Théorie non-classique de l’utilité espérée

V. I. Danilov et A. Lambert -Mogiliansky

p. 233-250


Texte intégral

1. Introduction

1Dans ce chapitre nous développons une extension de l’approche (standard) de Savage à la prise de décision dans l’incertain, au cadre de la théorie non-classique de la mesure (c’est-à-dire au cadre mathématique de la mécanique quantique). Formellement cela signifie que nous substituons à l’algèbre Booléenne une structure plus générale celle des ortho-treillis. Afin de d’offrir une première justification à notre démarche nous allons revisiter la théorie de Savage dans une version simplifiée. Chez Savage le problème est l’évaluation d’« actes » dont le résultat ou les conséquences sont incertaines. Une première simplification consiste à faire l’hypothèse que nous sommes capables de fournir une mesure cardinale des résultats – en « utiles », c’est-à-dire en unité d’utilité (nous serons plus précis par la suite).

2Un acte mène à un résultat mais ce résultat est incertain. Comment formaliser des actes dont les résultats sont incertains ? L’approche standard est la suivante. Il existe un ensemble X d’états de la Nature qui peuvent se réaliser. Un acte correspond à une fonction ƒ : X → R. Si l’état sX est réalisé notre agent reçoit ƒ(s) utiles. Mais il n’est pas possible de savoir à l’avance quel est l’état qui se réalisera. Le problème est que l’agent doit faire son choix parmi les actes avant d’apprendre l’état du monde. Ceci est le cœur du problème.

3Parmi les actes, il y ceux que l’on appelle des actes constants, c’est-à-dire des actes dont le résultat est connu à l’avance, ils ne dépendent pas de l’état du monde s. Un acte constant est décrit par un nombre réel cR. Pour cette raison il est naturel d’associer à tout acte ƒ son « équivalent certain » EC(ƒ) ∊ R. Cela correspond à définir l’acte constant c (dont le résultat en utiles est égal à EC(ƒ) tel que notre décideur est indifférent entre l’acte ƒ et l’acte constant (avec une valeur en utilité EC(ƒ)). Le premier postulat de ce modèle de Savage simplifié affirme l’existence de l’équivalent certain :

4● S1. Il existe un équivalent certain EC : RxR et pour l’acte constant 1x nous avons EC(1x) = 1.

5Il est assez naturel d’exiger de la correspondance EC qu’elle soit monotone :

6● S2. Si ƒg alors EC(ƒ) ≤ EC(g).

7La propriété principale que nous imposons à EC est la linéarité

8● S3. EC(ƒ + g) = EC(ƒ) + EC(g) pour tout ƒ et gRX.

9Présenté de cette manière cela semble être une exigence très sérieuse. Savage lui-même préférait la « cacher » derrière ce qu’il appelait « le principe de la chose certaine » de sorte que la linéarité était en quelque sorte dérivée. Mais en ce qui nous concerne cela serait plutôt un artifice.

10En fait l’axiome S3 devrait être compris comme une condition d’additivité plutôt que de linéarité. Associé avec la monotonie il implique vraiment la linéarité c’est-à-dire EC(αƒ + βg) = αEC(ƒ) + βEC(g) pour tout α, βR. EC(ƒ) peut s’écrire sous la forme EC(ƒ) = ∑ ƒ(x)(x), une fonctionnelle linéaire sur l’espace vectoriel Rx. Par l’axiome S2 µ ≥ 0 ; par EC(1x) = 1 nous avons ∑(x = 1. Et donc µ(x) peut être interprété comme la probabilité pour la réalisation de l’état x. Parfois cette probabilité est appelée subjective ou personnelle. Parce qu’elle n’exprime que la probabilité qu’un certain agent assigne à la réalisation de l’état x. Avec cette interprétation EC(ƒ) devient une utilité espérée, l’utilité espérée associée à l’acte incertain ƒ (il est plus correct de dire associée l’acte ƒ aux conséquences incertaines).

11Avec cette approche nous pouvons assigner des probabilités non seulement aux états mais aussi à n’importe quel sous-ensemble d’états (ou événements) AX. µ(A) peut être compris soit comme la somme ∑xAµ(x), ou comme EC(1A), où 1A est la fonction caractéristique du sous-ensemble A. L’interprétation dans la seconde formulation est claire : l’acte 1A est un pari sur l’événement A tel que nous recevons une utile si l’événement A se réalise et zéro sinon (si l’événement complémentaire A survient). Le décideur peut comparer ces paris sur les événements et donc il peut comparer les événements en termes de leur probabilité. Ainsi nous en arrivons à la notion de mesure qualitative des probabilités.

