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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Jean Dhombres

Leçons de Laplace

L’affirmation du primat de la démarche analytique

Jean Dhombres

Texte intégral

1Si l’on excepte les probabilités, remarquablement traitées mais en dernier, les leçons de Laplace, relativement courtes, ne portent pas sur ses sujets de prédilection. Il lui fallait parler algèbre et géométrie, deux domaines sur lesquels il n’avait pratiquement pas publié puisqu’il préfèrait de loin tout ce qui en mathématiques permet de rendre compte avec exactitude du mouvement des planètes autour du Soleil. Il lui fallait en plus être simple, débarrassé du jargon savant, alors qu’il n’avait jamais écrit que pour ses pairs de l’Académie des sciences. Telles étaient les données extérieures que devait méditer Laplace en préparant ses leçons : à quarante-cinq ans, il se trouvait contraint au métier d’instituteur. Nous allons le suivre, afin de comprendre comment il réussit à transformer une tâche plutôt besogneuse en une magistrale leçon.

Laplace en 1795 : une rentrée sur la scène parisienne et une entrée sur la scène politique

  • 1 Selon l’expression que Decremps avait utilisée comme titre d’un livre sur l’astronomie en l’an ii e (...)

2En pénétrant ce mardi 20 janvier 1795 vers onze heures du matin dans le grand amphithéâtre du Muséum d’histoire naturelle, Pierre Simon Laplace devait savourer son retour sur la scène parisienne tout en appréhendant les réactions, imprévisibles après Thermidor, de plus d’un millier d’auditeurs accourus de toute la France. Ceux qui étaient venus l’écouter ce premier pluviôse de l’an III républicain pouvaient se révéler d’ardents révolutionnaires qui souhaitaient une « science sans-culottisée1 » et donc révoquer a priori un ex-académicien tel que lui. Le professeur n’oubliait sans doute pas que, pour recruter les élèves, le seul critère de sélection avait été une nomination locale au prorata exact de la population du district, sur recommandation des sociétés populaires. Il ne pouvait ignorer que l’idée de l’École avait pris corps en prairial an II, au plus dur de la Terreur. En outre, Laplace n’avait jamais enseigné à des auditoires aussi nombreux, s’étant contenté de quelques douzaines d’élèves à l’École militaire de Paris de 1770 à 1776, et ayant officié en toute sérénité comme examinateur des élèves de l’Artillerie depuis 1784. Ce dernier poste, envié car bien rémunéré, avait été un exercice solitaire du pouvoir pour le mathématicien aux solides attaches normandes. Au moment de l’interroger, la fougue juvénile d’un aspirant tel que Napoléon Bonaparte n’avait guère dû l’émouvoir. Mais dix ans plus tard, en janvier 1795, le professeur paraissait vulnérable, tête nue devant les élèves couverts, surveillé de la tribune par Lakanal et Deleyre dans leurs habits chamarrés d’or, de tricolore et de plumes, représentants du Peuple pour les Écoles normales, et délégués par la Convention.

  • 2 Selon les termes de l’arrêté du Comité de salut public du 3 nivôse an II [Aulard, 1919].

3Laplace réapparaissait après une retraite de plus d’une année du côté de Melun, ponctuée malgré tout par quelques allées et venues discrètes à la capitale, notamment pour régler des problèmes liés au calendrier révolutionnaire. La suppression de l’Académie des sciences, le 8 août 1793, ne l’avait pas tout à fait démuni, car dès le 11 septembre il était intégré à la Commission temporaire des poids et mesures en compagnie de douze autres membres, tous ex-académiciens. Le mandat de cet organisme provisoire était de veiller au bon déroulement des opérations géodésiques de triangulation entre Dunkerque et Barcelone, et de permettre la mise en place des dispositions relatives au système « républicain » des nouvelles mesures. Toutefois Laplace perdait bientôt son poste d’examinateur des élèves de l’Artillerie. Puis, le 23 décembre de cette même année, un arrêté pris à l’instigation de Prieur de la Côte d’Or, membre du Comité de salut public qui maintenait des liaisons étroites avec les savants, « épurait » la Commission, sans doute pour sanctionner une fidélité au confrère Lavoisier, désormais arrêté. Laplace faisait partie des exclus que leur manque de « haine pour les rois » et pour la tyrannie disqualifiait apparemment quand il s’agissait de tâches d’éducation et de diffusion scientifiques. Il n’était plus « digne de confiance2 ».

4A la fin de l’année 1793, les savants français étaient largement dispersés en dehors de Paris : le chimiste Berthollet se protégeait du côté d’Aulnay, le géologue Dolomieu du côté de La Roche-Guyon, et le naturaliste Tessier allait bientôt se réfugier en Normandie où il se sentait protégé par les bons soins de Cuvier, son élève installé dans les rouages de l’administration révolutionnaire locale. Dionis du Séjour, qui avait été le collaborateur de Laplace à l’occasion de calculs sur le système planétaire, se terrait dans sa propriété d’Angerville. Un autre collègue, Bochart de Saron, calculateur habile en astronomie et qui avait financé l’édition de l’unique livre alors publié par Laplace portant sur la théorie du mouvement et de la figure des planètes, était déclaré suspect, puis inculpé ; il sera guillotiné en avril 1794. Lavoisier, resté à Paris, était emprisonné, poursuivi comme fermier général, et bientôt guillotiné en mai 1794. A l’opposé, quelques autres savants, Monge, Cousin, Hassenfratz ou Vandermonde, vivaient dans les allées du pouvoir révolutionnaire : ils créaient les conditions d’un nouvel état des choses, qui servirait aux scientifiques en particulier.

5Laplace ne faisait pas partie de ces savants engagés. Lui qui dans les années ayant précédé la fin de l’Ancien Régime avait identifié son statut social à celui d’académicien, fut désemparé. Il quitta la ville révolutionnaire avec Marie Anne Charlotte Courty de Romange qu’il avait épousée six ans plus tôt, son fils Charles âgé de quatre ans et sa fille Sophie âgée d’un an. A Melun, il restait inquiet et assista impuissant à l’arrestation de son invité, l’astronome Sylvain Bailly. Ce dernier qui avait été le premier président de l’Assemblée Nationale, puis maire de Paris, devait être guillotiné le 13 novembre 1793 : on lui faisait porter la responsabilité de la fusillade sanglante du 17 juillet 1791 survenue au champ de Mars à la suite de la fuite du roi et de son arrestation à Varennes. Tout en se préoccupant des inévitables certificats de résidence à produire, le mathématicien continuait à écrire au long des années 1793 et 1794, mais il ne pouvait publier puisque les ouvrages de l’Académie étaient suspendus. Il ne semble pas avoir songé à émigrer, ni à faire jouer son renom à l’étranger pour réaliser une publication à Londres, Berlin, ou Saint-Pétersbourg.

6Thermidor passé, Laplace tenta une rentrée : l’occasion des cours de l’École normale pouvait être la bonne, mais il semble avoir hésité. Apparemment on n’avait pas d’abord pensé à lui comme professeur de mathématiques, et le bruit courut même qu’il avait été proposé comme simple élève. Lagrange et Monge s’imposaient : l’un par son renom mathématique et sa fidélité à la République, l’autre parce que l’École normale était un peu son fait et que son républicanisme était sans tache. N’avait-il pas été ministre de la Marine d’août 1792 à avril 1793 ? Monge avait la confiance de Lazare Carnot, toujours solide au Comité de salut public après la chute de Robespierre à laquelle il avait contribué. Lagrange et Monge furent donc les deux seuls mathématiciens inscrits sur la liste du 19 brumaire établie par Lakanal. Grâce au désistement de Hallé, nommé à l’École de Santé de Paris, un troisième professeur fut bientôt envisagé car les mathématiques étaient considérées comme essentielles pour la formation d’un enseignant. On songea à Adrien-Marie Legendre, auteur en l’an II d’un livre de géométrie dont le style à la fois euclidien et moderne laissait penser qu’il serait largement utilisé à l’avenir pour la formation des jeunes ; le choix d’un tel enseignant permettait de satisfaire l’un des buts de l’École en gestation, qui était de « normer » l’enseignement par la rédaction d’ouvrages élémentaires, c’est-à-dire de manuels. En outre Legendre disposait d’appuis car il travaillait auprès du Comité d’Instruction publique. Pourtant, sur le décret de nomination du 6 nivôse an III (26 décembre 1794), peut-être à l’instigation de Lagrange, on trouvait le nom de Laplace mais pas celui de Legendre. Ce n’était pas la première fois que Laplace supplantait son collègue : remontant à douze ans plus tôt, une sourde querelle de priorité scientifique les opposait. En effet, Laplace ayant alors dû rapporter en mars 1783 à l’Académie sur un mémoire présenté par Legendre quant à la gravitation occasionnée par un ellipsoïde avait, dans un volume daté de 1782, publié de son côté [Laplace, 1785b], en s’inspirant de ce mémoire, auquel il faisait certes référence mais dans un autre document [Laplace, 1784]. La contribution de Laplace emmagasinait toute l’originalité du papier de Legendre, mais en outre le dépassait. Or le texte de Legendre n’avait pas encore paru...car l’auteur n’appartenait pas à l’Académie et le recueil des savants étrangers connaissait des retards considérables [Legendre, 1785]. Laplace agissait là comme un duc face à un simple chevalier. Un tel comportement désinvolte valut à Laplace de sérieuses inimitiés.

  • 3 [Brissot, 1911]. Par l’entremise de Mentelle qui sera l’un des professeurs de géographie à l’École (...)

7D’Alembert sur le tard n’appelait-il pas par dérision ce Laplace qui avait été son protégé, « Monsieur le comte de Tufières » [Bertrand, 1869] ? Un autre épisode va dans le même sens. J. P. Brissot s’était lié avec Marat dont les académiciens avaient finalement refusé toutes les expériences tant en optique que sur le feu, et tout autant les théories qui reniaient les explications de Newton. Pour défendre Marat, le fier Brissot était entré dans une vive querelle avec Laplace : « Je ne pouvais supporter qu’il traitât avec insolence et despotisme un physicien parce qu’il ne jouissait pas comme lui du fauteuil3 ». Dès 1780, Brissot notait la rage de Marat qui « se serait contenté de pain et d’eau pour le plaisir d’humilier au moins une fois l’Académie des sciences ». L’humiliation vint avec la suppression de l’Académie, quelques jours après l’assassinat de Marat. Aussi la période de la Terreur fut-elle difficile pour Laplace.

8Peu à peu, au cours de l’an III, il récupéra une position. Après l’École normale, fin juillet 1795, il retrouva son poste d’examinateur de l’Artillerie, en ayant la satisfaction de lire dans l’arrêté de nomination du Comité de salut public un désaveu officiel de son renvoi précédent. Environ un an plus tard, devant les deux Conseils législatifs, les Anciens et les Cinq-Cents, il présentait solennellement le rapport annuel de l’Institut qui remplaçait les anciennes Académies. Sa déclaration de politique scientifique marquait la naissance d’un pouvoir nouveau, celui des savants [Laplace, 1796a]. Laplace sera ministre de l’Intérieur au lendemain du coup d’État du 18 brumaire, puis sénateur, bientôt comte d’Empire, avant de gagner un marquisat en 1816 par la grâce de Louis XVIII, ce roi plutôt pingre en promotion nobiliaire de bon rang. A cette date Lagrange était mort, de sorte que Laplace s’installait enfin comme patron incontesté de toute la science française. Ses élèves étaient à l’Académie des sciences ; la qualité littéraire incontestable de ses ouvrages lui procurait même un siège à l’Académie française. Signe éclatant de pérennité dans une période volontiers iconoclaste, les traits essentiels de sa Mécanique céleste ne furent pas remis en cause avant le dernier quart du siècle. Pendant la Restauration même, la contestation par la jeune génération des Arago et Fresnel de ses conceptions et de ses calculs sur la lumière et la chaleur, prouve surtout qu’il était par excellence l’esprit scientifique aux multiples compétences auquel on ne pouvait manquer de se référer.

9Mais revenons au début de l’année 1795. En cet hiver particulièrement rigoureux, le comportement de Laplace n’avait rien de triomphaliste et il avait dû préparer avec soin ses interventions. Contrairement à quelques collègues aux horaires plus fluctuants, il vint régulièrement à l’École normale tous les primidis, du 1er pluviôse (20 janvier) au 21 floréal (10 mai), sauf le 1er germinal (21 mars) et le 1er floréal (20 avril), débutant vers onze heures la séance composée de trois cours successifs : le sien, suivi de celui du physicien Haüy, lui-même suivi par l’exposé de Monge. Le découpage du calendrier révolutionnaire permet de voir du premier coup les quelques anicroches : le 11 pluviôse (30 janvier), ce primidi fut consacré à un débat, le premier concernant les mathématiciens. Deux jours plus tôt, le 9 pluviôse, Laplace donna exceptionnellement une leçon, d’ailleurs suivi de Monge. Il ne vint qu’une fois, un quintidi, pour un deuxième et dernier débat (le 26 pluviôse).

10Laplace prononça en tout dix leçons à l’École normale de l’an III, leçons étalées pratiquement sur toute la durée de l’École. Monge en prononça neuf (sinon douze) tandis que Lagrange, plus dilettante en l’occurrence, se contenta d’apparaître cinq fois complétant en quelque sorte Laplace, ainsi que le calendrier le faire ressortir. C’était peu par rapport aux vingt-huit leçons du bavard Sicard, mais peu aussi par rapport aux dix-huit leçons de Daubenton sur l’histoire naturelle. Si Laplace participa aussi à deux des trois débats communs aux professeurs de mathématiques, il y intervint assez peu. D’ailleurs, échec d’une pédagogie du questionnement selon la pratique des assemblées, au bout d’un mois les débats sur les mathématiques ne furent pas poursuivis, remplacés dans les bâtiments du Collège de France par des séances hebdomadaires et matinales de travail d’une heure et demi sur lesquelles nous ne savons pas grand chose, mais où il n’est pas impossible qu’un enseignement mutuel ait pu se développer, avec l’intervention d’une dizaine de « directeurs de conférences » [Dupuy, 1895].

11Dans une lettre à l’un de ses anciens professeurs d’Auxerre, Fourier, élève à l’École normale, le décrivit avec précision : « Laplace parut assez jeune, à la voix faible, mais nette ; il parle avec précision, mais non pas sans avoir quelque difficulté ; il est d’un extérieur assez agréable et vêtu fort simplement ; il est d’une taille moyenne » [Fourier, 1795].

12De quoi parla donc Laplace ?

Les dix leçons de Laplace : un ensemble analytique court, mais dense

13Les dix leçons de Laplace peuvent facilement être résumées, et les rubriques utilisées lors de la publication de ses leçons en 1812 au Journal de l’École polytechnique sont tout à fait adaptées de sorte que nous les reprenons ci-dessous en italique, indiquant entre-parenthèses le volume des pages occupé dans l’édition originale des leçons en 1795.

141re leçon Sur la numération et les opérations de l’arithmétique :

15En commun avec Lagrange, programme du cours de mathématiques, puis les quatre opérations élémentaires et les bases de la numération.

162e leçon Sur les fractions, les puissances et l’extraction des racines ; les proportions, les progressions et les logarithmes :

17Exposé organisé des fractions, des racines, des rapports, et introduction courte, mais précise, aux logarithmes.

183e leçon Sur l’algèbre, des premières opérations de l’algèbre : des puissances et des exposants :

19Règles opératoires de l’algèbre et exposé de la formule générale du binôme de Newton.

204e leçon Sur la théorie des équations :

21Nombres imaginaires, fonctions symétriques des racines, formules de Newton, théorème de d’Alembert et règle de Descartes.

225e leçon Sur la résolution des équations. Théorème sur la forme de leurs racines imaginaires :

23Cas des équations du 3e et du 4e degré, énoncé du théorème général de décomposition d’un polynôme pair (démonstration du théorème de d’Alembert).

246e leçon Sur l’élimination des inconnues des équations. Résolution des équations par approximation :

25Exposé autour du théorème de Bézout sur le degré d’une courbe obtenue comme intersection de deux surfaces de degré m et n respectivement, calcul approché des racines.

267e leçon Sur la géométrie élémentaire ; notions sur la limite ; principes de la trigonométrie rectiligne et de la trigonométrie sphérique :

27Exposé de géométrie euclidienne (théorème dit de Thalès), mâtiné de notions de limite avec application au calcul d’aires et de volumes. Terminé par une belle démonstration de la détermination des cinq polyèdres convexes réguliers.

288e leçon Sur l’application de l’algèbre à la géométrie. De la division des angles, théorème de Cotes. Usage des tables trigonométriques pour la résolution des équations. Applications de l’algèbre à la théorie des lignes et des surfaces courbes :

29Cette leçon, ainsi que la dernière, sont les plus longues de ce cours. On y parcourt beaucoup de matières, jusqu’aux courbes gauches, aux développées et aux développantes.

