L’événement du marché ou la nécessité de l’ascension méta-contextuelle
p. 57-102
Texte intégral
1. Le « phénomène » du marché des produits dérivés
1Dans ce qui suit, je vais principalement m’occuper du « problème de pricing des produits dérivés »1. Dans un premier temps, je serai ainsi amené à poser les éléments indispensables à la compréhension de la théorie du pricing, celle qui ne pose aucun problème et qui est enseignée dans les manuels de finance des marchés, puis je poursuivrai ma réflexion jusqu’à atteindre la limite de la théorie et dire alors ce qui, dans sa confrontation avec le phénomène, lui posera essentiellement un problème de non-clôture. Les termes de « problème » et de « non-clôture » évoquent évidemment le « problème de la mesure en mécanique quantique » et la fameuse « non-clôture de son cercle épistémologique »2. Cela dit, le parallèle j’ai l’intention d’établir entre la théorie quantique et le pricing des produits dérivés ne s’arrêtera pas à ces simples analogies verbales. Disons qu’une généralisation, ou plutôt, un dépassement de la notion de probabilité aura lieu dans le pricing des produits dérivés, de même qu’il avait eu lieu en théorie quantique et qu’il nous avait enseigné que cette dernière n’était pas seulement une théorie physique utilisant les probabilités de manière irréductible, mais une théorie prédictive méta-contextuelle3.
2C’est-à-dire que nous aurons également à considérer, en théorie du pricing des produits dérivés, des algèbres booléennes classiques où la gamme des possibles sera supposée donnée et fixée le calcul des probabilités s’appliquera pour nous donner la valeur théorique des produits dérivés, mais que le phénomène « physique » qui nous intéresse, et qui nous amène à développer cette théorie pour commencer, ne pourra pas s’expliquer, quant à lui, ni même arriver à s’exprimer, au simple niveau de ce calcul classique. De même que le phénomène quantique (quantification et interférence des probabilités) ne pouvait s’interpréter qu’au niveau méta-contextuel où l’on comprenait que le vecteur d’onde était un outil prédictif plus général qu’une simple distribution de probabilités et qu’il permettait d’articuler, non seulement des « états du monde » (des possibles) différents, mais des gammes entières d’états du monde dont les contextes de manifestation pouvaient être incompatibles, de même, le phénomène du marché des produits dérivés – ce qui se passe dans le marché des produits dérivés – ne pourra être interprété (et même, on le verra, défini) que si on s’élève au-dessus des algèbres booléennes classiques et qu’on articule ce phénomène au niveau méta-contextuel.
3Une différence fondamentale entre la théorie quantique et le pricing des produits dérivés mérite, toutefois, d’être signalée dès à présent, et c’est pourquoi le parallèle ne sera pas vraiment un parallèle mais il sera ce que j’appellerai une « variation » (sur le même thème philosophique, si l’on veut). Dans cette variation, ce n’est pas le formalisme de la théorie quantique en tant que tel que je retiendrai (comme si le marché des produits dérivés allait nous offrir une situation prédictive comparable à celle de la mécanique quantique), mais les conséquences philosophiques de ce formalisme, ou plutôt, le « contexte » philosophique où l’on doit préalablement se placer pour philosopher sur la théorie quantique, au vu de son formalisme. Par exemple, le marché des produits dérivés n’offrira pas une statistique expérimentale violant les inégalités de Bell. Il n’offrira pas un phénomène expérimental tel que quiconque voudrait l’expliquer à l’aide d’une théorie à variables cachées se verrait obligé, par exemple, d’embrasser la non-localité ou le contextualisme. Il n’y aura même pas de « phénomène expérimental » dans le marché des produits dérivés qui se puisse définir au sens d’une science dure. Ce qui sera phénoménal dans le marché, ce n’est pas une collection de faits observés (par exemple les séries temporelles des prix des actifs qui y sont traités) qu’il faudra, par exemple, chercher à reproduire avec un générateur à probabilités classiques ou, à défaut, non classiques, mais la façon elle-même dont le praticien du marché (et par là, j’entends le trader4 immergé dans le marché) ira au phénomène et créera la phénomène.
4Je veux dire par là que c’est l’utilisateur lui-même de la théorie de pricing, le trader, qui se placera au niveau méta-contextuel. Ce qu’il a l’intention de faire dans le marché, ce qu’il est là pour faire – lesquels faits et gestes auront pour conséquence que le marché lui-même prendra là son sens et nous donnera le phénomène du marché –, cela, en soi, ne pourra s’articuler que dans la perspective méta-contextuelle.
2. La nécessité de la perspective méta-contextuelle
5Au risque d’anticiper sur ma conclusion, je dirai que le marché – c’est-à-dire la raison pour laquelle le trader est là pour commencer et ce qu’il va, à partir de là, faire (ce qui, en passant, vous donne déjà une idée de la façon dont le trader et le marché seront, à mon sens, co-fondés) – sera défini comme le processus de changement de contextes incompatibles. Si je parle alors d’un dépassement obligatoire des probabilités, c’est parce que ce processus stochastique de changement des contextes ne pourra pas lui-même – par sa définition même – être cadré dans une gamme donnée de contextes possibles (une sorte de « contexte de tous les contextes ») parmi lesquels il « choisira », au cours de son évolution temporelle, les contextes qui auront lieu. Car ce contexte des contextes serait, dans ce cas, lui-même un contexte parmi les autres, et à ce titre, susceptible d’être changé par l’action – et la définition même – du marché.
6Un autre parallèle avec l’attitude philosophique vis-à-vis de la théorie quantique est que, pas plus dans le pricing des produits dérivés qu’en théorie quantique, on ne pourra inférer la perspective méta-contextuelle à partir du phénomène observable5. Déjà qu’il n’existe pas, à proprement parler, un phénomène du marché des produits dérivés qui serait indépendant du trader faiseur de marché (à la différence du phénomène quantique – statistiques de l’expérience d’Alain Aspect, phénomène d’interférence des fentes d’Young, etc. – qui appartient en propre à la réalité empirique, quant à lui). Toujours est-il qu’ici comme là-bas, il faudra, au contraire, partir du niveau méta-contextuel (où l’on reconnaîtra qu’il est permis de parler, en plus des possibilités présentées au sein d’un contexte donné, de la possibilité tout entière qu’il puisse exister des contextes incompatibles à travers lesquels la prédiction, ou la vision, ou simplement le discours, devront s’articuler) pour pouvoir, seulement alors, déduire le caractère étrange du phénomène.
7Remarquons toutefois que la « nécessité » du niveau méta-contextuel ne s’impose à nous, en théorie quantique, qu’en raison de sa possibilité. C’est seulement parce qu’on réalise que l’objectivité au sens classique (celle où les objets sont d’ordinaire posés en face du sujet et le contexte est passé sous silence) n’est pas la plus générale possible, et qu’il pourrait se présenter une situation, non plus descriptive (bien entendu) mais essentiellement prédictive, où la généralité nous imposerait une perspective méta-contextuelle, c’est seulement parce qu’on conçoit la possibilité d’une telle situation qu’on se demande si tel ne pourrait pas être « par hasard » le cas dans la physique des particules élémentaires, et que, essayant cette hypothèse, on reconstruit alors le formalisme quantique et on déduit la quantification et les statistiques non classiques6. En revanche, et bien que, je le répète, la perspective méta-contextuelle ne puisse pas être non plus déduite des phénomènes observables du marché des produits dérivés (la série temporelle des prix), sa nécessité s’y imposera à nous par ce que j’ai appelé le phénomène du marché, par l’« être » même du marché7. C’est parce qu’on ne pourra faire sens du marché (dire ce que le marché est, définitive) qu’à la condition d’articuler ce sens au niveau méta-contextuel et c’est parce c’est un fait que le marché existe et qu’il nous interpelle au-delà de ses conséquences observables que la nécessité de la perspective méta-contextuelle me semble être très forte, dans la philosophie du marché des produits dérivés.
3. Le marché, lieu d’échange et non de prédiction
8Ce n’est plus uniquement une épistémologie qui se joue là (théorie des prédictions, cercle de la connaissance), mais la question entière de l’être du marché8. Je répète que le marché n’est pas une réalité empirique mais « humaine » (certes, les séries temporelles de prix sont réelles et empiriques, mais ce ne sont pas ces séries, aliment quotidien de l’économétricien, qui font le marché) et je reconnais, par conséquent, que le marché ne sera jamais en définitive que ce que je décide moi-même de baptiser ainsi (la nécessité de la perspective méta-contextuelle finissant ainsi par apparaître comme un effet purement rhétorique) ; je reconnais que toutes ces nuances philosophiques nous éloignent d’autant de notre projet initial de « trouver » la théorie quantique dans les sciences humaines existantes et établies, mais je dirai que c’est là la destinée (la fatalité) philosophique de mon sujet. En effet, voilà une situation où la nécessité de réfléchir au marché à un certain niveau philosophique nous impose de définir le marché lui-même et le phénomène lui-même comme ce qu’il faut pour que cela soit possible. (Et pourquoi cette nécessité-là ? À cause de la conviction intime que le marché mérite ce niveau de réflexion ? Et parce qu’il nous offre alors l’opportunité, unique en son genre, non seulement de créer une « science » nouvelle, mais de la créer en même temps que sa philosophie et à travers cette philosophie même ?)
9Ainsi, ce n’est pas une situation prédictive que je voudrai décrire ou reproduire, dans le marché des produits dérivés, et ce n’est pas par le biais de la prédiction que le passage au niveau méta-contextuel aura lieu. Mais il sera nécessité, comme je l’ai déjà indiqué, par l’enjeu du marché tout entier, par l’événement du marché lui-même. Il n’y a rien à prédire dans le marché, y seulement à faire. On n’y parlera pas d’outil de prédiction, mais d’outil de pricing. Et cet outil utilisera intrinsèquement les probabilités pour donner un prix présent aux produits dérivés, non pas pour prédire leur prix futur.
10C’est la notion de « prix » qui est ici la notion clé. C’est elle notre réalité « empirique » et notre pivot. Réalité singulière qui jouera à la fois – là se tiendra le paradoxe – les rôles d’un résultat et d’une donnée pour la théorie de pricing des produits dérivés. Autant le prix d’une chose reflète les anticipations que l’on peut avoir sur sa valeur, et est par conséquent tourné vers le futur, autant il est fait avant tout pour traiter9 dans un marché, et n’est ainsi tourné que vers le présent de l’échange. On ne va au marché que parce qu’on ne sait pas quelque chose et qu’on ne peut pas prédire quelque chose. Car autrement, pourquoi échangerait-on quelque chose10 ? Ainsi les produits de base traités dans le marché (actions, matières premières, cours de change, etc.) ne nécessitent-ils aucune théorie d’évaluation préalable. Leur valeur est immanente à l’offre et la demande. En revanche, les produits dérivés nécessiteront, comme on le verra, au moins la part de théorie qui permettra de les évaluer relativement aux produits de (non dérivés) à partir desquels ils sont dérivés. Ce qui est proprement curieux c’est qu’on ira alors au marché, ainsi armés de la théorie de pricing des produits dérivés et des prix qui en résultent, non pas pour y trouver une validation au sens de la fermeté d’une réalité empirique qui viendrait confirmer ces prix et les « préserver », mais une validation au sens de l’échange : au sens où ces prix sont faits pour être négociés leur tour et donc faits pour changer. On cherche une validation au sens d’une « invalidation ». Non pas la fermeté d’un sol (ground) mais la liquidité d’un marché.
4. Valeur versus prix
11Curieusement, la théorie d’évaluation des actifs financiers (dérivés ou non dérivés) n’aménage aucune place à la « réalité » du marché, c’est-à-dire à la donnée première du phénomène de l’échange, à cet « être » ou à cette ontologie singulière du marché, qui, comme je l’ai indiqué plus haut, ne joue pas tant le rôle d’une base (ground) vers laquelle on « descendrait » pour confirmer ou infirmer le résultat de la théorie que celui d’un « parquet » (floor) dans lequel on « s’immergerait » (métaphore de la liquidité) pour « mettre à flot » le prix qu’on a formé et le valider à travers sa capacité même d’être échangé, c’est-à-dire changé, c’est-à-dire « invalidé ».
