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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Cinquième leçon

11 ventôse / 1er mars

Texte intégral

1Je vous ai présenté, dans la leçon précédente, les propriétés les plus remarquables des équations ; je vais m’occuper, dans celle-ci, de leur résolution.

2Il existe une classe nombreuse d’équations que l’on peut résoudre comme celles du second degré ; elles sont comprises dans cette forme générale :

3En les résolvant par la méthode que nous avons donnée, relativement aux équations du second degré, on a

4Cette valeur de x donne lieu à quelques observations. D’abord, l’extraction exacte de la racine de la quantité renfermée sous le radical est quelquefois possible ; ainsi, en supposant n = 2, et q égal à un carré que nous représentons par m2, on a

  • 1 Dans le dernier chapitre de la leçon précédente, Laplace reprenait quelques propriétés simples exp (...)

5Les géomètres ont imaginé pour faire ces extractions, lorsqu’elles sont possibles, diverses méthodes qu’il est bon de connaître, pour donner aux expressions analytiques toute la simplicité dont elles sont susceptibles1.

6On peut observer ensuite que, si l’on ne considère que les racines auxquelles on parvient par les méthodes airthmétiques de l’extraction des racines, l’expression précédente de x n’a que deux valeurs ; et cependant l’équation proposée étant du degré 2 n, elle doit avoir 2 n racines. Pour les déterminer, nommons h et h' les deux racines précédentes, déterminées par les méthodes arithmétiques ; nommons ensuite 1, a, a', etc., les n racines de l’équation xn – 1 = 0, racines qui sont les diverses racines n-ièmes de l’unité ; alors les 2 n racines de l’équation primitive seront h, a'h, α'h, etc., h', αh', α'h', etc. Tout se réduit donc à déterminer les racines de l’équation xn1 = 0.

7Si n = 2, ces racines sont ± 1.

8Si n = 3, l’une des racines est l’unité. En divisant ensuite l’équation x3 – 1 =0, par x – 1, on a x2+ x + 1 = 0 ; d’où l’on tire x = ( –1 ± √ – 3)/2.

9Si n = 4, les quatre racines sont ± 1, ± √ – 1.

  • 2 Dans l’édition de 1812 des Leçons, Laplace a rajouté une mention pour signaler que Gauss était par (...)
  • 3 Lorsque p est premier, les puissances successives d’une racine (différente de 1) de l’équation xp (...)

10On peut déterminer algébriquement ces diverses racines, lorsque n ne surpasse pas dix2. En traitant de l’application de l’algèbre à la géométrie, nous donnerons le moyen d’obtenir toutes les racines de l’équation xn ± 1 =0, quel que soit n. Nous observerons seulement ici que 1 et α étant deux racines de l’équation xn – 1 = 0, les n – 2 autres racines sont α 2, α 3,..., α n – 1, si n est un nombre premier3.

11Considérons présentement les équations du troisième et du quatrième degré. Depuis longtemps les analystes ont résolu ces équations, par diverses méthodes ingénieuses. Elles consistent à transformer, par des substitutions convenables, l’équation que l’on veut résoudre dans une autre qui puisse être résolue à la manière des équations d’un degré inférieur, et à déterminer, au moyen des racines de cette nouvelle équation que l’on nomme réduite, toutes les racines de la proposée.

  • 4 [Lagrange, 1770a et 1771], [Vandermonde, 1774], [Waring, 1770].

12Il est visible que ces dernières racines étant données au moyen des racines de la réduite, elles en sont des fonctions, et qu’ainsi les racines de la réduite sont elles-mêmes fonctions des racines de la proposée. Toutes les méthodes de résoudre une équation, se réduisent donc à déterminer une fonction de ses racines qui dépende d’une équation d’un degré inférieur, et qui soit telle qu’elle donne facilement les racines de la proposée. En considérant, sous ce point de vue, les diverses solutions des équations du troisième et du quatrième degré, il en résulte une méthode de les résoudre, puisée dans la nature même de ces équations, et qui a l’avantage d’éclairer ces solutions, d’en montrer les rapports, et de faire voir comment, par des procédés très différents, elles conduisent cependant à des résultats identiques. Ainsi, quoique cette méthode soit un peu plus longue que les méthodes indirectes, je la crois préférable dans un cours destiné à développer les vrais principes des sciences. Je dois observer ici que cette méthode de résoudre les équations du troisième et du quatrième degré, et le rapprochement des méthodes connues pour le même objet, ont été donnés de la manière la plus générale et la plus lumineuse par Lagrange, dans deux mémoires insérés parmi ceux de l’Académie des sciences de Berlin pour les années 1770 et 1771 ; je vous engage pareillement à voir, sur cette matière, un excellent mémoire de Vandermonde, imprimé dans le volume de l’Académie des sciences, pour l’année 1771, et l’ouvrage de Waring, intitulé : Meditationes algebraicae4.

