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Dynamiques et structures en langue

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David Piotrowski

Chapitre VI. La perspective morphodynamique, rudiments

Texte intégral

1 – Esquisse d’une solution topologique

1.1 – Introduction

  • 1 L. Hjelmslev, 1968, p. 95.
  • 2 L. Hjelmslev, 1972, p. 112-113.
  • 3 B. Victorri, 1988. C. Fuchs, 1988. B. Victorri et C. Fuchs, 1992 et 1996.

1La conception topologique et dynamique des formes linguistiques, explicitement exposée par Saussure (voir chap. V 3), n’est pas la thèse singulière d’un savant isolé. Hjelmslev, par exemple, qui aborde pourtant les phénomènes langagiers sous l’angle d’une caractérisation algébrique (voir chap. V 4), reconnaît en ultime instance leur nature topologique. On peut le lire aussi bien dans les Prolégomènes, où le linguiste danois décrit une « forme linguistique [...] [qui] pose ses frontières arbitraires dans un continuum de sens en lui-même amorphe1 », que dans ses premiers travaux où il décompose les classes paradigmatiques en « zones de signification » – par exemple : « La case qui est choisie comme intensive a une tendance à concentrer la signification, alors que les cases choisies comme extensives ont une tendance à répandre la signification sur les autres cases de façon à envahir l’ensemble du domaine sémantique occupé par la zone2. » –, ou encore, dans son œuvre posthume (le Résumé) qui articule un enchaînement de procédures d’analyse convergeant vers l’enregistrement de distributions de nature topologique. Plus près de nous, de nombreux travaux de linguistique sont développés dans le cadre des opérations et des structures topologico-dynamiques. Citons rapidement, parmi d’autres, la théorie de A. Culioli, les recherches poursuivies par C. Fuchs et B. Victorri3 ou le courant de la linguistique cognitive américaine. La conception topologique (et dynamique) constitue donc une position solide dont nous apprécierons dans ces lignes la force et la portée.

2Nous débuterons ce chapitre en examinant ce qu’il en est, dans cette optique, des notions de spécificité et de généricité. Cela nous conduira à dépasser les difficultés « structurelle », « opératoire » et « interprétative » que rencontre l’analyse sémique dans sa version atomiste (voir chap. V 2.2).

1.2 – Spécificité et généricité

3Dans une approche topologique, les grandeurs sémantiques ne sont plus conçues comme des atomes univoques et autonomes investis de qualifications relationnelles ou substantielles, mais comme des sous-domaines issus d’un processus de catégorisation d’une substance de contenu par instanciation d’un réseau de frontières. Ainsi, par exemple, l’opposition abonnement vs forfait peut être illustrée intuitivement par une frontière instituant deux zones distinctes, chacune propre à un vocable, dans le domaine générique des « contrats de service à prix fixé global », soit (fig. 1) :

Figure 1

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4Cette figure, qui ne reflète qu’imparfaitement le régime fonctionnel des formes différentielles, laisse néanmoins entrevoir quelle recomposition des notions de généricité et de spécificité se trouve ainsi opérée. On observe que le principe spécificateur n’est plus une grandeur de contenu mais la matérialisation d’un fait formel : dans notre exemple, ce ne sont plus des identités de contenu oppositives, à savoir /prestations répétées/ vs /prestation unique/, qui distinguent les vocables abonnement et forfait, mais l’instanciation d’une forme différenciatrice, autrement dit : la réalisation d’une frontière dans une région de contenu générique regroupant les « contrats de service à prix fixé global ». Dans une conception topologique et dynamique, la notion de sème spécifique disparaît donc. Très précisément, les composantes de substance spécifiques sont remplacées par des facteurs de spécification de deux sortes : en forme et en substance.

  • 4 J. Petitot, 1985a, p. 107.

5En premier lieu, au plan de la forme, la spécificité de forfait relativement à abonnement, par exemple, procède d’un régime géométrique de différenciation (un jeu de frontières) doublé d’une indication de positionnement (par rapport aux frontières). En effet, forfait est « formellement » déterminé (i) par une frontière qui établit deux régions en opposition dans une substance de contenu, et (ii) par une information indiquant à laquelle des deux régions correspond ce vocable. Cette indication de positionnement est donnée avec l’orientation des axes d’un « repère [(X, Y)] adapté à une morphologie d’interfaces4. » Dans le cas de figure que nous examinons, « l’adaptation » est triviale : l’axe X est tangent à la frontière, et l’axe Y, perpendiculaire à X. Le repère (X, Y) « adapté » comporte donc un axe Y qui définit des orientations (+ y et – y) permettant de situer les deux domaines que la frontière instaure dans le substrat (voir fig. 2).

Figure 2

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6Mais cette spécification géométrique, apparentée à la seconde facette de la valeur saussurienne, est insuffisante pour déterminer dans son intégralité l’identité d’un signifié. En effet, comme il a déjà été signalé (voir chap. V 3.3), le modèle des formes topologiques et dynamiques est un modèle de relations abstraites, un modèle de régimes d’organisation déliés de la particularité des substrats : les systèmes de frontières sont déterminés indépendamment de l’identité des matières qu’ils informent. Dans l’exemple ici traité, le seuil différenciateur qui institue les deux régions « forfait » et « abonnement » en opposition est une forme « générique », au sens où ses spécifications organisationnelles relèvent de lois indépendantes de l’ordre des substrats, et se trouvent réguler, telles quelles, une multitude d’oppositions en langue.

7La détermination complète d’un contenu oppositif requiert donc, en plus de sa caractéristique formelle, un « ancrage » en substance. C’est cet « ancrage », conçu plus précisément comme une connexion fonctionnelle administrant l’instanciation des régimes différenciateurs abstraits dans des substrats particuliers, qui constitue le second facteur de spécification d’un contenu morphématique. Le principe de cette connexion fonctionnelle, à définir rigoureusement dans une architecture générale des opérations en langue (voir chap. VII), se trouve dans la première facette de la valeur saussurienne (voir chap. V 3.1) : la relation de signification « pointe » dans la matière du contenu les endroits par rapport auxquels placer les lignes d’opposition : elle a pour fonction de fixer en substance des jalons relativement auxquels vont se tracer les frontières instituant des identités de sens en langue.

8Les facteurs de spécification d’un contenu morphématique relèvent donc de deux modalités relationnelles, l’une met en jeu des rapports d’opposition abstraits et génériques, l’autre établit le contact avec des substances particulières. Après avoir introduit les outils formels idoines, nous reviendrons sur le détail d’une telle complexion relationnelle, qui, dans l’immédiat, appelle quelques remarques.

9D’abord on doit souligner que la configuration d’un espace substrat subdivisé par un système de seuils rend adéquatement compte du régime de structuration générique/spécifique. En effet, nous avons vu (voir chap. V 2.2.2) que le rapport générique/spécifique n’est pas engagé entre des grandeurs de contenu, mais entre une grandeur de contenu et un jeu d’oppositions. La conception topologique des structures vérifie bien cet ordonnancement relationnel : le régime instituant les termes spécifiques (les termes relatifs aux régions en opposition) y est une forme oppositionnelle (la frontière) qui entretient un rapport (de participation) avec une grandeur de substance du contenu (la région générique).

10Mais ce schéma organisationnel pose toutefois un problème de taille qui découle d’une description statique des seuils de différenciation. En effet, la frontière délimitant les signifiés « forfait » et « abonnement » établit leur qualification oppositive, mais non pas leur inscription dans un domaine générique commun et indifférencié. En d’autres termes, la donnée statique d’une frontière réalise la conjonction de deux valeurs spécifiques en opposition, mais rompt le lien avec le domaine de substance qui constitue le genre commun de ces valeurs spécifiques. De fait : l’établissement même de la frontière bouleverse l’identité (structurale) d’un domaine générique homogène et, partant, instaure les identités spécifiques en les détachant de celui-ci. Dans notre exemple, les signifiés « forfait » et « abonnement » sont bien définis par leur opposition et leur coexistence relationnelle, mais manque dans un tel schéma l’élément qui établirait l’unité de ces deux signifiés spécifiques, à savoir la région sémantique indifférenciée relative au genre « contrats de service à prix fixé global ». Aussi il ne saurait être question d’en rester à de telles intuitions géométriques, bien trop vagues pour permettre une réelle avancée explicative.

11Pour dépasser la difficulté signalée, il sera nécessaire d’abandonner la conception statique précédente au profit d’une conception « dynamique » de production des valeurs de signification, c’est-à-dire d’envisager une approche « émergentielle » des frontières de signification. À cette fin, nous réinvestirons certains des principaux aspects de la théorie des catastrophes – théorie qui délivre les bases mathématiques d’un structuralisme morphodynamique. Toutefois, avant de s’engager dans une présentation minimalement technique de la démarche morphodynamique, nous proposons d’en évoquer intuitivement tout de suite une dimension fondamentale : la dimension dynamique.

