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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Sixième leçon

21 ventôse / 11 mars

Texte intégral

1Jusqu’ici nous n’avons considéré, parmi les équations des degrés supérieurs au premier, que celles qui ne renferment qu’une inconnue ; mais le plus souvent, les applications de l’analyse offrent les inconnues mêlées ensemble dans les équations qui doivent les déterminer. Pour avoir leurs valeurs, il est nécessaire de les séparer en éliminant de ces équations toutes les inconnues, à l’exception d’une seule. On forme ainsi des équations à une inconnue auxquelles on peut appliquer les méthodes, rigoureuses ou approchées, de résoudre les équations. On a vu que cette élimination est toujours facile dans les équations du premier degré, et que l’équation finale est pareillement de ce degré : mais il n’en est pas ainsi des équations des degrés supérieurs, et l’équation finale s’élève presque toujours beaucoup plus que les équations composantes.

2Concevons que l’on ait entre les deux inconnues x et y, deux équations complètes, l’une, du degré m, et l’autre, du degré n ; c’est-à-dire, telles que les puissances et les produits de ces inconnues s’élèvent à la dimension m dans la première et à la dimension n dans la seconde. Par dimension on entend dans l’analyse la somme des exposants des quantités. Supposons, de plus, m égal ou plus grand que n ; il est clair que l’on pourra, au moyen de la seconde équation, éliminer de la première les puissances de x, égales ou supérieures à xn ; il suffit d’y substituer, pour xn, sa valeur tirée de la seconde équation et de continuer ces substitutions jusqu’à ce que l’on parvienne à une équation qui ne renferme que des puissances de x inférieures à xn. On aura donc ainsi une troisième équation dans laquelle la plus haute puissance de x sera xn-1. En éliminant à son moyen les puissances xn et xn – 1 de la deuxième équation, on aura une quatrième équation dans laquelle xn-2 sera la plus haute puissance de x. Cette équation, combinée de la même manière avec la troisième, donnera une cinquième équation dans laquelle xn – 3 sera la plus haute puissance de x. En continuant ainsi, on parviendra à une équation indépendante de x et qui sera l’équation finale en y.

3On doit observer que, avant d’y parvenir, on aura une équation du premier degré en x qui donnera x en y ; en sorte que, ayant les différentes valeurs de y par la résolution de l’équation finale, on aura sur le champ les valeurs correspondantes de x, sans être obligé de résoudre l’équation finale en x.

4Si l’on conçoit la première des deux équations proposées entre x et y, résolue par rapport à x, ses racines que nous nommerons a, b, c, etc. seront fonctions de y. Si l’on conçoit pareillement la seconde de ces équations, résolue par rapport à x, ses racines que nous nommerons a', b', c', etc., seront fonctions de y. Or, il est évident que les valeurs de x doivent être égales dans ces deux équations ; on a donc a = a’ ou a’ a = 0 ; et, comme il n’y a aucune raison d’égaler plutôt les racines a et a’, que les racines a et b’, on a pareillement a – b' = 0. On voit ainsi que l’équation finale en y doit satisfaire également aux diverses équations que l’on peut former en retranchant chacune des racines a', b', c', etc. des racines a, b, c, etc. ; elle doit donc être le produit de toutes ces équations. Dans ce produit, les racines a, b, c, etc. entrent de la même manière ; il est par conséquent une fonction invariable de ces racines qui peuvent en être éliminées au moyen des coefficients des puissances de x, dans la première équation. Ce produit est encore invariable par rapport aux racines a', b', c', etc. ; elles peuvent donc en être éliminées au moyen des coefficients des puissances de x, dans la seconde équation ; il deviendra ainsi une fonction rationnelle et entière de y, et en l’égalant à zéro, on aura l’équation finale en y.

5Cette équation peut être formée plus simplement, en substituant successivement au lieu de x, dans la seconde des équations proposées, les racines a, b, c, etc., et en formant le produit des m équations qui en résultent. Ce produit égalé à zéro sera l’équation finale cherchée, et comme il est une fonction invariable des racines a, b, c, etc., on pourra les éliminer au moyen des coefficients des puissances de x, dans la première équation.