12La théorie financière recherche la valeur des actifs au sens de l’établissement de la valeur et de sa fermeté, au sens de la résultante d’une représentation bien fixe du monde et de ses états. En d’autres termes, cela est proprement inscrit dans son idéal de fixité – cela est carrément requis par cet idéal – que tout le monde, idéalement, doive être d’accord et que, par conséquent, il ne doive y avoir ni échange ni marché. Si les participants échangent, aux yeux de cette théorie, c’est parce qu’ils ont des représentations et des anticipations différentes et que celles-ci fluctuent. Le phénomène de l’échange est ainsi perçu par la théorie d’évaluation comme un phénomène dérivé, accidentel, et pour un peu, indésirable. Non que la théorie d’évaluation ignore l’échange ou veuille le réduire ; au contraire, elle peut tout à fait postuler que les anticipations doivent irréductiblement fluctuer. Or, cette postulation première, qui sera donc elle-même inexplicable, n’expliquera en rien le marché mais reviendra simplement à affirmer que quelque chose s’échange parce que quelque chose change. (Alors qu’il me semble essentiel, pour comprendre l’événement du marché, de penser l’échange avant le changement, de le penser comme la source première.) Ainsi, la théorie peut parfaitement s’accommoder de la permanence de l’échange. Mais cela restera inscrit dans sa prétention même de théorie, dans sa façon même de se constituer – dans sa philosophie, si vous voulez –, que la dérive et le changement et l’échange sont seconds par rapport à la représentation et la déduction et la fixité et la stabilité.
13Comme la notion de « prix » est ici la notion ambivalente (et, selon l’interprétation non classique du marché que je cherche à énoncer, la notion première) se joue le paradoxe fondateur de la « validation par l’invalidation », il est indispensable de la distinguer désormais de la notion de « valeur » qui appartient, quant à elle, au domaine classique de la théorie de l’évaluation. Et, pour livrer les premiers éléments de cette théorie, examinons d’abord la manière dont elle évalue traditionnellement le premier titre financier que nous aurons à considérer, l’exemple même de titre de base et non dérivé, savoir l’action émise par une société.
5. Éléments de théorie de l’évaluation financière
14L’univers des possibles est d’abord décrit comme une série de scénarios différents – ou encore, d’« états du monde » –, scénarios économiques, financiers, politiques, géo-politiques, etc., où la société réalise des bénéfices plus ou moins grands et distribue des dividendes plus ou moins importants. Une probabilité est affectée chacun de ces états du monde. Parmi ceux-là, certains sont des scénarios de banqueroute de la société, elle ne distribue plus alors aucun dividende.
15Voulant calculer la valeur présente de l’action de cette société (opération effectuée, par exemple, par les experts financiers de la banque d’investissement au moment de l’introduction de cette société en bourse, ou au moment de son rachat par une autre société, ou encore, par les analystes financiers des maisons de courtage qui conseillent aux investisseurs d’investir dans tel ou tel titre), on pourrait naïvement la confondre avec l’espérance mathématique du flux de dividendes, calculée comme la somme, pondérée par les probabilités, des différents dividendes distribués par la société dans les différents états du monde. En réalité, une valeur ne l’est que dans la mesure où un individu économique lui attache cette valeur. En tant que telle, elle ne peut pas se réduire à une espérance mathématique. Car l’on parle ici essentiellement d’un actif risqué – en investissant dans cette action, le futur porteur du titre fait essentiellement un pari sur l’avenir de la société émettrice et sur les dividendes futurs, alors qu’il aurait pu placer son argent au taux sans risque offert par la banque de dépôt – et l’évaluation de l’action doit, par conséquent, faire intervenir la notion d’aversion au risque, ou alternativement, de goût du risque de l’investisseur.
16Les économistes ont l’habitude, sous certaines conditions, de représenter l’attitude de l’investisseur vis-à-vis du risque par le concept formel de la fonction d’utilité de ce dernier. Une valeur ne comptera aux yeux de l’investisseur que pour autant qu’elle lui fournit de l’utilité. Ce n’est pas l’espérance des gains incertains qu’il doit ainsi évaluer, mais l’espérance des utilités de ces gains. L’aversion au risque étant caractérisée par une fonction d’utilité concave, l’espérance des utilités sera toujours inférieure à l’utilité de l’espérance et l’investisseur qui craint le risque préférera ainsi recevoir avec certitude une somme, appelée «équivalent certain », strictement inférieure à l’espérance mathématique des gains éventuels plutôt que de se prêter à la loterie correspondante. En conclusion, la « juste valeur » de l’action aujourd’hui sera calculée comme celle qui rend l’investisseur indifférent à l’alternative de la détenir ou de ne pas la détenir, c’est-à-dire comme l’équivalent certain de ses dividendes futurs incertains. Les « préférences » des investisseurs (définies ici à partir des fonctions d’utilité) font ainsi partie intégrante de la théorie d’évaluation des « actifs contingents » (on appelle ainsi les actifs dont la valeur est différente selon l’état du monde où ils se trouvent). Les désaccords sur la valeur, qui causent le phénomène de l’échange aux yeux de la théorie, sont ainsi à la fois expliqués par les différentes affectations de probabilités (les différentes anticipations) et les différentes fonctions d’utilité (les différents types d’investisseurs).
6. L’avènement des produits dérivés et les prix de marché comme états du monde
17Gain réalisé dans un état du monde futur/utilité de ce gain/ probabilité et espérance de cette utilité/valeur présente (prête à être comparée la valorisation d’un autre, et à être échangée avec lui). Ainsi s’établissent la séquence et la hiérarchie inhérentes à la théorie de l’évaluation. Comme annoncé, confrontation des valorisations – le marché – n’intervient qu’à la dernière étape. (Et encore, cela est accessoire ! Par exemple, le calcul de la valeur d’une société qui est sur le point d’être introduite en bourse ne fait pas encore intervenir le marché.) S’ensuivent les théories de l’équilibre général où un prix consensuel est recherché – prix qui est censé s’établir dans le marché et qui, on s’en doute bien, émergera comme la solution bien fixe d’un problème de point fixe.
18En contraste à cet ordre établi, la révolution apportée par les produits dérivés s’énonce dès le premier mot qui dit ce qu’ils sont, je dirais même qu’elle s’énonce à travers un jeu de mots. Elle consistera, contrairement à ce qui précède, à donner au marché la première place. Ou plutôt, la seule place qu’il y a à occuper dans l’espace des possibles : la place centrale où les états du monde ne seront désormais ni plus ni moins que les états du marché.
19C’est parce que les produits dérivés sont eux-mêmes déjà dérivés que le marché passera en premier et ne sera plus le phénomène second et dérivé à peine entrevu (et à peine désiré) par la théorie de l’évaluation. (Là est notre jeu de mots.) S’y jouera à fond le renversement de la notion de valeur par celle de prix.
20L’exemple paradigmatique de produit dérivé est celui de l’option d’achat ou de vente (call option ou put option, anglais). Certains historiens font remonter son origine aux temps bibliques, mais c’est à partir de 1973, date des publications séminales de Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes11 (qui valurent, aux deux derniers seulement, le prix Nobel d’économie de 1997 en raison du décès du premier en 1995), que le terme « call » ou « put » est devenu le terme emblématique de la théorie de pricing des produits dérivés. Un call sur action (respectivement, un put), ou option d’achat sur action (respectivement, option de vente), est le droit d’acheter cette action (respectivement, de la vendre), à une date future fixée appelée « maturité » «échéance » ou « date d’expiration » de l’option, à un prix fixé à l’avance appelé « prix d’exercice de l’option ». L’option est un contrat que le vendeur de l’option « écrit » à son acheteur. à la maturité de l’option, si le prix de marché de l’action sous-jacente est supérieur (respectivement, inférieur) au prix d’exercice de l’option, l’acheteur de l’option exercera son droit, face au vendeur de l’option, de lui acheter (respectivement, de lui vendre) l’action au prix d’exercice entendu, réalisant ainsi le bénéfice instantané consistant en la possibilité immédiate de revendre l’action (respectivement, de la racheter) dans le marché à son prix de marché.
21En termes mathématiques, la valeur réalisée de l’option à son échéance (encore appelée son « payoff ») s’exprime par les formules :
max (S – K, 0) pour un call
max (S – K, 0) pour un put
22où S est le prix constaté de l’action sous-jacente et K le prix d’exercice de l’option.
23Cet acte de naissance mathématique du produit dérivé (je devrais dire plutôt, cet acte de « décès » – car, en cette formule, le produit dérivé justement expire ; il « rend », il « retourne », sa valeur promise), qui est la simplicité même, contient en germe toute la révolution annoncée pour la simple raison que les différents prix S de l’action sous-jacente font ici office des états du monde dont aura jamais besoin la théorie de pricing des produits dérivés.
24Nul besoin, par conséquent, de remonter à l’analyse financière de la société émettrice de l’action et à l’évaluation de ses actifs et de ses passifs dans différents états du monde (économiques, politiques, etc.). Le donné, c’est maintenant directement le marché de l’action ; et les « états du monde » de ce marché, savoir les différents prix de l’action, sont maintenant directement nos états du monde.
7. Processus de prix et mouvement brownien
25À l’instant, nous verrons que la théorie de pricing des produits dérivés, qu’à dessein je n’appelle pas « théorie d’évaluation des produits dérivés » comme l’aurait prévu la traduction française et qui fera mine de se mettre d’abord en place à la manière de la théorie d’évaluation précédemment entrevue, devra, en réalité, tirer toutes les conséquences de la révolution qui s’est déjà accomplie, et qui est la primauté, apparemment anodine mais lourde de conséquences, désormais accordée au prix de l’action (par opposition à sa valeur) et au marché (par opposition à une réalité économique ou politique qui resterait entièrement à modéliser). Il y aura là, nous le verrons, comme un court-circuit de tout l’édifice hiérarchique de la valeur et de la valorisation par l’envahissement, la liquidité, l’homogénéité, du marché.
26Faire des prix de marché de l’action sous-jacente nos états du monde, c’est d’abord opter pour des états du monde observables. S’il y a une chose observable, c’est bien un prix de marché. Il est même public. Quant aux « anciens » scénarios économiques, politiques, monétaires, etc., censés sous-tendre la valeur des sociétés et de leurs actions, ils étaient, en effet, inobservables. Le prix de l’action sous-jacente peut être ainsi observé non seulement à l’échéance du produit dérivé mais également dès aujourd’hui. Et les différentes probabilités d’obtenir différents prix de l’action à une date future quelconque peuvent alors être calculées à partir d’un processus stochastique postulé pour l’action, c’est-à-dire à partir des différentes trajectoires que le prix de l’action peut suivre depuis le prix actuel (appelé prix spot) jusqu’au prix futur.
27L’hypothèse qui a été faite par Black et Scholes dans leur article de 1973 est que le processus suivi par le prix de l’action est un mouvement brownien géométrique. Celui-ci s’exprime par l’équation différentielle stochastique suivante :

28Elle signifie que le rendement de l’action pendant le prochain intervalle de temps infinitésimal dt est en moyenne égal au rendement déterministe µdt (également appelé «dérive » ou drift), mais qu’il se disperse en réalité autour de cette moyenne suivant une variable aléatoire tirée d’une loi normale de moyenne zéro et d’écart-type (ou de variance σ2dt). Le coefficient σ de la dispersion, ou de la diffusion du mouvement brownien, est également appelé la « volatilité » de l’action. Plus la volatilité est grande, plus le prix de l’action se disperse autour de la trajectoire moyenne déterministe. Si la volatilité est suffisamment grande, et bien que la dérive soit positive, il ne sera pas rare que l’action finisse, au bout d’un certain temps, à un prix beaucoup plus bas que le prix spot de départ. (Voir Figure 1) dW est le symbole de l’incrément du processus élémentaire, appelé processus de Wiener, dont le mouvement brownien est la transformée affine. Il représente une marche au hasard de dérive nulle et de volatilité 1.

