L'utilité espérée projective
p. 191-204
Texte intégral
1. Introduction
1John von Neumann (1903-1957) est généralement considéré comme un père fondateur dans de nombreux domaines, parmi lesquels la théorie des jeux, la théorie de la décision, la mécanique quantique et l’informatique. Deux de ses contributions sont particulièrement importantes en ce qui nous concerne. En 1932, von Neumann jeta les premières bases rigoureuses de la mécanique quantique, fondées sur un calcul de projections dans des espaces d’Hilbert. En 1944, en collaboration avec Oskar Morgenstern, il donna à l’hypothèse de l’utilité espérée (Bernoulli 1738) ses premières bases axiomatiques. Dans les deux cas, les cadres d’analyse qu’il fut l’un des premiers à exploiter servent encore de fondement au domaine considéré. En particulier, l’hypothèse de l’utilité espérée est encore de facto au fondement de champs tels que la finance et la théorie des jeux.
2L’axiomatisation de l’utilité espérée par von Neumann et Morgenstern fut immédiatement saluée pour sa simplicité et son attrait intuitif. Pourtant, au fil du temps, plusieurs paradoxes et violations empiriques (Allais 1953, Ellsberg 1961, Rabin et Thaler 2001) sont venus jeter le doute sur la validité de l’hypothèse comme fondement de la théorie des choix rationnels dans le risque et l’incertitude subjective. En économie et dans les sciences sociales, les défauts de l’hypothèse de l’utilité espérée sont en général bien connus, mais souvent tacitement acceptés regard de la grande maniabilité et de la puissance du cadre mathématique correspondant. De fait, l’hypothèse postule que les préférences peuvent être représentées au moyen d’un fonctionnel d’utilité qui est linéaire en probabilités, et la linéarité rend les représentations de l’utilité espérée particulièrement faciles à manier dans les modèles et les applications.
3Les paradoxes expérimentaux qui ont justifié l’introduction de la mécanique quantique en physique entretiennent des rapports intéressants avec quelques uns des paradoxes en théorie de la décision qui sont venus remettre en cause le statut de l’utilité espérée dans les sciences sociales. En physique, la mécanique quantique fut introduite comme un cadre mathématique à la fois maniable et empiriquement exact quand de telles violations sont présentes. En économie et dans les sciences sociales, l’importance de prendre en compte les violations de l’utilité espérée été reconnue depuis longtemps, mais jusqu’ici aucune des nombreuses alternatives n’a réussi à s’imposer comme dominante, parfois à cause de leur manque de maniabilité mathématique, ou à cause du caractère ad hoc de certaines propositions axiomatiques. À partir de ces considérations, nous aimerions introduire un cadre d’analyse en théorie de la décision qui intègre ces paradoxes dominants tout en restant relativement simple et maniable. Comme nous le verrons, ce résultat peut s’obtenir en réduisant l’hypothèse d’utilité espérée son équivalent projectif, d’une manière analogue à la généralisation par la mécanique quantique de la théorie classique des probabilités.
4L’article est organisé comme suit : la prochaine section passe brièvement en revue le cadre de von Neumann-Morgenstern. Les sections 3 et 4 présentent respectivement les paradoxes d’Allais et d’Ellsberg. La section 5 introduit un cadre d’analyse mathématique pour l’utilité espérée projetée, ainsi que notre résultat principal. La section 6 contient une brève discussion. Les sections 7 et 8 montrent respectivement comment les paradoxes d’Allais et d’Ellsberg peuvent s’intégrer dans le nouveau cadre. La section 9 discute des applications et extensions, puis conclut.
2. L’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern
5Soit S un ensemble fini de conséquences, et ∆ l’ensemble des fonctions de probabilités définies sur S, choisies pour représenter les perspectives risquées (loteries). Ensuite, soit ≿ une relation binaire complète et transitive définie sur ∆ x ∆ représentant l’ordre de préférence d’un décideur sur les loteries. Conformément à l’usage, l’indifférence entre p et q (p, q ∊ ∆) est définie comme {p ≿ q et non q ≿ p} et notée p ~ q, tandis que la préférence stricte de p sur q est définie comme {p ≿ q et non q ≿ p}, et notée p ≻ q. L’ordre de préférences est supposé satisfaire les deux conditions suivantes :
6Axiome 1 : Quels que soient p, q, r ∊ ∆ avec p ≻ q ≻ r, il existe α, β ∊ [0, 1] tels que αp + (1 - α)r ≻ q ≻ βp + (1 - β)r.