6Le degré de l’équation finale est visiblement égal à la plus haute puissance de y, dans le produit an bn cn, etc. ; or, le produit abc etc. étant la quantité indépendante de x dans la première des équations proposées, la plus haute puissance de y qu’elle contient est ym ; la plus haute puissance de y dans l’équation finale est donc ymn ; ainsi, le degré de cette équation dans le cas général est égal au produit des degrés des deux équations composantes, et dans aucun cas il ne peut excéder ce produit.

7p étant une des racines de l’équation finale en y, en la substituant pour y, dans les deux équations proposées, on aura deux équations en x qui auront pour diviseur commun x – q, q étant la valeur de x, correspondant à la valeur p de y.

8De là résulte un nouveau moyen d’obtenir l’équation finale en y ; car les deux équations proposées devant avoir un diviseur commun en x, si l’on cherche ce diviseur par les méthodes connues, on parvient à un reste qui est une fonction de y, et qui, étant égalé à zéro, donnera l’équation finale.

9On peut encore parvenir à cette équation finale, par la méthode suivante. Multiplions la première des deux équations par un polynôme en x et y du degré i, nous pouvons, au moyen de la seconde équation, éliminer du produit toutes les puissances de x, égales ou supérieures à xn. Nous pouvons de plus prendre ce polynôme assez élevé, et renfermant par conséquent un nombre suffisant de coefficients arbitraires, pour faire disparaître à leur moyen, les coefficients des diverses puissances de x qui resteront dans le produit après l’élimination dont nous venons de parler. Alors on aura l’équation finale en y. Mais on doit observer que l’on aurait pu, au moyen de la seconde des équations proposées, faire disparaître du polynôme toutes les puissances de x, égales et supérieures à xn. Il faut donc, pour le débarrasser des coefficients inutiles, n’employer qu’un polynôme multiplicateur, dans lequel ces puissances ne se rencontrent point. Il est facile de voir que, dans ce cas, le nombre de ses coefficients arbitraires, est n(2i – n+3)/2 Il faut diminuer ce nombre d’une unité, parce que l’on peut concevoir le polynôme entier divisé par l’un de ses coefficients, en sorte que le nombre des coefficients arbitraires et utiles est n(2i – n + 3)/1 – 1

10Le degré du produit de la première équation proposée, par ce multiplicateur, est m + i ; et quand on a fait disparaître de ce produit les puissances de x, égales et supérieures à xn, le nombre de termes qui renferment x et ses puissances est (n – 1) (2m + 2i – n + 2)/2. Il faut que ce nombre soit égal à celui des coefficients arbitraires pour faire disparaître ces termes ; on a donc, pour déterminer le degré i du polynôme, l’équation suivante :

11d’où l’on tire m + i = mn ; or, m + i est le degré de l’équation finale en ; ce degré est donc égal au produit des degrés des équations composantes.

  • 1 Sans les poursuivre dans leur détail, négligeant bien des cas, Laplace vient d’indiquer plusieurs (...)

12Vous trouverez cette méthode exposée dans un grand détail et appliquée à un nombre quelconque d’équations et d’inconnues dans un très bon ouvrage de Bézout qui a pour titre : Théorie des équations. L’auteur y démontre, par une application ingénieuse du calcul aux différences finies, ce théorème général, savoir que, si l’on a un nombre quelconque d’équations complètes entre un pareil nombre d’inconnues, le degré de l’équation finale, résultant de l’élimination de toutes les inconnues, à l’exception d’une seule, est égal au produit des degrés de toutes ces équations1.

13Ce degré peut s’abaisser quand les équations ne sont pas complètes ; il importe alors d’avoir l’équation finale la plus simple et débarrassée des facteurs étrangers aux problèmes, et qu’introduisent souvent les procédés de l’élimination. Bézout donne les moyens de remplir cet objet relativement aux équations incomplètes d’un grand nombre de formes.

