1 Les controverses portent sur plusieurs aspects : la nature des objets et des principes en mathématiques, la forme des démonstrations euclidiennes, le type de certitude attaché aux résultats ; voir Peter Dear, Discipline and Experiment, Chicago, Chicago University Press, 1995 et Paolo Mancosu, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, Oxford, Oxford University Press, 1996. Pour le lien de ces débats avec l’implantation des mathématiques dans les collèges, voir Antonella Romano, La Contre-Réforme mathématique, Rome, École française de Rome, 1999, première partie.
2 Jean Nicot, Thresor de la langue françoyse tant ancienne que moderne, Paris, D. Douceur, 1606, cité d’après le fac-similé de l’édition de 1621, p. 408.
3 Pierre Richelet, Dictionnaire françois contenant les mots et les choses..., Genève, Widerhold, 1680, p. 34.
4 Académie française, Le dictionnaire de l’Académie françoise, dédié au Roy, 2 volumes, Paris, J.-B. Coignard, 1694, vol. II, p. 53.
5 Pour des jalons utiles dans l’abondante littérature sur la méthode, voir Nelly Bruyère, Méthode et dialectique dans l’œuvre de La Ramée. Renaissance et âge classique, Paris, Vrin, 1984 ; Brian Copenhaver et Charles Schmitt, Renaissance Philosophy, Oxford, Oxford University Press, 1992 ; Marie-Dominique Couzinet, Histoire et méthode à la Renaissance, Paris, Vrin, 1996 ; Peter Dear, « Method and the Srudy of Nature », dans The Cambridge History of Seventeenth-Century Philosophy, Daniel Garber et Michael Ayers (dir.), New York et Cambridge, Cambridge University Press, 1998, vol. I, p. 147-177 ; Philippe Desan, La naissance de la méthode, Paris, Nizet, 1987 ; Daniel Di Liscia, Eckhard Kessler et Charlotte Methuen (dir.), Method and Order in Renaissance Philosophy of Nature. The Aristotle Commentary Tradition, Aldershot, Ashgate, 1997 ; Neal Gilbert, Renaissance Concept of Method, New York, Columbia University Press, 1960 ; Ian Mac Lean, Logic, Signs and Nature in the Renaissance, Cambridge, Cambridge University Press, 2002 ; Edward H. Madden (éd.), Theories of Scientific Method. The Renaissance through the Nineteenth Century, Washington, University of Washington Press, 1960, repr., New York, Gordon & Breach, 1989 ; Waiter Ong, Ramus, Method and the Decay of Dialogue, Cambridge, Harvard University Press, 1958 ; H. Schilling, Die Geschichte der axiomatischen Methode im 16. und beginnenden 17. fahrhundert, Hildesheim, Olms, 1969 ; Cesare Vasoli, La dialettica e la retorica dell’Umanesimo, invenzione e metodo nella cultura del XV
e XVI secolo, Milan, Feltrinelli, 1968.
6 Marie-Dominique Couzinet, Histoire et méthode..., op. cit., p. 36. Un troisième genre consiste à corriger les anciens.
7 Voir Nelly Bruyère, Méthode et dialectique, op. cit., et Peter Mack, Renaissance Argument : Valla and Agricola in the Traditions of Rhetoric and Dialectic, Leyde, Brill, 1993, en particulier chap. VIII et XVII.
8 Voir Lisa Jardine, Francis Bacon : Discovery and the Art of Discourse, Cambridge, Cambridge University Press, 1974 ; Michel Malherbe et Jean-Marie Pousseur (dir.), Francis Bacon.
Science et méthode, Paris, Vrin, 1985 ; Craig Walton, « Ramus and Bacon on Method », Journal of the History of Philosophy, 9, 1971, p. 289-302.
9 Voir Aude Le Dividich, « L’enseignement des mathématiques en France (1600-1670) », Positions des thèses soutenues par les élèves de la promotion de 1996, Paris, École des chartes, 1996 (en attendant la publication du livre issu de la thèse concernée). L’auteur insiste justement sur le lien entre le format des manuels et les publics visés, en particulier nobiliaires.