Figure 1 : Deux trajectoires possibles du mouvement brownien de coefficients de diffusion σ = 60 % est dérive µ = 3 % partir du même prix initial de l’action S = 100 €. La période couverte est de 1 an.
29Le calcul stochastique appliqué au mouvement brownien nous donne la densité de probabilité d’atteindre le prix S à la date future t, partant du prix spot S0 à la date d’aujourd’hui t = 0 :
30pµ,σ(S0,0,S,t)
31Il est alors tentant de calculer la valeur présente du produit dérivé comme l’équivalent certain des gains aléatoires que nous laisse espérer son payoff sous la densité de probabilité des trajectoires du mouvement brownien.
8. La révolution de Black, Scholes et Merton et la théorie de pricing des produits dérivés
32Ainsi la valeur des produits dérivés, de même que celle de tout actif contingent, dépendrait-elle de l’attitude des investisseurs vis-à-vis du risque. Mais c’est là que le caractère spécifique des produits dérivés, qui est qu’ils sont dérivés d’une action négociable dans le marché, va faire toute la différence. Nos états du monde, rappelons-le, ne sont pas n’importe quels états du monde. Ils n’ont pas la représentation du monde (cet idéal de la métaphysique) pour unique vocation. Ce n’est pas comme s’ils se contentaient de représenter le monde d’une manière détachée et que, une fois leur représentation accomplie, ils n’allaient plus rien avoir à voir avec le déroulement du monde. Car ils sont des prix ; les prix sont les seuls états du monde du marché ; mais les prix ont vocation à être replongés dans le marché. En anticipant un peu sur la suite, j’ai envie de dire qu’ils sont des états du monde « actifs » et non pas « passifs ». Sans doute le marché est-il le seul « monde » dont les états aient cette double propriété (de se détacher pour représenter, puis de se rattacher, de se replonger, pour « agir »). Ils sont les états du marché et en même temps ils refont le marché. C’est pourquoi l’ontologie du marché me semble devoir s’attacher au point le plus fondamental de l’ontologie, celui-là même qui a fait abandonner à Heidegger la métaphysique représentationnelle oublieuse du sens de l’être et adopter plutôt le questionnement d’une phénoménologie herméneutique12.
33Ce sont Black et Scholes qui ont eu l’idée, dans leur article de 1973, d’utiliser activement les états du monde que sont les prix de l’action sous-jacente au produit dérivé. C’est cette idée révolutionnaire qui a déclenché l’explosion (le développement très rapide) des marchés des produits dérivés et a distingué ces derniers comme une technologie, je dirais même une industrie, à part. Le terme technique pour désigner l’idée révolutionnaire est celui de la « réplication dynamique » du produit dérivé13. En 1973, Black et Scholes ne pouvaient avoir aucune « idée » du futur impact et de la future importance de leur idée. Pas plus, d’ailleurs, que la communauté scientifique ou académique qui avait reçu leur article. En effet, cet article majeur avait eu des difficultés pour trouver un journal qui accepte de le publier.
9. La réplication dynamique des produits dérivés
34L’idée d’appliquer le mouvement brownien au cours de l’action et de calculer la valeur du produit dérivé comme l’espérance mathématique de son payoff n’est pas nouvelle, quant à elle. Louis Bachelier l’avait préconisée dès sa thèse de mathématiques, La Théorie de la spéculation, publiée en 190014. Et pour plus d’un – surtout depuis la redécouverte des travaux de Bachelier par le monde anglo-saxon –, Bachelier est aujourd’hui considéré comme le pionnier de la théorie de pricing des produits dérivés.
35Or, Bachelier n’avait pas fait intervenir les fonctions d’utilité dans son calcul d’espérance – sa théorie de pricing n’était donc pas acceptable par la théorie, plus moderne, d’évaluation des actifs contingents –, mais surtout, il n’avait pas pu profiter du lemme d’Itô (démontré par le mathématicien japonais Kiyosi Itô dans les années 1940) pour mettre en œuvre l’idée réplication dynamique ainsi qu’elle fut développée par Black et Scholes.
36En effet, Black et Scholes émettent d’abord l’hypothèse que, comme la valeur du produit dérivé ne dépend que du prix de l’action sous-jacente à l’échéance, il ne dépendra, avant l’échéance, que de ce prix et que du temps. Cette valeur peut donc s’écrire comme la fonction V(S, t). Le lemme d’Itô permet d’exprimer la différentielle totale d’une fonction qui dépend d’une variable aléatoire régie par un mouvement brownien :

37Black et Scholes remarquent alors que, si l’on forme un portefeuille π à l’aide du produit dérivé de valeur V et d’une quantité dynamique d’action sous-jacente égale à la variation de valeur infinitésimale de ce portefeuille sera égale à :

38Remarquez comment les termes faisant intervenir la dérive µ et le processus de Wiener W ont disparu de l’évolution de la valeur du portefeuille. L’explication de ce prodige est cette quantité variable d’action, , que l’on suppose pouvoir détenir en permanence, c’est-à-dire qu’on suppose qu’on peut acheter et revendre continûment l’action sous-jacente dans le marché, manière a n’en garder en portefeuille, en face du produit dérivé, que la quantité exacte
qui est elle-même une fonction du temps et du prix de l’action.
39Comme on ignore encore la fonction V(S, t), on ignore le signe de sa dérivée partielle par rapport à S. La quantité d’action qu’il faut détenir et continuellement ajuster peut ainsi être négative ou positive. Cela veut dire qu’il faudra vendre « short » l’action sous-jacente (la vendre, lors même qu’on ne la détient pas15) ou l’acheter. Cette opération d’ajustement continuel de la quantité d’action détenue dans le portefeuille π, en face du produit dérivé de valeur V, est appelée « stratégie de réplication dynamique » du produit dérivé. Bien que l’origine en soit purement mathématique (annuler la dérivée partielle du portefeuille π par rapport au prix S de l’action) et que l’argument qui la fait intervenir ait tout l’air de ne se dérouler que sur le papier, elle engage déjà tous les éléments performatifs qui feront que notre « monde » n’est pas une place ordinaire ou une « physique » ordinaire où certaines quantités théoriques admettraient simplement des dérivées partielles théoriques. Cette stratégie dynamique immerge déjà le récipiendaire de l’argument de Black et Scholes entièrement dans le marché. Car il faut bien, en pratique, que quelqu’un ajuste continuellement la quantité et traite continuellement, à cet effet, l’action sous-jacente dans le marché.
10. Une formule de pricing universelle
40Faute d’élaborer plus avant l’implication concrète dans le marché que signifie cet ajustement continuel ou d’explorer ses conséquences philosophiques, Black et Scholes font au moins l’hypothèse explicite que les transactions de l’action sous-jacente sont réalisables à tout moment sans délai ou friction, c’est-à-dire que les coût de ces transactions est nul (c’est le coût qu’on aurait à subir si un courtier devait facturer des frais de courtage chaque fois que l’on vendrait ou que l’on achèterait quelque chose) et que la liquidité du marché est sans faille (on peut, à tout prix S, vendre ou acheter la quantité d’action qu’on veut).
41Le raisonnement de Black et Scholes se poursuit alors en remarquant que, pourvu que l’on ajuste continuellement la dérivée partielle du portefeuille π par rapport à S de manière à la maintenir nulle, la variation de la valeur de ce portefeuille écrite ci-dessus sera déterministe, c’est-à-dire qu’elle sera sans risque. Un argument d’arbitrage de la théorie financière est alors invoqué qui prévoit que, si un actif évolue de manière non risquée, sa valeur ne pourra croître qu’au taux d’intérêt monétaire sans risque, r16. Black et Scholes peuvent ainsi écrire l’égalité suivante pour le portefeuille π, également appelé « portefeuille d’arbitrage » :
42dπ = rπdt
43Réarrangeant les termes, on obtient alors l’équation aux dérivées partielles (EDP), censée régir la valeur de tout produit dérivé de l’action de prix S :

44Pour calculer la valeur d’un produit dérivé particulier, par exemple un call, il suffit donc de résoudre l’EDP de Black et Scholes. Ce problème numérique porte le nom de « problème d’évolution ». Il est familier des spécialistes du calcul scientifique qui reconnaissent dans l’EDP de Black et Scholes la forme de l’« équation de la chaleur », également connue sous le nom d’équation de « diffusion/convection ». On connaît la valeur de la fonction V à la date T de maturité du call, soit :
V(S, T) = max(S – K, 0)
45Pour calculer V(S, t) à tout instant t précédant T, on discrétise le plan (S, t) et on évalue V(Si, tj), en tout point de la grille discrète, en « reculant ». C’est-à-dire qu’on exploite un schéma numérique qui établit une relation de récurrence entre les valeurs V(Si, tj+1) à la date tj+1 et les valeurs V(Si, tj) à la date tj. Ce schéma est obtenu en substituant aux dérivées partielles dans l’EDP ci-dessus des expressions numériques les approchant sur la grille discrète17.
46Pourvu que l’on détienne une quantité d’action égale à et ajustée en permanence, le résultat de Black et Scholes signifie en définitive que la valeur du produit dérivé ne dépend que du prix S de l’action sous-jacente et que du temps, et qu’il ne dépend pas de la fonction d’utilité de l’un ou l’autre investisseur. Par la mécanique de la réplication dynamique et par la mécanique du marché, Black et Scholes ont ainsi réussi à libérer tout un pan de la théorie financière (celui relatif au pricing des produits dérivés) de la « subjectivité » des agents économiques et de leurs préférences18. C’est pourquoi les marchés des produits dérivés ont littéralement explose après 1973, et la question de leur évaluation comme actifs contingents s’est vue complètement éclipser par la question de la faisabilité de leur réplication dynamique. Les produits dérivés vérifient tous la même et unique équation « objective ». La seule chose qui les différencie est leur payoff spécifique.
11. Les véritables conséquences de la théorie du pricing des produits dérivés
47La particularité de la théorie de pricing des produits dérivés que je trouve absolument étonnante et qui ne semble pas interpeller la communauté pensante plus que ça19 peut donc se résumer à ces deux étrangetés :
- Les états du monde sont posés comme étant ceux du marché, sans que l’on se soucie du genre de « milieu » que peut réellement être un marché : sans doute le milieu le plus impropre à la représentation et à la catégorisation en collection d’« états » ; pire encore, le milieu sans limitation d’état : celui où tout est possible, tout est négociable, tout est changeable, et tout peut donner lieu à de nouveaux états.
- Pour la première fois, un élément performatif et volontariste est mélangé avec la théorie et le formalisme. Pour rapide qu’ait été le passage dans l’article original de Black et Scholes, force est de se recueillir un instant et de constater que le résultat théorique n’est plus, cette fois, indépendant de l’acteur. Le porteur du produit dérivé doit en même temps activement traiter l’action sous-jacente – la revendre ou la racheter continuellement de façon à réaliser la réplication dynamique – afin que le résultat théorique soit garanti et que la valeur du produit dérivé soit « défendue ».
48L’attitude formaliste peut se refuser à voir dans le marché et dans ses états autre chose que la donnée, parfaitement neutre et parfaitement stérile (non épidémique), de la série des prix de l’action sous-jacente. Et d’ailleurs, rétorque-t-elle, le mouvement brownien n’est qu’un modèle théorique simpliste. Rien ne garantit que l’action sous-jacente suive réellement ce processus et que le raisonnement de Black et Scholes puisse réellement s’appliquer. Et pour peu que l’on entretienne un moment cette fiction théorique, il n’y aura nul besoin, dans ce monde idéal et réglé, que « quelqu’un » s’occupe effectivement de surveiller et d’ajuster la dérivée partielle du portefeuille d’arbitrage. Un programme informatique peut parfaitement s’en charger.
