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Penser par cas

 | 
Jean-Claude Passeron
, 
Jacques Revel

Le paradigme et le général. Réflexions inspirées par les textes mathématiques de la Chine ancienne

The paradigm and the general. Reflections inspired by mathematical texts of ancient China

Karine Chemla

Résumé

Les ouvrages mathématiques qui nous sont parvenus de la Chine ancienne se composent pour l’essentiel de problèmes à l’allure concrète et particulière, suivis des réponses numériques qu’ils appellent et de procédures de calcul qui les résolvent. On développe ici des arguments en faveur de la thèse que les lecteurs lisaient, dans ces unités de texte, des paradigmes, au sens que les grammairiens donnent à ce terme. Ils y voyaient donc des énoncés généraux, dont l’extension se déterminait sur la base de la procédure. L’étude suggère, plus largement, que la généralité a constitué la valeur théorique majeure pour les mathématiciens de la Chine ancienne. La montée en généralité, qui se pratiquait par un travail sur les procédures, visait en particulier à dissoudre les cas éventuels par la constitution d’un algorithme les traitant tous de manière uniforme.

Texte intégral

Je remercie vivement les relecteurs de mon article, et tout particulièrement Jean-Claude Passeron et Jacques Virbel pour leurs remarques éclairantes et leurs conseils avisés.

  • 1 Cité désormais Les neuf chapitres.

1Les ouvrages mathématiques qui nous sont parvenus de la Chine ancienne se composent pour l’essentiel de problèmes à l’allure concrète et particulière, suivis des réponses numériques qu’ils appellent et de procédures de calcul qui les résolvent. C’est, par exemple, le cas du livre de mathématiques le plus ancien à nous avoir été transmis par la tradition écrite, sans doute du fait qu’il était appelé à devenir un « canon » pour la discipline : Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques1 (premier siècle de notre ère). La plupart des algorithmes qui s’y trouvent formulés sont décrits en relation avec des problèmes particuliers tant pour ce qui est de la situation qu’ils prennent comme objet que pour ce qui touche aux valeurs qu’ils assignent aux données. Comment convient-il de lire ces éléments de texte ? Faut-il voir, dans les énoncés, des exemples, des cas, des problèmes pratiques ? Élaborer une réponse à ces questions, c’est déterminer en quoi ces matériaux permettent de réfléchir à ce que peut être « penser par cas » en mathématiques.

Position du problème

2Au cours des dernières décennies, les historiens des mathématiques ont spontanément oscillé entre deux options pour lire ces problèmes. Certains ont pris le parti de reconnaître là l’équivalent, pour la Chine ancienne, des robinets débitant de l’eau dans des baignoires ou des trains destinés à se croiser, caractéristiques des ouvrages de l’enseignement primaire contemporain. Pour d’autres historiens, au contraire, les problèmes dont attestent ces sources reprennent des questions que les fonctionnaires chinois devaient résoudre dans leur pratique quotidienne, et ils voient donc dans ces ouvrages un avatar ancien de manuel de mathématiques pratiques pour ingénieurs. Qu’ils adoptent l’une ou l’autre de ces lectures, voire un mixte des deux, ces exégètes partagent un présupposé méthodologique qui ne manque pas de soulever des difficultés : ils paraissent ne pas tenir pour nécessaire d’établir, par une argumentation, le bien-fondé de leur interprétation, comme si une ressemblance de surface entre les sources anciennes et des textes contemporains pouvait justifier qu’ils fassent, les unes et les autres, l’objet des mêmes opérations de lecture.

  • 2 Voir K. Chemla, « Qu’est-ce qu’un problème dans la tradition mathématique de la Chine ancienne ? Qu (...)

3Dans des publications antérieures, je me suis déjà inscrite en faux contre semblable pratique2, en proposant une approche autre de ces problèmes. En effet, la question de savoir comment lire ces sources anciennes relèverait de la pure conjecture, si certains de ces écrits ne s’étaient vus conférer le statut de « canon » et n’avaient été de ce fait transmis par la tradition écrite accompagnés de commentaires. Ainsi, l’ouvrage que nous prenions pour exemple en introduction, Les neuf chapitres, a fait l’objet de multiples exégèses, et deux d’entre elles furent sélectionnées au fil des siècles pour être transmises avec le texte même du canon : il s’agit du commentaire des Neuf chapitres que Liu Hui acheva en 263 ainsi que de celui composé par une équipe sous la direction de Li Chunfeng et présenté au trône en 656. L’unité textuelle que constituent le canon et ces deux commentaires s’imposa au point qu’aucune édition ancienne des Neuf chapitres n’a survécu dont le texte ne soit accompagné des gloses de ces deux exégètes. Or, s’exprimant dans un style plus libre que celui du canon, les commentateurs couchent sur le papier leurs réactions au texte des Neuf chapitres en tant que tel. Il nous est alors loisible de nous saisir de ces indices pour tenter de reconstituer la manière dont ils le lisent. En particulier, pour la question qui nous occupe ici, les commentaires fournissent un riche matériau attestant des lectures qu’ils font des problèmes des Neuf chapitres, révélant les attentes qu’ils nourrissent à leur endroit et montrant les pratiques de ces éléments de texte qu’eux-mêmes mettent en œuvre. C’est sur ce corpus que nous pouvons nous appuyer pour élaborer une lecture informée des problèmes mathématiques de la Chine ancienne. Pareille méthode historique n’est pas parfaite, puisqu’elle exploite des commentaires dont la rédaction date au mieux de quelque trois siècles après la compilation des traités. Elle nous met néanmoins sur la piste d’hypothèses que viennent conforter d’autres types d’indices fournis, cette fois, par les textes anciens eux-mêmes. C’est ainsi que j’argumenterai en faveur de leur validité. Nous suivrons donc ici cette méthode pour attaquer les questions formulées en ouverture et nous demander dans cette veine ce qu’était un problème dans Les neuf chapitres.

4Formulons d’entrée de jeu les conclusions que visent à établir les différentes parties de cette enquête, afin d’en exposer les grandes articulations. Le premier point que les commentaires nous permettront de montrer, c’est que, du moins aux yeux de leurs auteurs, la combinaison du problème et de l’algorithme qui lui fait suite devait être lue comme un énoncé général, même s’ils ne sont formulés, ni l’un, ni l’autre, de façon abstraite. Les « problèmes » seraient donc à interpréter comme des « paradigmes » au sens que les grammairiens donnent à ce terme. La question clef qui se présente à l’exégète ancien consiste alors à déterminer l’extension de la classe d’énoncés dont un problème tient lieu. Des témoignages quasiment contemporains des textes les plus anciens confirment l’importance, pour la pratique mathématique chinoise, de ce travail sur les « catégories » (lei), et ils trouvent un ancrage dans le corpus confucéen. Or on peut établir un lien entre l’activité récurrente des commentateurs dans le contexte des mathématiques – ils se préoccupent systématiquement d’établir la correction des algorithmes du canon – et l’objectif de déterminer la classe d’un problème. Il apparaît alors que c’est la procédure qui fournit la base pour établir l’extension du problème et que la démonstration met au jour les critères permettant de la circonscrire.