14Cette méthode d’élimination est un cas particulier d’une méthode générale connue sous le nom de méthode des coefficients indéterminés. Souvent la forme des expressions des grandeurs est évidente, et il ne reste à connaître que les coefficients de leurs différents termes. On les suppose arbitraires et, en substituant ces expressions dans les équations auxquelles il faut satisfaire, il en résulte des équations de condition qui déterminent ces coefficients. On fait toujours en sorte que le nombre des équations de condition, n’excède pas celui des coefficients arbitraires ; mais, quoique cette égalité ait lieu, il arrive quelquefois que les équations sont impossibles. Ainsi, la méthode des coefficients indéterminés doit être employée avec circonspection, et les conséquences qu’elle fournit ne doivent pas toujours être admises sans réserve. La méthode précédente d’élimination laisse donc un peu d’incertitude sur le véritable degré de l’équation finale. D’ailleurs, elle n’est pas aussi directe que la méthode fondée sur la considération des racines ; il est donc à désirer que l’on étende à un nombre quelconque d’équations et d’inconnues cette dernière méthode qui, jusqu’à présent, est restreinte à deux équations entre deux inconnues.

15Il suffit presque toujours de résoudre une des équations finales, pour avoir les autres inconnues, par des équations du premier degré ; ce qui est visible par la première des méthodes d’élimination, que nous venons d’exposer. Cependant, il y a des cas où quelques-unes de ces inconnues ne peuvent se déterminer au moyen de l’inconnue de l’équation finale qu’en résolvant des équations du second degré, et même des degrés supérieurs. C’est ce qui arrive lorsqu’à une même valeur de l’inconnue relative à l’équation finale répondent deux ou un plus grand nombre de valeurs d’une autre inconnue.

16Les usages de l’élimination sont fort étendus. Pour en donner quelques exemples relatifs à notre objet, c’est-à-dire à la résolution des équations, concevons que l’on ait, entre plusieurs racines d’une équation proposée, une relation quelconque. Si l’on considère ces racines comme des inconnues déterminées par autant d’équations résultant de leur substitution dans l’équation dont elles sont les racines, on pourra les éliminer toutes de la relation donnée, à l’exception d’une seule ; on aura ainsi une nouvelle équation pour déterminer cette racine, et en cherchant le plus grand commun diviseur de cette équation et de la proposée, dans laquelle on substitue cette racine au lieu de l’inconnue, on aura la valeur de cette racine. On peut donc déterminer, par ce moyen, chacune des racines qui entrent dans la relation donnée. Mais on doit observer que, si deux de ces racines y entrent de la même manière, en sorte qu’on puisse les changer l’une dans l’autre, sans que la relation change, alors le plus grand commun diviseur sera du second degré ; il sera du troisième degré, si trois racines entrent dans la même manière dans la relation donnée, et ainsi de suite.

17Si chaque racine d’une équation proposée d’un degré pair, que nous représentons par 2n, a une racine correspondante, avec laquelle elle soit dans une relation donnée telle que cette relation ne change point, en y changeant ces deux racines l’une dans l’autre, alors la résolution de la proposée ne dépend que d’une équation du degré n. En effet, x et x' étant deux racines correspondantes de cette équation, si l’on suppose x + x' = z, et si, dans la relation donnée, on substitue au lieu de x' sa valeur z – x, on aura une équation entre z et x, de laquelle, éliminant x au moyen de la proposée, on aura une équation finale en z. Mais si l’on forme l’équation générale dont les racines soient les sommes des racines de la proposée, prises deux à deux, on aura une nouvelle équation en z. Ces deux équations en z auront, par conséquent, un diviseur commun, qui sera du degré ; car il n’y a, par la supposition, que n couples de racines qui satisfassent à la relation donnée. On aura donc chacun de ces couples, au moyen d’une équation du degré n. Maintenant, si l’on suppose que – p soit l’un d’eux, le facteur du second degré x + px + q, sera un diviseur de la proposée, q étant une quantité qu’il s’agit de déterminer. Pour cela, on divisera la proposée par ce facteur et, après avoir fait la division, autant qu’il est possible, on égalera séparément zéro dans le reste de la division et le coefficient de x, et la quantité qui en est indépendante. On aura ainsi deux équations entre p et q ; et comme p est supposé connu, on aura q, en cherchant le commun diviseur de ces deux équations.

