Théorie Quantique Faible : Cadre formel et applications
p. 129-161
Texte intégral
1. Introduction
1Dans cet article, les deux concepts clés de la théorie quantique, la complémentarité et l’intrication, seront étudiés en physique et au-delà du domaine de la physique. Une version faible et axiomatisée de la théorie quantique, plus générale que la théorie quantique ordinaire des systèmes physiques, sera décrite. Sa structure mathématique généralise l’approche algébrique de la théorie quantique ordinaire. Ici, comme dans la théorie quantique ordinaire, la caractéristique formelle cruciale qui conduit à la complémentarité et à l’intrication est la non-commutativité des observables.
2L’espace de Hilbert ordinaire de la mécanique quantique standard peut être retrouvé en ajoutant par étapes les éléments formels nécessaires. Cela instaure une hiérarchie de cadres formels de généralité décroissante et de spécificité croissante.
3Deux applications concrètes, plus spécifiques que la Théorie Quantique Faible, mais plus générales que la théorie quantique ordinaire, seront discutées : (a) la complémentarité et l’intrication dans les systèmes dynamiques classiques, et (b) la complémentarité et l’intrication dans la bistabilité perceptive de stimuli ambigus.
4Remarquons qu’à propos de ces phénomènes de forme quantique qui incorporent la complémentarité et l’intrication au-delà du domaine de la physique (comme c’est le cas du phénomène cognitif de la bistabilité perceptive), trois attitudes mutuellement non-exclusives sont possibles et ont trouvé des défenseurs :
L’application des concepts quantiques à des situations non physiques est métaphorique, et elle n’est pas élucidée d’une manière précise et générale. Les analogies choisies sont simplement ad hoc, et varient d’une situation à l’autre.
Dans l’esprit du physicalisme le plus strict, tout peut être réduit à la physique. Puisque rien ne saurait être laissé en dehors du domaine de la physique, les phénomènes de forme quantique mentionnés ci-dessus sont purement et simplement des phénomènes quantiques.
En supposant au contraire un cadre de pensée non-réductionniste, il est possible et adéquat de décrire des caractéristiques cruciales de parties déterminées du monde, qu’elles soient physiques ou non-physiques, par un formalisme isomorphe à celui de la théorie quantique standard. Cet isomorphisme peut être total, ou plus vraisemblablement partiel ; de telle sorte que seuls certains traits particuliers du formalisme quantique sont réalisés dans un contexte non-physique.
5C’est une approche conforme à la troisième attitude de cette liste que nous allons développer, en l’appuyant sur la structure de la Théorie Quantique Faible1.
2. La théorie quantique et sa généralisation
2.1. Concepts-clés de la théorie quantique : Complémentarité et intrication
6La théorie quantique a révolutionné notre compréhension du monde physique sur un plan épistémologique aussi bien que scientifique. Elle a été développée durant la troisième décennie du vingtième siècle comme une théorie décrivant le comportement des systèmes atomiques. Par la suite, son domaine de validité s’est avéré beaucoup plus vaste que cela. La théorie quantique ne régit pas seulement les noyaux, et des particules élémentaires plus petites de sept ordres de grandeur que les systèmes atomiques ; elle décrit également avec succès des phénomènes macroscopiques comme la supraconductivité et la superfluidité, en permettant de les comprendre. La structure conceptuelle et les fondements axiomatiques de la théorie quantique ont montré qu’elle est une conséquence logique de quelques hypothèses simples et plausibles, et avant tout de l’hypothèse de non-commutativité des observables. Dans un tel cadre, la physique classique représente seulement un cas particulier : celui pour lequel toutes les observables commutent entre elles. Les fondements axiomatiques de la théorie quantique ont ainsi montré à quel point certains de ses concepts apparemment bizarres ont des racines profondes.
7Deux de ces notions de base de la théorie quantique qui apparaissent très différentes de ce que suggère notre compréhension classique de la nature, sont celles de complémentarité et d’intrication. L’une comme l’autre ont été introduites très tôt au cours du développement de la théorie, et une partie importante, pour ne pas dire l’essentiel, de l’enseignement conceptuel reçu de la théorie quantique, est due à leur signification très particulière.
8La complémentarité a été proposée par Bohr en 1927 [15] afin de souligner certaines caractéristiques cruciales de la théorie quantique (pour plus de détails on se réfèrera à [27, 33, 34]). Bohr a utilisé le concept de complémentarité pour indiquer un rapport entre des notions apparemment opposées voire contradictoires, qui doivent en fait être considérées en termes de relation de polarité. Des traits complémentaires s’excluent l’un l’autre, mais en même temps se complètent mutuellement pour fournir un accès complet au phénomène étudié. Un exemple physique bien connu est celui de la complémentarité d’observables non-commutatives, comme la position et la quantité de mouvement, qui implique à la fois une indétermination ontique et une incertitude épistémique. D’un autre point de vue, la complémentarité intervient à chaque fois que les propriétés d’un système requièrent une description non-booléenne, qui différe de la représentation booléenne classique.
9L’intrication, pour sa part, est formellement connectée la complémentarité. Elle caractérise en effet l’indécomposabilité d’un système dans un état pur en sous-systèmes eux-mêmes dans un état pur. Et cette indécomposabilité, à son tour, est liée la non-commutativité des observables locales (portant sur les sous-systèmes) avec des observables globales (portant sur le système dans son ensemble), autrement dit à la complémentarité de ces observables globales et locales. En un certain sens, on pourrait même dire que de tels sous-systèmes n’existent pas a priori dans le système complet qui, étant dans un état pur, peut se voir attribuer une valeur précise d’observables globales. Ils doivent être engendrés par des procédures (expérimentales) appropriées impliquant la mesure d’observables locales.
10L’indécomposabilité des systèmes intriqués a des conséquences qui ont été initialement signalées par Einstein, Podolsky et Rosen [19]. Quant au terme « intrication » qui la désigne (en anglais « entanglement », et en allemand « Verschrankung »), il a été forgé par Schrodinger en 1935 [43]. Les progrès théoriques dûs Bell [13] et les résultats expérimentaux dûs Aspect et al. [1] ont confirmé, au-delà de tout doute possible, le caractère intriqué (holistique) des systèmes quantiques, entraînant des corrélations dites non-locales entre leurs sous-systèmes. En dépit de nombreuses confusions dans l’esprit du grand public, il est cependant incorrect d’interpréter ces corrélations comme la conséquence d’interactions causales entre les sous-systèmes.