49La raison pour laquelle je persiste à croire qu’il y a bien plus dans la création de Black et Scholes que l’argument formel écrit sur le papier et qu’il y a bien plus dans la théorie de pricing des produits dérivés qu’une simple branche du calcul stochastique (car s’y trouvera la clé pour dire enfin ce qu’est le marché) c’est, d’abord, que le mouvement brownien et la réplication dynamique qui en est la conséquence ne sont pas là pour être vrais ou faux, pour être réels, fictifs, ou théoriques. Ils sont proprement historiques (et je l’entends au sens heideggérien du terme), car c’est de l’instant de leur « découverte » (je ne trouve pas de meilleur mot) que date la création du marché des produits dérivés au sens moderne du terme.
12. Le mode d’être très spécial du marché
50Aucune des théories d’évaluation que nous avons jusque-là entrevues (ni celle des fonctions d’utilité, ni celle de Black et Scholes) n’a encore trouvé quelque chose à dire sur la notion de « vérité-dans-un-marché » ou de « validité-dans-un-marché ». L’histoire du développement des marchés de produits dérivés (dont je semble vouloir faire si grand cas) ne fait pas partie de la théorie de Black et Scholes, qui s’arrête juste avant. Cette dernière est même, à strictement parler, contradictoire avec l’idée d’un marché de produits dérivés, puisque son résultat principal – et c’est celui-là qui a fait, ironiquement, sa fortune dans les marchés – est que le prix du produit dérivé ne dépend que du temps et que du prix de l’action sous-jacente. En soi-même, le marché de l’action nous livre donc tout ce qu’il y a jamais à savoir et à attendre des produits dérivés. Pourquoi ceux-là admettraient-ils alors un marché qui leur serait propre ?
51Sans doute le prix de l’action sous-jacente ne suit-il pas, en réalité, un processus aussi simple que le mouvement brownien. Qui sait, d’ailleurs, quel processus il suit ou il pourra suivre ? Ce n’est certainement pas la série connue des prix passés qui pourra nous aider à l’inférer ! Car le marché, répétons-le, n’est pas une réalité fixe dont les générateurs aléatoires seraient stationnaires – quoique certainement complexes – et dont la seule difficulté qu’elle nous poserait serait celle de l’inférence statistique. Le marché n’existe pas dans le passe. Autant dire que le seul sens que l’on puisse faire de la « réalité » du processus de l’action est celui du processus qu’elle suit à l’instant, et encore, ce processus peut changer du tout au tout dès l’instant suivant ! La notion de processus temporel stochastique qui n’est indentifiable qu’instantanément a-t-elle d’ailleurs un sens ? J’ignore dans quelle métaphysique cette question pourra être réglée, et d’ailleurs je m’en désintéresse. Mon point est simplement que se tient, en face de ces interrogations et de ces finesses, l’enjeu entier du marché des produits dérivés, et que c’est réellement la réplication dynamique de ces derniers qui a été le facteur décisif pour que ce marché ait pu exister et qu’il se soit développé ou pour qu’il n’ait pas existé du tout !
52Le marché n’existe pas. Il n’est pas une entité présente et identifiable. Il n’existe que pour autant que quelqu’un le fait. Or, les traders des produits dérivés n’ont fait ce marché que pour autant que la réplication dynamique de Black et Scholes leur a laissé croire qu’il suffisait d’utiliser une formule pour évaluer un produit dérivé (cela, c’est la « fausse » conséquence du modèle de Black et Scholes, celle qui n’est pas vraie et qui nous laisse penser qu’il est important de savoir si les traders se trompent ou pas, alors que seul compte ce qu’ils font) mais que, surtout, elle les a engagés à suivre activement l’évolution de cette valeur et à négocier continuellement l’action sous-jacente dans un ratio égal à sa dérivée partielle (cela, c’est la « vraie » conséquence du modèle de Black et Scholes, celle qui a créé un marché et une validité-dans-ce-marché et qui les a créés dans la mesure où le trader était désormais assuré d’être «collé », d’être littéralement enchaîné, à son portefeuille de produits dérivés).
13. Le marché comme donné
53L’hypothèse du mouvement brownien et l’argument de réplication dynamique ont eu pour conséquence une chose aussi monumentale que la création (et très vite, l’explosion) des marchés des produits dérivés, et c’est pourquoi, disais-je, la question de leur vérité et de leur fausseté, et au-delà d’elle, la question entière de la signification d’un modèle dans le domaine du pricing, ne peuvent plus garder la même pertinence ou admettre le même style de réponse que dans les autres sciences. Je répète que la théorie du pricing des produits dérivés (dont Black et Scholes ont fourni le paradigme) est achevée et complète avant que ne se pose la question des marchés, et que ce que je vais, à partir de là, élaborer comme problème philosophique ne l’interpelle même pas.
54Mon problème commence, non pas avec la genèse et la formation du marché des produits dérivés (dont je disais que la théorie ne pouvait avoir idée), mais avec la seule façon acceptable dont il puisse être question du marché dans ma philosophie et qui est que le marché, aussitôt son nom prononcé, ne peut que devenir lui-même la source et lui-même le donné.
55Il serait, en effet, erroné de penser que l’élément volontariste inhérent à la réplication dynamique de Black et Scholes nous invite à imaginer ce qui aurait pu se passer si l’agent, censé maintenir nulle la dérivée partielle du portefeuille d’arbitrage par son action perpétuelle dans le marché, n’avait pas fait son travail, ou à imaginer les prix empiriques des produits dérivés se plier lentement, comme résultat de cette action, à la valeur prévue par l’équation de Black et Scholes. Dès le moment où Black et Scholes ont produit leur résultat et où la stratégie de réplication dynamique a provoqué l’explosion des marchés des produits dérivés, la question ne se pose plus de savoir ce que deviendraient ces marchés si les traders, individuellement ou collectivement, manquaient de se comporter comme le prescrivent Scholes20. Le marché des produits dérivés est bien la conséquence historique de l’action dynamique décrite par l’algorithme de Black et Scholes – sans la réplication dynamique, il n’aurait pas existé une telle chose que le marché de produits dérivés – mais c’est une erreur de penser cela au sens génétique où ce marché émergerait comme un résultat auquel on pourrait assister. Au contraire, la vision qui s’acharne à penser le marché comme un résultat est, on l’a vu, celle qui ne veut pas le comprendre, celle qui s’interdit même de poser sa question. Car je dis qu’il doit être la donnée première et non pas le résultat dérivé.
56Ainsi, la seule chose qu’il faut imaginer ici est que le prix (ou le marché) du produit dérivé est désormais donné comme étant celui de Black et Scholes, et le seul résultat qu’il faut calculer ici est la quantité d’action, , qu’il faut détenir, et maintenir, comme réplication du produit dérivé. C’est donc désormais l’inverse. Ce n’est plus le prix qui est le résultat de la réplication dynamique, mais la réplication dynamique qui est le résultat du prix. Le trader est immergé dans son marché de produits dérivés ; il ne se pose plus la question de savoir comment ce marché est venu à se former et à exister ; que lui-même soit présent et enchaîné à la stratégie de surveillance de la valeur du produit dérivé et à sa réplication fait également partie de l’« origine » qu’il faut oublier ; sa présence et sa potentialité performative ne prendront désormais tout leur sens, que nous savions tellement contraire au formalisme, qu’à la lumière de ce qui va suivre.
14. Le marché comme l’« inversion » de la théorie, ou l’ambivalence de la notion de prix
57Or, ce qui va suivre dans ce marché qui est maintenant notre donné, c’est que le prochain prix observé du produit dérivé, par exemple le prix du call, va s’écarter de la valeur prévue par l’équation de Black et Scholes. Plus spécifiquement, alors que le prix précédent correspondait à la valeur V1(S, t) calculée sous l’hypothèse d’une volatilité σ1 de l’action sous-jacente, le prix suivant va maintenant refléter une valeur V2(S, t) qui ne s’expliquera que sous l’hypothèse d’une volatilité différente σ2. C’est-à-dire que le trader de produits dérivés préférera penser que l’algorithme de réplication dynamique de Black et Scholes tient toujours, que quelqu’un, dans le marché, est toujours en train de l’appliquer et qu’il doit donc l’appliquer lui-même – sauf qu’il doit l’appliquer maintenant sous une volatilité différente σ2 –, plutôt que penser que le marché a lâché » la réplication dynamique et que le prix du call a repris sa liberté. Le trader ne peut pas penser autre chose parce qu’il est lui-même issu (et son marché avec lui) de la réplication dynamique.
58Évidemment, nous nous retrouvons expulsés à l’extérieur de la théorie. Le modèle de Black et Scholes suppose que la volatilité est constante et serait mis en échec si elle devenait stochastique. Il ignore jusqu’à l’existence d’un marché des produits dérivés, alors de là à considérer ce marché comme donné et devoir maintenant inférer la volatilité de l’action à partir de la donnée du prix du call (au lieu que ce prix était normalement calculé à partir de la volatilité) !
59Et pourtant, il ne se passe pas autre chose dans le marché d’options, et dans la pratique quotidienne des traders d’options. Personne n’utilise le modèle de Black et Scholes dans le sens prévu par la théorie ; mais tout le monde l’utilise dans le sens inverse, celui qui infère la volatilité (appelée alors « volatilité implicite ») à partir du prix de l’option, et la réplication dynamique à partir de cette dernière. Le marché des produits dérivés, disions-nous, ne fait pas partie de la théorie de pricing des produits dérivés21. Il ne peut donc proprement se situer et avoir lieu – je dirais même qu’il ne peut être défini – que dans cette inversion. (Or, c’est le marché qui est ici le but de notre étude, mieux, de notre recherche.)
60Ainsi, ce que le trader d’options va proprement jouer dans le marché des options, ce n’est pas la variabilité de leurs prix en fonction de celle du prix de l’action sous-jacente. Car cela reviendrait simplement à jouer la variabilité du prix de l’action dans son propre marché. Ce que les options apportent de nouveau, c’est la variabilité de leurs prix en fonction de la volatilité de l’action. Quand le trader d’options annule la dérivée partielle du portefeuille d’arbitrage par rapport au prix de l’action, la dimension qui s’ouvre devant lui est bien celle de la variation du coefficient σ (contredisant ainsi la théorie). C’est pourquoi le marché des options est également appelé « marché de la volati-lité ». En inférant différentes valeurs de la volatilité à partir du prix donné, et changeant, de l’option, on dira que le marché donne la valeur de la volatilité. Se fait jour l’idée que le marché des produits dérivés est un nouveau moyen – littéralement une technologie nouvelle – pour inférer les coefficients statistiques des distributions de probabilité (ici, la variance). Une technologie qui proprement révolutionne les méthodes traditionnelles d’inférence statistique puisqu’elle base, pour la première fois, son inférence sur le futur et non pas sur le passé22.
61La réplication dynamique a créé le marché des produits dérivés et l’a rendu liquide. En dépassant le cercle de la théorie par une lecture historique, on peut même déclarer que le but du modèle de Black et Scholes, ainsi que de tout outil de pricing qui lui succèdera, est de rendre liquides les produits dérivés et développer leurs marchés. Mais – et c’est là que revient la notion-clé, ambivalente, de prix – cet outil n’ira pas vers son but, il ne touchera pas à son but (ce marché), dans le but d’y trouver une validation. Car le but (fatalement ignoré par la théorie) c’est de négocier les options, et donc que leurs prix s’écartent de la fonction déterministe qui les lie au prix de l’action.
62En d’autres termes, les prix des options (tantôt obtenus comme résultat théorique) ont assez vite fait de rejoindre leur destinée de prix de marché, c’est-à-dire qu’ils deviennent également des états du monde. Ils deviennent une donnée. Voilà le tableau complet où il pourra seulement être fait sens du marché ! Voilà les deux étrangetés relevées là-haut (prix de marché comme états du monde et association du trading actif à l’outil de pricing théorique) qui prennent leur sens complet :
63Sens complet : Si les prix sont les états du monde, alors tous les prix doivent être des états du monde (c’est-à-dire, maintenant, ceux des options), et si le trader est déjà là pour traiter activement l’action sous-jacente en face de son produit dérivé (et que c’est cela, d’ailleurs, qui a fait naître et exploser les marchés de produits dérivés) alors, a fortiori, il traitera le produit dérivé23.