12Notre idée centrale est de remplacer le treillis d’événements Booléen par un ortho-treillis. Les premiers pas dans cette direction furent accomplis il y a longtemps avec la création de la mécanique quantique. L’espace Hilbertien fit son entrée dans la théorie immédiatement, avec von Neumann qui proposa un treillis de projecteurs dans l’espace de Hilbert comme le modèle convenant à la physique quantique – à la place du la logique (Booléenne) classique. Birkhoff et von Neumann dans leur article fondateur de 1936 explorèrent les propriétés nécessaires à cette logique non-distributive. Récemment un petit nombre d’articles en théorie de la décision sont apparus dans lesquels la théorie de l’utilité espérée standard est transposée dans l’espace de Hilbert. à part l’argument formel, la motivation pour ce genre de recherche est qu’une description plus générale du monde permet d’expliquer certaines anomalies de comportement comme par exemple le paradoxe de Eldsberg (voir La Mura, dans ce volume).

13Lehrer et Shmaya (2005) écrivent « Nous adoptons une approche similaire et l’appliquons au cadre de la mécanique quantique... alors que les probabilités classiques sont définies sur des sous-ensembles (des événements) de l’espace des états, les probabilités quantiques sont définies sur des sous-ensembles de l’espace de Hilbert ». Gyntelberg and Hansen (2004) font usage d’un treillis d’événements général (avec des axiomes qui ressemblent à ceux de von Neumann et Morgenstein). On aurait pu s’attendre à ce que Gyntelberg et Hansen vraiment travaillent avec des treillis généraux mais non, eux aussi se tournent immédiatement vers les sous-espaces de l’espace de Hilbert. Notre premier objectif est de montrer qu’il n’y a pas de nécessité pour l’espace de Hilbert, et que l’approche de Savage peut être tout aussi bien (sinon mieux) développée dans le cadre général des ortho-treillis. Une autre source de motivations que nous partageons avec les autres articles de théorie de la décision dans ce domaine (voir Busemeyer et Townsend, La Mura, Khrennikov) est que ce modèle peut être une meilleure représentation du monde subjectivement perçu. Pour des aspects non-classiques de la perception voir Atmanspacher et al., dans ce volume. Par ailleurs il a été proposé que les agents soient modélisés comme des systèmes non-classiques dont le type est incertain et donc endogène à l’interaction (voir chapitre précédent et Zwirn dans ce volume). Dans la section 5 nous illustrons avec quelques exemples dans cet esprit la distinction entre l’approche classique standard et l’approche non-classique générale développée dans ce chapitre.

2. Probabilités non-classiques

14Un ortho-treillis est un ensemble ordonné tel que chacun de ses sous-ensembles y compris l’ensemble vide a une limite inférieure maximale (∨ ou sup) et une limite supérieure minimale (⋀ ou inf) qui garantit l’existence d’un élément maximal 1 et d’un élément minimal 0. Un ortho-treillis est un treillis équipé d’une opération d’ortho-complémentation ⊥ : ℒ → ℒ. Cette opération est supposée être une involution (a⊥⊥ = a), renverser l’ordre (ab si et seulement si ba) et satisfaire la condition suivante aa = 1 (ou de manière équivalente aa = 0).

15Nous allons défendre la thèse selon laquelle les ortho-treillis sont la structure naturelle pour tous les concepts utilisés théorie de la décision dans l’incertain. Tout comme dans le modèle Booléen nous pouvons parler d’intersection (∧) et d’union (∨) de même que de complémentation (ou de négation et la comprendre comme une ortho-complémentation). Toutes les relations usuelles entre ces opérations sont préservées à l’exception d’une : la loi de distributivité qui n’est pas satisfaite dans le cas général, mais est-elle souvent utilisée ? Dans les preuves de quelques théorèmes et propositions peut-être. Mais pas dans la formulation des concepts.

16Un premier point central est qu’il est possible de parler de probabilités qui peuvent être vues comme une saturation quantifiée du squelette de l’ortho-treillis.

17Nous allons à présent montrer que les concepts de bases des probabilités sont transposables aux ortho-treillis.

18La théorie des probabilités commence par la définition d’un ensemble X d’événements élémentaires. Après elle se développe avec la définition d’événements généraux. Dans notre langage des événements (ou propriétés) sont les éléments d’un orthotreillis ℒ. Le second concept de base est celui de « collection d’événements mutuellement exclusifs ». Dans le modèle classique c’est simplement une partition de l’ensemble X, c’est-à-dire une décomposition X = A1U...U An ou les Ai sont disjoints entre eux. Dans le cas général la notion de collection d’éléments mutuellement exclusifs doit être remplacée par la notion de Décomposition Orthogonale de l’Unité (DOU).

