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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Septième leçon

11 germinal / 31 mars

Volltext

1Pour bien connaître les propriétés des corps, on a d’abord fait abstraction de leurs propriétés particulières, et l’on n’a vu en eux qu’une étendue figurée, mobile et impénétrable. On a fait encore abstraction de ces deux dernières propriétés générales en considérant l’étendue simplement comme figurée. Les nombreux rapports qu’elle présente sous ce point de vue sont l’objet de la géométrie. Enfin, par une abstraction encore plus grande, on n’a envisagé dans l’étendue qu’une quantité susceptible d’accroissement et de diminution ; c’est l’objet de la science des grandeurs en général, ou de l’arithmétique universelle, dont nous nous sommes occupés dans les leçons précédentes. Ensuite on a restitué successivement aux corps les propriétés dont on les avait dépouillés ; l’observation et l’expérience en ont fait connaître de nouvelles, et l’on a déterminé les nouveaux rapports qui naissaient de ces additions successives, en s’aidant toujours des rapports précédemment découverts. Ainsi, la mécanique, l’astronomie, l’optique, et généralement toutes les sciences qui s’appuient à la fois sur l’observation et le calcul, ont été créées et perfectionnées. Vous voyez par là que ces sciences diverses s’enchaînent les unes aux autres, et qu’elles ont une source commune dans la science des grandeurs dont l’utile influence s’étend sur toute la philosophie naturelle. Cette méthode de décomposer les objets et de les recomposer pour en saisir parfaitement les rapports, se nomme analyse. L’esprit humain lui est redevable de tout ce qu’il sait avec précision sur la nature des choses.

2L’étendue figurée dont je me propose de vous entretenir ici n’existe qu’avec trois dimensions ; mais pour la considérer suivant la méthode analytique, on commence par la dépouiller de deux de ces dimensions ; et en la réduisant ainsi à une seule, on a l’idée de la ligne. Si, dans cette idée, on écarte tout rapport avec deux dimensions, on a l’idée de la ligne droite ; car, quoiqu’une ligne courbe n’ait qu’une dimension, cependant l’idée de la courbure suppose nécessairement la considération de deux dimensions. L’extrémité de la ligne forme le point qui est la dernière abstraction de l’entendement dans la considération de l’étendue. La surface est l’étendue envisagée avec deux dimensions, et si, dans cette idée, on fait entièrement abstraction de la troisième, on a l’idée du plan. Enfin, l’étendue avec ses trois dimensions forme le solide.

  • 1 L’introduction de cette leçon est directement inspirée du Discours préliminaire à l’Encyclopédie d (...)

3La ligne droite est la plus courte de toutes celles que l’on peut mener d’un point à un autre1.

4Si deux droites se rencontrent en deux points, elles se confondent ; si elles ne se rencontrent que dans un point, elles forment un angle par leur inclinaison mutuelle.

5Deux droites qui, prolongées à l’infini, de chaque côté, ne se rencontrent jamais, sont parallèles. Les perpendiculaires élevées sur l’une de ces lignes, et prolongées jusqu’à l’autre ligne, sont toutes égales. Les parallèles sont également inclinées sur une droite quelconque.

  • 2 Monge dit à peu près la même chose dans sa leçon.

6La démonstration de ces propositions fort simples laisse peut-être quelque chose à désirer du côté de la rigueur ; mais leur seul énoncé produit la conviction la plus entière. Il ne faut donc pas, dans l’enseignement, insister sur ce qui peut manquer encore à la rigueur des preuves que l’on en donne, et l’on doit abandonner cette discussion aux métaphysiciens géomètres, du moins, jusqu’à ce qu’elle ait été suffisamment éclaircie pour ne laisser aucun nuage dans l’esprit des commençants. Les sciences même les plus exactes renferment quelques principes généraux que l’on saisit par une sorte d’instinct qui ne permet pas d’en douter, et auquel il est bon de se livrer d’abord. Après les avoir suivis dans toutes leurs conséquences et s’être fortifié l’esprit par un long exercice dans l’art de raisonner, on peut, sans danger, revenir sur ces principes qui se présentent alors dans un plus grand jour, et l’on risque moins de s’égarer en cherchant à les démontrer avec rigueur. Si l’on insiste trop en commençant, sur l’exactitude de leurs démonstrations, il est à craindre que de vaines subtilités ne produisent de fausses idées qu’il est très difficile ensuite de rectifier. Malheureusement, les exemples de personnes égarées pour toujours par ces subtilités ne sont pas rares2. Cependant, on ne peut se dispenser d’une extrême rigueur dans l’enseignement de la géométrie que relativement aux premières propositions sur la ligne droite et les parallèles ; tout le reste doit être démontré de la manière la plus rigoureuse, car, s’il est utile d’écarter les subtilités d’une fausse métaphysique, il importe également d’accoutumer l’esprit à n’accorder une entière confiance qu’aux choses parfaitement prouvées, et rien n’est plus propre à remplir ce double objet que les démonstrations exactes et sensibles de la géométrie.

7L’uniformité de la courbure de la circonférence en fait la mesure la plus naturelle des angles. En supposant le sommet d’un angle, au centre d’un cercle dont le rayon représente l’unité, cet angle peut être pris pour l’arc même, intercepté entre ses côtés. Il n’est pas même nécessaire que le sommet de l’angle soit au centre pour que la circonférence puisse lui servir de mesure. En vertu d’une propriété remarquable du cercle, quelle que soit la position de ce sommet, l’angle sera toujours mesuré par la demi-somme de deux arcs compris entre ses côtés prolongés, si cela est nécessaire, l’arc convexe vers le sommet étant pris négativement.

  • 3 C’est-à-dire si le polygone est convexe (décomposition en triangles à partir d’un sommet).

8L’égalité de la somme des trois angles, à deux angles droits, est un des résultats les plus utiles de la géométrie élémentaire. En général, dans un polygone quelconque qui n’a point d’angles rentrants3, la somme de tous les angles intérieurs est égale à deux fois autant d’angles droits que le polygone a de côtés, moins quatre angles droits.

  • 4 Le théorème énoncé est connu aujourd’hui en France sous le nom de « théorème de Thalès ». Laplace (...)

9Une des parties les plus importantes des éléments, est la théorie des lignes proportionnelles. Cette théorie est fondée sur la proposition suivante : Une droite, menée parallèlement à la base d’un triangle, divise ses côtés en parties proportionnelles4. Il est facile de la démontrer quand un des côtés et sa partie sont commensurables, car, si l’on porte la commune mesure sur ce côté et si par les extrémités de toutes les divisions on mène des parallèles à la base, on prouve aisément qu’elles divisent le second côté dans le même nombre de parties égales, et qu’ainsi l’une quelconque de ces parallèles partage les deux côtés en parties proportionnelles. Si le côté et sa partie sont incommensurables, nommons A et a, les deux côtés du triangle ; B et b, leurs parties retranchées par la parallèle à la base. Si l’on conçoit le côté A, divisé dans un nombre n de parties égales, et si l’on porte une de ces parties sur B, elle y sera contenue un certain nombre de fois, avec un reste, que je désigne par R. En menant donc par l’extrémité de B – R une droite parallèle à la base, elle retranchera du côté a une partie b – r, telle que

10Le nombre n pouvant être augmenté à volonté, les restes R et r peuvent être diminués à l’infini ; la différence B/Ab/a est donc plus petite qu’aucune grandeur donnée. Or deux quantités dont on peut prouver que la différence est moindre qu’aucune grandeur donnée, sont évidemment égales entre elles ; c’est en cela que consiste le premier principe de la méthode des limites ; on a donc B/A = b/a.