12Dans une conception dynamique, les seuils différenciateurs ne sont pas des formes « incrustées », pour ainsi dire, dans une région de substance, mais des formes issues d’un processus d’émergence : ce sont des formes qui se « déploient » dans un substrat pour y établir des grandeurs oppositives. Cette dimension dynamique est essentielle dans la mesure ou elle institue une connexion entre les régions résultant du processus de différenciation et la substance générique initiale. En effet, les régions en opposition, comme elles sont le produit d’un processus différenciateur (nous verrons que l’on peut concevoir de multiples processus différenciateurs et qu’ils prennent la forme de parcours productifs) sont déterminées relativement au processus d’émergence dont elles constituent un des pôles, l’autre étant la substance initiale. Aussi, une conception dynamique (détaillée rigoureusement en 2.5) rattache par voie processuelle les domaines oppositifs à la région générique, et, partant, assure la cohésion des grandeurs génériques et spécifiques – le principe de cette cohésion étant donc l’unité du processus d’émergence. Ce mécanisme peut très imparfaitement être illustré comme suit (voir fig. 3 – la flèche P désigne le processus différenciateur) :

Figure 3

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13Cette figure rend bien compte des rapports organiques que contractent les différentes grandeurs : les signifiés spécifiques « forfait » et « abonnement » sont entièrement interdéterminés, et le principe de leur interdétermination, à savoir le processus différenciateur P, établit une connexion entre la substance générique « contrats de service à prix fixé global » et les signifiés spécifiques. C’est la difficulté « structurelle » (voir chap. V 2.2.2) qui est ainsi résolue.

14Examinons maintenant comment l’approche morphodynamique, permet de lever les deux autres difficultés (« opératoire » et « interprétative ») que rencontre l’analyse sémique dans sa version atomiste.

15Concernant les problèmes interprétatifs (voir chap. V 2.2.3) : le schéma précédent, aussi approximatif soit-il, illustre bien comment, dans une perspective différentielle et dynamique, la grandeur générique participe à la valeur des termes spécifiques, mais sans s’y impliquer exactement telle quelle – ce qui était à l’origine de la difficulté constatée. La grandeur générique, « rouge » par exemple, participe en effet à l’identité de « écarlate », non pas comme composante à part entière, mais comme « support d’élaboration » : le sens de « écarlate » est construit sur celui de « rouge », donc il l’implique, mais le processus spécificateur laisse le sens complet de « rouge » en « arrière-plan » ; le processus recompose sur la base de « rouge » une nouvelle grandeur oppositive, à savoir « écarlate » qui n’inclut pas la valeur « rouge » en soi puisque l’établissement de « écarlate » se réalise dans une dislocation de « rouge ». En d’autres termes, « rouge » entre dans « écarlate » comme une « réminiscence » et non comme une composante.

  • 5 W.-J. Levelt, 1992, p. 7.

16Pour ce qui est des difficultés « opératoires » (voir chap. V 2.2.4), la perspective se trouve inversée et le problème s’évanouit. En effet, l’hypothèse de la compositionalité du signe conduit à poser le problème dans le sens de l’hyponyme vers l’hypéronyme : l’activation de l’hyponyme provoque l’activation de sa composante générique et donc de l’hypéronyme. Or dans une approche dynamique, l’orientation est contraire : ce qui constitue le point de départ du processus, c’est la substance du genre (l’hypéronyme), et le point aboutissant est une grandeur d’espèce (l’hyponyme). Le parcours est donc dirigé du générique vers le spécifique, avec, à chaque niveau du parcours, « dislocation » du substrat qui est l’objet de la différenciation. Le terme aboutissant est donc unique et le problème de la propagation d’activations vers le générique disparaît. On notera à ce titre que le mécanisme dynamique de construction de valeurs spécifiques répond dans sa forme interne au « principe de spécificité » proposé par Levelt, à savoir : « of all lemmas whose conditions are satisfied by the concept-to-be-expressed the most spécific one [...] should be selected5. »

2 – L’approche morphodynamique

2.1 – Introduction

17Nous consacrerons la seconde partie de ce chapitre à une présentation de quelques éléments de la théorie des catastrophes (TC). Vu la redoutable complexité mathématique de cette théorie et la profondeur des perspectives qu’elle ouvre, nous ne proposerons de la TC, ou « modèle morphodynamique », qu’une esquisse outrancièrement grossière : rien de plus que quelques formules simples et quelques images bien trop intuitives pour délivrer une compréhension rigoureuse des mécanismes de « morphogenèse » (ce qui supposerait d’introduire des notions formelles d’une très grande technicité). Nous souhaitons toutefois ces rudiments suffisamment clairs et corrects pour fixer des idées précises, poser des bases conceptuelles valides, et, en prolongement, pour se donner les moyens d’exploiter convenablement certains outils, sans toutefois discuter les conditions fines de leurs applications.

18L’indigence de notre exposition trouve ses motifs, au besoin ses justifications, d’une part, dans l’existence d’excellents ouvrages offrant des introductions à la TC à différents degrés de difficulté (parmi les « classiques », citons Arnold 1985, Zeeman 1977, Poston et Stewart 1978, Thom 1972) et suivant l’optique des nombreuses disciplines dont les problématiques et les perspectives se sont vues renouvelées par l’approche morphodynamique – ouvrages auxquels il serait alors stérile de faire concurrence. D’autre part, on fera valoir des arguments de finalité : l’objectif que nous nous fixons est restreint. Pour l’essentiel, il s’agit : (i) en apportant une caractérisation précise de l’architecture fonctionnelle du signe saussurien (ii) de spécifier la forme interne du différentiel de recevabilité ainsi que les modalités de sa participation à l’établissement des grandeurs de langue pour (iii) définir une architecture théorique satisfaisant les conditions d’organisation « affaiblies » des sciences empiriques. Pour ces raisons, nous restreindrons volontairement l’exposé de la TC au minimum technique directement utile à nos desseins : du modèle morphodynamique nous ne retiendrons que les éléments susceptibles de servir nos propres investigations.

  • 6 P. A. Brandt, 1994, p. 1.
  • 7 B. Pottier, 1987, p. 76.
  • 8 W. Wildgen, 1982 et 1995 à paraître.
  • 9 J. Petitot, 1992.
  • 10 J. Petitot, 1985b.
  • 11 J. Petitot, 1985a.

19Comme il a été mentionné, depuis les propositions novatrices de R. Thom dans les années 70, les idées de la morphodynamique ont pénétré de nombreux champs disciplinaires et en ont profondément remanié les bases problématiques. Cela tout particulièrement dans le domaine des sciences du langage alors dominé, presque sans partage, par la position formaliste : « Le sens, le signe, la forme, le temps, le modal, l’actant, tout a été profondément secoué par l’explosion morphodynamique6. » Notre parcours s’inscrit donc dans des horizons explorés par de nombreux travaux, parmi lesquels nous mentionnerons ceux de B. Pottier (dont la théorie noémique7 se réfère aux morphologies archétypes de R. Thom), de W. Wildgen sur une « grammaire morphodynamique8 », de H.J. Seiler sur les universaux du langage (programme UNITYP), de P.A. Brandt (sur les formes sémiotiques fondamentales : modalité, signe, actance...) et de J. Petitot qui, dans le cadre programmatique d’une « physique du sens9 », a permis d’importantes avancées dans la connaissance des structures sémio-narratives10 et phonologiques11, et, de façon générale, des formes constitutives de l’objectivité structurale.

20Prenant appui sur une théorie des formes dynamiques, notre travail rejoint aussi les recherches actuelles sur la modélisation connexioniste des opérations cognitives. En effet, aujourd’hui reconnus comme des techniques d’implémentation de régimes dynamiques, les réseaux de neurones (développés essentiellement dans le cadre du paradigme connexioniste des sciences cognitives) fournissent des modalités d’effectuation des processus organisationnels décrits par la TC – qui dépasse ainsi le stade de la pure spéculation. La modélisation morphodynamique, à l’origine principalement tournée vers le structuralisme, recoupe ainsi les courants de la linguistique et du cognitivisme « dynamique » (voir par exemple les travaux de Langacker, Talmy, Fuchs et Victorri...). Aux difficultés que ces courants rencontrent, l’approche morphodynamique apporte des éléments de solution (par exemple le problème de la « constituance » et sa solution dans le cadre morphodynamique ; voir la présentation dans Petitot 1994) et, en prolongement, riche d’une grille d’analyse et d’outils conceptuels élaborés, elle contribue à redessiner leur horizon problématique (voir l’ouvrage collectif de T. van Gelder 1995).

21Reprenant le modèle morphodynamique à des fins utilitaires, il importait d’en donner une présentation qui ne soulève aucune controverse et nous dote d’éléments techniques et conceptuels suffisamment assurés pour garantir la consistance de notre progression. À cette fin, nous avons choisi de prendre appui sur les travaux de J. Petitot : nous suivrons, tout en le simplifiant, l’exposé des rudiments de la TC que J. Petitot a donné dans différents ouvrages, auxquels nous renvoyons (ainsi qu’à leurs bibliographies) pour tous les approfondissements nécessaires.

