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Le Centenaire de l’École normale (1795-1895)

III. L’enseignement

L’enseignement des mathématiques à l’École

Jules Tannery

Texte intégral

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  • 1 Ceux-ci, de temps en temps, nomment archicubes tous ceux pour lesquels ils éprouvent de l’admiratio (...)

1Sur les six membres de la section de géométrie, à l’Institut, il y en a trois, aujourd’hui, qui appartiennent à l’École normale : quant aux trois autres, ils ont donné à notre maison de si nombreuses et de si fortes preuves d’amitié que nous sommes tentés, suivant en cela une tradition chère aux élèves1, de les regarder un peu comme des nôtres. Ils nous pardonneront ce sentiment, eux et la grande École d’où ils sont sortis. L’École polytechnique et l’École normale ne sont-elles pas d’ailleurs nées de la même pensée, et lorsque, à quelques mois de distance, l’une et l’autre célèbre son centenaire, ne convient-il pas de rappeler cette origine commune, ce lien de famille ? N’est-il pas juste que chacune se réjouisse de la gloire de l’autre ? La section d’astronomie contient aussi deux anciens élèves de l’École normale : l’un d’eux dirige l’Observatoire de Paris.

2Je priais récemment celui des secrétaires de l’Académie des sciences qui est surtout géomètre de vouloir bien rappeler ses souvenirs et me raconter les impressions de son passage à l’École. M. Bertrand éprouva tout d’abord le besoin de me dire qu’il n’était pas sorti de l’Ecole normale ; c’est qu’il pensait, avec raison, qu’on aurait pu s’y tromper. Ne figure-t-il pas en tête de la liste des membres de l’Association des anciens élèves ? — Il y figure, il est vrai, du côté des bienfaiteurs.

3Si M. Bertrand n’est pas sorti de l’École normale, il a été l’un des premiers parmi les maîtres illustres qui l’ont faite ce qu’elle est, qui ont poussé les élèves vers la science. Ce n’était pas, paraît-il, ce qu’on lui demandait. En ce temps-là, on répétait volontiers que l’École normale est faite pour fabriquer des professeurs, et l’on avait une pauvre idée du professeur. Celui-ci était assez bon mathématicien s’il était capable de bien enseigner la division abrégée. Heureusement, on choisissait très mal les maîtres de conférences : M. Bertrand, à coup sûr, n’est pas de ceux qui ignorent ce qu’ils font, et c’est, sans doute, avec une pleine conscience de ses actes qu’il a manqué à tous ses devoirs : il ne m’a pas paru qu’il en ait gardé quelque remords.

4Au surplus, en enseignant n’importe quoi, même la division abrégée, il aurait trouvé le moyen de former des esprits, et de semer des idées : tous ceux qui l’ont entendu se sont émerveillés de sa parole, pleine d’imprévu et de suggestion. Quand il explique quelque chose, on assiste à la formation de sa pensée : ce travail intérieur, il le laisse voir, presque avec coquetterie. Mais est-ce bien un travail ? C’est plutôt une jouissance, qui se communique à l’auditeur : celui-ci s’étonne de penser si facilement et si bien. L’idée jaillit toute seule, claire, lumineuse : elle se colore souvent d’une petite couleur de paradoxe, qui la rend volontiers amusante. Une merveilleuse finesse, une rare pénétration, qui se jouent au milieu des abstractions les plus hautes ; nulle austérité ; nulle trace d’effort ; presque du laisser-aller.

5Comment un tel maître n’aurait-il pas charmé ses élèves, et ne leur aurait-il pas inspiré le goût le plus vif pour la science ? Comment n’en auraient-ils pas gardé le souvenir ? Quel plaisir il y aurait à entendre M. Darboux sur ce sujet et pourquoi ne tient-il pas la plume à ma place ? C’est le plus illustre de ceux qui ont passé par les mains de M. Bertrand, mais comment ne pas rappeler, parmi tant d’autres, le P. Joubert, dont on ne lit pas les beaux travaux sans regretter que leur auteur n’ait pu consacrer qu’un temps trop limité à la science pour laquelle il était fait, et M. Paul Serret, qui a montré un esprit si ingénieux et si fin dans des pages malheureusement trop courtes ? A ce dernier, la vie n’a pas été clémente ; que ne lui a-t-elle laissé des loisirs, dont les mathématiques auraient profité ?