18Si la proposée, par exemple, est telle que les coefficients des termes également éloignés des extrêmes, soient les mêmes, ce qui constitue les équations que l’on nomme réciproques, alors il est clair que x étant une des racines de l’équation elle aura une racine correspondante x' telle que x' = 1/x. En faisant donc x + 1/x = z, z sera donné par une équation du degré n. On obtiendra facilement cette équation, en observant que si l’on divise par xn tous les termes de la proposée ; et si l’on réunit les termes également éloignés des extrêmes, on aura des sommes de la forme f . (xr+1/xr) ; et il est très aisé d’avoir ces sommes en fonctions de z.

19On voit ainsi que le choix des inconnues n’est pas indifférent dans la solution des problèmes ; si deux d’entre elles, par exemple, sont données par la même équation, il sera plus simple d’employer à leur place une nouvelle inconnue qui ait un même rapport avec chacune d’elles, telle que leur somme ou leur produit. Cette nouvelle inconnue sera donnée par une équation plus simple. En général, pour avoir les solutions des problèmes les plus élégantes, il faut choisir les inconnues de manière à obtenir les équations les moins élevées, par des artifices analogues à ceux dont nous avons fait usage pour la résolution des équations.

20On peut encore, au moyen de l’élimination, faire disparaître les radicaux d’une équation irrationnelle. On égalera chacun de ces radicaux à une inconnue et, dans cette dernière égalité, on fera disparaître le radical en élevant chaque membre de l’équation à une puissance convenable. On aura ainsi plusieurs équations rationnelles entre le même nombre d’inconnues ; et l’élimination donnera une équation finale et rationnelle qui ne renfermera que la première inconnue.

21On a vu le peu de progrès que l’on a faits jusqu’ici dans la résolution des équations complètes, et l’on peut juger, par la complication des expressions des racines dans les degrés résolus, du peu d’utilité que l’on retirerait de la résolution générale des équations. Ces raisons ont déterminé les analystes à s’occuper des méthodes d’approximation. Voici de toutes ces méthodes la plus naturelle et la plus simple.

  • 2 Laplace applique bien sûr le théorème des valeurs intermédiaires pour la localisation des racines (...)

22Si, après avoir fait passer tous les termes d’une équation dans le premier membre, on y substituait successivement, au lieu de l’inconnue, tous les nombres tant positifs que négatifs, il est clair que ce membre donnerait une suite de résultats qui ne seraient nuls que dans le cas où les nombres substitués seraient égaux aux racines réelles de l’équation. Il est visible encore qu’en deçà et au-delà de ces racines les résultats des substitutions auraient des signes contraires ; en substituant donc successivement, au lieu de l’inconnue, des nombres très rapprochés, on aura autant de changements de signes dans les résultats qu’il y a de racines réelles dans l’équation proposée2.

23Pour ne laisser échapper aucune racine réelle, il faut que la différence de la progression des nombres que l’on substitue au lieu de l’inconnue, soit moindre que la plus petite différence des racines. Si l’on avait quelqu’incertitude à cet égard, on pourrait former l’équation aux carrés des différences des racines, et chercher la plus petite valeur positive de cette équation par la méthode que nous allons bientôt indiquer. La plus petite différence des racines réelles de la proposée ne surpassera jamais la racine carrée de cette valeur.

  • 3 La méthode du milieu, très simple, a l’avantage de diviser l’erreur par deux à chaque étape.

24Quant on parvient, par des substitutions successives, à deux résultats de signes contraires, on est assuré qu’une des racines réelles de l’équation tombe entre les valeurs qui, substituées pour l’inconnue, ont produit ces résultats. Alors, en prenant une moyenne entre ces valeurs et en la substituant pour l’inconnue, dans l’équation proposée, la racine sera comprise entre cette valeur moyenne et celle des deux valeurs extrêmes qui ont donné un résultat de signe contraire au sien. La limite dans laquelle cette racine est comprise, est donc par là resserrée. En continuant de resserrer cette limite, on parvient à une valeur de la racine aussi approchée que l’on veut3.