19Définition. Une Décomposition Orthogonale de l’Unité (DOU) dans un ortho-treillis ℒ est une famille (finie) d’éléments α = (a(i), iI(α)) de ℒ satisfaisant la propriété suivante : for tout iI(α)

20a(i) = ∨j≠ia(i)

21La justification pour cette formulation est que a(i) ⊥ a(j) pour ij et ∨ia(i) = 1. Par exemple la famille à élément unique 1 est une DOU triviale. Et pour tout aL la famille à deux éléments (a, a est une DOU que nous appelons une question sur la propriété a. Intuitivement la famille a doit être comprise comme une mesure (ou une grille ou source d’information) avec un ensemble de résultats possibles I(α). Si une telle mesure produit un résultat i nous en concluons que le système possède la propriété a(i) (ou que l’événement a(i) s’est réalisé). Supposons que nous puissions préparer le système dans un état donné et de manière répétée effectuer des mesures (chaque fois sur le système dans le même état). Le résultat de la mesure peut différer d’une mesure à l’autre. Imaginons que nous ayons effectué n (n relativement large) mesures de cette sorte et que le resultat i ait été obtenu ni fois. Alors nous pouvons assigner à chaque résultat i la probabilite pi= ni/n. En fait nous avons que pi ≥ 0 et ∑pi = 1. Ceci nous amène à la définition suivante :

22Définition. Une évaluation sur un ortho-treillis est L est une correspondance v : ℒ  → R.

23Une évaluation est dite

241) nonnegative si v(a) ≥ 0 pour tout a ℒ ;

252) monotone si v(a) ≥ v(b) lorsque ab ;

263) normée si v(1) = 1;

274) additive (ou une mesure) si v(ab) = v(a) + v(b) pour a et b des événements orthogonaux. Nous écrivons ab plutôt que a v b pour souligner le fait que a ⊥ b.

285) probabiliste (ou simplement une probabilité) si elle est non-négative et ∑iv(a(i)) = 1 for toute DOU α : a(i), i ∊ (I).

29Il y a un cas important dans lequel tout se simplifie et se rapproche du cas classique. C’est le cas des treillis ortho-modulaires. Ce sont des treillis qui satisfont la propriété d’ortho-modularité : si ab alors b = a ∨ (ba. Il est clair que tout treillis Booléen est ortho-modulaire. Nous affirmons que pour les treillis ortho-modulaires la propriété 5) implique 3) et 4).

30Lemme. Si ℒ est un treillis ortho-modulaire alors toute probabilité sur L est additive et monotone.

31Les preuves sont omises. Elles peuvent être consultées sur www.arxiv.gov/physics/0606056.

32Donc dans le cas des treillis ortho-modulaires, une probabilité peut aussi être définie comme une mesure normée nonne-gative.

3. Mesures qualitatives

33Comme nous l’avons dit plus haut nous modélisons l’incertitude avec un ortho-treillis de propriétés ou d’événements. Si nous comprenons les éléments du treillis comme des événements nous pouvons parler de probabilité plus ou moins grande de leur réalisation. Par la suite nous nous concentrons sur la relation qualitative « plus (ou moins) probable que » entre événements.

34Définition. Une mesure qualitative sur un ortho-treillis ℒ est une relation binaire ° sur ℒ qui satisfait les deux axiomes suivants :

35QM1 ° est complète et transitive.

36QM2 Si a° b et a° b. Alors aa° bb (rappelons que cela signifie que a ⊥ b et a ⊥ b. La dernière inégalité est stricte si au moins une des premières inégalités est stricte.1

37Une mesure qualitative est générée par une mesure (quantitative) µ quand a° b si et seulement µ(a) ≥ µ(b). Dans cette section nous nous intéressons à la question de savoir sous quelles conditions une mesure qualitative peut-elle être générée par une mesure quantitative (c.a.d quand existe-t-il une sophistication probabiliste). Par simplicité nous allons supposer que le treillis ℒ est fini. Mais même dans le contexte classique la réponse est en général négative (Kraft, Pratt, Seidenberg 1959). Pour cette raison et afin d’obtenir une réponse positive nous devons imposer quelques conditions de plus qui renforcent QM2. Nous allons considérer une condition qui généralise la condition classique dite d’annulation. Nous préférons l’appeler « hyper acyclique ».

38Définition. Une relation binaire sur L est dite hyper-acyclique si la condition suivante est vérifiée :

39Supposons que nous ayons une collection finie de paires (a, bi) et que ai ° bi pour tous les i et pour certains i l’inégalité est stricte. Alors ∑µ(ai) ≠ ∑µ(bi) pour quelque mesure µ sur ℒ.