309e leçon Sur le nouveau système des poids et mesures :

31Description du système décimal et forme ellipsoïdale de la Terre.

3210e leçon Sur les probabilités :

33Cette remarquable leçon fournit la trame de ce qui deviendra plus tard, en 1814, l’Essai philosophique sur les probabilités.

34Débat Convergence et divergence des séries.

35En mettant de côté la leçon très originale et particulièrement importante sur les probabilités, l’ensemble traité possède une cohérence par prétérition : y figure l’essentiel de ce que l’on savait faire en mathématiques sans y impliquer le calcul différentiel ou le calcul intégral et naturellement sans reprendre en amont ce qui composait les Éléments d’Euclide relativement à la géométrie élémentaire et à l’arithmétique. Autrement dit, ces leçons préparent un aval, qui est précisément l’analyse différentielle et intégrale. C’est alors l’algèbre qui articule l’ensemble proposé par Laplace : non pas l’algèbre au sens structural que nous donnons à cette discipline aujourd’hui, mais plutôt l’algèbre entendue comme une procédure analytique. Celle qui permet, en sériant les difficultés, de les résoudre au terme d’une démarche qui s’appuie sur des calculs d’abord élémentaires, puis, en s’élevant à des degrés plus élevés de généralité, offre des formules complètes. Les opérations sur les limites de suites ou de fonctions, comme les développements des fonctions en séries entières, paraissent se ranger naturellement parmi ces procédures « algébriques », afin d’atteindre la généralité souhaitée sur les formules elles-mêmes. Si une telle organisation doit beaucoup à l’Introduction à l’analyse des infinis d’Euler, parue presque cinquante ans plus tôt, ainsi qu’aux Éléments d’algèbre du même Euler, il faut apprécier une réelle originalité favorisée par la concision imposée aux leçons de 1795. Ainsi les quantités infinitésimales disparaissent au profit de la méthode des limites. Mieux qu’une impossible exhaustivité du champ mathématique, c’est le souci de toujours présenter des méthodes générales en s’appuyant sur des formules analytiques qui caractérise le plus ces dix leçons.

36L’influence fut considérable. Un auteur de manuels aussi scrupuleux que Sylvestre-François Lacroix, de tempérament pourtant encyclopédiste, donc aimant les recensions complètes, reprendra à plusieurs reprises le plan du cours de Laplace en le développant autant que de besoin. C’est ce qu’il fit d’abord dans des notes à une réédition des Éléments d’algèbre de Clairaut parue en 1797, et avec plus de vigueur dans son fameux Cours de mathématiques à l’usage de l’École centrale des Quatre-Nations, principalement dans les Éléments d’algèbre et dans les Compléments aux Éléments d’algèbre. Ce faisant, il influençait directement plusieurs générations d’étudiants. Lacroix insistait pour dire que l’organisation envisagée par Laplace pour la présentation des mathématiques, qu’il estimait à tort inspirée par Clairaut, empêchait de « se livrer à l’ancienne routine » [Lacroix, 1797, Introd.]. Serait-ce à dire que Laplace suivait une voie « révolutionnaire » ?

Les leçons de Laplace : voie « révolutionnaire » ou synthèse des connaissances mathématiques de tout le xviiie siècle ?

37L’élève Fourier portait à vif un jugement pourtant sévère sur les cours de Laplace : « L’instruction mathématique qu’il donne n’a rien d’extraordinaire et est fort rapide » [Fourier, 1795]. Sans doute attendait-il que Laplace expliquât les questions que Fourier tentait de résoudre lui-même à propos de la séparation des racines réelles d’une équation ? Il avait raison de regretter le trop maigre volume horaire de ces leçons. Peut-être aussi était-il déçu de ne pas voir figurer les équations aux dérivées partielles, dont on pressentait qu’elles représentaient l’avenir des mathématiques. Arago au contraire, évoquant l’ensemble des leçons mathématiques auxquelles il n’avait pourtant pas assisté, y voyait comme Lacroix l’annonce d’un changement considérable : « De l’École normale date aussi une véritable révolution dans l’étude des mathématiques pures. Alors des démonstrations, des méthodes, des théories importantes enfouies dans les collections académiques, parurent pour la première fois devant les élèves, et les incitèrent à refondre sur de nouvelles bases les ouvrages destinés à l’enseignement » [Arago, 1833, p. 295-369].

  • 4 7e leçon de Laplace, p. 90. Les indications paginales réfèrent à la présente édition leçon par leço (...)

38Au moins peut-on constater dès le premier abord qu’un parti pris de généralité dominait ces leçons et que ce parti pris était affiché comme un modèle devant guider les futurs maîtres qu’étaient les élèves de l’École normale : « Préférez donc, dans l’enseignement, les méthodes générales, attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même temps, qu’elles sont presque toujours les plus faciles4 ». Nous n’entendons peut-être plus suffisamment aujourd’hui combien cette phrase de Laplace était militante. Lacroix ne s’y trompait pas qui la commentait quelque dix ans plus tard : « Il serait bien temps qu’on se défit de cette prédilection pour certaines méthodes particulières, parce qu’elles sont, à ce qu’on dit, plus élémentaires que les méthodes générales, ou pour dire vrai, parce qu’elles sont plus anciennes et par-là plus conformes à des habitudes acquises depuis longtemps, et qu’il en coûterait trop de réformer » [Lacroix, 1805, p. 203-204]. Un enseignement de qualité ne devait plus ressasser les façons anciennes mais tenir compte des progrès récents des sciences physiques et mathématiques ; en particulier afin d’éliminer à l’école les procédures obsolètes, les méthodes rendues caduques par de nouveaux points de vue. Favorisée par les circonstances pratiques de l’École normale, la relative minceur des volumes des leçons de Laplace répond à une volonté précise d’élimination. On ne s’y trompa pas.

  • 5 [Fourcy, 1828/1987]. La circulaire ministérielle est du mois de ventôse an VIII (février-mars 1800) (...)

39Être en phase avec « les écrits des géomètres de notre temps » [Lacroix, 1805, p. 205]. Tel était le mot d’ordre et sans doute l’un des principes essentiels qui guidait l’emploi de la « méthode révolutionnaire », celle même qui était à l’origine de la constitution de l’École normale en prairial an II et dont un membre du Comité de salut public comme Barère avait manifesté toute l’importance. Il s’agissait non seulement de diffuser les connaissances utiles, mais d’accélérer le progrès en fournissant les « vérités les plus fécondes et la route la plus directe qui peut y conduire », pour reprendre les termes du programme lancé par Laplace et Lagrange au début de leur première leçon. Au reste, cet esprit nouveau imprégnait désormais les autorités responsables du monde éducatif et ne réduisait pas son influence à l’enseignement spécialisé ou supérieur. Lucien Bonaparte, titulaire du portefeuille de l’Intérieur (qui couvrait à cette date l’enseignement), tint à reprendre dans une lettre-circulaire adressée à des professeurs des différents départements la phrase sur la préférence des méthodes générales que son prédécesseur à ce poste (le même Laplace) avait écrite. Le frère aîné de Napoléon, ou plutôt son scribe qui peut être Lacroix lui-même, insistait sur la nécessité du changement, même pour la transmission de matières solidement établies par la tradition : « A ne considérer que la vérité absolue des propositions, la partie élémentaire des mathématiques ne paraît pas susceptible de ces révolutions que de nouvelles découvertes amènent nécessairement dans les sciences physiques. Cependant, l’enseignement de cette branche de nos connaissances doit changer de forme lorsque des progrès ultérieurs ont fait apercevoir de nouveaux rapports entre des propositions qui paraissent isolées, les ont rattachées à des méthodes générales et ont fait sentir la nécessité de coordonner sur un nouveau plan les résultats anciennement obtenus. Les leçons données à l’École normale par Lagrange et Laplace sont la preuve la plus directe de cette assertion, et contiennent en même temps d’excellents matériaux pour former un cours assorti aux progrès que les mathématiques ont faits de nos jours5 ».

40La prise en compte générale du progrès, donc du facteur temps, est certainement l’une des marques les plus nettes de la Révolution, jusques et y compris dans la sphère éducative. Si les républicains de 1794 estimaient qu’une leçon morale pouvait être déduite de ce recours au temps, celle de la responsabilité de l’individu en faveur du perfectionnement possible de l’humanité, d’autres esprits craignaient au contraire la perte d’une référence absolue et la diffusion d’un relativisme. Ces derniers se manifesteront ouvertement avec les Ultras aussi bien qu’avec les Doctrinaires de la Restauration. Parce qu’il exigeait un effort permanent, Laplace ne concevait certainement pas le progrès comme un résultat inéluctable de la vie sociale. Au contraire, les résistances quotidiennes ne pouvaient qu’annuler ses effets. N’est-ce pas le sens métaphorique de la phrase finale et de tonalité bien sombre de son Exposition du système du monde : « On ne peut mieux comparer ces effets, qu’au mouvement d’un pendule animé d’une grande vitesse, dans un milieu très peu résistant. Il décrira d’abord un grand nombre de circonférences ; mais à la longue, son mouvement de circulation toujours décroissant, se changera dans un mouvement d’oscillation, qui diminuera lui-même de plus en plus, par la résistance du milieu, finira par s’anéantir : alors le pendule arrivé à l’état de repos, y restera sans cesse » [Laplace, 1835].

41Il n’est pas inutile de souligner ici la façon originale dont la politique éducative fut mise en œuvre. Le moteur était l’École polytechnique, où professaient les meilleurs savants, entendez les plus novateurs, ceux capables de véritables révolutions intellectuelles. Sans qu’un programme vint enserrer les maîtres de toutes les classes des écoles situées en amont, ceux-ci devaient s’adapter au niveau supérieur ainsi affiché. Par ce biais, l’émulation entre les maîtres pouvait jouer car l’on profitait du goût pour la nouveauté comme de la force des méthodes plus générales mises en jeu. On pensait que devait alors se réaliser naturellement une certaine uniformisation des connaissances et des talents sur tout le sol de la République, sans toutefois faire « disparaître cette heureuse variété que la diversité d’enseignement répand ou entretient dans l’esprit de ceux qui cultivent les sciences, et qui les porte à s’y frayer des routes nouvelles » [Fourcy, 1828/1987, p. 204]. Si elle avait duré, l’École normale aurait dû jouer un rôle pour maintenir la variété des approches dans l’enseignement, tout en comblant « le trop grand intervalle que la marche ordinaire des éléments laisse franchir pour s’élever aux idées générales sans lesquelles on ne peut suivre les théories nouvelles », comme le ministre déjà cité l’écrivait. Mais ce fut la seule École polytechnique qui survécut et l’accent fut plutôt porté sur l’uniformisation des connaissances, tant on avait d’abord besoin d’une langue commune à tous les ingénieurs de l’État dont cette École assurait la formation généraliste. Il est toutefois clair qu’en mathématiques l’esprit des cours de Laplace fut tranféré à l’École polytechnique, après une courte période d’adaptation.

  • 6 5e leçon de Laplace, p.74

42Voyons notre professeur à l’œuvre. Dans sa cinquième leçon, il aborde la résolution des équations polynomiales. Avec en tête un souci de pédagogie, il commence par traiter un cas particulier, mais de degré général, l’équation x2n + pxn + q = O. Il le fait afin de bien montrer la dépendance en 2n du nombre des racines. L’induction du cas général d’une équation polynomiale quelconque est donc naturelle ; il reste pourtant à démontrer sa validité. Ce n’est pas le trinôme précédent, aussi exemplaire soit-il, qui peut y conduire. A la manière de Descartes, il faut reprendre les choses dans un ordre raisonnable, celui gouverné par le degré de l’équation. Laplace attaque d’abord les quatre premiers degrés en rappelant que, depuis le xvie siècle, « diverses méthodes ingénieuses » avaient été proposées. Toutes consistaient à transformer l’équation de départ en une autre, dite réduite. Pour l’obtention de celle-ci il existait bien des approches indirectes, quoique rapides, mais elles ne faisaient pas voir la véritable méthode à l’œuvre, qui est certes « un peu plus longue » mais « préférable dans un cours destiné à développer les vrais principes des sciences6 ». Car telle est la règle que s’impose Laplace, bien conscient de la nouveauté de sa procédure. Il tient à la faire mesurer par ses auditeurs et signale que le principe de la méthode en jeu avait été obtenu conjointement par Lagrange et Vandermonde, et exposé dans des publications académiques publiées à peine vingt-cinq ans plus tôt. Mais il n’en était pas sorti. Du coup, Laplace présente « d’une manière uniforme » la résolution générale des équations de degré 2, de degré 3 et de degré 4.

43Les élèves connaissaient vraisemblablement le résultat pour le degré 2, l’expression des racines en fonction des coefficients, mais tout l’intérêt était de le retrouver au terme de la méthode générale pour les quatre premiers degrés. L’exposé de Laplace est donc scandé par la répétition de la même méthode, la détermination explicite d’une fonction linéaire des racines de l’équation proposée qui puisse elle-même dépendre d’une équation effectivement résoluble. Un beau jeu, organisé avec style, permet de passer de la forme la + mb (a et b étant les deux racines) dans le cas du second degré, à la forme la + mb + nc dans le cas du troisième degré, et à la forme fa + mb + nc + ld enfin, dans le cas du quatrième degré. A chaque fois, il convient de réduire la forme linéaire des racines de façon à faire apparaître des symétries, et donc de rendre possible la résolution de l’équation dont toutes les racines sont ces formes elles-mêmes. Ce faisant et en quelques pages seulement, Laplace ordonne toutes les connaissances acquises sur ces équations. N’est-ce pas Laplace lui-même qui tient la plume du ministre de l’Intérieur lorsque celui-ci écrivait : « Les jeunes gens ne peuvent saisir les méthodes générales de l’analyse, lorsque le mécanisme du calcul absorbe seul toute la partie de leur attention qu’exigeait le développement de la marche de l’esprit de ces méthodes » ? Mais Laplace va encore plus loin, et pose, fait alors rarissime dans un manuel, un problème non encore résolu.

  • 7 Ibid., p. 80.

44Une telle méthode uniforme avec les formes linéaires des racines pouvait-elle dépasser le quatrième degré ? Laplace explique que « toutes les tentatives que l’on a faites pour cet objet, ont été jusqu’à présent infructueuses7 ». Par une remarque de cette nature, l’auditeur entrait de plain-pied dans la recherche mathématique la plus active du moment. On ne lui proposait pas des énigmes destinées à l’ébahir, mais il lui était dûment indiqué ce sur quoi portait l’investigation des savants, la raison directe du blocage (le degré de la réduite), et par suite la nécessité d’apporter du neuf, ce qui ne pouvait que se situer au niveau des symétries de formes sur les racines gouvernant ce degré. Ce neuf que précisément Ruffini devait fournir en 1798 en établissant l’impossibilité de résoudre par radicaux l’équation générale du cinquième degré, en se basant sur les avancées de Lagrange [Lagrange, 1772b, 1773b]. Il manquait quelques éléments importants à cette preuve, qu’Abel apportera finalement en 1824 : les ingrédients sur les symétries donnèrent les éléments majeurs pour la constitution de la théorie des groupes.

45Sur cet exemple, nous distinguons clairement en quoi consista le parti pris d’exposition de Laplace dans ces leçons. La voie « révolutionnaire », c’est-à-dire nouvelle, passait effectivement par une synthèse des connaissances mathématiques, donc par la mise en place de méthodes destinées à expliquer les succès. Il ne s’agissait donc plus de répertorier toutes les méthodes utilisées au cours du xviiie siècle, selon la mode des Encyclopédistes. La plus ou moins grande généralité d’une méthode devenait critère de choix. Voilà ce que Laplace voulait instiller dans l’esprit de ses auditeurs. En conséquence, l’absence de leçons sur le calcul différentiel ou le calcul intégral, par la faute d’une durée trop brève impartie à l’École normale, ne portait pas vraiment préjudice à l’équilibre global du cours de Laplace.

  • 8 Pour la résolution des équations du troisième degré, et pour l’intervention des formes linéaires do (...)
  • 9 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

46Car, dans un cadre même restreint, quelques innovations sont effectivement spectaculaires et nous en retrouvons d’ailleurs certaines chez Lagrange : présentation de la théorie des nombres, présentation raisonnée de l’algèbre des équations au moyen de substitutions sur les racines, démonstration du théorème de d’Alembert, algébrisation de la géométrie. D’autres innovations, certes déjà introduites par Euler, n’en sont pas moins marquantes pour un cours de ce niveau, par exemple la manipulation constante et sans embarras des quantités imaginaires8 ou la technique de l’osculation des courbes par identification algébrique9. Parce qu’elle provoquait un changement complet dans la présentation de la géométrie, l’innovation la plus remarquable, du moins aux yeux d’un professeur du xviiie siècle, ne résidait-elle pas dans l’abandon de la théorie des proportions ? Celle-ci était réduite au strict minimum d’une présentation des progressions géométriques (et encore Lagrange s’insurgeait contre le maintien du vocabulaire des proportions à ce propos). Le progrès mathématique exigeait de telles éliminations, mais on sait combien il est plus facile d’ajouter des matières à un programme scolaire que d’en ôter. Il y faut des décisions « révolutionnaires ».