11On nomme figures semblables celles qui ont les angles correspondants égaux et les côtés homologues proportionnels. Dans deux triangles, l’égalité des angles correspondants entraîne la proportionnalité des côtés homologues, et réciproquement.

12Deux figures sont semblables quand elles sont formées d’un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés.

13Si d’un point fixe quelconque, on mène des droites aux angles d’un polygone, et si l’on prolonge ces droites proportionnellement à leurs longueurs, en joignant leurs extrémités, on formera un second polygone semblable au premier. Deux points placés sur une droite menée par le point fixe, du même côté, et à des distances de ce point proportionnelles aux côtés des polygones, sont semblablement placés par rapport à ces polygones ; deux droites terminées par des points semblablement placés, sont elles-mêmes semblablement placées ; elles sont homologues et proportionnelles aux côtés des polygones.

14Ainsi, l’on peut, dans un très petit espace, représenter exactement les contours d’une grande figure tracée sur un vaste terrain et la position des objets qu’elle renferme. Si des deux extrémités d’une base prise à volonté sur le terrain, on observe les angles que les rayons visuels des objets forment avec elle ; si l’on prend ensuite sur le papier une ligne pour représenter la base, et que l’on mène par ses extrémités, des droites qui fassent avec elle les mêmes angles que les rayons visuels des objets font avec la base, les points de concours de ces droites détermineront sur le papier la position respective de ces objets ; le rapport de leur distance mutuelle à la base sera le même dans les deux figures. Voilà une des applications les plus usuelles et les plus utiles de la géométrie.

  • 5 Laplace adopte la démarche que Descartes suivait au tout début de sa Géométrie (« Comment le calcu (...)

15Considérons maintenant les surfaces. Celle d’un rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur. Pour avoir une idée juste de ce que l’on doit entendre par le produit de deux lignes, il faut concevoir une droite quelconque prise pour unité, et considérer ces lignes comme des nombres abstraits qui expriment les rapports de leurs longueurs à l’unité linéaire. Le produit de ces lignes sera le carré formé sur l’unité linéaire, répété autant de fois qu’il y a d’unités dans le produit des deux nombres précédents5.

16En général, on peut multiplier ou diviser un nombre quelconque de lignes les unes par les autres, extraire ensuite les racines de ces produits, ou de ces quotients, ces lignes étant considérées comme des nombres abstraits ; la dimension du résultat final indiquera l’espèce de ses unités. Ainsi en multipliant quatre lignes les unes par les autres et extrayant la racine carrée du produit, le résultat sera une surface égale au carré de l’unité linéaire, répété autant de fois qu’il y a d’unités dans cette racine.

  • 6 Laplace propose à nouveau une démonstration analytique d’une propriété géométrique, l’expression d (...)

17Il est facile de démontrer que la surface du rectangle est le produit de sa base par sa hauteur quand l’une et l’autre sont commensurables ; si elles sont incommensurables, on le prouvera par un raisonnement analogue à celui que nous avons employé relativement aux lignes proportionnelles6.

  • 7 Cette propriété des surfaces homothétiques qui sont dans le carré du rapport d’homothétie fut une (...)

18Un parallélogramme est égal en surface au rectangle de même base et de même hauteur. La surface d’un triangle est la moitié du produit de sa base par sa hauteur. Les surfaces des figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues7. Le carré formé sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés formés sur ses côtés. Si, d’un point fixe, on mène à la circonférence d’un cercle une droite indéfinie, le produit des deux parties de cette droite, comprise entre le point fixe et chacun des points où elle rencontre la circonférence, est toujours le même, quelle que soit la position de la droite, pourvu qu’elle passe par le point fixe ; ce qui fournit divers procédés pour trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données. Je ne fais que vous rappeler ces théorèmes qui vous sont bien connus, mais je dois observer que la belle propriété des triangles rectangles et celle des triangles semblables sont les principaux résultats que l’analyse emprunte de la géométrie, dans ses applications.

  • 8 Comme Laplace ne précise pas que le polygone est régulier, l’énoncé qu’il fournit est faux. Remarq (...)
  • 9 Laplace, par ce principe cavalier, affirme que toute « expression » est continue au sens que ce mo (...)

19La surface d’un polygone quelconque circonscrit au cercle est la moitié du produit du rayon par le contour du polygone, d’où il suit que les surfaces des polygones circonscrits sont entre elles comme leurs périmètres. Il en résulte encore que la surface du cercle est le produit du rayon par la demi-circonférence ; mais ce passage du polygone au cercle mérite une attention particulière. Il est visible que plus on multiplie les côtés du polygone circonscrit, plus son périmètre approche en longueur de la circonférence, plus sa surface approche de celle du cercle8. Ainsi le produit du rayon par le demi-contour des polygones successifs a pour limite le produit du rayon par la demi-circonférence, puisqu’il en approche sans cesse, et qu’il peut en différer moins que d’aucune grandeur donnée. La surface de ces polygones a pareillement la surface du cercle pour limite : or il est évident que les deux limites d’une grandeur et de son expression doivent être égales entre elles ; c’est en cela que consiste le second principe qui peut s’énoncer ainsi : la limite de l’expression d’une suite de grandeurs est l’expression de la limite de ces grandeurs9 ; la surface du cercle est donc égale au produit du rayon par la demi-circonférence.

20La méthode des limites sert de base au calcul infinitésimal. Pour faciliter l’intelligence de ce calcul, il est utile d’en faire remarquer les premiers germes dans les vérités élémentaires qu’il convient toujours de démontrer suivant les méthodes les plus générales. On donne ainsi à la fois aux élèves des connaissances et la méthode pour en acquérir de nouvelles. En continuant de s’instruire, ils ne font que suivre la route qui leur a été tracée, et dans laquelle ils ont contracté l’habitude de marcher ; et la carrière des sciences leur devient beaucoup moins pénible. D’ailleurs, le système des connaissances liées entre elles par une méthode uniforme peut mieux se conserver et s’étendre. Préférez donc, dans l’enseignement, les méthodes générales, attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même temps qu’elles sont presque toujours les plus faciles.

  • 10 Voir la note 29.