40Il est clair que la propriété d’hyper-acyclicité implique l’acyclicité.

41Clairement si une relation qualitative ° est générée par une mesure µ alors elle est hyper-acyclique. Le résultat principal de cette section affirme que pour des ortho-treillis finis l’inverse est également vrai.

42Théorème 1. Soit ° une mesure qualitative hyper acyclique sur un treillis fini L. Alors ° est générée par une mesure µ sur ℒ.

43Clairement si la relation est monotone (c’est-à-dire a ° b pour ab) alors toute mesure µ qui génère ° est aussi monotone. Si en plus 0 ! 1 alors (µ(1)<0 et en divisant la mesure µ par µ(1) nous pouvons faire l’hypothèse que µ est un mesure normalisée. Donc la mesure µ est une probabilité monotone.

4. Théorie non-classique de l’utilité espérée

44Tout d’abord nous devons formuler une généralisation du concept Savagien d’acte. Très simplement on peut dire qu’un acte est un pari sur le résultat d’une mesure.

45Définition. Un acte est une paire (α,ƒ) où α = (a(i), iI(α)) est une DOU (ou une mesure) et ƒ : I(α) → R est une fonction.

46Nous appelons α la base de notre acte. Intuitivement si un résultat iI(α) se réalise comme le résultat de la mesure a alors l’agent reçoit ƒ(i) utiles.

47De cette manière l’ensemble des actes ayant α pour base, peut-être identifié avec l’ensemble (un espace vectoriel) F(α) = Rα. L’ensemble de tous les actes F est l’union disjointe des F(α) pris sur tous les DOU α.

48Nous nous intéressons à une comparaison entre les actes en termes de leur attractivité pour notre décideur. Nous commençons par une expression implicite de cette comparaison. Supposons que notre agent décideur connaisse (ou plus précisément qu’il croit connaître) l’état du système, c’est à dire supposons qu’il ait à l’esprit une mesure (subjective) de probabilité µ sur l’ortho-treillis ℒ. Alors pour tout acte ƒ sur la base α = (a(i)iI(α)). il peut calculer le nombre suivant (la valeur espérée de l’acte ƒ)

49ECµ(ƒ) = ∑µ(a(i))ƒ(i)

50En utilisant ces nombres l’agent peut comparer les différents actes.

51Nous allons à présent, suite à Savage, faire le chemin inverse. Nous commençons par la relation ° représentant des préférences sur l’ensemble F de tous les actes, puis nous formulons des axiomes, imposons des conditions et nous en arriverons à la conclusion que ces préférences peuvent êtres expliquées par une mesure µ sur ℒ.

52Plus précisément à la place de la relation ° sur l’ensemble F des actes nous faisons l’hypothèse immédiatement qu’il existe un équivalent certain EC(ƒ) pour tout acte ƒF. Bien sûr cela simplifie un peu le problème. Mais cette simplification n’est pas liée la question de la nature classique ou non classique de l’incertitude ; c’est simplement une affirmation de l’existence d’une fonction utilité sur l’ensemble des actes. Il eût été possible d’obtenir l’existence de cette fonction d’utilité avec d’autres axiomes. Nous avons choisit cette voie plus directe.

53Étant donné cela nous allons simplement imposer trois conditions sur EC. Les deux premières concernent des actes définis sur une même base. Ces actes sont identifiés avec des éléments de l’espace vectoriel F(α) = Rα.

54Axiome de monotonie. La restriction de EC sur chaque F(α) est une fonctionnelle monotone.

55Axiome de linéarité. Pour toute mesure µ la restriction EC sur F(α) est une fonctionnelle linéaire.

56Le troisième axiome relie des mesures différentes mais dans un certain sens comparables. Considérons deux DOU (α = (a(i) ∈ I(α)) et β = (b(i) ∈ I (β)) nous disons que la mesure α est plus fine que la mesure β si il existe une correspondance φ : I(α) → I(β) telle que a(i) ≤ b(i) pour tout i. Cela signifie simplement que quand nous connaissons le résultat de la première mesure a nous connaissons également celui de la deuxième, sans l’effectuer – c’est j = φ(i). Notons également que la correspondance de transformation φ est définie de manière unique. Supposons que φ(i) appartiennent simultanément à b(j) et b(k). Alors a(i) appartient à b(j) et b(k). Mais puisque b(j) et b(k) sont orthogonaux b(j) ∧ b(k) = 0 alors a(i) = 0. Mais ce type d’événements ne rentre que de manière purement formelle dans la décomposition de l’unité et peut être négligé.

