La théorie non-classique de la mesure : Un cadre pour les sciences du comportement*
p. 205-232
Texte intégral
1. Introduction
1Avec la Mécanique Quantique (MQ) nous avons appris que le monde des particules subatomiques est régi par les lois « étranges » (c’est-à-dire, non-classiques). Récemment, l’intérêt pour MQ a connu un grand essor. Partiellement, cela est du aux développements de l’informatique quantique, qui ont incité des physiciens et, plus récemment, des économistes, à étudier l’utilisation de l’information quantique dans les jeux (Eisert (1999), La Mura (2004)). Une autre direction de recherche s’est développée réponse à des observations d’objets (macro) classiques (par exemple, la perception humaine ou les préférences) manifestant des propriétés considérées comme propres aux objets de la MQ. Dans un article (2009), Lambert-Mogiliansky, Zamir et Zwirn proposent une version simplifiée du modèle hilbertien de la MQ pour décrire les préférences des agents économiques et la prise de décisions. Aerts (1994), Busemeyer et Townsend (2004) et Khrenikov et al. (2003) étudient des phénomènes de type quantique-probabiliste en psychologie. L’idée dans ces travaux est que le formalisme mathématique de la MQ, souvent appelé « la logique quantique », plutôt que son contenu physique, offre un modèle approprié pour la description, l’explication et la prédiction de phénomènes de comportement humain en psychologie et dans les sciences sociales1.
2Le terme « logique quantique » est apparu pour la première fois dans l’article fondateur de Birkhoff et von Neumann (1936). Ils proposèrent une formulation des fondements mathématiques de la mécanique quantique en termes de logique non-classique. Une seconde étape importante, fût franchit par Mackey (1963) qui proposa une approche axiomatique du calcul probabiliste de la théorie quantique standard. Piron (1976) étendit de façon significative le travail de Mackey. Son théorème de représentation et la structure axiomatique qu’il formula donnèrent lieu à de nombreux travaux. En même temps, Foulis et Randal (1978) développaient une approche fondée sur des bases opérationnelles plus simples. Le chapitre introductif du livre de Coecke, Moore et Wilce (2000) offre un excellent aperçu de ce domaine de recherche.
3Une des spécificités déterminantes de la théorie non-classique (quantique) de la mesure est qu’il est admis que toute mesure réalisée sur un système affecte ce système, cest-à-dire, en modifie l’état. De ce fait certaines expériences ou mesures peuvent être « incompatibles » dans le sens où les propriétés révélées par ces mesures vont dépendre de l’ordre dans lequel les mesures sont effectuées.
4En économie, nous définissons un agent par ses préférences et ses croyances, en psychologie –par ses valeurs, attitudes et sentiments. Nous parlons aussi de « révélation » ou du « dévoilement » de ces préférences et attitudes. Cela suppose (implicitement) que ces propriétés soient suffisamment bien définies et stables. En particulier, cela suppose que le simple fait de soumettre une personne à une procédure de révélation n’affecte pas la personne. Néanmoins, les psychologues savent bien que le simple fait de répondre à une question sur un sentiment peut affecter la personne interrogée tel point quelle en modifie ses attitudes. Par exemple, si on demande une personne : « êtes-vous en colère ? », réponse « Oui » peut la transporter d’un état émotionnel « flou » à l’expérience de colère. Or, avant de répondre, la personne n’était peut-être pas vraiment en colère. Elle pouvait se trouver dans un état d« émotions brouillées » [27]2. Dans un registre voisin, Erev, Bornstein et Wallsten (1993) ont montré dans une expérience de laboratoire que le simple fait de révéler (en répondant à un questionnaire) ses croyances (probabilités subjectives) pouvait affecter un agent à tel point que ses décisions ultérieures en étaient modifiées. Le phénomène connu sous le nom de « l’effet de disjonction » (Tversky et Shafir (1992)) peut aussi être vu dans cette perspective. Dans une expérience bien connue, les auteurs ont montré qu’un nombre nettement plus élevé d’étudiants se disent prêts à acheter un séjour non-remboursable à Hawaï lorsqu’ils connaissent le résultat de leur examen, – qu’ils aient réussit ou échoué –, comparé au cas où ils ignorent le résultat. En cas de réussite certains achètent le séjour pour se récompenser et en cas d’échec, certains étudiants achètent le séjour pour se consoler. Quand ils ne connaissent pas le résultat, un comportement apparemment incohérent est observé : moins de séjours sont achetés que dans chacune des deux issues possibles. On peut dire que les étudiants qui ne connaissent pas le résultat se trouvent dans un état flou : ni satisfaits ni déçus. La théorie non-classique de la mesure a développé une notion d’incertitude dont la cause nest pas l’information incomplète (ce qui est représenté comme un mélange statistique d’états), à savoir la notion de « superposition d’états ». Les données de l’expérience de Tversky-Shafir sont compatibles avec le comportement attendu d’étudiants se trouvant dans un état superposé. Les phénomènes de dissonance cognitive sont un autre exemple de comportement apparemment incohérent qui peut être expliqué dans les termes de l’incertitude quantique3.
5À la différence de la physique, dans les sciences du comportement nous ne possédons pas de faits expérimentaux créant une nécessité absolue de rejeter le modèle classique4. Néanmoins, il y a nombre de phénomènes expérimentaux qui ne peuvent être expliqués par la théorie standard sans faire des hypothèses supplémentaires (parfois purement ad hoc, voir Kahneman et Tversky (2000), Camerer 2003). Il est intéressant de noter que Kahneman et Tversky décrivent certaines anomalies en termes de théorie de la mesure : « De manière analogue à la théorie de la mesure en physique classique – la théorie classique des préférences suppose que chaque personne possède un ordre de préférences bien défini et que différentes méthodes de révélation découvriront le même ordre de préférence ». Or, « Dans ces situations – celles de violation de « l’invariance procédurale » – les préférences observées ne sont pas simplement révélées ; elles sont en réalité construites au cours du processus de révélation ». ([11] p. 504). Le lauréat du prix Nobel A. Sen (1997) souligne également que « l’acte de choix » a des conséquences pour les préférences5 (le choix est une procédure de révélation des préférences). L’existence de nombreuses « analogies intrigantes » entre les phénomènes de MQ et les phénomènes psychologiques et comportementaux suggèrent que la théorie non-classique de la mesure peut se révéler utile pour la description et la modélisation du comportement humain6. L’objectif de ce chapitre est d’introduire quelques fondements de la théorie non-classique de la mesure et den discuter la pertinence pour les sciences du comportement et les sciences sociales. Une version plus technique et plus complète peut-être consultée dans notre article publié dans le Journal of mathematical Sciences. Nos résultats montrent que les axiomes et les propriétés de cette théorie peuvent être formulés de façon à permettre une interprétation sensée en sciences sociales. L’homme non-classique qui émerge de notre étude est un être « plastique » par excellence. Ceci s’explique par la propriété de non-orthogonalité (connectivité) des états (purs) de comportement. Cette caractéristique clé de la théorie implique une incertitude irréductible qui est aussi au cœur de sa dimension dynamique7. Quand l’homme non-classique interagit avec son environnement – par exemple, fait un choix dans un contexte décisionnel donné, une certaine incertitude est résolue, ce qui provoque la modification de son état comportemental. L’homme non-classique est structurellement contextuel. Dans un exemple simple nous montrons comment la théorie non-classique de la mesure peut expliquer des phénomènes d’inversion des préférences (une anomalie de comportement qui a fait l’objet de nombreuses recherches empiriques et théoriques). Enfin, nous suggérons comment notre formalisme pourrait être utilisé afin de développer une théorie des préférences actualisées.
