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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Débat

26 pluviôse / 14 février

Texte intégral

1Simon. Vous avez dit, dans la dernière séance, que le binôme, connu sous le nom de « Binôme de Newton », avait été tiré par induction de l’observation sur la loi que suivent les termes des différentes puissances ; cette formule, dans sa généralité, s’étend non seulement aux puissances proprement dites, exprimées par des puissances positives et entières, mais encore aux puissances négatives et fractionnaires. En l’appliquant au développement de la fraction 1/(1 + x), on a la série 1 – x + x2 – x3 +, etc. ; si l’on suppose x = 1, cette série devient 1 – 1 + 1 – 1 +, etc., ce qui ne peut représenter 1/2 ; la formule du binôme paraît donc être en défaut.

  • 1 Tel était le critère quelquefois donné pour la convergence d’une série. A des oreilles modernes, i (...)
  • 2 Pour les séries, était adoptée la séparation entre un point de vue numérique et un point de vue fo (...)

2Laplace. Dans l’usage de la formule du binôme comme dans celui de toutes les expressions ou séries il faut avoir soin qu’elles soient convergentes, c’est-à-dire que les termes qui suivent ceux que l’on considère soient très petits et d’autant moindres que l’on prend un plus grand nombre de termes dans la série, en sorte que ce qui est négligé devienne de plus en plus insensible et moindre qu’aucune grandeur donnée1. Telle est la série précédente, lorsque l’on y suppose x1 moindre que l’unité ; mais, si l’on suppose x plus grand que l’unité, la série est divergente et ne doit plus être employée. Cependant la considération de ces séries, indépendamment de leur convergence et de leur divergence, est utile dans l’analyse. Si la solution d’un problème, conduit à une série que l’on parvienne à sommer, cette somme résout le problème, quelle que soit la valeur de x, quoique la série ne puisse être employée que dans de certaines limites2.

3Viguergne. En divisant l’unité par 1 + x, on a la suite 1 – x + x2 –, etc., et cependant cette suite serait fautive dans le cas où x serait, par exemple, égal à 11 ; les règles de l’algèbre paraissent donc être ici en défaut.

4Laplace. Cette difficulté, étant la même que celle qui vient d’être faite, j’y fais la même réponse. J’ajouterai de plus que, lorsqu’une série, ordonnée par rapport aux puissances croissantes de x, est divergente, les géomètres l’ordonnent d’une autre manière, afin de la rendre convergente ; ainsi, dans l’exemple que vous proposez, ils ordonnent la série par rapport aux puissances négatives de x, et ils ont, au lieu de l’unité, divisé par 1 + x cette série 1/x2+ 1/x3 –, etc., qui est très convergente, lorsque x = 11.

5Pouchain. En nous parlant de la nouvelle division des poids et mesures, vous nous avez prouvé ses avantages par l’application facile du calcul décimal, et vous avez fait voir qu’un de ces principaux avantages sera d’appliquer les logarithmes à tous les usages civils ; de sorte que ces tables, qui ne se trouvaient que dans le cabinet des mathématiciens, se trouveront désormais dans la boutique des marchands, où elles remplaceront les comptes faits de Barème.

6Plusieurs personnes m’ont fait une difficulté relative à la première ligne des tables des logarithmes ; on a donné, pour le logarithme de zéro, l’infini négatif : or, zéro n’est pas une quantité ; d’après sa définition, il n’est employé qu’à déterminer la valeur de position des chiffres ; il n’a pas de valeur réelle ; il ne doit donc pas avoir de logarithme. La réponse que je fais à celà, consiste dans l’inspection seule des deux progressions arithmétique et géométrique, qui sont les bases des logarithmes : la progression géométrique, prise en descendant, sera 1, 1/10,1/100, 1/1 000, etc. La progression arithmétique correspondante est 0, – 1, – 2, – 3 ; il est clair que ces progressions continuées à l’infini donneront, la première, l’unité divisée par 10 élevé à une puissance dont l’exposant sera infiniment grand, et la seconde, l’infini avec le signe –, et qui sera le logarithme correspondant au terme infiniment petit de la première progression ; mais ces notions d’infiniment petit et d’infiniment grand, offrent des difficultés.

7Laplace. Votre réponse me paraît juste, j’y ajouterai la réflexion suivante, fondée sur la théorie des limites, théorie dont j’aurai occasion de vous entretenir dans la suite. Le zéro par lequel la progression géométrique 1, 1/10, etc. se termine, ne doit point être considéré comme une quantité réelle, mais comme une limite vers laquelle les termes de cette progression tendent sans cesse, et dont ils approchent d’autant plus qu’ils sont plus éloignés, en sorte que l’on peut continuer la progression, de manière que son dernier terme soit moindre qu’aucune grandeur donnée. Voilà ce que l’on veut exprimer, en disant que le dernier terme de la progression continuée à l’infini, est nul.

