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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

Programme1

1er pluviôse / 20 janvier

Texte intégral

  • 1 Lors de la première séance de l’École normale, Laplace et Lagrange occupèrent ensemble la tribune. (...)
  • 2 Le programme que Laplace et Lagrange se proposent de couvrir vise à fournir une ordonnance méthodi (...)

1La considération des grandeurs a fait découvrir des théorèmes et des méthodes, dont l’ensemble forme les mathématiques. En observant ce que les résultats particuliers avaient de commun entre eux, on est successivement parvenu à des résultats fort étendus, et les sciences mathématiques sont à la fois devenues plus générales et plus simples. Leur domaine s’est considérablement accru par leur application aux phénomènes de la nature, phénomènes qui sont les résultats mathématiques d’un petit nombre de lois invariables. En même temps que cette application a perfectionné les sciences naturelles, elle a ouvert de nouvelles routes dans l’analyse : c’est ainsi que les sciences, par leur rapprochement, se prêtent de mutuels secours. Présenter les plus importantes découvertes que l’on ait faites dans les sciences, en développer les principes, faire remarquer les idées fines et heureuses qui leur ont donné naissance, indiquer la voie la plus directe qui peut y conduire, les meilleures sources où l’on peut en puiser les détails, ce qui reste encore à faire, la marche qu’il faut suivre pour s’élever à de nouvelles découvertes : tel est l’objet de l’École normale et c’est sous ce point de vue que les mathématiques y seront envisagées2.

2On exposera d’abord la manière ingénieuse par laquelle, au moyen d’un petit nombre de caractères, on peut facilement exprimer tous les nombres et faire sur eux les opérations les plus usuelles de l’arithmétique. On fera sentir l’avantage de la division de toutes les espèces d’unités en parties décimales. En traitant des progressions arithmétiques et géométriques, on insistera sur la combinaison heureuse que l’on a faite de ces deux progressions pour former les logarithmes, l’une des inventions les plus belles et les plus utiles de l’esprit humain.

  • 3 L’Arithmetica universalis d’Isaac Newton allait bientôt être traduite en français par Noël Beaudeu (...)
  • 4 Par cette expression modelée sur le latin (habitudo), Laplace évoque le passage des polynômes aux (...)
  • 5 Les notations et leur rôle en général dans les cours de l’École normale de l’an III font l’objet d (...)

3La considération des nombres, indépendamment de leur valeur et de tout système de numération, a fait naître l’algèbre que Newton a nommée, par cette raison, arithmétique universelle3. Son objet est la grandeur conçue de la manière la plus abstraite. On a d’abord considéré ainsi les quantités, ensuite leurs puissances, et généralement toutes leurs manières d’être4. On les a désignées par des caractères fort simples, et ces notations qui semblent être peu de chose en elles-mêmes ont beaucoup influé sur les progrès de l’analyse, en donnant au langage algébrique cette généralité et cette extrême concision d’où résulte la facilité de saisir et de combiner les rapports les plus compliqués des objets5. Traduire en langage algébrique, c’est former des équations. L’art de mettre les problèmes en équations et de choisir convenablement les inconnues pour arriver aux solutions les plus élégantes, dépend de l’adresse de l’analyste. L’algèbre donne ensuite, pour résoudre ces équations, des méthodes rigoureuses ou approchées. On exposera les principes de ces méthodes, et ce que l’on a découvert de plus intéressant sur la nature des équations.

  • 6 Cette classification des mathématiques est reprise du Discours préliminaire à l’Encyclopédie dû à (...)

4Les grandeurs que l’arithmétique et l’algèbre considèrent sont des abstractions de l’entendement, et ces deux sciences sont entièrement son ouvrage. Nous ne connaissons que deux grandeurs réelles, l’étendue et la durée ; elles sont l’objet de la géométrie et de la mécanique6. Les propriétés de l’étendue considérée simplement comme figurée, appartiennent à la géométrie. On donnera les principaux théorèmes sur les lignes, les surfaces et les solides. On indiquera leurs applications les plus utiles, et l’on fera remarquer dans les démonstrations de quelques-uns de ces théorèmes, le germe du calcul infinitésimal.

  • 7 Si la géométrie donne le « germe » du calcul infinitésimal, comme Laplace vient de le dire, c’est (...)
  • 8 Ce passage se ressent de l’influence de Lagrange, qui met en avant le calcul algébrique des différ (...)

5L’un des plus féconds rapprochements que l’on ait faits dans les sciences est l’application de l’algèbre à la théorie des courbes. On développera leur formation et leurs propriétés principales. La recherche de ces propriétés a conduit à l’analyse infinitésimale7 dont la découverte a changé la face des mathématiques. On exposera les vrais principes de cette analyse, et l’on fera connaître, à ce sujet, le calcul aux différences finies8. Ensuite, on présentera quelques observations sur l’analyse et la synthèse, et sur les avantages propres à chacune de ces méthodes.