21Toutes les tentatives que l’on a faites pour déterminer le rapport de la circonférence au diamètre, ont été infructueuses : on est parvenu à s’assurer qu’il est irrationnel10 ; mais ce rapport est maintenant connu avec une précision beaucoup plus grande que ne l’exigent nos besoins, en sorte que le rapport rigoureux n’est qu’un objet de curiosité. Pour en avoir la valeur approchée, on a inscrit et circonscrit au cercle des polygones réguliers, en doublant continuellement leurs côtés, et en déduisant les contours de ces polygones, successivement les uns des autres, ce qui peut se faire par des procédés fort simples. On est ainsi parvenu à deux polygones inscrits et circonscrits dont les contours différaient très peu de la circonférence et la comprenaient entre eux. Archimède a trouvé de cette manière, au moyen de deux polygones de 96 côtés, que le rapport de la circonférence au diamètre n’était, ni plus grand que 3(10/70), ni moindre que 3(10/71), en sorte qu’il est fort approchant de celui de 22 à 7, et ce rapport suffit aux besoins des arts. Le rapport plus approché de 355 à 113, suffit dans tous les cas.

22Par une propriété remarquable, le cercle est de toutes les figures qui ont le même périmètre celle qui renferme le plus grand espace.

23La considération de la ligne droite et de la circonférence, donne lieu à beaucoup de problèmes très piquants, dont on peut trouver des solutions fort élégantes ; un choix bien fait de ces problèmes que l’on proposerait à résoudre aux élèves exercerait leur esprit d’une manière utile et graverait, dans leur mémoire, les propositions les plus intéressantes de la géométrie.

24Si l’on en croit plusieurs historiens de l’antiquité, la géométrie doit sa naissance à l’arpentage ; mais il est plus vraisemblable que les besoins des arts ont fait découvrir les diverses propositions géométriques qui leur sont relatives et que l’ensemble de ces propositions étendues et multipliées par les spéculations des philosophes, a formé la géométrie. La méthode qui se présente le plus naturellement pour mesurer la surface d’un grand terrain consiste à le dessiner en petit et à évaluer la surface du petit polygone en la réduisant à un carré, ce qui est facile ; en multipliant ensuite cette surface par le carré du rapport de deux lignes homologues dans le grand et dans le petit polygone, on a la surface du plus grand ; mais on peut l’obtenir avec plus de précision sans recourir à la considération des polygones semblables.

25La figure dont on veut avoir la surface peut toujours être partagée en triangles ; la mesure de leurs côtés donnera leur surface, au moyen de ce théorème : La surface d’un triangle est égale à la racine carrée du produit de ces quatre lignes ; la demi-somme des côtés, et la différence de cette demi-somme, à chacun d’eux. Il serait très pénible, et souvent impossible, de mesurer chacun des côtés de ces triangles ; mais leur longueur étant déterminée par les mesures d’une base et des angles que font avec cette base, les rayons visuels de leurs extrémités observées des extrémités de la base, il ne s’agit que d’avoir le rapport de cette longueur à ces mesures ; et il est aisé de voir que ce problème se réduit à déterminer dans un triangle les angles et les côtés, lorsque, parmi ces six grandeurs, on en connaît assez pour que les autres soient déterminées. La solution de ce problème est l’objet de cette branche de la géométrie que l’on a nommée trigonométrie, et dont l’analyse même a su tirer de grands avantages.

26Si l’on conçoit un triangle inscrit dans un cercle, les côtés du triangle seront les cordes des arcs dont les moitiés mesurent les angles opposés ; une table qui donnerait en parties du rayon, les longueurs des cordes correspondantes à tous les arcs, depuis zéro jusqu’à la circonférence, ferait donc connaître les rapports des côtés du triangle, au moyen de ses angles, et réciproquement. C’est ainsi que l’on a, pendant longtemps, envisagé cet objet ; mais, puisque les angles du triangle inscrit n’ont pour mesure que la moitié des arcs compris entre leurs côtés, il paraît plus simple de faire correspondre aux arcs, dans les tables, les cordes des arcs doubles ; et pour ne pas considérer deux systèmes d’arcs, au lieu de ces cordes, on peut n’employer que leurs moitiés qui se déterminent, en abaissant une perpendiculaire de l’extrémité d’un arc simple sur le diamètre qui passe par l’autre extrémité.

27Les tables actuelles sont fondées sur ces considérations ; et ce changement qui paraît être peu de chose en lui-même est cependant d’une grande importance soit dans la géométrie, soit dans l’analyse.

  • 11 On dispose donc de sec α = 1/cos α. La sécante comme ligne trigonométrique va bientôt disparaître (...)

28La perpendiculaire dont je viens de parler se nomme sinus de l’arc ; le cosinus est la partie du diamètre comprise entre le centre et le sinus, c’est le sinus du complément de l’arc au quart de la circonférence. On a encore introduit dans la trigonométrie la considération des tangentes qui simplifie souvent les calculs. La tangente d’un arc est la droite qui touche une des extrémités de l’arc, et qui se termine à la rencontre du prolongement du rayon mené par l’autre extrémité. La sécante de l’arc est le rayon ainsi prolongé11. Les cotangentes et les cosécantes sont les tangentes et les sécantes du complément de l’arc au quart de la circonférence. Toutes ces grandeurs sont supposées divisées par le rayon que l’on prend pour unité, en sorte qu’elles sont des nombres abstraits. Il est facile de voir que la tangente est le rapport du sinus au cosinus et que la sécante est l’unité divisée par le cosinus.

29Le signe de ces diverses grandeurs mérite une attention particulière. Le sinus d’un arc est positif, depuis zéro jusqu’à la demi-circonférence : le cosinus devient négatif, on prend une position contraire, quand l’arc surpasse le quart de la circonférence. Si l’arc devient négatif, son sinus change de signe et son cosinus reste le même. Ainsi les résultats relatifs aux angles aigus, s’appliquent aux angles obtus, en y changeant le signe de leurs cosinus ; les résultats relatifs à la somme des deux angles, s’étendent à leur différence en faisant un des angles négatifs et en changeant le signe de son sinus.

30Quoiqu’un angle ne puisse jamais surpasser deux angles droits, cependant les géomètres qui cherchent toujours à s’élever aux plus grandes généralités ont considéré les arcs mesures des angles comme pouvant surpasser la demi-circonférence, et même un nombre quelconque de circonférences.

  • 12 Cette explication du caractère transcendant de la fonction sin x avait été déjà donnée par Leibniz

31Au-delà de la demi-circonférence, les sinus tombent au-dessous du diamètre qui passe par la première extrémité de l’arc ; ils redeviennent nuls, quand l’arc devient égal à la circonférence ; ensuite, ils sont positifs, et les mêmes que dans la première moitié de la circonférence. Il suit de là que le sinus d’un arc ne change point lorsque l’arc augmente d’un nombre quelconque de circonférences ; il ne fait que changer de signe lorsque l’arc augmente d’un nombre impair de demi-circonférences ; enfin, il est le même que le sinus d’un nombre impair de demi-circonférences, moins cet arc. Ainsi, à un même sinus, répondent une infinité d’arcs différents ; l’équation entre l’arc et le sinus doit par conséquent donner pour l’arc une infinité de valeurs ; elle n’est donc pas algébrique12. Nous donnerons, dans la suite, cette équation décomposée dans ses facteurs simples.