6Dans la section 2 nous décrivons quelques exemples de comportement quantique et quasi-quantique. Dans la section 3 nous introduisons de façon informelle quelques notions centrales de la théorie non-classique de la mesure. Certains éléments du formalisme mathématique de la théorie sont exposés dans la section 4. Dans la section 5 nous proposons une interprétation de ses axiomes et propriétés dans le cadre des sciences du comportement et nous développons une application à la théorie de décision.
2. Exemples
2.1. Exemple 1 : Le spin de l’électron
7Un électron possède plusieurs propriétés, y compris la masse, la charge électrique et le spin. Pour se faire une idée ce dont nous allons parler, nous pouvons imaginer l’électron comme une balle de cricket qui tourne autour d’un axe.
8Puisque l’électron est chargé, cette rotation affecte son moment magnétique (associé au spin) qui lui peut être mesuré8.
9Une première observation est que le résultat de la mesure a toujours (±) la même valeur indépendamment de l’orientation du dispositif de mesure. Si nous mesurons un électron particulier par rapport à un axe x et que nous obtenons le résultat (+), une nouvelle mesure par rapport à ce même axe donnera le même résultat. Supposons que nous ayons préparé de cette façon un certain nombre d’électrons. Si, pour la deuxième mesure, nous changeons l’orientation de l’axe (par exemple, en tournant le dispositif de mesure à 90°), le résultat nous montrera que la probabilité pour les deux résultats est égale et égale à 1/2. Si enfin nous effectuons après cela une nouvelle mesure par rapport à l’axe X, nous ne retrouverons pas notre résultat initial. Au lieu de cela le résultat sera (-) avec une probabilité égale à 1/2.
10Au vue de l’objectif de cet article, nous nous contenterons de constater que dès lors que le spin de l’électron relativement à un certain axe est connu, le résultat de la mesure du spin de cet électron relativement à un autre axe est de nature probabiliste. C’est le point principal. Dans le monde classique, nous sommes habitues aux probabilités. Mais là, nous pouvons facilement trouver une explication au caractère aléatoire du résultat. En effet nous ne connaissons, tout simplement, pas l’état exact du système que nous représentons par un mélange pondéré d’états. Si nous faisons le tri de ce mélange, en fin de compte nous obtiendrons un état pur et la réponse sera déterministe. Dans le cas du spin, il n’est pas possible de simultanément éliminer le caractère aléatoire des résultats de mesures relatives à différents axes.
2.2. Exemple 2 : La mouche
11Imaginons une boîte divisée l’aide de deux cloisons en quatre compartiments (avant-Gauche (aG), Arrière-Gauche (AG), avant-Droit (aD) et Arrière-Droit (AD). Dans cette boîte il y a une mouche qui vole ici et là. A cause des cloisons, ses mouvements sont limités au compartiment où elle se trouve.
12Supposons que nous ne puissions effectuer que deux types de mesure. La première, GD, nous permet de répondre à la question « Est-ce que notre mouche se trouve dans la moitié Gauche ou la moitié Droite de boîte ? » Au du processus de mesure la cloison entre la moitié avant (a) et Arrière (A) de la boîte est retirée, tandis que la cloison séparant les parties Droite et Gauche reste en place. La mouche peut alors voler d’avant en arrière. Quand l’opération de mesure est terminée et que nous avons déterminé par exemple que la mouche est dans la partie gauche, la cloison entre les compartiments avant et Arrière est remise en place. Notre connaissance quant à la position de la mouche relativement à la dimension avant/arrière est alors de nature aléatoire (aG ou AG).
13Supposons donc que nous ayons réalisé la mesure GD et obtenu la réponse G. En répétant la même mesure même 100 fois nous obtiendrons toujours la même réponse G. Mais si, entre temps, nous réalisons une mesure aA, nous aurons immédiatement après cette opération des chances égales (par simplicité) d’obtenir la réponse G comme la réponse D. Nous voyons que le comportement de notre système rappelle celui du spin (quand le dispositif de Stern-Gerlach est tourné à 90°). Ici, la position de la mouche ne peut pas simultanément être déterminée avec certitude par rapport aux deux mesures G D et aA. La mesure affecte le système de manière inévitable et non-contrôlable9.
2.3. Exemple 3 : Attitudes et valeurs
14Considérons la situation suivante. Nous avons affaire à un groupe de personnes, et nous nous intéressons à leurs préférences (ou leurs attitudes). Nous avons à notre disposition deux tests. Le premier test est un « Dilemme du prisonnier » (avec un partenaire anonyme) sous forme de questionnaire. Il faut choisir entre les options C (coopérer) et D (« defect » ou trahir). 10 Le deuxième test est également un questionnaire avec les options du premier joueur dans un « jeu de l’Ultimatum » (UG).11 Le choix est entre une offre de partage dans les proportions 9/1 ou 4/6.
15Les observations que nous allons décrire, ne pourraient pas être obtenues dans un monde où les agents sont rationnels et dont les préférences sont définies exclusivement sur les gains monétaires12. Mais ce n’est pas ce qui nous intéresse ici. Nous voulons souligner que ces observations révèlent des caractéristiques semblables à celles que nous avons rencontrées dans l’exemple du spin et de la mouche.13.
16Supposons que nous ayons obtenu les résultats suivants. Les sujets qui avaient répondu (C) dans le premier questionnaire, ont répété (avec une probabilité proche de 1) leur réponse dans un test PD effectué immédiatement après. Puis nous effectuons le second test (UG) et de nouveau un troisième test PD. Dans ce troisième PD nous constatons que les sujets ne répètent pas toujours leurs réponses initiales. Une part (significative) de ceux qui initialement optaient pour la coopération, maintenant choisissent de trahir.