5Si le particulier dit le général, on relève des traits récurrents et singuliers dans les modes de formation des paradigmes ou, pour le dire autrement, dans les modalités d’énonciation du général à l’aide du particulier. Au rebours de l’attente que les pratiques contemporaines pourraient induire chez l’historien, il est intéressant que le choix du paradigme consiste régulièrement à retenir non pas une situation « générique », mais un cas « dégénéré », au sens où une procédure plus simple que celle requise par le problème général suffirait à le résoudre. Or le point clef ici, c’est que la situation dégénérée n’est justement pas traitée comme un « cas » : la procédure de résolution qui lui fait suite demeure, elle, générale, et c’est donc elle qui fait, de ce cas plus que particulier, un énoncé général. La réaction d’un commentateur, Liu Hui en l’occurrence, à la seule exception à cette règle répertoriée dans le corpus mathématique de la Chine ancienne, plus spécifiquement dans Les neuf chapitres, permet de repérer ce point. C’est donc sur ce document que nous nous appuierons ici.

6Cependant la conclusion que nous obtenons sur les problèmes s’avère posséder une validité beaucoup plus large : ce n’est pas seulement pour l’énoncé des algorithmes que le particulier est ainsi mobilisé pour exprimer le général. Ce fait permet de rendre compte, de la même manière, de la conduite des démonstrations aussi bien que de la nature des auxiliaires visuels employés. D’une part, ces derniers sont également à interpréter comme des paradigmes. D’autre part, c’est par le biais de réalisations matérielles aux dimensions non pas « génériques », mais particulières à l’extrême qu’ils donnent à voir une situation géométrique générale. Là encore, c’est au niveau des opérations qui leur sont appliquées que la généralité est maintenue.

7Si le plus particulier dit le général, cela n’épuise pas l’intérêt pour la valeur de généralité que manifestent les commentateurs. Ce sera notre second point dans la mesure où nous serons à même de saisir là des modalités du travail sur les « cas », et nous le discuterons en deux temps. Régulièrement, les exégètes ne se contentent pas en effet d’une procédure générale, mais travaillent, par plusieurs biais, à la reformuler ou à la modifier de manière à en accroître la généralité, exposant ainsi sur le support du paradigme le plus particulier l’opération, cette fois, la plus générale possible.

8On relève, dans les commentaires, deux types de manifestation de cette orientation. Le premier est illustré par l’extrait même qui trahissait plus haut l’attente de l’exégète Liu Hui selon laquelle la procédure faisant suite à un problème des Neuf chapitres devait permettre de résoudre le cas général. Après avoir exhibé le défaut de généralité de l’algorithme donné par le canon, le commentateur fournit, en effet, une version plus générale de cette procédure. Cependant, celle-ci a pour particularité de diviser l’ensemble des problèmes similaires à celui des Neuf chapitres en deux classes, correspondant chacune à un « cas ». C’est à ce point précis que nous rencontrerons le second type de manifestation d’un intérêt pour la valeur de généralité, intéressante au regard d’une interrogation sur « le cas ». Il est, en effet, significatif que, loin de s’arrêter là, Liu Hui poursuive en exposant une procédure d’un autre type, laquelle permet cette fois un traitement uniforme de l’ensemble des situations analogues : de « cas » qu’il était en relation avec la première procédure proposée par le commentateur, le problème initial a repris le statut de « paradigme », tenant lieu, relativement au second algorithme, de tous les possibles. C’est là l’une des modalités du travail des commentateurs sur les procédures qui vise à un gain en matière de généralité ou, si on le considère sous un autre angle, qui tend à l’élimination des cas.

  • 3 Se reporter à K. Chemla, « Résonances entre démonstration et procédure. Remarques sur le commentair (...)

9Nombre de propriétés des algorithmes formulés dans les canons, nombre des concepts mathématiques qu’ils introduisent peuvent s’interpréter comme articulés à cette quête d’une montée en généralité. Signalons-le pour mémoire : les pratiques de démonstration de la correction de procédures dont témoignent les commentaires aux canons mathématiques se laissent également appréhender comme une autre modalité de ce travail, puisqu’elles montrent les exégètes à la recherche, via la démonstration, des opérations les plus générales sous-tendant les algorithmes et communes à l’ensemble d’entre eux. C’est ici l’un des lieux où s’introduit l’opération d’abstraction : les procédures abstraites se présentent comme celles qui sont formellement communes à divers algorithmes, mais qui prennent des sens distincts dans les différentes situations où leur efficacité est avérée. Explorer cette dimension nous éloignerait cependant des « cas » à proprement parler. Je m’abstiendrai donc de la traiter ici3.

  • 4 Cf. une traduction intégrale et commentée de ces documents ainsi qu’une discussion des points délic (...)

10Telles sont les idées clefs de cette enquête. Je me contenterai dans ce qui suit de les illustrer, en argumentant en faveur de leur validité sur la base, principalement, du commentaire que Liu Hui compose en réaction au problème 18 du sixième des Neuf chapitres. Il s’agit là, en effet, d’un document unique, à ma connaissance, pour les lumières qu’il jette sur les questions qui nous préoccupent. Mais avant d’entrer dans le vif du sujet, un avertissement s’impose. J’ai choisi, pour aller à l’essentiel, de ne pas alourdir mon exposé de détails inutiles. C’est pourquoi le lecteur trouvera ici, non pas une traduction, mais une paraphrase des textes originaux qui en retient exclusivement les traits pertinents pour mon propos4.

Le problème comme paradigme

11Le problème 6.18 des Neuf chapitres suscite, chez Liu Hui, un commentaire particulièrement révélateur de la manière dont l’exégète lit les énoncés aussi bien que les algorithmes qui leur font suite. C’est pour ce témoignage particulièrement précieux que le passage nous importe ici, et aucunement pour ce qu’il nous apprend sur les connaissances mathématiques de la Chine ancienne. Dans la mesure où il servira de point nodal dans notre argumentation, nous en donnerons d’entrée de jeu une paraphrase :

Problème 6.18 : Supposons que 5 personnes de grades différents – ces grades sont exprimés par les cinq premiers entiers, 1,…, 5 – partagent 5 sapèques [conformément à leurs grades] de manière telle que les deux supérieurs obtiennent un montant total égal à ce que reçoivent globalement les trois inférieurs. On demande ce qu’obtient chacune d’entre elles.

12On constate que l’énoncé est particulier pour ce qui est de la situation : il propose de déterminer des sommes d’argent. Il l’est également du point de vue des valeurs, puisque c’est ici un montant spécifique de 5 sapèques qu’il s’agit de partager. La quasi-totalité des problèmes du canon partage ces traits. L’objectif est ici, concrètement, d’évaluer des parts sous la condition qu’elles forment les cinq premiers termes d’une progression arithmétique (si = a + ir, i = 1,…, 5), ou, en d’autres termes, de déterminer les sommes à allouer pour que, à l’instar des nombres 1,…, 5, la différence entre les montants attribués à des personnes de grades voisins soit constante.