32Le cosinus d’un arc est positif dans le premier quart de la circonférence, et négatif dans le second quart ; il ne change point quand l’arc augmente d’un nombre quelconque de circonférences ; il ne fait que changer de signe quand l’arc augmente d’un nombre impair de circonférences.

33Le théorème fondamental de la théorie des sinus consiste en ce que le sinus de la somme de deux angles est égal au produit du sinus du premier, par le cosinus du second ; plus le produit du sinus du second, par le cosinus du premier. Si l’on fait dans ce théorème le second angle négatif, il donne le sinus de la différence de deux angles ; si l’on augmente d’un angle droit le premier angle, il donne le cosinus de la somme ou de la différence de deux angles. Ces divers résultats qui se déduisent d’un seul théorème par un changement convenable dans le signe des grandeurs, et qu’il est facile de démontrer d’une manière directe, sont très propres à faire comprendre la nature et les usages des quantités négatives.

34On peut, au moyen de ces résultats, déterminer successivement les sinus et les cosinus des angles multiples de la dix-millième partie de l’angle droit, quand on a ceux de ce petit angle, que l’on obtiendra de cette manière. La tangente de la moitié de l’angle droit, est égale à l’unité ; or la tangente de la moitié d’un angle, est le quotient de la division de la tangente de l’angle par l’unité plus la racine carrée du carré de la tangente augmenté de l’unité ; on aura donc, par une suite de divisions successives, la tangente du quart, du huitième, etc., de l’angle droit ; et l’on parviendra ainsi à la tangente d’un angle très petit. En observant ensuite que les tangentes de très petits angles sont à fort peu près proportionnelles à leurs arcs, on aura la tangente du dix-millième de l’angle droit et cette tangente pourra être prise pour le sinus du même angle. On aura son cosinus, en extrayant la racine carrée de la différence du sinus à l’unité.

35C’est par de semblables procédés, que les premières tables de sinus et de cosinus ont été construites ; il a suffit de les étendre jusqu’à la moitié de l’angle droit, parce que le sinus et le cosinus d’un angle sont les mêmes que le cosinus et le sinus de son complément.

36Depuis l’invention des logarithmes, les tables ne renferment que les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes, etc. ; car l’avantage de cette heureuse découverte se fait principalement sentir dans l’emploi de ces quantités, et la première table de logarithmes construite par Neper leur était relative.

  • 13 Selon le principe de la décimalisation, on introduit ainsi le grade : 100 grades faisant l’angle d (...)

37Les tables trigonométriques ne s’étendent que depuis zéro jusqu’à l’angle droit, parce qu’au-delà, les sinus, cosinus, etc., redeviennent les mêmes au signe près. Il est donc naturel de regarder cet intervalle, comme l’unité des angles, ainsi que le rayon est considéré comme l’unité des sinus ; or, il est avantageux, dans notre système arithmétique, de diviser toutes les unités en parties décimales ; l’angle doit donc être divisé de la même manière. Déjà, l’on avait substitué la division décimale du rayon, à la division sexagésimale que les anciens avaient adoptée pour le rayon et les angles ; mais on conservait la seconde de ces divisions. Dans le nouveau système des poids et mesures, la division décimale a été étendue aux angles eux-mêmes13 ; et c’est sur ce partage si naturel de l’angle droit, qu’est fondé le choix du mètre qui est la dix-millionième partie de l’angle droit mesuré par le quart du méridien terrestre.

  • 14 sin A/a = sin B/b = sin C/c, si a, b, c les côtés d’un triangle d’angles opposés respectivement A,(...)

38La résolution des triangles rectilignes est très facile, au moyen des tables dont je viens de parler. Si l’on connaît un côté et les deux angles adjacents, on a le troisième angle en retranchant de deux angles droits la somme des deux angles donnés ; on a ensuite les autres côtés en observant que les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés14.

  • 15

39Si l’on connaît deux côtés et l’angle compris, on a la somme des deux autres angles en retranchant l’angle connu de deux angles droits ; on a leur différence par cette proportion : la somme des deux côtés connus est à leur différence comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de leur demi-différence15.

  • 16

40Si l’on connaît les trois côtés du triangle, on a les angles par cette proportion : le produit des deux côtés qui comprennent un angle est au produit des deux restes que l’on obtient, en retranchant chacun de ces côtés de la demi-somme des trois côtés, comme l’unité est au carré du sinus de la moitié de l’angle compris entre les deux côtés16.

41Considérons présentement l’étendue avec ses trois dimensions. La rencontre des plans forme les angles solides des polyèdres, comme la rencontre des lignes forme les angles des polygones. Deux plans qui se rencontrent se coupent suivant une droite ; leur inclinaison mutuelle se mesure par l’angle que forment deux perpendiculaires menées dans chacun d’eux d’un même point de leur intersection commune.

42Une droite perpendiculaire à deux droites menées dans un plan est perpendiculaire au plan même.

43Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles, et alors toutes les perpendiculaires menées d’un plan à l’autre sont égales.

44Par deux droites quelconques données de position dans l’espace, ont peut toujours faire passer deux plans parallèles dont la distance mutuelle est la plus courte distance de ces droites.

45Si d’un point quelconque dans l’espace, on mène des droites à un plan, elles seront coupées proportionnellement par des plans parallèles au premier plan.

46La somme de tous les angles plans qui forment un angle solide est moindre que quatre angles droits.

47Telles sont les propriétés les plus remarquables des plans.

48On nomme prisme le solide dont les bases sont parallèles, et dont les arêtes des faces sont parallèles ; si les arêtes sont perpendiculaires à la base, le prisme est droit.

49La surface d’un prisme droit quelconque, sans y comprendre ses deux bases, est le produit de sa hauteur par le contour de sa base, résultat que l’on peut facilement étendre aux cylindres droits, par le principe de la théorie des limites, que nous avons exposé précédemment.

50La solidité d’un prisme droit, qui a pour base un rectangle, est égale au produit de sa hauteur par sa base ; ce qui se démontre de la même manière que le théorème sur la surface du rectangle ; et l’on doit faire ici une observation analogue à celle que nous avons déjà faite relativement au produit de deux lignes. On peut concevoir un prisme droit quelconque, partagé en autant de petits prismes rectangulaires qu’il y a de petits rectangles dans sa base, d’où il suit que la solidité du prisme est le produit de la somme de tous ces rectangles, c’est-à-dire de la base entière par sa hauteur ; il est facile de faire voir par les principes de la théorie des limites, que cela est généralement vrai dans le cas même où la base ne peut pas être partagée exactement en petits rectangles.

  • 17 Laplace emploie systématiquement la méthode des limites pour remplacer les démonstrations antiques (...)