47Pour prendre conscience de la nouveauté pédagogique, il suffit de comparer ce cours à tous les manuels antérieurs que cette théorie encombrait. Rappelons — car la pratique enseignante actuelle n’est pas revenue sur le dégraissage laplacien — que les proportions disposaient d’une écriture propre, distincte de l’écriture algébrique polynomiale. Il s’agissait de comparer deux grandeurs homogènes, par exemple deux longueurs a et b, en exprimant par la « raison » de a à b quelque chose comme « l’opérateur » agissant sur b pour donner a, ou encore pour employer un vocabulaire scolastique, « l’habitude » suivant la quantité, de a à b. En dépit des injonctions de Leibniz, on ne notait guère cette raison par a/b, et on ne la concevait pas plus comme une fraction. C’est que la théorie développée magistralement au livre V des Éléments d’Euclide, livre attribué à Eudoxe de Cnide, considérait non pas une telle raison, car elle paraissait impossible à définir directement, mais l’équivalence de deux raisons, sous la forme d’une proportion, alors notée à partir de quatre grandeurs

48(1) a : b : : c : d

49Si cette proportion manifestait l’égalité que nous écrivons aujourd’hui

50(2) a/b = c/d,

51on préférait, à juste titre sur le plan de la logique, énoncer rhétoriquement que a est à b comme c est à d, un refrain qui revient sans cesse dans les textes mathématiques du xviiie siècle.

  • 10 Proposition 2 du livre VI des Éléments. Voir 7e leçon de Laplace, p. 88-89.

52Prenons quelques exemples. Marie, révisant les Éléments de mathématiques de La Caille, un manuel fort utilisé, éprouvait en 1778 1e besoin d’indiquer que « la théorie des proportions est une des principales bases des mathématiques. » Condillac disait de même dans la Langue des calculs. Legendre la conservait encore dans ses Éléments de géométrie de 1794. Bézout, Camus, Bossut, tous auteurs de manuels célèbres avant 1795, les alourdissaient de dizaines et de dizaines de pages sur les proportions. Au contraire, Laplace écrase la formule (2) par l’équivalence à ad = bc ; il multiplie les grandeurs entre elles et réduit donc les proportions à la simple résolution des équations du 1er degré. Il n’éprouve aucune gêne à noter A/B le rapport de deux grandeurs A et B : « Pour avoir une idée juste de ce que l’on doit entendre par le produit de deux lignes, il faut concevoir une droite quelconque prise pour unité, et considérer ces lignes comme des nombres abstraits qui expriment les rapports de leurs longueurs à l’unité linéaire ». Aussi, de façon significative, Laplace envisage-t-il comme seule démonstration en théorie des proportions le cas de ce que, de façon relativement récente, nous appelons en France le théorème de Thalès : « Si l’on mène une droite parallèle à un des côtés d’un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle10 ». Laplace abandonne complètement toute démonstration euclidienne qui passe par la considération d’aires de triangles (sans doute parce qu’il n’est pas normal que le deuxième degré intervienne pour prouver quelque chose qui est du ressort du seul premier degré !). Il établit un passage à la limite. Si A et a sont les deux côtés du triangle, et si B et b sont « leurs parties retranchées par la parallèle à la base », la différence B/A - b/a est nulle lorsque chacun des rapports est commensurable, c’est-à-dire égal à une fraction d’entiers. Dans le cas d’incommensurabilité, la différence peut être rendue plus petite que tout nombre donné. Or avance Laplace, « deux quantités dont on peut prouver que la différence est moindre qu’aucune grandeur donnée sont évidemment égales entre elles : c’est en cela que consiste le premier principe de la méthode des limites » ; on a donc B/A = b/a. C’est bien la généralité de la méthode des limites qui en justifiait l’emploi pour la résolution d’un problème élémentaire.

53C’était un coup dur porté à l’esprit du livre V d’Euclide, mais il était autorisé par l’identification algébrique d’une grandeur à un nombre : c’était un grand chambardement quoiqu’il ait été directement repris de la Géométrie de Descartes, certes vieille d’un siècle et demi, mais qui n’avait pas encore été diffusée dans l’enseignement. En portant l’accent sur les nombres, en place des rapports abstraits de grandeurs, Laplace ne réalisait pas seulement un allègement des procédures pédagogiques ; il préparait aussi la voie pour Cauchy et Bolzano. En effet, ces auteurs allaient devoir se pencher sur les propriétés effectives de l’ensemble des nombres réels, indépendamment du support géométrique que Laplace escamotait déjà.

  • 11 Il y a là matière à méditation.

54Cette constatation nous conduit à une question. Les méthodes nouvelles satisfaisaient évidemment une option pédagogique articulée par une connaissance en profondeur du monde mathématique afin de dépasser la simple distribution de recettes. Ces méthodes pouvaient-elles en même temps inciter à la créativité, guider vers la découverte ? Cette question est d’autant plus aiguë que le « dégraissage » laplacien quant aux proportions, malgré l’appui de Lacroix, ne fut pas suivi dans les manuels français du xixe siècle11 !

L’invention en mathématiques : rivalité avec Lagrange, rivalité avec Monge

  • 12 Programme des cours de mathématiques, p. 45.

55Inventer était la grande affaire. Ni Lagrange, ni Laplace n’avaient voulu celer leur ambition alors que le 1er pluviôse ils exposaient leur programme : « Présenter les plus importantes découvertes que l’on ait faites dans les sciences, en développer les principes, faire remarquer les idées fines et heureuses qui leur ont donné naissance, indiquer la voie la plus directe qui y peut conduire, les meilleures sources où l’on peut puiser les détails ». Tout cela pourtant n’était qu’une partie du programme qui s’articulait sur ce qui venait ensuite : « [Présenter] ce qui reste encore à faire, la marche qu’il faut suivre pour s’élever à de nouvelles découvertes12 ».

  • 13 5e leçon de Laplace, p. 79-80.
  • 14 Voir l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre.

56Ce n’étaient pas de vains mots. Laplace terminait sa cinquième leçon, celle même où il avait exposé les méthodes de résolution des équations polynomiales des premiers degrés, par une démonstration sensationnelle, celle du théorème dit de d’Alembert. La méthode suivie par Laplace à cette occasion tranchait complètement sur celle que d’Alembert avait élaborée cinquante années plus tôt, et qui était rendue délicate par l’intervention parachutée d’un développement en série (mais sous une forme différente de celle d’une série entière). A sa place ce que Laplace faisait intervenir était un fruit direct de la méthode des formes linéaires portant sur les racines d’une équation, méthode qui avait fait la richesse de la leçon précédente. En quelque trois pages, il établissait « que toute équation d’un degré pair, est résoluble en facteurs réels du second degré13 », ce qui lui permettait ensuite d’écrire toutes les racines d’un polynôme quelconque sous la forme d’un nombre complexe a + ibi = √-1, a et b étant des nombres réels14. Avec cette démonstration, Laplace fournissait la base de l’algèbre, puisque nous devons rappeler que dans la littérature de langue anglaise le théorème de d’Alembert est qualifié de théorème fondamental de l’algèbre. Il faut aussi témoigner de l’absence d’une telle démonstration, voire même d’un tel énoncé, dans les manuels mathématiques de l’époque. Qu’il s’agisse du manuel de Jean-Mathurin Mazéas utilisé à l’université de Paris (collège de Navarre), ou des manuels pour les écoles militaires de Camus, Bossut ou Bézout. A faire ainsi une démonstration tout à fait originale, même si elle ne se révélait ni trop ardue ni trop technique, Laplace ne risquait-il pas de perdre tous ses auditeurs, du fameux Bougainville vieillissant qui avait pourtant écrit un remarquable traité de calcul intégral, aux plus jeunes qui ne contrôlaient vraisemblablement pas bien les règles de l’algèbre et avaient surtout été formés aux règles désuètes de la théorie des proportions ?

57Il serait malhonnête de répondre que Laplace n’avait cure d’être suivi. Il manifestait trop le souci d’un exposé organisé, partant, à chaque leçon, de faits simples permettant d’engager la réflexion vers des matières plus amples, pour qu’on puisse raisonnablement l’accuser de désinvolture. D’ailleurs, Laplace ne voulait-il pas plutôt faire oublier en l’an III ce que son comportement passé avait de hautain et d’élitiste ?

58Conviendra-t-on alors qu’en cette fin de leçon, comme en quelques autres endroits, Laplace se laissait aller aux vertiges de la virtuosité dans le seul but d’éblouir les quelques savants dont Fourier évoquait la présence dans l’amphithéâtre du Museum, en sus des représentants de la Convention, des élèves, et... de plusieurs femmes ? L’astronome Lalande, le mathématicien Cousin, le physicien Brisson, plusieurs professeurs du Lycée étaient là, sans compter le libraire Panckoucke, éditeur avisé de l’Encyclopédie méthodique.

  • 15 1re leçon de Laplace, p. 47.

59L’orgueilleux Laplace ne dut pas être insensible à ces présences flatteuses, mais son objectif s’inscrivait trop bien dans la démarche analytique pour être simplement conjoncturel. Le but même de sa méthode était précisément de permettre d’aller au plus profond, et partant au plus créatif. La nouveauté « révolutionnaire » ne consistait pas seulement à « faire selon la mode », c’est-à-dire à exposer les travaux les plus récents ; il s’agissait surtout de mettre en place un cheminement analytique, une méthode générale qui fût génératrice d’une accélération de l’apprentissage mathématique comme elle était porteuse de nouvelles découvertes. En offrant à l’homme, même le plus instruit, « sous un seul point de vue, l’ensemble des vérités qu’il connaît », Laplace entendait indiquer les « vérités les plus fécondes » et au fond fournir le moyen le plus rapide, « la route la plus directe qui peut y conduire15 ». Mais ce moyen n’était un raccourci que dans la mesure où l’on pense à tout ce qui restait à découvrir et à tout ce qui devait venir après, grâce à la poursuite de l’investigation scientifique. A bien des égards, les méthodes que présentait Laplace pouvaient apparaître tortueuses et inélégantes si l’on n’avait en tête que l’obtention de résultats déjà connus. En d’autres termes, au niveau pédagogique qui était le sien à l’École normale, Laplace préparait délibérément l’avenir scientifique.

60Ce faisant, il ne dérogeait pas du tout à son habitude de mathématicien. Dans la variété de ses écrits, il y avait même chez lui comme une tension de la découverte qui peut parfois le rendre obscur. Il est symptomatique que le meilleur commentaire des quatre premiers volumes de la Mécanique céleste, à savoir sa traduction américaine par Nathaniel Bowditch, bute à chaque page sur des difficultés et les résout en de longues notes explicatives [Bowditch, 1829-1839]. C’est pourtant dans ses recueils académiques, plus que dans les grands traités didactiques, que l’on perçoit le mieux cette volonté chez Laplace de forcer l’inconnu tout en s’assurant de la fiabilité des méthodes mises en jeu.

61Il faut le suivre de près. Écoutons-le le 11 août 1784 « présenter aux géomètres... une théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes plus générale et plus simple que celles qui sont déjà connues » [Laplace, 1785b]. Il s’agit de trouver la ou les figures d’équilibre d’un corps fluide animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe, problème qui connaîtra de remarquables prolongations jusqu’à Poincaré. Après beaucoup d’autres dont Legendre, sans supposer la symétrie par rapport à l’équateur ou la révolution de la surface, mais en négligeant a priori le carré de la force centrifuge, Laplace obtient la seule figure ellipsoïdale de révolution comme surface d’équilibre. Mais il quitte cette première hypothèse pour envisager l’équation fondamentale qui gouverne le phénomène, à savoir « une équation aux différences partielles du second ordre ». L’équation trouvée devient la base des recherches. Laplace estime à juste titre avoir mis en valeur l’objet mathématique par excellence qu’il conviendra d’étudier par la suite. Cette étude pourra prendre bien des énergies et bien du temps, mais telle est désormais la voie à suivre : l’avenir est ainsi balisé. Pour le moment, ne sachant pas intégrer cette équation en général, Laplace se contente de moins et donne certaines approximations des solutions et il peut provisoirement rajouter des hypothèses. Sous une hypothèse d’homogénéité, il parvient néanmoins à déduire que la « Terre est nécessairement un ellipsoïde de révolution ». Laplace s’arrête alors pour un commentaire sur ce qui vient d’être prouvé. Mais voilà que le bilan relance aussitôt la recherche car il faut attaquer le calcul utilisé qui peut manquer de rigueur et surtout de généralité : « Ce résultat, fondé sur le développement en série des attractions des sphéroïdes, pouvant laisser quelques doutes, je le démontre, a priori, indépendamment des suites » [Laplace, 1785b, p. 342]. Du coup, Laplace repart dans son investigation analytique et croit prouver l’existence d’un seul état d’équilibre du fluide en rotation. Là encore, il ne s’arrête pas et énonce une conclusion d’ordre épistémologique. La découverte qu’il vient de faire justifie a posteriori le calcul même qui fait jouer des séries, dont il devait vraisemblablement l’idée à Legendre. Loin de manquer de richesse inventive - aune à laquelle Laplace jauge la rigueur - le calcul des séries est donc promu au rang d’outil qualifié : « La méthode des séries conduit aux mêmes résultats, d’où il suit que cette méthode a toute la généralité possible, et qu’il n’est point à craindre qu’aucune figure d’équilibre lui échappe ». L’objectif restant bien la déduction de la figure terrestre à partir des lois de la mécanique, avec le minimum d’hypothèses supplémentaires. Même si Legendre lut à l’Académie le 28 août 1790 un mémoire fournissant une infinité de figures d’équilibre, contredisant le résultat de Laplace de 1784, c’était bien l’équation du laplacien qui ouvrait toutes les perspectives prometteuses.

  • 16 [Laplace, Lettre à d’Alembert du 15 novembre 1777].

62Tel est le cheminement auquel Laplace contraint son lecteur. Sa démarche est exigeante et le lecteur peut être facilement désorienté par les zigzags d’une pensée qui tire des leçons générales, revient en arrière pour améliorer un résultat, repart de plus belle dans des calculs impressionnants de longueur, et le fait sans crier gare. Il n’y a pas le beau déroulement nécessaire d’implications enchaînées, mais bien plutôt un mouvement saccadé, comme s’il s’agissait de trouver la vérité des choses par la violence. Laplace s’était découvert auprès de son maître d’Alembert : « Mon plus grand amusement est d’étudier la marche des inventeurs, de voir leur génie aux prises avec les obstacles qu’ils ont rencontrés et qu’ils ont su franchir ; je me mets alors à leur place, et je me demande comment je m’y serais pris pour surmonter ces mêmes obstacles...16 ». Poinsot, mauvaise langue, disait que Laplace n’avait « jamais vu la vérité que par surprise » et n’en parlait « que d’une manière obscure ».

  • 17 [Laplace, Lettre à Lagrange du 19 novembre 1778].

63Le style même de Laplace ne présentait pas le fini et l’élégance qui faisaient le charme des écrits de son aîné Lagrange, devenu son collègue à l’École normale. Laplace le reconnaissait qui écrivait directement à Lagrange - il n’en aurait certainement pas convenu avec un autre - : « Je vous remercie surtout bien sincèrement du Conseil que vous m’avez donné sur la précision et la clarté que tout lecteur est en droit d’attendre de ces sortes de matières ; je me propose aussi d’y donner une attention particulière dans les recherches que je publierai par la suite ; vos mémoires [...] sont des modèles parfaits en ce genre, et ils ne me paraissent pas moins recommandables par l’élégance que par les découvertes sublimes qu’ils renferment17 ».

64S’il ne changea guère de style dans ses mémoires savants, on doit penser que le contact avec Lagrange, notamment à l’École normale, aida Laplace à contenir sa plume en la disciplinant pour la rédaction des traités didactiques. Il adopta une démarche plus linéaire dans ses explications. Un peu comme un gaucher que l’on force à écrire à droite et dont l’écriture revêt un aspect conventionnel et uniforme, cette contention même n’explique-t-elle pas le caractère souvent emphatique de l’expression de Laplace, que ce soit dans l’Exposition du système du monde, publié en 1796, ou dans la Mécanique céleste (deux premiers volumes en 1799), voire dans la Théorie analytique des probabilités (1812) ?

  • 18 2e leçon de Laplace, p. 57.