2.2. Pourquoi généraliser la théorie quantique ?
11Dès les premières années de la théorie quantique, Bohr (et d’autres auteurs) ont émis l’idée selon laquelle les notions de complémentarité et d’intrication pourraient avoir une signification et une importance majeure bien au-delà du domaine de la physique. Chez Bohr, cette idée été motivée par l’intérêt qu’il portait à des disciplines non-physiques, lesquelles ont historiquement attiré son attention vers le concept de complémentarité bien avant qu’il ne l’ait appliqué à la physique [23]. Parmi beaucoup d’autres exemples, en psychologie et dans d’autres domaines des sciences humaines et des sciences biologiques, Bohr entretenait une certaine familiarité avec des expériences sur la perception bi-stable de stimuli ambigus, par l’intermédiaire de son ami le psychologue Rubin [35]. Sa connaissance de tels faits psychologiques a joué un grand rôle dans la genèse complexe de la complémentarité en physique quantique, en plus de l’étude par Bohr des écrits philosophiques de Kierkegaard, Høffding et James. Bien que les meilleurs exemples formalisés paires complémentaires de notions soient fournis par les paires d’observables non-commutatives d’un système microscopique, Bohr a vite souligné que la signification de la complémentarité dépasse de beaucoup cette situation particulière. Il a souvent mis en valeur l’idée fondamentale d’une complémentarité qui serait due à une intrication holistique de la connaissance et de l’action. De même, remarquait ainsi Bohr, que la connaissance des systèmes microscopiques est intriquée avec l’action minimale que l’expérimentateur ne peut manquer d’exercer sur eux (par le biais de quanta d’action dont la borne inférieure est fixée par la valeur de la constante de Planck), la connaissance de faits psychologiques est intriquée avec l’action minimale que le sujet ne peut manquer d’exercer sur eux par l’introspection. De ce point de vue, la complémentarité au sens de Bohr renvoie à un élément-clé de la tradition pragmatiste, à savoir la relation réflexive entre l’expérience immédiate d’un objet et l’appréhension de son procédé actif d’objectivation [28].
12De toute évidence, couvrir une large gamme de phénomènes incluant des questions de psychologie et de philosophie, voire des thèmes d’expérience artistique et religieuse, par un cadre conceptuel comme celui de la physique quantique, est une tentative hautement problématique. Si l’on veut maintenir la rigueur d’une approche théorique de ces questions, on doit par conséquent se restreindre à des situations qui sont traitables sur un plan formel, même si c’est en un sens minimal pouvant être (nettement) plus faible que ce qu’on arrive à faire en physique. Cette idée de base a été pour la première fois mise en œuvre dans [10], et elle a conduit à formuler une structure mathématique axiomatisée qui préserve les éléments nécessaires aux notions de complémentarité et d’intrication, indépendamment de leur instanciation physique et des applications relevant de cette science. Les ingrédients principaux de cette structure, appelée la Théorie Quantique Faible, seront exposés dans la section suivante. Par la suite, on présentera deux exemples qui ont été traités dans une certaine mesure auparavant [10, 8] : (i) les traits spécifiques des systèmes dynamiques de traitement de l’information, où la théorie quantique faible est appliquée l’intérieur de la physique, mais au-delà de la physique quantique standard, et (ii) la perception bi-stable de stimuli ambigus, ou` la théorie quantique faible est appliquée la science cognitive, qui est extérieure à la physique.
3. Cadre axiomatique
3.1. La structure mathématique de la Théorie Quantique Faible
13Une exigence préliminaire pour toute description scientifique d’un système ∑, physique ou autre, est sa séparation à l’égard du reste de l’univers de discours. Un systéme ∑ est considéré comme une partie de la réalité au sens très général où il peut être objet d’attention et de recherche, même au-delà du domaine de la physique quantique, voire au-delà des limites définies par la notion de réalité matérielle. Bien qu’il soit souvent problématique d’isoler des parties de la réalité, la possibilité d’y parvenir, fut-ce approximativement, est un préalable indispensable pour tout acte d’observation. De plus, cette possibilité est implicitement admise dans le clivage épistémique entre sujets et objets de connaissance. Lors d’une étape ultérieure, un ensemble A d’observables et un ensemble Z d’états sont assignés chaque système ∑. Une observable est une propriété du système ∑ en tant qu’elle peut être étudiée dans un contexte expérimental donné. Des observables non-triviales doivent exister dans tous les cas ou` ∑ a suffisamment de structure interne pour être l’objet d’une étude signifiante. Par ailleurs, à chaque observable A doit être associé un ensemble specA de résultats possibles d’une étude de A. Et il doit au minimum être concevable que le système ∑ existe dans différents états. Ces derniers sont reflétés dans différents résultats de mesures associées aux observables de type A. La possibilité de différents états est indispensable pour discuter des critères de stabilité pour ∑, car pour parler de « stabilité » d’un même système, il faut que celui-ci maintienne son identité à travers des changements « mineurs » représentés par des changements d’état.
14En dehors de cette portée pouvant passer pour ontique, la notion d’état a aussi des aspects épistémiques, en ce sens qu’il reflète des degrés variés de connaissance sur l’état ontique présumé de ∑ [9]. De la même façon qu’en théorie quantique ordinaire, nous appelons « pur » un état qui encode une quantité maximale d’information au sujet de ∑.
15Dans ce qui suit, nous entreprenons de caractériser la structure générale de A et Z.
16La première propriété de A que nous formulons est :
17Axiome I. À chaque observable A ∊ A est associé un ensemble spec A, qui n’est autre que l’ensemble des résultats possibles d’une « mesure »de A.
18Les observables quantiques peuvent être identifiées à des fonctions A : Z → Z sur l’ensemble des états. Ce fait, qui souligne le caractère actif, opérationnel, des observations, peut être formulé ainsi :
19Axiome II. Les observables sont (identifiables à) des applications A : Z → Z, qui associent à tout état z un autre état A(z).
20L’axiome II implique que les observables peuvent être composées exactement de la même manière que des applications sur Z ; c’est-à-dire de telle sorte que l’application AB est définie comme celle qui ferait opérer B puis A. Nous supposerons :
21Axiome III. De même que A et B, AB est également une observable.
22Une conséquence directe de l’axiome III est l’associativité de la composition des observables :
23A (BC) = (AB) C (1)
24De plus, nous pouvons postuler :
25Axiome IV. Il existe une observable unité 1 telle que : 1A = A1 = A ∀ A ∊ A.
261 est l’opération sur Z qui ne change aucun état. Elle correspond à une proposition toujours vraie, autrement dit : spec1 = {vrai}.
27Les axiomes I–IV impliquent que l’ensemble des observables a la structure d’un monoïde, également appelé un semigroupe avec unité ou un magma associatif avec unité.
28Pour compléter le formalisme, nous avons également besoin d’un état zéro « impossible » z = o et d’une observablezéro 0 avec spec0 = {faux}, correspondant à une proposition toujours fausse :
29Axiome V. Il existe un état zéro o et une observable zéro 0 tels que
0(z) = o ∀ z ∊ Z, | |
A(o) = o ∀ A∊ A, | (2) |
A0 = 0A= 0 ∀ A ∊ A. |
30Dans le cadre généralisé de la Théorie Quantique Faible, il n’y a aucune place évidente pour l’addition des observables. Par conséquent, l’ensemble des états ne peut pas être supposé convexe comme dans la théorie quantique ordinaire. Cela est lié au fait qu’une interprétation probabiliste n’est pas immédiatement disponible en Théorie Quantique Faible, bien qu’elle puisse être surajoutée (comme on le verra ci-dessous).
31Par ailleurs, il n’y a pas de raison d’admettre la commutativité AB = BA, pour tout A, B ∊ A. On admettra donc qu’il y a aussi bien des paires d’observables commutatives (compatibles) que des paires d’observables non-commutatives (incompatible), selon que AB = BA ou AB ≠ BA. Cela implique que la structure de monoïde de A, aussi générale qu’elle soit, incorpore des notions de complémentarité et d’intrication comme traits essentiels. Ces traits appartiennent donc aussi bien à la Théorie Quantique Faible qu’à la théorie quantique standard.