15. Une « logique » nouvelle pour une science nouvelle
64Va se dérouler, à partir de là, la logique implacable qui fera que cette « histoire de prix » n’aura jamais de fin, que le marché ne pourra être capturé dans aucun contexte stable, aussi complexe et général soit-il, mais qu’il nous obligera sans cesse à nous élever au niveau méta-contextuel. Nous pouvons dès présent énoncer cette logique sous la forme des trois règles suivantes :
- Règle n° 1 Étant donné le prix de marché d’un produit dérivé, on utilisera l’outil de pricing du moment (le modèle de Black et Scholes ou n’importe lequel de ses successeurs) pour obtenir, comme résultat, sa stratégie de réplication dynamique.
- Règle n° 2 Le prix d’un produit dérivé ayant été obtenu comme résultat théorique de l’outil de pricing du moment, le but en sera de négocier ce prix dans un marché propre au produit dérivé, et donc que ce prix dévie du résultat théorique ainsi obtenu.
- Règle n° 3 Ce prix déviant étant désormais un prix de marché, c’est-à-dire un donné, il nous obligera à revoir et à étendre notre outil de pricing afin de théoriquement rendre compte de ce nouveau donné qui vient ainsi s’ajouter aux donnés précédents.
65Plus spécifiquement, si, du prix de marché du call et en inversant le modèle de Black et Scholes, on infère la volatilité σ1 le premier jour, la volatilité σ2 le deuxième jour, et la volatilité σ3 le troisième (cela, afin de mettre en place la réplication dynamique), alors cela, en soi, est déjà le signe que le modèle de Black et Scholes n’est pas valide, car le modèle de Black et Scholes suppose la volatilité constante ! Mieux, deux options différentes (de prix d’exercice différents ou de maturités différentes) peuvent invalider Black et Scholes dès le premier jour, si les volatilités inférées de leurs prix simultanés s’avèrent différentes ! Ce phénomène, appelé smile de volatilité, est en effet la règle plutôt que l’exception, dans les marchés d’options.
66La communauté financière a, d’ailleurs, depuis longtemps songé à généraliser le processus stochastique de l’action sous-jacente en faisant, par exemple, l’hypothèse que les trajectoires continues du prix de l’action étaient assorties de sauts soudains et discontinus (processus de jump-diffusion), ou l’hypothèse que la volatilité σ de la composante diffusive suivait elle-même un processus de diffusion :

où N est un processus de Poisson d’intensité λ, W est un processus de Wiener indépendant de N, j est une taille de saut logarithmique aléatoire de distribution de probabilité ø(j) et m est la moyenne de ej – 1. Quant à la volatilité brownienne du prix de l’action, σ, elle suit elle-même une diffusion de volatilité ∈ et pilotée par le processus Z, dont la corrélation avec W est ρ24.
67Cela veut dire que les prix de l’action sous-jacente ne sont plus les seuls états du monde, mais qu’il faut désormais y ajouter la variable binaire qui détermine s’il y a ou non un saut à l’instant suivant, l’ensemble des tailles différentes des sauts possibles, et l’ensemble des volatilités différentes. La réplication dynamique utilisant seulement des ratios d’action ne s’applique évidemment plus, et pour répliquer un produit dérivé (c’est-à-dire pour défendre sa valeur théorique et adjoindre à celle-ci un nouveau portefeuille d’arbitrage qui évoluera sans risque), il faut se donner désormais la possibilité de vendre et d’acheter continuellement dans le marché des actifs supplémentaires. À quelque chose malheur est bon : comme les prix des options elles-mêmes sont maintenant supposés donnés par le marché (et que c’est cela, d’ailleurs, qui est la cause du retournement et de la faillite de Black et Scholes), il suffira de traiter dans le marché, d’ajuster dynamiquement, des ratios de réplication faisant intervenir l’action et quelques options bien choisies25.
68Pour résumer : les paramètres du processus de jump-diffusion et de volatilité stochastique écrit ci-dessus sont assez nombreux pour permettre d’expliquer, le même jour, toute la variété des prix d’options observés ce jour-là, aussi écartés soient-ils de la prévision initiale de Black et Scholes. (L’opération par laquelle on infère ces paramètres est appelée « calibration du processus aux prix d’options ».) Et les options sont alors elles-mêmes utilisées dans la réplication dynamique. Mais la réplication de quoi, exactement ? Et pour évaluer et défendre la valeur théorique de quoi ? Si les prix d’options sont supposés donnés et vont servir, maintenant, à calibrer l’outil de pricing, ne seront-ils pas alors trivialement évalués par cet outil et ne seront-ils pas trivialement répliqués par eux-mêmes ?
16. Générations nouvelles, génération sans fin
69En réalité, une nouvelle classe de produits dérivés émergera, qui jouera, pour notre modèle de jump-diffusion et de volatilité stochastique, le rôle qu’avaient joué les options pour le modèle de Black et Scholes. Ce seront, par exemple, les options barrière, dont une variété (appelée option knock-out) a le même payoff que les options classiques à maturité, mais possède la caractéristique supplémentaire que, si la trajectoire de l’action sous-jacente touchait prématurément un niveau B appelé « barrière désactivante », l’option mourrait à l’instant où cette barrière serait touchée. Les options barrière sont particulièrement sensibles aux sauts pouvant survenir au processus de l’action pendant leur durée de vie, parce que les sauts augmentent considérablement les chances que la barrière soit touchée. Elles sont également relativement plus sensibles au processus de la volatilité stochastique que les options classiques, car tandis que la valeur des options classiques ne dépend que de la valeur de l’action à leur maturité, et donc seulement de la valeur moyenne de la volatilité observée le long de la trajectoire, celle des options barrière peut largement varier, selon que la volatilité de l’action est plus grande ou plus faible lorsque sa trajectoire s’approche de la barrière, car l’action touchera alors celle-ci plus ou moins rapidement.
70Le processus de jump-diffusion et de volatilité stochastique, une fois calibré aux prix donnés des options classiques (que l’on appellera maintenant options plain vanilla, ou « options vanilles », par opposition aux options barrière, qui sont dites « exotiques »), permettra alors d’évaluer les options barrière et de mettre en place leur stratégie de réplication dynamique (qui fait intervenir l’action sous-jacente et les options vanilles). Le marché des options barrière connaîtra alors, à son tour, un grand essor (dû à la faculté de les répliquer). Et de nouveau on réalisera, ironiquement, que si le dernier mot des options barrière devait être qu’elles seront à jamais évaluées d’une façon qui ne dépende strictement que des options vanilles et de la stratégie de réplication faisant intervenir ces dernières, alors cela n’aurait pas de sens que ces options barrière traitent dans un marché qui leur soit propre et elles n’apporteraient rien de nouveau.
71Car les options barrière deviendront liquides et on constatera un jour que leurs prix s’écarteront des valeurs prévues par le nouvel outil de pricing, après calibration de ce dernier aux prix des options vanilles. D’ailleurs, la re-calibration, jour après jour, du processus de jump-diffusion et de volatilité stochastique aux prix changeants des options vanilles suggérait déjà depuis un moment que les paramètres de ce processus étaient eux-mêmes stochastiques et qu’il fallait donc étendre ce dernier ! À l’étape suivante, les prix des options barrière feront partie de notre collection d’états du monde ; eux-mêmes serviront à la calibration d’un processus plus général et à la réplication d’un produit dérivé plus complexe ; celui-là deviendra à son tour liquide ; et ainsi de suite.
17. Nécessité du contexte et nécessité de son dépassement
72Pour revenir à la vision méta-contextuelle des probabilités (et à l’analogie avec la théorie quantique), je dirai donc que le trader, afin qu’il puisse s’insérer dans son marché et qu’il puisse, ainsi, faire quelque chose, doit d’abord se projeter dans un contexte donné. (Un certain trader, dans un certain contexte, s’intéressera, par exemple, uniquement aux options vanilles et ne tirera jamais les conséquences consistant à dépasser le modèle à volatilité stochastique.) Les états du monde seront bien fixes et bien délimités dans ce contexte, les distributions de probabilité y seront bien définies, et d’ailleurs la théorie a absolument besoin de cette stabilité pour pouvoir énoncer l’argument de réplication dynamique et en exprimer l’algorithme.
73C’est cette réplication dynamique qui est le ticket d’entrée du trader de produits dérivés dans son marché et qui est, réciproquement, la garantie de liquidité de ce marché. Mais elle ne donnera le marché que lorsque le marché sera considéré comme donné, c’est-à-dire qu’à la fois les états du monde de départ devront s’élargir pour intégrer l’idée que leur gamme entière devient maintenant stochastique (puisqu’elle est donnée par le marché et que le marché est, par définition, changeant) et ils devront s’étendre pour inclure les nouveaux prix des nouveaux produits dérivés comme nouveaux états du monde (ces produits dérivés qui étaient à l’instant évalués par la réplication théorique dans ce contexte). La gamme des prix de l’action sous-jacente, dans le contexte de Black et Scholes, doit, par exemple, s’élargir pour désormais inclure les prix d’options (ce qui revient au même que de dire qu’elle doit intégrer le fait que la volatilité est devenue stochastique).
74La théorie du pricing a donc nécessairement besoin de se projeter dans un contexte, mais le marché ne se donne, quant à lui, qu’à travers un contexte (celui de l’outil de pricing du moment qui a permis la réplication du moment) dans le changement de ce contexte et la transition au contexte suivant. Le marché, c’est simplement reconnaître que certains prix ne peuvent pas être donnés (ceux requis pour la réplication) sans que tous les prix ne soient donnés (ceux des produits dérivés obtenus, dans ce contexte-ci, comme résultat).
75La théorie du pricing des produits dérivés peut se borner à n’être qu’une sous-section de la théorie du contrôle stochastique. Elle posera ses états du monde et ses probabilités dans le contexte qu’elle jugera digne de la difficulté de l’exercice demandé ou qui correspondra à l’air du temps, elle déroulera la réplication dynamique, et elle se contentera d’afficher le prix du produit dérivé. En tant que telle, elle peut parfaitement s’accommoder de la vision du marché comme système vivant et de son « évolution » comme processus séquentiel d’apprentissage. C’est la vision qui soutient qu’à l’époque de Black et Scholes et du marché de l’action, on ne savait pas que les marchés d’options allaient exister, et qu’à l’époque du marché des options vanilles on ne savait pas que les marchés d’options barrière allaient exister.
76Autre chose que le cahier des charges de l’outil de pricing, qui doit être livré au trader. Il doit lui être livré en sachant qu’en tant que trader d’options vanilles, ce trader va traiter les options vanilles, et qu’en tant que trader d’options barrière, il va traiter les options barrière. Il lui est livré en sachant que la re-calibration journalière du processus qui est censé être donné dans un contexte spécifique donné va entraîner la « stochasticisation » de ce contexte. En tant que tel, l’outil de pricing est avant tout un outil de marché et il doit s’accommoder du sens complet du marché, ainsi que nous l’avons déjà exprimé.
18. Un outil de pricing méta-contextuel
77C’est pourquoi la question s’est sérieusement posée, de la possibilité d’un outil de pricing méta-contextuel. Non qu’il s’agisse d’un vecteur d’onde qui permettrait d’articuler des gammes de possibles différentes dont le contexte expérimental déterminerait seulement laquelle aurait lieu ; ou d’une situation non classique où la cause du phénomène serait elle-même subordonnée son contexte de manifestation et rendrait, ainsi, invalides les propositions contre-factuelles. Notre situation est, en effet, en ceci différente que c’est le passage obligé par le contexte (réplication du produit dérivé et son pricing) qui nous amène à nous élever au-dessus du contexte (signification du marché et élargissement du contexte) et que cette transition se déroule, chez nous, dans le temps26. En revanche, la situation en théorie quantique est que le niveau méta-contextuel (la donnée du vecteur d’état qui offre des prédictions pour n’importe quel contexte de mesure d’une observable à la suite d’une préparation) s’articule « avant » la projection dans le contexte donné (avant le choix d’un appareil de mesure) et que, si l’on veut changer de contexte (si l’on veut mesurer une autre variable à la place de celle qu’on a choisie), il faut alors tout recommencer (depuis la préparation).