6Les brillants élèves du maître n’ont pas été les seuls à garder un culte pour sa mémoire : tous se sentaient vraiment relevés par son enseignement : j’en ai rencontré jadis un témoignage à la fois comique et touchant : à Caen, j’avais un collègue qui, lorsque ses élèves lui manquaient de respect, se tournait vers eux avec indignation : « Malheureux ! leur disait-il, vous ne savez donc pas que j’ai été élève de Bertrand ? »

7Après le départ de M. Bertrand, c’est l’esprit de Cauchy qui domina l’enseignement mathématique à l’Ecole : MM. Hermite, Puiseux, Briot et Bouquet étaient les amis ou les disciples immédiats du profond géomètre qui, pendant la première moitié du siècle, avait apporté tant d’idées nouvelles et donné à la science une impulsion dont rien ne fait prévoir le ralentissement.

8De ces maîtres, M. Hermite survit seul ; voici bientôt vingt-cinq ans qu’il a quitté l’École normale et cependant je crois bien qu’il n’est pas sorti de la maison un seul mathématicien qui ne soit son élève direct, qu’il n’ait marqué de son empreinte, à qui il n’ait prodigué ses conseils et ses encouragements. Il y a quelques mois, le monde savant célébrait son jubilé : à cette fête inoubliable, M. Hermite a voulu qu’on fit une place particulière à l’École normale : à ceux qui avaient l’honneur de la représenter, il a adressé des paroles qu’ils garderont au fond de leur cœur, tant qu’ils auront la force de se réjouir de la gloire de la maison où ils servent aujourd’hui. Nos élèves continuent de recevoir, à la Sorbonne, un enseignement dont l’éclat n’a fait que grandir ; ils écoutent cette parole d’une éloquence si particulière, où il y a du recueillement, de la solennité, et comme une sorte de tendresse passionnée ; ils jouissent de cette lumière qui va jusqu’au fond des choses, qui les sépare et les réunit, qui en montre les liens les plus délicats, qui donne aux abstractions mathématiques la couleur et la vie.

9J’ai entendu dire à M. Giard que l’enseignement qu’il avait le plus goûté, à l’Ecole, était celui de M. Hermite. M. Giard n’avait pourtant, dès cette époque, aucune hésitation sur la voie où il voulait s’engager : c’étaient les sciences naturelles qui l’attiraient, la science de ce qui est vivant. En écoutant M. Hermite, il avait l’illusion d’être dans le domaine où il se complaisait déjà, d’y voir les êtres se distinguer, se classer, se métamorphoser, se transformer les uns dans les autres. Était-ce bien une illusion, et M. Hermite lui-même, s’il descendait au fond de sa pensée, voudrait-il l’affirmer ?

10« L’étonnement est le commencement de la science. » Tous ceux qui ont reçu à l’École l’enseignement de M. Hermite, en première année, ont gardé le souvenir de cet étonnement profond et fécond que leur ont causé ses premières conférences : ils arrivaient, plus naïfs qu’aujourd’hui, du fond des provinces, pour la plupart ; ils avaient eu d’excellents professeurs, bien clairs, bien précis, bien ordonnés, bien méthodiques et traçant bien régulièrement leur sillon : ce sillon, ils l’avaient suivi de leur mieux, sans voir autre chose que le dos de celui qui menait l’attelage. L’enseignement de M. Hermite causait une vraie stupeur. Il y avait, au début, une certaine classification des fonctions connues et inconnues, qui nous jetait dans l’effarement : « Qu’est-ce que c’est que toutes ces fonctions, bon Dieu ? Il y en a donc tant que cela, qu’il faut les classer ? Est-ce des mathématiques que nous faisons ? A quoi cela ressemble-t-il ? » Une autre fois, le maître mettait sur le tapis un tout petit fait, une petite proposition bien banale. Qu’un homme comme M. Hermite daignât en parler, et en parler à des élèves de l’École normale supérieure, cela faisait sourire : il retournait le petit théorème et lui découvrait des dessous extraordinaires, des prolongements inattendus : derrière, c’était un monde. L’émerveillement venait et durait toute l’année.