  • 4 La méthode qu’explique Laplace est connue sous le nom de « méthode de Newton-Raphson ». Elle figur (...)

25Mais quand on a une valeur déjà suffisamment approchée de la racine, on peut l’obtenir par une approximation beaucoup plus rapide de cette manière. On substituera dans l’équation, au lieu de l’inconnue, cette première valeur approchée, plus une nouvelle inconnue, dont on négligera le carré et les puissances supérieures. On aura ainsi, pour la déterminer, une équation du premier degré. En l’ajoutant à la première valeur approchée, on aura une seconde valeur plus approchée de la racine. Si l’on fait le même usage de cette seconde valeur, on aura une troisième valeur encore plus approchée, et ainsi de suite4.

26Cette méthode a l’avantage de s’étendre à un nombre quelconque d’équations, entre un pareil nombre d’inconnues. Si l’on a des valeurs suffisamment approchées de ces inconnues ; alors, en substituant à leur place ces valeurs augmentées respectivement d’une nouvelle inconnue, et en négligeant les carrés de ces nouvelles inconnues, elles seront déterminées par autant d’équations du premier degré. Ainsi, pour avoir les valeurs très approchées des inconnues dans les équations proposées, on ne sera point obligé de recourir à l’élimination qui souvent est très pénible. Enfin, la même méthode s’étend aux équations que l’on nomme transcendantes, et dont je vous parlerai dans la suite.

  • 5 Si Sm désigne la somme des puissances d’ordre m des racines, Laplace remarque que lorsque m tend v (...)

27On a imaginé divers moyens pour avoir les premières valeurs approchées des équations : si l’on forme les sommes successives des carrés, des cubes, des quatrièmes puissances, etc., des racines, il est visible que la plus grande des racines, abstraction faite du signe, se manifestera d’autant plus que les puissances seront plus élevées ; en divisant la somme des puissances m, pour la somme des puissances m – 1, le quotient approchera beaucoup de cette plus grande racine, si le nombre m et l’excès de cette racine sur chacune des autres sont un peu considérables. Mais on aura plus exactement cette racine en extrayant la racine m-ième de la somme des puissances m des racines5.

28On aura, de la même manière, la plus petite valeur approchée de l’inconnue, en faisant cette inconnue égale à l’unité divisée par une nouvelle inconnue. La plus petite racine de l’équation proposée devient alors la plus grande racine de l’équation transformée.

  • 6 Laplace explique la façon d’obtenir le développement d’une racine réelle en fraction continue en a (...)

29On peut encore déterminer la racine approchée des équations, par le moyen des fractions continues. Si l’on suppose que i et i + k soient deux nombres qui, substitués dans l’équation proposée, au lieu de l’inconnue, donnent deux résultats de signes contraires, k étant positif et assez petit pour qu’il n’y ait qu’une racine réelle entre i et i + k ; en faisant l’inconnue égale à i, plus l’unité divisée par une nouvelle inconnue, on aura, pour déterminer cette seconde inconnue, une transformée dont il suffira de considérer la plus grande valeur positive. Supposons qu’elle tombe entre les deux nombres i', et i' + k', on fera la seconde inconnue égale à i' plus l’unité divisée par une troisième inconnue. En continuant ainsi, on voit que la valeur de la première inconnue sera exprimée par une fraction continue que l’on peut prolonger aussi loin que l’on veut6.

  • 7 C’est Lagrange qui a démontré la périodicité du développement en fraction continue des nombres irr (...)

30Cette méthode a l’avantage de faire connaître les diviseurs commensurables du second degré de l’équation proposée, en vertu de cette propriété remarquable des équations du second degré, suivant laquelle les fractions continues qui expriment leurs racines sont périodiques7.