7Axiome 2 : Quels que soient p, q, r ∊ ∆, p ≿ q si et seulement si αp + (1 -α)r pour tout α ∊ [0, 1].
8On dit qu’un fonctionnel u : ∆ → ℝ représente si quels que soient p, q Є ∆, p ≿ q si et seulement si u(p) ≥ u(q).
9Théorème 3 : Les axiomes 1 et 2 pris ensemble sont équivalents à l’existence d’un fonctionnel u : ∆ → ℝ qui représente ≿ et tel que, pour tout p ∊ ∆,

3. Le « paradoxe de la double fente » de la théorie de la décision
10Le paradoxe suivant est dû à Allais (1953). Tout d’abord, veuillez choisir entre les loteries suivantes :
A : une chance de gagner 4 000 euros avec probabilité 0,2 (valeur espérée 800 euros).
B : une chance de gagner 3 000 euros avec probabilité 0,25 (valeur espérée 750 euros).
11Ensuite, veuillez choisir entre les loteries suivantes :
C : une chance de gagner 4 000 euros avec probabilité 0,8 (valeur espérée 3 200 euros).
D : une chance de gagner 3 000 euros avec certitude.
12Si vous avez choisi A plutôt que B, et D plutôt que C, alors vous êtes dans la classe modale des personnes interrogées. Le paradoxe tient à l’observation que A et C sont des cas particuliers d’une loterie E à deux périodes, qui en première période donne 0 euro avec probabilité (1 - α) et conduit avec probabilité α à la deuxième période, où l’on reçoit 4 000 euros avec probabilité 0.8 et rien sinon. En particulier, si on fixe α à 1, alors E se réduit à C, et si on le fixe à 0.25, E se réduit à A. De même, B et D sont des cas particuliers d’une loterie à deux périodes F, qui là encore donne 0 euros en première période avec probabilité (1 - α), et conduit avec une probabilité α à la deuxième période où on gagne 3 000 avec probabilité 1. À nouveau, si α = 1, alors F réduit à D, et si α = 0.25, F se réduit à B. Il est alors facile de voir que le résultat {A ≻ B, D ≻ C} viole l’axiome d’indépendance, puisque E peut être considéré comme une loterie αp + (1 - α)r et F comme une loterie αq + (1 - α)r, où p et q représentent respectivement les loteries C et D, et r représente la loterie qui donne zéro euros avec certitude. Pourquoi la valeur de α devrait-elle jouer un rôle ? C’est pourtant ce que l’on observe empiriquement.
13Le paradoxe d’Allais a certaines ressemblances avec le paradoxe bien connu de la double fente en physique. Imaginons qu’on coupe deux fentes parallèles dans une feuille de carton, qu’on fasse passer de la lumière à travers ces fentes, et qu’on observe le motif obtenu quand les particules passant à travers les deux fentes se répartissent sur un mur derrière la feuille de carton. On observe expérimentalement que quand les deux fentes sont ouvertes, le motif d’ensemble n’est pas la somme des deux motifs produits quand une des fentes est ouverte et l’autre fermée. L’effet ne disparaît pas même si les particules lumineuses sont émises une par une, ce qui est paradoxal : quand il se trouve qu’une particule individuelle passe par la fente de gauche, en quoi la probabilité qu’elle avait de passer plutôt par la fente de droite devrait-elle l’influencer au moment de déterminer son point d’impact final ? En un sens, chaque particule dans l’expérience de la double fente se comporte comme un décideur qui viole l’axiome d’indépendance dans l’expérience d’Allais.
4. Le paradoxe d’Ellsberg
14Une autre violation troublante de l’hypothèse d’utilité espérée a été relevée par Ellsberg (1961). Supposez qu’une urne contienne 300 boules qui peuvent être de trois couleurs au choix : rouge (R), vert (V) et bleu (B). Vous savez que l’urne contient exactement 100 boules rouges, mais vous n’avez aucune information sur la proportion de vertes et de bleues.