17Comment comprendre ce comportement ? Il est possible qu’au moment de prendre sa décision dans le test PD, le sujet se sentait hésitant : il désire toujours encourager la coopération mais il n’aime pas que l’on abuse de sa confiance. Examinons le cas où son « moi optimiste » a pris le dessus : notre sujet décide de coopérer. Son état mental est à présent celui du moi optimiste et, questionné immédiatement après il ne ressent plus de conflit intérieur : il confirme son choix initial. Ensuite, il doit répondre au questionnaire de l’UG. L’offre 4/6 est très généreuse mais elle peut être perçue comme totalement stupide. L’offre 9/1 n’est pas généreuse mais, compte tenu de l’alternative, elle ne devrait pas être perçue comme blessante. Notre sujet se sent de nouveau hésitant : son moi optimiste ne lui indique pas clairement un choix. Supposons qu’il choisisse 9/1. Maintenant, en examinant de nouveau le DP, il hésite de nouveau. En effet, le choix 9/1 n’est pas vraiment en accord avec son moi optimiste (c’est un partage très inégal). En conséquence il n’est peut être plus du tout dans l’humeur de faire confiance et il peut très bien choisir de trahir.
18Comme dans les exemples précédents, la mesure (des attitudes) affecte le système (l’état du sujet) dune manière qui ne peut être contrôlée. Ainsi les comportements observés (les résultats de la mesure) révèlent des phénomènes de non-commutativité spécifiques à la théorie non-classique de la mesure.
3. Mesures non-classiques
19Dans cette section, nous introduisons de manière informelle certaines notions centrales de la théorie. Supposons que nous ayons affaire à un certain système (un électron, les préférences d’une personne, une mouche dans une boîte). À chaque moment ce système est caractérisé par son état qui contient toute l’information existante sur le système. Il existe divers dispositifs expérimentaux permettant de réaliser des mesures sur ce système. Notre système peut donner des « réponses » différentes à la même mesure quand il se trouve dans des états différents. L’état du système est la raison principale (et idéalement la seule) de ces différentes réponses. Néanmoins, notre système peut donner des réponses différentes à la même question même s’il se trouve dans le même état. Dans le monde classique, le caractère probabiliste des résultats peut être expliqué par notre connaissance incomplète de l’état du système14. La théorie de la mesure non-classique décrit une incertitude dont la cause n’est pas (uniquement) notre connaissance incomplète et ainsi reconnaît un caractère probabiliste intrinsèque (objectif) aux résultats de mesure. Ci-après, la notion d’état se rapporte aux états purs, c’est-à-dire aux états qui ne sont pas des mélanges statistiques (non triviaux) d’autres états.
20De manière concrète un dispositif expérimental sera composé de fils électriques, d’aimants, de questionnaires, de contextes décisionnels etc. Cela ne peut que difficilement être décrit dans tous ses détails. Cependant, tout ce que nous devons connaître – c’est l’ensemble désigné O(M) des résultats possibles des mesures réalisables avec un dispositif expérimental donné. Par exemple, dans le cas du spin les résultats sont (+) ou (-) pour une orientation donnée dans l’espace. Dans l’exemple de la mouche ou de la décision, nous avions deux expériences, chacune donnant un ensemble de résultats comprenant 2 éléments. En général, les résultats d’une mesure peuvent être les éléments d’un ensemble abstrait arbitraire. En mécanique quantique, les résultats sont des nombres réels, c’est-à-dire les valeurs propres d’un opérateur hermitien (appelé « observable »), qui représente la propriété mesurée. Dans notre contexte, les résultats de la mesure ne sont pas des nombres mais plutôt des « étiquettes » conventionnelles. Comme cas spécial, nous rencontrerons aussi des nombres.
21Quand le système interagit avec un dispositif expérimental (M), nous obtenons comme résultat une des valeurs appartenant à l’ensemble O(M). Nous disons que la valeur particulière obtenue o ∊ O(M) est le résultat de la mesure.
22Les mesures appartiennent à une classe spéciale d’interactions. Nous nous limiterons aux mesures non-destructives. Ce qui signifie que le système n’est pas détruit dans le processus de mesure (mais son état peut changer). Cela signifie aussi que nous pouvons réaliser de nouvelles mesures sur ce système. La particularité la plus importante caractérisant la mesure consiste en ce que, si nous réalisons la même mesure (sur le même système) deux fois de suite, nous obtenons la même réponse. Cette propriété est appelée « le postulat de mesure de von Neumann ». Les mesures qui satisfont à ce postulat s’appellent « les mesures du premier type » (« first-kind »)15.
23Le postulat de mesure suppose que le système n’a pas de dynamique propre (ou bien que les mesures peuvent être réalisées avec des intervalles de temps suffisamment courts pour éviter que, entre temps, le système n’ait évolué). La mesure de la position d’un train en marche, ou bien celle de la disposition à payer pour une dose d’héroïne d’un toxicomane, n’est pas une mesure du premier type. De même, supposons que nous sélectionnions une personne appartenant à une population donnée et nous lui posions une question. Ici, le rôle du système est joué par la population. Si nous répétons cette mesure en choisissant une autre personne, la nouvelle réponse peut être différente de la première. Ce n’est donc pas une mesure de premier type. Cela signifie que notre système doit, dans un certain sens, être suffisamment « élémentaire ».
24Les mesures du premier type s’offrent à une interprétation selon laquelle le résultat de la mesure fournit de l’information sur une propriété du système. Si nous mesurons la couleur d’un système, que nous obtenons « rouge » et, que lorsque nous répétons l’expérience, nous obtenons de nouveau « rouge », alors, nous sommes enclins à penser que le système est effectivement de couleur rouge et que notre mesure permet seulement de « révéler » cette propriété qui existait déjà c’est à dire avant que la mesure n’ait été réalisée. Tout bonnement, nous ne le savions pas encore. Notre approche consiste à suggérer que la propriété « être rouge » pouvait ne pas préexister la mesure. Elle a été obtenue comme le résultat de l’interaction du système avec le dispositif expérimental. Nous dirons plutôt que cette propriété est actualisée (et non « révélée ») par le dispositif expérimental. La propriété appartient effectivement au système ce qui peut être confirmé par une répétition de la mesure. Mais elle peut aussi disparaître si nous effectuons la mesure dune autre propriété qui n’est pas compatible (voir ci-dessous) avec la première. La figure 1 illustre des mesures non-classiques du premier type avec deux résultats possibles.