65Nul doute en tout cas qu’une opposition intellectuelle animait les deux hommes qui rivalisèrent d’assauts à fleurets mouchetés pendant les leçons de l’École normale. Le 28 janvier, pour sa deuxième leçon, Laplace laissait tomber que les recherches en théorie des nombres ne sont que de « pure curiosité ». Il avait préparé le terrain en expliquant que cette même curiosité des géomètres n’était excitée que « par les artifices réguliers » qu’il fallait imaginer pour parvenir au succès en arithmétique. Or constatant que l’analyse, tellement développée au xviiie siècle, n’avait que « peu influé sur la théorie des nombres », Laplace concluait : « Je ne conseille de s’y livrer qu’à ceux qui en ont le loisir18 ». Deux jours plus tard, Lagrange en présence de Laplace soulevait dans le premier débat quelques problèmes en suspens de théorie des nombres, dont celui de la répartition des nombres premiers, et il enivrait son auditoire de l’exposé du théorème dit de Wilson, « un des plus beaux qu’on ait encore trouvés » (voir l’annexe 2 : Sur le théorème de Wilson). Chacun essayant de tenir l’auditoire, une rocambolesque série de réponses en va-et-vient de Lagrange et Laplace pimenta le débat à partir d’une question d’un élève relative... à l’ordre dans lequel on traitait les chiffres successifs d’un nombre lors des différentes opérations élémentaires. Rien de bien précis encore dans le conflit entre les deux professeurs.

  • 19 2e leçon de Lagrange, p. 211.

66Cinq jours plus tard, un quintidi, au lieu du débat attendu, Lagrange se lançait dans un numéro de soliloque sur la théorie des fractions et il débouchait avec élégance sur les fractions continues. Puis il reprenait les progressions géométriques, pourtant déjà évoquées par Laplace, passait aux logarithmes et aboutissait alors à la gamme musicale, autre façon de rappeler l’intérêt de l’arithmétique. Mais Lagrange, dont l’œuvre était considérable en théorie des nombres, maillon entre Euler et Gauss, avait décidé de faire plus fort. Il débutait péremptoirement sa deuxième leçon, le 24 février, en déclarant : « Citoyens, un ancien disait, que l’arithmétique et la géométrie étaient les ailes des mathématiques19 ». Il croyait pouvoir ranger de cette façon le géomètre Monge à ses côtés, ce qui était de bonne guerre. Lagrange en tout cas détourna le thème de la leçon prévue — elle devait porter sur l’algèbre — pour reprendre les propriétés des restes dans les divisions et aboutir à la résolution des équations diophantiennes linéaires grâce à la théorie des fractions continues. C’était sa façon de répondre à Laplace en montrant le rôle efficace de l’algèbre en arithmétique. Cela lui permettait aussi de dresser un tableau remarquable.

  • 20 2e leçon de Laplace, p. 57.

67Laplace voulut rebondir et, d’ailleurs, il n’avait pas manqué d’indiquer que la théorie des nombres fournissait « d’excellents modèles dans l’art de raisonner » prévoyant un jour « peut-être, des applications importantes20 ». Il garda ces mots en mémoire et lors de l’édition des leçons au Journal de l’École polytechnique, en 1812, tint à signaler que Gauss venait de réaliser ses prévisions, grâce à ses recherches sur les formes quadratiques. Mais dès ce moment de l’École normale il médita, vraisemblablement quelques semaines, pour, dans sa huitième leçon, le 10 avril, se lancer dans une preuve entièrement analytique de l’existence des cinq solides de Platon, sans aucune figure, c’est-à-dire pour la détermination des cinq polyèdres réguliers convexes : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Il réduisait ce problème géométrique à la résolution d’une équation diophantienne, à savoir

68(x – 2) yz + 4 y = 2 xz.

  • 21 [Lagrange, Lettre à Laplace du 30 décembre 1776].

69Laplace retrouvait ainsi la dernière proposition du livre XIII des Éléments, le dernier, là où Euclide utilisait le fait qu’un angle solide est contenu sous des angles dont la somme est nécessairement plus petite que quatre droits. Bref, il montrait une maîtrise de l’arithmétique qui pouvait paraître le mettre au rang de Lagrange. Il obtenait cinq manières de recouvrir la sphère avec des polygones égaux et réguliers, trois avec des triangles, une avec des carrés et une dernière enfin avec des pentagones. Lagrange ne répondit pas à ce spectacle donné par Laplace... Le lendemain, avec sa cinquième leçon, il considéra ses cours comme terminés. Il est d’autant plus piquant de constater que Laplace n’avait jamais publié ailleurs en théorie des nombres, typique en cela des mathématiciens du xviiie siècle, Lagrange, Euler et Legendre exceptés. S’il avait lu en février 1776 un mémoire relatif au théorème de Fermat dans le cas des nombres premiers égaux à 3 modulo 8, il s’était contenté d’adresser le mémoire manuscrit... à Lagrange. Ce dernier répondit gentiment : « C’est une grande satisfaction pour moi de voir que vous avez pris goût à ces sortes de recherche21 ». Le goût supposé ne fut pas maintenu !

  • 22 [Lagrange, 1780], [Laplace, 1784], [Laplace, 1788a] et reprise explicative complète dans [Laplace, (...)
  • 23 [Lagrange, Lettre à Laplace du 11 février 1784].

70La rivalité toute épidermique que nous venons de surprendre dans la gestion des leçons à l’École normale entre Laplace et Lagrange, de treize ans son aîné, avait des racines anciennes et profondes. Tous les deux avaient traité les mêmes questions du système planétaire : libration de la lune, inégalités des mouvements de Jupiter et de Saturne22. A propos de ces dernières, avec quelque nuance d’ironie Lagrange écrivait à Laplace : « A l’égard de ma théorie de Jupiter et de Saturne, je me féliciterai d’avoir été prévenu par vous, si vos recherches ne me laissent plus rien à faire à ce sujet23 ». Très souvent, Laplace sembla mettre de côté les méthodes mises au point par Lagrange, notamment celles qui faisaient jouer le calcul des variations. Dans la Mécanique céleste, il parut vouloir présenter la Mécanique analytique de Lagrange comme un ouvrage élémentaire fixant les principes généraux, et se donner le rôle de celui qui savait aller plus loin pour déterminer les inégalités séculaires notamment. Mais étudier les manières intellectuelles en mécanique des deux auteurs — leur style de découverte — dépasserait le propos de cette présentation, d’autant qu’il n’y eut aucun cours de cet ordre à l’École normale.

  • 24 Monge lui rendait l’impolitesse en ne le citant pas plus.
  • 25 8e leçon de Monge, p. 405.
  • 26 Sur ces sujets, Monge ne faisait que reprendre mot pour mot un texte ancien publié par l’Académie [ (...)
  • 27 8e leçon de Laplace, p. 111-112.
  • 28 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

71Bien différentes apparaissent les relations de Laplace et Monge, l’autre professeur mathématicien de l’École normale. Elles sont caractérisées par le fait que Laplace ne mentionne pas une seule fois son collègue, ni ne fait allusion à ses cours, alors que des recoupements sont évidents24. Ainsi, lors de sa huitième leçon, Laplace étudiait les courbes, la courbure, les courbes développées et les développantes. Il passait aux coniques, aux courbes gauches et à leurs projections, aux surfaces enfin. C’étaient des sujets que Monge avait évoqués à sa manière le 31 mars, Laplace étant présent. Aucun rappel n’était pourtant fait par Laplace qui traitait les sujets comme neufs et aucun renvoi n’était suggéré ! Il n’est alors pas anodin de noter toutes les précautions oratoires de Monge, avant son introduction précisément de la courbure et des développées. Il s’adressait à des futurs maîtres et même si « le plan d’une instruction populaire » ne devait porter que sur des « objets simples et d’une utilité journalière », il fallait que le maître puisse répondre à toute difficulté d’un « artiste » : « Et comment le professeur la lèvera-t-il s’il ne s’est exercé à des considérations d’une généralité plus grande que celles qui forment l’objet ordinaire des études25 » ? Bref, Monge justifiait pédagogiquement sa description des développantes et des développées aux courbes, mais son approche reposait essentiellement sur le dessin auquel étaient adjointes des évidences angulaires portées au niveau de la géométrie infinitésimale, par exemple le fait que la normale à la développante soit la tangente à la développée26. Sur le même sujet de la courbure, Laplace offrait au contraire une approche purement analytique et un peu sèche, à partir des équations du centre du cercle osculateur à une courbe, et il ne consentait à la géométrie infinitésimale qu’en fin de course... pour justifier un processus de rectification des courbes, donc dans un cadre encore tout théorique27. Monge quant à lui, mentionnait avec plaisir l’utilisation de la développante du cercle pour couper les cames des arbres tournants qui soulèvent des pilons28. Ce qui ne l’empêchait nullement de se lancer dans une très belle généralisation géométrique à l’espace (courbes gauches) de la développée d’une courbe plane (surface polaire développable), pour revenir au cas du plan, et associer cette fois le cylindre développé.

  • 29 8e leçon de Laplace, p. 100.

72Laplace ne donnait qu’un rang second à la géométrie qu’affectionnait Monge : de façon symptomatique aucune figure ne venait illustrer son cours, contrairement à celui de Monge et à celui de Lagrange, qui avait pourtant affiché le même refus dans son introduction fameuse à la Méchanique analitique de 1788. Lagrange assénait alors : « On ne trouvera point de figures dans cet ouvrage. Les méthodes que j’y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme ». De la même façon, à l’École normale, Laplace privilégie l’analytique, avec le développement des formules. Il règle ainsi son compte à la vieille méthode de construction géométrique des racines des équations qui restait usuelle dans les manuels : « Il importe d’autant plus de connaître et de perfectionner ces artifices [de calcul algébrique], qu’ils peuvent seuls assurer aux solutions algébriques, la supériorité sur les solutions purement géométriques29 ». Le jour où Laplace parla ainsi, comme à son habitude Monge était présent, et devait lui-même terminer la séance des cours. Alors Laplace ajouta malgré tout que ces méthodes purement géométriques « ont l’avantage de ne faire jamais perdre de vue l’objet principal, et d’éclairer la route entière qui conduit des premiers axiomes à leurs dernières conséquences ». Tel était bien l’un des privilèges accordés à la méthode synthétique, associée souvent chez Laplace à la géométrie. A rencontre de cette méthode, courait un reproche de fond, celui de ne pas fournir un moyen d’invention : « Je pense que l’algèbre peut fournir les meilleures méthodes ». Le jugement est catégorique.

  • 30 9e leçon de Monge, p. 411.

73Devant ces assauts, Monge ne pouvait que battre en retraite, et le même jour il débutait sa conférence par une excuse : « L’objet dont nous allons nous occuper est de nature à être traité avec beaucoup plus de facilité par le secours de l’analyse, que par la simple contemplation des propriétés de l’étendue30 ». Cette excuse prenait appui sur la nécessité d’être utile aux « artistes », car ceux-ci étaient « peu familiarisés avec les opérations analytiques ». Monge expliquait l’utilisation effective de ses méthodes dans des domaines aussi différents que l’architecture — avec les voussoirs des voûtes — ou l’imprimerie — avec la réalisation des hachures sur les gravures.

  • 31 Archives de l’École polytechnique, Art. I, § 2, carton I (1794-1821) [Langins, 19876].

74N’entrait-il pas aussi dans la froideur de Laplace à l’égard de Monge une composante politique, puisque, d’un point de vue scientifique, les deux hommes à peu près du même âge n’étaient guère concurrents ? Un document interne à l’École polytechnique, datant du printemps 1797, assénait tout de go : « On sait que le citoyen Laplace a manifesté dans tous les temps une jalousie haineuse contre le citoyen Monge, son collègue à l’Institut ; ce sentiment impur serait-il encore une des sources de sa haine contre l’École polytechnique dont Monge est regardé comme l’un des fondateurs31 » ?

75Cela nous conduit à examiner l’insertion de Laplace dans les structures civiles et politiques, et nous partirons du cas extraordinaire que constitua l’adoption en France d’un système entièrement nouveau pour toutes les mesures.

Le savant au service de la Nation : le système métrique des poids et mesures expliqué et défendu par Laplace

  • 32 9e leçon de Laplace, p. 117.
  • 33 Ibid., p. 123.

76Le 18 germinal an III (7 avril 1795) était promulguée la loi qui préparait la mise en place définitive du système métrique décimal en France. Trois semaines plus tard, interrompant même l’ordre de ses leçons, Laplace présentait le nouveau système des poids et mesures, système qu’il qualifiait solennellement de « bienfait des sciences et de la révolution32 ». Dans cette formule, la mise sur pied d’égalité des deux termes n’était pas neutre et leur conjonction dictait la fidélité du savant au gouvernement de la Convention thermidorienne. Il terminait toutefois sa leçon en rappelant le bon ordre des préséances : « Tel est le nouveau système des poids et mesures que les savants ont offert à la Convention nationale, qui s’est empressée de le sanctionner33 », une formulation qui sera reprise en respectant cet ordre par la plupart des professeurs de sciences. Devant le corps législatif, analysant un an et demi plus tard les travaux de l’Institut nouvellement créé, Laplace tenait le même discours et évoquait en outre la fidélité des savants : « Tout les attache au gouvernement... dont l’existence est intimement liée au progrès des sciences et des beaux arts, sans lesquels il n’y a ni liberté durable, ni vrai bonheur » [Laplace, 1796b]. Il resta fidèle à cette maxime qui permettait éventuellement au corps savant de retirer son appui au gouvernement et en tout cas de fonctionner comme un lobby scientifique [Dhombres, J. et N., 1989, chap. III].

  • 34 Voir par exemple les données numériques de la 9e leçon de Laplace.
  • 35 9e leçon de Laplace, p. 123.
  • 36 Lettre de Laplace à Chaptal du 2 février 1804. Voir [Laplace C.-E., 1864, p. 14-15].

77Laplace resta toujours fidèle au système métrique et à la décimalisation. Très prosaïquement pour les leçons de l’École normale, en prenant le soin de calculer à nouveau selon les latitudes les longueurs des portions du méridien terrestre, utilisant le grade (division de l’angle droit en cent parties) et non le degré34. Sa conviction était profonde, aussi bien pour la décimalisation du temps décidée le 4 frimaire an II (24 novembre 1793), qui, en dehors de la décade et du comput des mois, n’était pourtant plus d’actualité à l’époque du cours et pour laquelle Laplace s’engageait encore : « On peut croire cependant qu’à la longue la division décimale du jour remplacera sa division actuelle, qui contraste trop avec les divisions des autres mesures pour n’être pas abandonnée35 ». La postérité n’a pas retenu la recommandation d’un esprit que la simplicité d’une forme unique pouvait obséder. Lui-même n’eut d’autre choix que de présenter officiellement le retour au calendrier grégorien, décidé pour le premier janvier 1806 : « Si l’on considère que ce calendrier est aujourd’hui celui de presque tous les peuples d’Europe et d’Amérique [...], on sentira qu’il doit être conservé même avec ses imperfections, qui ne portent pas d’ailleurs sur des points essentiels » [Laplace, 1805b]. Quelque peu gêné, il argumentait d’une contradiction dans le calendrier révolutionnaire à propos des journées « sans-culottides » : la Terre manquait décidément de sens décimal. Pourtant, aussi bien sous l’Empire, Laplace se montra plus que sourcilleux au moindre manquement officiel sur la ferme doctrine du système décimal en ce qui concernait les poids, les longueurs, les aires ou les volumes. En 1804, Laplace écrivait en termes vifs à Chaptal, ministre de l’Intérieur et certes son collègue à l’Institut, pour lui dire sa tristesse de voir « notre beau système métrique altéré dans sa partie la plus essentielle36 ». On venait d’assouplir les règles d’utilisation des dénominations nouvelles pour les mesures d’emploi usuel, en permettant le recours aux anciennes appellations, encore que sous une signification intégrée à la logique décimale, autorisant par exemple la « lieue » au lieu du myriamètre jugé incommode, le « doigt » au lieu du centimètre, la « perche » en place du décamètre et même la « pinte » à la place du litre (le premier arrêté allant en ce sens datait du 13 brumaire an IX, 4 novembre 1800).

  • 37 On hésita à choisir une étymologie française, comme lonprime pour le mètre, centilon pour le centim (...)
  • 38 Lettre du Cultivateur, n°38, messidor an III.
  • 39 9e leçon de Laplace, p. 123.
  • 40 Expression de [Biot, 1803].