2.2 – Problématique

22Le problème traité par la théorie des catastrophes est celui de la catégorisation d’une « substance ». Catégoriser une substance, c’est conjuguer un principe d’organisation et une matière empirique ; c’est donc conjoindre deux ordres hétérogènes. Il s’agit d’un problème d’une très grande difficulté – problème, rappelons-le (voir chap. V 4.3), que Hjelmslev n’a pu surmonter qu’en introduisant un tiers terme, à savoir la procédure de déduction qui, régissant une alternance entre les pôles de la forme et de la substance, les met ainsi en relation. Le problème de la catégorisation peut être formulé plus précisément comme suit : (i) soit la forme, en tant que régime de catégorisation, est authentiquement instanciée dans le substrat, et, dans ce cas, elle en constitue un principe de régulation interne, autrement dit : elle est intégrée au substrat qu’elle caractérise, en tant que tel, dans son identité matérielle intrinsèque : universelle et permanente – ce qui n’est bien évidemment pas le cas d’une forme sémiotique, (ii) soit la forme est extérieure au substrat, et il faut alors comprendre le principe de sa connexion à ce substrat par d’autres voies que celle d’une « projection »– conception naïve qui, on le sait, soulève plus de difficultés qu’elle n’en résout. Quoi qu’il en soit, les processus de catégorisation articulent nécessairement deux niveaux : un niveau de « base », à savoir l’espace « substrat », et un niveau « supérieur » : celui de la forme organisatrice qui préside à la synthèse du divers du substrat et y institue de nouvelles identités catégoriales – suivant des modalités autres que projectives qu’il reste à déterminer.

23Comme nous l’a indiqué J. Petitot, le principe d’une articulation sur deux niveaux peut être établi par la voie d’une déduction a priori, dont voici les principales étapes. (1) Considérons, donc, la question du rapport de subsomption entre un type abstrait (catégorie) et la diversité de ses occurrences concrètes (« tokens »). (2) De façon générale, les « tokens » varient de façon continue, et il faut s’interroger sur le principe de leur rapport à des catégories discrètes. (3) Plus précisément, on doit au préalable examiner la forme que peut prendre une catégorie dont les éléments varient continûment : (4a) d’une part, une telle catégorie désigne un regroupement d’éléments concrets, (4b) d’autre part, comme on raisonne dans un espace global d’occurrences, les catégories procèdent d’un découpage de cet espace, aussi, (4c) les catégories constituent nécessairement des classes d’équivalence. (5) Ensuite, se pose la question du principe d’engendrement, i.e. de formation, de telles classes d’équivalence – question qui rencontre la difficulté suivante : (6) de façon générale, la catégorisation d’un espace en classes d’équivalence procède de l’action d’un groupe (voir infra). Or dans le cas de figure « normal », les éléments d’un espace constituent un ensemble homogène et l’action d’un groupe ne peut donc y produire qu’une seule classe d’équivalence. La catégorisation s’avère donc impossible par des voies directes. (7) Pour sortir de cette impasse, l’idée développée par la TC consiste à effectuer un « plongement », c’est-à-dire à considérer l’espace « substrat » (premier niveau) à catégoriser comme un sous-espace d’un espace de complexité supérieure (second niveau) qui peut être rendu hétérogène, i.e. qui peut être partagé en « catégories », par l’action d’un groupe. (7a) Pour ce faire, on plongera l’espace « substrat » dans un espace fonctionnel et, (7b) la catégorisation de l’espace « substrat » sera la trace des subdivisions (géométriques) de l’espace fonctionnel (par le système discriminant de ses formes instables, voir infra).

2.3 – Architecture générale

24Intuitivement, d’abord, les processus de catégorisation s’articulent suivant le mode d’un couplage fonctionnel des éléments w de l’espace substrat W (appelé « espace externe » ou « espace de contrôle » – nous y reviendrons) avec les états « internes » Aw d’un certain système S : deux unités w1 et w2 de W partagent une même identité catégoriale si les états internes et Aw2 de S qu’elles déterminent sont équivalents (suivant une certaine relation d’équivalence).

25Plus précisément, les états « internes » Aw de S sont définis par les « attracteurs » (voir infra) d’un processus dynamique Xw (sur un espace « interne » M), et on se donne un champ σ : W -> x qui envoie les unités w de l’espace « externe » W dans χ l’espace fonctionnel des processus qui déterminent des états dans M. σ constitue ainsi un « contrôle » qui associe à chaque w de W (dit espace de contrôle) une dynamique Xw . (nous verrons par la suite que le champ σ « plonge » W dans χ et que, de ce fait, les éléments w peuvent être vus de deux façons : d’une part, comme unités de l’espace substrat W, et, d’autre part, comme images par σ, donc comme dynamiques particulières Xw de χ)•

  • 12 J. Petitot, 1985b, p. 105.
  • 13 J. Petitot, 1985a, p. 99.

26De façon générale, une dynamique Xw possède plusieurs états attractifs, et c’est une certaine « instance de sélection » (voir infra) qui décide lequel des « attracteurs » de Xw va être actualisé (aux dépens de ses concurrents) pour déterminer la réalisation d’un certain état interne Aw de M (l’espace interne). La catégorisation de W procède alors de l’identification des états internes Ai, non pas sur la base de leurs qualifications « ponctuelles » dans le système de coordonnées de M, mais sur la base de leur « type qualitatif », c’est-à-dire, nous y reviendrons, sur la base des rapports de compétition que l’attracteur actualisé engage avec les autres attracteurs, alors virtualisés, du processus dynamique. Un tel « type qualitatif »« sera en général défini par l’action d’un groupe G sur l’espace fonctionnel12. » Autrement dit, on considérera par la suite les état internes sous l’angle de la structure qualitative des dynamiques dont ils procèdent (on y reviendra). La catégorisation de W résultera donc d’une sorte de « retour » sur W de la structure d’équivalence de σ (W). Plus rigoureusement, nous verrons que « La catégorisation est la trace sur l’espace de contrôle des instabilités des formes qu’il contrôle13 ».

  • 14 Ibid., p. 99

27« Ce n’est [donc] pas “intrinsèquement” qu’un espace de contrôle [i.e. qu’un espace substrat] se trouve catégorisé14 » : le principe de la synthèse catégorielle des éléments du substrat se situe fonctionnellement à un niveau hiérarchique supérieur (celui des formes contrôlées par le substrat), et la connexion du substrat aux formes catégorisantes est établie suivant le mode d’un « contrôle ».

  • 15 B. Victorri, 1992, p. 192.

28Dans sa version « élémentaire », la théorie des catastrophes s’intéresse au cas de figure où les dynamiques sont définies par des fonctions potentiel ƒw : M -> R (M, l’espace interne, étant une variété différentiable compacte). Rappelons que, intuitivement, le graphe d’une fonction potentiel peut être vu comme un « relief » (cols, vallées...) « au-dessus » de M, et les valeurs minimales de ce relief (les attracteurs) déterminent des états de stabilisation vers lesquels tendent les processus dynamiques. Comme le formule B. Victorri (nous changeons les symboles) « les trajectoires de la dynamique ƒw [sont] les lignes de plus grande pente du relief : les attracteurs de la dynamique sont alors les points les plus “bas” du relief (minimaux locaux), et les bassins d’attracteurs sont les “vallées” autour de ces points15. ») Par exemple, si M est de dimension 1, le graphe suivant (fig. 4) représente une fonction potentiel à deux minima : un minimum absolu M1 et un minimum relatif M2. L’attracteur M1 détermine alors l’actualisation d’un état A de M.

Figure 4

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29La catégorisation de l’espace substrat W (par « image réciproque ») sera alors le reflet des « conflits » (concurrences) entre les différents attracteurs (ici M1 et M2) des dynamiques que W contrôle. On notera par ailleurs que la délicate question du statut des dynamiques internes dans la modélisation morphodynamique (i.e. quel est leur place théorique et leur corrélat empirique ?) a trouvé une réponse dans le cadre du paradigme connexioniste : les dynamiques correspondent aux processus implémentés par les réseaux de neurones.

2.4 – Catégorisation des formes

30En première instance, il sera naturel de caractériser les fonctions potentiel (processus dynamiques) sur la donnée de leurs attracteurs. Il faudra donc (2.4.1) préciser quel est l’attracteur « principal » : celui qui définit l’état dans lequel se stabilise le système dynamique lorsqu’il comporte plusieurs attracteurs – comme, par exemple, dans le cas de figure précédent où la fonction potentiel possède deux minima. Par ailleurs (2.4.2), il faudra aussi définir le mode relationnel qui établit l’équivalence de différentes fonctions potentiel. Autrement dit, il faudra préciser suivant quels critères deux processus dynamiques sont jugés équivalents, soit encore : suivant quels critères les éléments du substrat qui contrôlent ces dynamiques constituent des occurrences concrètes d’une même identité catégoriale.