13Pour exposer d’une manière uniforme ce que l’on sait sur la résolution des équations, nous allons reprendre celle de l’équation du second degré, x2 + px + q = 0.

14Nommons a et b, ses deux racines. Leur somme a + b est, comme on l’a vu, égale à – p ; il ne s’agit donc plus que d’avoir la valeur d’une autre fonction des racines, qui, combinée avec l’égalité précédente, détermine chacune de ces racines en ne résolvant que des équations du premier degré. Pour cela, il faut que la fonction cherchée soit de la forme la + mb : les fonctions de cette forme, dans lesquelles les quantités ne sont élevées qu’à la première puissance, et ne sont point multipliées les unes par les autres, se nomment fonctions linéaires. La précédente est susceptible de deux combinaisons, en y changeant a en b, et réciproquement ; elle dépend donc d’une équation du second degré, excepté dans le cas où l = m ; mais alors cette fonction ne donne que la somme des racines, qui est déjà connue. Puisque nous sommes forcés, pour déterminer la fonction la + mb dont nous avons besoin, de résoudre une équation du second degré, il faut que cette équation puisse se résoudre par une simple extraction de racines, et qu’ainsi elle ne renferme que le carré de l’inconnue. Dans ce cas, ses deux racines sont égales mais de signes contraires ; il faut donc déterminer les deux coefficients t et m, de manière que la fonction la + mb ne change point de valeur, et prenne un signe contraire, en y changeant a en b, et réciproquement ; ce qui donne,

15ou l = – m, et si l’on suppose, pour simplifier, l=1, la fonction cherchée sera a – b ; en la désignant par z, la valeur de z sera donnée par l’équation

16ou

17Or, on a a2+ b2 = p2 2 q ; ab = q ; donc, z2 = p2 – 4 q, d’où l’on tire z ou a – b égal à √ p – 4q. En combinant cette égalité, avec celle-ci a + b = – p, on trouve pour a et b, les deux racines que nous avons données dans la leçon précédente.

18Il est visible que ces deux racines sont réelles ou imaginaires suivant que p2 4q est positif ou négatif. Quand les racines sont réelles, leur signe est le même si q est positif ; elles sont de signe contraire si q est négatif ; enfin, si elles sont de même signe, elles ont un signe contraire à p.

19En supposant l’équation générale du troisième degré, privée pour plus de simplicité de son second terme, elle prend la forme x3+ px + q = 0.

20Soient a, b, c, ses trois racines, et cherchons a priori une fonction de ces racines qui ne dépende que d’une équation du second degré et qui les détermine facilement. La forme la plus simple que l’on puisse supposer à cette fonction est celle-ci, la + mb + nc ; en y échangeant entre elles les racines a, b, c, on a six combinaisons différentes ; ainsi, l’équation dont cette fonction dépend est du sixième degré. Pour en faire usage, il faut qu’elle soit résoluble à la manière des équations du second degré, et qu’ainsi le cube de cette fonction ne dépende que d’une équation du second degré. Alors, en nommant h et h' ses deux racines, et en désignant par 1, α et α', les trois racines cubiques de l’unité, les six valeurs de la fonction proposée seront h, αh, α'h, h', αh', α'h'.

  • 5 Il faut considérer ici a, b et c comme des variables arbitraires. Laplace n’entend pas poser a pri (...)