51Si le prisme est oblique, supposons d’abord qu’il soit triangulaire, et concevons le partagé dans un grand nombre de petites tranches de même hauteur par des plans parallèles à sa base ; en prenant pour chacune de ces tranches le prisme droit qui a la même base, la différence ne peut être qu’une partie de ce prisme, d’autant moindre que sa hauteur est plus petite. Pour s’en convaincre, il n’est pas nécessaire d’évaluer cette différence ; il suffit d’observer qu’en la représentant par un prisme droit rectangulaire dont la longueur est toujours la même et dont la hauteur est celle de la tranche, la largeur de ce prisme diminue à mesure que l’on augmente le nombre des tranches ; alors, il est visible que le rapport de ce nouveau prisme au prisme droit, qui a même base et même hauteur que la tranche, diminue sans cesse, et devient moindre qu’aucune grandeur donnée ; le rapport de la tranche au prisme droit de même base et de même hauteur approche donc sans cesse de l’unité ; or ce rapport est évidemment le même que celui du prisme oblique entier au prisme droit de même base et de même hauteur, quel que soit le nombre des tranches ; ce dernier rapport diffère donc de l’unité moins que d’aucune grandeur donnée ; il est donc égal à l’unité ou, ce qui revient au même, le prisme oblique est égal au prisme droit de même base et de même hauteur17.

  • 18 Laplace va reprendre la démonstration précédente basée sur les limites pour justifier le calcul du (...)

52C’est sur de pareilles considérations que sont fondées les applications du calcul infinitésimal comme on le verra dans la suite ; on y néglige les quantités formées de deux dimensions qui diminuent sans cesse, relativement à celles qui n’ont qu’une semblable dimension ; mais pour faire sentir la justesse de ces omissions, et pour montrer qu’elles ne nuisent point à l’exactitude des résultats, il est bon de donner plus de développement aux démonstrations de ce genre dans les éléments de géométrie18.

53Concevons donc que, par les trois angles de la base supérieure d’une des tranches du prisme, on abaisse trois perpendiculaires sur sa base inférieure, et que l’on fasse passer trois plans par ces perpendiculaires prises deux à deux ; on formera un prisme droit triangulaire qui sera égal au produit de la base de la tranche par sa hauteur. On formera ensuite trois solides dont la somme sera évidemment moindre que la différence entre le prisme droit et la tranche. Chacun de ces solides est plus petit qu’un prisme droit de même base et de même hauteur, chaque base est un parallélogramme dont la longueur est le côté correspondant de la base de la tranche, et dont la largeur est moindre que l’arête de la tranche ; la somme des trois solides est donc moindre que le produit des contours de la base de la tranche par son arête et par sa hauteur ; la différence de la tranche au prisme droit de même base et de même hauteur est donc moindre que ce produit, et par conséquent, la différence entière de la somme de toutes les tranches ou du prisme oblique au prisme droit de même base et de même hauteur, est moindre que le produit de la hauteur du prisme par le contour de sa base et par l’arête d’une de ses tranches. En multipliant le nombre des tranches, on voit que cette différence peut être supposée moindre qu’aucune grandeur donnée ; elle est donc nulle. Ainsi, le prisme triangulaire est égal au produit de sa base par sa hauteur, et il est facile d’en conclure que cela est également vrai pour un prisme quelconque et pour le cylindre.

  • 19 Résultat obtenu par passage à la limite.

54Une pyramide est droite lorsque sa base est un polygone régulier dont le centre et le sommet de la pyramide sont sur une perpendiculaire à cette base. La surface d’une semblable pyramide, sans y comprendre sa base, est le produit du contour de la base par la perpendiculaire menée du sommet sur un de ses côtés ; d’où il suit que la surface du cône droit, est le produit de son côté par la circonférence de sa base19.

55Deux pyramides triangulaires de même base et de même hauteur sont égales en solidité. Pour le faire voir, concevons les deux pyramides sur un même plan, et partagées en tranches de même hauteur, par des plans parallèles à la base : il est facile de prouver que les sections seront respectivement égales en surface. Si l’on abaisse de chaque angle de la base supérieure d’une tranche de l’une des pyramides, trois perpendiculaires sur la base inférieure, on formera un prisme droit triangulaire, et trois solides dont la somme sera moindre que la différence entre la tranche et le prisme. La somme de ces trois solides est moindre que le produit du contour de la base inférieure de la tranche par sa hauteur et par la plus grande de ses arêtes ; la différence entre le prisme et la tranche est donc moindre que le produit du contour de la base de la pyramide par la plus grande arête de la tranche et par sa hauteur. En considérant pareillement la tranche correspondante dans la seconde pyramide, on voit que la différence entre le prisme droit qui lui correspond et cette tranche est moindre que le produit du contour de la base de cette seconde pyramide par la hauteur de la tranche et par la plus grande de ses arêtes : or, les deux prismes droits sont égaux dans les deux pyramides, puisqu’ils ont même base et même hauteur ; donc la différence des tranches correspondantes dans les deux pyramides est moindre que le produit de la somme des contours des bases des pyramides par la hauteur des tranches et par la plus grande arête des mêmes tranches : la différence entière des deux pyramides est par conséquent moindre que le produit de leur hauteur par la somme des contours de leurs bases, et par la plus grande arête de leurs tranches ; or, le nombre des tranches pouvant augmenter à l’infini, cette différence peut être supposée moindre qu’aucune grandeur donnée ; elle est donc nulle, et les deux pyramides sont égales en solidité.

  • 20 La démonstration que donne Laplace pour le volume de la pyramide est sans doute la plus soignée de (...)

56Il est facile d’en conclure par la décomposition du prisme triangulaire en trois pyramides triangulaires, qu’une pyramide triangulaire est le tiers du produit de sa base par sa hauteur, et que cela est généralement vrai pour une pyramide quelconque et pour un cône20.

57Si d’un point fixe quelconque, on mène des droites à tous les angles d’un polyèdre et qu’on les prolonge proportionnellement à leur longueur ; en faisant passer des plans par les extrémités de ces droites, on formera un nouveau polyèdre semblable au premier. Deux points situés sur une droite passant par le point fixe, et à des distances de ce point proportionnelles aux côtés homologues des deux polyèdres, seront semblablement placés, relativement à chacun d’eux ; deux lignes terminées par des points semblablement placées seront elles-mêmes semblablement placées ; deux surfaces planes terminées par des lignes semblablement placées, seront semblablement placées ; enfin, deux solides terminés par des plans semblablement placés, seront placés semblablement.

58Les lignes semblablement placées sont proportionnelles aux arêtes homologues de deux polyèdres semblables ; les surfaces semblablement placées sont proportionnelles aux carrés des lignes homologues ; les solides semblablement placés sont proportionnels aux cubes des mêmes lignes.

  • 21 L’histoire de cette relation relative aux données d’un polyèdre, communément attribuée à Euler (d’ (...)

59Quelle que soit la nature du polyèdre, il existe entre les nombres de ses angles solides, de ses faces et de ses arêtes, un rapport remarquable. Si l’on nomme a, b, c, ces trois nombres, on a généralement21 a + b = c + 2.

  • 22 La surface latérale du tronc, si θ désigne la latitude sur la sphère, et h la hauteur du tronc de (...)