11Il y avait quelque chose d’un peu étrange, en troisième année, dans l’année pédagogique, à faire devant M. Hermite une leçon sur la division des nombres entiers, ou sur la résolution des équations du premier degré. En quoi cela pouvait-il l’intéresser, et pendant que nous parlions, dans quel rêve s’abîmait-il, la tête dans les mains, les yeux obstinément baissés ? Il ne perdait pas un mot, on le voyait bien ensuite ; il commençait invariablement par des compliments ; on sait qu’il les tourne fort bien ; ils duraient assez longtemps, et cependant la figure de celui qui avait parlé s’éclairait d’un sourire qu’il s’efforçait de rendre modeste. Le sourire disparaissait bientôt : aucune faute de détail n’était oubliée ; mais c’était pis quand le maître en venait à critiquer la composition de la leçon : celle-ci s’effondrait, il n’en restait plus rien. Puis, l’apprenti professeur oubliait son chagrin en écoutant l’ingénieux architecte reconstruire l’édifice détruit. Que de remarques fines ou profondes à propos de sujets rebattus, quelle lumière jetée sur d’autres sujets, que le maître se plaisait à éclairer de loin ! Que d’exemples merveilleusement propres à illustrer la matière, tout en captivant l’auditeur par l’intérêt qu’ils portaient en eux !

12Ces critiques de leçons étaient singulièrement instructives et suggestives : elles nous choquaient parfois dans nos habitudes, et c’était souvent ensuite, en récréation ou à l’élude, de longues discussions. M. Hermite s’est toujours beaucoup intéressé à l’enseignement élémentaire, même en dehors des mathématiques. Ses vues sont nettes et systématiques : il est partisan du thème, du bon vieux thème de règles : posséder des règles bien précises, reconnaître quand il convient de les appliquer, les appliquer correctement, voilà ce qu’il faut aux enfants. Quant à l’enseignement des mathématiques, il le veut strictement élémentaire, solide et limité : il imposerait volontiers Euclide : bien posséder ses théorèmes, reconnaître où il faut les appliquer, et les appliquer correctement, voilà ce qu’il faut à celui qui commence l’étude des mathématiques. L’enseignement du lycée doit préparer celui de la Faculté, non s’y mêler. Donner de bonnes habitudes d’esprit aux élèves, leur apprendre à distinguer ce qu’ils savent de ce qu’ils ne savent pas, à bien voir ce qu’il y a dans une vérité particulière, à la retourner sur toutes ses faces, tel est le devoir du professeur de lycée. M. Hermite n’a rien négligé pour nous inculquer ces idées : certes, ce n’est pas sa faute si, depuis vingt-cinq ans, dans les hautes classes de nos lycées, l’enseignement s’est transformé d’une façon qu’il est bien permis de déplorer. Mais de qui est-ce la faute ? Des institutions plus que des hommes. La concurrence qui, chaque année, entraîne vers les grandes écoles scientifiques je ne sais combien de milliers de jeunes gens devient plus âpre, à chaque fois ; chacun se hâte d’en apprendre plus long que son voisin, plus long que l’an dernier ; les programmes se grossissent et s’alourdissent ; les examinateurs les mieux intentionnés, voyant que tout le monde sait tout, demandent tout à tout le monde, et s’ils rencontrent un candidat intelligent dont la cervelle soit moins encombrée, ils ont besoin de réfléchir pour ne pas s’étonner de son ignorance, et lui adresser, in petto, les félicitations qu’il mérite.

13La porte de M. Hermite restait ouverte à ses anciens élèves : sa complaisance pour leur indiquer des sujets de recherche a été inépuisable, et quel art délicat dans l’encouragement ! Comme il savait inspirer aux jeunes gens la confiance en eux-mêmes dont ils avaient besoin, comme il savait faire valoir à leurs propres yeux les plus minces résultais de leurs efforts, les pousser plus avant dans la voie et leur donner sans compter ce qui était à lui. Il ne se contentait pas de les recevoir, il allait les trouver chez eux. A l’Ecole, les escaliers qui montent au premier cl au second étage ont une pente modérée, qui raidit tout à coup quand il s’agit de grimper chez les agrégés-préparateurs. — Voici la canne de M. Hermite qui frappe sur les marches de bois, puis sur le carrelage du palier : le voilà dans ma chambre, assis devant ma table : il prend une cigarette, dont il tire trois ou quatre bouffées. « J’ai pensé un peu à votre affaire.... » La cigarette s’éteint, mais les belles formules s’étagent sur le papier, avec des explications lumineuses ; tout de suite, le voile est écarté, les perspectives s’éclairent.... J’ai là, dans un tiroir, quelques-unes de ces précieuses reliques, jaunies par le temps, attendrissantes à regarder.