57Quoiqu’il en soit la correspondance φ : I(α) → I(β) définit la correspondance

58φ* : F(α) → F(β)

59Pour une fonction g sur I(β), la fonction φ*(g) en un point i prend la valeur g (φ(i)).

60Intuitivement, les paiements des deux fonctions (actes) g et ƒ = φ*(g) sont identiques dans toutes les situations. Pour cette raison notre agent devrait les considérer comme équivalentes et leur assigner le même équivalent certain. Ceci est l’idée l’axiome qui suit.

61Axiome de concordance. Supposons qu’une mesure α est plus fine que β et est la correspondance φ* : F(α) → F(β) lui correspondant. Alors EC(g) = EC(φ*(g)) pour tout gF(β).

62Prenons par exemple ƒ pour la fonction constante avec valeur 1 dans I(α). L’axiome de concordance dit que l’agent est indifférent entre les deux actes suivants. Le premier est de recevoir 1 sans faire de mesure. Le second est de faire la mesure et (indépendamment du résultat) de recevoir une unité d’utile.

63Enfin la dernière condition qui ne peut être appelée axiome dit que l’utilité de l’acte trivial avec un paiement de 1 est égale à 1. C’est-à-dire EC(1) = 1.

64Théorème 2. Supposons qu’un équivalent certain EC satisfasse les axiomes de monotonie, de linéarité et de concordance. Alors il existe une évaluation probabiliste µ sur ℒ telle que EC(ƒ) = ∑µ(a(i))f(i) pour tout acte ƒ sur la base de la mesure α = (a(i) ∈ I(α)). De plus la mesure µ est définie de manière unique.

65Nous n’affirmons pas encore que l’évaluation µ est monotone. Cela peut être fait en substituant l’axiome de concordance par l’axiome plus fort de dominance que nous énonçons ci-dessous. Pour le détail de l’argument voir www.arxiv.physics/0606056.

66Axiome de dominance. Si ƒg alors EC(ƒ) ≤ EC(g).

67Il est clair que l’axiome de dominance implique la monotonie. Nous affirmons qu’il implique également l‘axiome de concordance.

68Théorème 3. Supposons que les axiomes de linéarité et de dominance soient satisfaits. Alors EC est une utilité espérée pour quelque mesure µ de probabilité sur ℒ.

69Et ainsi nous trouvons que l’argument de Savage peut-être formulé dans le cadre général des ortho-treillis.

5. Illustration : l’incertitude non-classique sur les types

70Nous avons développé une approche très générale de la décision dans un environnement incertain. Une question naturelle est si cette généralité a une réelle valeur pour la théorie de la décision. Existe-t-il des événements ou propriétés de la Nature pertinents à la prise de décision qui soient de nature à nécessiter une modélisation si générale ? N’est-il pas toujours possible de trouver une représentation classique convenante ? En effet considérons le cas où les états de la nature pertinents à la l’évaluation de la décision sont comme dans l’exemple classique de Savage à savoir « l’œuf que je veux ajouter à l’omelette est frais ou pourri ? ». Il est clair que le l’ortho-treillis représentant la Nature est Booléen, il possède deux états : l’œuf est frais, l’oeuf est pourri. On peut vraiment se demander si la vie réelle offre des exemples de contextes décisionnels où l’incertitude doit être représentée avec un treillis non Booléen.

71Dans cette section nous proposons un exemple. Il correspond au cas où le décideur fait face à une incertitude quant à l’identité de la personne à qui il a affaire. C’est à dire ce que nous appelions Nature est ici un autre décideur. Nous invitons le lecteur à consulter le chapitre précédent et Zwirn dans ce volume. Pour une formulation et une motivation de la thèse selon laquelle les agents décideurs (représentés par leurs préférences ou type) peuvent être modélisés comme des systèmes non-classique. Dans ce contexte le terme « type » est équivalent au terme état lorsque nous parlons de systèmes arbitraires ou de la Nature. Une situation de décision notée SD est une DOU qui mesure une « caractéristique de type » de l’agent. Une caractéristique de type est donc l’équivalent de ce que nous appelions propriété ou événement.

72L’approche standard de l’incertitude sur le type des agents dans le contexte de situations interactives (de jeux) est due à Harsanyi. Toute l’incertitude sur les aspects physiques des fonctions de paiement, sur les fonctions d’utilité et sur les espaces de stratégie est capturée dans le type des joueurs. L’incertitude c’est-à-dire les croyances des joueurs sur le type des autres sont représentées par un treillis Booléen de caractéristiques de type. Nous allons à présent considérer quelques exemples où un joueur classique interagit avec un joueur de type indéterminé c’est-à-dire un joueur représenté par un treillis général de caractéristiques de type.