13Les neuf chapitres proposent, à la suite de ce problème, puis des réponses numériques adéquates qu’ils fournissent, une procédure de calcul qui fait référence à la situation et aux données particulières décrites par l’énoncé pour atteindre cet objectif. L’idée clef de cet algorithme consiste à déterminer, dans un premier temps, les poids respectifs des parts allouées aux différentes personnes qui satisfassent à la condition requise par l’énoncé, à savoir : que le total des poids des deux parts les plus importantes soit égal à la somme des trois parts moindres. Le second temps de la procédure met alors en œuvre une méthode classique, qui permet de partager le montant global de 5 sapèques en sommes proportionnelles à ces poids, qui satisfont ainsi à la condition initialement posée. C’est en fait sur la première partie de cet algorithme que nous concentrerons nos remarques.

  • 5 Soulignons que, s’il arrive aux Neuf chapitres d’évoquer cette surface à calculer, nulle part sa re (...)

14Nous l’évoquerons, toujours par le biais d’une paraphrase, et en en illustrant les étapes successives par les calculs qui leur correspondent sur la surface à calculer avec laquelle les opérations numériques étaient effectuées5. Pour déterminer des poids satisfaisant à la condition posée par l’énoncé du problème, Les neuf chapitres proposent de disposer tout d’abord, sur la surface à calculer, les premiers nombres entiers – à savoir : les valeurs exprimant les grades des individus – et de sommer, d’un côté, ceux qui correspondent aux deux supérieurs, de l’autre, ceux relatifs aux inférieurs, comme suit :

5

Somme des deux lignes supérieures

4

9

3

2

Somme des trois lignes inférieures

1

6

15La différence entre les sommes correspondant, respectivement, aux supérieurs et aux inférieurs fait 3. Les neuf chapitres prescrivent d’ajouter « uniformément » cette valeur à toutes les lignes :

5

+3

D’où l’on obtient

8

4

+3

7

3

+3

6

2

+3

5

1

+3

4

16Ce sont ces cinq valeurs que Les neuf chapitres prendront comme poids des différentes parts et proportionnellement auxquelles la somme de 5 sapèques sera scindée de façon inégale en fonction des grades. Et l’on constate en effet que la somme des deux premières lignes vaut 15, tout comme la somme des trois dernières.

17Le commentaire de Liu Hui sur ce morceau du canon est distribué entre les étapes successives de la procédure et vise à établir sa validité : démontrer la correction des algorithmes constitue l’un des objets essentiels de l’exégèse. En l’occurrence, Les neuf chapitres prescrivent d’ajouter uniformément aux premiers nombres, disposés dans des lignes de la surface à calculer, la différence entre les sommes, respectivement, des deux premières et des trois dernières rangées : pourquoi et comment ces opérations produisent-elles des poids corrects ? Liu Hui élucide ce point en considérant les quantités ajoutées séparément. Dissociant ce qui est additionné aux lignes supérieures et aux lignes inférieures, son analyse le porte à souligner que la procédure ajoute cette différence (qui vaut 3) deux fois aux lignes correspondant au groupe des supérieurs, et trois fois aux lignes liées aux inférieurs. Puisque, donc, l’effectif de ce dernier ensemble excède d’une personne le nombre d’individus que contient le groupe des supérieurs, on lui aura globalement additionné une différence de plus. La somme des deux premières lignes excédait celle des trois dernières de cette différence de 3. Ce qu’on ajoute aux rangées inférieures excède maintenant ce dont on augmente les supérieures du même montant de 3. On comprend donc pourquoi, en combinant ces deux ensembles de nombres par l’opération d’additionner uniformément 3 à toutes les lignes, que prescrivent Les neuf chapitres, les valeurs obtenues satisfont à la condition requise par l’énoncé. La correction de la procédure fournie par le canon – du moins de la première partie qui nous intéresse ici – est ainsi établie.

18C’est à ce point que le passage examiné s’avère crucial. Si, en effet, Liu Hui s’attendait à ce que la procédure délivrée par Les neuf chapitres résolve uniquement le problème après lequel elle est exposée, il pourrait conclure ici son commentaire. En d’autres termes, si, à ses yeux, le problème ne tenait lieu que de lui-même, si l’algorithme qui le suit ne visait qu’à en déterminer les solutions, Liu Hui aurait établi sa correction et il aurait ainsi achevé sa tâche. Mais tel n’est pas le cas, et la suite de son texte se révèle particulièrement riche d’enseignement. En effet, notre commentateur poursuit en énonçant un nouveau problème, similaire à celui des Neuf chapitres et que l’on peut paraphraser comme suit :

Supposons que 7 personnes de grades différents – ces grades sont, de même que précédemment, exprimés par les sept premiers entiers, 1,…, 7 – partagent 7 sapèques [conformément à leurs grades] de manière telle que les deux supérieurs obtiennent un montant total égal à ce que reçoivent globalement les cinq inférieurs. On demande ce qu’obtient chacune d’entre elles.

19Et, une fois ce second problème énoncé, Liu Hui relève qu’ici, à la différence de ce qui vient d’être examiné, c’est de 3 individus, et non plus de 1, que l’effectif des inférieurs excède le nombre des supérieurs. Il souligne, de surcroît, que la somme des deux lignes supérieures, 13, est maintenant inférieure au total des cinq rangées inférieures qui s’élève à un montant de 15.

7

Somme des deux lignes supérieures

6

13

5

Somme des cinq lignes inférieures

4

15

3

2

1

20L’analyse de la procédure donnée par Les neuf chapitres que le commentateur avait développée révèle pourquoi elle est impuissante à résoudre ce problème. En ajoutant une même quantité à toutes les lignes, on ne pourrait qu’accroître le déséquilibre de l’ensemble des poids de départ en faveur des inférieurs. Cette même analyse permet également de comprendre pourquoi ce n’est pas, non plus, en soustrayant, cette fois, uniformément la différence à toutes les lignes que la difficulté sera vaincue.

21Avant d’examiner le remède proposé par Liu Hui, analysons la situation plus avant. Nous nous trouvons ici devant un document, à mon sens, unique, dans lequel la procédure donnée par le canon résout bien le problème auquel elle fait suite, mais n’est pas « générale ». Ce point est immédiatement relevé par le commentateur, qui propose un problème analogue donnant à voir les limites de l’algorithme. Cette réaction paraît bien indiquer qu’à ses yeux, la procédure fournie à la suite d’un problème n’est pas supposée ne résoudre que cet unique problème, mais qu’elle vise une « classe » d’entre eux.

  • 6 Voir Le gnomon des Zhou (Zhoubi), dans la traduction de C. Cullen qui souligne à juste titre l’impo (...)