  • 9 « Gallilée », « chûte » et « vitesse » sont ainsi écrits dans le texte original. Nous ne mentionne (...)
  • 10 « Gallilée », « chûte » et « vitesse » sont ainsi écrits dans le texte original. Nous ne mentionne (...)

6Dans l’infinie variété des mouvements qui ont lieu sur la terre, on est parvenu à découvrir les lois générales que la matière suit constamment dans ces phénomènes. L’importance de ces lois dont nous dépendons sans cesse, aurait dû exciter la curiosité dans tous les temps ; cependant, par une indifférence trop ordinaire à l’esprit humain, elles ont été ignorées jusqu’au commencement du dernier siècle, époque à laquelle Gallilée9 jeta les premiers fondements de la science du mouvement par ses belles découvertes sur la chute10 des corps. Les géomètres, en marchant sur les traces de ce grand homme, ont porté cette science au plus haut degré de perfection dont elle paraît susceptible.

  • 11 Tel était le programme réalisé dans la Méchanique analitique de Lagrange, parue en lre édition à P (...)

7On développera les lois de la composition des forces, en examinant les conditions de l’équilibre dans les principales machines ; on les ramènera toutes à une seule, dont l’énoncé forme le principe des vitesses9 virtuelles et qui renferme de la manière la plus générale ce qui est nécessaire pour déterminer l’équilibre d’un système quelconque de corps solides et fluides. On fera connaître l’ingénieux principe au moyen duquel d’Alembert a ramené les lois du mouvement des corps, à celles de leur équilibre : en combinant ce principe avec celui des vitesses virtuelles, on réduira la mécanique entière à la pure analyse11. On exposera les principes généraux de cette science, et quelques-uns de ses résultats les plus remarquables, tels que les lois de la communication du mouvement, celles des mouvements accélérés par l’action de la pesanteur, et des oscillations des pendules simples et composés.

  • 12 Laplace ne traitera pas non plus de mécanique céleste à l’École normale. Les deux premiers volumes (...)

8C’est dans les espaces célestes que les lois du mouvement s’observent avec le plus de précision. Tant de circonstances en compliquent les résultats sur la terre, qu’il est difficile de les démêler, et plus difficile encore de les assujettir au calcul. Mais les corps du système solaire soumis à l’action d’une force principale, dont il est aisé de calculer les effets, ne sont troublés dans leurs mouvements respectifs, que par des forces bien connues, et toujours assez petites pour que l’analyse ait pu déterminer les changements que la suite des temps a produits et doit amener encore dans ce système. Il y a extrêmement loin de la première vue du ciel, à cette vue générale qui embrasse à la fois les états passés et futurs du système du monde. Pour y parvenir, il a fallu observer les astres pendant un grand nombre de siècles, reconnaître les mouvements réels de la terre, dans les apparences que ces corps nous présentent ; s’élever aux lois des mouvements planétaires, et de ces lois, aux principes de la pesanteur universelle ; redescendre ensuite de ce principe à l’explication complète de tous les phénomènes célestes jusque dans leurs moindres détails. Voilà ce que l’esprit humain a fait dans l’astronomie. Le tableau de ces découvertes aura le double avantage d’offrir un grand ensemble de vérités intéressantes, et la vraie méthode dans la recherche des lois de la nature12.

  • 13 Les probabilités font l’objet de la dixième et dernière leçon de Laplace. Celle-ci sera largement (...)

9Enfin, on donnera les principes de la théorie des probabilités. Dans un temps où tous les citoyens sont appelés à décider du sort de leurs semblables, il leur importe de connaître une science qui fait apprécier, aussi exactement qu’il est possible, la probabilité des témoignages, et celle qui résulte des circonstances dont les faits sont accompagnés : il importe surtout de leur apprendre à se défier des aperçus même les plus vraisemblables ; et rien n’est plus propre à cet objet que la théorie des probabilités, dont souvent les résultats rigoureux sont contraires à ces aperçus. D’ailleurs, les nombreuses applications de cette théorie, aux naissances, aux mortalités, aux élections et aux assurances, applications qu’il est avantageux de perfectionner et d’étendre à d’autres objets, la rendent une des parties les plus utiles des connaissances humaines13.

Notes

1 Lors de la première séance de l’École normale, Laplace et Lagrange occupèrent ensemble la tribune. C’est vraisemblablement Laplace qui lut le programme envisagé pour toutes les leçons de mathématiques, programme qui fut certainement distribué par écrit aux élèves. Il faut remarquer que ce programme n’inclut pas la géométrie descriptive, dévolue à Monge, géométrie peut-être conçue comme étant de rang inférieur, ou plutôt envisagée comme seulement illustrative des mathématiques.