2.4.1 – L’instance de sélection

31Dans le cas où une fonction potentiel possède plusieurs attracteurs, le choix de l’état en lequel se stabilise le système (ou état actuel) est décidé par une certaine instance de sélection. On distingue deux principales modalités de sélection, appelées respectivement « convention de Maxwell » et « convention du retard parfait » (dorénavant convention M et RP).

  • 16 J. Petitot, 1985a, p. 190.

32La première (convention M) stipule que l’état actualisé est déterminé par le minimum absolu de la fonction potentiel, sans autres considérations. À l’inverse, la convention RP prend en compte « l’histoire » des déformations de la fonction potentiel : le minimum qui détermine l’actualisation d’un état à un moment donné conserve sa fonction « déterminative » au cours des déformations de la fonction potentiel, tant que ces déformations n’occasionnent pas sa disparition. C’est alors le minimum du bassin dans lequel le précédent minimum s’évanouit qui détermine l’actualisation du nouvel état. Autrement dit « le système subsiste dans son état tant que celui-ci ne disparaît pas par bifurcation16. » La figure suivante (fig. 5) illustre les actualisations dictées par les deux conventions (la « pastille » représente l’attracteur déterminant l’état actualisé).

Figure 5

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  • 17 W. Wildgen, 1982, p. 10.

33Comme le souligne Wildgen17, d’un système administré par la convention M on peut dire « that it has “knowledge” about the global situation », tandis qu’un système régi par la convention RP « [...] has no “knowledge” of the other stable attractors and their potential ; it reacts only locally. »

  • 18 Ibid., p. 10.

34Pour ce qui est du choix d’une des conventions, Wildgen, après avoir rappelé que « R. Thom proposed choosing the Maxwell convention with physical interpretation and the delay convention with biological ones, [and that he] derived his archétypes of capture and emission, however, by using the delay convention », Wildgen, donc, considère que « both possibilities should be systematically considered until more is known about the processes underlying the recognition of events and their cognitive storage18 ». Pour nous-même, il semble que la problématique suivant laquelle nous abordons la théorie morphodynamique, à savoir une problématique structurale, oriente le choix vers la convention M. En effet, seule la convention M prend en considération la totalité systémique du processus dynamique. Alors que la convention RP observe « localement » l’attracteur actualisé, i.e. indépendamment des évolutions au cours desquelles les attracteurs d’une dynamique voient leurs positions relatives évoluer, et ne prend en compte que sa persistance ou sa disparition, dans la convention M les attracteurs sont systématiquement comparés, donc mis en relation, et c’est le minimum absolu qui est actualisé. La convention M ne fragmente donc pas le système, comme le fait la convention RP, et s’accorde à la nature holistique d’une complexion structurale. Notons par ailleurs, d’une part, que la convention M est très usuelle en sciences physiques où elle correspond au principe de minimisation de la fonction énergie, et, d’autre part, que c’est cette convention que J. Petitot utilise pour rendre compte dans le cadre morphodynamique de l’opposition qualitative (voir infra).

35Mais le choix de l’une ou de l’autre des conventions n’empêche pas pour autant certains problèmes de se poser. En effet, dans les deux cas le minimum déterminant l’actualisation d’un état est unique, d’où les difficultés suivantes :

    • 19 E. C. Zeeman, 1977, p. 630.
    • 20 R. Thom, in E. C. Zeeman, 1977, p. 636.
    • 21 Y.-M. Visetti, 1990, p. 199.

    pour ce qui est de la convention RP : comment rendre compte de la coexistence des actants correspondant aux différents minima ? Ce problème a été soulevé par Zeeman : « The fallacy is that at any given moment the brain State [...] can only lie in one attractor (or in the basin of one attractor), of the dynamic [...]. Therefore the brain can only think of one actor, or one noun, at a time, whereas what Thom really wants [...] is for the brain to think of the whole sentence simultaneously19. » La réponse de Thom à cette objection s’articule sur le phénomène de « confusion des actants » : « I think that the « “connectedness objection” is taken care of in my Bahia paper, “langage et catastrophe”, through confusion of actants, the unicity of the attractor associated to the global meening of a sentence is assured20. » Il ne semble pas toutefois que la réponse de Thom ait donné totale satisfaction. La résurgence de ce même problème dans le cadre problématique des réseaux neuronaux le laisse tout du moins supposer : comme le remarque Y.-M. Visetti, « si chaque actant est identifié à un attracteur, il est impossible que plusieurs d’entre eux subsistent à la fois. [...] Il faudrait renoncer en particulier au principe un actant = un attracteur21. »

  • Pour ce qui est de la convention M, la question est la suivante : quelle statut et quel rôle accorder aux minima non absolus s’ils ne peuvent en aucun cas déterminer une actualisation ? Nous relevons cette difficulté quelque peu naïvement dans le but d’orienter la suite de notre présentation de la théorie des catastrophes.

36Par ailleurs, les difficultés que soulèvent les conventions M et RP, bien que distinctes, se rapportent à un même problème : celui de l’identité des minima non actualisés. La réponse au problème que pose la convention M fournira alors des éléments à celui posé par la convention RP.

37Dans ce qui suit, nous choisirons donc la convention M, et nous nous attacherons à comprendre et à établir l’identité des minima relatifs. À cette fin, il sera nécessaire d’envisager la mise en relation des différentes déformations des fonctions potentiel, puis, plus avant encore, de déterminer les chemins possibles de génération des fonctions potentiel, chemins qui institueront les différents minima (absolus et relatifs) dans leur identité structurale précise. Mais dans l’immédiat, nous revenons à la question du rapport d’équivalence entre les formes dynamiques.

2.4.2 – Identités qualitatives

2.4.2.1 – Dynamiques

38Le choix de formes dynamiques comme formes contrôlées par les éléments de l’espace substrat répond pleinement à la conception saussurienne des structures langagières. En effet, rappelons (voir chap. V 3.2) que les rapports qu’engagent les « valeurs » sont des rapports d’opposition et de conflit : les différents signifiés-valeurs ont tendance à envahir des domaines d’un espace substrat de signification et entrent ainsi en « compétition ». Il est donc « naturel » et conséquent d’associer les réalisations de parole à une identité en langue (« valeur » ou « type ») de nature dynamique. Les réalisations « concrètes » de parole sont alors conçues comme des grandeurs singulières d’un espace substrat de signification et elles sont fonctionnellement associées à des identités dynamiques dont les types qualitatifs (issus de l’action d’un groupe) déterminent « en retour » des régions (catégories) dans le substrat. Considérons alors deux occurrences s1 et s2 qui déterminent deux formes dynamiques σ (s1) et σ (s2). La question est de savoir sur quel principe on doit identifier (ou non) ces deux dynamiques, identification qui établira (ou non) les occurrences s1 et s2 en tant que « tokens » d’un même « type ».

39σ (s1) et σ (s2) sont deux fonctions potentiel de M dans R. Pour faciliter l’exposé, sans fausser pour autant le raisonnement, supposons M de dimension 1. Les dynamiques décrites par σ (s1) et σ (s2) peuvent donc être représentées comme des graphes dans un plan ordonné par les axes de M (abscisses) et R (ordonnées). Par exemple (fig. 6) :

Figure 6

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40Pour établir l’équivalence de σ (s1) et σ (s2) on pourrait exiger que les graphes de σ (s1) et σ (s2) coïncident « exactement », c’est-à-dire exiger que les fonctions σ (s1) et σ (s2) soient égales en tous points. Mais on comprend qu’un tel principe d’équivalence est trop « fort ». Parce qu’il suppose de prendre en considération les systèmes de coordonnées de M et de R qui caractérisent les graphes de σ (S1) et σ (s2) Or la donnée dans M d’un système de coordonnées (i.e. une « base » de M) n’est pas une donnée « absolue » du problème de la catégorisation d’un espace substrat. M constitue plutôt une composante intermédiaire destinée à introduire la structure formelle des processus dynamiques. Rappelons en effet (voir 2.2 ; la déduction du modèle morphogénétique) que la catégorisation d’un espace substrat homogène est impossible par des voies directes (action d’un groupe sur l’espace substrat) et que, pour ce faire, il est nécessaire d’opérer un plongement de cet espace dans un espace plus complexe (espace fonctionnel) susceptible d’être rendu hétérogène par l’action d’un groupe. Dans le schéma de catégorisation discuté, c’est donc indépendamment de tout système de distribution de valeurs sur M et sur R (système de coordonnées) que doivent être envisagés les graphes des fonctions potentiel.

  • 22 J. Petitot, 1985a, p. 137.

41En conséquence, la relation d’équivalence entre formes dynamiques doit être fondée non pas sur des systèmes de coordonnées des espaces où elles sont exprimées, mais sur leur structure qualitative interne : sur leur type qualitatif, c’est-à-dire sur ce qui les identifie intrinsèquement et qui reste inchangé lorsque les repères des espaces où elles sont définies sont l’objet de variations : « En tant que forme, un élément ƒ [...] doit être visé indépendamment des « changements de coordonnées » de son espace source et de son espace but22. » On notera par ailleurs que cette exigence procède de principes généraux de catégorisation. En effet (voir supra), l’inscription d’occurrences concrètes (tokens) au sein de catégories (types) procède de l’action d’un groupe qui institue des classes d’équivalence de « tokens ». Le problème de la catégorisation impose donc a priori de s’abstraire des qualifications apportées par les systèmes de coordonnées des espaces de « tokens ».