21Si l’on prend pour h et h' deux de ces valeurs, telles que la + mb + nc, et lb + ma + nc, et si l’on se rappelle que α'= α2, il est facile5 de voir que les quatre autres valeurs ne peuvent pas être égales à celles-ci, multipliées respectivement par a et α ‘, à moins que les coefficients l, m et n, ne soient entre eux, comme les racines cubiques de l’unité, et réciproquement, que si cela a lieu, les six valeurs de la + mb + nc, ne seront que les deux précédentes, multipliées respectivement par ces racines cubiques. En supposant donc l, m, n, égaux à ces racines, et représentant par z la fonction la + mb + nc, z sera donné par l’équation :

22dans laquelle le coefficient de z3, et le terme indépendant de z, seront des fonctions invariables des racines a, b, c, puisque les six valeurs de la fonction a + αb + α’c y entrent de la même manière. C’est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori, car si l’on considère que par la nature des racines cubiques de l’unité, on a α’ = α2et 1 + α + α' = 0, on parvient à la réduite :

23Les racines de cette équation sont :

24en nommant donc z et z’ ces racines, on aura

25La condition que le second terme de la proposée est nul donne a + b + c = 0 ; on aura ainsi

26z et z' étant des racines cubiques, ils sont susceptibles, chacun, de trois valeurs qui donnent neuf valeurs différentes pour les racines a, b, c. Cette multiplicité de valeurs tient à ce que z et z' ne contiennent que le cube de p, en sorte que les valeurs précédentes de a, b, c, résolvent, outre la proposée, les deux équations :

27elles sont donc les racines de l’équation du neuvième degré, résultante du produit de ces trois équations. Mais, parmi ces racines, il ne faut choisir que les trois qui, substituées pour a, b, c, satisfont à l’équation ab + ac + bc = p ; cette équation donne zz' = – 3 αp ; ainsi, en désignant par 3 h et 3 h’ les valeurs de z et z’, lorsque l’on prend l’unité pour racine cubique de l’unité, il suffit de supposer z = 3 h et z' = 3 αh', et alors on a :

28Ces expressions des racines du troisième degré, offrent une singularité remarquable qui embarrassa beaucoup les premiers analystes. Lorsque 1/4 q2+ 1/27 p3 est négatif : les valeurs de h et h’ sont imaginaires. Il ne faut pas cependant en conclure que la proposée renferme alors des racines imaginaires. Loin que cette conséquence soit juste, il est généralement vrai que, dans ce cas, les trois racines de la proposée sont réelles et qu’elles ne peuvent l’être que dans ce cas, qui a été nommé cas irréductible, tous les efforts que l’on a faits pour donner une autre forme aux expressions des racines, ayant été inutiles. On ne tarda pas à reconnaître la réalité des racines dans ce cas singulier. Parmi les moyens imaginés pour s’en assurer, voici le plus simple.

29Faisons, pour plus de simplicité,

30on aura

  • 6 Pour démontrer un résultat algébrique, Laplace n’hésite pas à utiliser un développement en série e (...)

31Si l’on développe chacun de ces radicaux en séries ordonnées par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de n, suivant que n est plus petit ou plus grand que m, on aura pour h et h’ des expressions de cette forme6 :

32M et N étant des quantités réelles ; on aura ainsi :

33Si h et h’ sont réels, il n’y a que la première racine a de réelle ; on reconnaîtra donc si une équation du troisième degré a toutes ses racines réelles, par le signe de la quantité 1/4 q2+ 1/27 p3 ; si cette quantité est négative, les trois racines sont réelles ; si elles est positive, deux des racines sont imaginaires. À la vérité, l’équation que nous venons de considérer manque de son second terme ; mais il est toujours facile, comme on l’a vu, de réduire une équation à cette forme, et cela ne change point le nombre de ses racines réelles. Les valeurs de p et q de la transformée sont alors des coefficients de la proposée, faciles à déterminer, et en les substituant dans la quantité 1/4 q2+1/27 p3, le signe de cette fonction déterminera si toutes les racines sont réelles, ou si deux sont imaginaires. Quand toutes les racines sont réelles, la règle de Descartes fait connaître le nombre des racines positives et celui des racines négatives. Si deux racines sont imaginaires, la racine réelle est d’un signe contraire à celui de son dernier terme. Considérons maintenant l’équation du quatrième degré