32En plus de la structure définie par les axiomes I–V, nous introduisons dans l’ensemble des observables A, des propositions P qui jouent un rôle très particulier. Une proposition P ≠ 0 ; 1 est une observable dont la valeur est soit « vrai » soit « faux » :
33spec P= {vrai, faux} pour P≠ 0,1 (3)
34De plus, pour chaque proposition P, il doit y avoir une négation P̄, fournissant la valeur « vrai » si et seulement si P fournit la valeur « faux ».
35Voici quelques axiomes assez évidents supposés valoir pour les propositions :
36Axiome VIa.

37Pour deux propositions compatibles P1, P2, telles que P1P2 = P2P1, nous pouvons définir une conjonction
38P1 ∧ P2 = P2 ∧ P1 = P1P2 (5)
39et une disjonction

40avec les propriétes usuelles.
41P a la signification d’une « vérification » si elle obéit à l’axiome suivant :
42Axiome VIb. Si P(z) ≠ o, alors P(z) est un état dans lequel P est certainement vraie.
43Finalement, nous avons besoin d’un axiome qui remplace le théorème spectral de la théorie quantique ordinaire. Chaque observable A doit être équivalente à un ensemble de propositions mutuellement exclusives. Plus précisément, soit A une observable et supposons que α ∊ spec A. A dénote alors la proposition selon laquelle le résultat d’une mesure de A est α ∊ spec A. Dans ces conditions, nous avons :
44Axiome VIc.

45A et B sont compatibles si et seulement si Aα et Bβ sont compatibles pour tout α ∊ spec A et β ∊ spec B. général, des observables incompatibles n’ont pas des valeurs simultanément définies, et les états associés ne sont pas sans dispersion.
3.2. Comparaison avec la théorie quantique ordinaire
46Bien que la Théorie Quantique Faible définie par les axiomes I-VI soit considérablement plus générale que la théorie quantique ordinaire, l’une et l’autre partagent les deux caractéristiques suivantes :
L’incompatibilité et la complémentarité dérivent de la non commutativité du produit des observables, ce qui a pour corrélat que les états associés ne sont généralement pas sans dispersion ;
Des corrélations holistiques et l’intrication des états dérivent de l’incompatibilité des observables. En particulier, l’intrication des états se produit lorsque, pour un système composite, les observables portant sur le système dans sa totalité sont incompatibles avec les observables de ses sous-systèmes.
47Dans ce contexte, on doit souligner que la Théorie Quantique Faible fait référence à la description d’un système dans sa totalité. Toute identification de parties ou de sous-systèmes implique un choix spécifique de représentation en termes de monoïdes partiels. Ce choix reste ouvert dans le cadre général, où l’absence d’une structure d’espace vectoriel (et particulièrement d’une structure d’espace de Hilbert) implique qu’il n’y a pas de construction de produit tensoriel pour l’ensemble des observables d’un système composite. En général, nous pouvons seulement attendre :
48A ⊃ A1 x A2, Z ⊃ x Z1, x Z2, (8)
49A1 (Z1) ⊂ Z1, A2 (Z2) ⊂ Z2 : (9)
50Une remarque similaire peut être appliquée à la forme spécifique de l’évolution dynamique des (sous-)systèmes en Théorie Quantique Faible. La dynamique d’un système est généralement décrite par un (semi-)groupe d’endomorphismes à un paramètre. Le processus qui engendre les sous-systèmes (par exemple à travers une mesure), ainsi que la dynamique de sous-systèmes en interaction, dépend des détails du système considéré et de sa décomposition. En particulier, l’équation de Schrodinger de la théorie quantique ordinaire, à vocation universelle dans le domaine de la physique, n’est pas incluse dans la Théorie Quantique Faible. Plusieurs autres caractéristiques importantes de la théorie quantique ordinaire ne sont pas partagées par la Théorie Quantique Faible :
Il n’existe aucune quantité semblable à l’action de Planck h qui, en théorie quantique ordinaire, fournit une évaluation quantitative du degré de non-commutativité de deux observables données. Cela indique que, dans la théorie généralisée, la complémentarité et l’intrication ne sont pas restreintes à un degré particulier de non-commutativité.
La Théorie Quantique Faible n’inclut pas une représentation dans un espace de Hilbert. Dès lors, la compatibilité ou l’incompatibilité des observables ne peut pas être caractérisée termes d’existence ou d’inexistence de vecteurs propres communs. Par suite, la complémentarité ne peut pas être caractérisée comme degré maximal d’incompatibilité au sens où les observables n’auraient rigoureusement aucun vecteur propre en commun. Cependant, cette caractérisation peut être remplacée par la condition selon laquelle les observables maximalement incompatibles doivent engendrer l’ensemble complet des observables de la Théorie Quantique Faible.
Puisque la somme des observables n’est pas définie en Théorie Quantique Faible, on ne peut avoir ni une algèbre de Von Neumann d’observables, ni des relations d’incertitude de Heisenberg. Il n’y a pas d’ensemble convexe d’états, il n’y a pas de fonctionnelles linéaires de valeur moyenne, et il n’y a pas d’interprétation probabiliste (c’est-à-dire qu’il n’y a pas de règle de Born). Les distributions de probabilité sur des ensembles spec A n’ont pas lieu d’être, et ne sont de toutes façons pas calculables en Théorie Quantique Faible. De fait, le concept de probabilité ne peut que manquer lorsque une attribution de valeurs quantitatives aux observables d’un système est inappropriée ou impossible.
Il n’y a pas moyen de généraliser suffisamment les inégalités de Bell pour les confronter au cadre général de la Théorie Quantique Faible, et il n’y a pas lieu d’affirmer que la complémentarité et l’indétermination en Théorie Quantique Faible sont de nature ontique plutôt qu’épistémique. Au contraire, il y a tout lieu de s’attendre à ce qu’elles soient d’origine épistémique dans de nombreux cas ; par exemple qu’elles résultent d’une connaissance incomplète du système ou de perturbations incontrôlables par l’observation. Rappelons en effet qu’une interprétation ontique est justifiée lorsque l’état du système est sans dispersion. Lorsque l’état est dispersif, une interprétation ontique reste appropriée pour des états purs individuels. Par contre, si les états dispersifs sont des mélanges statistiques, l’interprétation appropriée est épistémique.
51Les axiomes I-VI peuvent être considérés comme des exigences minimales pour une théorie générale des observables et des états de systèmes manifestant complémentarité et intrication. Entre la Théorie Quantique Faible et la théorie quantique ordinaire, il existe donc des théories intermédiaires qui peuvent être obtenues en enrichissant par étapes le système axiomatique de la Théorie Quantique Faible. Commençons par discuter des enrichissements possibles de la proposition axiomatique VI. Une option évidente consiste à postuler que la conjonction et la disjonction de propositions sont également définies dans le cas moins intuitif où P1 et P2 sont incompatibles, de telle sorte que les propositions remplissent toujours les conditions de l’axiome VIa. De surcroît, il est naturel de postuler :
P1 ∧ (P1 ∨ P2) = (P1 ∨ P2) Λ P1 = P1, | (10) |
P1 ∨ (P1 ∧ P2) = (P1 ∧ P2) ∨ P1 = P1 Λ P2 . |
52La condition de distributivité plus forte :
P1 Λ (P2 ∨ P3 = (P1 Λ P2∨ (P1 Λ P3), | (11) |
P1 ∨ (P2 Λ P3 = (P1 _ P2) Λ (P1 ∨ P3), |
53n’est pas même satisfaite en théorie quantique ordinaire. Si tout sous-système propositionnel engendré par deux propositions compatibles telles que P1 Λ P2=P1 ainsi que leurs négations, est booléen, alors (modulo quelques complications techniques), le système propositionnel est déjà isomorphe à un système de projecteurs orthogonaux dans un espace de Hilbert [38, 47]. Cette propriété booléenne ne découle pas des axiomes I-VI.