42En première approximation, on observera que les changements de coordonnées, qui permettent de faire coïncider les graphes de σ (s1) et de σ (s2) en effectuant sur eux des translations et des contractions/expansions, conservent l’information relative à la distribution des minima et maxima, à savoir l’information sur la structure qualitative interne des dynamiques. Ainsi, dans l’exemple précédent, σ (S1) et σ (s2) sont de même type qualitatif parce qu’il est possible de « déformer » σ (s1) par (a) des « contractions horizontales » et (b) des « expansions verticales » sans modifier son type qualitatif (intuitivement : son « profil » à deux minima de valeurs inégales et un maximum) puis (c) de le « translater » pour le superposer point par point à σ (s2) (voir fig. 7).

Figure 7

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2.4.2.2 – Type qualitatif

43Techniquement, les déformations de σ1(x) et σ2(x) (graphes de σ (s1) et σ (s2)) par « changements de coordonnées » sont formulées par des compositions de σ1(x) et σ2 (Χ) avec des fonctions (de R sur R et de M sur M) indéfiniment différentiables et inversibles, appelées difféomorphismes. Ces fonctions forment respectivement des groupes notés Diff (R) et Diff (M). Plus généralement, l’effet sur ℱ (l’espace des fonctions potentiel de M dans R) de telles fonctions correspond à l’action sur ℱ du groupe produit G = Diff (R)*Diff (M). Le groupe G institue donc dans ℱ la relation d’équivalence suivante : ƒ(x) et g(x), deux fonctions de ℱ sont équivalentes si elles peuvent être transformées l’une en l’autre par des changements de coordonnées.

44On appelle point critique les minima et maxima d’une fonction ƒ(x) de ℱ(c’est-à-dire les points en lesquels les dérivées premières s’annulent : en lesquels la tangente est horizontale). On vérifie aisément que l’action de G conserve les trois informations qui caractérisent le type qualitatif de cette fonction, à savoir : (i) l’existence (et le nombre) des points critiques, (ii) leur nature (dégénérée ou non, c’est-à-dire « superposant » ou non plusieurs minima ou maxima – nous y reviendrons) et (iii) leurs positions relatives. On appellera orbite de ƒ(x) la classe des fonctions équivalentes à ƒ(x), i.e. la classe des fonctions de même type qualitatif que ƒ(x). L’orbite de ƒ(x) est donc calculée comme l’action de G surƒ(x) (Remarque : lorsque les fonctions sont envisagées comme des représentants de dynamiques, seuls les conflits entre minima (qui correspondent à des attracteurs) sont pertinents : les positions relatives (i) des maxima et (ii) des maxima et des minima n’entrent pas en ligne de compte dans la qualification interne du processus dynamique).

2.4.2.3 – Insuffisances

45Si le type qualitatif d’une dynamique en délivre une première caractérisation structurale, cette caractérisation reste toutefois largement insuffisante. Un type qualitatif nécessite en effet d’être enrichi d’une identité relationnelle, c’est-à-dire d’être situé relativement aux autres types qualitatifs. Pour comprendre cette exigence, considérons le cas très simple d’une fonction potentiel ƒ(x) possédant deux minima M1 et M2 séparés par un maximum M3 – le minimum absolu étant M1. (fig. 8)

Figure 8

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46La fonction ƒ(x) exprime la tendance vers l’actualisation d’un état relatif à M1, mais aussi le fait que M1 n’est pas le seul état envisagé par la dynamique ; ƒ(x) possède un autre minimum (relatif) M2 qui entre en quelque sorte en compétition avec M1, i.e. qui engage avec M1 une interaction – et, conséquemment, participe à la détermination de la valeur structurale de M1. Mais on conviendra que M2, en tant qu’état virtuel, fonde sa valeur sur la réalisation qu’il laisse entrevoir, c’est-à-dire sur l’actualisation qu’il représente potentiellement. En effet, tout le « poids » conflictuel de M2 dans l’interaction contractée avec M1, c’est bien d’orienter vers une réalisation (relative à un état M2 actualisé) qui s’oppose effectivement à la dynamique « pilotée » par

47Pour appuyer ces considérations, on observera que, conformément à la convention de Maxwell, le potentiel ƒ(x) envisagé isolément ne détermine pas d’autres actualisations que M1. Cette dynamique d’actualisation, ainsi dégagée de toutes sortes d’oppositions « effectives » avec des attracteurs concurrents susceptibles de la « contrer », i.e. susceptibles de conduire vers d’autres états, cette dynamique d’actualisation, donc, ne se distingue alors en rien d’une dynamique définie par une fonction potentiel comportant un unique minimum. Aussi, si la virtualité M2 participe à la détermination de M1, c’est nécessairement en tant qu’elle renvoie à l’actualisation effective d’un état correspondant à M2. Cette observation est cruciale, aussi, au risque de se répéter, nous la reformulerons immédiatement dans des termes plus adaptés aux développements à venir – de la façon suivante : les interactions entre les différents états relatifs aux minima d’une fonction potentiel supposent le préalable d’un « parcours d’acquisition » de ces états, c’est-à-dire d’un parcours de « prise en charge » au fil duquel ils se trouvent tour à tour actualisés et rassemblés dans une structure synthétique.

48Il faudra donc envisager la fonction ƒ(x) non plus isolément, mais en connexion à une fonction g(x) où l’attracteur M2 oriente vers une actualisation effective, c’est-à-dire une fonction g(x) où M2 est le minimum absolu. Mais ce n’est pas tout. Car il ne suffit pas pour ce faire de co-inscrire les graphes de ƒ(x) et g(x) de la façon suivante (fig. 9) : et de fixer « axiomatiquement » une identité entre le point M2 virtuel en ƒ(x) et M2 actuel en g(x), par exemple par une formule comme : M2[f(x)] = M2[g(x)]. Il est évident que l’identité des deux attracteurs M2 ne saurait de façon satisfaisante résulter d’une telle opération « externe ». Au contraire, elle doit provenir d’une jonction « interne » entre ƒ(x) et g(x), c’est-à-dire d’une jonction qui assure la « liaison » de M2 dans f(x) à M2 dans g(x).

Figure 9

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49Il sera donc nécessaire maintenant de doter ℱ d’une structure de voisinage, à savoir, techniquement, une topologie, pour formuler le passage de proche en proche (représenté par une double flèche dans la figure 10) de f(x) à g(x), i.e. la déformation continue de f(x) en g(x), et ainsi inscrire leurs minima respectifs dans un réseau de connexions en établissant les identités.

Figure 10

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  • 23 Ibid., p. 158.

50La qualification complète du type qualitatif d’une forme dynamique suppose donc l’information qu’apporte une connexion qui « suit » dans l’espace des formes (précisément, nous verrons, dans l’espace du déploiement universel d’une singularité origine) la déformation progressive de la dynamique considérée en une dynamique d’un autre type. La dimension géométrique, introduite ici pour établir les jonctions entre formes dynamiques de types qualitatifs distincts, va s’avérer cruciale lorsqu’il s’agira de classifier les différentes formes stabilisées d’une dynamique instable. En effet, on verra qu’une « authentique classification23 » des formes stabilisées (2.4.3.2), c’est-à-dire la distribution de leurs types qualitatifs dans un système de connexions synthétique, procède de leurs rapports de positionnement réciproques, autrement dit, procède d’un ordre géométrique. Dans cette perspective, nous nous intéresserons tout de suite à une notion qui va fonctionner comme un principe articulateur de la géométrie des types qualitatifs : la notion de stabilité.

2.4.3 – Identités géométriques

2.4.3.1 – Stabilité et instabilité

51On supposera définie une topologie T sur ℱ. Dès ce moment, où la notion de voisinage prend un sens précis, il est possible de traiter rigoureusement des « petites déformations » d’une fonction ƒ(x), i.e. des déformations d’une fonction ƒ(x) telles que les produits de ces déformations se situent dans un voisinage de ƒ(x) aussi petit que souhaité.

52De la notion de « petite déformation », conjointe à celle de « type qualitatif », se dérive alors directement la propriété de stabilité. En effet, étant donné l’action d’un groupe G et d’une topologie T sur ℱ, l’instabilité d’une fonction ƒ(x) se définit naturellement ainsi : ƒ(x) est instable si tout voisinage de ƒ(x) comprend des éléments qui ne sont pas de même type qualitatif que ƒ(x). En d’autres termes, si est instable, des « petites » déformations peuvent modifier son type qualitatif. Inversement, une fonction ƒ(x) est stable si il existe un voisinage de ƒ(x) dont tous les éléments sont du même type qualitatif que ƒ(x). Par exemple, ƒ1(x) est une forme stable : les petites déformations (en trait fin – voir fig. 11) de ƒ1(x) ne modifient pas son type qualitatif (intuitivement : son « profil »), à savoir l’existence d’un minimum et d’un maximum, la position relative de ceux-ci et leur nature non dégénérée (voir infra).