8Pareillement, dans la progression arithmétique 0, –1, –2, etc., plus on prend de termes, plus le dernier terme est grand ; et quelque considérable que soit un nombre, on peut toujours continuer la progression, en sorte que son dernier terme surpasse ce nombre. Voilà ce que l’on exprime en disant que le dernier terme de la progression prolongée à l’infini est un infini négatif. Ainsi, quand on dit que le logarithme de zéro est l’infini négatif, cela signifie que plus une fraction est petite, plus son logarithme négatif est grand, et que l’on peut prendre la fraction si petite que son logarithme surpasse tout nombre donné. Le zéro est la limite de la fraction, et l’infini négatif est la limite de son logarithme.

  • 3 Pouchain fait certainement allusion aux allégations de Bernardin de Saint-Pierre, professeur à l’É (...)

9Pouchain. La détermination des nouvelles mesures est fondée sur la longueur du quart du méridien. Cette longueur dépend de la figure de la terre. Les géomètres et les astronomes ont conclu que la terre est aplatie de ce que les degrés des méridiens croissent, en allant de l’équateur aux pôles. Cependant, quelques personnes ont tiré de là une conclusion opposée. Quel parti prendre dans cette contrariété de sentiment3 ?

10Laplace. J’aurai occasion de traiter cet objet, quand je vous parlerai des découvertes faites en astronomie, et je vous démontrerai que sur un ellipsoïde de révolution, l’accroissement des degrés du méridien, de l’équateur aux pôles, indique un sphéroïde aplati. Je vous dirai seulement ici qu’il n’y a aucun doute à cet égard et que tous les géomètres sont parfaitement d’accord sur ce point.

Notes

1 Tel était le critère quelquefois donné pour la convergence d’une série. A des oreilles modernes, il peut paraître comme un énoncé non quantifié, en particulier sans valeur absolue, du critère de Cauchy. Malheureusement on l’utilisait bien rarement avec cette rigueur. L’expression de Laplace était toutefois plus précise que celle de d’Alembert qui se contentait d’écrire à l’entrée « convergent » de l’Encyclopédie : « Se dit d’une série, lorsque les termes vont toujours en diminuant ». Le marquis de Condorcet, dans l’Encyclopédie méthodique, (édition du tome 3, 1789) à l’article « série » examinait après bien d’autres le cas singulier de la formule

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qui est précisément celui soulevé par l’élève Simon de l’École normale. Il écrivait ainsi

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faisait x = 1 et concluait que le reste valait 1/2, ce qui le satisfaisait ! Laplace dans son Essai philosophique sur les probabilités reviendra longuement sur ces séries, et sur les « illusions de l’application du calcul des probabilités » à leur sommation [Laplace, 1825, p. 165-167].

2 Pour les séries, était adoptée la séparation entre un point de vue numérique et un point de vue formel. Le premier point de vue, comme le disait Condorcet, nécessitait que la série fût convergente. Selon le second point de vue, une série était « l’expression d’une quantité quelconque assujettie à une certaine forme ». Ce qui englobait l’utilisation des séries divergentes dans un cadre auquel le nom d’analyse asymptotique serait donné bientôt, domaine qu’Euler, Lagrange et Laplace avaient développé, [Laplace, 1785a], [Laplace, 1786a]. Mais le second point de vue pouvait être plus large encore, même si nous avons oublié aujourd’hui les problèmes qu’il sous-tendait, à savoir la classification des fonctions par la simple inspection de leur série formelle. Condorcet dans l’Encyclopédie méthodique prenait bien soin d’exposer que « toute série n’est pas le développement d’une fonction finie, ni même de l’intégrale d’une équation différentielle donnée », et se proposait d’affiner cette conception.
L’allusion à Barrème était devenue un tic de langage, pour désigner les livres de comptabilité. François Barrème, né à Tarascon en 1638, avait écrit les Tarifs et comptes faits du grand commerce, publiés en 1670. Ce fut un succès et l’on ne compta plus les rééditions. Sept ans plus tard, Barrème sortait l’Arithmétique, ou livre facile pour apprendre l’art soi-même et, en 1694, le Livre nécessaire pour tous les comptables.

3 Pouchain fait certainement allusion aux allégations de Bernardin de Saint-Pierre, professeur à l’École normale ne l’oublions pas, qui exaspérait le monde savant en tenant pour établi l’aplatissement de la Terre à l’équateur. Laplace portera l’estoc dans sa neuvième leçon. Voir l’annexe 13 : La figure de la Terre.

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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