60La surface d’un segment sphérique, sans y comprendre sa base, est égale au produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle de la sphère. Pour le faire voir, imaginons le segment partagé dans un nombre quelconque de tranches de même hauteur, par des plans parallèles à sa base. Concevons de plus une suite de troncs de cônes droits de même épaisseur que ces tranches, et dont la surface touche celle des tranches dans leur circonférence moyenne. Il est facile de s’assurer que la surface de chaque tronc de cône est le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle de la sphère22 ; la somme de ces surfaces est donc égale au produit de la hauteur du segment par cette circonférence ; or, en multipliant le nombre des tranches, cette somme approche sans cesse de la surface du segment et elle peut en différer moins que d’aucune grandeur donnée ; ainsi la surface de segment sphérique est le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle, d’où il suit que la surface entière de la sphère est le produit de son diamètre par sa circonférence : elle est quadruple de sa surface d’un de ses grands cercles, et la même que la surface extérieure du cylindre circonscrit ; et si l’on a égard aux bases du cylindre, la surface entière du cylindre est à celle de la sphère, comme 3 est à 2.

61Un polyèdre circonscrit à la sphère peut être partagé dans autant de pyramides qu’il a de faces, le sommet de ces pyramides étant au centre de la sphère. La hauteur de toutes ces pyramides est la même et égale au rayon ; la solidité du polyèdre est donc le tiers du produit de sa surface par le rayon, d’où il suit par la théorie des limites que cela s’étend à la sphère dont la solidité est par conséquent à celle du cylindre circonscrit, comme 2 est à 3, ou en raison des surfaces de ces corps.

62Ces beaux théorèmes dus à Archimède sont l’un des plus précieux monuments de l’antiquité. Leur connaissance étant aujourd’hui devenue familière, on remarque peu la difficulté que présentait alors la comparaison des surfaces convexes avec les surfaces planes ; cette comparaison est le germe des découvertes qui ont été faites depuis, dans la géométrie des courbes et des surfaces.

63Le rapport trouvé par Archimède entre les surfaces et les solidités de la sphère et du cylindre circonscrit, s’étend au cône et généralement à tous les corps circonscrits à la sphère ; les solidités de tous ces corps sont comme leurs surfaces, ce qui donne un moyen simple d’avoir la surface d’un cône droit coupé par un plan quelconque.

64Le rayon de la sphère étant pris pour unité, sa surface équivaut à deux circonférences ou à huit angles droits. Cette comparaison d’une surface à un angle ne présente aucune difficulté si l’on considère que la surface doit être divisée par le carré du rayon pris pour unité, et que l’angle est l’arc compris entre ses côtés, divisé par le rayon ; la surface et l’arc deviennent ainsi des nombres abstraits, et conséquemment comparables.

  • 23 Laplace ne justifie pas la formule analytique (Σaiπ (n – 2)) où les ai désignent les angles int (...)

65La surface d’un polygone sphérique23 qui n’a point d’angles rentrants est égale à l’excès de la somme de ses angles intérieurs, sur deux fois autant d’angles droits que le polygone a de côtés, moins quatre angles droits. On suppose les côtés du polygone formés par des arcs de grands cercles qui sur la sphère sont toujours les plus courtes lignes entre leurs points extrêmes.

  • 24 Lagrange avait évoqué cette analyse indéterminée en résolvant les équations linéaires dans la leço (...)

66Ce théorème donne une solution fort simple du problème qui consiste à déterminer en combien de manières on peut couvrir la surface d’une sphère avec des polygones égaux et réguliers. Ce problème dépendant de l’analyse indéterminée24 va nous fournir une application de cette analyse dont je ne vous ai donné qu’une idée très succincte.

67Soit x le nombre des côtés d’un des polygones réguliers qui recouvrent la sphère, y le nombre des angles qui s’assemblent autour d’un même point, et z le nombre des polygones. La surface de chaque polygone sera 8A/z ; A exprimant l’angle droit, mais z cette surface est égale à l’excès de la somme de ses angles intérieurs sur 2(x – 2) A ; la somme de ces angles est donc

68ainsi que chaque angle intérieur est égal à

69la somme des angles qui s’assemblent autour d’un même point est conséquemment égale à

70mais cette somme vaut quatre angles droits ; on a donc

71équation indéterminée dans laquelle x, y et z sont des nombres entiers positifs qui ne peuvent pas être plus petits que trois. Quoique cette équation renferme trois variables, on va voir cependant qu’elle ne peut être satisfaite que de huit manières. Elle peut se changer dans celle-ci z =4y/2x-y(x-2).

72Le dénominateur de cette fraction ne peut être négatif ; x ne doit donc pas surpasser 2 + 4/(y – 2) ; et par conséquent il ne peut pas excéder six. En le supposant égal à trois on a z = 4y/6 – y.

73Si l’on fait y = 3, on a z + = 12 ; on ne peut donc couvrir la sphère que d’une manière avec des polygones réguliers de cinq côtés.

74Supposons enfin, x = 6, nous aurons z = y/3 – y.

75Si l’on fait dans cette équation y = 3, on a z = 4 ; si l’on fait y = 4, on a z = 8 ; si l’on fait y = 5, on a z = 20 ; enfin, si l’on fait y = 6, on a z infini. Ainsi, l’on peut recouvrir la sphère avec quatre, ou huit, ou vingt, ou une infinité de triangles équilatéraux.

76Supposons x = 4, nous aurons z = 2y/4 – y.

77Si l’on fait y = 3, on a z = 6 ; si l’on fait y = 4, z devient infini ; on peut donc recouvrir la sphère avec quatre ou une infinité de polygones réguliers de quatre côtés.

78Supposons x = 5, nous aurons z = 4y/10-3y.

79Si l’on fait y = 3, on a z = 12 ; on ne peut donc couvrir la sphère que d’une manière avec des polygones réguliers de cinq côtés.

80Supposons enfin, x = 6, nous aurons z = 7/3 – y.

81Si l’on fait y = 3, z devient infini ; on ne peut donc couvrir la sphère que d’une manière avec des polygones réguliers de six côtés, en les prenant en nombre infini.

82Si l’on ne considère que des polygones finis, on voit que la sphère ne peut être recouverte avec des polygones égaux et réguliers que de cinq manières, savoir de trois manières avec des triangles, d’une manière avec des polygones de quatre côtés, et d’une manière avec des polygones de cinq côtés.

83Si l’on considère les polygones infiniment petits, on a encore trois manières de recouvrir la sphère, savoir : avec des triangles, des carrés et des hexagones. Or, si l’on suppose le rayon de la sphère infini, une partie finie de la surface se confond avec un plan ; on ne peut donc recouvrir que des trois manières précédentes une surface plane avec des polygones égaux et réguliers.

84Il suit de ce qui précède qu’il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers savoir : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre ; le premier, le troisième et le cinquième de ces corps, ayant des faces triangulaires, les faces des deux autres étant des carrés et des pentagones. En effet, les faces d’un polyèdre régulier devant être des polygones égaux, réguliers, et également inclinés les uns aux autres, il est clair que ce polyèdre peut être circonscrit à une sphère dont le centre est au point de concours des perpendiculaires élevées du centre de chaque face sur son plan. Si l’on conçoit des rayons menés de ce centre à tous les angles du polyèdre, ils marqueront sur la sphère les angles des polygones réguliers correspondants à chaque face ; il doit donc y avoir autant de corps réguliers qu’il y a de manières possibles de recouvrir une sphère avec des polygones égaux et réguliers.