Figure 11

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53L’existence de types stables et instables induit alors une distribution géométrique des types qualitatifs de ℱ. En effet, notons d’abord que – conséquence directe de la définition de la stabilité – les classes d’équivalence des éléments stables de ℱ constituent des « ouverts » de ℱ c’est-à-dire, des domaines D homogènes relativement au type qualitatif de leurs éléments. Examinons alors une fonction ƒ(x) instable que l’on soumet à des déformations infinitésimales. Il faut envisager essentiellement deux sortes de déformations : celles qui ont pour effet d’augmenter ou de maintenir le degré d’instabilité de ƒ(x) et celles qui le diminuent, c’est-à-dire celles qui stabilisent ƒ(x).

  • 24 Ibid., p. 152.
  • 25 Ibid., p. 149.
  • 26 Ibid., p. 139.

54En se fiant à l’intuition, on imagine aisément que, « normalement », la perturbation d’une fonction instable conduit à la stabiliser. Il s’agit toutefois ici d’un résultat non trivial qui s’énonce ainsi : « la propriété de stabilité structurelle est générique24 », ce qui pour l’essentiel signifie que l’ensemble des formes stables de ℱ « remplit » ℱ de façon telle que « toute instabilité est éliminable par petite déformation25. » (techniquement, cela correspond au fait que l’ensemble des formes stables de ℱ est « résiduel » et « dense » dans ℱ). Il est dès lors justifié de concevoir « génériquement » l’orbite d’une instabilité comme une région au départ de laquelle « presque toutes » les déformations infinitésimales conduisent vers des formes stabilisées. Dans le cas le plus général, ces formes stabilisées appartiennent à des domaines homogènes de ℱ. De cette façon, l’orbite d’une forme de type instable se présente comme une frontière, plus ou moins complexe, conjoignant et disjoignant des domaines dont les éléments sont de nature structurelle plus stable. L’ensemble de telles frontières dans ℱ – frontières qui sont des lieux d’événements dans la mesure où leur franchissement bouleverse la nature des formes – est noté K et appelé « ensemble catastrophique inhérent à ℱ26 ».

  • 27 Ibid., p. 155.

55Il importe de souligner ici le rôle fondamental que jouent les formes instables. En effet, tant du point de vue de la géométrie que de celui des types qualitatifs, les formes instables portent en elles toute l’information sur les stabilisés qui les environnent : en tant qu’elles constituent des frontières, elles déterminent la répartition des domaines avec lesquels elles font frontière, et en tant qu’instabilités elles déterminent la nature qualitative des formes qui en dérivent par stabilisations successives. Aussi, une forme instable constitue une sorte de « foyer » induisant une certaine distribution géométrique de formes plus stables. En d’autres termes, une forme instable recèle dans sa structure interne toute l’information relative à la distribution spatiale de formes stabilisées inscrites en elle : « comme centres organisateurs les singularités [formes instables] sont en quelque sorte des principes morphogénétiques27 ». En conséquence, et ceci aussi est crucial dans notre démarche, les singularités, i.e. les formes instables, constituent les données primitives sur la base desquelles vont s’organiser les distributions établissant les rapports entre les différents attracteurs des dynamiques.

2.4.3.2 – Géométrie des stabilisés

56Nous déterminerons par la suite la géométrie générale des types qualitatifs dans ℱ. Mais déjà nous pouvons remarquer que ceux-ci ne se distribuant pas librement (ils se positionnent en des régions attenantes à celles des types moins stables), les jonctions internes entre fonctions potentiel, qui établissent les identités de leurs minima respectifs, sont à leur tour déterminées – conséquence directe du fait que ces jonctions passent par les frontières de la géométrie de ℱ qui établissent les connexions entre les différents types qualitatifs. Il s’agira donc maintenant d’avancer dans la détermination précise de ces jeux de frontières.

57Pour ce faire, il faudra d’abord déterminer les caractéristiques internes des formes stables et instables, puis aborder la notion fondamentale de déploiement universel. Il s’agira ainsi, en premier lieu, d’identifier les sortes canoniques d’instabilités qui composent toute forme instable, puis d’établir la distribution spatiale des types qualitatifs résultant des stabilisations successives de certaines singularités (i.e. de certaines formes instables).

Le théorème de Morse
  • 28 Ibid., p. 145.

58On revient donc, en premier lieu, à une question où n’intervient aucune considération géométrique – à savoir la caractérisation interne des formes stables et instables. Cette caractérisation est entièrement donnée par le théorème suivant (théorème de Morse28) : « Soit Z une variété différentiable compacte, Une fonction C00ƒ : Σ-> R est structurellement stable si et seulement si :

  1. tous ses points critiques sont non dégénérés,

  2. toutes ses valeurs critiques sont distinctes. »

59Rappelons qu’un point critique d’une fonction ƒ(x) est un point en lequel toutes les dérivées premières de ƒ(x) s’annulent, et que la valeur de ƒ(x) en un point critique est appelée valeur critique. Par ailleurs un point critique est dit dégénéré si le déterminant de la matrice des dérivées secondes en ce point est nul, ce qui signifie intuitivement que ce point « superpose » plusieurs points critiques. Nous illustrons tout de suite ces différentes notions, puis nous examinerons la conséquence fondamentale du théorème de Morse.

60Illustration – Considérons trois fonctions de R dans R, soit :

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61Les graphes de ƒ1(x), ƒ2(x) et ƒ3(x) sont (fig. 12) :

Figure 12

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62Ces trois fonctions, qui s’annulent toutes en χ = Ο, ont comme dérivées premières et secondes respectives (notées fi(x) et ƒ”i(x)) :

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63(Notons que dans le cas élémentaire ici traité d’une fonction à une seule variable, la question de la nullité du déterminant de la matrice des dérivées secondes se rapporte à celle de la nullité de la seule dérivée seconde). On constate alors que, conformément à l’intuition et aux conditions du théorème de Morse, la fonction ƒ1(x) est stable et les fonctions f2(x) et ƒ3(x) sont instables, et leur instabilité procède de facteurs différents. Voyons cela.

64(i) La fonction ƒ1(x) présente deux points critiques (en x = – 1 et + 1) de valeurs distinctes et non dégénérés.f1(x) est donc structurellement stable. Intuitivement : on a bien vu précédemment que des petites variations du graphe de ƒ1(x) ne modifient pas son type qualitatif.

65(ii) La fonction ƒ2(x) a comme seul point critique x = 0. Ce point critique est dégénéré. En effet, en 0 la valeur de ƒ"2(x) est nulle. Le point critique de ƒ2(x) superpose, comme on va voir, deux points critiques que des petites variations vont séparer.

66Le graphe de la fonction f2(x) présente en O un point d’inflexion (sa dérivée seconde, qui quantifie la courbure des branches, s’annule et change de signe en O). On voit bien qu’une déformation infinitésimale de la partie de la courbe au voisinage du point d’inflexion va produire des formes de types qualitatifs différents. Il suffit pour cela d’effectuer une légère rotation de la partie mentionnée (fig. 13), soit dans le sens des aiguilles d’une montre (fig. 13a), soit dans le sens inverse (fig. 13b).

Figure 13

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67On obtient ainsi, dans le premier cas, une courbe de même type que ƒ1(x). Très précisément on remarque que par cette manœuvre le point critique de ƒ2(x), qui est un point double (c’est-à-dire qu’il est déterminé par une équation, à savoir f2(x) = 3x2 = 0, possédant deux racines confondues : χ1 = 0 et x2 = 0), se trouve dégroupé en deux points critiques distincts. Le type d’instabilité de ƒ2(x) est donc afférent à « l’écrasement » de deux points critiques. Dans le cas où la déformation est visualisée par une rotation inverse au sens des aiguilles d’une montre, le type de ƒ2(x) devient celui d’une fonction monotone croissante : il y a « évanouissement » du point critique.

68L’orbite de ƒ2(x), à savoir la classe des fonctions de même type qualitatif que ƒ2(x), constitue donc une frontière séparant deux domaines correspondant à deux types stables distincts. La traversée de cette frontière (ensemble catastrophique) définit la catastrophe dite de bifurcation. Cette catastrophe, qui s’articule sur un point critique dégénéré, se traduit par l’évanouissement ou l’apparition d’un minimum d’une fonction potentiel, en d’autres termes, par la disparition ou l’avènement d’un attracteur.

69(iii) La fonction ƒ3(x) a trois points critiques x = – 1, 0, +1 non dégénérés mais deux d’entre eux ont une même valeur critique (ƒ3 (1) = ƒ3 (-1) = – 1). La fonction f3(x) est donc instable, mais son instabilité n’est pas de même nature que celle de ƒ2(x). En effet, les déformations qui modifient le type qualitatif de ƒ3(x) ne produisent ni n’éliminent de points critiques, mais ont pour effet de modifier la position relative des points critiques existants (voir fig. 14).