5.1. Jouer avec un opposant non-classique

73Nous commencerons par transposer le modèle général à une situation de jeu simple. Puis nous illustrerons la distinction entre la représentation classique et la représentation non-classique avec quelques exemples.

74Les j-actes

75Une équivalence formelle avec le modèle non-classique de Savage très immédiate s’obtient lorsque nous considérons un jeu séquentiel à deux pas ou notre décideur (nous l’appellerons joueur 1) fait le premier pas et l’opposant (le joueur 2) fait le second pas ce qui conclut le jeu. Nous considérons le problème du point de vue du joueur 1 qui lui est classique, qui connaît son type et qui a des croyances sur le type de l’opposant.

76Le joueur non-classique est représenté par son type, un élément θ ∈ (Ө, ⊥). Ou de manière équivalente le joueur 2 est décrit par une mesure de probabilité µ sur L l’ortho-treillis de caractéristiques de type correspondant. Le type θ ou la mesure µ exprime les croyances du joueur 1 sur le type du joueur 2.

77Nous commençons par une définition d’un acte-jeu ou j-acte qui parallèle celle d’acte dans le modèle non-classique de Savage.

78Définition. Un j-acte est une paire (α, ƒ) où α = (a(i)iI(α)) est une DOU (où une mesure) et ƒ : I(α) → R est une fonction de paiement.

79La motivation pour le terme j-acte est qu’un j-acte représente un « pas » dans une interaction, tel que ce pas implique un pari sur le comportement incertain de l’opposant. Dans notre séquence de mouvements seulement le pas du premier joueur peut qualifier de j-acte. Il induit une mesure α correspondant à une situation de décision SD pour le joueur 2. Le parallèle avec le modèle général est immédiat : choisir un j-acte c’est faire un pari (sélectionner une mesure) sur le type du joueur 2. Le résultat de la mesure c’est la décision prise par le joueur 2. Lorsque le joueur 2 choisit i c’est-à-dire lorsque le type a(i) est actualisé, le joueur 1 reçoit ƒ(i) utiles (cardinales).

80Supposons que le joueur 1 (connaisse ou croit connaître) le type θӨ du joueur 2 ou, de manière équivalente, il connaît la mesure de probabilité µ sur ℒ. C’est-à-dire la distribution de probabilité sur les décisions dans les différents αF. Alors pour ƒ : I(α) → R sur la base α = (a(i)iI(α)) et g : I(β) → R sur la base β = (b(i)iI(β) le joueur 1 peut calculer et comparer les nombres suivants (valeurs espérées)

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81Faisant appel au Théorème 3 nous savons que si les axiomes de linéarité et de dominance sont satisfaits, alors, nous pouvons définir un EC qui est une utilité espérée pour tout type initial (du joueur 2). On voit que les types ou les mesures de probabilités sur l’ortho-treillis de caractéristiques de type, jouent un rôle similaire à celui des croyances dans le modèle d’Harsanyi pour l’analyse de la maximisation de l’utilité du joueur classique confrontant un opposant non-classique. Le décideur rationnel sélectionne parmi les j-actes possibles celui qui est associé à l’utilité espérée la plus grande.

5.2. Exemples

82Nous illustrons maintenant la distinction entre la représentation classique et la représentation non-classique de l’incertitude. Le premier exemple implique deux jeux : le Dilemme du Prisonnier (DP)2 et le Jeu de l’Ultimatum (JU)3. Dans le deuxième exemple nous ajoutons un troisième jeu le Jeu de Confiance (JC)4. Dans le troisième exemple nous considérons une situation de décisions répétées.

83Le joueur 1 doit choisir entre jouer un DP ou un JU avec le joueur 2. De son point de vue le PD est un j-acte : (α ,ƒ) où I(α) = {C, D} avec C pour « coopérer » et D pour « trahir » et la fonction f est le paiement du joueur 1.5 De manière similaire, JU est un j-acte : (β, g) ou I(β) = {G, E} correspondant deux options pour diviser le « gâteau » : G pour généreux, E pour égoïste, et G est la fonction de paiement du joueur 1. Les mesures a et ß sont des DOU incompatibles. L’ensemble des types (purs) est X = {C, D, G, E}.

84Le joueur 1 fait le premier pas c.a.d qu’il sélectionne un j-acte. Il est suivit par le joueur 2 qui par son choix actualise une caractéristique de type. Tout type θ du joueur 2 est décrit par 4 nombres correspondants aux probabilités subjectives que le joueur 1 assigne aux différentes caractéristiques de type dans chacun des deux j-actes. Prob(C ; θ) = µ, Prob(D ; θ) = 1 – µ, Prob(G ; θ) = λ, Prob(E ; θ) = 1 – λ.