54Pour une interprétation probabiliste des états, on ne perd pas grand chose à supposer que spec A ∊ C, car il est vraisemblable que l’ensemble des valeurs de A peut être mis en correspondance de manière bi-univoque avec les nombres complexes. Si l’on suppose cela, introduire une interprétation probabiliste revient à postuler pour chaque z ≠ 0 l’existence d’une fonctionnelle de valeur moyenne :

55avec :
56Ez(1) = 1. (13)
57L’existence d’une fonctionnelle de valeur moyenne a des conséquences importantes :
La somme des observables et le produit des observables par des nombres complexes peuvent désormais être définis en postulant :
58Ez (αA + βB) = α Ez (A) +βEz(B) (14)
59pour tout Ez.
La valeur moyenne Ez(A) d’une distribution de probabilité, doit obéir à des clauses de valeurs réelles et positives. Le seul moyen d’y parvenir est d’introduire une star-involution A → A* (A*A doit être également auto-adjointe si A and A*ne commutent pas), ce qui implique une C*-algèbre d’observables.
L’ensemble de toutes les fonctionnelles de valeur moyenne sera convexe, de telle sorte que des états purs peuvent être définis de la même manière qu’en théorie quantique.
60Pour la discussion d’applications concrètes, on doit s’attendre à devoir restreindre la pleine généralité de la Théorie Quantique Faible, de manière à formuler un niveau intermédiaire approprié entre les théories quantiques faible et ordinaire.
4. Applications choisies
61Les exemples que nous allons discuter dans les paragraphes suivants concernent :
62(i) l’évolution temporelle de systèmes dynamiques non-linéaires, et (ii) un modèle de bistabilité perceptive de stimuli ambigus, inspiré de l’effet Zénon quantique. Un traitement approprié de ces exemples exige certains détails qui ne sont pas inclus dans le cadre minimal de la Théorie Quantique Faible, tel que nous l’avons spécifié par les axiomes qui viennent d’être discutés. En particulier, la somme des observables est définie et une interprétation probabiliste est adoptée dans les deux exemples. La différence entre le traitement adopté pour les deux exemples et la théorie quantique ordinaire, se manifeste de la manière la plus claire par leur façon très spéciale de mettre en œuvre des observables non-commutatives. Alors qu’en théorie quantique ordinaire, le quantum d’action de Planck représente un commutateur universel d’observables canoniquement conjuguées, il n’en va pas ainsi pour les deux exemples considérés. Dans les systèmes dynamiques, la complémentarité est exprimée par un commutateur de différents types de générateurs de la dynamique, propre à chaque système : l’entropie dynamique. Quant à la situation cognitive choisie, elle est encore plus générale, en ce sens qu’aucun commutateur particulier n’a à y être spécifié.
4.1. La dynamique informationnelle
4.1.1. La complémentarité entre la dynamique de Liouville et la dynamique informationnelle
63En généralisant un travail récent de Misra et de ses collaborateurs [29, 30], on peut montrer qu’une description des systèmes chaotiques (y compris les K-systèmes) est associée une relation de commutation entre l’opérateur de Liouville L pour ces systèmes et un opérateur d’information M convenablement défini [11]. Comme d’habitude, la définition de L est donnée par :

64Où L agit sur des distributions ρ représentant les états d’un système dans un espace de probabilités (pas dans un espace de Hilbert). La dynamique du système est par conséquent caractérisée en termes d’un automorphisme, qu’on notera A.
65Le spectre continu de M dérive pour sa part de l’information dépendant de temps I(t), qui peut être acquise en mesurant des propriétés particulières d’un système au temps t et en effectuant une comparaison avec ses propriétés prédites :
66M ρ = I(t) ρ = (I(0) + Kt) ρ.(16)
67K est ici l’entropie de Kolmogorov-Sinai, un invariant dynamique statistique du système. Cette entropie est expérimentalement accessible à travers des algorithmes du type de ceux proposés par Grassberger et Procaccia [22]. On a K > 0, seulement pour des systèmes chaotiques avec une dynamique intrinsèquement instable.
68Dans une interprétation en termes informationnels [44], K caractérise la quantité d’information engendrée par le système par unité de temps, le long de ses variétés instables. Kt est donc l’information engendrée par le système après un intervalle de temps [0,t]. Ceci veut dire que la précision d’une anticipation diminue au fur et à mesure que l’événement à anticiper est plus éloignée dans le temps. Dans des cas simples, le commutateur de L et M est donné directement par le taux d’engendrement de l’information, c’est-à-dire par l’entropie de Kolmogorov-Sinai (voir la prochaine section, ainsi que [3] pour davantage de détails) :
69i[L,M] = K1. (17)
70Les deux opérateurs L and M commutent si le système considéré n’engendre pas d’information, par exemple s’il est intrinsèquement stable et que K = 0. Si K > 0, les descriptions dynamiques liées à L et M diffèrent quant à leurs prévisions de l’état futur du système. Il s’agit là d’une conséquence de l’incertitude croissante de l’état prévu du système au cours du temps. À chaque fois que K > 0, l’état ρ(t) d’un système ne peut pas être prévu avec autant de précision que celle avec laquelle les conditions initiales ont été mesurées, ou au moins fixées, à t = 0.
71La relation de commutation de L et M ressemble à des relations de commutation correspondantes en théorie quantique ordinaire, mais il existe aussi des différences. Tout d’abord, puisque K dépend fortement du système et des paramètres (autrement dit, puisque K est hautement contextuel), le « degré » de non-commutativité de L et de M n’est pas déterminé universellement. Cette situation diffère de celle de la mécanique quantique conventionnelle, où la valeur h de la constante de Planck est le commutateur universel. D’autre part, K est une quantité statistique spécifiant le flux moyen d’information dans les systèmes chaotiques, alors que h est une constante universelle non-statistique.
72En conséquence de l’équation (17), L et M représentent des modes complémentaires de description. On relèvera deux caractéristiques fondamentales de cette complémentarité. Premièrement, alors que L renvoie à une description globale du système pris comme un tout, M renvoie à une description relative à ses seules varietés instables. Deuxièmement, tandis qu’une description en termes de L est symétrique par renversement du temps (autrement dit est réversible), cette symétrie est brisée par une description en termes de M, impliquant ainsi une irréversibilité.