Figure 14

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70Alors que ƒ3(x) possède deux minima à un même niveau (même valeur critique), donc deux minima à « égalité » dans la compétition pour l’actualisation, les déformés possibles de ƒ3(x) donnent l’avantage à l’un des minima en conflit dans ƒ3(x) en le plaçant en position de minimum absolu – donc en position d’actualisation –, et, corrélativement, en virtualisant l’autre minimum.

71L’orbite de ƒ3(x) constitue donc une frontière séparant deux domaines dont les types qualitatifs sont caractérisés chacun par la « domination » d’un point critique aux dépens de l’autre. La traversée de la frontière, intitulée catastrophe de conflit, bouleverse la distribution des minima en inversant leur rapport de dominance. Cette catastrophe s’articule sur des points critiques de même valeur critique.

  • 29 Ibid., p. 163.

72Après avoir examiné intuitivement ces situations d’instabilité, on peut en revenir au théorème de Morse. Celui-ci exprime fondamentalement le fait suivant : sous les conditions énoncées, une fonction n’est instable que par l’existence de points critiques dégénérés ou de points critiques dont les valeurs critiques sont égales – en d’autres termes : « toute instabilité est un “mélange” d’instabilités de type “bifurcation” et d’instabilités de type “conflit”29. » Ce théorème est important « pratiquement » dans la mesure où il assure que la stabilisation d’une singularité s’effectue par une succession de catastrophes de conflit ou de bifurcation.

73Mais ce théorème nécessite d’être complété par l’étude de la géométrie « d’association » des lieux de catastrophe, c’est-à-dire par l’étude des modes de composition (ou de répartition) des catastrophes de type conflit et bifurcation. Rappelons en effet que l’on vise à établir les différents types qualitatifs dans un espace de jonctions mutuelles.

Transition

74Considérons à titre d’illustration le cas de la fonction ƒ(x) = x4. Sachant que ƒ(x) possède trois points critiques confondus (sa dérivée ƒ’(x) = 4x3 s’annule en trois valeurs confondues), les stabilisés de ƒ(x) par petites déformations se laissent aisément construire graphiquement. Il suffit pour ce faire (i) de commencer par stabiliser partiellement les trois situations de bifurcation inscrites dans ƒ(x), ce qui revient à dissocier le (triple) point critique dégénéré des trois façons suivantes (fig. 15) :

Figure 15

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75puis (ii) de continuer la stabilisation des situations de conflit ou de bifurcation ainsi obtenues. On déduit alors les stabilisés définitifs, à savoir les trois formes suivantes (fig. 16) :

Figure 16

Image 10000000000001D60000007727851BACFE73C67B.jpg

76Mais cette collection de stabilisés ne fournit pas – tout du moins systématiquement et complètement – d’informations sur leurs liaisons possibles. Par exemple, rien ne permet d’affirmer que le type (a) entretient une jonction avec les types (a1) et (a2) – ou, suivant un autre point de vue, que les stabilisations de (a1) et (a2), par disparition des points d’inflexion, aboutissent à un même type (a).

  • 30 J. Petitot, 1985a, p. 158.
  • 31 G. Deleuze, 1973.
  • 32 J. Petitot, 1985a, p. 158.

77Il s’agira donc maintenant de passer d’une collection de types (de dynamiques) mutuellement indépendants à une collection ordonnée, en somme à une classification. C’est à ce moment essentiel que s’introduit l’intuition spatiale de la catégorisation. En effet, la distribution ordonnée des différents types stabilisés va procéder d’un régime de déformations progressives qui font passer les formes d’un type qualitatif à un autre type qualitatif, établissant alors des connexion spatiales. Ainsi, « [les] types différentiables, parce qu’on peut les déformer les uns dans les autres en se déplaçant dans le déploiement universel du centre organisateur considéré, sont aussi des identités de position30. » Ce moment théorique est capital puisque, recoupant et explicitant les observations de G. Deleuze31, c’est la nature géométrique de l’objectivité structurale qui se trouve ainsi reconnue : « Le concept de classification est d’essence géométrique et consiste à identifier ces entités à des identités de position, c’est-à-dire à des identités au sens structural du terme, à des valeurs positionnelles définies par un système discriminant de différences distinctives32. »

Modèle transverse et déploiement universel
  • 33 Ibid., p. 152.

78Pour déterminer la distribution « spatiale », i.e. géométrique, des stabilisés d’une singularité, on partira d’une forme instable f et on examinera (approximativement) quelle « bonne configuration géométrique33 » est susceptible de s’organiser « autour » de ƒ.

79Soit, donc, une forme instable f d’une espace fonctionnel ℱ (i.e. f appartient à K l’ensemble catastrophique de ℱ), et soit f l’orbite de ƒ (i.e. la classe d’équivalence des formes de même type qualitatif que ƒ). Comme ƒ est une forme instable, tous les voisinages de f « débordent » ƒ (i.e. tous les voisinages d’un élément de f comportent des éléments de ℱ d’un type qualitatif différent). Si l’on choisit de figurer ℱ comme un espace tridimensionnel, on peut alors représenter f comme une courbe (dimension 1) et ƒ comme un point de cette courbe. Dans une telle représentation, les voisinages des éléments de ƒ, à savoir des petites boules autour de ceux-ci, « débordent » bien ƒ . Soit (fig. 17) :

Figure 17

Image 10000000000000B4000000E9F14D04A187D3D4F9.jpg

  • 34 Ibid.

80Localement en ƒ, dans les bons cas, l’espace global ℱ peut être décrit comme la « somme » du sous-espace f et d’un autre sous-espace W dont la propriété est d’être « transverse » à f (en ƒ), c’est-à-dire que W est un sous-espace (exactement : une sous-variété) « passant par f dont “l’espace tangent” en f est un supplémentaire de “l’espace tangent” en ƒ à ƒ dans “l’espace tangent” en ƒ à ℱ34 ». Par définition, la dimension c de W s’appelle la codimension de ƒ. Cette configuration peut être représentée comme suit (fig. 18) :

Figure 18

Image 100000000000021F000001128E78178FB5092818.jpg

  • 35 Ibid., p. 152.
  • 36 Ibid., p. 153.

81La « bonne situation35 » est alors celle où : « i) localement en ƒ, la paire ℱ, K) est isomorphe au produit direct de f par la paire (W, Kw) où est l’intersection de K avec W [soit K Ο W]. On dira dans ce cas que (W, Kw) est un modèle transverse de K en ƒ 36». Cette première condition peut être illustrée dans la figure suivante (fig. 19) où l’espace catastrophique K (espace-des formes instables dont f est un sous-espace) est un « pli » dont f est l’arrête. On voit bien, intuitivement, que l’espace global ℱ géométriquement structuré (compartimenté) par K (la paire (ℱ, K)) équivaut au « produit » du sous-espace W structuré suivant Kw (la paire (W, Kw)) par le sous-espace ƒ :

Figure 19

Image 100000000000022600000150E0023D16B11E4958.jpg

  • 37 Ibid., p. 153.

82La seconde condition nécessaire à la « bonne situation » est la suivante : « ii) Tous les modèles transverses sont équivalents pour une relation d’équivalence naturelle37. »

  • 38 Ibid., p. 153.

83Si les conditions spécifiant la « bonne situation » sont satisfaites, il est alors possible de simplifier considérablement le problème de la distribution géométrique des stabilisations de f dans un espace ℱ, en général de dimension infinie, en le réduisant à un problème dans un espace de dimension finie (la dimension de W ou codimension de ƒ). En termes plus précis, la « bonne situation » précédente « permet de ramener le problème de la structure locale de ℱ au voisinage de ƒ (i.e. celui de la classification des types différentiables voisins de celui de ƒ) à un problème géométrique de dimension finie38. »

  • 39 Ibid., p. 154.

84Or, dans le cas de figure simple où les formes dynamiques sont des fonctions potentiel de M (variété compacte) sur R, il se trouve que la situation est « bonne ». Aussi, si B = {g1(x), g2(x)... gc(x)} est une base de W (i.e. tous les éléments de W s’analysent comme une composition linéaire des éléments de la base), autour de f (dans le voisinage de ƒ) « les éléments g de W s’expriment comme des sommes g(x) c = f(x) + ∑i=1uigi(x)39 » et toute fonction de ℱ voisine de f est qualitativement équivalente à une fonction de W. Il s’ensuit que l’étude de la distribution spatiale des stabilisés d’une forme ƒ de ℱ pourra être réalisée dans le cadre de l’espace transverse W (de dimension finie) par l’examen des déformations de ƒ(x) obtenues en faisant varier les paramètres ui qui, dans l’expression ƒ(x) + Σuigi(x), déterminent, les variations de ƒ(x) suivant les c directions des vecteurs gi(x) de la base B. Sous cet angle, les paramètres u. apparaissent bien comme des paramètres qui contrólent la stabilisation d’une forme instable.