78Car il nous faut prendre conscience de la radicalité — coercitive — des nouveaux noms. Le mètre dont Borda semble être le père ne faisant pas partie de la langue usuelle, pas plus que le gramme : les deux étymologies relevant du grec et donc du caprice des savants. Caprice puisque la kyrielle des multiples et sous-multiples selon l’ordre décimal, mélangeait l’origine latine (milli, centi, déci) et l’origine grecque (myria, kilo, etc), du myriamètre au millimètre, de l’hectare au centiare pour les aires, de la cade au centicade pour les volumes, du franc au décime et centime pour les monnaies37. Bref, tout un vocabulaire neuf entrait de force dans la vie du citoyen ordinaire, et la sémantique choisie devait en principe éradiquer les conjugaisons des rapports si divers entre les stade, perche, maille, gros ou grain. Car le choix de vocables nouveaux provenait précisément de la volonté d’imposer le système décimal — les seuls multiples et sous-multiples de 10 — pour annuler les rapports de 1 à 2, de 1 à 3, de 1 à 4 ou de 1 à 6 et à 12, si familiers pour les anciennes mesures. Si l’on pouvait à la rigueur concevoir d’uniformiser les mesures en conservant par exemple le pied dans le vocabulaire des longueurs, quitte à fournir une définition nouvelle et nationale de sa valeur effective, il aurait été particulièrement gênant et source d’ambiguïté, de prendre le pouce comme sa dixième partie alors que toute la tradition voulait qu’il en fût la douzième. Laplace adopte sans hésiter un tel point de vue dans le premier débat. La révolution, si l’on veut résumer, fut de supprimer les passages faciles aux divisions par trois, quatre ou douze, au profit des seules divisions par 10. C’est ce qu’indiquait explicitement une réponse de messidor an III parue dans la Lettre du cultivateur : « C’est bien mince avantage, que de conserver les noms quand on change les idées qui y étaient attachées [...] il faudrait se rappeler sans cesse que les mêmes noms n’expriment plus les mêmes rapports ; que le minot n’est plus le quart, mais la cinquième du setier qu’il ne contient plus trois boisseaux mais deux. Tout cela serait plus embarrassant que le changement de nomenclature proposé38 ». Grâce à l’utilisation des préfixes, c’est-à-dire grâce au jeu « algébrique » sur la langue, Laplace soulignait dans sa neuvième leçon la clarification des activités même les plus pratiques : « On a préféré ce second moyen qui, en réduisant la nomenclature des poids et mesures au plus petit nombre de mots possible, a l’avantage de soulager la mémoire et de simplifier la langue du commerce, celle de toutes les langues qui doit être la plus facile et la plus claire39 ». Le négociant devait être reconnaissant à la science ! Car la nouvelle langue des mesures avait été forgée dans « l’atelier des savants40 » et c’est donc un savant qui, au terme que les historiens imposent à la période révolutionnaire, présentait en décembre 1799 (loi du 19 frimaire) la loi sanctionnant les définitions du mètre-étalon et du kilogramme-étalon : l’uniformité des poids et mesures concrétisée par le système métrique devenait partie intégrante de la Constitution française. Le ministre de l’Intérieur qui s’avançait ainsi était Laplace !

  • 41 Voir [Van Swinden, 1799].
  • 42 Lettre de Laplace à Delambre du 29 janvier 1798, [Laissus, 1961]. Lettres de Laplace à Bouvard, du (...)

79Il en imposait tout autant à ses collègues savants étrangers lors d’une réunion à Paris, sans doute le premier congrès scientifique international, destinée à entériner les mesures françaises. Neuf nations étaient représentées, non par des diplomates mais par des savants : République Batave, Gouvernement provisoire du Piémont, République Romaine, République Cisalpine, République Ligurienne, République Toscane, République Helvétique, Royaume de Danemark, Royaume d’Espagne. Les royautés d’Angleterre, de Prusse ou de Russie n’étaient évidemment pas représentées41 ! Laplace estimait, non sans arrogance, que les décisions prises par les savants auraient plus d’importance pour l’avenir des peuples que bien des traités politiques, signés avec pompe et grand renfort de propagande, mais il ajoutait abruptement dans une lettre à Delambre : « Vous sentez que tout cela n’est qu’une formalité pour qu’ils puissent regarder cette mesure comme leur étant propre, et pour faire ainsi disparaître toute jalousie nationale et les déterminer à adopter ces mesures42 ».

  • 43 9e leçon de Laplace, p. 122.

80Car dans une certaine mesure les savants devaient intervenir dans la vie des peuples et faire connaître leurs décisions, plus d’ailleurs que les méandres de leurs opinions qui pouvaient entraîner le doute. Il n’était peut-être pas nécessaire de tout expliquer en détail. Laplace participa consciemment d’un camoufflage quant aux véritables buts de la grande opération géodésique de triangulation de la France, de Dunkerque à Perpignan, en vue de définir le mètre. Elle dura de 1792 à 1799, sous la direction principale de Delambre et Méchain6, coûta assez cher et requit la participation de nombreux collaborateurs. Était-elle absolument nécessaire pour l’établissement du système métrique ? Écoutons attentivement Laplace à l’occasion de sa neuvième leçon, après une péroraison sur l’avantage ( !) de faire correspondre « les mesures nautiques avec les mesures célestes » : « On pouvait donc conclure la grandeur du quart du méridien de celle de l’arc qui traverse la France, depuis Dunkerque jusqu’aux Pyrénées, et qui a été mesuré avec soin en 1740 par les Académiciens français. Mais une nouvelle mesure d’un arc plus grand, faite avec des moyens encore plus précis, devant inspirer en faveur du nouveau système de mesures un intérêt propre à le répandre, on résolut de mesurer l’arc du méridien terrestre, compris entre Dunkerque et Barcelone ; et cependant, pour que la nation française pût jouir promptement des avantages de ce nouveau système, on se servit provisoirement des mesures exécutées et, après en avoir conclu la longueur du quart du méridien, on prit la dix-millionième partie de cette longueur pour le mètre ou l’unité des mesures linéaires. La décimale au-dessus eût été trop grande ; la décimale au-dessous, trop petite, et le mètre, dont la longueur est de 3 pieds 11 pouces 44 centièmes, remplace avec avantage la toise et l’aune, deux de nos mesures les plus usuelles43 ».

81En d’autres termes, mais la remarque n’était pas autrement précisée, on pouvait fort bien adopter la base des mesures anciennes pour décider de la longueur de l’étalon-mètre, car il s’agissait d’une convention, la Terre n’étant pas sphérique, ni même exactement ellipsoïdale, donc la longueur du méridien elle-même n’avait rien de parfaitement défini. L’opération géodésique de grande envergure qui avait été lancée répondait à d’autres objectifs que le seul établissement du système métrique sur une base naturelle. En 1803, le physicien Biot — que sa jeunesse même désignait comme porte-parole de la communauté scientifique car il ne portait pas la responsabilité révolutionnaire — pouvait abattre toutes les cartes, car il n’était pas bon que la science parût jouer trop longtemps un double jeu. Son aveu était franc : « La mesure d’un arc du méridien, exécutée avec la précision que comportaient les méthodes et les instruments actuels, était extrêmement intéressante pour la théorie de la figure de la Terre ; ce fut ce qui décida l’Académie, et si les motifs qu’elle présenta à l’Assemblée constituante n’étaient pas les véritables, c’est que les sciences ont aussi leur politique : quelquefois pour servir les hommes il faut se résoudre à les tromper » [Biot, 1803]. Si la politique des savants avait été délibérée, elle n’était plus opaque. En 1810, en tant que secrétaire perpétuel de la classe des sciences mathématiques, Delambre préférait encore jouer de l’omission dans son Rapport historique sur les progrès des sciences mathématiques depuis 1789 et sur leur état actuel, rapport destiné à l’Empereur certes, mais plus encore au grand public : « Ainsi, sans compter les calculs de trois membres de la commission, cet arc de onze cent mille mètres a été déterminé de quatre manières différentes, qui toutes ont conduit au même résultat : espèce de vérification dont personne encore n’avait donné l’exemple, et que semblait réclamer l’importance d’une opération qui, sans parler des lumières qu’elle devait fournir sur la grandeur de la terre, devait encore servir de base à un système de mesures prises dans la nature, impérissable comme elle, et l’un des plus beaux présents que les arts et les sciences pussent faire à la société » [Delambre, 1810]. Importait en fait la détermination de la figure de la Terre, une recherche qui a passionné tout le xviiie siècle, tant du point de vue théorique que du point de vue des mesures pratiques, de Clairaut à Lagrange et Laplace, en passant par tous les membres de la famille Cassini, astronomes responsables de l’Observatoire : terre aplatie au pôle, ou aplatie à l’équateur ? Le système métrique était donc un effet second de cette recherche : c’était seulement la marque publique de l’aventure savante.

  • 44 Ibid., p. 118.
  • 45 9e leçon de Laplace, p. 122.

82Autant fallait-il marquer les enjeux proprement scientifiques de l’opération. Laplace n’y manqua pas, et dans une envolée sur le temps, inséra le problème de la figure de la Terre dans toute l’histoire humaine : « Du moment où l’homme eut reconnu la sphéricité du globe qu’il habite, sa curiosité dut le porter à en mesurer les dimensions ; il est donc vraisemblable que ses premières tentatives sur cet objet remontent à des temps bien antérieurs à ceux dont l’Histoire nous a conservé le souvenir, et qu’elles aient été perdues dans les révolutions physiques et morales que la Terre a éprouvées44 ». La Terre n’est pas sphérique : les preuves en étaient données par la géodésie (mesure de la longueur d’un arc d’un grade de méridien sous diverses latitudes). Mais aussi à partir de l’examen de phénomènes fort différents : la libration de la Lune [Laplace, 1788b] ou la précession des équinoxes [d’Alembert, 1749]. L’analogie pouvait jouer avec l’aplatissement constaté de Jupiter. C’est la variété même des phénomènes en jeu qui procurait à la question de la figure de la Terre toute sa richesse épistémologique : « La Terre est-elle un sphéroïde de révolution ? Ses deux hémisphères sont-ils égaux et semblables de chaque côté de l’équateur ? Quel est le rapport d’un arc de méridien mesuré à une latitude donnée au méridien entier45 ? » Une mesure expérimentale un peu précise de l’un des phénomènes se répercutait aussitôt sur l’ensemble de la mécanique céleste. D’autant que la théorie pure était également à l’œuvre, en ce sens que l’on avait tenté de « calculer » la forme de la Terre en l’assimilant à un fluide en rotation autour de son axe, dont l’équilibre était déterminé par un principe d’hydrostatique : la force de la pesanteur à la surface due à l’attraction de tout le fluide, ajoutée à la force centrifuge, devait être orthogonale à la surface terrestre (selon Huygens, puis MacLaurin). Clairaut adoptait un principe plus général encore, l’équilibre des canaux : « Pour qu’une masse fluide soit en équilibre et dans un état permanent, il faut que dans un canal quelconque, soit rentrant en lui-même, soit terminé de part et d’autre à la surface, les effets des parties du fluide qu’il contient se détruisent mutuellement » [Clairaut, 1743]. Nous avons déjà rapidement décrit l’intervention de Laplace sur ces figures d’équilibre d’un fluide en rotation, avec l’apparition du potentiel et de l’équation du laplacien. A l’École normale, il ne pouvait expliquer tout cela.

83Laplace adopta alors une voie courte. Sur la base de la géodésie, seule concession à l’expérience contingente, était établie la croissance depuis l’équateur jusqu’au pôle de la longueur d’un arc de méridien terrestre dont l’ouverture angulaire est un grade. Par ailleurs, seule concession au principe du système métrique, on pouvait présupposer la forme de révolution de la Terre, ainsi que la convexité de la courbe méridienne. A l’aide de la seule géométrie différentielle, Laplace démontrait alors que le pôle était plus rapproché du centre de la Terre que l’équateur. La Terre était aplatie au pôle : C.Q.F.D.

  • 46 Voir l’annexe 13 : La figure de la Terre.
  • 47 Laplace, ibid., p. 119.

84La preuve — originale — avait d’abord vertu pédagogique : elle manifestait l’applicabilité des méthodes abstraites, plutôt ardues, sur les développées et les développantes, que Laplace venait de fournir à la leçon précédente. Du point de vue épistémologique, elle indiquait surtout qu’une forme générale déterminait la forme particulière de la Terre. La preuve entrait aussi dans un cadre polémique : elle ridiculisait définitivement Bernardin de Saint-Pierre, professeur de morale à l’École, qui, sur la foi des mêmes mesures géodésiques, prétendait quant à lui déduire géométriquement, et sans aucune hypothèse physique, l’aplatissement de la Terre à l’équateur46. Si l’auteur des Études de la Nature n’était pas cité, au-delà d’un argument technique, Laplace affirmait urbi et orbi que la science était affaire de spécialistes compétents : « Ces résultats sont autant de vérités incontestables, généralement admises par les géomètres47 ». Avant tout, Laplace s’estimait au service du Savoir, recueil majestueux de quelques formes fondamentales.

Le savant au service du Savoir : l’exposition du système du monde, Invention et philosophie scientifique de Laplace

  • 48 10e leçon de Laplace, p. 125.

85Laplace aurait souhaité parler du système du monde, c’est-à-dire évoquer les lois mathématiques qui régissent le mouvement des planètes autour du Soleil et permettent les prévisions. Que le calcul différentiel et intégral ait pu manquer à ses auditeurs n’apparaissait plus comme un obstacle puisqu’il avait préparé une approche de contournement : « J’ai présenté, indépendamment de l’analyse, la série des découvertes qui ont été faites, jusqu’à ce jour, sur le Système du Monde48 ». Laplace semblait indiquer que son texte était déjà prêt : il deviendra en tout cas l’Exposition du système du monde (Paris, au Cercle Social, 1796), sans doute l’ouvrage de vulgarisation le plus remarquable jamais écrit.

  • 49 Ibid., p. 133-134.
  • 50 Ibid., p. 134.

86Incontestablement cet écrit marque un tournant dans la vie de Laplace : à quarante -six ans, le savant jusque-là confiné dans un cercle académique, certes brillant, élargit la scène de son action, s’expose au grand public, dresse son œuvre en des termes qu’à bien des égards on devrait qualifier de lyriques. Il se permet même d’avancer une hypothèse, grandiose, sur la formation du système solaire, comme s’il ne lui suffisait plus d’en décrire toutes les régularités et la sage ordonnance cachée sous quelques désordres séculaires, mais périodiques. Son panorama devait être complet : il lui fallait construire une genèse. Il la donne oralement le 21 floréal an III, à l’occasion de sa dixième et dernière leçon, lors de la 57e séance de l’École normale, à cinq jours de la clôture : « Cette cause ayant embrassé le système entier des planètes dont elle a déterminé tous les mouvements dans les orbes presque circulaires, elle ne peut avoir été qu’un fluide d’une immense étendue, disposé comme une atmosphère autour du soleil. Les mouvements des planètes nous conduisent donc à penser que l’atmosphère du soleil s’est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes et qu’elle s’est resserrée successivement jusqu’à ses limites actuelles49 ». Le spectacle de lente condensation de la nébuleuse est splendide : « Mais comment cette atmosphère a-t-elle déterminé les mouvements de révolution et de rotation des planètes ? Si ces corps avaient pénétré dans ce fluide, sa résistance les aurait fait tomber sur le soleil. On peut donc conjecturer qu’ils ont été formés aux limites successives de l’atmosphère solaire, par la condensation des zones fluides qu’elle a dû abandonner dans le plan de son équateur en se refroidissant et en se condensant à la surface de cet astre, dont elle a ainsi augmenté le mouvement de rotation50 ». Laplace ne prend presqu’aucune précaution dans cet exposé et se contente, in fine, d’afficher une indifférence apparente : « quoiqu’il en soit de cette origine du système planétaire ». Lors de la publication de l’Exposition du système du monde, revenu à plus de calme et à sa prudence normande, Laplace placera « l’hypothèse » dans les toutes dernières pages, en une note dégagée du texte principal et symptomatiquement intitulée « note 7 et dernière ». De sorte que tous les doutes resteront légitimement permis dans le corps du texte où sont naturellement présentés tous les arguments favorables : « Quelle est cette cause primitive ? J’exposerai sur cela, dans la note qui termine cet ouvrage, une hypothèse qui me paraît résulter, avec une grande vraisemblance, des phénomènes précédents ; mais que je présente avec la défiance que doit inspirer tout ce qui n’est point un résultat de l’observation ou du calcul » [Laplace, 1796a, Livre V, chap. 6]. Quant au système planétaire, l’hypothèse cosmogonique de Laplace n’a pas subi d’altération notable jusqu’à nos jours, ni d’ailleurs de preuve bien nouvelle.

  • 51 Séances des Écoles normales, recueillies par des sténographes, et revues par les professeurs, Nouve (...)

87Les dernières semaines de l’École normale furent chaotiques, comme on peut facilement le constater en consultant la chronologie des cours : les séances quotidiennes ne comportaient plus qu’une ou deux leçons et bien des élèves avaient déserté les bancs de l’amphithéâtre pour retourner dans leurs départements d’origine, tant étaient difficiles les subsistances à Paris. Si donc l’exposé du système du monde ne put être présenté en 1795, il serait pourtant légitime de penser que l’élargissement des façons d’exposer de Laplace provint de son expérience à l’École normale. Sa manière dans l’Exposition parut d’ailleurs si bien adaptée au style de l’École que les éditeurs responsables d’une seconde édition des leçons, ceux précisément du Cercle Social, obtiendront en 1801 du jeune Jean-Baptiste Biot qu’il écrive de « nouvelles leçons en continuation » sur le système du monde. Ils les datèrent même du 1er prairial an XI51. Biot toutefois ne voulut pas faire double emploi avec le texte même de Laplace paru chez ces mêmes éditeurs. Aussi utilisa-t-il plutôt la Mécanique céleste de Laplace dont les deux premiers volumes étaient parus en 1799, et dont les longs calculs justifiaient toutes les assertions de l’Exposition. Biot avait étudié de près cet ouvrage puisqu’il semble en avoir relu les épreuves [Biot, 1850]. Ainsi le disciple, à l’instar du maître, consacrait du temps à vulgariser les dernières découvertes, à en faire un bilan destiné à enrichir toute personne cultivée, même dénuée de formation scientifique. Le savant se voulait au service du Savoir : tel était bien l’esprit de l’École normale.