15Vous gagnez si vous devinez quelle couleur sera tirée. Préférez-vous parier sur rouge (R) ou sur vert (V) ? Un grand nombre de personnes interrogées choisissent R, pour la raison que la probabilité de tirer une boule rouge est connue (1/3), alors que la seule information sur la probabilité de tirer une boule verte est qu’elle est comprise entre 0 et 2/3. Maintenant supposez que vous gagnez si vous devinez quelle couleur ne sera pas tirée. Préférez-vous parier que rouge ne sortira pas (R̄̄), ou que vert ne sortira pas (V̄̄) ? À nouveau, un grand nombre de personnes interrogées préfèrent parier sur R̄̄̄̄, dont la probabilité est connue (2/3) tandis qu’on sait seulement de la probabilité de V̄̄ qu’elle est comprise entre 1 et 1/3.
16Le résultat {R ≻ V ≻ R̄ V̄} est incompatible avec l’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern, qui ne traite que de probabilités connues, et il est aussi incompatible avec la formulation de l’utilité espérée en termes de probabilités subjectives par Savage (1954), puisqu’il viole l’axiome de la Chose Sûre dans ce cadre. Par conséquent, ce paradoxe suggère que l’incertitude subjective et le risque doivent être traitées comme des notions distinctes.
5. L’utilité espérée projetée
17Soit S+ l’orthant positif de la sphère unitaire de ℝn, où n est le cardinal de l’ensemble des conséquences pertinentes S : = {S1, S2,...,Sn}. Alors les loteries de von Neumann-Morgenstern, considérées comme des éléments du simplexe unitaire, sont en bijection avec les éléments de S+, qui peuvent donc s’interpréter comme des perspectives risquées, dont les probabilités pertinentes sont pleinement connues. Notons que, tandis que les projections des éléments du simplexe unitaire (donc des vecteurs unitaires de L1) sur les vecteurs de la base peuvent naturellement être associées aux probabilités, si nous choisissons de modéliser les loteries de von Neumann-Morgenstern comme des éléments de la sphère unitaire (et donc comme des vecteurs unitaires dans L2), les probabilités sont naturellement associées avec les projections au carré. L’avantage d’une telle décision est que L2 est le seul espace Lp qui soit également un espace de Hilbert, et que les espaces de Hilbert ont une structure de projections particulièrement maniable que notre représentation mettra à profit. Nous appelons de telles perspectives risquées, quand les probabilités pertinentes sont complètement connues, des loteries pures, et nous réservons l’expression de loteries mixtes pour les combinaisons convexes (mixtures) dans ℝn, que nous interprétons comme des situations d’incertitude subjective sur la loterie pure qui intervient effectivement. Soit M la fermeture convexe de S+ dans ℝn. On observe que les loteries pures ne peuvent pas être obtenues comme des mixtures non triviales, et c’est pour cette raison que nous les appelons pures.
18Ensuite, soit 〈.∣.〉 le produit scalaire habituel dans ℝn, et soit Psi (x) la probabilité de l’état si dans la loterie x, telle que perçue par le décideur.
19Axiome 4 : (Règle de Born) Il existe une base orthonormale (z1,...,zn telle que, pour tout x ∊ S+, et pour tout si ∊ S,
20psi(x) = 〈x∣zi〉2
21L’axiome 4 exige qu’il existe une interprétation des éléments de S+ en termes des dimensions pertinentes du risque, telles que perçues par le décideur. Dans le traitement de von Neumann-Morgenstern, on suppose implicitement que l’axiome 4 est valide en ce qui concerne la base naturelle de ℝn.. À l’inverse, la base préférée telle que postulée dans l’axiome 4 peut varier d’un décideur à l’autre, capturant l’idée que les dimensions pertinentes du risque peuvent être perçues différemment d’un sujet à l’autre, peut-être à cause d’effets de portefeuille, tandis que la base naturelle peut être utilisée pour représenter les dimensions pertinentes du risque, telles que perçues par le modélisateur ou un observateur extérieur.