4.1.2. Partitions complémentaires et variétés non-hyperboliques
73La définition de M dépend de manière cruciale du choix d’une partition de l’espace des états. Puisque l’entropie de Kolmogorov-Sinai K est définie comme l’optimum de l’entropie dynamique H (P,A) par rapport à toutes les partitions possibles P, on a :

74Le choix approprié pour M est la partition qui maximise l’entropie dynamique. Cette partition est appelée une partition générative. Elle est définie de telle sorte que les limites entre ses cellules se voient associer une image les unes dans les autres, de telle sorte que les corrélations entre points intérieurs aux cellules soient maximisées et que les corrélations entre points de différentes cellules soient minimisées. Autrement dit, les états épistémiques définis par les cellules d’une partition générative sont stables sous la dynamique. Un exemple bien connu de partition générative est celui des partitions de Markov.
75Comme cela a été démontré récemment [12], des partitions différentes, et leurs descriptions associées, sont complémentaires, ou incompatibles, les unes par rapport aux autres, si elles ne sont pas génératives. Ce résultat formel montre comment des descriptions complémentaires de l’espace des états épistémiques peuvent être formulées, en dépit du fait que leur description ontique sous-jacente est purement classique, c’est-à-dire rigoureusement commutative.
76En vertu d’un théorème de Bowen [16], tous les systèmes hyperboliques ont des partitions génératives ; il existe même des possibilités de les construire explicitement (par exemple par des méthodes d’ombrage [21] ou d’analyse de gabarit [39]). Cependant, on ne connaît de partitions génératives que pour de rares systèmes spécifiques comme la fonction logistique ou la fonction de Hénon. Le fait fondamental qui distingue les systèmes hyperboliques est qu’ils peuvent être représentés en termes d’une somme directe E = Es ⊕ Eu de variétés stables et instables par rapport à un point fixe x :
77Es(x) = {y ℝm : fn(y) → x pour n → ∞ } (19)
78Eu(x) = {y ∊ ℝm : f-n(y) → x pour n → ∞ }. (20)
79Dans des systèmes hyperboliques, les trajectoires appartenant à Es et Eu ne peuvent se croiser que transversalement. Si un système n’est pas hyperbolique (par exemple dans le cas de tangences homoclines ou hétéroclines), des variétés stables et instables ne sont pas strictement séparables, mais intriquées, et une décomposition en somme directe est alors impossible. Trouver ou approximer des partitions génératives pour des systèmes non-hyperboliques est une tâche hautement non-triviale (voir [48]). Puisque la plupart des systèmes ayant un intérêt physique ou biologique sont (ou doivent être supposés être) non-hyperboliques, il s’agit là d’un sérieux obstacles à la définition d’états épistémiques robustes pour de tels systèmes. Un grand intérêt se manifeste donc pour ces problèmes, ainsi que d’autres problèmes connexes, et il reste beaucoup de domaines à explorer. On peut conjecturer que la complémentarité des partitions est essentiellement reliée une autre complémentarité plus fondamentale de variétés stables et instables dans les systèmes non-hyperboliques. Des applications pratiques de ce thème théorique peuvent être trouvées dans la discussion des niveaux émergents de description, esquissée dans [6]. Par exemple, les états cognitifs sont très souvent définis en termes de classes d’équivalence d’états neuronaux microscopiques [20], ce qui revient à utiliser une stratégie de partitionnement de l’espace d’états neuronaux sous-jacent. La partition est habituellement choisie sur la foi de sa plausibilité empirique. Mais la question de la robustesse des cellules résultantes, et, par suite, des états cognitifs qui leur sont associés, n’est habituellement pas soulevée. S’il est vrai que les systèmes biologiques sont génériquement non-hyperboliques, de telle sorte que les partitions génératives sont difficiles (voire impossibles) à obtenir, cela pourrait expliquer l’observation selon laquelle les descriptions psychologiques sont génériquement complémentaires, c’est-à-dire mutuellement incompatibles.
4.1.3. Logique non-booléenne de systèmes dynamiques
80Une interprétation générale des relations de commutation entre L et M en termes de propositions est parfaitement possible dans le cadre de la théorie des treillis. De manière analogue au travail de Birkhoff et von Neumann [14], qui a ouvert la voie à la logique non-booléenne de la théorie quantique, une telle interprétation éclaire les traits logiques fondamentaux des systèmes de traitement de l’information. En s’appuyant sur une idée Krueger [26], on a pu montrer que l’évolution temporelle des systèmes de traitement de l’information est gouvernée par une logique non-booléenne [4]. Plus précisément, le treillis propositionnel charactérisant cette logique est complémentée mais non distributive. Cette non-distributivité manifeste cependant une différence subtile mais importante avec la non-distributivité liée à la théorie quantique ordinaire. Un trait fondamental des treillis, en tant que structures mathématiques, est la dualité de leurs propriétés. Sur un plan formel, cela signifie que chaque proposition vraie est transformée en une autre proposition vraie par l’échange des opérations duales définies dans la théorie des treillis. Il en résulte que la différence entre la non-distributivité typique de la théorie quantique ordinaire et la non-distributivité liée aux systèmes de traitement de l’information rend précisément compte de cette dualité. Alors que la théorie quantique ordinaire comporte des relations de non-distributivité de la forme :
81a > (a Λ b) ∨ (a Λ b')
82Λ b > (b Λ a) ∨ (b Λ a') (21)
83(où a' est le complément de la proposition A, est b’ le complément de la proposition B), les systèmes de traitement de l’information satisfont à des relations de non-distributivité de la forme :
84a < (a Λ b) Λ (a Λ b')
85∨ b < (b Λ a) ∨ (b Λ a'). (22)
86Contrairement à (21), sa version duale (22) demande seulement que l’une des deux inégalités soit satisfaite. Une analyse détaillée [4] montre que ceci est effectivement crucial pour la non-distributivité des systèmes de traitement de l’information. Il est par conséquent possible de considérer la logique des systèmes quantiques ordinaires et celle des systèmes de traitement de l’information comme des aspects duaux d’une seule structure de treillis non-distributifs sous-jacente.
4.1.4. Un seuil d’ordre temporel dans la perception
87Il existe une relation intéressante entre (17), et une autre relation de commutation qui implique L et un opérateur temps T introduit par Misra et collaborateurs [29, 30] :
88i [L, T] = 1. (32)
89T est défini si K > 0. Dans la mesure où, par-delà son rôle d’opérateur d’évolution (comme dans (15)), L peut aussi être interprété comme une différence d’énergie due à Lρ = [H, ρ], pour un hamiltonien H, (23) indique une complémentarité entre l’énergie et le temps pour les systèmes chaotiques. Cela suggère l’idée d’une intrication temporelle pour ces systèmes. Cette intrication peut être interprétée comme une non-localité temporelle [31] liée découpage grossier (coarse graining) de l’espace des états (pour une discussion plus détaillée, on se reportera à [31]). Il faut souligner que cette non-localité est épistémique, et ne doit pas être confondue avec la non-localité ontique de la théorie quantique ordinaire.
90Il a été suggéré dans un récent article [7] d’appliquer ce genre d’intrication à des observations expérimentales portant sur la perception d’une séquence temporelle de stimuli présentés en succession. De nombreuses études de ce type (voir [41, 40]) révèlent l’existence d’une fenêtre temporelle dont la durée est d’environ 20 à 40 millisecondes, durant laquelle les stimuli individuels peuvent être discriminés sans que l’ordre de leur succession ne puisse être identifié correctement. La taille de cette fenêtre temporelle, représentant ce qu’il est convenu de nommer le seuil d’ordre, est indépendante de la modalité sensorielle mise en jeu. Certains auteurs ont suggéré qu’elle représente la durée d’un « maintenant » étendu, ou encore d’une unité de « présence » [41]. On peut la considérer comme un exemple cognitif de non-localité temporelle, ou de holisme temporel.