  • 52 J. B. Biot, op. cit., p. 6-7.

88Ce service, qui n’était pas dérisoire, traduisait aussi dans les faits une conception en faveur du progrès. Quoique les pages de la Mécanique céleste fussent gorgées d’équations, on n’en trouvait aucune dans l’Exposition du système du monde. La dextérité dans le déroulement du calcul ne signalait pas l’étape majeure du travail scientifique. Biot manifestait ce point de vue très laplacien : « L’analyse est un instrument délicat qui demande à être employé avec beaucoup d’adresse, et les vues qui servent à le diriger, ces vues fines qui font les découvertes, sont presque toujours indépendantes du calcul52 ».

  • 53 7e leçon de Laplace, p. 87.
  • 54 Ibid.
  • 55 8e leçon de Laplace, p. 99
  • 56 Ibid., p. 101.
  • 57 Ibid., p. 103.

89Comment découvrait-on ? A ce sujet, Laplace ne nourrissait aucun doute et entendait faire partager ses certitudes. L’analyse, « cette méthode de décomposer les objets, et de les recomposer pour en saisir parfaitement les rapports53 » était la méthode par excellence. « L’esprit humain lui est redevable de tout ce qu’il sait avec précision sur la nature des choses54 ». Tout le cours de Laplace se voulait une illustration de ce principe de connaissance. Pour bien se faire comprendre, Laplace multipliait les exemples. Il choisissait dans sa huitième leçon le cas de la géométrie analytique, c’est-à-dire l’application à la géométrie : « On transporte dans la géométrie toutes les ressources de l’analyse, et l’on parvient sans peine à des résultats qu’il serait souvent difficile d’obtenir par la géométrie seule55 ». Une illustration technique possible était la décomposition du binôme xn – an en facteurs réels du premier ou du second degré, décomposition que Laplace liait à un problème géométrique, la « division des angles et de la circonférence en parties égales56 ». Il y avait d’abord analyse du binôme. Elle était suivie d’une application à un théorème, « un des plus beaux que l’on ait trouvés en Géométrie57 ». Laplace manifestait donc le rôle majeur joué par les formules analytiques, en l’occurrence la formule dite de de Moivre que l’on trouvait chez [Euler, 1748] :

90(1)

91ou celle du binôme de Newton que nous adopterons à titre d’exemple pour préciser ses idées :

92(2)

93Grâce à la formule (1), Laplace associait à eik2π/n son conjugué e-ik2π/n pour former le produit

94et, en faisant parcourir à k tous les entiers de sorte que – n < 2k ≤ n, il pouvait écrire

95ce qui lui permettait de déduire, avec un produit allant de k = 0 à k = n – 1 :

96L’analyse du binôme faite, bien avant que la représentation géométrique des nombres complexes ne soit officialisée dans l’enseignement des mathématiques, il illustrait par la géométrie en visualisant sur le cercle unité les points d’affixe eik2π/n,pour tous les entiers k entre 1 et n, et interprétait x2 2 ax cos 2 k π/n + a2 comme le produit de deux distances (théorème de Cotes). Ainsi, dans le cas du degré trois, on disposait (cf. figure) de la relation géométrique : AB. AB'. AO = x3 a3, et quasi symétriquement de la relation analogue : AC. AC. AO' = x3 + a3 Mais ces écritures sont la preuve que la représentation géométrique restait secondaire, et que l’essentiel se nichait dans la formule analytique (1) elle-même.

  • 58 8e leçon de Laplace, p. 103.

97Si donc la déduction par Cotes de la décomposition du binôme xn– an signait un bilan, celui-ci n’était rendu possible qu’une fois réussie la découverte de la formule analytique (1) : « Ce grand géomètre ayant laissé sans démonstration son théorème, les géomètres s’appliquèrent à la rétablir, et leurs recherches ont produit l’analyse que nous venons d’exposer58 ». La déduction calculatoire n’était elle-même que l’un des pans de la méthode d’analyse dont le principal intérêt était ailleurs. Il s’agissait de favoriser le passage à la découverte elle-même, c’est-à-dire ici l’obtention de la formule (1). Comment pouvait-on s’y prendre ?

  • 59 3e leçon de Laplace, p. 63.
  • 60 3e leçon de Laplace, p. 63.

98On devait procéder par l’induction, « source de presque toutes les découvertes59 », aussi bien en mathématique qu’en physique naturelle. Laplace ne faisait d’ailleurs aucune distinction méthodologique entre ces disciplines. Son épistémologie était assez simple et peut se réduire au schéma suivant. Il existe des lois générales ; elles sont invariables dans l’espace et dans le temps ; elles ont une expression mathématique facile ou plutôt une forme ramassée ; elles sont en petit nombre ; on en constate la réalisation dans des cas particuliers ; il faut s’inspirer de ces cas pour induire la loi générale. Le paradigme avoué d’une telle démarche qualifiée d’analytique était la découverte des lois de la gravitation par Newton, un exemple qui s’appliquait tout autant à la découverte en mathématique comme Laplace le soutenait avec originalité : « La marche de Newton dans la découverte de la gravitation universelle a été exactement la même que dans celle de la formule du binôme60 ». Voilà qui était clair.

  • 61 Ibid.

99Dès lors, une fois la loi induite, il fallait la poser véritablement comme un axiome pour en tirer toutes ses conséquences. Cette attitude déductive dispensait paradoxalement de la nécessité de démontrer la loi ainsi mise en évidence à partir de cas particuliers. Mieux était d’élaborer les conséquences d’une loi simple, car, une fois posée, la loi elle-même s’offrait à la méditation avec la force de l’évidence. Cela valait aussi bien en physique qu’en mathématique, où jouait donc à son tour, et de façon originale, une sorte d’hypothèses non fingo. Pour Laplace, on pouvait effectivement bâtir la géométrie transcendante, ce qu’on appellerait bientôt l’analyse. La bâtir, c’est-à-dire tout déduire à partir de quelques faits ou formules mathématiques qui étaient des points de départ ne requérant pas une véritable démonstration. Ces formules une fois justifiées par un grand nombre d’exemples, on pouvait s’abandonner « sans crainte à l’Analyse et à toutes les conséquences qu’elle nous présente 61». Tel s’affichait le deuxième temps, plus régulier mais non moins important, du travail des savants, celui de la déduction, sur lequel Laplace n’éprouvait guère le besoin de s’exprimer. Son ouvrage sur la mécanique céleste allait suffisamment éclairer le lecteur.

100C’est plutôt sur les faits de base à retenir, par exemple en mathématique, qu’il revenait dans ses explications de 1795. Car il fallait bien prendre garde : quoiqu’irrécusables, les faits de base n’étaient pas toujours réductibles à l’évidence première et ne pouvaient certainement pas découler du simple bon sens. Comme faits de base en mathématiques, Laplace ne permettait en effet de ranger aussi bien la formule de de Moivre (1), que celle de Newton (2), dans la mesure du moins où elles étaient prises pour toutes les valeurs de l’exposant n, valeurs aussi bien réelles que complexes.

101A quoi donc pouvait-on reconnaître une formule primitive ? En dehors de la condition sine qua non de sa validité dans des cas élémentaires, par exemple pour les valeurs entières de n dans le cas des formules (1) et (2), il n’existait pas de critère absolu. Pour être acceptées, il fallait au moins que ces formules primitives fussent analytiques. Ce qualificatif comportait deux exigences. D’une part, chaque membre de l’égalité devait pouvoir acquérir un sens propre de sorte que l’équation ne constituât pas une définition de l’un des membres par l’autre, mais ait un contenu non tautologique ; d’autre part, le champ des variables intervenant dans l’équation devait pouvoir être entendu au sens le plus général possible, compte tenu de la forme même de l’équation. Car il convenait, précisément grâce à cette analyticité, de donner aux formules de base toute leur extension, qui seule permettait de leur faire porter des conséquences riches. Les faits de base n’avaient donc pas chez Laplace le statut cognitif des axiomes ou des notions communes de la mathématique euclidienne. On le sent effectivement gêné lorsqu’il s’agit, à sa septième leçon, d’expliquer la géométrie euclidienne puisque celle-ci, précisément, ne se déroule pas analytiquement. L’analyse laplacienne exigeait plus de sophistication, et une certaine hardiesse. Il ne serait pas déplacé de parler d’un jugement esthétique qui forçait l’acceptation. Laplace ne se préoccupait pas outre mesure de la définition des objets mathématiques et, bien plutôt, plaçait des procédures à la base de toute sa démarche. Ces procédures permettaient d’analyser l’objet sous plusieurs angles possibles, afin de pouvoir en dire la forme véritable, celle dont l’expression analytique contraignait tout esprit à en reconnaître la vérité.

  • 62 3e leçon de Laplace, p. 63.
  • 63 Ibid.

102Par exemple, aussi bien pour la formule du binôme (2) que pour celle de de Moivre (1), il fallait accepter des valeurs réelles aussi bien que complexes, tant pour la variable x que pour la variable n : les formules en question disaient alors ce qu’étaient véritablement les nombres complexes. En revanche, Laplace ne cherchait pas à expliquer précisément la signification à fournir à une puissance dont l’exposant était complexe, comme il aurait dû le faire pour donner un sens au membre de gauche de la formule (1), aussi bien d’ailleurs qu’à celui de la formule (2). Tant dans le cours de Laplace en 1795 que dans la plupart de ses écrits, si bien peu d’attention était accordée aux définitions des objets manipulés, c’était sans doute parce que ces objets existaient indépendamment de l’esprit humain. Le véritable travail consistait à fixer les relations, nécessairement analytiques, entre les objets. Dans un de ses tout premiers écrits, sur la résolution des équations aux dérivées partielles linéaires du second ordre, Laplace indiquait dès le départ que sa méthode était « fondée sur la forme dont les intégrales sont susceptibles ». Il éprouvait le besoin de commenter cette recherche a priori d’une forme car elle « tient à la métaphysique du calcul », tout en s’inquiétant « de l’obscurité qui souvent accompagne la métaphysique » [Laplace, 1776a]. L’écriture analytique portait en elle-même la généralité, sinon la définition, et elle servait de point de départ au déroulement ultérieur de l’analyse. Laplace expliquait de cette façon — historiquement inexacte — l’obtention de la formule du binôme de Newton à partir du cas élémentaire des nombres entiers : « Newton étendit ensuite aux puissances fractionnaires et négatives l’expression analytique qu’il avait trouvée pour les puissances entières et positives62 ». Ce qui permettait de tirer la leçon générale : « Vous voyez dans cette extension, un des grands avantages du langage algébrique qui exprime des vérités beaucoup plus générales que celles que l’on voulait lui faire exprimer ; en sorte qu’en lui donnant toute l’étendue qui lui convient, on voit sortir une foule de vérités nouvelles, de formules qui n’avaient été trouvées que par des suppositions particulières63 ». L’accession à la plus grande généralité dans une écriture telle que (1) ou (2) achevait la phase inductive de la démarche analytique. Après elle, c’est-à-dire une fois la forme trouvée, intervenait la phase pendant laquelle le raisonnement devait se cantonner au déductif, et par conséquent à la rigueur : « Tout le reste doit être démontré de la manière la plus rigoureuse ».

  • 64 Programme des leçons de mathématiques, p. 45.

103La même démarche prévalait en astronomie, mais aussi bien en physique mathématique, ce qui donnait à la pensée de Laplace une unité frappante, du moins quant au point essentiel à ses yeux, qui était celui de la découverte : « Il y a extrêmement loin de la première vue du ciel à cette vue générale qui embrasse à la fois les états passés et futurs du système du Monde. Pour y parvenir, il a fallu observer les astres pendant un grand nombre de siècles, reconnaître les mouvements réels de la Terre, dans les apparences que ces corps nous présentent ; s’élever aux lois des mouvements planétaires et, de ces lois, au principe de la pesanteur universelle ; redescendre ensuite de ce principe à l’explication complète de tous les phénomènes célestes jusque dans leurs moindres détails. Voilà ce que l’esprit humain a fait dans l’Astronomie64 ». Ce qui avait été réussi dans cette discipline engageait donc à lancer un vaste programme d’investigation scientifique de la physique, et sans doute au-delà.

  • 65 3e leçon de Laplace, p. 61.

104Si dans cette conception le calcul était seulement un instrument, il n’était bien sûr pas condamné. Il servait à guider la mémoire défaillante, il était un juge implacable et son exercice était irremplaçable pour l’apprentissage des mathématiques. Précisément parce que ce calcul reposait sur les formules algébriques, et par conséquent recueillait la qualité majeure favorisant la découverte. D’où l’injonction : « Il importe dans l’enseignement, d’exercer les élèves dans l’art de mettre les problèmes en équations ; pour cela, il faut leur proposer un grand nombre de questions délicates, qui demandent une attention soutenue et des considérations fines, pour en traduire les conditions en langage algébrique65 ». A ce niveau pédagogique. Laplace rencontrait Condillac et la langue des sciences. Mais précisons qu’il en était très éloigné sur le fond, puisqu’à la différence du suave abbé Laplace proposait de s’exercer sur des choses difficiles et non sur des choses frivoles.

105Quant à la connaissance, Laplace adoptait-il le point de vue très réducteur du philosophe sensualiste qui énonçait avec sang-froid : « Nous allons du connu à l’inconnu, c’est-à-dire que nous voyons l’inconnu dans le connu même. L’inconnu qu’on découvre est donc le connu qu’on voyait. Ils se ressemblent, par conséquent ils sont analogues » [Condillac, 1798, p. 39] ? Le mot analogie survenait assez souvent dans les leçons de Laplace. A titre d’exemple, l’écriture de (1 – x)1 en tant que somme de la série

  • 66 3e leçon de Laplace, p. 62.
  • 67 7e leçon de Laplace, p. 88.

106était considérée comme « analogue à celle par laquelle on réduit une fraction ordinaire en décimales, au moyen du zéro que l’on ajoute après la virgule, dans son numérateur66 ». L’analogie pouvait-elle à elle seule porter l’induction ? Cette induction dont Laplace avait souligné le rôle important dans la démarche analytique, car elle conduisait à l’établissement des quelques lois fondamentales. Pourtant le point crucial résidait dans la généralité de la formule induite par analogie, dans la capacité de cette formule à être étendue : « Les sciences même les plus exactes renferment quelques principes généraux que l’on saisit par une sorte d’instinct qui ne permet pas d’en douter, et auquel il est bon de se livrer d’abord. Après les avoir suivis dans toutes les conséquences et s’être fortifié l’esprit par un long exercice dans l’art de raisonner, on peut, sans danger, revenir sur ces principes, qui se présentent alors dans un plus grand jour, et l’on risque moins de s’égarer en cherchant à les démontrer avec rigueur67 ». La seule induction permise était donc celle qui s’effectuait en vue de l’obtention des formules analytiques. Il y avait là une sérieuse restriction par rapport à Condillac, puisque la fin seule justifiait les moyens, sans qu’une quelconque automaticité intervienne.

  • 68 3e leçon de Laplace, p. 63.

107Pour le temps de l’induction, il fallait à partir des faits les « considérer longtemps, et varier d’un grand nombre de manières, pour saisir ce qu’ils ont de commun entre eux, et pour en faire éclore ces grandes théories qui changent la face des sciences et font époque dans leur histoire ». Qu’on était loin de la prétendue facilité de Condillac ! Plus précisément, selon Laplace, la gestation de la généralité analytique était laborieuse, quasiment réservée à quelques hommes de génie, quand bien même, une fois la découverte faite, celle-ci pouvait ne paraître relever que du seul bon sens. Ce dernier était-il destiné à triompher toujours ? Les formes qu’il s’agissait d’atteindre étaient-elles éternelles ? Dans ses leçons de 1795, Laplace esquivait toutefois le débat philosophique sur l’analogie et l’abstraction, et une phrase de mathématicien dont on notera la condescendance lui servait de refuge : « Il est toujours bon de démontrer en rigueur les résultats que l’on obtient68 ». Certes !