78L’outil de pricing recherché devra donc être un processus stochastique dont on ne pourra pas dire, avant qu’on délimite le contexte et qu’on décide si l’on veut, par exemple, prendre les prix des options vanilles comme donnés ou si l’on veut prendre en plus ceux des options barrière, etc., de quel « ordre stochastique » il est ou dans quel contexte il subsiste. C’est-à-dire qu’on ne pourra pas dire si la volatilité y sera constante, ou si elle y sera stochastique, ou si la volatilité de la volatilité y sera elle-même stochastique, etc. Mais, à la différence de l’outil prédictif méta-contextuel de la théorie quantique, notre outil de pricing devra nous permettre, le moment venu, de changer de contexte sans réinitialiser l’outil et devoir tout recommencer.
79En d’autres termes, il s’agira d’un processus stochastique qui aura la propriété d’être similaire à sa propre stochasticisation. La solution, que nous avons déjà décrite dans plusieurs publications27, revient à renoncer à la méthode de généralisation illustrée plus haut, où les paramètres d’un premier processus stochastique étaient, à leur tour, rendus stochastiques dans un processus qui s’écrivait à la ligne suivante. Au lieu de décrire une séquence, sans cesse augmentée, de variables d’état de noms différents (prix de l’action, sauts du prix de l’action, volatilité du prix de l’action, sauts de la volatilité, volatilité de la volatilité, sauts de la volatilité de la volatilité, etc.), on se donne d’emblée une variable d’état sans nom, qui pourra prendre, selon le contexte, les noms qu’il faut, et changer de noms au contexte suivant (sans augmenter le nombre de « lignes »).
80Étrangement, le modèle a l’air plus simple que les modèles traditionnellement proposés. C’est un modèle à changement de régimes, qui peut d’abord s’interpréter comme une discrétisation du type de processus écrit là-haut. Sa variable d’état sans nom est le régime. (Voir Figure 2)

Figure 2 : Dans le modèle à changement de régimes (dont nous avons limité le nombre à trois, dans le graphique), le prix de l’action suit un processus de jump-diffusion dont les paramètres, à savoir la volatilité brownienne σ, l’intensité du processus de saut λ, et la taille du saut y, sont eux-mêmes stochastiques et admettent des valeurs différentes selon le régime où on se trouve. L’action commence dans le régime 1 où elle diffuse avec la volatilité σ1, mais peut, avec une probabilité mesurée par l’intensité de Poisson λ1,2 (ou λ1,3, ou λ1,n), sauter dans le régime 2 (ou 3, ou n), où à la fois son prix subira un saut discontinu de taille y1,2 (ou y1,3 ou y1,n) et la volatilite sautera à la valeur σ2 (ou σ3, ou σn). Dans le régime 2 (ou 3, ou n), les intensités pour sauter dans les autres régimes et les tailles des sauts correspondants seront, à leur tour, différentes.
81La propriété fondamentale du modèle à régimes est que la stochasticisation d’un modèle à régimes est encore un modèle à régimes. (Voir Figures 3 et 4).
82Un régime peut « référencer » plus d’une variable d’état à la fois (volatilité, volatilité de la volatilité, taille du saut, etc.), et ainsi, la richesse du modèle n’est pas limitée. Si une variable d’état possède la même valeur dans tous les régimes, alors elle n’est pas stochastique et fera office de paramètre plutôt que de variable d’état.
83Quand il n’est calibré qu’aux prix des options vanilles, on dira que le modèle à régimes n’est qu’un modèle de volatilité stochastique. Mais dès qu’il sera, en plus, calibré aux prix des options barrière, on dira qu’il est un modèle où la volatilité de la volatilité est elle-même maintenant stochastique (c’est-à-dire qu’il est la stochasticisation du modèle élaboré dans le contexte précédent) et que, d’ailleurs, il en était toujours ainsi, sauf qu’on ne le voyait pas et qu’on n’avait, empiriquement, aucun moyen de le distinguer, avant qu’on ait spécifiquement calibré aux options barrière. Ainsi, c’est l’histoire passée qui est réinterprétée à la lumière du présent (c’est-à-dire à la lumière du futur – car les prix présents des produits dérivés sont forward-looking, tournés vers le futur). Voilà le correspondant, chez nous, de la rétrodiction caractéristique de la théorie quantique et du niveau méta-contextuel28. Et voilà comment le processus « temporel » du marché est constamment rendu à son événement unique (c’est-à-dire qu’il est rendu à sa signification, qui est essentiellement un échange et une réécriture, et non pas une succession, une intension et non pas une extension).

Figure 3 : Imaginons que l’outil de pricing du moment soit le modèle à changement de régimes A. Les régimes sont symbolisés par les traits horizontaux de couleurs différentes et les transitions entre régimes par les flèches aller-retour. La re-calibration du modèle A à des prix de produits dérivés différents le change en un modèle à régimes B, paramètres différents. On peut alors penser que le « vrai » modèle est un méta-modèle à régimes où des transitions stochastiques ont lieu entre A et B, au gré de la re-calibration.

Figure 4 : En raison de l’associativité de l’opération de transition stochastique entre régimes ou entre modèles à régimes, le méta-modèle à régimes est en réalité lui-même un modèle à régimes, que nous avons baptisé A + B. Ce dernier apparaît d’abord comme un modèle à 6 régimes. Comme les régimes n’ont pas de réalité métaphysique dans notre philosophie instrumentaliste, que leur seul but est de fournir un outil de calibration, de pricing et de réplication dynamique, et que l’espérance mathématique compte ici plus que les états du monde individuels ou les probabilités individuelles, la remarque décisive est alors que, dans la mesure où seuls importent en pratique la calibration, le pricing et la réplication dynamique, un modèle A’ plus restreint, pourquoi pas à 3 régimes, pourrait bien être équivalent à A + B. définitive on ne peut pas dire, avant d’avoir élucidé le contexte d’utilisation, si l’outil de pricing est un certain modèle à régimes ou le méta-modèle de celui-là.
19. Technologie du futur versus connaissance du futur
84Le trader des produits dérivés peut donc utiliser le même outil de pricing à travers les contextes différents. Ce sont sa propre présence, sa propre performativité, et sa propre décision-dans-le-marché-qu’il-fait (ainsi que notre propre décision philosophique, qui est que la signification et l’être du marché seront les mêmes à travers tous les contextes) qui relèvent en propre du niveau méta-contextuel.
85L’« être » et la signification du marché s’articulent au niveau méta-contextuel, mais toute notre « logique » revient à insister qu’il demeure la donnée première, qu’il soit toujours le parquet (le floor) et le niveau zéro (de l’océan de la liquidité). C’est-à-dire qu’il faut se garder de prêter au marché un être suprême ou même une connaissance suprême. Il n’est pas rare, en effet, d’entendre dire que « le marché anticipe les événements futurs » (par exemple que le prix d’une certaine action va monter), ou carrément qu’il a la « connaissance du futur ». La pratique des marchés de produits dérivés a elle-même contribué à rendre courant ce langage, puisque leur mécanique consiste, on l’a vu, à inférer les processus stochastiques et leur paramètres (c’est-à-dire à inférer les distributions de probabilité) partir des prix de marchés des produits dérivés, et non pas l’inverse.
86Certes, les probabilités font partie intégrante de l’outil de pricing et il est tentant de leur prêter un « sujet », qui serait le marché. Aussi belle que soit la métaphore de la prescience de ce dernier, je me contenterai, quant à moi, d’une interprétation instrumentaliste des probabilités. Elles ne servent, quand on y regarde de près, qu’à mettre en place la stratégie de réplication dynamique des produits dérivés (des prix desquels on les a inférées), et qu’à calculer le prix d’autres produits dérivés. On a beau « tirer » les probabilités des prix du marché (et être alors tenté par l’image panoramique de la connaissance), elles ne sont là, réalité, que pour nous replonger dans le marché et dans le trading (celui de l’action sous-jacente, dans la stratégie de réplication ; celui des autres produits dérivés, dans leur marché propre).
87Le marché ne connaît pas le futur. Il est impropre à la connaissance, voire incompatible avec toute idée de représentation. Ce sont les notions d’états du monde et de probabilité qui sont typiques du schéma représentationnel. Quant au marché, il se donne dans ce moment purement performatif où le trader fait ce qu’il est-la pour faire, à savoir sortir de son contexte de représentation et de réplication pour faire le marché du produit dérivé.
88Les contextes ne servent pas tant à connaître ou à représenter quelque chose qu’à répliquer quelque chose et faire que le trader y soit impliqué. Et ce n’est pas un hasard si une nouvelle génération de produits dérivés (options barrière, swaps de variance, options à départ différé, etc.) émerge chaque fois que la sortie du contexte précédent – ce que nous avons appelé le « marché » – le réclame. Car le marché, c’est tout ça : l’avènement des produits dérivés de nouvelle génération et le contexte pour les répliquer et les négocier à leur tour. Le marché ne connaît pas le futur. Il traite directement le futur. (Ou plutôt, il est la technologie du futur29 – c’est-à-dire qu’il ne regarde pas le futur comme une notion métaphysique mais comme quelque chose qui fonctionne aujourd’hui.) Car le futur n’est autre que l’évolution du marché et des produits dérivés.
20. Le dépassement performatif de la représentation et de la possibilité
89Il me restera, pour finir, à faire face à une dernière objection qui est que j’ai essentiellement décrit le marché comme la dynamique de changement de contexte (avec tout ce que cela impliquait comme tension au sein du contexte où le produit dérivé était d’abord théoriquement répliqué et rendu accessible, mais hors duquel il devait, ensuite, ironiquement traiter et gagner une liquidité indépendante) mais que j’ai, par ailleurs, continuellement insisté pour que le marché soit toujours considéré comme donné et qu’il remette toujours tout à plat. Pourquoi ne pas, en effet, se donner le marché en une fois, comme l’entière collection de prix de tous les produits dérivés de toutes les générations, sans la hiérarchisation et la structuration issues des contextes et de leur changement ?
90En réalité, ce sont les produits dérivés eux-mêmes qui imposent la nécessité d’une structuration et d’une représentation en états du monde. Un grand théorème de la finance des marchés établit en effet que, pour qu’il y ait absence d’opportunités d’arbitrage, il faut et il suffit que les prix des produits dérivés (en fait, de tous les actifs) soient formellement représentés comme l’espérance de leur payoff sous une certaine probabilité30. Il existe autant de familles de prix de produits dérivés (ne violant pas l’absence d’arbitrage) qu’il existe de manières différentes de représenter les états du monde (en gammes plus ou moins riches) et d’assigner des probabilités ces états. En réalité, personne ne connaît les «vrais» états du monde et les « vraies » probabilités supposer que de telles choses existent dans le marché), et cette multiplicité de façons d’assigner des prix aux produits dérivés traduit simplement le fait que seuls les prix comptent (et qu’ils ne violent pas, alors, l’absence d’arbitrage) et que chacun est libre de les former en donnant de son monde la représentation qu’il veut et les probabilités qu’il veut31.