85Pour construire le modèle classique nous devons tout d’abord définir l’ensemble des types. Un type classique est caractérisé par le fait qu’il donne une réponse déterministe pour toutes les (ici deux) mesures. Enfin il faut associer à cet ensemble de types une distribution de probabilité telle que les prédictions des mesures soient les mêmes que dans le modèle initial6. Dans cet exemple l’ensemble des types classiques est tout simplement X = {CG, EC, DD, DE}. On voit immédiatement qu’un agent de type θ peut être représenté par un mélange statistique des types classiques. Avec des probabilités définies comme suit : Prob(CG ; θ) = µλ et similairement pour les autres types. Il est facile de vérifier que nous obtenons les mêmes prédictions que dans le vrai modèle non-classique.

86Il semble donc que le modèle classique puisse représenter cet agent d’une manière tout à fait équivalente. Il y a cependant un problème avec cette représentation. Elle est fondée sur la création de types « artificiels » dans le sens qu’ils ne peuvent être vérifiés par aucune mesure reproductible (dite de « premier type » voir chapitre précédent). Mais ceci nous amène à un argument dynamique que nous aborderons plus tard.

87Dans notre second exemple nous considérons trois j-actes : (α, ƒ), (β, g) et (δ, h) chacun impliquant une situation de décision pour le joueur 2 avec trois alternatives. Le DP et le JU ont été augmentés d’une option celle de ne pas jouer dénotée N. Le JC est construit pour avoir un type en commun avec chacun des deux autres jeux. Les options dans le JC correspondent à trois niveaux d’effort : bas B, Moyen M et haut H. L’ortho espace est donné dans la figure 27.

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88La représentation signifie que le type L dans le JC est le même que le type D dans le DP et similairement H = G. Notre ortho-espace est composé de six éléments : C, D, M, G, E, N.

89Selon la même logique que dans l’exemple précédent nous construisons le modèle classique correspondant. Ici l’ensemble des types classiques ne se compose que de 4 éléments : CEM, CG, NM, DE8.

90Considérons à présent le type θ0 décrit par les probabilités suivantes : Prob(N ; θ0) = 1/2, Prob(D ; θ0 ) = 1/2, Prob(G ; θ0) = 1/2. Ce qui implique que la probabilité des types C, E et M est égale à 0.

91Est-il possible de reproduire les prédictions de notre modèle non-classique en assignant des probabilités aux types classiques ? La réponse est : non. En effet puisque pour le type θ0, résultat C a probabilité 0, les types CEM et CG doivent avoir probabilité 0. Par le même argument, nous devons assigner une probabilité nulle à NM et DE, à cause de M et E. Nous ne pouvons associer de probabilité positive à aucun des types classiques ! Nous voyons donc que le type θ0 ne peut être représenté dans le modèle classique.

92Pour mieux comprendre la distinction entre les deux modèles considérons les paiements (pour le joueur 1) suivants : DP : ƒ(D) = ƒ(N) = 1 et ƒ(C) = 10 ; dans le JU : g(N) = g(G) = 2 et g(E) = 0 ; et dans le JC : h(L) = 0 et h(M) = h(H) = 3. L’utilité espérée d’un j-acte lorsque le joueur a la représentation classique à l’esprit est donnee par

93EUcl = p1DE +p2NM + p3GC + p4MCE, ∑pi = 1, i = 1,.....4

94Ce qui donne respectivement EUcl(DP) = 1 + 9(p3 + p4), EUcl(JU) = 2(p2 + p3), EUcl(JC) = 3p2 + 3(p3 + p4). Ce qui signifie que le JU est (toujours) dominé par JC et donc ne peut jamais (pour aucun type du joueur 2) être recommandé. Considérons maintenant un décideur qui a le modèle correct à l’esprit et qui sait que son opposant est de type θ0 nous calculons l’utilité espérée du joueur 1 pour chaque j-acte étant donné le type θ0 du joueur 2 :

95EUncl(DP) = 1, EUncl(JU) = 2 et EUncl(JC) = 1,5.

96Nous voyons que le JU domine et le JC et le DP. La recommandation est donc celle qui était exclue par le modèle classique c’est-à-dire celle choisir le JU.