22Dans notre cadre, l’orthogonalité capture l’idée que deux événements ou conséquences sont mutuellement exclusifs (pour qu’un des événements ait la probabilité un, l’autre doit avoir la probabilité zéro). Parmi toutes les façons possibles de partitionner l’incertitude pertinente en un ensemble d’événements (ou conséquences) mutuellement exclusifs, la base préférée capture celle qui conduit à un ensemble de loteries qui sont pertinentes par rapport aux paiements, à partir desquelles les préférences sur toutes les autres loteries peuvent être déterminées de façon linéaire. En particulier, les éléments de la base doivent couvrir tout le domaine des préférences. Par exemple, dans le cas où un décideur est indifférent entre deux conséquences, mais préfère strictement recevoir les deux en même temps avec la même fréquence, les préférences sur les deux conséquences ne couvrent pas tout le domaine correspondant ; par conséquent, ce type de préférence ne peut pas être capturé dans la base naturelle, et donc dans l’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern. L’axiome 4 postule que chaque loterie est évaluée par le décideur seulement sur la base de l’incertitude qu’elle entraîne sur des dimensions correctement choisies pour être pertinentes par rapport aux paiements. Une fois qu’une base orthonormale est donnée, chaque loterie mixte x correspond de façon unique à une fonction p(x) : S → [0, 1] telle que psi(x) = 〈x∣zi〉2 pour tout si ∊ S. Si x est une loterie pure, alors ∑s∈Sps(x) = 1 et p(x) peut être considéré comme une fonction de probabilité. Pour une loterie mixte quelconque x ∊ M, 1/ ∣∣x∣∣2 peut être considéré comme une mesure de l’incertitude subjective, et

23comme une probabilité subjective. Nous interprétons p(x) comme le degré de croyance attribué à chaque issue par la loterie x. Soit B l’ensemble de tous les p(x) pour x ∊ M, et soit ≳ un ordre de préférences complet et transitif, défini sur B x B. Nous postulons les deux axiomes suivants, qui font pendant à ceux du traitement de von Neumann-Morgenstern.
24Axiome 5 (archimédien) Quels que soient x, y, z ∊ M avec p(x) ≻ p(y) ≻ p(z) il existe α, β ∊ [0, 1] tels que αp(x) + (1 – α)p(z) ≻ p(y) ≻ βp(x) + (1 - β )p(z)
25Axiome 6 (indépendance) Quels que soient x, y, z ∊ M, p(x) ≿ p(y) si et seulement si αp(x) + (1 – α)p(z) ≿ αp(y) + (1 - α)p(z) pour tout α ∊ [0, 1].
26Notons que les deux axiomes imposent des conditions seulement sur les croyances, et pas sur les loteries sous-jacentes. En particulier, remarquons qu’une combinaison convexe αp(x) + (1 - α)p(y), où x et y sont des loteries pures, correspond encore à une loterie pure, puisque la combinaison convexe de deux fonctions de probabilité est encore une fonction de probabilité. Par conséquent, le type de mélanges opéré dans les Axiomes 5 et 6 peut être considéré comme objectif tandis que les mélanges subjectifs sont rendus par des combinaisons convexes des loteries sous-jacentes, telles que αx + (1 - α)y, qui n’est pas une loterie pure dans le cas général, même si x et y sont tous deux des loteries pures.
27Théorème 7 Les axiomes 4-6 pris conjointement sont équivalents à l’existence d’une matrice symétrique U telle que u(x) : = x’Ux pour tout x ∊ M représente ≿.
28Preuve. Supposons que l’Axiome 4 soit valide pour une base orthonormale donnée (z1,..., zn). D’après résultat de von Neumann-Morgenstern (qui s’applique à tout ensemble de mélanges convexes tel que B), les Axiomes 5 et 6 pris conjointement sont équivalents à l’existence d’un fonctionnel uqui représente l’ordre et qui est linéaire en p, c’est-à-dire :

29 où la deuxième égalité vient de la définition de p comme le carré du produit scalaire associé à la base préférée. Ces égalités peuvent s’écrire de manière equivalente en termes matriciels, soit
30u(x) = x’P’DPx = x’Ux
31où D est la matrice diagonale qui contient les paiements sur sa diagonale principale, P est la matrice de projection associée à (z1,..., zn) et U : = P’DP est symétrique. Inversement, d’après le théorème de la Décomposition Spectrale, pour toute matrice symétrique U, il existe une matrice diagonale D et une matrice de projection P telle que
32x’Ux = x’P’DPx
33pour tout x ∊ M. Mais il s’agit précisément de l’utilité espérée exprimée en termes de la base orthonormale définie par P. Par conséquent, les trois axiomes pris conjointement sont équivalents à l’existence d’une matrice symétrique U telle que u(x) : = x’Ux représente l’ordre de préférences.