34Soient a, b, c, d, ses quatre racines. Pour les déterminer, nous allons chercher, comme nous venons de le faire relativement aux équations du second et du troisième degré, une fonction de ces racines qui les donne facilement, et qui ne dépende que d’une équation d’un degré inférieur au quatrième. Nous emploierons encore la supposition qui nous a réussi pour les équations des degrés inférieurs, savoir que cette fonction renferme les racines sous une forme linéaire ; nous la représenterons ainsi par la suivante : f a + mb + nc + ld. Cette fonction est susceptible de vingt-quatre combinaisons différentes ; elle dépend donc d’une équation du vingt-quatrième degré. Mais il est facile de voir que si l’on suppose f = m, les vingt-quatre combinaisons se réduiront à douze, et que si l’on suppose de plus l = n, les douze combinaisons se réduiront à six, en sorte que la fonction m. (a + b) + n . (c + d) ne dépend que d’une équation du sixième degré. Enfin, si l’on suppose n = – m, cette dernière équation aura ses racines égales deux à deux, mais affectées de signes contraires ; elle ne renfermera donc que les puissances paires de l’inconnue et elle pourra se résoudre à la manière des équations du troisième degré.

35Il suit de là qu’en supposant pour plus de simplicité m = 1 et en représentant par 4 z la fonction (a + b – c – d)2, z sera donné par une équation du troisième degré ; or, on a

36L’équation en z sera donc

37D’où l’on tire

38Telle est la réduite des équations du quatrième degré. Soient z, z’, z" ses trois racines, on aura

39En combinant ces trois équations avec celle-ci, a + b + c + d = 0, qui résulte de ce que le second terme manque dans l’équation proposée du quatrième degré, on aura

40Chacun des radicaux √z, √z', √z" pouvant être également affecté du signe +, ou du signe -, il en résulte huit valeurs différentes pour les racines a, b, c, d. Cela vient de ce que la réduite en z ne renfermant que le carré de q, les valeurs qu’elle donne pour a, b, c, d, doivent également satisfaire à la proposée, en y supposant q négatif, en sorte que ces valeurs résolvent une équation du huitième degré, comme on a vu que la réduite du troisième degré résout une équation du neuvième. Mais ces valeurs se réduisent à quatre en leur faisant remplir la condition que la somme des produits trois à trois des racines a, b, c, d, soit égale à – q. Cette somme est égale à √z z'z". Il faut conséquemment donner aux radicaux un signe tel que ce produit soit d’un signe contraire à q et cela déterminera les quatre valeurs que l’on doit prendre pour les racines de la proposée.

41Si la réduite en z a ses trois racines réelles, l’équation du quatrième degré a ses racines ou toutes quatre réelles, ou toutes quatre imaginaires. On pourra donc ainsi reconnaître si une équation du quatrième degré, lors même qu’elle a tous ses termes, a ses racines, ou toutes réelles, ou toutes imaginaires. Il suffira de faire disparaître son second terme, de former ensuite sa réduite, et de voir si cette réduite a toutes ses racines réelles.

42Quand l’équation du quatrième degré a toutes ses racines réelles, la règle de Descartes donne le nombre des racines positives et celui des racines négatives.

43Si l’équation a deux racines réelles et deux racines imaginaires, les deux racines réelles seront de même signe ou de signe contraire, suivant que le dernier terme sera positif ou négatif.

44Si les deux racines réelles sont de même signe, elles seront positives s’il y a dans la proposée plus de variations que de permanences ; elles seront négatives, s’il y a plus de permanences que de variations, et s’il y a autant de variations que de permanences, le signe de ces racines sera contraire à celui de la fonction f3 – 4pf + 8 q, f étant le coefficient du second terme dans l’équation supposée complète. La réduite en z a toujours une valeur réelle positive, puisque son dernier terme est négatif. Supposons que √z soit réel ; les valeurs précédentes de a et de b donnent a + b = √z ;

45Or on a z' + z" = – 2p z ; de plus zz'z" = – q2 ce qui donne √z' z" = – q/√z ; ainsi a + b et ab sont réels ; le facteur x2 – (a + b) . x + ab est donc réel ; or ce facteur est évidemment diviseur de l’équation proposée du quatrième degré : cette équation est donc résoluble en deux facteurs réels du second degré.