22Il importe d’être plus précis. En fait, la procédure que décrivent Les neuf chapitres après l’énoncé 6.18 résout bien une classe de problèmes : il s’agit de ceux pour lesquels, d’une part, l’effectif des inférieurs excède d’une personne le nombre de supérieurs et, d’autre part, la somme de l’ensemble des lignes supérieures excède le total des lignes inférieures. Or ces critères, qui définissent la catégorie de problèmes dont l’énoncé 6.18 tient lieu, nous sont fournis par la démonstration de la correction de la procédure. Établir la validité d’un algorithme apparaît ainsi comme un outil pour déterminer l’extension de son efficacité. La démonstration constitue l’instrument par lequel la classe de problèmes dont un énoncé tient lieu est explorée. Relevons ici un détail dont plusieurs indices signalent le caractère crucial : c’est un examen de la procédure qui définit la classe correspondant à un problème, et non pas une variation réglée de son énoncé. L’essence de l’activité du commentateur – démontrer la correction des algorithmes – se trouve ainsi mise en relation avec une opération présentée comme centrale par le premier texte théorique discutant des mathématiques qui nous soit parvenu de la Chine ancienne et qui paraît quasiment contemporain des Neuf chapitres : les paragraphes introductifs du Gnomon des Zhou6.

  • 7 Insérons ici une remarque sur l’énoncé proposé par le commentateur : il s’agit du premier énoncé, d (...)

23Mais il y a plus. Ici, la démonstration met au jour le fait que la procédure exploite deux traits particuliers de la situation décrite par l’énoncé 6.18 : elle tire parti de ce que, dans ce cas, il y a exactement un individu de plus chez les inférieurs que chez les supérieurs ; elle met de plus à profit une autre circonstance : la somme des entiers attachés aux supérieurs excède ici le total des entiers associés aux inférieurs. Or, comme le montre le problème introduit par Liu Hui, il s’agit là de traits que ne partagent pas toutes les situations analogues7. La démonstration met donc en évidence, et permet de définir précisément, le manque de généralité de la procédure.

24Le commentaire au problème 6.18 présente donc une situation unique où c’est en juxtaposant au problème du canon un énoncé semblable que le commentateur peut, en s’appuyant sur sa démonstration, montrer l’incapacité de la procédure des Neuf chapitres à le résoudre. Il s’attachera, immédiatement après, à proposer d’autres procédures, elles plus générales. Mais, avant de le suivre dans cette voie, tirons dès à présent quelques premières conclusions.

25L’examen de ce cas, nous l’avons suggéré, révèle qu’aux yeux du commentateur, la procédure faisant suite à un problème doit être générale. Pour lui, l’algorithme donné après un problème n’est pas un algorithme visant à résoudre ce seul problème. La relation entre un énoncé et la procédure qui le suit n’est pas non plus supposée être celle d’une procédure à l’énoncé qu’elle résout. Au contraire, le problème et la procédure se révèlent constituer un « paradigme », au sens où les grammairiens emploient ce terme. Et c’est par une formulation de ce type qu’on choisit de présenter en Chine ancienne – car, pour les commentateurs, on peut le montrer, il s’agit bel et bien d’un choix – questions et procédures générales. En d’autres termes, si l’on suit le commentateur, la procédure se doit de résoudre le problème général, lequel est exprimé, le plus souvent, non pas abstraitement, mais à l’aide d’un paradigme.

26Par ailleurs, dans la situation que nous observons, Liu Hui s’apprête à accroître la généralité de la procédure. Que la suite de son commentaire porte précisément sur ce point confirme l’importance qu’il accorde au fait d’élaborer des algorithmes généraux. Nous nous trouvons donc en position d’examiner comment il procède à cette fin. Sa démarche s’effectue en deux temps, révélateurs, chacun, de la manière dont la valeur de généralité orientait le travail mathématique en Chine ancienne. Suivons-le pas à pas.

Faire d’un problème un cas

27Après avoir introduit le problème qui met en défaut l’algorithme proposé par Les neuf chapitres, Liu Hui esquisse les modifications à apporter à cette dernière procédure pour la rendre apte à traiter la nouvelle question. Elles sont au nombre de deux. La structure de base de l’algorithme reste inchangée : l’idée essentielle consiste toujours à déterminer des poids qui présentent entre eux les mêmes rapports que les sommes à distribuer aux différents individus, puis de procéder à un partage du montant disponible en fonction de ces poids. C’est sur la première partie de l’algorithme que se concentrent les modifications.

28Le point de départ est toujours constitué par les premiers entiers naturels, qui définissent les grades des personnes, mais l’on se trouve dans un cas où l’addition des nombres correspondant aux inférieurs produit un montant plus grand que le total des valeurs associées aux supérieurs. Il est clair que l’effectif des inférieurs est, du fait de la nature du problème, constamment plus important que celui des supérieurs : on ne pourrait additionner des parts plus petites en nombre moindre et obtenir, comme l’énoncé le requiert, un total égal à la somme d’un nombre supérieur de parts plus substantielles, comparables à ce que doivent recevoir des personnes de grade plus élevé. En procédant comme Les neuf chapitres le prescrivent et en ajoutant uniformément une grandeur donnée à l’ensemble des lignes, on ne pourrait, en ce cas, qu’aggraver le déséquilibre déjà flagrant en faveur des inférieurs : on ajouterait, en effet, un nombre supérieur de fois ladite grandeur aux lignes inférieures. Liu Hui propose donc d’apporter une première transformation à l’algorithme des Neuf chapitres : il faudra, cette fois-ci, non pas « additionner » mais « soustraire uniformément ».

29Mais que faudra-t-il soustraire ? Rappelons le problème tel qu’il se présente sur la surface à calculer.

7

Somme des lignes supérieures

- a

Somme des lignes supérieures

6

13

- a

13 – 2a

5

- a

4

Somme des lignes inférieures

- a

Somme des lignes inférieures

3

- a

2

- a

1

15

- a

15 – 5a

30On ne peut suivre la procédure des Neuf chapitres et soustraire la différence entre les sommes, respectivement, des lignes supérieures et inférieures – nous la noterons d. On retrancherait bien un montant supérieur des lignes du bas par rapport à ce qu’on enlèverait globalement aux lignes du haut, mais, dans l’exemple proposé par Liu Hui, il serait trop important : l’excès de ce que l’on ôterait des lignes inférieures par rapport à ce qu’on éliminerait des lignes du haut se monterait à 3 fois la différence et ne pourrait donc en aucun cas rééquilibrer la différence de départ en faveur des inférieurs. Le montant qui serait en pareil cas soustrait en excès des lignes inférieures dépend en fait, très simplement, de la différence des effectifs entre les deux groupes : le groupe d’inférieurs comportant 3 individus en plus, on en retrancherait globalement 3d de plus, et non pas simplement la différence d, qui serait nécessaire en vue de rétablir l’égalité entre supérieurs et inférieurs.