91C’est seulement lorsqu’une collection d’états du monde est considérée comme donnée et fixée que l’argument de réplication dynamique peut se mettre en place et imposer l’unicité de la famille des prix des produits dérivés (et leur indépendance vis-à-vis des fonctions d’utilité). Mais, d’une part, rien n’oblige les traders à mettre en œuvre la réplication dynamique (si, d’un commun accord, ils décident de s’en priver) et, d’autre part, tout porte à croire que la collection d’états du monde n’est jamais fixée, car c’est le propre du marché que de l’étendre sans cesse ! Rien n’oblige même de croire à la possibilité préalable d’une représentation en états du monde ! Vue d’en haut, du point de vue où le marché entier est supposé « donné » dans toute la multiplicité des prix (changeants) de tous les produits dérivés et dans l’impossibilité structurelle de le capturer dans un contexte donné et fixé, réplication dynamique (et sa présupposition représentationnelle) se révèle être, en effet, une stratégie (ou une méthode) de pricing comme une autre, qui n’a pas plus de prétention qu’une autre à la vérité.
92La raison pour laquelle je la préfère dans l’exposition philosophique du problème du marché est que, justement, elle est immanente. C’est la vision surélevée et « absolue », qui prétend qu’aucune représentation n’est vraie, que le marché est toujours ouvert, qu’aucune famille de prix n’est unique et que la réplication ne sera jamais valide, qui est, à mon avis, la vision transcendante (bien qu’elle soit vraie, évidemment) ! La vision par réplication, elle, ne prétend rien ; ses contextes ne sont pas là pour connaître ou représenter mais pour fournir un outil de pricing permettant au trader de faire le marché. Et ce qui est alors proprement juste et original, c’est que la « vérité » savoir que le marché échappera toujours au contexte donné et à la représentation donnée – est obtenue, dans le cas de la vision par réplication, d’une manière performative et non pas représentationnelle. Car c’est en utilisant effectivement son outil de pricing et de réplication que le trader contribuera, d’une part, à rendre le marché du produit dérivé plus liquide, et d’autre part, justement à dépasser le contexte et à assurer que le marché n’y sera jamais limité. L’être du marché, dépassement même, est ainsi immanent au marché.
93Bien qu’il soit structurellement le lieu de la faillite de la représentation et de la structure, le marché n’est pas une jungle où tout est possible. Il est principalement un lieu d’action et je caractériserai, justement, cette dernière comme devant associer la représentation avec le désir (et la nécessité) dépasser la représentation. On ne va pas au marché sans préparation ou équipement. Si on y va, c’est pour tenter d’y répliquer des idées, des concepts et des représentations établis, mais également (et même, surtout) pour les traiter et les échanger. On va au marché parce qu’on projette des possibilités (et que cela confirme notre faculté d’exercer notre contrôle, et de réagir de la manière dont le pré- voient nos schémas de représentation et de décision) ; mais on y va surtout pour mettre à l’épreuve notre capacité32, celle de réorienter nos outils et nos décisions de la manière qui n’était pas projetée.
Bibliographie
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10.1007/978-1-4612-2892-9 :Notes de bas de page
1À l’intention de ceux, parmi mes lecteurs, qui ne mesureraient pas encore l’ampleur du phénomène du marché des produits dérivés, je rapporte, à tout hasard, et sans jugement de valeur, ces extraits du Figaro du 3 octobre 2006 : « Les produits dérivés sont tous ces titres permettant d’investir sur des supports aussi différents que le gaz, l’électricité, le CAC 40, l’or ou les taux d’intérêt. [...] On estime que ce ne sont pas moins de 280 000 milliards de dollars d’actifs financiers qui existent aujourd’hui sous cette forme. [...] Les marchés sont tous interconnectés. [...] Ces produits étant “dérivés”, ils sont tous liés d’autres titres, voire les uns aux autres. [...] Il s’agit d’un domaine où la créativité a transformé la finance en une fin en soi. » (« Les pétales d’Amaranth des apprentis sorciers », chronique d’Yves de Kerdrel) L’auteur de l’article écrit au lendemain de la débâcle financière du hedge fund new-yorkais Amaranth Advisors, qui vient d’annoncer une perte de plus de 5 milliards de dollars sur les produits dérivés du gaz. Dira-t-on du marché des produits dérivés qu’il est alors une science humaine, inhumaine ou humaine, trop humaine ? Quoi qu’il en soit, je connaissais bien les hommes d’Amaranth puisqu’ils étaient les clients de ma société de logiciels financiers, ITO 33. (Mon choix du terme anglais « pricing » au lieu d’« évaluation » qui en aurait été la traduction française la plus juste, mais en réalité la plus impropre à la réflexion que je vais mener, est justifié plus bas dans le texte.)
2Michel Bitbol, « La Mécanique quantique comme théorie des probabilités généralisées », In : E. Klein et Y. Sacquin (éds.), Prévision et probabilités dans les sciences, Paris : Éditions Frontières 1998. Michel Bitbol, « Non-Representationalist Theories of Knowledge and Quantum Mechanics », SATS (Nordic journal of philosophy) 2, 37-61, 2001.
3Une proposition ou une détermination sont dites « contextuelles » si elles ne valent que relativement à un contexte d’énonciation donné ou relativement à un contexte expérimental donné. Par exemple, la proposition « Mars est un astre errant traçant un S dans le ciel nocturne » ne vaut que relativement au contexte d’un observatoire terrestre (comme Copernic l’a fait remarquer). En revanche, une proposition (ou une théorie) est dite « méta-contextuelle » si elle énonce quelque chose sur les contextes relativement auxquels les propositions contextuelles prennent leur sens. Un simple élargissement de la proposition précédente conviendra comme exemple de passage au niveau méta-contextuel. La proposition suivante : « La proposition “Mars est un astre errant traçant un S dans le ciel nocturne” vaut relativement au contexte d’un observatoire terrestre et ne vaudrait pas relativement au contexte d’un observatoire solaire » est une proposition méta-contextuelle.
4Là aussi, je retiens le mot anglais plutôt que l’équivalent français (négociateur, cambiste, contrepartiste) en raison de sa proximité avec le verbe « traiter », largement utilisé par la suite.
5Michel Bitbol, Mécanique quantique, une introduction philosophique, Paris : Flammarion 1996, p. 245.
6Ibid.
7Ainsi, par « phénomène du marché », j’entends le fait que le marché existe, son événement, et non pas ses conséquences observables qui sont les séries temporelles de prix.
8Et c’est pourquoi mon mouvement philosophique, à la différence, par exemple, de l’approche transcendantale de Michel Bitbol et de son horizon épistémologique, s’inscrit plutôt dans la réorientation que Heidegger donna à la philosophie (incluant celle de Kant) vers l’ontologie fondamentale et la question de l’être. (Question de l’être et de sa signification – pourquoi pas à travers une phénoménologie herméneutique – et non pas, évidemment, pétrification ontologique et reniement des acquis de la philosophie critique.)
9Je dirai que le prix d’un actif « traite » dans un marché au sens où quelqu’un y traite cet actif à ce prix. C’est la transcription du verbe anglais intransitif to trade.
10Je m’inscris donc complètement en faux contre la théorie des anticipations rationnelles (ou irrationnelles) qui prétend que les acteurs n’échangent dans le marché que parce qu’ils savent quelque chose et qu’ils ont des anticipations mais que celles-ci sont différentes, que leurs informations ne sont pas partagées, et qu’à la fois leurs informations et leurs anticipations fluctuent au hasard. Que le hasard (je préfère dire : le futur) soit la cause et la raison d’être des marchés ne fait aucun doute. Mais je ne m’intéresse pas à la vision globale, macroscopique, le « point de vue de Dieu » où tous les acteurs seraient en quelque sorte « supervisés » et leurs motivations pour échanger passées en revue. Ce qu’il m’intéresse d’énoncer à propos du marché a lieu au niveau atomique, singulier, de l’individu. Je maintiens que le prix du marché n’attire pas l’individu comme résultat positif de ses anticipations (et donc, nécessairement, d’une opération de calcul complexe) mais parce que l’individu, qui n’a peut-être aucune anticipation, sait que ce prix est liquide, c’est-à-dire qu’il peut, à ce prix, avant tout se débarrasser de ce qu’il détient. Les prix ne tiennent pas, dans le marché, en vertu de l’équilibre et de la « fermeté » d’un processus d’évaluation qu’on imagine arrivé, en ce prix, à sa conclusion, mais en vertu de leur échangeabilité et du « déséquilibre », c’est-à-dire en vertu du prochain échange et du prochain changement.
11Fischer Black & Myron Scholes, « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », The Journal of Political Economy, Volume 81, Issue 3 (May-June 1973), 637-654. Robert Merton, « Theory of Rational Option Pricing », Bell Journal of Economics and Management Science, 4, Spring 1973, 141-183.
12De la phénoménologie herméneutique de Heidegger, Otto Pöggeler dit qu’elle est « ontologique parce qu’elle pose la question du sens de l’Être d’une manière positive. À cause de cela, poursuit-il, elle ne peut pas considérer l’Être comme un étant-disponible. Car elle doit soulever la question du sens de l’Être d’une manière nouvelle. » (Otto Pöggeler, Martin Heidegger’s Path of Thinking, New York : Humanity Books 1991, p. 55.) De la même façon, comme je veux poser la question du marché d’une manière positive, et non pas de la manière négative, résiduelle et oublieuse qui est typique de la théorie de l’évaluation, je dois la poser d’une maniere nouvelle.
13En réalité, c’est Robert Merton qui a soufflé à Black et Scholes l’idée de la réplication dynamique. Dans des travaux indépendants, Merton avait en effet développé l’idée, cruciale pour la réplication dynamique, que les agents économiques pussent revoir la composition de leur portefeuille de manière dynamique et continue. Quant à Black et Scholes, ils avaient initialement déduit la formule de pricing des options qui allait porter leur nom dans un autre cadre, celui du CAPM. Dans leur article de 1973, Black et Scholes reconnaissent à Merton la paternité de l’idée réplication dynamique à l’occasion d’une note de bas de page. Cela explique que le nom de ce dernier sera désormais associé au modèle de Black-Scholes et sa récompense par le même prix Nobel. Malgré tout, l’article de référence de 1973 ne portera pas le nom de Merton comme co-auteur. C’est pourquoi, lorsque je référerai à « Black et Scholes » dans la suite de mon article, ce sera en tant que noms des auteurs de l’article fondateur et non pas des personnages historiques, fondateurs de la théorie de pricing moderne des options. Car il faudrait, dans ce cas, clairement y ajouter Merton.
14Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 3e série, tome 17, 1900, pp. 21-86.
15Opération tout à fait licite dans les marchés financiers modernes : on « emprunte » l’action à un investisseur qui la détient et on la vend sur le marché. Cette position, appelée position « short », revient à spéculer à la baisse de l’action. Car on espère alors que le cours de cette dernière baissera, qu’on la rachètera alors dans le marché en réalisant un profit, et qu’on la rendra à l’investisseur qui nous l’avait prêtée. Si, au contraire, le cours du marché de l’action remonte, il faudra la racheter en encaissant une perte afin de la rendre à son propriétaire. Notons toutefois que le trader de produit dérivé qui applique la stratégie de réplication dynamique de Black et Scholes ne spécule pas sur le cours de l’action à proprement parler. Il se contente simplement d’annuler la dérivée partielle du portefeuille π par rapport à S.
16On appelle « opportunité arbitrage » une anomalie, ou une incohérence, qui pourrait se présenter dans les prix des actifs auxquels a accès investisseur, et qui permettrait à ce dernier de réaliser un gain certain en achetant et en vendant une combinaison des actifs correspondants. Un telle combinaison gagnante, ou arbitrage, s’appelle également « Dutch book ». Ici, si la valeur d’un actif non risqué devait croître à un taux supérieur au taux d’intérêt offert pour les dépôts monétaires, on réaliserait l’arbitrage consistant à emprunter de l’argent à ce taux monétaire et à l’investir dans cet actif non risqué. revendant plus tard l’actif et en remboursant l’argent emprunté à la banque, on réaliserait ainsi un profit certain. Réciproquement, si la valeur de l’actif en question devait évoluer à un taux inférieur au taux monétaire, on vendrait « short » cet actif, on placerait les revenus de sa vente au taux bancaire, et on disposerait plus tard d’une somme d’argent strictement supérieure à celle qu’il faudrait pour racheter l’actif. Ainsi, on réaliserait également un profit certain.