Figure 1
25L’état du système avant d’effectuer la mesure est représenté par le point s. N’importe quel état s ∊ S, S est l’ensemble des états purs, s’il est mesuré donnera le résultat R+ avec une certaine probabilité et le résultat R- avec la probabilité complémentaire. Quand nous effectuons une mesure, l’état « saute » soit dans le sous-ensemble R- et donne le résultat R+, soit dans le sous-ensemble R- et donne le résultat R-. On dit que l’état s est une superposition d’un certain état r- ∈ R+ et r- ∈ R. Mettons que s ∈ R+ (après que nous ayons effectué la mesure R) et que nous effectuons cette mesure de nouveau, nous obtenons avec certitude la même réponse R+ ce qui est illustré par la boucle dans le sous-ensemble R+.
26Pour préciser l’intuition, nous comparons à présent avec des mesures similaires effectuées sur un système classique (Figure 2).

Figure 2
27La mesure classique R est représentée par une partition de l’espace des états : R+⋃ R−= S. L’état du système est représenté par le point s. Il n’y a aucun impact de la mesure R sur l’état. Cette mesure révèle (seulement) que s ∈ R+.
28Les figures 1 et 2 peuvent être utilisées pour illustrer une autre notion fondamentale : celle de propriétes incompatibles ou bien de mesures non-commutatives. Supposons que la mesure R ait donné le résultat r+ et qu’ensuite nous ayons effectué une mesure Q. L’état du système est maintenant ou bien un certain q+ ∈ Q+ ou bien un certain q− ∈ Q−, où q− ≠ r+. Une répétition de la mesure R changera l’état du système encore une fois. Avec une probabilité non nulle, le système sautera dans le sous-ensemble R-, c’est-à-dire nous ne retrouverons pas le résultat initial R+. Par contre toutes les mesures effectuées sur un système classique sont compatibles. Le résultat de la mesure R sera toujours R+ indépendamment du fait que la mesure Q ait été effectuée ou non sur le système.
29Nous allons à présent passer à la description du formalisme de la théorie. Nous nous contenterons ici de présenter un formalisme simplifié qui nous permettra de formuler la notion d’ortho-séparabilité qui est la base de la construction non-classique. Nous toucherons brièvement à certains aspects dynamiques sans entrer dans les détails. Pour une version complète nous renvoyons le lecteur à notre article dans Mathematical Social Sciences.
4. Éléments du formalisme mathématique
30Dans cette section nous introduisons quelques éléments du modèle non-classique. Notre objectif ici se limite à l’exposition formelle dune des notions clé qui fonde la distinction entre le modèle classique et le modèle non-classique : la notion d’ortho-séparabilité de l’espace des états du système.
31Notre point de départ est un dispositif expérimental de mesure que nous dénotons M. L’ensemble des résultats de la mesure M est dénoté O(M). Par simplicité nous faisons l’hypothèse que O(M) est un ensemble fini. S dénote l’ensemble des états de notre système. L’action d’effectuer une mesure est décrite par la correspondance suivante
32µ = µM : S → Δ(O(M))
33où ∆(X) dénote le simplex de mesures probabilistes sur un ensemble fini X. Pour tout état s ∈ S et tout résultat o ∈ O le nombre non négatif µM(o|s) la probabilité que le résultat o soit observé lorsque lon effectue une mesure de M sur le système dans l’état s. Nous faisons l’hypothèse que pour tout résultat o il existe un état s ∊ S tel que µM(o|s)>0. Pour A ⊂ O(M), nous écrivons µM(A|s) = Σ 0 ∊ A. µM (o). Une mesure M est dite de premier type si la propriété suivante est satisfaite.
34Définition. Supposons que nous ayons effectué la mesure M sur un système et que nous ayons obtenu le résultat o. Si nous effectuons M de nouveau (sans qu’aucune autre mesure n’ait été effectuée entre temps) nous obtenons le résultat o avec une probabilité égale à 1.
35Pour A ⊂ O(M), EM(A) dénote l’ensemble des états s tels que µM(A|s) = 1. En particulier l’ensemble EM(o), pour o ∊ O est appelé « l’ensemble propre » ou « eigenset » du résultat o. Les ensembles propres EM(o) sont non vides. Après avoir obtenu le résultat o, l’état du système se trouve dans EM(o) à la propriété de premier type de la mesure M. Nous disons qu’une mesure est complète si tous ces ensembles propres sont des singletons. Une mesure à deux résultats (conventionnellement lus comme OUI et NON) est appelée une question.
36M dénote l’ensemble de toutes les mesures de premier type. Nous faisons l’hypothèse que les différentes mesures sont reliées par un postulat « monotonie ». Pour formuler ce postulat nous introduisons la notion centrale de propriété.
37Définition. Le sous-ensemble P ⊂ S est appelé une propriété (testable) si P = EM(A) pour une mesure M ∊ M et un résultat A ⊂ O(M).
38Postulat de monotonie. Soient deux mesures M et M’ ∊ M, et deux résultats A et A’ tels que EM(A) ⊂ EM(A’). Alors tout état s vérifie µ(A|s) ≤ µ(A’|s).
39En particulier si P = EM(A) = EM(A’) est une propriété alors les probabilités µ(A|s) et µ(A’|s) sont égales entre elles et ne dépendent que de P. Pour cette raison nous pouvons écrire s(P) et comprendre cette expression comme la probabilité d’obtenir la propriété P lorsque nous effectuons une mesure sur le système dans l’état s. Le nombre s(P) est bien défini et ne dépend pas du dispositif de mesure.
40L’ensemble de toutes les propriétés est dénoté P. C’est un sous-ensemble de 2S ce qui en fait un « poset » (ensemble partiellement ordonné). Il contient un élément minimal 0 et un élément maximal 1 = S. Tout état s définit une fonction monotone : P → R+, tels que s(0) = 0, s(1) = 1. La valeur de s(P) est la probabilité que le système dans l’état s transite vers le sous-ensemble P lorsque l’on effectue une mesure appropriée.
41Nous décrivons à présent une autre structure fondamentale du poset P. Mettons que P = EM(A) une propriété. Si Ā = O(M) est le complément de A dans O(M), alors le sous-ensemble P’ = EM (Ā) est aussi une propriéte. Et nous avons que s(P’) = 1 − s(P) pour tout état s ∊ S. Donc
42P’ = {s ∊ S, s(p’) = {s ∊ S, s(P) = 0} et le sous-ensemble propriété P’ ne dépend que de P. Nous appelons P’ la propriété opposée à P. Il est clair que P ∨ P’ = 1 dans le poset de propriétés P. En dautres termes P est un orthoposet.