97Dans un contexte (dynamique) de décisions répetées, la différence entre le modèle non-classique et le modèle classique correspondant est encore plus claire. Et nous pouvons même utiliser notre premier exemple : le DP avec options C et D et le JU avec les options G et E. L’ensemble des types est X = {C, D, G, E}. Nous savons que C ⊥ D et G ⊥ E, supposons les corrélations suivantes : Si le type est D (ou C) le JU donnera G (ou E) avec une probabilité de 1/2. Et réciproquement si le type est E (ou G) le DP donnera C (ou D) avec probabilité 1/2. Comme nous l’avions déjà constaté il existe un modèle classique correspondant avec les types CG, CE, DG, DE. Ici nous allons simplement souligner une implication du fait que dans le modèle classique les mesures n’affectent pas le type. Pour la théorie concernant l’impact de la mesure sur les états nous invitons le lecteur à consulter le chapitre précédent.

98Considérons un cas où le résultat C donne 100 euros, ƒ(C) = 100, ƒ(D) = g(E) = 0 et g(G) = 10. Si notre joueur ne doit faire qu’une mesure, la recommandation est la même dans des deux modèles : il choisit bien évidement le DP.

99Supposons à présent que notre décideur puisse faire une série de trois décisions. Dans le cas classique la stratégie optimale est choisir le DP la première fois. S’il a de la chance, que le résultat est C, il répète ce choix deux fois encore et gagne 300. S’il est malchanceux et que le résultat de la première mesure est D, il choisit JU en deuxième. S’il a de la chance, que le résultat est G il gagne 10 et répète ce choix. S’il a de la malchance il gagne 0 et répète ce choix. Donc en moyenne il gagne 160. Considérons à présent la stratégie du décideur qui a le modèle non-classique correct à l’esprit. Comme première mesure il choisit aussi le DP. Si le résultat est C, répète ce choix deux fois de plus et obtient 300. Si le résultat de la première mesure est D, il choisit JU comme seconde mesure. Jusqu’à présent il n’y a aucune différence avec le joueur classique. En troisième choix et quelque soit le résultat du JU Il choisit tenter à nouveau un DP car il sait que le type du joueur 2 a changé et que le DP donne 50 en valeur espérée. Une telle stratégie donne donc en moyenne 175 euros. Nous voyons que même dans ce cas simple les recommandations des deux modèles ne sont pas les mêmes et qu’elles sont associées à des paiements différents.

6. Conclusion

100Dans ce chapitre nous avons montré que la théorie de la décision dans l’incertain de Savage peut être formulée en termes d’une structure algébrique très générale appelée un ortho-treillis. Cela contribue à mettre en lumière la généralité et la valeur de l’approche de Savage. Par ailleurs cela permet d’étendre cette théorie et de considérer des situations où l’incertitude pertinente à la prise de décision est de nature non-classique. Dans un exemple nous suggérons que cette approche peut ouvrir la voie pour le développement d’une théorie des jeux avec des joueurs de type incertain c’est-à-dire des joueurs dont le type est endogène à l’interaction. Nos résultats peuvent également permettre de modéliser l’incertitude sur le monde subjectivement perçu qui comme le suggère les expériences sur la perception humaine d’Atmanspasher serait de nature non-classique.

Bibliographie

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Notes de bas de page

1 Le cas spécial de QM2 ou a’= b’ est appelé l’axiome de De Finetti.

2 Le dilemme du prisonnier est jeu où chaque joueur choisit entre coopérer et trahir. Il est toujours plus profitable individuellement de trahir, mais il est plus profitable collectivement de coopérer. Nous considérons une version simultanée de ce jeu.

3 Le jeu de l’ultimatum est un jeu où le premier joueur (ici joueur 2) choisit comment diviser un « gâteau ». Le deuxième joueur répond en acceptant l’offre du partage ou en la refusant. S’il refuse aucun des joueurs ne gagne rien. S’il accepte le partage se fait selon la proposition.

4 Le jeu de confiance est un jeu dans lequel le premier joueur (ici joueur 1) fait un investissement. Le deuxième joueur fait un effort coûteux qui valorise l’investissement. Les paiements dépendent de la taille de l’investissement et du niveau d’effort. Si l’effort est bas, le premier joueur ne retrouve pas la valeur de son investissement.

5 Nous ne traitons pas de manière explicite l’action du joueur 1 dans les jeux. Les paiements doivent être compris comme les paiements associés respectivement à la meilleure réponse dans un DP avec actions simultanées et dans le JU comme le paiement associé à l’acceptation de l’offre (qui est également la meilleure réponse).

6 Il est possible de montrer que cette procédure pour construire le modèle classique exprime des résultats généraux d’équivalence si l’on se contraint à considérer le modèle classique le plus simple c.a.d sans variable cachée.

7 Un ortho espace est représenté par un graphe qui joint les éléments orthogonaux.

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