lecture de cette première leçon aux lecteurs pour qui la théorie est totalement inconnue. En effet, l’exposé de Lagrange est rapide, et pas toujours explicite.

2 Il est intéressant de souligner cette phrase de Lagrange qui confirme que l’objectif de rectifier la langue des sciences, tout à fait conforme aux préoccupations condillaciennes, était non seulement un des thèmes favoris de Garat, mais qu’il avait été discuté collectivement par les professeurs de l’École normale et remportait l’adhésion de plusieurs d’entre eux. Ici Lagrange propose la suppression du terme de « proportion arithmétique » tout en maintenant celui de « progression arithmétique », alors que Laplace, dans sa deuxième leçon (p. 55) comme dans le débat précédent (p. 199), utilisait les deux.

3 Lagrange exprime toujours le même souci d’examen des méthodes a posteriori, a priori, etc. (cf. Introduction aux leçons de Lagrange). Mais en fait il n’aura pas le temps d’effectuer ultérieurement la tâche qu’il mentionne ici. Ce qui confirme le fait que les professeurs n’avaient pas véritablement planifié tout leur programme.

4 Dans l’édition de la leçon qui figure dans les Œuvres de Lagrange, avant la phrase finale la leçon se poursuit par le paragraphe suivant :
« Au reste comme il n’est plus question de calculer des logarithmes, si ce n’est dans des cas particuliers, on pourrait regarder comme inutile le détail où nous venons d’entrer ; mais on doit être curieux de connaître la marche souvent indirecte et pénible des inventeurs, les différents pas qu’ils ont faits pour parvenir au but, et combien on est redevable à ces véritables bienfaiteurs des hommes. Cette connaissance d’ailleurs n’est pas de pure curiosité : elle peut servir à guider dans des recherches semblables, et elle sert toujours à répandre une plus grande lumière sur les objets dont on s’occupe.
« Les logarithmes sont d’un usage universel dans les sciences et même dans les arts qui dépendent du calcul. En voici, par exemple, une application bien sensible.
« Ceux qui ne sont pas tout à fait étrangers à la musique savent que l’on exprime les différents sons de l’octave par les nombres qui déterminent les parties d’une même corde tendue, qui rendraient ces mêmes sons ; ainsi le son principal étant exprimé par 1, son octave le sera par 1/2, la quinte par 2/3, la tierce par 4/5, la quarte par 3/4, la seconde par 8/9, et ainsi des autres. La distance d’un des sons à l’autre s’appelle intervalle, et doit se mesurer, non par la différence, mais par le rapport des nombres qui expriment les deux sons. Ainsi l’on regarde l’intervalle entre la quarte et la quinte, appelé ton majeur, comme sensiblement double de celui entre la tierce et la quarte, appelé semi-ton majeur. En effet, le premier se trouve exprimé par 8/9, le second par 15/26, et le premier ne diffère pas beaucoup du carré du second, ce qui est aisé à vérifier ; or il est clair que cette considération des intervalles, sur laquelle est fondée toute la théorie du tempérament, conduit naturellement aux logarithmes ; car si l’on exprime les valeurs des différents sons par les logarithmes des longueurs des cordes qui y répondent, alors l’intervalle d’un son à l’autre sera exprimé par la différence même de valeur de ces sons ; et si l’on voulait diviser l’octave en douze semi-tons égaux, ce qui donnerait le tempérament le plus simple et le plus exact, il n’y aurait qu’à diviser le logarithme de 1/2, valeur de l’octave, en douze parties égales. »

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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