31C’est donc sur ce point que porte la seconde transformation proposée par le commentateur : si l’on veut qu’à terme, les sommes des poids qui se trouvent, respectivement, dans les lignes inférieures et supérieures soient égales, on doit retrancher un montant a qui assure l’égalité. Il est donc déterminé simplement par la formule :

13 – 2a = 15 – 5a

ou

32Il s’agit de retrancher uniformément une valeur qui soit, non plus la différence entre sommes du haut et du bas, mais cette quantité divisée par la différence entre les effectifs des deux groupes. On voit que, dans le cas où le groupe des inférieurs comporte une seule personne de plus que l’ensemble des supérieurs, on retrouve bien la procédure des Neuf chapitres.

33On peut, si on le souhaite, exprimer la quantité à retrancher de façon plus générale, à l’aide des expressions retenues dans les mathématiques contemporaines pour énoncer le général : au lieu de retrancher uniformément la différence d, en désignant par Ni (respectivement par Ns) l’effectif du groupe d’inférieurs (respectivement de supérieurs), il faudra soustraire uniformément la quantité

34Ces deux transformations apportées à l’algorithme initial lui permettent alors de résoudre le problème introduit par le commentateur. Notons que Liu Hui ne décrit pas la nouvelle procédure avec force détails. Il se contente d’indiquer les points où elle diffère de l’algorithme du canon et où il faut la modifier pour en accroître la généralité. La procédure qu’il propose présente donc une continuité avec celle des Neuf chapitres.

35De fait, les deux modifications qu’il apporte n’ont pas le même statut. Substituer une soustraction à une addition n’est valide que pour les problèmes où la somme des poids initiaux correspondant aux inférieurs excède le total lié aux supérieurs. Dans les cas où la situation est inverse, comme pour le problème 6.18 justement, il faut maintenir l’addition. Par contraste, la seconde modification, celle qui consiste à remplacer, pour opérer uniformément sur les lignes, l’emploi de la différence d par le recours à la quantité a, est, elle, nécessaire dans tous les cas. C’est précisément cette transformation qui garantit la généralité de la procédure. Sur ces points, deux remarques s’imposent.

36Il est, tout d’abord, intéressant de noter que le commentateur introduit ces changements qui accroissent la généralité de la procédure, en les formulant encore dans le contexte d’un problème particulier. Il y a donc une continuité entre ce qu’il lit dans Les neuf chapitres – des problèmes constituant des paradigmes – et la manière dont lui-même choisit d’exprimer le général.

37Par ailleurs, si la procédure qu’il dérive sur la base de celle que proposaient Les neuf chapitres est bien générale, elle comporte en fait deux branches. Nous pouvons en représenter la structure sur un tableau :

  • 8 Les neuf chapitres comportent des algorithmes qui présentent des propriétés analogues. Voir le pano (...)

38Ainsi, après avoir déterminé d, puis a, il se présente une alternative : l’algorithme doit procéder soit à une addition, soit à une soustraction uniforme, selon que l’on se trouve dans un cas du type du problème 6.18, ou dans un cas comme celui introduit par Liu Hui. Relativement à cette procédure, les problèmes analogues à celui du canon forment donc deux classes, distinguées par le critère que constitue la comparaison initiale des sommes des lignes, respectivement supérieures et inférieures. Tant l’énoncé des Neuf chapitres que celui du commentateur représentent chacun, de façon paradigmatique, un des deux cas possibles, réglé par l’une ou l’autre branche de la procédure8. Soulignons-le : c’est la structure de l’algorithme général qui introduit deux types de « cas généraux » dans l’ensemble des possibles. Cependant, comme notre seconde colonne l’indique, certains énoncés semblables à celui introduit par le commentateur sont, pour les mathématiques de la Chine ancienne, « insolubles » dans la mesure où ils conduisent à des parts qui devraient être négatives. Sans doute n’étaient-ils pas, alors, conçus comme appartenant à la sphère des possibles, mais comme constituant des « cas singuliers ». Tout comme l’ensemble des praticiens de toutes les traditions anciennes, les mathématiciens de la Chine ancienne les laissent dans l’ombre au profit des situations générales que résout l’algorithme.

  • 9 Cette tendance, pressentie par A. P. Juschkewitsch (Youschkevitch) dans Geschichte der Mathematik i (...)
  • 10 R. Netz étudie l’énonciation du général dans les textes mathématiques de la Grèce ancienne et avanc (...)

39Il est alors significatif pour notre propos qu’à nouveau, Liu Hui ne conclue pas son commentaire ici : il poursuit par la description d’un algorithme totalement différent, mais cette fois résolument général au sens où il s’applique indifféremment aux deux types de problèmes qu’opposait la procédure précédente, et, de fait, au-delà. C’est ici encore l’intérêt porté à l’accroissement de la généralité d’un algorithme et à l’extension de la classe des problèmes tombant dans son orbite, qui rend compte de ce nouveau développement. Or, à ce travail portant sur la montée en généralité de l’opération, fait écho, en contrepoint, l’élimination progressive de la disjonction entre « cas » : les deux cas qu’il était auparavant nécessaire de distinguer se dissoudront pour se rejoindre en une seule et même catégorie de problèmes, définie par l’application d’un algorithme unique. En observant comment Liu Hui introduit cette nouvelle procédure, nous suivrons donc ce double mouvement, qui révèle la force de l’aspiration vers le général9. Il importe de relever que, ce faisant, notre objet se déplace : nous avions décrit comment un problème particulier pouvait, en tant que paradigme, énoncer le général ; nous abordons à présent le travail mathématique à proprement parler qui promeut la généralité au rang de valeur théorique cardinale10.

Du cas au paradigme : la valeur de généralité

  • 11 La démonstration que Liu Hui développe pour établir la correction de l’algorithme permettant de cal (...)

40C’est dans le contexte du problème 6.18 que Liu Hui se placera pour introduire cette autre procédure, totalement générale. Il ne lui paraît donc plus nécessaire, à cette fin, de recourir à l’énoncé plus « générique » qu’il avait lui-même introduit. La montée en généralité s’opère dans le contexte du problème le plus particulier. Malgré les traits singuliers qui le caractérisent, il peut toujours être pris – et se trouve de fait retenu – comme paradigme11. C’est là une remarque importante dans la mesure où elle a une portée assez large : les situations, les auxiliaires visuels choisis pour la pratique des mathématiques de même que par l’énoncé de résultats en Chine ancienne ne présentent pas des traits génériques, mais sont le plus souvent hautement singuliers. C’est aux opérations qu’on leur applique qu’il revient d’assumer l’exigence de généralité : il leur incombe de ne pas exploiter les traits particuliers des supports sur lesquels elles sont pratiquées aussi bien qu’exposées. Insistons sur le fait que c’est, ici encore, la procédure qui définira l’extension couverte par le paradigme que constitue le problème.