31Pour avoir les racines imaginaires d’une équation, représentons par m ± n √ – 1 deux de ces racines, – 4 n2 sera une des racines de l’équation aux carrés des différences des racines. On déterminera donc les racines négatives de cette dernière équation, ce qui donnera la valeur de n. En substituant ensuite m + n √ – 1, au lieu de l’inconnue dans la proposée, on égalera séparément à zéro les termes imaginaires ; on formera ainsi deux équations en m, dont le plus grand commun diviseur déterminera la valeur de m, relative à la valeur supposée pour n.

  • 8 Fontaine des Bertins (1704-1771). Membre de l’Académie des sciences en 1733. C’est en calcul diffé (...)

32Vous trouverez de plus grands détails sur ces objets dans les mémoires de Fontaine et dans les mémoires de l’Académie des sciences de Berlin8.

33Les équations du troisième et quatrième degré peuvent se résoudre très simplement au moyen des tables de sinus ; mais comme cette méthode dépend de l’application de l’algèbre à la géométrie, nous remettons à l’exposer quand nous traiterons de cette application.

  • 9 Voir la 4e leçon de Lagrange, du 6 germinal. Cette leçon de Lagrange apparaît ultérieure, et d’ail (...)

34Il me reste à vous dire un mot de l’analyse indéterminée. Dans cette analyse, les solutions des problèmes donnent moins d’équations que d’inconnues, ce qui rend ces solutions indéterminées ; mais on assujettit les valeurs des inconnues à être ou rationnelles, ou des nombres entiers, ou enfin des nombres entiers positifs, et ces conditions limitent ces valeurs ; en sorte qu’elles sont quelquefois en nombre fini, et quelquefois impossibles. Pour les obtenir, il faut employer des artifices très difficiles, et qui par là, ont excité la curiosité des géomètres. On vous a expliqué9 l’ingénieuse méthode par laquelle on peut résoudre une équation du premier degré, entre deux inconnues. La résolution des degrés supérieurs doit offrir de bien plus grandes difficultés. Mais ayant à vous exposer un grand nombre d’autres objets plus utiles, je me contenterai ici de vous indiquer sur ces matières, le second volume de l’algèbre d’Euler, et surtout les belles additions que Lagrange y a jointes.

35La célérité de l’impression de ce journal ne permettant pas de revoir un assez grand nombre d’épreuves des leçons de mathématiques, je donnerai à la fin de chaque leçon, l’errata des fautes les plus essentielles que j’aurai remarquées dans la leçon précédente.

Notes

1 Sans les poursuivre dans leur détail, négligeant bien des cas, Laplace vient d’indiquer plusieurs méthodes différentes pour obtenir le théorème qu’il énonce. Le calcul combinatoire qui préside à l’explication heuristique de la dernière méthode, celle des coefficients indéterminés, est assez élégant. Il convient de remarquer puisque le polynôme est Σakl xk yl que le rapport qu’il fournit, n(2in + 3)/2 est égal à précisément à (in + 3) + + (i + 1), et que cette somme fournit le nombre de coefficients akl, avec 0 ≤ k, 0 ≤ l, 0 ≤ k + 1 < n et 0 ≤ k < n. Si l’on impose k > 0, on trouve alors l’expression (n – 1)(2i – n – 2)/2, ce qui explique la deuxième valeur donnée par Laplace, en remplaçant toutefois i par m + i pour tenir compte du polynôme en jeu qui est cette fois de degré m + i. Mais un décompte d’équations égal au décompte des inconnues libres ne suffit pas à assurer que le système possède au moins une solution. Aussi Laplace sait que sa preuve est insuffisante : « La méthode précédente d’élimination laisse donc un peu d’incertitude sur le véritable degré de l’équation finale ». Et il se réfère au livre de son époque le plus efficace sur la théorie de l’élimination : E. Bézout, Théorie générale des équations algébriques, Paris, 1779. De façon très intéressante, contrairement à la pratique des manuels de mathématiques du xviiie siècle, Laplace soulève des questions. Ici il suggère d’étendre au cas général la méthode des coefficients indéterminés. Cette généralisation paraît véritablement une ouverture, bien plus efficace que celle qui consiste à exposer la conjecture de Fermat ! On remarquera qu’il repousse à plus tard l’interprétation géométrique du théorème énoncé : il y a en général mn points d’intersection de deux courbes algébriques de degré n et m respectivement. La difficulté de la démonstration tient à l’existence de racines multiples et de points d’intersection imaginaires : Bézout s’y exerça le premier avec succès [Bézout, 1767]. Laplace n’entre pas dans ces difficultés, mais propose des méthodes générales et analytiques d’élimination.