85Les polyèdres qui répondent à l’infinité des petits polygones réguliers qui peuvent recouvrir la surface de la sphère se confondent avec la sphère elle-même, que l’on peut, sous ce point de vue, considérer comme un polyèdre régulier d’une infinité de faces.

  • 25 Voir l’annexe 11 : Sur la trigonométrie sphérique. Une des questions d’actualité étant de détermin (...)

86La trigonométrie sphérique25 a pour objet la détermination des angles et des côtés d’un triangle sphérique quand on connaît trois de ces six quantités. Si l’on conçoit des droites menées du centre de la sphère, aux angles d’un triangle, et si l’on coupe ces droites par un plan quelconque, on formera une pyramide triangulaire ; les côtés du triangle sphérique seront les mesures des angles plans qui, par leur réunion, forment l’angle solide du sommet de la pyramide ; les angles de ce triangle sphérique sont les inclinaisons mutuelles des plans qui concourent à ce sommet. Ainsi, la considération des pyramides triangulaires pouvait donner naissance à la trigonométrie sphérique ; mais cette science doit son origine à l’astronomie où elle est d’une nécessité indispensable, car l’observateur projette sans cesse les astres sur la surface d’une sphère indéfinie dont il se fait le centre.

87Les angles et les côtés d’un triangle sphérique étant de même nature, il paraît plus naturel de chercher directement leurs rapports que de les déterminer au moyen de leurs sinus et cosinus ; mais les équations, entre les arcs et les angles, sont transcendantes et fort compliquées, au lieu que les relations entre leurs sinus sont algébriques et fort simples.

88Toute la trigonométrie sphérique n’est que le développement de ces deux propositions fondamentales :

89Dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.

90Le cosinus d’un côté est égal au produit des cosinus des deux autres côtés, plus au produit de leurs sinus, multiplié par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent.

91Je vous engage à lire sur cet objet un excellent mémoire d’Euler, inséré parmi ceux de l’Académie des sciences de Pétersbourg, pour l’année 1779. Ce mémoire, quoique très court, est un traité complet de trigonométrie sphérique.

Anmerkungen

1 L’introduction de cette leçon est directement inspirée du Discours préliminaire à l’Encyclopédie de d’Alembert : « Dans cette étude que nous faisons de la nature, en partie par nécessité, en partie par amusement, nous remarquons que les corps ont un grand nombre de propriétés, mais tellement unies pour la plupart dans un même sujet qu’afin de les étudier chacune plus à fond nous sommes obligés de les considérer séparément. » Le mouvement et l’impénétrabilité sont conçus sans trop de peine tandis que « l’étendue figurée » provient du concept d’espace (« du moins, c’est ainsi que nos sens nous font juger, et s’ils nous trompent sur ce point, c’est une erreur si métaphysique, que notre existence et notre conservation n’ont rien à craindre et que nous y revenons continuellement, comme malgré nous par notre manière ordinaire de concevoir »). L’abbé Bossut, dans son Discours préliminaire à l’Encyclopédie méthodique (volume Mathématiques) que sortait Panckoucke en 1785 expliquait : « les Mathématiques pures considèrent la grandeur d’une manière simple, générale et abstraite : et par là elles ont le précieux avantage d’être fondées sur les notions primordiales de la quantité. Cette classe comprend, 1° l’Arithmétique ou l’Art de compter. 2° la Géométrie, qui apprend à mesurer l’étendue. 3° l’Analyse, science des grandeurs en général. 4° la Géométrie mixte, combinaison de la Géométrie ordinaire et de l’Analyse ». La propriété de la ligne droite que fournit Laplace tranche sur ce qui précède par l’intervention de la distance. Voir le débat antérieur du 11 pluviôse (30 janvier) où Monge et Fourier discutent à ce sujet et où un élève conclut en considérant que le débat est oiseux, (p. 320) et [Steinschneider, 1889]. Fourier basait également sur celle de la distance la définition de la droite, du plan et du cercle, comme lieux de points, mais il ne faisait pas intervenir une propriété d’extrêmum.

2 Monge dit à peu près la même chose dans sa leçon.

3 C’est-à-dire si le polygone est convexe (décomposition en triangles à partir d’un sommet).

4 Le théorème énoncé est connu aujourd’hui en France sous le nom de « théorème de Thalès ». Laplace en propose une démonstration par l’analyse, moyennant son acceptation pour les milieux, à savoir que dans un triangle une droite parallèle à la base et passant par le milieu d’un côté rencontre l’autre côté en son milieu. Legendre, dans ses Éléments de géométrie de 1794, presque aussitôt adoptés comme classiques, procédait à une toute autre démonstration qui restait entièrement géométrique (Proposition 15 du livre III) : elle reposait sur des évaluations d’aires et sur le fait que deux triangles de même hauteur ont des aires qui sont dans le rapport des bases : c’était exactement la démonstration euclidienne (Proposition 2 du livre VI des Éléments). Legendre avait réintroduit la rigueur euclidienne et cette manière était appréciée. Le choix de Laplace fut, lui, analytique, ce qui pour passer du cas commensurable au cas général lui permettait d’indiquer le rôle de la « méthode des limites », avatar automatisé de la méthode d’exhaustion illustrée par Euclide au livre XII des Éléments.

5 Laplace adopte la démarche que Descartes suivait au tout début de sa Géométrie (« Comment le calcul d’Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie », livre I). Les lignes géométriques (entendez les longueurs) sont réduites à des nombres grâce à l’intervention abstraite d’une unité. Elles se multiplient et se divisent comme des nombres. Ainsi, chez Laplace, la géométrie vient après la considération des grandeurs et de leurs rapports, c’est-à-dire des nombres abstraits, dont elle dérive. C’est ce qu’il exprimait a priori pour des raisons philosophiques au début de cette leçon alors qu’il reprenait l’exposé analytique des Encyclopédistes, en l’occurrence celui de d’Alembert dans le Discours préliminaire à l’Encyclopédie. Bossut, nous l’avons vu, adoptait un ordre différent, plus classique, en plaçant la géométrie après l’arithmétique, mais avant l’analyse, ou science des grandeurs. Plus loin, Laplace indique que l’analyse n’utilise véritablement de la géométrie que le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et le théorème sur les surfaces homothétiques. Il y a là une continuité puisque Descartes ne retenait que les deux premiers pour son « calcul ».

6 Laplace propose à nouveau une démonstration analytique d’une propriété géométrique, l’expression de la surface d’un rectangle, en passant du cas entier à celui des rationnels puis à des nombres quelconques. Legendre s’essayait lui aussi dès 1794 à prouver cette propriété, mais il croyait pouvoir la faire sans le secours de la théorie des limites, par le seul jeu de la méthode fonctionnelle, entendue comme une ressource abstraite. Voir [Dhombres, 1986b].