41Par ailleurs, la procédure qu’introduit Liu Hui en conclusion de son commentaire au problème 6.18 et qui unifie ce que l’algorithme précédent constituait comme deux cas n’est, à vrai dire pas, de son cru. Il la puise, tout simplement, dans le canon, en proposant d’« imiter » la procédure décrite pour la résolution du problème suivant.

42Paraphrasons à nouveau l’énoncé 6.19 :

Supposons que le corps d’un bambou présente 9 cavités dont les contenances croissent uniformément (on passe de la contenance d’une cavité à celle de la cavité supérieure en ajoutant un incrément constant : ces valeurs forment donc, comme plus haut, une progression arithmétique). Supposons que les 3 cavités inférieures aient globalement une contenance de 4 sheng, tandis que les 4 cavités supérieures ont, elles, une contenance de 3 sheng. On demande la contenance de chaque cavité.

  • 12 Le même raisonnement peut être tenu dans d’autres parties du commentaire où Liu Hui met en œuvre un (...)

43C’est donc en façonnant les problèmes du type de 6.18 comme cas particuliers de la classe de problèmes dont 6.19 tient lieu que Liu Hui introduira la procédure en question. Examinons l’opération de plus près. On le constate : le problème 6.19 est, lui aussi, particulier à deux titres, pour ce qui est tant de la situation décrite que des valeurs proposées. S’il n’était traité que pour lui-même, les problèmes comme 6.18 ne pourraient être considérés comme en constituant des cas particuliers. Cette remarque confirme la conclusion que nous avions déjà obtenue : quoique particulier, ce problème est lu comme paradigme12. Nous constatons ici que la généralité s’exprime à nouveau sans recourir à l’abstraction pour ce qui est tant de l’énoncé du problème que de la description de la procédure.

44Du point de vue mathématique, la structure des quantités faisant l’objet des problèmes 6.18 et 6.19 est la même : elle forme dans les deux cas des progressions arithmétiques, à la différence près que les termes croissent de bas en haut pour le premier tandis qu’ils décroissent pour le second. L’énoncé 6.19 donne la somme d’un ensemble de contenances supérieures ainsi que le total d’une suite de contenances inférieures, les deux séries étant séparées par des cavités au centre. Par rapport à cette situation, les problèmes semblables à 6.18 fournissent également les sommes de termes supérieurs, d’un côté, inférieurs, de l’autre. Mais ces derniers énoncés présentent, par comparaison avec 6.19, deux différences. D’une part, ces sommes sont, non pas indépendantes l’une de l’autre, mais égales. D’autre part, dans la suite d’individus, il n’en est aucun qui corresponde aux cavités centrales du problème 6.19. En d’autres termes, 6.18 est particulier au regard de 6.19 en ce sens que la valeur de ce qui pourrait correspondre à ces cavités centrales est nulle. Le commentateur n’introduit pas de termes abstraits par lesquels reformuler les deux types de problèmes pour faire apparaître leur relation. Il laisse au lecteur le soin de l’établir, une fois avancée la suggestion d’imiter la procédure de résolution de 6.19 pour régler 6.18. Et il l’imitera directement et sans introduction d’un troisième terme permettant d’aménager la transition de l’un à l’autre.

  • 13 Je renvoie également le lecteur à « Generality above abstraction… » pour un examen de la procédure (...)

45Une fois de plus, nous n’entrerons ici dans les détails que s’ils sont absolument nécessaires pour la question que nous posons13. Je ne détaillerai donc pas l’algorithme qui permet de résoudre le problème 6.19, mais n’en évoquerai que les grandes lignes, en vue de dégager des propriétés qui sont ici pertinentes pour décrire la manière de procéder du commentateur.

46L’idée générale de l’algorithme consiste à s’appuyer sur les données pour évaluer, dans un premier temps, le nombre d’incréments qu’il faut ajouter lorsqu’on veut passer de la section médiane des cavités inférieures à la section médiane des cavités supérieures. La procédure détermine, ensuite, le nombre de telles cavités. En divisant la première valeur par la seconde, on obtient donc l’incrément qui engendre la suite des quantités cherchées. Une dernière étape produit la valeur de la contenance de l’une des cavités, et, à partir de ces deux quantités, on établit facilement la liste des contenances cherchées. C’est à l’aide de cette procédure que tous les problèmes semblables à 6.18 sont désormais résolus de façon uniforme et forment une unique classe.

47Liu Hui reproduit dans son commentaire, pas à pas, cette procédure pour résoudre les problèmes du type de 6.18. Intéressons-nous ici plus particulièrement à la manière dont il en « imite » la seconde étape.

48Pour déterminer le nombre de cavités qui s’étendent entre les sections médianes des ensembles que forment, respectivement, les supérieures et les inférieures, l’algorithme des Neuf chapitres prescrit les opérations suivantes : prendre la moitié du nombre de cavités inférieures (appelons-le pi) ainsi que du nombre des supérieures (appelons-le ps) et retrancher ces valeurs du nombre global n de cavités. En termes contemporains, le résultat donne donc n – (pi + ps)/2.

49Or, pour la catégorie des problèmes comme 6.18, le nombre d’inférieurs et le nombre de supérieurs constituent l’ensemble global de personnes. En d’autres termes,

pi + ps = n.

50Pour tous les problèmes de cette catégorie, et non pas seulement pour 6.18, donc, cette étape de la procédure pourrait être simplifiée, en calculant simplement n/2. Or Liu Hui n’opte pas pour cette manière de faire, qui serait, relativement aux problèmes semblables à 6.18, tout aussi générale. Il suit scrupuleusement la procédure, bien plus générale, que proposait le canon à la suite de 6.19. Ce choix a des conséquences intéressantes à analyser.

  • 14 La même situation se présente, par exemple, dans le texte mathématique chinois le plus ancien connu (...)

51L’algorithme que fournissaient Les neuf chapitres à la suite du problème 6.18 exploitait des propriétés singulières de l’énoncé. Par un contraste radical avec cette manière de faire, Liu Hui non seulement ne tire pas parti des particularités de l’énoncé 6.18, mais il n’exploite pas davantage les spécificités générales communes aux problèmes du type de 6.18. Ce choix s’explique par la volonté de décrire la procédure la plus générale possible, quelle que soit la nature du paradigme dans le contexte duquel elle s’énonce. Et, de fait, en suivant l’algorithme retenu pour 6.19 afin de résoudre 6.18, le commentateur fait du problème le plus particulier, 6.18, un paradigme pour la question la plus générale : celle dont le problème 6.19 représente la catégorie. La tension entre la singularité du paradigme et la généralité de la procédure atteint ici son apogée. S’il importe de le relever, c’est que nous sommes loin d’avoir affaire à un phénomène unique : la littérature mathématique de la Chine ancienne abonde en situations comparables, qui ont conduit plus d’un interprète à se fourvoyer14.