5. Orthogonalité
43L’espace des états possède une structure d’orthogonalité similaire. Deux états s et t sont dits orthogonaux et nous écrivons s ⊥ t s’il existe une propriété P telle que s(P) = 1 et t (P) = 0 Pour la propriété opposée P nous avons par définition s(P’) = 0 et t(P) = 1 donc t ⊥ s. Ce qui signifie que ⊥ est une relation symétrique. Clairement elle est aussi non-réflexive.
44Définition. Une relation d’orthogonalité sur un ensemble est une relation binaire symétrique et non-réflexive ⊥ ⊂ X x X. Un ensemble X équipé d’une relation d’orthogonalité est appelé un ortho-espace.
45Lorsque l’on représente graphiquement un ortho-espace, on peut relier les éléments orthogonaux (c’est souvent le représentation la plus « économique »). De manière alternative les éléments non-orthogonaux dits tolérants (ou connectés) peuvent être reliés. Le graphe de la tolérance devient rapidement très complexe. Dans les cas simples il est possible de combiner les deux graphes. Les pointillés correspondent à l’orthogonalité et les lignes pleines à la connectivité. Ci-dessous le graphe de l’exemple 2 (La Mouche).

46Pour A ⊂ X on dénote A ⊥ l’ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de A
47A ⊥ = {x ∊ X ; x ⊥ A}
48Définition. L’ensemble A⊥⊥ est appelé l’ortho-fermeture de l’ensemble A. Un ensemble F est dit ortho-fermé (aussi appelé flat) si et seulement si F = F⊥⊥.
49Un ensemble est dit ortho-séparable si tout tous ses sous-ensembles singletons sont ortho-fermés. Nous pouvons à présent formuler le premier axiome de la théorie de la mesure non-classique.
50Axiome 1. Pour tout élément, s ∊ S, {s} est une propriété.
51Cet axiome garantit que l’ensemble des états est ortho-séparable. Cette propriété représente une des caractéristiques clé de la théorie. La notion d’ortho-séparabilité des états purs d’un système est moins contraignante que la notion classique d’orthogonalité des états. L’ortho-séparabilité admet la connectivité des états purs mentionnée ci-dessus. Ainsi à la différence d’un système classique, un système non-classique peut se révéler sous l’impact de mesures appropriées « être » dans deux états mutuellement exclusifs ou de manière équivalente posséder des propriétés incompatibles. Nous reviendrons sur cette particularité dans la section suivante.
52La reconstruction de modèle Hilbertien de la Mécanique Quantique fait appel à d’autres propriétés en particulier l’ortho-modularité de l’espace des états qui assure que tout état peut-être exprimé comme une mesure de probabilité sur le treillis des propriétés. Cependant la théorie de la mesure non-classique n’acquière toute la structure du modèle hilbertien que lorsque l’on impose une structure particulière au processus de changement lié à la mesure : on fait une hypothèse de perturbation minimale de l’état dans l’opération de mesure. Pour plus de précision nous invitons le lecteur à consulter notre article dans Mathematical Social Sciences.
6. Application aux sciences du comportement
53Dans le cadre des sciences humaines et sciences du comportement nous proposons de considérer une personne comme un système (ou une collection de sous-systèmes irréductibles).
5416 Elle est caractérisée par son état ou type qui contient l’information maximale (concernant ses préférences, ses croyances, son information privée) permettant de prédire (de manière probabiliste) le comportement. Le dispositif de mesure sera un questionnaire ou un « contexte décisionnel ». Le comportement (par exemple, le choix fait dans un contexte décisionnel, l’action prise dans une situation stratégique, ou bien encore la réponse donnée un questionnaire) correspond au résultat dune mesure (d’une caractéristique) du type de la personne.
55Nous proposons d’abord une interprétation psychologique et comportementale de certains axiomes et propriétés de théorie non-classique de la mesure. Ensuite, nous présentons un exemple montrant comment ce formalisme peut être utilisé pour expliquer une « anomalie comportementale » bien connue, à savoir l’inversion des préférences. Nous finirons en suggérant comment ce formalisme pourrait être utilisé afin de développer une théorie des préférences actualisées.
6.1. Une interprétation
6.1.1. Ortho-séparabilité
56Dans le modèle classique, tous les états (atomiques) sont orthogonaux l’un à l’autre (ou déconnectés). Dans le modèle non-classique les états (purs) ne sont pas tous orthogonaux l’un à l’autre, ils sont juste ortho-séparables. Les états non-orthogonaux sont connectés l’un avec l’autre de telle sorte que sous l’effet de la mesure l’état du système peut passer de l’un à l’autre. L’ortho-séparabilité est un affaiblissement de la propriété classique d’orthogonalité.
57Les particularités propres à la « connectivité » non-classique sont bien connues dans l’analyse de la perception visuelle. En regardant une image ambiguë, la représentation cérébrale (« l’état de perception ») peut sauter d’une image (complète) vers une autre. Ces images différentes sont des perceptions d’une même image qui s’excluent mutuellement cependant l’état (de perception) peut transiter de l’une vers l’autre. Dans l’application à la psychologie et aux sciences humaines une interprétation des « des états comportementaux » (type) non-orthogonaux peut être formulée comme suit. Nous disons que deux états comportementaux sont connectés sil existe deux contextes décisionnels (incompatibles entre eux) tels que, quand l’agent est sûr de son attitude dans le premier contexte, il est incertain (hésitant) dans le second et vice et versa. L’incertitude ne peut jamais être entièrement éliminée : quand elle est résolue dans un contexte, elle réapparaît lautre. manière propos est de dire que l’agent non-classique est caractérisé par une irréductible multitude de « moi » : des inclinations (à agir) concurrentielles coexistent toujours dans l’esprit de la personne. L’exemple 3, section 2 est une illustration de cette idée. La personne n’est pas capable à résoudre son conflit intérieur dans les deux contextes décisionnels PD et UG simultanément.
6.1.2. Irréductibilité
58Un sous-système irréductible (non trivial) est caractérisé par le fait que sous l’effet dune série de mesures le système peut passer de n’importe quel état pur à n’importe quel autre état pur. Un système non-classique est une entité structurellement « plastique ». Et qui plus est, les transformations de l’état résultant de la mesure ne peuvent pas être prévues avec certitude.