7 Cette propriété des surfaces homothétiques qui sont dans le carré du rapport d’homothétie fut une question quelquefois posée à l’automne 1794 pour le concours d’entrée à l’École polytechnique. Laplace aurait eu des difficultés à ce concours puisqu’il gommait toute difficulté de principe sur la définition d’une surface plane en général. Legendre démontrait (géométriquement) le cas de triangles semblables d’abord, puis passait au cas de polygones semblables. En note seulement, il tentait une démonstration fonctionnelle de cette même propriété.

8 Comme Laplace ne précise pas que le polygone est régulier, l’énoncé qu’il fournit est faux. Remarquons que, pour trouver l’aire du cercle, Laplace a besoin de deux résultats : le périmètre du polygone circonscrit tend vers celui du cercle et son aire tend vers celle du cercle.

9 Laplace, par ce principe cavalier, affirme que toute « expression » est continue au sens que ce mot a acquis depuis Cauchy ! Il n’emploie pas le mot « fonction » sans doute pour garder à son principe un caractère général par son évidence. Une fonction était, depuis Euler, envisagée au moins comme une expression analytique. Voir [Youschkevitch, 1976/1977] ; [Dhombres, 1986b].

10 Voir la note 29.

11 On dispose donc de sec α = 1/cos α. La sécante comme ligne trigonométrique va bientôt disparaître en France sous l’effet de l’uniformisation de l’enseignement des mathématiques. Il est remarquable que Laplace ne fasse aucune figure au cours de son explication tant de la trigonométrie plane que de la trigonométrie sphérique.

12 Cette explication du caractère transcendant de la fonction sin x avait été déjà donnée par Leibniz.

13 Selon le principe de la décimalisation, on introduit ainsi le grade : 100 grades faisant l’angle droit et des tables furent dressées, mais cette unité ne prit pas et reste une des curiosités du système français [Dhombres, 1991]. Laplace utilise le grade dans ses leçons et estime cette mesure plus naturelle. Il y restera fidèle jusque dans les dernières éditions de l’Exposition du système du monde.

14 sin A/a = sin B/b = sin C/c, si a, b, c les côtés d’un triangle d’angles opposés respectivement A, B et C.

15 Image fig03.jpg

16 Image fig04.jpg

17 Laplace emploie systématiquement la méthode des limites pour remplacer les démonstrations antiques sur le calcul des aires par la méthode d’exhaustion.

18 Laplace va reprendre la démonstration précédente basée sur les limites pour justifier le calcul du volume d’un prisme triangulaire oblique : l’ingrédient nouveau qu’il introduit consiste en des inégalités destinées à permettre l’estimation effective des volumes négligés lors du remplacement des tranches prismatiques obliques par des tranches droites. Cette seconde étape est particulièrement révélatrice d’une attitude que l’on pourrait qualifier de quantitative en calcul infinitésimal. Le fait qu’elle soit adoptée dans un cadre géométrique révèle le poids de la rigueur euclidienne, remise au goût du jour. Il restait à transposer ce souci de rigueur en analyse algébrique par exemple.

19 Résultat obtenu par passage à la limite.

20 La démonstration que donne Laplace pour le volume de la pyramide est sans doute la plus soignée de toutes celles publiées dans les traités au cours du xviiie siècle, notamment si l’on compare avec la démarche de E. Bézout ou celle de J. M. Mazéas dans leurs Cours de Mathématiques. Sur la comparaison des démonstrations relatives au volume de la pyramide, voir [Laporte, 1987].

21 L’histoire de cette relation relative aux données d’un polyèdre, communément attribuée à Euler (d’après une lettre de ce dernier à Goldbach en 1750) a donné lieu à une remarquable analyse épistémologique de [Lakatos, 1976]. Voir aussi l’édition par P. Costabel du texte De solidorum elementis [Descartes, 1987]. Laplace n’a pas le sentiment que des conditions restrictives sur le polyèdre doivent être apportées (homéomorphie à une sphère). En 1794, Legendre proposait une nouvelle démonstration de la relation d’Euler, en utilisant les propriétés métriques des polygones sur une sphère.

22 La surface latérale du tronc, si θ désigne la latitude sur la sphère, et h la hauteur du tronc de cône, est 2 π R sin θ multiplié par h/sin θ, soit 2 π Rh. Elle ne dépend que de cette hauteur et c’est ce qui permet le succès de la méthode des limites de Laplace.

23 Laplace ne justifie pas la formule analytique (Σaiπ (n – 2)) où les ai désignent les angles intérieurs. Elle lui permet aussitôt une détermination des cinq solides réguliers, dits de Platon, qui faisait l’objet du dernier scholie de la dernière proposition du treizième et dernier livre des Éléments, pour laquelle était requise la proposition 21 du livre XI. Cette proposition indique que tout angle solide est contenu sous des angles dont la somme est plus petite que quatre droits, une propriété rappelée dans sa leçon par Laplace. Ainsi énonce le scholie d’Euclide : « Je dis aussi qu’excepté les cinq figures dont nous venons de parler, on ne peut pas construire une autre figure qui soit contenue sous des figures équilatérales et équiangles » (trad. F. Peyrard, Les œuvres d’Euclide, tome III, Paris, C. Patris, 1818, p. 298). Euclide indique qu’avec trois triangles équilatéraux on construit la pyramide, avec quatre l’octaèdre et avec cinq l’icosaèdre. On ne peut pas construire de solide régulier avec six ou plus compte tenu de la limitation sur un angle solide. Trois carrés en un même sommet donneront un cube, et on ne peut aller au-delà. Le cas de trois pentagones permet de former le dodécaèdre et pour la même raison on ne saurait aller plus loin. La tradition fait remonter la preuve à Théétète (ive siècle avant J.-C), quand bien même les cinq solides réguliers étaient déjà connus des Pythagoriens. Laplace retrouve analytiquement ces différents cas.
Laplace ne dit rien d’autres solides réguliers qui ne seraient pas convexes. Le dodécaèdre à faces étoilées avait pourtant été découvert par Kepler. Poinsot, en 1809, allait découvrir trois autres polyèdres réguliers non convexes. En 1811, Cauchy montra que les neuf polyèdres réguliers ainsi construits étaient les seuls [Cauchy, 1813a et 1813b]. Voir aussi [Belhoste, 1985].
Laplace passe ensuite à la limite, de la sphère au plan pour en déterminer les pavages réguliers.

24 Lagrange avait évoqué cette analyse indéterminée en résolvant les équations linéaires dans la leçon du 6 ventôse. Laplace résout l’équation diophantienne : 2 xz = (x – 2) yz + 4 y.

25 Voir l’annexe 11 : Sur la trigonométrie sphérique. Une des questions d’actualité étant de déterminer un système minimal de formules analytiques, dont on pourrait déduire toute la trigonométrie sphérique. Euler s’y était employé, comme l’indique Laplace [Euler, 1786], et Carnot fit de même [Carnot, 1803].

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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