91Puisqu’il y existe de nombreux arguments à l’appui de la thèse que bien des processus cérébraux sont chaotiques [46], leur entropie de Kolmogorov-Sinai K est positive, et il est tentant d’interpréter l’inverse de K comme durée d’un seuil d’ordre. Un scénario de « doubles fentes d’Young temporelles » a ainsi été proposé [7] sur la base de la complémentarité de L et T indiquée dans (23), où L correspond soit à une différence d’énergie, soit, de manière équivalente, à une différence de fréquence Δν. Si l’on prend en considération la remarquable coïncidence numérique entre Δt ≈ 30 msec pour le seuil d’ordre et Δν ≈ 40 Hz pour la bande-γ d’oscillations neuronales (en termes d’une relation d’incertitude temps-énergie ou temps-fréquence généralisée), cela conduit à faire une intéressante prévision empirique. Selon cette relation d’incertitude, la distribution expérimentale des valeurs de Δt devrait varier de manière bien définie si la distribution de Δν dans la bande-γ de fréquences est modifiée. De nouveaux travaux expérimentaux sont requis afin de tester cette prévision.
92Mais une autre application de la théorie quantique faible aux processus psycho-cognitifs a dores et déjà été confirmée expérimentalement, et c’est elle que nous allons décrire dans la prochaine section.
4.2. Le modèle de Zénon-Necker
4.2.1. Perception bistable de stimuli ambigus
93La bistabilité perceptive se manifeste à chaque fois qu’un stimulus peut être interprété de deux manières distinctes avec un degré presque égal de plausibilité. Un exemple très simple et souvent étudié de bistabilité perceptive est la figure appelée « cube de Necker » [24]. La grille des arêtes d’un cube en représentation bidimensionnelle peut être perçue comme un objet tridimensionnel suivant deux perspectives distinctes : soit comme un cube vu du dessus, soit comme un cube vu du dessous. La perception du cube de Necker bascule sans cesse entre ces deux représentations possibles ; et si le basculement peut être imposé volontairement, il est dans la plupart des cas à la fois spontané et inévitable.
94Nous avons proposé récemment [8] de décrire la perception bistable à l’aide du formalisme d’un système quantique à deux états, dans lequel les deux états de base correspondent aux deux façons différentes de représenter le stimulus. La « mesure » est assimilée au processus mental déterminant de quelle manière la figure est perçue. Le basculement entre les deux perceptions différentes correspond aux transitions entre les deux états, qui sont des états propres de l’opérateur représentant une perception particulière, et sont instables à travers l’évolution temporelle du système. Une telle description de la perception bistable met en œuvre une version non-minimale de la Théorie Quantique Faible, comprenant une structure linéaire et un espace des états linéaire et bidimensionnel. Cette version est assez proche de la structure de la théorie quantique complète utilisée en physique. Cela n’implique cependant en rien de considérer la bistabilité perceptive comme un phénomène quantique au sens où les processus cérébraux concernés seraient des processus quantiques ordinaires (on trouvera une description de ce genre d’approches dans [5]). Au lieu de cela, nous discuterons du comportement de type quantique de la bistabilité perceptive en tant que résultat de la simplification d’un système extrêmement compliqué en un système à deux états, dans lequel l’effet d’une multitude de variables non-contrôlées et d’influences est pris en compte de manière globale. Dans ce but, nous allons considérer un système décrit par un espace d’états linéaire, engendré par deux états de base ψ1 and ψ2 dont aucun n’est un état propre de l’Hamiltonien H qui engendre la matrice d’évolution U(t) = eiHt. Si le système est initialement dans l’état ψ1 et qu’il est autorisé à évoluer librement selon U(t), son état va osciller entre ψ1 et ψ2. Cette oscillation peut être ralentie en augmentant la fréquence à laquelle le système est mesuré dans le but de savoir s’il est demeuré dans son état initial. En passant à la limite d’une mesure continue, incessante, l’évolution du système peut être complètement bloquée. En mécanique quantique standard, ce phénomène est connu sous le nom d’« effet Zénon quantique ». Sa possible signification cognitive a été mentionnée antérieurement par Ruhnau [42] ainsi que par Stapp [45]. Des applications concrètes et quantitatives de cet effet pour des systèmes cognitifs ont été proposés pour la première fois par [8].
4.2.2. La complémentarité de l’observation et de la dynamique
95L’effet Zénon2 quantique a initialement été présenté comme un « paradoxe » par Misra et Sudarshan [32] qui l’ont appliqué à la désexcitation de systèmes quantiques instables. Sa signification essentielle est que l’observation répétée de tels systèmes ralentit l’évolution temporelle qu’ils subiraient en l’absence d’observation. Un exemple de ce genre d’effet serait le ralentissement du taux de désintégration radioactive pour des atomes instables soumis à une observation réitérée. Le proverbe « une casserole que l’on regarde ne bout jamais » illustre métaphoriquement ce comportement dans la limite d’une observation continue.
96La situation que l’on traitera dans ce qui suit concerne un système quantique oscillant entre deux états non-stationnaires. Dans ce but, considérons un système à deux états dotés des propriétés suivantes (sachant que les résultats obtenus s’appliqueraient également à des systèmes plus généraux à deux niveaux) :
Une observation est représentée par un opérateur :

97Immédiatement après une observation, le système se trouvera dans l’un des états propres correspondants :

les deux états propres σ3 peuvent aussi être représentés par leurs opérateurs de projection :

Sans aucune perte de généralité, l’opérateur Hamiltonien qui induit des transitions dans le système peut s’écrire :

98Où g est une constante de couplage. Par conséquent, l’opérateur unitaire d’évolution temporelle est représenté par :

99Notons que σ1 et σ3 ne commutent pas, ce qui justifie l’application du cadre de la Théorie Quantique Faible, puisque l’observation et la dynamique sont complémentaires.
Dans ce modèle, Δ T définit l’intervalle de temps entre deux observations successives, et T définit l’échelle de temps caractéristique après laquelle l’état a changé avec une probabilité égale à 50 %. On suppose par ailleurs que T∣ΔT = N >> 1. L’interprétation cognitive de ΔT et de T sera discutée dans la section suivante.
100Les quantités expérimentalement accessibles ΔT et T peuvent être reliées au temps d’évolution spontanée du système, obtenu sous la condition hypothétique qui serait réalisée si aucune observation n’était accomplie [8]. Dans ce dernier cas empiriquement irréalisable, l’évolution temporelle est exclusivement décrite par U(t), et l’état du système oscille entre les deux états propres ∣+〉 et |–〉 avec des périodes t0. Ceci permet d’établir une première expression de la constante g, en fonction du temps d’oscillation spontané t0. Une seconde expression de la constante g peut par ailleurs être établie en évaluant le temps d’évolution du système lorsqu’il est soumis à des observations à intervalles ΔT. Comme on l’a montré dans [8], en égalant ces deux expressions de la constante g, le modèle de Necker-Zenon prédit alors que ces trois échelles de temps sont reliées par :

101La dérivation de cette relation dépend de deux choix arbitraires : T est une valeur moyenne déterminée partir de la condition que la probabilité d’inversion de l’état est 1/2, et t0est déterminé à partir de la condition que l’état oscillant est une superposition linéaire des états propres de l’observables σ3, avec des coefficients égaux. Ce choix n’a d’ailleurs qu’une importance secondaire, car, même si les conditions choisies sont modifiées, le résultat général reste inchangé.