59Une thématique commune à la psychologie et à la neurobiologie est l’étude de la personne humaine comme entité qui évolue sans cesse. Ledoux (2003) souligne ce qu’il appelle « plasticité synaptique » : – le moi est une entité qui change perpétuellement, un réseau de synapses qui est formé par l’expérience plutôt qu’il n’accumule l’expérience de manière téléologique (cf. processus dapprentissage). Dans les sciences sociales, cela s’exprime par la contextualité des préférences qui est extensivement confirmée dans les expériences de laboratoire (voir par exemple Kahneman et Tversky (2000) p. 518-528). L’approche non-classique fait apparaître la plasticité et la contextualité comme des conséquences directes de la connectivité (non-orthogonalité).
60En physique quantique « les règles de transformation » (contenues dans les matrices de corrélation qui connectent les observables entre elles) ne dé pendent pas du système individuel. Nous présumons qu’il existe suffisamment de régularités comportementales et psychologiques pour que cette hypothèse soit une approximation raisonnable en ce qui concerne les êtres humains. Ces régularités sont des objets d’étude de la neurologie et de la psychologie.
6.1.3. Stabilité de l’état
61Le modèle mathématique de la mécanique quantique repose sur propriété cruciale de régularité qui signifie que sous l’impact d’une mesure un état pur transite vers un autre état pur parfaitement défini. Cela signifie en particulier qu’une mesure approximative laisse inchangée l’incertitude qui n’est pas résolue.
62Dans le contexte de la psychologie, une interprétation possible est que lorsqu’une personne doit choisir à partir de l’état initial d’hésitation, cette hésitation est résolue afin de rendre possible la décision, mais sans plus. L’incertitude restante est laissée « intacte ». Ce principe de « perturbation minimale » suppose donc une certaine stabilité de l’état comportemental (type). Si nous faisons l’hypothèse que la résolution d’une hésitation est liée un certain effort, cela peut être considéré comme un « principe déconomie ». Dans cette perspective, cette propriété de régularité apparaît comme assez raisonnable pour les « systèmes humains ».
63La théorie de base de la mesure non-classique permet de faire des prédictions qualitatives qui peuvent être testées et comparées à celles du modèle classique ou à celles d’autres théories comportementales. Lorsque lon ajoute la propriété de régularité (perturbation minimale) nous obtenons le modèle Hilbertien de la mécanique quantique (sous une forme généralisée) ce qui permet, en principe, de faire les prédictions quantitatives exactes qui peuvent être vérifiées par l’expérience. Il faut souligner qu’en mécanique quantique les prédictions quantitatives exactes ne concernent que les propriétés primitives de systèmes simples. Dans les sciences du comportement et les sciences humaines, il est plus que probable que nous ayons affaire à des mesures plutôt approximatives qui ne mettent en évidence que des ensembles de propriétés/caractéristiques du type plutôt que d’en isoler une de nature primitive. Cela signifie qu’une application « mécanique » du modèle despace hilbertien n’est pas recommandée en particulier cela concerne les tentatives d’obtenir des prédictions quantitatives.
6.1.4. Avertissement
64Dans les applications aux sciences du comportement, notre théorie se caractérise par une particularité moins attrayante, à savoir que la mesure efface l’information sur l’état du système avant la mesure c’est-à-dire qu’il y a une forme de perte de mémoire. Néanmoins, il ne faut pas oublier qu’une personne consisterait en une multitude de systèmes irréductibles. Alors, l’amnésie ne serait de tout façon que locale, c’est-à-dire elle ne concernerait qu’un sous-système (irréductible). De plus, conformément au principe de perturbation minimale, même dans un tel sous-système, la mémoire ne serait complètement perdue que dans le cas où la mesure est complète (non grossière). Cependant notre approche implique les choix du passé n’ont qu’un impact limité sur le type présent de la personne. Elle peut se rappeler de ses choix mais ne se sent pas « obligée » par ceux-ci. Implicitement, nous supposons que les gens acceptent des changements de leur propre comportement qui ne sont pas motivés par des nouvelles connaissances mais plutôt par exemple dus à un simple changement de goût.
6.2. Préférences actualisée : une exploration
65La théorie classique de la décision repose sur une hypothèse selon laquelle les individus ont des préférences (un ordre linéaire) définies sur l’ensemble universel d’alternatives X. Ces préférences ne sont peut-être pas connues des autres mais l’individu lui-même les connaît et ces préférences peuvent être révélées en lui posant des questions (bien sûr nous faisons l’hypothèse que nous avons affaire à une personne honnête). Nous pouvons demander à un individu de ranger par ordre de préférence les options. Ou bien (si l’on doute que le comportement de cette personne soit régi par des préférences), nous pouvons lui demander de faire des choix sur des sous-ensembles. Et si ces choix satisfont l’axiome de Houthacker (ou celui de Arrow ou de Sen), nous révèlerons éventuellement un ordre complet. Comment doit-on modifier ce modèle simple lorsque nous avons affaire à des individus non-classiques ?
66Nous navons pas l’intention de donner une réponse exhaustive à cette question. Plutôt nous en ferons une première exploration en étudiant un exemple simple.
67Considérons la situation suivante. Nous disposons de trois items a, b et x. Nous effectuons des expériences sur une population d’agents présumés identiques c’est-à-dire dans le même état. Nous leur demandons d’abord de faire leur choix dans la pair (a, b). Puis nous leur demandons de faire un choix dans l’ensemble (a, b, x). Mettons (pour simplifier) que la moitié de la population choisisse a dans (a, b) et l’autre moitié b. Dans la deuxième expérience (choix dans (a, b, x)) nous observons que certains individus qui avaient choisi a dans (a, b) maintenant choisissent b et certains qui avaient choisi b choisissent a. Ceci est un exemple d’inversion des préférences ou de violation du principe d’indépendance du choix face aux alternatives non-pertinentes (ici x). En effet la présence de x ne devrait pas affecter les préférences entre a et b.
68Nous allons procéder à l’analyse de cette situation dans le cadre de la théorie développée ci-dessus que nous précisons avec les deux hypothèses suivantes :
Tout choix entre deux items est une mesure de premier type ;
Le processus de choix dans un ensemble de plusieurs items est modélisé comme une séquence de choix (mesures) binaires.
69La première hypothèse représente un affaiblissement de l’hypothèse faite implicitement dans le modèle standard qui pose que tout choix effectué sur un ensemble d’alternatives si grand soit-il est une mesure de premier type. La deuxième hypothèse précise le processus mental qui résulte en un choix. Dans le cadre classique cette hypothèse n’a aucune implication. En effet quelque soit l’ordre dans lequel l’individu effectue les mesures binaires le résultat sera le même. Dans notre contexte cette hypothèse nous permet de travailler avec des mesures de premier type sans faire l’hypothèse classique que tout ensemble de choix, si grand soit-il, est associé à une mesure de premier type.