2 Laplace applique bien sûr le théorème des valeurs intermédiaires pour la localisation des racines réelles. Mais il oublie le cas des racines multiples d’ordre pair qui ne donnent pas lieu à ces alternances.

3 La méthode du milieu, très simple, a l’avantage de diviser l’erreur par deux à chaque étape.

4 La méthode qu’explique Laplace est connue sous le nom de « méthode de Newton-Raphson ». Elle figure en effet dans le Scholium de la proposition 31 du livre I des Principia mathematica philosophiae naturalis (lere édition, 1687) et fut systématiquement utilisée par J. Raphson dans son Analysis aequationum universalis seu ad aequationes algebraicas (Londres, 1690). Laplace en donne un exposé sans formule, tout comme Newton d’ailleurs, et privilégie les développements en séries, en fait la formule du binôme de Newton. Utilisons l’écriture contemporaine. Laplace part d’une valeur voisine de la racine de P, développe P(x0 + y) en puissances entières de y et néglige tous les facteurs qui comportent pour y une puissance d’ordre supérieur à 1. Il annule ensuite ce qui reste, une forme linéaire en y, pour pouvoir effectivement calculer y. En d’autres termes, si P(x0 + y) = P(x0)+yP’(x0) + y2/2P"(x0) + , on dispose de 0 = P(x0) + yP’(x0), d’où la valeur y. L’expression x0 + y n’est pas nécessairement la racine cherchée, mais elle s’en rapproche. La valeur obtenue de x0 + y permet d’itérer le processus, comme Laplace ne manque pas de le souligner, sans toutefois préciser le gain quantitatif. L’interprétation géométrique est facile : le point x0 + y se lit comme l’intersection avec l’axe des abscisses de la tangente à la courbe y = P(x) au point (x0, P (x0)), ce qui illustre la mise en place de la méthode itérative pour le calcul de la racine.
Conformément à son programme analytique, Laplace ne donne pas cette interprétation géométrique, et ne fait pas intervenir la dérivée. Il préfère montrer la généralité de la méthode, puisqu’elle passe aux fonctions transcendantes, mais aussi s’étend aux fonctions de plusieurs variables pour lesquelles d’ailleurs la notion usuelle de dérivée ne fonctionne pas.

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5 Si Sm désigne la somme des puissances d’ordre m des racines, Laplace remarque que lorsque m tend vers l’infini la fraction Sm/(Sm – 1) tend vers |x|, si x désigne la plus grande des racines en valeur absolue (supposée réelle). C’est aussi vers la même limite que tend mSm. Laplace a déjà donné les formules de Newton qui permettent de calculer Sm à partir des coefficients de l’équation.

6 Laplace explique la façon d’obtenir le développement d’une racine réelle en fraction continue en adaptant le calcul de l’algorithme d’Euclide. Voir l’annexe 4 : Sur les fractions continues.

7 C’est Lagrange qui a démontré la périodicité du développement en fraction continue des nombres irrationnels quadratiques. Avec les notations de la note 29, il s’agit du cas où ri + k = ri pour un entier k fixé et pour tout entier i, [Lagrange, 1769a].

8 Fontaine des Bertins (1704-1771). Membre de l’Académie des sciences en 1733. C’est en calcul différentiel à plusieurs variables que l’œuvre de Fontaine fut surtout novatrice.

9 Voir la 4e leçon de Lagrange, du 6 germinal. Cette leçon de Lagrange apparaît ultérieure, et d’ailleurs située dans les Débats. N’a-t-elle pas été prononcée plus tôt et mal placée par les éditeurs compte tenu des retards de correction des épreuves par Lagrange ?

Table des illustrations

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© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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