10 Voir des exemples et des compléments dans Henk Bos, Redefining Geometrical Exactness, New York/Berlin, etc., Springer, 2001 ; Giovanna Cifoletti, La Méthode de Fermat. Son statut et sa diffusion, Paris, Belin, 1990 et Mathematics and Rhetoric. Jacques Peletier, Guillaume Gosselin and the Making of the French Algebraic Tradition, Ph.D. Princeton, 1996 ; Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Saint-Denis, Presses universitaires de Vincennes, 1995, chap. XIII et « L’arithmétique de Pierre Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne : une approche micro-sociale », à paraître.
11 Pierre Fermat, Œuvre complètes, volume II : Correspondance, Paris, Gauthier-Villars, 1894, p. 93.
12 Comme ceux écrits par Clemens Timpler sur différents arts libéraux, voir Joseph Freedman, European Academic Philosophy in the Late Sixteenth and Early Seventeenth Centuries. The Life, Significance and Philosophy of Clemens Timpler (1563/1564-1624), Hildesheim, Olms, 1988, 2 volumes.
13 Le texte de Billy est paru dans la réédition des Arithmétiques de Diophante, publiée en 1670 par Samuel de Fermat ; est citée ici la traduction française qu’en donne Paul Tannery, dans le volume III des Œuvre complètes de Fermat, p. 325-398. Il s’agit d’égaler simultanément à des carrés rationnels deux expressions linéaires ou quadratiques à une inconnue, cherchée elle aussi rationnelle.
14 Voir Giovanna Cifoletti, La méthode de Fermat, op. cit.
15 L’enjeu des nombres comme terrain d’application est important, l’arithmétique entière étant un des domaines que les méthodes de l’algèbre symbolique n’ont pas réussi à conquérir complètement. Sur cet enjeu et le rôle des problèmes sur les nombres dans le fonctionnement intellectuel et social du cercle de Mersenne, voir C. Goldstein, « L’expérience des nombres de Frenicle de Bessy », Revue de synthèse, 4série, 2-3-4, 2001, p. 425-454 et « L’arithmétique de Pierre Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne... », art. cit.
16 Plus loin, Frenicle dit encore qu’il faut « que cette recherche soit la plus courte et la plus facile qu’il se pourra faire ».
17 René Descartes, Œuvres complètes, 13 volumes, Paris, Cerf, 1897-1913, vol. II, p. 91.
18 La publication de la méthode sous forme de règles à mettre en action est elle aussi standard, voir là-dessus Catherine Goldstein, « L’arithmétique de Fermat... », art. cit.
19 Dans les éditions standard, avant la rédécouverte des livres diophantiens supplémentaires au XXe siècle.
20 En fait, Bachet de Méziriac explique dans un des porismes commentant son édition des Arithmétiques de Diophante de 1621 – source standard de problèmes sur les nombres au XVIIe siècle – que l’hypoténuse d’un triangle pythagoricien est une somme de deux nombres « plans semblables », c’est-à-dire dans le même rapport que deux carrés. Frenicle lui-même connaît parfaitement ce résultat et ses variantes (voir C. Goldstein, Un théorème de Fermat..., op. cit., p. 124-130) ; dans un exemple qui suit et illustre la 7e règle, il évoque d’ailleurs déjà le fait qu’une somme de deux carrés distincts est une hypoténuse.
21 Le résultat est lui aussi bien connu au XVIIe siècle, Bachet le démontre, de manière euclidienne, dans son édition des Arithmétiques. Là encore, dans la Méthode, Frenicle procède uniquement par examen systématique d’exemples.
22 Le problème de la réciproque est réglé ici parce que la première propriété examinée – les hypoténuses nombres premiers sont sommes de deux carrés – entraîne qu’elles sont aussi de la forme An + 1.