*

52Pour récapituler notre parcours, nous dirons que le commentaire faisant suite au problème 6.18 illustre plusieurs étapes dans la recherche de la généralité et qu’il n’interrompt cette quête qu’avec la description d’une procédure permettant de résoudre tous les cas possibles. Cette progression révèle l’intérêt que Liu Hui porte à la valeur de généralité, et elle la met d’autant mieux en lumière qu’il s’agit là, rappelons-le, du seul problème où la procédure fournie par Les neuf chapitres est défaillante sur ce plan.

  • 15 Le chapitre A in Les neuf chapitres, éd. par K. Chemla & Guo Shuchun, synthétise mes résultats en l (...)

53Les commentaires abondent en manifestations autres de cette recherche du plus général menée au sein du plus particulier. Je n’en rappellerai que la plus saillante : l’objectif, assigné aux démonstrations de la correction d’algorithmes, est toujours de dégager les opérations formelles les plus générales qui les sous-tendent15. Par contraste avec l’exemple que nous avons analysé, et où c’est un changement de procédure qui procure le gain en généralité, c’est, dans ce second contexte, une mutation dans la conceptualisation de l’algorithme qui en fait saillir la dimension de généralité. Mais, dans l’un comme dans l’autre cas, c’est toujours la procédure ou, plus largement, l’opération sur lesquelles se fonde cette exploration.

  • 16 Je suis ici redevable, pour la formulation de cette perspective, au travail qui se mène dans l’équi (...)

54Relisons à présent notre parcours, non plus du point de vue de la procédure, mais en replaçant la focale sur le problème ou, en d’autres termes, sur le « cas ». Nous avons observé qu’au terme de son développement, le commentateur propose, dans le contexte du problème 6.18, une procédure qui dissout tous les cas pour ne plus constituer qu’une seule catégorie de problèmes résolus de façon uniforme. Par ce biais, l’énoncé le plus particulier se trouve façonné en paradigme de tous ceux qui lui ressemblent aussi bien que de bien d’autres, dont le problème 6.19 dessine les contours. Ce constat illustre de façon radicale l’insuffisance du point de vue qui réduirait une procédure au seul rôle d’un algorithme résolvant le problème après lequel il est formulé ou même ses semblables. Le texte appelle de toute évidence une exégèse moins grossière. Pour le lecteur qui s’en tiendrait à cette interprétation, resterait lettre morte tout le travail d’élaboration de la procédure qui étend progressivement l’ensemble des situations couvertes par le cas et qui rend la relation entre l’un et l’autre bien plus subtile. Cette conclusion révèle un enjeu, à mon sens, fondamental pour l’étude de ce qu’est « penser par cas » : l’interprétation du texte d’un cas – en l’occurrence, un problème, les réponses numériques qu’il appelle et l’algorithme qui le résout – relève d’une pragmatique que la linguistique des textes n’a, à ma connaissance, pas encore pleinement développée16.

  • 17 Ibid., section III.3. Notons, au passage, que le problème fournit inversement, toujours selon le té (...)

55Le contexte des mathématiques offre quelques prises spécifiques à qui veut appréhender le travail que le texte suppose du lecteur pour faire sens : il nous a permis de comprendre comment la procédure constituait, en Chine ancienne, une base indispensable pour déterminer ce à quoi le cas renvoie17.

56Par ailleurs, si c’est, pour le texte que nous avons étudié, en relation avec la situation la plus particulière qu’est exposée la procédure d’efficacité la plus large, cela appelle deux remarques à caractère général. D’une part, les modalités d’énonciation des cas ne sont en aucune manière déterminées a priori et elles requièrent une recherche spécifique qui articule les choix effectués en la matière aux opérations que les usagers pratiqueront sur ces textes. Pour ce qui est du travail mathématique examiné ici, par exemple, si la montée vers la généralité se pratique dans le contexte des situations les plus particulières, c’est qu’elles ne sont jamais traitées en tant que cas singuliers. Cette pratique a un pendant pour ce qui est de l’interprétation des textes : le lecteur paraît attendre des problèmes même les plus « dégénérés » qu’ils soient suivis de procédures générales.

57D’autre part, ces modalités d’énonciation des cas renvoient à des communautés, voire à des traditions de travail, et les normes qui les régissent constituent donc des options collectives. Le parti pris adopté, dans la tradition mathématique qui a retenu notre attention ici, pour la composition des textes paraît indissociable de l’importance centrale accordée sur des siècles à la généralité – ou, pour le dire plus précisément, il est indissociable de la forme que cet intérêt pour la généralité a prise là. Nos conclusions sont sur ce point en rupture avec une historiographie des mathématiques en Chine ancienne qui a pris corps au xixe siècle et qui tient cette tradition pour ne s’être développée que sous le seul impératif des besoins pratiques. Par contraste, nous suggérons de lire son cheminement comme orienté par cette valeur théorique fondamentale qu’est la généralité. Il s’ouvre à ce point devant nous un immense chantier de recherches : nombreux sont les textes mathématiques qui nous sont parvenus de Babylone ou d’Égypte, dans une moindre mesure de Grèce ou d’Inde, et qui sont composés de problèmes, eux aussi d’allure le plus souvent concrète, et d’algorithmes. Témoignent-ils tous de cette même orientation ? Ont-ils travaillé les cas à l’identique ? Quelle forme a pu y prendre l’intérêt pour la généralité ? Explorer ces questions, ce ne sera pas seulement mieux comprendre les différents dispositifs élaborés par des communautés humaines pour penser par cas. Ce sera également peut-être prendre conscience de la variété des valeurs théoriques que des communautés ont pu privilégier dans leur exploration des mathématiques.

Notes

1 Cité désormais Les neuf chapitres.

2 Voir K. Chemla, « Qu’est-ce qu’un problème dans la tradition mathématique de la Chine ancienne ? Quelques indices glanés dans les commentaires rédigés entre le iiie et le viie siècle au classique Han Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques », n° sp. de Extrême-Orient, Extrême-Occident, 19, 1997, p. 91-126 ; Id., « Les problèmes comme champ d’interprétation des algorithmes dans Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques et leurs commentaires. De la résolution des systèmes d’équations linéaires », Oriens-Occidens, 3, 2000, p. 189-234 ; Id., « What was a mathematical problem in ancient China ? », communication au colloque organisé par R. Hart & B. Richards, The disunity of Chinese science, Chicago, 10 au 12 mai 2002, in http://hal.ccsd.cnrs.fr/, section Philosophie, sous-section « Histoire de la logique et des mathématiques » ; Id., « Generality above abstraction. The general expressed in terms of the paradigmatic in mathematics in ancient China », Science in Context, 16 (3), 2003, p. 413-458.

3 Se reporter à K. Chemla, « Résonances entre démonstration et procédure. Remarques sur le commentaire de Liu Hui (iiie siècle) aux Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (ier siècle) », Extrême-Orient, Extrême-Occident, 14, 1992, p. 91-129.