102Les deux prévisions suivantes s’ensuivent :
Aussi longtemps que l’intervalle de temps ΔT entre deux observations n’est pas nul, les états basculeront spontanément de l’un à l’autre après une durée moyenne T longue par rapport à la fois à ΔT et à t0.
La relation entre les échelles de temps T, ΔT et t0 est donnée par (29).
4.2.3. Échelles de temps cognitives
103Afin d’attribuer un sens aux échelles temporelles T,ΔT et t0en termes de processus associés la bistabilité perceptive, des échelles de temps cognitives correspondantes ont été identifiées. Ainsi que nous l’avons discuté en détail dans [8], il existe des options naturelles pour l’identification des échelles de temps cognitives. Une structure assez invariante lors de la perception de stimuli ambigus est le taux d’inversion de la forme perc¸ue, qui s’avère remarquablement stable d’un sujet à l’autre. Ce taux correspond à un « temps moyen de première transition » compris entre 1 et 15 secondes. On a découvert que la durée après laquelle l’orientation de la figure perc¸ue s’inverse spontanément chez les sujets soumis à un stimulus de type « cube de Necker » est distribuée selon une loi Gamma, autour d’un maximum situé vers 3 secondes [18]. De récents résultats favorisent, il est vrai, des distributions statistiques alternatives, mais toujours aux environs de 3 secondes [17]. Cette échelle de temps peut être considérée comme identique à la période d’oscillation T, étalée cause des observations. Son ubiquité et sa signification fondamentale (voir [8] pour d’autres exemples) suggère que la valeur T ≈ 3 sec est également importante pour quantité de processus cognitifs, y compris en dehors du cas de la perception bistable de stimuli ambigus.
104Par ailleurs, il est difficile d’obtenir une estimation raisonnable du temps entre deux observations au sens de l’effet Zénon quantique, ΔT, partir de la phénoménologie de la bistabilité perceptive. L’estimation doit cependant satisfaire à une condition majeure : le système perceptif doit pouvoir assigner une séquence temporelle à des événements successifs, c’est-à-dire à des observations successives. De ce point de vue, le seuil d’ordre dans la perception des stimuli séquentiels [41, 40] est hautement significatif. Ainsi qu’on l’a signalé plus haut, l’ordre séquentiel de stimuli se succédant avec un intervalle temporel plus petit qu’environ 30 millisecondes ne peut pas être reconnu par un sujet humain. Cela suggère de considérer le seuil d’ordre comme une borne inférieure universelle pour le temps ΔT entre des observations successives, et de l’introduire en tant que tel dans le modèle d’effet Necker-Zénon. Des observations séparées par un intervalle temporel plus petit que cela ne peuvent en effet même pas être ordonnées. Le fait que le seuil d’ordre soit indépendant de la modalité sensorielle considérée, et sa signification fondamentale pour le problème de la liaison des divers actes mentaux, par-delà de mode d’opération modulaire du cerveau, accroît encore la plausibilité de cette suggestion.
105Enfin, le sens de t0 est celui d’une période d’oscillation du processus de transition sous l’hypothèse qu’aucune observation ne se trouve effectuée. Autrement dit, dans ce cas, l’évolution du système est seulement gouvernée par U(t). Selon (29), l’observation aboutit à une augmentation du temps d’oscillation effectif, de t0 à T ≈ t02/ΔT. Avec T ≈ 3 secondes et ΔT ≳ 30 millisecondes, cela aboutit à t0 ≳ 300 millisecondes. Sous l’influence d’observations séparées par un intervalle de temps égal à 30 millisecondes, la période d’oscillation spon-tanée, égale à 300 millisecondes, se trouve donc augmentée jusqu’à atteindre une période d’oscillation de 3 secondes. L’ordre de grandeur le plus souvent évoqué comme étant le temps nécessaire pour qu’un stimulus devienne perc¸u consciemment correspond à quelques centaines de millisecondes (c’est le cas de l’onde P300 dans les potentiels électro-encéphalographiques liés l’occurrence d’événements). à la différence de T, qui représente le « temps de vie » (ou le temps moyen de premier passage) de chacune des représentations perceptives, t0 peut être considéré comme le temps de relaxation vers chacune des repré sentations. Ce dernier est bien plus court que le temps de vie de chaque représentation indiqué par le modèle de Necker-Zénon. En l’absence d’effet Zénon, le temps de vie T serait identique au temps de transition t0.
4.2.4. Résultats expérimentaux
106On a observé que le temps de vie T pour la perception bistable du cube de Necker change considérablement lorsque le stimulus est présenté de manière discontinue [36]. Des combinaisons particulières des durées de présentation et de masquage du stimulus conduisent a des modifications sensibles de T. récents résultats [24] montrent que T dépend essentiellement des durées de masquage, plutôt que des durées de présentation du stimulus. T est maximale pour des longues durées de masquage du stimulus (de l’ordre d’une seconde). De longues durées de masquage du stimulus accroissent manifestement l’intervalle à la suite duquel une inversion du cube de Necker devient possible. Du point de vue théorique qui a été esquissé plus haut, une présentation discontinue du cube de Necker avec de longues durées de masquage altère l’Hamiltonien du système, ce qui conduit à une augmentation du temps d’oscillation effectif t0. Plus précisément, l’argument vaut si les durées de masquage sont plus grandes que le temps t0 correspondant à une présentation continue (autrement dit à un temps de masquage tendant vers zéro). Pour une présentation non-continue, des temps de masquage plus ou moins longs peuvent par conséquent être utilisés pour « simuler » une variation de t0, d’une manière expérimentalement bien contrôlée. Pour une telle situation, la figure 1 montre des résultats expérimentaux issus de [24, 36] concernant la variation T en fonction de t0(T = f(t0)). Ces résultats expérimentaux sont comparés une courbe théorique correspondant à l’équation (29), avec ΔT = 70 millisecondes. La courbe théorique est remarquablement conforme aux résultats expérimentaux. Si l’on utilise ΔT = 70 millisecondes pour estimer le temps t0 correspondant à une présentation continue du stimulus, on obtient t0 ≈ 460 millisecondes.

Figure 1: Temps de vie expérimentaux T pour la perception bistable d’un cube de Necker présenté non-continûment. Les données représentés par des croix proviennent de [24] : à chaque valeur t0 du temps de masquage du stimulus, T est porté (avec sa barre d’erreur) pour trois temps de présentation du stimulus, respectivement égaux à 0.05 seconde, 0.1 seconde, and 0.4 seconde. Les données représentés par des carrés proviennent de [36], pour un temps de présentation du stimulus égal à 0.3 seconde (l’erreur n’est pas indiquée dans [36]). La courbe tracée sur le graphique décrit T comme une fonction des temps de masquage t0 conformément à (29), avec ΔT - 70 msec.