70La première expérience mesure les préférences entre a et b. Elle a deux résultats possibles : a>b et b>a. La deuxième expérience est une séquence de mesures binaires dont nous ne connaissons ni l’ordre, ni le nombre. Toute séquence est constituée d’une série constituée de deux ou plusieurs des quatre mesures possibles : choix dans (a, b), (b, c), (a, x), (b, x), chacune ayant deux résultats.
71Généralement les mesures binaires peuvent être soit compatibles (commutatives) soit incompatibles. Dans le cas ou elles sont compatibles l’ordre na pas d’importance et que l’individu choisisse dans l’ensemble (a, b) ou bien (a, b, x) les préférences révélées sont les mêmes. Mais nous avons vu que le comportement de choix mis en évidence par l’expérience montrait que la relation entre a et b n’est pas toujours confirmée en présence de x. Cela suggère que les mesures binaires sont incompatibles auquel cas l’espace des états peut être représenté par le graphique ci-dessous.

Figure 5
72Nous voyons que les états a>b et b>a sont orthogonaux cependant il existe un « passage » entre les deux par exemple si on fait la mesure (a, x).
73La représentation de l’espace des états dans la figure 5 illustre l’absence d’existence d’un ordre de préférence sur l’ensemble (a, b, x). Une autre manière d’exprimer cela est de dire que faire un choix dans le contexte décisionnel (a, b, x) n’est pas une mesure de premier type. Nous dirons que (a, b, x) n’est pas une ensemble de choix de premier type. La théorie générale ne donne pas d’indication précise quand à ce qui se passe quand nous effectuons une mesure qui n’est pas de premier type. Sous l’hypothèse que les choix binaires sont des mesures de premier type, nous pouvons cependant décrire ce processus comme une séquence de mesures de premier type incompatibles entre elles.
74Bien entendu il est possible que certains phénomènes d’inversion des préférences soient dus au fait que l’individu ne possède aucune préférence, il choisit au hasard. Mais cela peut également révéler que les préférences sont des propriétés non-classiques. Dans ce cas nous devons abandonner l’hypothèse qu’il existe un ordre unique défini sur l’ensemble universel des options comme dans l’approche classique. En revanche nous permettons l’existence dune multiplicité d’ordre de préférences définis sur des ensembles de choix (sous-ensembles de X) premier type incompatibles entre eux. Lorsque que l’on prend l’union de ces ensembles nous n’obtenons pas un ensemble de choix de premier type.
75Nous allons à présent montrer comment cet exemple simple peut être interprété dans les termes de la littérature expérimentale en théorie du choix. Une hypothèse que l’on rencontre souvent dans cette littérature est le processus de choix est « lexicographique » plus précisément, ce processus inclut la sélection d’un attribut dominant (« prominent »). Selon les psychologues de la décision, l’attribut dominant est sélectionné pour faciliter le processus de choix et doit permettre de clairement distinguer entre les options (voir Kahneman et Tversky, p. 505). Cela signifie que la composition de l’ensemble de choix va déterminer quels attributs peuvent qualifier de dominant. Lichtenstein et Slovic (1968) initièrent une recherche sur « violation de l’invariance procédurale » reposant sur l’hypothèse de l’attribut dominant. Cette recherche se concentre sur des choix binaires et compare la procédure de choix classique avec une procédure qui consiste à demander à lagent de donner le prix qui le compenserait de la différence d’utilité entre les deux options. En particulier cette recherche ne s’intéresse pas aux situations où il n’existe pas d’attribut unique qui permettre de distinguer entre plus de deux options. Cependant l’hypothèse du l’attribut dominant repose sur l’idée que l’individu est incapable de produire un critère synthétique de tous les attributs. Notre théorie peut contribuer à expliquer pourquoi il en est incapable et comment il procède pour faire ses choix.
76Reprenons notre exemple ci-dessus. Dans chaque ensemble de choix nous pouvons distinguer deux candidats d’attribut dominant qui induisent respectivement le choix pour lune ou l’autre des deux options. Ces deux candidats sont des alternatives mutuellement exclusive, ils orthogonaux l’un à l’autre. Mais les attributs candidats pertinents dans différents ensembles de choix ne sont pas nécessairement orthogonaux entre eux. Par exemple dans (a, b) nous pourrions avoir que le prix (conduisant au choix de a) et la durée de la garantie (conduisant au choix de b) soient les deux attributs, candidats à la dominance. Cependant pour le choix entre a et x, ni le prix ni la durée de la garantie ne sont des attributs pouvant guider le choix de manière intelligente. Par contre la taille et la beauté sont des attributs pertinents. Supposons que l’individu ait sélectionné le prix comme attribut dominant (en faisant le choix de a). Si nous observons le genre d’inversion de préférence décrit plus haut, il se peut que ses attributs soient connectés entre eux à la manière des propriétés non-classiques. Selon cette théorie si l’individu maintenant choisit « la beauté » sélectionnant a dans (a, x), son état c’est-à-dire ses préférences ont été modifiées et cest pourquoi il peut vouloir reconsidérer son choix dans (a, b). Lorsqu’il est dans une humeur qui valorise la beauté, la valeur de la durée de la garantie peut lui apparaître sous un nouveau jour par exemple comme la valeur d’être libéré de préoccupation pratique comme celle d’avoir à acheter un nouvel objet pour remplacer celui qui se serait cassé. Cela conduira, avec une certaine probabilité, au choix de b.
77Cet exemple illustre quelques distinctions clés entre la théorie du choix classique et une théorie du choix fondée sur la théorie non-classique de la mesure. Un agent non-classique na pas de préférences définies sur l’ensemble universel des options X, seulement sur des sous-ensembles de X. Les préférences sur les ensembles de choix de premier type sont traitées comme des propriétés non-classiques. Certaines peuvent ne pas être compatibles entre elles c’est-à-dire quelles ne peuvent pas être actualisées simultanément. Un agent non-classique ne se comporte pas comme un agent classique car son comportement est caractérisé par des éléments probabilistes irréductibles. Un agent non-classique ne se comporte pas comme dans la théorie du choix stochastique non plus. Dans un ensemble de choix de premier type, une fois qu’il a fait son choix il le répète par force de la propriété de mesure de premier type (sauf si entre ces choix il est confronté à un autre contexte décisionnel incompatible avec le premier).
7. Conclusions
78Dans ce chapitre nous avons donné quelques éléments de description de la structure mathématique de base de la théorie de la mesure non classique. L’objectif a été d’explorer d’un point de vue théorique la pertinence de cette théorie pour la description, l’explication et la prédiction des comportements humains.