6. Propriétés représentation
34La représentation introduite dans la section précédente généralise l’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern dans trois directions. Tout d’abord, l’incertitude subjective (pour les états mixtes) et le risque (pour les états purs) sont traités comme des notions distinctes. Ensuite, au sein de cette classe de préférences, les paradoxes d’Allais et d’Ellsberg sont pris en compte. Enfin, la construction s’étend facilement à la boule unitaire complexe, à la condition que 〈x∣y〉2 soit remplacé par ∣〈x∣y〉∣2 dans la définition de p, auquel cas le théorème 7 est valable pour une matrice de paiements U hermitienne (au lieu de symétrique), et le résultat fournit aussi des fondations axiomatiques pour les décisions impliquant l’incertitude quantique.
35Soit ei ; ej les loteries dégénérées assignant respectivement la probabilité 1 aux conséquences si et sj, et soit eij la loterie assignant la probabilité 1/2 à chacun des deux états. Notons que pour deux si et sj distincts,

36Il s’ensuit que dans la matrice des paiements, le terme Uij, non situé sur la diagonale, peut être interprété comme la décôte ou la prime attribuée une combinaison équiprobable des deux conséquences par rapport au niveau de référence de l’utilité espérée, et donc comme la mesure de l’aversion pour le risque pour la dimension particulière du risque qui implique les conséquences si et sj.
37Observons que le fonctionnel dans le Théorème 7 est quadratique en x, mais linéaire en p. Si U est diagonale, alors ses valeurs propres coïncident avec les termes de la diagonale. Dans l’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern, ces valeurs propres contiennent toute l’information pertinente sur les attitudes envers le risque du décideur. Dans notre cadre, les attitudes envers le risque sont représentées conjointement par la matrice diagonale D, qui contient les valeurs propres de U sur sa diagonale principale, et par une matrice de projection P. De plus, dans notre cadre, les attitudes envers le risque sont capturées par la concavite ou la convexité (en x) de la forme quadratique x’Ux, et donc en définitive par la condition que U soit définie et par le signe de ses valeurs propres. La convexité correspond au cas où toutes les valeurs propres sont positives, et rend compte de l’idée que toutes choses égales par ailleurs, le risque est préféré à l’incertitude, tandis que la concavité correspond au cas où toutes les valeurs propres sont négatives et rend compte de l’idée inverse.
7. Exemple : l’incertitude objective
38La figure 1 ci-dessous présente plusieurs exemples de cartes d’indifférence sur des loteries pures qui peuvent être obtenues au sein de notre classe de préférences, pour différents choix de U.
39La première situation (des lignes droites parallèles) est caractéristique de l’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern. Dans notre classe de représentations, elle correspond au cas particulier d’une matrice de paiements U diagonale. Toutes les autres situations sont impossibles dans le cadre de l’utilité espérée de von Neumann-Morgenstern.