14Depuis ce malheureux Didon, que la mort guettait, quand ses camarades avaient tant de confiance dans les promesses de son talent, en passant par M. Baillaud, M. Charve, M. Floquet, M. Pellet, et bien d’autres, pour aller jusqu’à ces hommes plus jeunes dont la floraison est aujourd’hui la joie de notre École, quels sont ceux qui n’ont pas reçu les encouragements et les conseils de M. Hermite ?

15Les jeunes gens ont un heureux don : ils savent rire des maîtres qu’ils respectent le plus : comme leurs joyeuses plaisanteries, leurs imaginations folles rajeuniraient ceux qui en sont l’objet, si ces derniers pouvaient les entendre ! La plaisanterie s’arrêtait toujours devant Puiseux : il y avait en lui je ne sais quoi de sérieux, de triste peut-être, qui refroidissait toute gaieté intempérante. L’aspect physique était étrange : une broussaille de cheveux roux, ébouriffés autour d’un grand front de penseur ; des yeux bleus extraordinairement vifs et brillants ; un visage rouge, entièrement rasé, avec de grandes rides autour de la bouche ; le nez allongé, le menton absent, l’allure un peu voûtée, un certain embarras de sa propre personne, une modestie intimidante ; une voix un peu flûtée, d’un éclat adouci. Il imposait le respect à tous : quelqu’un lui a-t il jamais parlé qu’avec déférence, a-t-on jamais osé penser autrement à lui ? Ceux qui l’ont connu dans l’intimité savent quelle était la bonté de son cœur, mais la pensée de l’aborder familièrement, de s’ouvrir à lui, ne venait pas. Sa patience et sa politesse étaient admirables. En ce temps-là, il arrivait quelquefois aux élèves de répondre des énormités quand on les interrogeait sur ce qu’ils savaient mal : Puiseux se contentait de dire alors, d’un ton très doux : « Je ne sais si j’ai bien entendu, ou si je me trompe, mais il me semble que ce que vous avez dit n’est pas tout à fait exact ».

16Puiseux avait débuté par un mémoire d’analyse qui restera capital ; puis il s’était tourné vers l’astronomie, et s’y était donné tout entier. M. Tisserand, son élève et son successeur, pourrait dire quelle était la profondeur de son enseignement, à la Sorbonne, dans la chaire de mécanique céleste : la perfection de l’ordre, l’extrême lucidité dans l’ensemble et dans les détails, l’élégance et le fini des démonstrations, la sûreté au milieu des calculs les plus longs et les plus pénibles frappaient ceux même qui ne venaient à son cours que pour accroître leurs connaissances générales : toujours une entière possession de lui-même, une parole toujours précise et définitive. A l’École, sur des matières d’ailleurs moins difficiles, c’étaient les mêmes qualités ; ceux qui ont passé par ses mains n’ont eu aucun mérite à réussir à leurs examens, tant la préparation était parfaite, tant les devoirs étaient judicieusement donnés et corrigés en détail, tant il prenait soin de s’assurer que tout était bien compris, et de tous. On disait communément qu’il suffisait d’écouter pendant la moitié de ses conférences : que les élèves de l’École sachent bien qu’ils ne retrouveront jamais un pareil maître.

17Sa conscience était excessive : on racontait que, frappé par un deuil singulièrement cruel, il était venu à l’École, à l’heure habituelle, malgré tout, remplir ce qu’il regardait comme son devoir, et qu’il se détournait pour cacher ses larmes. Ceux qui avaient vu couler les larmes de cet homme si maître de lui, si dur pour lui-même, en avaient gardé un souvenir plein d’angoisse.

18Briot était brun, portait la moustache, se tenait droit, presque raide, avait l’allure militaire, des mouvements secs, une parole vive, familière : il se fâchait volontiers ; il n’avait aucun égard pour la dignité (déjà chatouilleuse) des élèves de l’École normale ; les injures tombaient dru sur celui qui répondait mal, ou ne répondait pas ; il bondissait de sa chaise, le secouait rudement par le bouton de la redingote et lui tirait les oreilles.