107Pour des temps de masquage inférieurs à 300 millisecondes, T recommence à croître avec les temps de masquage décroissants. Ce phénomène peut se comprendre comme conséquence de la dynamique non-perturbée U(t) du modèle, pour laquelle aucun effet Zénon n’intervient. Des résultats empiriques récents pour des temps de masquage inférieurs à 300 millisecondes, s’accordent avec les prévisions théoriques correspondantes [25]. De plus, on peut dériver théoriquement la distribution statistique de T (à savoir une distribution conforme à la loi Gamma), à condition de choisir convenablement le comportement initial transitoire de U(t) après chaque observation [25].
108Dès lors que la distribution statistique des valeurs de T peut varier assez considérablement d’un individu à l’autre, il serait intéressant de voir si cela correspond ou non à une variation corrélative de ΔT. Une augmentation énorme des valeurs de T d’un facteur proche de 1000 ont été récemment décrites pour des moines Tibetains pris comme sujets d’expérience [37]. Il est cependant évident que les changements associés de ΔT sont beaucoup plus difficiles à mesurer, et qu’aucune donnée de type n’est disponible actuellement.
109Remarquons enfin que la Théorie Quantique Faible ouvre la possibilité de superpositions linéaires des états propres ∣+〉 et |–〉. On peut imaginer que ce genre de superposition est un bon candidat pour servir de modèle à des états cognitifs intermédiaires, qui ne se réduisent à aucune des deux représentations catégorielles du cube de Necker. Dans la perspective des systèmes dynamiques, de tels états sont intrinsèquement instables. Ils ont été qualifiés d’« acatégoriaux » [2]. Des travaux ultérieurs seront nécessaires pour préciser cette idée.
5. Conclusion récapitulative
110La première partie de cet article nous a permis d’esquisser la formulation de la Théorie Quantique Faible proposée initialement dans [10]. Cette théorie a été motivée par le besoin de trouver un cadre formel pour les concepts de complémentarité, de superposition, et d’intrication non seulement dans le domaine de la physique quantique standard, mais aussi dans des contextes beaucoup plus généraux. La Théorie Quantique Faible est fondée sur un ensemble minimal d’axiomes définissant la structure mathématique d’un monoïde. La condition-clé pour la complémentarité et l’intrication dans ce cadre général n’est autre que la non-commutativité des observables. La théorie quantique ordinaire peut être retrouvée partir de la Théorie Quantique Faible en introduisant des axiomes, des restrictions, et des spécifications supplémentaires. Ainsi, la version minimale de la Théorie Quantique Faible ne fournit aucune algèbre de Von Neumann, et n’inclut aucune représentation dans un espace de Hilbert. Il n’y a ni équation de Schrödinger pour la dynamique, ni règle de Born pour l’interprétation probabiliste des vecteurs d’état. En général, par ailleurs, la non-commutativité des observables n’a pas d’échelle quantitative fixée par la constante de Planck, la variance des observables n’est pas fournie par les relations d’incertitude de Heisenberg, et il est impossible de formuler des inégalités du type de celles de Bell. La Théorie Quantique Faible est applicable aux deux niveaux, ontique et épistémique, de discussion.
111Dans la seconde partie de l’article, deux applications de la Théorie Quantique Faible ont été présentées, afin de montrer la viabilité et la fécondité de la Théorie Quantique Faible. Ces applications concernent (i) les types complémentaires de descriptions dynamiques de systèmes dynamiques classiques, et (ii) la perception bistable de stimuli ambigus. les exemples traités sont fondés sur des niveaux différents de généralisation intermédiaires entre la théorie quantique ordinaire et la Théorie Quantique Faible, selon le nombre et le type de restrictions ajoutées au cadre formel minimal. La principale différence formelle entre les deux exemples peut être exprimée par le commutateur (supposé à chaque fois non-nul) des opérateurs introduits. Dans l’exemple (i), le commutateur est spécifique au système plutôt qu’universel ; et dans l’exemple (ii), aucun commutateur quantitativement précis n’est spécifié. Les deux exemples dépendent fortement de concepts probabilistes (ce qui va au-delà du cadre formel minimal), et ils font référence à une interprétation épistémique plutôt qu’ontique.
112Les deux applications de la Théorie Quantique Faible ont été suffisamment développées pour pouvoir être comparées à des résutats expérimentaux. Dans l’exemple (i), la quantité-clé pour la comparaison est la valeur empiriquement accessible de l’entropie de Kolmogorov-Sinai pour les systèmes dynamiques classiques. Elle spécifie le degré de non-commutativité de différentes descriptions dynamiques si la partition sous-jacente de l’espace des états est capable de l’engendrer. Si ce n’est pas le cas, les partitions elles-mêmes sont complémentaires. On souligne alors la relation entre des descriptions complémentaires et une logique non-booléenne pour des systèmes dynamiques. Enfin, on indique la manière dont les opérateurs non-commutatifs des systèmes dynamiques classiques peuvent impliquer une version temporelle de l’intrication. Dans l’exemple (ii), un modèle de Necker-Zénon pour la bistabilité perceptive est présenté en tant que généralisation de l’effet Zénon quantique. Ce modèle est fondé sur la complémentarité d’un processus cognitif élémentaire d’observation et sur le processus de basculement entre les différentes représentations d’un stimulus ambigu. Le processus de basculement est décrit comme une oscillation entre deux états instables sous l’effet de la dynamique mise en jeu, dans un cas où il y a complémentarité entre la dynamique et l’acte d’observation. Le modèle fournit une relation quantitative entre trois échelles de temps cognitives très différentes, de l’ordre de quelque dizaines de millisecondes, de quelques centaines de millisecondes, et de quelques secondes. Les résultats expérimentaux disponibles s’accordent avec cette prévision théorique. Les superpositions linéaires d’états correspondant à des représentations perceptives distinctes sont proposées, en fin de parcours, comme un bon modèle théorique pour des états cognitifs intermédaires.
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10.1142/S0218127403008636 :Notes de bas de page
1 Le texte traduit a été publié dans : American Institute of Physics Conference Proceedings, 810, 34-46, 2006. La seconde partie de ce résumé introductif a cependant été empruntée un autre article des meˆmes auteurs : « Quantum Zeno Features of Bistable Perception », Biological Cybernetics, 90, 33-40, 2004. Elle a en effet l’intérêt de clarifier d’emblée la position épistémologique des auteurs au sujet du rapport physique/sciences humaines.
2 Le philosophe grec Zénon d’Elée a proposé une antinomie que l’on peut décrire ainsi : « Aussi longtemps qu’une chose est dans un espace égal à ses propres dimensions, elle est au repos. Une flèche est dans un espace égal à ses propres dimensions à chaque moment de son parcours, et donc le long de la totalité de son parcours. Par conséquent, la flèche lancée est au repos » (Voir Aristote, Physique VI, 9, 239 b5). Le rapport de cette antinomie avec l’effet qui nous intéresse ici est assez évident : en situant l’objet en mouvement à chaque instant, on l’immobilise.
Auteurs
Institute for Frontier Areas of Psychology and Mental Health, Wilhelmstr. 3a, 79098 Freiburg, Germany
Parmenides Foundation, Via Mellini 26-28, 57031 Capoliveri, Italy
Institute of Physics, University of Freiburg, Hermann-Herder-Str. 3, 79104 Freiburg, Germany
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