40Notre représentation est suffisament générale pour prendre en compte le paradoxe d’Allais (section 3). Dans le contexte de l’exemple présenté dans la section 3, soit {s1, s2, s3} les états où l’on gagne respectivement 4 000, 3 000 et 0 euros. Pour prendre en compte le paradoxe d’Allais, supposons une légère aversion pour le risque de n’obtenir aucun gain (s3) :

41Soit les quatre loteries A, B, C, D définies respectivement comme les vecteurs unitaires suivants de S+ :

42Alors la loterie A est préférée B et D à C, puisque
43u(a) = a’Ua = 1,8,
44u(b) = b’Ub = 1,634
45u(c) = c’Uc = 9,6
46u(d) = d’Ud = 10

8. exemple : l’incertitude subjective
47Dans l’énigme d’Ellsberg, supposons que toutes les boules non-rouges sont vertes (R = 100, V = 200, B = 0) ou qu’elles sont toutes bleues (R = 100, V, = O, B = 200 ) avec la même probabilité subjective. De plus, supposons qu’il n’y ait que deux conséquences qui soient pertinentes pour les paiements, Gagner et Perdre. Dans ce cas, la spécification suivante de la matrice des paiements permet de prendre en compte le paradoxe :
Gagner | Perdre | ||
U = | Gagner | 1 | 0 |
Perdre | 0 | 0 |
48En fait, soit les loteries représentant respectivement R et R̄, et soit
les loteries correspondant respectivement à un gain sûr une perte sûre. Enfin, soit v := αr̄̄ + (1 - α)p et v̄̄ := βg + (1 - β)r les loteries représentant respectivement V et V̄̄, avec α et β choisis pour être les solutions uniques respectivement de
et de
(puisque la probabilité subjective de gagner est de 1/3 dans V, et de 2/3 dans V̄). On a alors
, et
49u(r) = r’Ur = 1/3,
50u(r̄) = r'̄Ur̄ = 2/3,
51u(v) = v’Uv = 1/9,
52u(v̄) = v'̄Uv̄ = 0,4
53 Donc le paradoxe est bien pris en compte. à l’inverse, si la matrice des paiements est donnée par
Gagner | Perdre | ||
U = | Gagner | 0 | 0 |
Perdre | 0 | -1 |
54le phénomène inverse se produit, puisque maintenant, toutes choses égales par ailleurs, l’incertitude subjective est préférée au risque
9. Les décisions multi-agents et l’équilibre
55Au sein de la classe de préférences caractérisée par le théorème 7, est-il encore vrai que tout jeu fini a un équilibre de Nash ? Si la matrice des paiements U est diagonale et non-négative, nous sommes dans le cas classique, donc nous savons que tout jeu fini a un équilibre, qui de plus ne fait intervenir que du risque (objectif) – dans les termes que nous avons définis, ce type d’équilibre doit être appelé « pur », car il ne fait pas intervenir d’incertitude subjective. Dans le cas général, considérons que u(p) est encore continue et linéaire en p ∊ B, tandis que B est un ensemble convexe et compact. Par conséquent, on retrouve dans notre cas toutes les étapes nécessaires pour la preuve de Nash (montrer que la correspondance de meilleure réponse est non-vide, semi-continue supérieurement et convexe pour pouvoir appliquer le théorème du point fixe de Kakutani). Donc tout jeu fini a un équilibre même dans cette classe plus large de préférences, même si l’équilibre n’est pas forcément pur (selon notre définition de ce terme) : en général, un équilibre reposera sur une combinaison de hasard objectif et d’incertitude subjective à propos des décisions des joueurs.
10. Conclusion
56Nous avons présenté une généralisation projective de l’utilité espérée, et nous avons montré qu’elle peut intégrer les principaux paradoxes rencontrés en théorie de la décision. Alors que les autres généralisations de l’utilité espérée sont typiquement non-linéaires en probabilités, notre représentation est linéaire en degrés de croyance (et donc en probabilités subjectives), et par conséquent relativement facile à manipuler dans les applications. En particulier, tout jeu fini a encore un équilibre, même au sein de cette classe de préférence plus large.
57Notre généralisation de l’utilité espérée est très proche de celle de Gyntelberg et Hansen (2004), qui est obtenue dans le cadre de Savage en postulant une structure non-classique (c’est-à-dire non-Booléenne) pour les événements pertinents. À l’inverse, bien que notre représentation soit obtenue dans le cadre de von Neumann-Morgenstern (c’est-à-dire que les croyances sont considérées comme étant déjà données), elle n’impose pas de contraintes spécifiques sur la nature de l’incertitude en jeu. En particulier, dans notre cadre, les paradoxes dominants peuvent être résolus même si l’incertitude en jeu est de nature complètement classique. De plus, dans le cas où l’espace des événements est non-classique, notre résultat fournit aussi des fondations pour les décisions impliquant de l’incertitude quantique.
Auteur
Department of Microeconomics and Information Systems Leipzig Graduate School of Management (HHL)
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