108Mais était-ce vraiment pour son savoir-faire sur le simple jeu de l’analogie que Laplace méritait cette louange, adressée par son successeur à l’Académie française, Royer-Collard, évoquant la découverte de la stabilité du système solaire : « Il a été réservé à Laplace d’absoudre la loi de l’Univers, c’est-à-dire la sagesse divine, de ce reproche d’imprévoyance ou d’impuissance où le génie de Newton était tombé. Le premier, il a démontré que le système solaire reçoit dans les conditions qui lui sont imposées le gage de son imprescriptible durée » [Royer-Collard, 1827] ? Dès 1773 effectivement, Laplace avait montré que les inégalités séculaires disparaissaient du mouvement moyen des planètes. Il fixait même les limites entre lesquelles pouvaient osciller faiblement les excentricités et les inclinaisons des orbites planétaires, prouvant en particulier que les planètes n’avaient pu être préalablement comètes. Il l’avait fait au moyen non de l’induction, mais d’un calcul analytique bien dirigé, prouvant que dans les expressions des inégalités séculaires les sinus et cosinus portaient sur des quantités réelles et non imaginaires, donc sur des expressions qui n’étaient pas susceptibles de croître indéfiniment. Toute une théorie mathématique de la perturbation était à l’œuvre, d’une façon que nous jugeons aujourd’hui bien insuffisante, mais en tout cas incomparablement supérieure à ce qui existait avant son intervention.

109Si le déroulement déductif de la seconde phase de la découverte scientifique n’avait rien d’automatique, il pouvait être majestueux. Pourtant l’exposé de la science achevée, en ne donnant à voir que la seconde phase du travail, réduisait le monde extérieur comme une peau de chagrin. Laplace en était conscient qui pouvait écrire à propos de la Mécanique céleste : « L’Astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand problème de mécanique, dont les éléments des mouvements célestes sont les arbitraires ; sa solution dépend à la fois de l’exactitude des observations et de la perfection de l’analyse, et il importe d’en bannir tout empirisme et de la réduire à n’emprunter de l’observation que les données indispensables » [Laplace, 1799]. Au terme de l’analyse, la forme des lois conduisait à gommer le monde, ou plutôt le monde ne fournissait guère plus que quelques paramètres, venant s’incorporer à bon escient dans les formes analytiques prédéterminées.

110Cela dit, Laplace mesurait la profonde difficulté à exhiber des lois mathématiques simples, surtout lorsque l’on s’aventurait dans la description minutieuse de phénomènes complexes du monde physique, pour lesquels des causes juxtaposées ou concourantes devaient être relevées. Cette difficulté même avait sollicité ses méditations et il était parvenu à estimer qu’un instrument adéquat existait pour guider les découvertes. Il s’agissait du calcul des probabilités. C’est sans doute de par son rôle de forceps dans la mise à jour de la vérité — toujours simple une fois découverte — que Laplace devait bientôt affirmer que cette théorie « n’était que le bon sens réduit au calcul » [Laplace, 1814, dernier paragraphe]. On comprend qu’il ait tenu à en exposer au moins la démarche générale en 1795, dans sa dernière leçon, quitte à négliger de facto le système du monde. Au profit de l’esprit d’invention, l’École normale devait donner à voir des méthodes neuves : telles étaient les probabilités. Laplace mettait en scène une innovation majeure, qui ne devait pourtant pas subsister dans l’enseignement supérieur français au xixe siècle, car on la réduisant à une technique. Le bon sens ne reste pas toujours du côté des professeurs !

Les mathématiques au service de l’investigation scientifique : les probabilités entendues comme une autre induction des lois de la nature

  • 69 10e leçon de Laplace, p. 128.
  • 70 Ibid.

111Comment accélérer la découverte ? A partir des seuls premiers termes, ceux qui sont les résultats d’un « petit nombre d’observations » par exemple, comment « accroître la probabilité69 » des « lois des expressions analytiques » ? Tel est le problème auquel Laplace confronte ses auditeurs lors de sa dixième et dernière leçon à l’École normale et auquel il fournit une solution, utilisant dès le départ l’expression de « probabilité ». Pour les phénomènes de la physique, et pour bien d’autres relevant du monde sensible, faute d’atteindre d’emblée la certitude dont les mathématiques se passent d’ailleurs assez bien si l’on en juge par le statut de la formule du binôme de Newton, le savant est contraint de recourir à des méthodes expérimentales, à partir desquelles il doit s’efforcer de dégager « un degré de vraisemblance qui finit par se confondre avec la certitude70 ». La probabilité ainsi entendue est une mesure de la qualité de ce savoir qui peut être induit par l’observation dirigée du monde. Bien entendu, une telle idée de mesure ne peut se concevoir que par référence aux formes vraies, quoiqu’elles nous échappent, de sorte que Laplace éprouve le besoin de préciser sa pensée au sujet de la référence indispensable, mettant en place l’affirmation du déterminisme. La probabilité est un indicateur quantitatif de la connaissance expérimentale ou inductive.

  • 71 Ibid.
  • 72 10e leçon de Laplace, p. 128.

112Pour une théorie donnée, cet indicateur peut croître de deux manières : « en diminuant le nombre des hypothèses sur lequel on l’appuie » et « en augmentant le nombre des phénomènes qu’elle explique71 ». A l’effacement progressif du monde qui est la marque des théories reposant sur un nombre minimum de principes, répond donc une plus grande adéquation au monde avec les théories pour lesquelles les faits sont multiples et enchevêtrés. A l’extrême, il y a les théories qualifiées de certaines car ne faisant jouer qu’une seule hypothèse : « Rien n’est mieux démontré dans la philosophie naturelle que le mouvement de la Terre et le principe de la gravitation universelle, en raison des masses, et réciproque aux carrés des distances72 ». Telle est la force de la déduction analytique que Laplace a évoquée au cours des leçons précédentes, puisque cet unique principe gère effectivement un grand nombre de faits : rotation de la Terre autour du Soleil, autour de son axe, précession et nutation, etc.

113La notion de probabilité intervient lorsque plusieurs hypothèses sont censées jouer et interagir les unes sur les autres afin d’expliquer les phénomènes en question. Il faut alors pouvoir remonter des phénomènes observés aux causes effectives, aux hypothèses que l’on entend dégager. Cette préoccupation de Laplace est ancienne, et le titre d’un de ses premiers écrits est net : Mémoire sur la probabilité des causes par les événements [Laplace, 1774b]. Il y fournissait un moyen, analytique bien sûr, pour, au fur et à mesure des observations faites, accéder de la probabilité d’indécision égale devant l’occurrence ou la non-occurrence d’un événement à la « possibilité » vraie de cet événement, telle qu’elle est déterminée par les causes dont il dépend selon des lois invariables. La certitude n’est pas atteinte ; on accède seulement à une « possibilité » selon ce que nous appelons aujourd’hui une « convergence en probabilité ». Le monde sensible reprenait tous ses droits et la probabilité agissait sur l’empirie : « Vous sentirez alors la nécessité de consulter en tout l’expérience. C’est un guide lent mais sûr ; en l’abandonnant on s’expose aux plus dangereux écarts », déclare Laplace en conclusion de ses cours à l’École normale !

  • 73 Ibid., p. 126.
  • 74 Ibid.
  • 75 Ibid., p. 127.

114La probabilité, exprimée par un rapport, n’est pourtant pas une notion abstraite en ce sens qu’elle est naturelle à l’homme, et est d’ailleurs relative puisqu’elle part de l’expérience sensible et du jugement : « Tous nos jugements sur les choses qui ne sont que vraisemblables sont fondés sur un pareil rapport. La différence des données que chaque homme a sur elles, et les erreurs que l’on commet en évaluant ce rapport donnent naissance à cette foule d’opinions que l’on voit régner sur les mêmes objets73 ». Aussi bien, en gardant en mémoire ce caractère contingent, on peut donner une définition, ou plutôt une détermination de la probabilité selon une expression qui était déjà classique au moment où Laplace s’exprimait : « La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, c’est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l’événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilité qui n’est ainsi qu’une fraction dont le numérateur est le nombre de cas favorables, et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles74 ». C’est évidemment l’égale possibilité de certains cas qui relève du jugement contingent : « La différence des opinions dépend encore de la manière dont chacun détermine l’influence des données qui lui sont connues... La probabilité fondée sur une expérience journalière ou exagérée par la crainte ou l’espérance nous frappe davantage qu’une probabilité plus forte qui n’est qu’un résultat de l’analyse75 ». En 1814, dans l’Essai philosophique sur les probabilités, le premier principe qui est la définition de la probabilité comme rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles, est aussitôt corrigé par le deuxième principe : « Mais cela suppose les divers cas également possibles. S’ils ne le sont pas, on déterminera d’abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards » [Laplace, 1814].

  • 76 10e leçon de Laplace, p. 130.
  • 77 Ibid.
  • 78 Ibid., p. 135.
  • 79 Ibid., p. 137.
  • 80 Ibid., p. 138.
  • 81 Ibid.

115Quoi qu’il en soit, la probabilité donne lieu à calcul et il est même vraisemblable qu’elle soit conçue a priori par Laplace comme une mesure, en vue précisément de calculer. Au cours de sa dixième leçon, un peu cahin-caha, Laplace va de la théorie de la connaissance à l’histoire (« divers degrés de croyance » à propos d’un fait, perdant sa crédibilité avec le temps), en passant par l’astronomie (système planétaire, etc), les jeux (« exposer sa fortune par parties76 »), les prévisions (« nous sommes réduits à chercher, dans les événements passés, les indices qui peuvent nous guider dans nos conjectures sur l’avenir77 »), la démographie ou les tables de mortalité et les assurances sur la vie (« les naissances sont un objet important de l’histoire naturelle de l’homme et l’observation offre à cet égard des variétés remarquables dépendantes de la différence des sexes et des climats ; mais elles sont si petites qu’elles ne peuvent devenir sensibles qu’au moyen d’un grand nombre de naissances observées78). Il évoque l’inoculation (« celui qui veut se faire inoculer doit comparer le danger très petit mais prochain d’en mourir, au danger beaucoup plus grand, mais éloigné, de mourir de la petite vérole naturelle79 »), disserte en notaire avisé sur les établissements financiers, les assurances maritimes, les loteries, le taux de l’intérêt, les rentes viagères, bref évoque tout ce qui constituait l’Arithmétique sociale. Il s’engage aussi bien sur la théorie des erreurs (« il me reste à vous parler du milieu qu’il faut choisir entre les résultats de plusieurs observations80 ») et termine longuement sur les règles de vote (« la probabilité des décisions d’une assemblée, dépend de la pluralité des voix, des lumières et de l’impartialité des membres qui la composent81 »). Le panorama du paraître étourdissant aux élèves !

  • 82 Ibid., p. 134.
  • 83 Ibid., p. 135.

116Pourtant, selon sa préférence épistémologique, tous ces exemples relèvent d’un même calcul, obéissent à une même logique dont le modèle préférentiel est celui des urnes, le choix de boules blanches ou noires, et il peut s’agir d’une « urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires82 ». Typique est sa phrase : « Ce que nous venons de dire s’applique aux naissances, que l’on peut comparer aux boules extraites d’une urne83 ». Avec l’Essai philosophique sur les probabilités, presque vingt ans plus tard, Laplace ordonnera mieux la présentation, séparant le calcul proprement dit, la théorie analytique qui est issue de son ouvrage de 1812, des applications elles-mêmes.

117Mais, dans l’arrangement ultérieur, il ne faut pas seulement voir la preuve d’une réorganisation stylistique. Un événement de grande portée intellectuelle était survenu : Laplace, en 1810, avait découvert la formulation analytique de la théorie des erreurs, fournissant « la probabilité que la moyenne d’un grand nombre d’observations sera comprise dans des limites données », résultat que nous appelons aujourd’hui le théorème central limite [Laplace, 1810b]. Ce théorème justifie a priori la méthode des moindres carrés sur laquelle Legendre et Gauss avaient travaillé. Au même titre que le binôme de Newton, et avec le même poids épistémologique que la loi de la gravitation, cette relation de Laplace prenait rang parmi les formes analytiques fondamentales. Du coup, comme ses analogues en mathématiques ou en mécanique céleste, la formule réduisait le recours à l’expérience sensible. Celle-ci n’était plus chargée que de fournir la valeur de certains paramètres, les « observations indispensables » pour reprendre l’expression déjà utilisée [Sheynin, 1974] ; [Bru, 1988a].

  • 84 10e leçon de Laplace, p. 132.
  • 85 Ibid., p. 129.
  • 86 Ibid.

118A l’École normale en 1795, Laplace n’en était pas là et était « bayésien », comme on dit aujourd’hui, sans avoir toutefois lu l’Essai de Thomas Bayes de 1763 : « Vous voyez par ce qui précède que, si un événement peut être attribué à plusieurs causes, chacune d’elles sera indiquée par cet événement, avec d’autant plus de vraisemblance, qu’il sera plus probable que l’événement aura lieu, en la supposant exister ; la probabilité de l’existence de l’une quelconque de ses causes est donc égale au quotient de la probabilité de l’événement, résultante de cette cause, divisée par la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes. C’est le principe fondamental de cette branche de la théorie des hasards qui remonte des événements aux causes. Il donne la raison pour laquelle on est porté à attribuer les événements réguliers à une cause particulière84 ». S’il existe des causes Cn dont les probabilités a priori sont an' et qu’un événement pris de la cause Cn a pour probabilité pn' alors de la considération de l’événement on peut déduire la probabilité anpn pour l’existence de la cause Cn. Le calcul est possible et fait jouer naturellement la répétition : « La probabilité d’un événement étant une fraction de l’unité, celle que dans les mêmes circonstances l’événement arrivera un certain nombre de fois de suite, est une fraction égale à la première élevée, à une puissance indiquée par ce nombre85 ». Mais là encore le style de Laplace se manifeste : le calcul sera de préférence analytique, sans suivre les règles des combinaisons : « Quand la possibilité des événements simples est connue, la probabilité des événements composés peut se déterminer par la théorie des combinaisons ; mais la méthode la plus générale pour y parvenir consiste à observer la loi des variations qu’elle éprouve par la multiplication des événements simples et à la faire dépendre d’une équation aux différences finies ordinaires ou partielles ; l’intégrale de cette équation donne l’expression analytique de la probabilité cherchée86 ». L’analyse asymptotique est dès lors utilisable et Laplace peut en référer à son mémoire de 1782 sur l’approximation des formules qui sont fonctions de très grands nombres. Une fois de plus, nous constatons que les leçons font le point de façon très ramassée de théories récentes.

  • 87 Ibid., p. 131.
  • 88 Ibid., p. 132.
  • 89 Ibid., p. 133.
  • 90 10e leçon de Laplace, p. 133

119L’exemple typique que choisit Laplace est celui d’une urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires dans un rapport inconnu. L’objectif est de le déterminer à partir de quelques tirages, par exemple si l’on tire p + q boules, dont p noires et q blanches. Il faut une hypothèse pour pouvoir démarrer : on adopte que « ce rapport est a priori de toutes les valeurs, de zéro jusqu’à l’unité ». On aboutit à l’encadrement du rapport cherché entre deux limites données. Cet encadrement se resserre, et on peut préciser de quelle façon, lorsque le nombre de boules tirées augmente, jusqu’à parvenir à l’exactitude dans la « supposition où ce nombre est infini87». De la même façon, on peut calculer la probabilité pour qu’au prochain tirage la boule sortie soit noire (p + 1/p+q+2). De cet exemple, on peut déduire l’analyse de la naissance comparée des garçons et des filles, montrer par ce calcul que les différences d’une ville à l’autre sont ou ne sont pas significatives, et donc tenter de comprendre les raisons de la régularité observée. Le calcul des probabilités permet bien de déterminer les problèmes sur lesquels doivent s’exercer les savants : « Je n’excepte pas même de la loi précédente les effets dus aux causes morales88 ». Laplace a travaillé en démographe, étudiant de près les tables relevées avant la disparition de l’Ancien régime et expliquant les données minimales qu’il fallait recueillir si l’on voulait disposer d’estimations correctes concernant la population à partir du chiffre des naissances [Laplace, 1786b]. La même analyse vaut pour la mécanique céleste. En remarquant pour les planètes observées et leurs satellites un certain nombre de faits réguliers comme le mouvement autour du Soleil d’occident en orient, la très faible inclinaison relative du plan de mouvement des planètes, etc, Laplace calcule la probabilité d’une telle régularité en supposant a priori toutes les inclinaisons possibles : « Il est donc extrêmement probable que la direction des mouvements planétaires n’est pas l’effet du hasard, et cela devient plus probable encore si l’on considère que l’inclinaison du plus grand nombre de ces mouvements à l’écliptique est très petite et fort au-dessous du quart de la circonférence89 ». L’hypothèse cosmogonique qu’il va lancer est directement le fruit de tels calculs, après sélection de cinq phénomènes « pour remonter à la cause des mouvements primitifs90 » du système solaire. Le calcul des hasards est conçu pour éliminer l’indéterminé.

  • 91 Ibid., p. 125.