17Dans certains cas, l’EDP admet une solution exacte. Tout dépend de sa « condition initiale », à savoir, le payoff du produit dérivé. Dans leur article de 1973, Black et Scholes expriment exactement la valeur du call et du put, en intégrant l’EDP ci-dessus. C’est la fameuse formule de Black-Scholes. Une remarque importante est que la solution de l’EDP de Black et Scholes peut également etre représentée, par exemple dans le cas du call, comme l’intégrale suivante :

Ce résultat est dû au théorème de représentation de Feynman-Kac. Le produit dérivé peut donc être évalué, après tout, comme l’espérance de son payoff actualisée au taux monétaire. Formellement, tout se passe comme si le prix de l’action suivait le processus suivant :

et que les investisseurs évaluaient l’option d’une manière indifférente au risque.
18C’est le coefficient µ de la dérive de l’action, en général strictement supérieur au taux d’intérêt non risqué, qui reflète l’aversion au risque des investisseurs. Pour accepter de détenir un actif risqué, ces derniers exigent, en effet, une compensation qui est que la croissance attendue de l’actif sera plus grande. Or, la réplication dynamique de Black et Scholes parvient à éliminer µ de la formule de pricing des produits dérivés. Non que µ ait disparu de la valeur « absolue » des produits dérivés et que ceux-ci soient devenus des actifs non risqués, µ a seulement disparu de la formule déterministe qui évalue les produits dérivés relativement à l’action sous-jacente.
19Mais peut-être la communauté qui a reçu résultat de Black et Scholes, et qui, pour sa moitié composée des praticiens, s’est aussitôt jetée dans l’exploitation immédiate de ce résultat (faisant ainsi exploser les marchés des produits dérivés), et pour sa moitié composé des théoriciens et des académiques, s’est lancée dans la généralisation de ce résultat au cas de processus autres que le mouvement brownien et de produits dérivés autrement plus complexes que le call ou le put, peut-être cette communauté n’a-t-elle pas eu matériellement le temps, depuis 1973, de s’arrêter un instant pour penser. La philosophie des produits dérivés est une discipline encore inexistante. Dans ce domaine (le marché) qui est purement celui de l’action et du gain financier, à quoi l’attitude réflexive peut-elle servir en effet ? Et pour ceux qui sont déjà immergés dans le marché, quoi cela peut-il servir de tenter de le définir, comme j’ai l’intention de le faire ? Sans doute suis-je trop ambitieux, et cela, même vis-à-vis du projet de cet ouvrage collectif qui est de rapporter, dans une science humaine a priori éloignée de la théorie quantique, un phénomène étrange pouvant tirer profit du formalisme prédictif de cette dernière. Mais j’ai déjà répondu que, dans mon cas, la science humaine en question allait elle-même être définie en même temps que le phénomène étrange que je vais rapporter. Se tient là une occasion philosophique que les acteurs financiers seront toujours excusés de ne pas voir, mais qui me semble, pour le coup, surpasser le cadre anecdotique où l’on ne ferait que noter que le formalisme de la théorie quantique s’applique à une certaine science humaine.
20Il suffit qu’un seul intervenant de marché applique l’algorithme de Black et Scholes pour obliger tous les autres à s’aligner sur ses prix de produits dérivés. Car s’ils ne le faisaient pas, il pourrait monter un arbitrage contre eux. évidemment, je ne fais pas cette remarque pour que vous me posiez la question : « Et si personne n’appliquait l’algorithme de Black et Scholes ? » Le phénomène qui nous intéresse n’est pas celui du marché des produits dérivés envisagé dans toutes ses latitudes et lâché en toute liberté, mais celui du marché des produits dérivés en tant qu’issu du résultat historique de Black et Scholes.
21On peut ériger ce principe d’exclusion en véritable loi. Dans une veine inspirée de Richard Rorty, nous avons, en d’autres lieux, suggéré que le marché tenait du principe de l’ironie, par opposition à celui de la théorie. (Cf. élie Ayache, « The Irony in the Variance Swaps », Wilmott magazine, September 2006, 16-23)
22Cf. élie Ayache, « What Is Implied by Implied Volatility », Wilmott magazine, January 2006, 28-35.
23Je ne sais pas encore nommer la logique qui me permet de faire ce « genre » d’inférence. Certainement pas une logique déductive classique. Et mon inférence n’est pas non plus – n’est surtout pas ! – chrono-logique. Si, selon Heidegger, la question de l’être est première à celle de la logique, alors cette logique est simplement celle qui « suit » de l’être du marché dont je cherche, avant tout, à susciter la question. L’idée que les états du monde du marché doivent être des prix, rien que des prix, et tous les prix, est formulée explicitement par Philippe Henrotte (Philippe Henrotte, « Construction of a state space for interrelated securities with an application to temporary equilibrium theory », In : Endogeneous Economic Fluctuations : Studies in the Theory of Rational Beliefs, Mordecai Kurz, ed., Studies in Economic Theory, Berlin : Springer Verlag 1997). Pour profonde que soit cette idée, et cruciale pour la philosophie des produits dérivés, elle n’a pas encore réussi à ébranler les idées reçues de la théorie financière.
24Le modèle de jump-diffusion est dû à Merton : cf. Merton R., « Options pricing when underlying stock returns are discontinuous », Journal of Financial Economics, 3(1), 1976 : 125-144. Le modèle de volatilité stochastique est dû à Heston : cf. Heston, Steven L. (1993), « A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options », Review of Financial Studies, 6(2), 327-43.
25En réalité, les choses ne sont pas aussi simples. Les processus des prix des options ne peuvent pas être complètement indépendants du processus du prix de l’action, puisqu’ils en sont des produits dérivés, ou complètement indépendants les uns des autres. Bien que jouissant d’un degré de liberté supplémentaire (celui de la volatilité supposée indépendamment stochastique), le processus du prix de l’option doit donc, en un certain sens, toujours se déterminer relativement à celui de l’action. Or, cette évaluation relative posera un problème, maintenant que la réplication dynamique n’est pas assurée. Il existe une solution, bien sûr, consistant à passer par le préalable d’une réplication dynamique optimale de l’option (dans un sens de l’optimalité qui restera à préciser), qui généralisera la réplication parfaite de Black et Scholes. Le processus du prix de l’option en émergera alors comme un processus dépendant à la fois de celui du prix de l’action et de celui de la volatilité stochastique. (Cf. Philippe Henrotte, « Dynamic Mean Variance Analysis », Working paper, July 2002 et Philippe Henrotte, « Pricing Kernels and Dynamic Portfolios », Working paper, August 2002).
26Sans que le marché, qui se donne à l’instant où le contexte est débordé et où a lieu l’inversion du donné, ne soit compris comme un processus temporel ! Car son « être-là » et sa « signification-là » sont intemporels.
27Cf. élie Ayache, « The Equity-to-credit Problem (or the Story of Calibration, Co-calibration, and Re-calibration) », In : The Best of Wilmott 1, West Sussex, England : John Wiley & Sons 2005, 79-107 et élie Ayache, « OpSession : A New Logic for Option Pricing and Trading », Wilmott magazine, May 2006, 32-42.
28Je fais ici allusion à l’idée de reconstitution a posteriori de la chaîne causale, qui a été introduite par la jeune philosophe et mathématicienne allemande Grete Hermann dans un écrit qu’elle a publié en 1935 sous le titre Les Fondements philosophiques de la mécanique quantique. Grete Hermann cherchait à sauver la catégorie de la causalité, répertoriée par Kant comme l’une des conditions de possibilité de la connaissance, de la menace que laissait peser sur elle le caractère acausal du phénomène quantique. Dans l’interprétation, plus moderne, de la théorie quantique comme théorie prédictive méta-contextuelle, on pourrait reformuler l’idée de reconstitution causale a posteriori de Grete Hermann en remarquant que la notion de causalité appartient à notre langage ordinaire non contextuel et qu’on ne peut, par conséquent, la mettre en œuvre en théorie quantique qu’une fois que le contexte expérimental a été déterminé. Ce qui veut dire que la « cause » du phénomène (plus exactement, sa reconstitution) est, en quelque sorte, « postérieure » à celui-ci, puisque le phénomène est coextensif avec son contexte de manifestation. Comme l’explique Léna Soler dans la présentation de l’ouvrage où elle a traduit l’écrit de Grete Hermann, cela revient à dissocier causalité et prévisibilité. C’est la procédure classique de vérification des hypothèses causales qui a induit les physiciens en erreur, écrit Soler. « Parce que pour eux la mise à l’épreuve d’une explication se résumait à formuler à partir d’elle des prédictions puis à les confronter à l’expérience, ils ont identifié à tort la possibilité de connaître les chaînes causales [...] et celle de formuler des prédictions [...]. » (Grete Hermann, Les Fondements philosophiques de la mécanique quantique avec une présentation et une postface de Léna Soler, traductrice, Paris : Vrin 1996, p. 39) Or justement, la théorie quantique est une théorie prédictive méta-contextuelle, c’est-à-dire qu’elle est plus « générale » que la causalité et qu’elle ne peut pas servir à vérifier une hypothèse causale.
29Cf. élie Ayache, « Why 13 can only succeed to 11, or, the End of Probability », Wilmott magazine, July 2006, 30-38.
30Cette probabilité purement formelle est alors appelée « probabilité risque neutre » puisque le calcul d’espérance où elle intervient ne fait pas intervenir la fonction d’utilité et l’attitude vis-à-vis du risque. Nous l’avons déjà rencontrée dans le monde de Black et Scholes, après le théorème de Feynman-Kac. Comme la valeur des actifs contingents fait par ailleurs intervenir l’espérance de l’utilité de leur payoff sous la probabilité réelle, la probabilité risque neutre apparaît comme un moyen formel de « contracter » probabilité réelle et fonction d’utilité. Elle revient à répondre à la question suivante : « Quel changement de probabilité serait-il nécessaire pour qu’un investisseur évalue les actifs contingents comme s’il était devenu insensible au risque ? »
31Ce qui ne signifie pas du tout un retour aux probabilités subjectives ! La probabilité risque neutre n’est que l’outil formel – votre outil de pricing – qui garantit que les prix des produits dérivés que vous affichez dans le marché sont exempts d’arbitrage et que personne ne peut monter un Dutch book contre vous. Au contraire, vos probabilités subjectives, censées refléter votre opinion sur l’évolution du prix de l’action, seraient telles que vous utiliseriez alors vos fonctions d’utilité pour évaluer les produits dérivés, or, tel n’est plus notre propos. Quant aux probabilités et processus stochastiques inhérents à l’outil de pricing, ils ne sont « réalistes » ni au sens des probabilités objectives ni au sens des probabilités subjectives. Les notions de « prix » et de « marché » renversent jusqu’au schéma représentationnel lui-même, alors de là à interpréter les probabilités risque neutre au-delà de l’instrument ! Certains théoriciens de la probabilité soutiennent la primauté de la notion d’espérance par rapport à celle de probabilité (Cf. Peter Whittle, Probability via Expectation, New York : Springer Verlag New York Inc. 2000). La probabilité serait ainsi une notion dérivée dont le seul but est de permettre de représenter l’espérance. Mon interprétation du marché des produits dérivés revient à soutenir la primauté de la notion de prix par rapport à celle d’espérance. Car l’espérance présuppose encore la représentation d’une variable aléatoire et le dispositif représentationnel des états du monde et des probabilités. Selon mon interprétation, elle serait ainsi elle-même une notion dérivée dont le seul but est de permettre de représenter théoriquement le prix. Car le prix est en réalité encore plus simple. ne présuppose rien d’autre que le marché.
32Concept bien plus « initial » que la possibilité (il correspond à la pensée du commencement-initial), ou même que les modalités général, qui ne sont, d’après le Heidegger des Contributions à la philosophie, que les modalités de l’être dans la question métaphysique de l’être. Pour une élaboration de la différence entre capacité et possibilité, voir Elie Ayache, « Why 13 can only succeed to 11, or, the End of Probability », op. cit.
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