2 Le programme que Laplace et Lagrange se proposent de couvrir vise à fournir une ordonnance méthodique des sciences mathématiques. Les deux mathématiciens offrent une perspective générale en vue de favoriser l’invention et la découverte en analyse. Tel n’était pas le but officiellement assigné à l’École normale. Mais, en joignant intimement recherche et enseignement, l’idée était d’accroître l’efficacité intellectuelle. La nouveauté de la géométrie descriptive jouait sur le même registre. C’est une composante essentielle de la méthode « révolutionnaire » d’enseignement.

3 L’Arithmetica universalis d’Isaac Newton allait bientôt être traduite en français par Noël Beaudeux, sous le titre d’Arithmétique universelle [Newton, 1707/1802].

4 Par cette expression modelée sur le latin (habitudo), Laplace évoque le passage des polynômes aux fonctions plus générales. Voir l’annexe 7 : Le théorème des valeurs intermédiaires et l’analyse algébrique des fonctions.

5 Les notations et leur rôle en général dans les cours de l’École normale de l’an III font l’objet d’un développement dans le volume Généralités.

6 Cette classification des mathématiques est reprise du Discours préliminaire à l’Encyclopédie dû à d’Alembert. Dans l’Encyclopédie méthodique publiée en 1785, à l’entrée « grandeurs », d’Alembert marque la difficulté d’une définition, « puisque l’idée que ce mot renferme est sans doute plus simple que les idées par lesquelles on peut entreprendre de l’expliquer ». Comme Laplace et Lagrange le firent ultérieurement, d’Alembert distingue entre les grandeurs concrètes (étendue, temps) et les grandeurs abstraites (assimilées bien vite au concept général de nombre). La grandeur concrète répond à la quantité continue, la grandeur abstraite à la quantité discrète.

7 Si la géométrie donne le « germe » du calcul infinitésimal, comme Laplace vient de le dire, c’est l’algèbre qui le règle. Le passage s’effectue grâce à l’étude des courbes. On conçoit que le traitement séparé de la géométrie descriptive relève d’une volonté délibérée.

8 Ce passage se ressent de l’influence de Lagrange, qui met en avant le calcul algébrique des différences finies pour fonder le calcul infinitésimal. Le calcul différentiel ne sera pourtant pas présenté lors des leçons de l’École normale. Le programme était donc trop ambitieux, et les professeurs n’avaient certainement pas tout écrit d’avance. Toutefois, pour le Calcul le relais sera pris à l’École polytechnique, où Lagrange officiera et où Laplace sera un examinateur de sortie vers certains corps militaires.

9 « Gallilée », « chûte » et « vitesse » sont ainsi écrits dans le texte original. Nous ne mentionnerons plus de telles écritures et adopterons dorénavant l’orthographe actuelle.

10 « Gallilée », « chûte » et « vitesse » sont ainsi écrits dans le texte original. Nous ne mentionnerons plus de telles écritures et adopterons dorénavant l’orthographe actuelle.

11 Tel était le programme réalisé dans la Méchanique analitique de Lagrange, parue en lre édition à Paris en 1788. La mécanique ne sera pourtant pas exposée à l’École normale de l’an III : elle ne le pouvait être d’ailleurs, faute d’une présentation préalable du calcul différentiel et intégral.

12 Laplace ne traitera pas non plus de mécanique céleste à l’École normale. Les deux premiers volumes de l’ouvrage portant ce titre sortiront seulement en 1799. Le « tableau des découvertes » annoncé paraîtra sans appareil mathématique : c’est l’Exposition du système du monde de 1796, où Laplace reprendra en introduction, à quelques corrections grammaticales près, le passage presque lyrique de sa leçon qui débute par : « Il y a extrêmement loin... » et se termine par « ...des lois de la nature ». Il achèvera même cette introduction en assurant : « C’est l’objet que je me suis proposé dans cet ouvrage », ce qui établit bien le lien entre les leçons à l’École normale et la rédaction du célèbre ouvrage de vulgarisation.

13 Les probabilités font l’objet de la dixième et dernière leçon de Laplace. Celle-ci sera largement utilisée pour la rédaction de l’Essai philosophique sur les probabilités paru beaucoup plus tard en 1814. Voir l’introduction aux leçons de Laplace, p. 37 et sqq. Tout ce qui précède, sans mention du nom de Lagrange, est reproduit dans les Œuvres complètes de Laplace [Laplace, 1912, tome XIV, p. 10-14].

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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