120« Tous les événements, ceux mêmes qui, par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de l’univers, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. On les attribue au hasard, parce que l’on ignore les causes qui les produisent et les liens qui les unissent au système entier de la nature91 ». C’est par cette déclaration que débute la dixième leçon de Laplace, et elle sera reprise dans l’Essai philosophique sur les probabilités, servant de préambule à la phrase fameuse : « Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome... » [Laplace, 1814]. Nous n’avons aucun témoignage de surprise face à une telle déclaration, dont nous avons vu qu’elle était indispensable à Laplace afin de justifier son utilisation des probabilités en théorie de la connaissance. Était-elle surprenante en 1795 pour qui avait lu les encyclopédistes ?

Les mathématiques naissent du besoin

  • 92 7e leçon de Laplace, p. 91.
  • 93 3e leçon de Laplace, p. 60.

121Après le comment de la découverte et l’exposition du pourquoi, venait la recherche des causes de l’inventivité en mathématiques : « Les besoins des arts ont fait découvrir les diverses propositions géométriques qui leur sont relatives92 ». Laplace se montrait même péremptoire : « Mais, dans les sciences, comme dans les arts, le besoin est le premier et le principal inventeur ; et c’est surtout aux besoins de la physique céleste, que l’analyse, la mécanique et l’optique sont redevables de leurs progrès93 ».

  • 94 7e leçon de Laplace, p. 91.

122Aussi bien ne faudrait-il pas se tromper sur la signification du mot besoin. S’il y avait recherche d’un développement mathématique, c’était afin de déterminer les lois du monde physique, pour en prévoir les conséquences et par suite maîtriser la Nature. Le besoin avait peu à voir avec l’expression sociale d’une recherche de confort, de mieux-être ou d’organisation civile. A ce titre, attribuer la naissance de la géométrie aux nécessités de l’arpentage pour établir l’assiette de l’impôt égyptien, ne paraissait pas à Laplace une explication solide. Il envisageait bien plus la médiation des outils dus aux artisans. La géométrie serait plutôt une réponse apportée aux questions techniques que posait l’utilisation efficace des outils. Mais cette réponse ne devenait une science que parce qu’elle était tamisée par le souci de la généralité, par le souci de l’extension : elle était donc le fruit des « spéculations des philosophes94 », au sens précis qui désignait ceux qui étaient les tenants — tels Newton — de la philosophie naturelle. Laplace ne pensait pas comme Monge que le souci d’utilité publique devait dominer l’activité du mathématicien, d’autant que l’adaptation pratique des mathématiques lui semblait fort rare. Au-delà de la mobilisation des savants de l’an II, pour cause de révolution et de guerre, Laplace entendait préserver l’autonomie de la sphère scientifique. Le « besoin » qu’il évoquait avait trait à la volonté de comprendre le ressort des choses ; le besoin relevait de la connaissance. Les applications civiles étaient des plus-values.

  • 95 [Laplace, Lettre à Lagrange du 21 août 1783].

123Rappelons que cette connaissance touchait les phénomènes du monde physique. En ce sens précis, le besoin agissait comme un moteur de l’inventivité mathématique. S’il voulait avancer, force était au mathématicien de rester à l’écoute des physiciens et des chimistes, voire des naturalistes ou des économistes, dans ce mouvement intellectuel que les physiocrates incarnaient si bien. Laplace donnait l’exemple. Il avait débuté une collaboration avec Lavoisier au printemps 1777 — il avait alors moins de trente ans — et l’avait poursuivie environ huit années. C’était d’ailleurs lui qui avait eu l’idée du calorimètre, instrument permettant la mesure des quantités de chaleur par le volume d’eau résultant de la fonte de la glace. Le grand mémoire commun sur la chaleur fut présenté par Laplace le 18 juin 1783 et publié séparément à l’Imprimerie royale avant de l’être aux Mémoires de l’Académie royale des sciences en 1784. Les deux savants mesuraient notamment les chaleurs spécifiques de plusieurs substances, des chaleurs de réaction et la chaleur animale. Il est certain que Lavoisier, au contact de Laplace, fut influencé par la « méthode des géomètres. » Dans son Traité élémentaire de chimie, paru en 1789, le chimiste insistait sur la nécessité de simplifier au maximum « le raisonnement, qui est de nous et qui seul peut nous égarer » afin de ne « chercher la vérité que dans l’enchaînement naturel des expériences et des observations, de la même manière que les Mathématiciens parviennent à la solution d’un problème par le simple arrangement des données, et en réduisant le raisonnement à des opérations si simples, à des jugements si courts, qu’ils ne perdent jamais de vue l’évidence qui leur sert de guide » [Lavoisier, 1789, Préliminaires p. X-XI]. Mais réciproquement, au contact de Lavoisier, Laplace fut sensibilisé aux besoins des sciences physico-chimiques et put ne pas s’isoler dans la géométrie, cette « science qui n’admet guère de partage » selon le mot de Fourier [1831a] : « Je ne sais en vérité comment je me suis laissé entraîner à travailler sur la Physique [...], mais je n’ai pu me refuser aux instances de mon confrère, M. de Lavoisier, qui met dans ce travail commun toute la complaisance, et toute la sagacité que je puis désirer95 ». Peut-être de cette collaboration retint-il l’idée d’une mathématisation possible de ce phénomène irritant de la capillarité, qui survenait de façon quelquefois déplaisante lors des mesures barométriques avec le mercure. En 1781, Laplace et Lavoisier étudièrent en effet un projet de Dom Casbois pour réaliser un baromètre dont le ménisque du mercure serait plat. Dix ans plus tard, la capillarité devenait le premier domaine en dehors de la mécanique où Laplace appliquait avec un succès incontestable les mathématiques : c’était précisément la forme convexe ou concave du ménisque dans les tubes capillaires qui servait de point de départ à son travail [Dhombres, 1989]. Il aboutissait à une équation aux dérivées partielles non linéaire du second ordre, celle même d’où partent aujourd’hui les travaux concernant les phénomènes de surface. Le besoin de comprendre la capillarité avait donné lieu à l’expression de mathématiques originales, qui pouvaient être poursuivies pour elles-mêmes.

124Au-delà de dissensions au fond mineures sur la forme de la mathématisation, Fourier s’inscrivait dans le droit fil de Laplace lorsqu’il énonçait en 1822 dans son Introduction à la Théorie analytique de la chaleur : « L’étude de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l’avantage d’exclure les questions vagues et les calculs sans issue : elle est encore un moyen assuré de former l’Analyse elle-même, et d’en découvrir les éléments qu’il nous importe le plus de connaître, et que cette science doit toujours conserver : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels ». Laplace avait essayé de faire passer le même message dans ses leçons à l’École normale auxquelles Fourier était assidu, message qu’Auguste Comte considérait comme étant la représentation même de la philosophie positive. Sans doute l’allure trop guindée de Laplace le desservait-elle en public, tandis que sa prose était trop volontiers emphatique.

Conclusion

125Le personnage de Laplace irritait, quand bien même son apport scientifique était indiscuté. Marat fut odieux quand il lui prêta des sentiments vils pour accéder à la notoriété : « L’histoire porte que Laplace, ébloui des succès de Suard et de Marmontel, s’était épuisé en calculs pour en deviner la cause ; lorsqu’on lui fit remarquer qu’ils avaient l’un et l’autre de très jolies femmes, recette dont il s’est empressé de faire usage. Si elle ne lui réussit pas ce n’est pas l’envie de bien faire ; c’est que le bon temps est passé » [Marat, 1791, Lettre III]. Une façon de ranger Laplace parmi les courtisans exécrés de l’Ancien Régime.

  • 96 Daru cité dans [Picard, 1927, p. 174-194].

126Mais Daru, un notable au service de l’État qui avait fréquenté Laplace à l’Académie française à partir de 1816, et auparavant au Sénat de Napoléon, n’était pas tendre non plus : « Ceux qui ont passé leur vie dans l’étude des sciences exactes ne sont pas accoutumés à se tromper. La méthode des abstractions leur garantit la justesse des résultats, mais dans les affaires, les points ont de la surface, les lignes des aspérités. Le calculateur toujours sûr de convaincre ne s’est jamais avisé de penser qu’il faudrait descendre jusqu’à persuader96 ».

  • 97 Éloges de Laplace par J.B. Biot et S.D. Poisson, voir [Laplace, 1835] ; [Biot, 1850].

127Manifeste est la perfidie d’Arago lorsqu’il raconte l’épisode de « la clef du sucre », ragot particulièrement bien agencé : « J’étais heureux et fier quand je dînais dans la rue de Tournon chez le grand géomètre. Mon esprit et mon cœur étaient très disposés à tout admirer, à tout respecter, chez celui qui avait découvert la cause de l’équation séculaire de la Lune, trouvé dans le mouvement de cet astre les moyens de calculer l’aplatissement de la Terre, rattaché à l’attraction les grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, etc, etc. Mais, quel ne fut pas mon désenchantement, lorsque, un jour, j’entendis madame de Laplace s’approcher de son mari, et lui dire : « Voulez-vous me confier la clef du sucre ? » [Arago, 1853, p. 1-102]. Enfin Napoléon, jouant sur les mots à Sainte-Hélène, accusa Laplace d’avoir porté dans l’administration l’esprit des « infiniment petits », phrase qui fut par la suite répétée à satiété. Biot et Poisson sont presque les seuls à défendre un maître accusé de manifester un solide égocentrisme cimenté d’orgueil97.

128Les leçons que Laplace fit à l’École normale en l’an III ne laissent guère sonder le personnage. Elles permettent pourtant de juger que ce savant adopta complètement le principe d’une « méthode révolutionnaire », en ce sens qu’il proposa une façon toute différente d’enseigner et de faire des mathématiques. Elle fit date et influença l’enseignement, donc joua un rôle dans le maintien d’une école scientifique française de grande qualité au début du xixe siècle. Que d’altruisme pour un égocentrique !

  • 98 7e leçon de Laplace, p. 109.

129Était-il donc au fond si froid ce personnage qui s’exaltait de la beauté des choses découvertes ? Comme Monge, il savait faire battre les cœurs, par exemple lorsqu’il parlait du lien entre algèbre et géométrie : « Cette correspondance fait l’un des plus grands charmes attachés aux spéculations mathématiques ; et quand l’observation réalise ces images et transforme les résultats mathématiques en lois de la nature ; quand ces lois, en embrassant l’univers, dévoilent à nos yeux ses états passés et à venir ; alors la vue de ce sublime spectacle nous fait éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine98 ».

Notes

1 Selon l’expression que Decremps avait utilisée comme titre d’un livre sur l’astronomie en l’an ii et qu’affectionnait à cette époque le chimiste Fourcroy. Voir par exemple son discours aux Jacobins du 8 décembre 1793, [Aulard, 1896, vol. 5, p. 547] ; [Dhombres J. et N., 1989, chap. 4].

2 Selon les termes de l’arrêté du Comité de salut public du 3 nivôse an II [Aulard, 1919].

3 [Brissot, 1911]. Par l’entremise de Mentelle qui sera l’un des professeurs de géographie à l’École normale, une réconciliation eut finalement lieu entre Laplace et Brissot. Marat resta méprisé de Laplace.

4 7e leçon de Laplace, p. 90. Les indications paginales réfèrent à la présente édition leçon par leçon. On trouvera dans la bibliographie générale les références à l’édition originale [Laplace, 1795].

5 [Fourcy, 1828/1987]. La circulaire ministérielle est du mois de ventôse an VIII (février-mars 1800), et un exemplaire est conservé à l’École polytechnique (Archives, III.3b).

6 5e leçon de Laplace, p.74

7 Ibid., p. 80.

8 Pour la résolution des équations du troisième degré, et pour l’intervention des formes linéaires dont les coefficients sont des racines de l’unité, voir, l’annexe 8 : Les nombres imaginaires dans l’analyse algébrique.

9 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

10 Proposition 2 du livre VI des Éléments. Voir 7e leçon de Laplace, p. 88-89.

11 Il y a là matière à méditation.

12 Programme des cours de mathématiques, p. 45.

13 5e leçon de Laplace, p. 79-80.

14 Voir l’annexe 6 : Le théorème fondamental de l’algèbre.

15 1re leçon de Laplace, p. 47.

16 [Laplace, Lettre à d’Alembert du 15 novembre 1777].

17 [Laplace, Lettre à Lagrange du 19 novembre 1778].

18 2e leçon de Laplace, p. 57.

19 2e leçon de Lagrange, p. 211.

20 2e leçon de Laplace, p. 57.

21 [Lagrange, Lettre à Laplace du 30 décembre 1776].

22 [Lagrange, 1780], [Laplace, 1784], [Laplace, 1788a] et reprise explicative complète dans [Laplace, 1805a].

23 [Lagrange, Lettre à Laplace du 11 février 1784].

24 Monge lui rendait l’impolitesse en ne le citant pas plus.

25 8e leçon de Monge, p. 405.

26 Sur ces sujets, Monge ne faisait que reprendre mot pour mot un texte ancien publié par l’Académie [Monge, 1785], de sorte que l’on peut douter qu’il en ait vraiment prononcé le contenu devant les élèves de l’École normale.

27 8e leçon de Laplace, p. 111-112.

28 Voir l’annexe 12 : Sur la notion de courbure.

29 8e leçon de Laplace, p. 100.

30 9e leçon de Monge, p. 411.

31 Archives de l’École polytechnique, Art. I, § 2, carton I (1794-1821) [Langins, 19876].

32 9e leçon de Laplace, p. 117.

33 Ibid., p. 123.

34 Voir par exemple les données numériques de la 9e leçon de Laplace.

35 9e leçon de Laplace, p. 123.

36 Lettre de Laplace à Chaptal du 2 février 1804. Voir [Laplace C.-E., 1864, p. 14-15].

37 On hésita à choisir une étymologie française, comme lonprime pour le mètre, centilon pour le centimètre, pèzeprime pour le poids, etc. (d’après une lettre de Prieur à Guyton du 27 prairial an II).

38 Lettre du Cultivateur, n°38, messidor an III.

39 9e leçon de Laplace, p. 123.

40 Expression de [Biot, 1803].

41 Voir [Van Swinden, 1799].

42 Lettre de Laplace à Delambre du 29 janvier 1798, [Laissus, 1961]. Lettres de Laplace à Bouvard, du 19 février 1799 (Bibliothèque nationale, Paris), et du 14 avril de la même année (Zentral-bibliothek, Zurich). Voir aussi les lettres de Laplace à Van Swinden du 9 septembre 1799 et du 27 novembre 1799.

Voir [Bigourdan, 1901], [Favre, 1931].

43 9e leçon de Laplace, p. 122.

44 Ibid., p. 118.

45 9e leçon de Laplace, p. 122.

46 Voir l’annexe 13 : La figure de la Terre.

47 Laplace, ibid., p. 119.

48 10e leçon de Laplace, p. 125.

49 Ibid., p. 133-134.

50 Ibid., p. 134.

51 Séances des Écoles normales, recueillies par des sténographes, et revues par les professeurs, Nouvelle édition, A l’imprimerie du Cercle Social, 1801, tome VII, p. 1-141.

52 J. B. Biot, op. cit., p. 6-7.

53 7e leçon de Laplace, p. 87.

54 Ibid.

55 8e leçon de Laplace, p. 99

56 Ibid., p. 101.

57 Ibid., p. 103.

58 8e leçon de Laplace, p. 103.

59 3e leçon de Laplace, p. 63.

60 3e leçon de Laplace, p. 63.

61 Ibid.

62 3e leçon de Laplace, p. 63.

63 Ibid.

64 Programme des leçons de mathématiques, p. 45.

65 3e leçon de Laplace, p. 61.

66 3e leçon de Laplace, p. 62.

67 7e leçon de Laplace, p. 88.

68 3e leçon de Laplace, p. 63.

69 10e leçon de Laplace, p. 128.

70 Ibid.

71 Ibid.

72 10e leçon de Laplace, p. 128.

73 Ibid., p. 126.

74 Ibid.

75 Ibid., p. 127.

76 10e leçon de Laplace, p. 130.

77 Ibid.

78 Ibid., p. 135.

79 Ibid., p. 137.

80 Ibid., p. 138.

81 Ibid.

82 Ibid., p. 134.

83 Ibid., p. 135.

84 10e leçon de Laplace, p. 132.

85 Ibid., p. 129.

86 Ibid.

87 Ibid., p. 131.

88 Ibid., p. 132.

89 Ibid., p. 133.

90 10e leçon de Laplace, p. 133

91 Ibid., p. 125.

92 7e leçon de Laplace, p. 91.

93 3e leçon de Laplace, p. 60.

94 7e leçon de Laplace, p. 91.

95 [Laplace, Lettre à Lagrange du 21 août 1783].

96 Daru cité dans [Picard, 1927, p. 174-194].

97 Éloges de Laplace par J.B. Biot et S.D. Poisson, voir [Laplace, 1835] ; [Biot, 1850].

98 7e leçon de Laplace, p. 109.

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© Éditions Rue d’Ulm, 1992

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