  • 7 Laplace donne en moins de trois courtes pages une démonstration originale du théorème de d’Alember (...)

46De là résulte une démonstration fort simple de ce théorème général que nous avons énoncé précédemment, et qui consiste en ce que toute équation d’un degré pair est résoluble en facteurs réels du second degré7.

47Soient a, b, c, etc. les diverses racines de cette équation, et supposons que 2’ s soit son degré, s exprimant un nombre impair. L’équation dont les racines seront a + b + mab, m étant un coefficient quelconque, sera du degré 2i –1s(2i s – 1) ; et par conséquent, l’exposant de son degré sera de la forme 2i – 1s', s' étant un nombre impair.

48Si i = 1, cette nouvelle équation dérivée de la première, sera d’un degré impair ; elle aura donc au moins une racine réelle, quelle que soit la valeur de m, et comme on peut donner à m une infinité de valeurs, on aura une infinité de fonctions de la forme a + b + mab, qui auront des valeurs réelles. Parmi ces fonctions, il y en aura nécessairement qui renfermeront les mêmes racines de la proposée. Soient a et b ces racines, et soient a + b + mab, et a + b + m' ab, deux fonctions dont les valeurs soient réelles ; leur différence (m’ – m) . ab, sera réelle ; ab et a + b seront donc réels, ainsi que le facteur x2(a + b) . x + ab ; la proposée aura par conséquent un facteur réel du second degré.

49En général, la proposée aura un facteur réel du second degré, si toute équation du degré 2i- 1s' a un facteur réel du même degré, car, alors, on a une infinité de fonctions de la forme a + b + mab, dont la valeur est de la forme e + g √ –1, et l’on en conclura par le raisonnement précédent qu’il y a deux racines a et b, telles que a + b et ab sont de la même forme. Le facteur x2 (a + b) x + ab prend alors la forme

50soit P + Q √ –1, le quotient de la division de la proposée, par ce facteur ; P Q √ –1, sera le quotient de la proposée par la quantité

51la proposée sera donc divisible par le produit de ces deux facteurs du second degré, du moins, si ces facteurs n’ont point de diviseur commun. Elle aura donc pour facteur la fonction du quatrième degré

52or, cette quantité est, comme on vient de le voir, décomposable en deux facteurs réels du second degré ; la proposée a donc un facteur réel de ce degré.

53Si les deux facteurs précédents, du second degré, ont un facteur commun, il ne peut être que f'x + h', puisqu’il doit diviser leur différence ; la proposée sera donc divisible par f'x + h'. Après la division, son degré devenant impair, elle aura encore un facteur réel du premier degré ; elle a donc un facteur du second degré, résultant du produit de ces deux facteurs du premier degré.

54Toute équation du degré 2is a donc un facteur réel du second degré si toute équation du degré 2i – 1s' a un facteur semblable. Par la même raison, toute équation du degré 2i –1s' a un facteur réel du second degré, si toute équation du degré 2i 2s" a un facteur semblable, s" étant un nombre impair. En continuant ainsi, jusqu’à l’équation du degré 2k, k étant impair, équation qui, comme on vient de le voir, a nécessairement un facteur réel du second degré, on voit, en rétrogradant, que toute équation du degré 2is' a un facteur réel du second degré.

55Donc, toute équation d’un degré pair a un facteur du second degré ; en la divisant par ce facteur, on aura une nouvelle équation d’un degré pair, qui aura elle-même un facteur réel du second degré ; et en continuant ainsi, on décomposera l’équation entière en facteurs réels du second degré.

  • 8 Celte expression signifie que l’on n’envisage pas de cas particuliers par spécification des coeffi (...)
  • 9 Les travaux de Lagrange, pour le degré 5 et au-dessus, montraient qu’il était illusoire d’espérer (...)

56Nous venons d’exposer ce que l’on sait sur la résolution des équations complètes8. Les analystes parvinrent bientôt à celle des équations du second, du troisième et du quatrième degré : mais arrivés à ce terme, ils trouvèrent un obstacle que des efforts continués pendant plus de deux siècles n’ont pu surmonter encore. L’uniformité des méthodes imaginées pour résoudre les équations des degrés inférieurs au cinquième donnait quelque espoir de les étendre à ce degré ; mais toutes les tentatives que l’on a faites pour cet objet, ont été jusqu’à présent infructueuses9.