19Plus que personne, il a contribué à nettoyer l’enseignement ; on n’a plus idée, aujourd’hui, des horreurs qui se débitaient sous le nom de mécanique ; il les a balayées. Sa méthode, dans l’enseignement de la mécanique, était nettement géométrique : il voulait qu’on vît clair, qu’on ne se payât ni de mots, ni de formules ; chaque question devait être regardée en elle-même ; il fallait y reconnaître ce qu’elle offrait de particulier et par où elle donnait prise aux théorèmes généraux. En dehors de cette méthode, point de salut ; cet homme irrespectueux traitait de « faribole » la Mécanique analytique de Lagrange.

20En troisième année, pendant les leçons, il essayait de se contenir, mais il trépignait, éclatait, interrompait, faisait recommencer : d’ailleurs il provoquait volontiers la discussion, supportait qu’on le contredît, autorisait la familiarité. Pendant la belle saison, il invitait la section de mathématiques à venir chez lui, à Châtenay : il nous présentait aux siens, nous emmenait au milieu des bois, avec eux, causant familièrement, se laissant aller.

21On s’étonnait de ne pas l’entendre parler de mathématiques, et de voir qu’autre chose l’intéressât ; sur la politique, sur les lettres, sur la musique, il avait des idées intéressantes, toujours robustes, souvent fines et délicates ; chez cet homme si actif, si remuant, on découvrait des dessous de rêveur : il aimait les doux horizons voilés de brume et l’ombre des bois où, le dimanche matin, il allait « à la messe ». Le soir, la table de famille nous réunissait : la grande table ! Il la fallait déjà telle, pour réunir à l’occasion les enfants et les petits-enfants dont, ce jour-là, nous tenions la place. Dieu merci, les petits-enfants se sont multipliés : il y en a deux aujourd’hui, à l’École, sans compter un petit-neveu, qui nous a ramené le nom de Briot.

22A la sortie de l’École, celte famille nous restait ouverte : l’hiver, Mme Briot recevait simplement, familièrement, le mercredi soir. Quelles bonnes causeries, au coin du feu, autour de la table à thé ! Souvent, un peu de musique. Briot continuait notre éducation ; il fallait dire notre sentiment sur les « morceaux » ; c’était parfois embarrassant, quand on ne savait pas le nom de l’auteur, et malheur à qui aurait préféré une mélodie de Gounod à une fugue de Bach ! De plus en plus, on le sentait paternel ; il s’intéressait au travail de ses élèves, d’abord, mais aussi à tous les détails de leur vie. Il envoyait chez le coiffeur l’un de mes meilleurs amis qui avait la déplorable habitude d’oublier, pendant de longs mois, que ses cheveux étaient hors de toute mesure. Un jour, celui-ci, par esprit de pénitence, sans doute, était allé de lui-même chez ce maudit coiffeur ; pendant que, revêtu du costume traditionnel, essayant d’échapper par le rêve aux parfums maussades qui l’envahissaient, il livrait aux ciseaux alertes et bruissants sa tête mélancolique, Briot, qui passait dans la rue, entra brusquement dans la boutique pour le féliciter.

  • 2 Depuis que ces lignes ont été écrites, la mort nous l’a brusquement enlevé.

23Son influence sur le travail de ses élèves a été considérable ; lui aussi, il leur donnait son temps sans compter : il a été, avec Bouquet, l’un des plus fervents disciples de Cauchy, un de ceux qui ont le mieux contribué à élucider les idées du maître sur la théorie des fonctions, à les propager, à en montrer la fécondité. M. Méray m’a écrit récemment que c’était Briot qui l’avait initié à ces idées, dans des leçons particulières, dès la classe de mathématiques spéciales. La semence a bien fructifié. Briot n’était pas encore maître de conférences à l’École quand M. Méray y entra, et ce dernier pendant ses trois années de séjour, fit de l’étude du violon sa préoccupation principale ; c’était d’ailleurs une façon d’obéir à l’injonction qu’on lui avait faite, de n’envoyer aucune communication à l’Académie des sciences. Je n’ose pas trop conseiller aux jeunes gens d’apprendre, avant d’entrer à l’École, la théorie des fonctions synectiques ; je conseille fortement à ceux qui y sont de penser à autre chose qu’au violon ; enfin je souhaite à ceux qui en sortiront de contribuer au progrès de la science autant que l’a fait M. Méray. Avec M. Hermite, Briot et Bouquet ont largement contribué à pousser les élèves de l’École dans la voie du travail personnel : ils doivent partager avec ce maître incomparable la reconnaissance de tous. Qu’il me soit permis de citer mon camarade Elliot2 parmi les disciples plus particuliers de Briot, parmi ceux qui lui ont fait le plus d’honneur.