4 Cf. une traduction intégrale et commentée de ces documents ainsi qu’une discussion des points délicats de l’édition critique et de l’interprétation dans K. Chemla, « Generality above abstraction… » ; ou dans Les neuf chapitres (éd. par K. Chemla & Guo Shuchun, Paris, Dunod, 2004).

5 Soulignons que, s’il arrive aux Neuf chapitres d’évoquer cette surface à calculer, nulle part sa représentation ne se trouve intégrée dans le texte lui-même. L’insertion de telles représentations constitue une innovation dans la facture des écrits qui n’est attestée qu’ultérieurement. Il ne s’agit ici pour nous que de simplifier l’appréhension de la procédure. Nous remplaçons d’ailleurs, par des chiffres arabes, les chiffres constitués par des baguettes de la Chine ancienne.

6 Voir Le gnomon des Zhou (Zhoubi), dans la traduction de C. Cullen qui souligne à juste titre l’importance centrale du concept de lei « classe, catégorie » pour les mathématiques de la Chine ancienne (C. Cullen, Astronomy and mathematics in Ancient China. The Zhou bi suan jing, Needham Research Institute Studies, 1, Cambridge, Cambridge University Press, 1996, p. 74-75, p. 177). Voir également l’entrée lei dans mon glossaire de la terminologie mathématique en chinois classique, in Les neuf chapitres, éd. par K. Chemla & Guo Shuchun.

7 Insérons ici une remarque sur l’énoncé proposé par le commentateur : il s’agit du premier énoncé, de même facture que celui du canon, révélant le défaut de généralité de la procédure sur ces deux axes. Si, en effet, Liu Hui avait pris l’exemple de 6 individus, dont les 2 supérieurs obtenaient une quantité égale à ce que recevaient globalement les 4 inférieurs, la différence entre les effectifs aurait été différente de 1. Mais la somme des entiers attachés aux 2 supérieurs, 11, aurait toujours été supérieure à celle des nombres liés aux 4 inférieurs, 10. Cette remarque met, rétrospectivement, en évidence le fait que l’énoncé retenu par Les neuf chapitres est le premier qui permette d’exposer le problème mathématique en question. Il fallait, en effet, pour ce faire, que l’énoncé implique au moins 3 personnes. Mais la situation où la répartition doit se faire entre 3 personnes masque le problème : il serait alors nécessaire d’opposer 1 supérieur à 2 inférieurs ; or, en ce cas, le nombre attaché au supérieur et qui exprime un grade, à savoir : 3, serait directement égal à la somme des nombres liés aux 2 inférieurs (1+2). Par ailleurs, le problème est impossible avec 4 individus. D’une part, si on oppose 2 supérieurs et 2 inférieurs, on ne peut imaginer que la somme de deux parts plus grandes puisse être égale à celle de deux parts moindres. Et, d’autre part, si l’on oppose 1 supérieur à 3 inférieurs, on est contraint d’introduire une part négative pour l’inférieur de dernier degré, ce dont on ne trouve aucun exemple dans Les neuf chapitres. Nous reviendrons sur cette remarque.

8 Les neuf chapitres comportent des algorithmes qui présentent des propriétés analogues. Voir le panorama proposé par K. Chemla, « I Nove capitoli sui procedimenti matematici : la costituzione di un canone nella matematica (Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques, la constitution d’un canon en mathématiques) », in K. Chemla et al., eds, La scienza in Cina, in S. Petruccioli, ed., Storia della scienza, vol. 2, Roma, Enciclopedia Italiana, 2001, p. 131 et p. 133-141.

9 Cette tendance, pressentie par A. P. Juschkewitsch (Youschkevitch) dans Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, B. G. Teubner, 1964 [1re éd. Moscou, 1961]), peut être documentée dans les textes antérieurs aussi bien qu’ultérieurs. Elle se manifeste de la même manière au moins jusqu’au début du xive siècle dans des textes mathématiques chinois qui sont parvenus jusqu’à nous. Cf. K. Chemla, « I ‘Nove capitoli sui procedimenti matematici’… » et « Generality above abstraction… », où sont évoqués un ensemble significatif d’indices.

10 R. Netz étudie l’énonciation du général dans les textes mathématiques de la Grèce ancienne et avance une hypothèse sur le dispositif par lequel les Éléments d’Euclide établissent un énoncé général sur la base d’une démonstration par essence particulière (R. Netz, The shaping of deduction in Greek mathematics. A study in cognitive history, Cambridge [GB], Cambridge University Press, 1999, chap. vi, p. 240 sq.). Comme Michel Chasles y avait déjà insisté dans son Aperçu historique, cette seconde dimension du travail sur la généralité paraît, cependant, absente des textes grecs de géométrie (Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie…, Bruxelles, M. Hayez, 1837, Paris, Gauthier-Villars, 1875, 1888 ; 1re partie, rééd. Paris, J. Gabay, 1989).

11 La démonstration que Liu Hui développe pour établir la correction de l’algorithme permettant de calculer le volume de la pyramide relève d’un commentaire identique. D. Wagner en traduit le texte dans « An early Chinese derivation of the volume of a pyramid : Liu Hui, third century A.D. », Historia mathematica, 6, 1979, p. 164-88.

12 Le même raisonnement peut être tenu dans d’autres parties du commentaire où Liu Hui met en œuvre un problème particulier dans un contexte différent. Je pense notamment à l’usage qu’il fait d’un problème relatif à un rondin de bois fiché dans un mur (9.9) dans le contexte du calcul de l’aire du segment de cercle (1.36).

13 Je renvoie également le lecteur à « Generality above abstraction… » pour un examen de la procédure mathématique et une traduction commentée des textes.

14 La même situation se présente, par exemple, dans le texte mathématique chinois le plus ancien connu, récemment exhumé lors de fouilles archéologiques, le Livre de procédures mathématiques, pour le traitement du volume dit yanchu ; voir Peng Hao, Zhangjiashan hanjian « Suanshushu » zhushi (Commentaire sur le livre sur lattes de bambou des Han trouvé à Zhangjiashan, le Livre de procédures mathématiques), Beijing, Kexue chubanshe, 2001, p. 101-102, lattes de bambou 141 et 142 ; voir également K. Chemla « Generality above abstraction… ».

15 Le chapitre A in Les neuf chapitres, éd. par K. Chemla & Guo Shuchun, synthétise mes résultats en la matière et les transpose dans d’autres directions liées à la valeur de généralité.

16 Je suis ici redevable, pour la formulation de cette perspective, au travail qui se mène dans l’équipe REHSEIS au sein du projet « Histoire des sciences, histoire du texte » en collaboration avec Jacques Virbel (IRIT, Toulouse).

17 Ibid., section III.3. Notons, au passage, que le problème fournit inversement, toujours selon le témoignage des commentaires, un domaine d’interprétation indispensable pour développer une sémantique de l’algorithme.

Auteur

© Éditions de l’École des hautes études en sciences sociales, 2005

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