79Nous avons défendu la thèse selon laquelle les axiomes et les propriétés de base qui soutiennent la théorie, peuvent être interprétés de manière cohérente aux vues de thèmes centraux étudiés en psychologie, en science du comportement et en sciences sociales. L’homme non-classique qui émerge de notre exploration est une créature structurellement plastique. Cela est du à la propriété de non-orthogonalité (connectivité) des états purs (correspondants à des propriétés psychologiques ou des caractéristiques de type incompatibles). Cet élément central de la théorie implique une incertitude irréductible dans les comportements. C’est aussi la source du changement d’état. Lorsque qu’une personne interagit avec son environnement dans un contexte décisionnel donné, une certaine incertitude est résolue ce qui induit un changement de son état comportemental. L’homme non classique est essentiellement contextuel.
80Dans un exemple simple nous illustrons comment cette approche peut être utilisée pour expliquer le phénomène d’inversement de préférences et nous formulons des ingrédients de base d’une théorie des préférences actualisées.
Notes de bas de page
* Nous sommes très reconnaissants pour des discussions utiles avec J. Busemeyer, J.-C. Falmagne, Y. Feinberg D. Luce, B. Wilson, S. Zamir, H. Zwirn et pour les commentaires des participants des séminaires à Stanford, Irvine et Indiana
1 Le terme « logique quantique » est souvent utilisé de façon moins stricte en se référant au formalisme mathématique de PersonNameProductIDla MQ. Orla MQ. Or, d’un point de vue formel, le terme de logique quantique se réfère aux treillis orthomodulaires.
2 La distinction entre les deux états (avant et après que la personne ne répond à la question) peut être mise en évidence par ses réponses à des questions posées ultérieurement.
3 Un modèle hilbertien (HSM) de la dissonance cognitive est présenté dans [14].
4 Évidemment, tous les cas de non-commutativité du comportement ne demandent pas une mise en question de l’approche classique. Dans la théorie standard du consommateur, les choix peuvent avoir des conséquences pour le comportement ultérieur quand les biens sont substituts ou compléments les uns des autres. Nous nous concentrons sur ce qui est appelé « les anomalies du comportement », c’est-à-dire sur les cas où rien ne justifie une modification des préférences (ou des croyances). Or, le comportement révèle une modification.
5 Par le choix qu’il fait l’agent révèle ses préférences
6 D. Luce (2005) décrit, lui aussi, des analogies entre mesures physiques et comportement. Luce s’intéresse exclusivement aux mesures classiques et se concentre sur des ressemblances en termes de formes fonctionnelles.
7 Ici le terme dynamique fait exclusivement référence au processus de changement lié à la mesure et non pas à une dimension temporelle.
8 Stern et Gerlach ont inventé un appareil tel que l’interaction entre le moment magnétique de l’électron et celui du dispositif expérimental entraîne la division du faisceau d’électrons en deux faisceaux séparés. La mesure de la déviation peut être interprétée comme la mesure du spin (relativement à une certaine orientation).
9 Cet exemple simple illustre quelques propriétés de base de la mesure non-classique. Cependant ce système ne possède pas toutes les propriétés d’un système quantique.
10 Dans le dilemme du prisonnier, les deux joueurs choisissent simultanément entre deux actions : coopérer ou trahir. La spécificité de ce jeu est que chaque joueur a individuellement intérêt trahir indépendamment de l’action de l’autre. Cependant les deux joueurs collectivement ont intérêt coopérer.
11 Dans le jeu de l’ultimatum le premier joueur fait une offre de partage d’une somme d’argent. Le deuxième joueur soit accepte le partage et l’argent est alors distribué conformément à l’offre. Soit il refuse et dans ce cas-là personne ne reçoit rien.
12 Nous savons que la théorie des jeux prédit le comportement de manière univoque : selon cette théorie, les gens trahissent (D) toujours dans le jeu PD et, en accord avec une hypothèse de connaissance commune de la rationalité, ils offrent le partage 9/1 dans le jeu UG. Les expérimentateurs nous ont pourtant appris à distinguer entre les gains monétaires que l’on peut contrôler et les préférences qui peuvent inclure les éléments non monétaires inconnus des expérimentateurs.
13 D. Balkenberg et T. Kapplan (University of Exeter, non publié) ont réalisé une expérience avec les mêmes deux jeux mais avec deux populations de sujets. Ils ont étudie la fréquence des choix dans les cas où ces deux jeux étaient joués dans un certain ordre comparé à la situation lorsque l’ordre est inversé. Les données montrent que le premier choix a un impact sur le deuxième choix ce qui est une caractéristique des mesures non classiques.
14 Le fait que l’information est incomplète signifie que l’état du système est un mélange des différents états pondéré par les probabilités associées à ces états. En utilisant les mesures, nous pouvons trier ou « filtrer » ce mélange de telle façon que nous obtiendrons en fin de compte un état pur que nous connaissons parfaitement.
15 Il n’existe aucun exemple concret dune grandeur physique ne permettant pas au moins un appareil de mesure satisfaisant, fût-ce approximativement, au postulat de von Neumann et au postulat de Lüder (plus strict). Les appareils utilisés réalité peuvent pourtant ne pas satisfaire à ces postulats.
16 Un système est dit irréductible s’il est possible de le faire transiter de n’importe quel état pur vers n’importe quel autre état pur par une séquence de mesures appropriées, voir ci-dessous.
Auteurs
CEMI, Académie des Sciences de Russie, Moscou danilov@cemi.rssi.ru
vdanilov43@mail.ruPSE, Paris School of Economics, Paris alambert@pse.ens.fr
Le texte seul est utilisable sous licence Licence OpenEdition Books. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.
Les chemins de la décolonisation de l’empire colonial français, 1936-1956
Colloque organisé par l’IHTP les 4 et 5 octobre 1984
Charles-Robert Ageron (dir.)
1986
Premières communautés paysannes en Méditerranée occidentale
Actes du Colloque International du CNRS (Montpellier, 26-29 avril 1983)
Jean Guilaine, Jean Courtin, Jean-Louis Roudil et al. (dir.)
1987
La formation de l’Irak contemporain
Le rôle politique des ulémas chiites à la fin de la domination ottomane et au moment de la création de l’état irakien
Pierre-Jean Luizard
2002
La télévision des Trente Glorieuses
Culture et politique
Évelyne Cohen et Marie-Françoise Lévy (dir.)
2007
L’homme et sa diversité
Perspectives en enjeux de l’anthropologie biologique
Anne-Marie Guihard-Costa, Gilles Boetsch et Alain Froment (dir.)
2007