24Bouquet était grand, taillé en athlète : une forêt de cheveux blonds, grisonnants, une barbe épaisse, un peu inculte ; les yeux clairs, le nez court ; de petites rides ; la tête souvent secouée par une sorte de hochement qui mettait en branle barbe, cheveux, épaules, et qui allait du sourire bienveillant ou un peu scandalisé jusqu’à la marque d’impatience ; la parole précipitée, un organe bizarre qui étonnait d’abord et prêtait à sourire : un langage élégant, d’une rare précision : toujours le mol juste, la vraie, la seule façon de dire. Tous ses élèves l’ont aimé, de suite : il était évident que c’était un homme excellent, simple, droit, sans complications ni dessous. « Il appartenait tout entier à la science et à l’enseignement, il s’y enfermait. Le bruit du monde n’arrivait guère jusqu’à lui ; au reste, il ne l’aurait pas entendu sans ennui et sans inquiétude : son ignorance du mal, sa candeur étaient extrêmes ; là était la source d’une gaîté qu’on ne rencontre guère, qui était toute pure, sans mélange d’amertume ou de résignation ; il aimait l’enseignement autant que la science ; il aimait à enseigner et il aimait ses élèves ; rentré chez lui, il en parlait avec passion, de manière à exciter les railleries jalouses des siens. Le plus souvent, ceux qui étaient l’objet de cette amusante jalousie ne s’en doutaient guère : Bouquet était de ceux que la timidité oblige à cacher leurs sentiments. L’idée de causer le plus léger chagrin à quelqu’un le navrait, et, s’il s’y croyait obligé, le jetait dans un embarras extraordinaire. Que de préliminaires et de circonlocutions avant d’arriver à donner un conseil ! Qui n’aurait été touché de cette délicatesse instinctive et de ces effarouchements de bon savant ? »

25A l’École, il cachait sa timidité sous une brusquerie amusante : l’épithète de « maladroit » pleuvait, accompagnée du hochement de cheveux et d’épaules. Mais le naturel l’emportait souvent : un jour d’été, venant faire sa conférence, à trois heures, il trouva sur la table un de ses élèves qui dormait profondément, tout de son long étendu, dans une tenue légère. Bouquet défendit qu’on l’éveillât. Le dormeur, qui enseigne aujourd’hui à la Sorbonne, se réveilla avec quelque embarras, sous le regard attendri de son vieux maître.

26On sait quelle était la puissance de Bouquet dans l’analyse. Son enseignement était excellent ; la précision parfaite de la forme répondait à la netteté parfaite des idées ; il avait horreur du vague, de l’à-peu-près et de la fantaisie ; point d’ornements inutiles : un ensemble bien ordonné, mesuré rigoureusement, fortement assis, des détails nets, point de clair-obscur, tout était mis en pleine lumière.

27Je ne veux pas parler de ceux qui sont trop près de nous. Comment ne pas rappeler pourtant que la section mathématique de l’École a brillé d’un éclat incomparable pendant que M. Darboux la dirigeait ; qu’il a eu successivement comme élèves M. Appell, M. Picard, M. Goursat, pour ne citer que des noms déjà illustres ; que depuis il n’a cessé, non plus que M. Hermite, de soutenir, d’encourager, d’aider ceux qui passent dans cette maison, dont il est la gloire.

Notes

1 Ceux-ci, de temps en temps, nomment archicubes tous ceux pour lesquels ils éprouvent de l’admiration ou de la sympathie. Ce n’est pas ici, je pense, qu’il est utile d’expliquer l’argot de l’École.

2 Depuis que ces lignes ont été écrites, la mort nous l’a brusquement enlevé.

Auteur

© Éditions Rue d’Ulm, 1994

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