57Au reste, ce qui doit consoler du peu de succès des recherches de ce genre, c’est que la résolution complète des équations, quoique très belle par elle-même, serait peu utile dans les applications de l’analyse, dans lesquelles il est toujours plus commode d’employer les approximations.

Notes

1 Dans le dernier chapitre de la leçon précédente, Laplace reprenait quelques propriétés simples expliquées par Descartes dans la Géométrie. C’est peut-être ce rappel qui lui fit évoquer une habitude très désuète en cette fin du xviiie siècle, la construction géométrique des solutions des équations. Il ne commente d’ailleurs pas son exemple analytique.

2 Dans l’édition de 1812 des Leçons, Laplace a rajouté une mention pour signaler que Gauss était parvenu « par une analyse extrêmement remarquable à déterminer algébriquement » les racines de l’équation cyclotomique, x

n – 1 = 0 « pour un degré quelconque ». Il s’agissait effectivement d’exprimer les n racines de l’unité au moyen de radicaux successifs de rationnels. Il suffit de savoir le faire pour n premier. Vandermonde, qui avait établi cette possibilité pour n = 11 (mais aussi n = 3, 5 et 7), la tenait pour sûre pour tous les nombres premiers. Gauss le démontrait effectivement dans la dernière section de ses Disquisitiones Arithmeticae en utilisant les racines primitives de l’unité.

3 Lorsque p est premier, les puissances successives d’une racine (différente de 1) de l’équation xp – 1 = 0 fournissent toutes les autres racines. C’est un résultat facilement interprétable grâce au langage des groupes (voir l’annexe 1 : De la théorie des restes à la théorie des congruences). Dans sa leçon du 6 ventôse (p. 216), Lagrange venait d’évoquer un résultat plus général. Ce résultat avait joué un rôle dans la résolution due à Vandermonde de l’équation de x11 – 1 = 0 par radicaux.

4 [Lagrange, 1770a et 1771], [Vandermonde, 1774], [Waring, 1770].

5 Il faut considérer ici a, b et c comme des variables arbitraires. Laplace n’entend pas poser a priori la forme linéaire a+αb+α'c, mais veut qu’elle apparaisse nécessairement au terme du calcul. Il sera moins exigeant, mais particulièrement clair, lors du traitement de l’équation de degré 4.

6 Pour démontrer un résultat algébrique, Laplace n’hésite pas à utiliser un développement en série entière infinie ! C’est la série du binôme avec 1/3 pour exposant. Il s’agit de vérifier qu’une racine cubique d’un nombre complexe est encore un nombre complexe et que, avec un choix convenable de la détermination de la racine cubique, à des nombres complexes conjugués on associe ainsi des racines cubiques conjuguées. De sorte que la série, forme analytique précise, fixe la détermination de la racine cubique. Laplace, prudemment, à la suite peut-être des explications qu’il dut fournir au cours du dernier débat, se place à chaque fois dans un domaine de convergence précisé, en évoquant les deux cas n >m et n < m.

7 Laplace donne en moins de trois courtes pages une démonstration originale du théorème de d’Alembert, dont on peut s’étonner qu’elle n’ait pas trouvé sa place dans les manuels d’enseignement. Voir l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre.

8 Celte expression signifie que l’on n’envisage pas de cas particuliers par spécification des coefficients.

9 Les travaux de Lagrange, pour le degré 5 et au-dessus, montraient qu’il était illusoire d’espérer les réductions que Laplace venait d’exposer avec tant de clarté pour les degrés 2, 3 et 4. Pourtant, Laplace émettait un avis plutôt positif sur la possibilité d’une telle résolution algébrique au-delà du degré 4. P. Ruffïni tenta de démontrer l’impossibilité de la résolution par radicaux de l’équation générale du cinquième degré. Il publia un premier mémoire à Bologne en 1798 : Teoria generale delle equazioni, où au fond il étudiait des groupes symétriques. Le monde mathématique considéra sa démonstration comme valable : les choses ne furent pourtant élucidées que par les contributions décisives d’Abel et de Galois.

Table des illustrations

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