23 Le quatrième problème, qui propose de dénombrer les solutions, si l’on se donne au départ un nombre avec sa décomposition en facteurs premiers, témoigne de ce que Frenicle est conscient de deux limites sérieuses du traitement pratique du troisième problème : il est effectivement nécessaire de connaître la décomposition du nombre de départ en facteurs premiers pour mettre en œuvre sa suggestion, et il peut exister plusieurs triangles rectangles avec la même hypoténuse. Nous reviendrons plus loin sur cette progression entre problèmes.
24 Cette partie pourrait aussi être démontrée, mais elle est plus difficile que la précédente. Fermat l’annonce comme un exemple d’application du mode de démonstration qu’il a inventé, la descente infinie ; mais il ne semble pas y en avoir de preuve rédigée avant le XVIIIe siècle.
25 En revanche, il serait légitime de l’analyser lui aussi en tant que réduction en art, cette fois sur un modèle euclidien, d’une partie du Discours sur les triangles, resté manuscrit. Le Traité commence par exemple par des principes nouveaux (par rapport aux axiomes arithmétiques usuels des Éléments) dont les différents théorèmes se déduisent.
26 Voir Peter Dear, Discipline and Experiment, op. cit., et D. Morrison, « Philoponus and Simplicius on Tekmeriodic Proof », dans Method and Order in Renaissance Philosophy of Nature, Daniel Di Liscia, Eckhard Kessler et Charlotte Methuen (dir.), op. cit., p. 1-22.
27 Sur la réception de Bacon en France, voir Michèle Le Doeuff, « Bacon chez les Grands au siècle de Louis XIII », dans Francis Bacon. Terminologia efortuna nel XVII secolo, Marta Fattori (dir.), Rome, Atheneo, 1984, p. 155-178 ; Robert Lenoble, Mersenne ou la Naissance du Mécanisme, Paris, Vrin, 1971 ; Gaston Sortais, La philosophie moderne depuis Bacon jusqu’à Leibniz : études historiques, 2 tomes, Paris, Lethieileux, 1920-1922.
28 Pour quelques jalons utiles sur le programme baconien pour les sciences, voir Marta Fattori (dir.), Francis Bacon. Terminologia e fortuna nel XVII secolo, Rome, Atheneo, 1984 ; Lisa Jardine, Francis Bacon : Discovery and the Art of Discourse, Cambridge, Cambridge University Press, 1974 ; Michel Malherbe et Jean-Marie Pousseur (dir.), Francis Bacon. Science et méthode, Paris, Vrin, 1985 ; Markku Peltonen (dir.), The Cambridge Companion to Bacon, Cambridge, Cambridge University Press, 1996 ; Antonio Perez-Ramos, Francis Bacons Idea of Science and the Maker’s Knowledge Tradition, Oxford, Oxford University Press, 1988 ; Jean-Marie Pousseur, Bacon. Inventer la science, Paris, Belin, 1988 ; Stephen Gaukroger, Francis Bacon and the Transformation of Early-Modern Philosophy, Cambridge, Cambridge University Press, 2001 ; Paolo Rossi, Francesco Bacone : della magia a la scienza, Bari, Laterza, 1957.
29 Novum organum, I, aphorisme XXXVI. Les citations du Novum organum utilisées ciaprès proviennent de la traduction de M. Malherbe et J.-M. Pousseur, Paris, Presses universitaires de France, 1986.
30 On retrouve des éléments analogues dans les récits d’expérimentations du cercle parisien, voir Christian Licoppe, La formation de la pratique scientifique : le discours de l’expérience en France et en Angleterre, 1630-1820, Paris, La Découverte, 1996.
31 Cela n’est bien sûr pas original et se retrouve dans les théories du regressus, chez Zabarella par exemple.
32 Le but ultime, pour Bacon, est l’obtention des « formes » de la nature. Ce terme apparaîtra ensuite pour désigner en mathématiques les expressions comme les « sommes de carrés » et leurs analogues.
33 Ceux-ci, par exemple, explicitent rarement le choix des variables retenues pour transposer en équation la question initiale.