  • 40 C.-P. Bruter, 1985, p. 145.
  • 41 J. Petitot, 1992, p. 146.
  • 42 J. Petitot, 1985a, p. 154.
  • 43 Ibid.

Pour être plus précis, on notera que le modèle transverse relate le « plongement » d’une forme instable ƒ(x) dans l’espace plus « épais » des familles (stables) paramétrées par u :Image 10000000000000DC000000304D6240B6553579D5.jpg(autrement dit, de façon imagée, on « insère » f : M -→ R dans un espace de fonctions F : M x Rc – → R x Rc « plus grasses40 ») et dans « l’épaisseur » duquel il est possible d’étudier les déformations de ƒ(x). Le modèle transverse s’apparente donc à un « déploiement », c’est-à-dire à une opération dont « L’idée [...] consiste à plonger optimalement une application ƒ : Μ -→ Ν structurellement instable dans une application F : M x Rc-→ Rc qui soit, elle, structurellement stable41 ». Aussi, « Un modèle transverse s’identifie [...] à un déploiement particulier de ƒ(x)42. » On montre alors que ce déploiement est universel au sens où « tout déploiement ƒt peut s’obtenir (à équivalence près) à partir de ƒu comme image réciproque de ƒu par une application différentiable h : (T, 0) -→ (W, O)43. »

  • 44 J. Petitot, 1985b, p. 119.
  • 45 J. Petitot, 1985a, p. 154.
  • 46 Ibid.

85Le modèle transverse W permet par ailleurs de retrouver et de situer fonctionnellement la composante de l’espace substrat dans son rôle d’espace de contrôle des formes dynamiques. En effet, « W étant de dimension finie k, il est isomorphe à un voisinage W’ de l’origine de Rk et l’on peut donc interpréter W comme un champ (un déploiement) σ : W’ -→ ℱ qui à w εW’ associe l’élément ƒw Є W44. » Autrement dit, on peut considérer W comme plongement d’un voisinage W’ de l’origine de Rk dans ℱ. Aussi, les éléments s de l’espace substrat S (qui correspond à W’) peuvent être vus de deux façons : d’une part, comme des unités de l’espace source du champ σ, d’autre part, comme l’image de leur plongement dans l’espace fonctionnel qu’ils contrôlent. La notion de déploiement permet donc d’établir la forme interne et la rationalité d’une situation de contrôle : « Contrôler des formes, c’est plonger l’espace de contrôle dans leur espace fonctionnel45. » Ainsi, considéré comme espace « plongé », l’espace substrat (qui, en lui même est un espace homogène) « recevra » les déterminations catégoriales (géométriques) des dynamiques qu’il contrôle : « [l’espace fonctionnel est] muni d’un ensemble catastrophique inhérent dont la trace va se manifester, à travers le plongement, sur l’espace de contrôle46. »

Géométrie générale

86Pour achever la détermination de la géométrie générale de l’espace des stabilisés, relevons d’abord que, intuitivement, on peut associer à chaque fonction f(x) de ℱ un degré d’instabilité relatif aux degrés d’instabilité de chacun de ses points critiques et au nombre d’égalités entre valeurs critiques. Parallèlement, et toujours aussi intuitivement, on admettra que plus une fonction est instable, plus l’espace de ses stabilisés est complexe, en d’autres termes, plus la dimension de ce dernier espace est grande. Aussi, on conjoindra ces deux considérations en mesurant très naturellement le degré d’instabilité d’une fonction par la dimension de l’espace transverse W. Cette caractérisation permet alors d’envisager la distribution géométrique des types stabilisés, et, partant, d’établir – comme il a été discuté précédemment – leur exacte valeur structurale.

87Pour ce faire, remarquons au préalable que, par construction, comme la dimension de déploiement d’un stabilisé partiel de degré p, dans l’espace de dimension n du déploiement d’une singularité de degré n, est p, la dimension de l’espace occupé par ce stabilisé est donc (n-p) – (tout particulièrement, la dimension de l’espace occupé par une singularité dans son espace de déploiement est nulle ; en effet, elle y est considérée comme un point). En conservant en mémoire le fait que les types instables forment des frontières séparant (et rattachant) les domaines de leurs stabilisés, considérons alors l’exemple d’une singularité de degré 3. Son espace de déploiement (i.e. de stabilisation) est de dimension 3. Il est donc « similaire » à l’espace R3 intuitif. Les formes stabilisées (de degré 0) occupent des domaines de dimension (3-0) = 3, soit des « cellules » de R3. Les stabilisés de degré 1 occupent quant à eux des portions d’espace de dimension (3-1) = 2 ; ils constituent donc les « cloisons » aux interfaces des « cellules ». Et, pareillement, les stabilisés de degré 2 occupent des portions d’espace de dimension 1 : ils se distribuent le long d’arêtes qui forment les frontières entre les différentes « cloisons », et ainsi de suite... (voir fig. 20)

Figure 20

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88Ce type de configuration, qui s’extrapole aisément pour des dimensions quelconques, fournit la géométrie générale K de l’espace des stabilisés. Nous proposons maintenant d’illustrer les notions introduites ci-dessus en traitant l’exemple élémentaire de la catastrophe de bifurcation, puis nous reviendrons sur le statut et la fonction des paramètres ui de déploiement universel.

Illustration

89Revenons à la singularité définie par l’expression algébrique f(x) = x3, et qui correspond au schéma catastrophique dit de « bifurcation ». Nous avons suggéré plus haut que cette singularité, qui présente un point critique dégénéré, peut être stabilisée de deux façons : soit par l’évanouissement du point critique, soit par la bifurcation du point critique « double » en deux points critiques distincts. Nous allons montrer que ces opérations de stabilisation sont inscrites dans le déploiement universel de ƒ(x) qui, de plus, positionne les stabilisés dans une configuration géométrique dont le type général a été identifié au paragraphe précédent.

90En effet, on démontre que le déploiement universel deƒ(x) s’écrit : F(u, x) = x3 + ux. Ce déploiement est construit sur un unique paramètre u de R – ce qui revient à dire que l’espace de déploiement est « contrôlé » suivant une seule « direction ». Considérons donc l’espace des fonctions F (u, x) quand u varie dans R. Les types qualitatifs que prennent ces fonctions suivant les valeurs de u sont faciles à déterminer : il suffit de calculer la dérivée première de F(u, x), soit : F’ (u, x) = 3x2 + u.

91On observe que pour u positif, la dérivée ne s’annule jamais : les fonctions F(u, x), stabilisés de ƒ(x), sont dans ce cas des fonctions de type strictement monotone. Pour des valeurs de u négatives, F’ (u, x) s’annule en deux points distincts, et en ces points les dérivées secondes ne s’annulent pas : les fonction F (u, x) possèdent alors deux points critiques non dégénérés distincts, respectivement un maximum et un minimum. En l’origine u = 0, on retrouve bien sûr la singularité f(x).

92On est donc en mesure de décrire la morphologie de l’espace de déploiement universel, c’est-à-dire la distribution géométrique des types qualitatifs. L’espace W de contrôle étant de dimension 1, on le représentera par un axe paramétré par la variable u (voir fig. 21).

Figure 21

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93En u = 0, lieu de dimension 0, se trouve la singularité f(x). Celle-ci forme une frontière séparant les deux domaines de stabilisation (de dimension 1) que constituent respectivement les demi-axes « droit » et « gauche » de W, i.e. les demi-axes correspondant aux valeurs positives et négatives de u. Le demi-axe droit correspond au domaine des formes de type strictement monotone, le demi-axe gauche, à celui des formes présentant deux points critiques non dégénérés distincts.

2.5 – Parcours de déploiement

2.5.1 – Introduction

94La notion d’espace de contrôle a été introduite ci-dessus suivant une perspective statique : à chaque valeur des coordonnées ui est associée une forme de ℱ. Il sera important de développer maintenant une conception dynamique de l’espace de contrôle, conception suivant laquelle la faculté génératrice des singularités sera effectivement investie.

  • 47 R. Thom, 1983, p. 70.

95« [Toute actualisation] des virtualités contenues dans une situation instable, que nous représentons mathématiquement avec une singularité, [...] correspond à un “chemin” particulier qui sort de l’origine O dans l’espace des paramètres de contrôle47... » Choisissant ce point de vue, on ne considérera plus une forme dynamique simplement comme l’image par le champ σ d’un élément w de l’espace substrat W, mais comme le résultat d’un parcours de stabilisation qui débute au lieu d’une singularité-origine. Les différents parcours possibles, contrôlés suivant les paramètres de W, introduisent alors une dimension dynamique.

96La différence majeure entre la précédente conception, statique, et la version dynamique que nous envisageons, réside dans la priorité qui va alors être conférée à certaines formes, et, partant à certaines actualisations. Alors que la conception statique situe tous les stabilisés de l’espace de déploiement à un même niveau de réalisation – du fait que tous relèvent d’un même moment d’existence –, la conception dynamique quant à elle établit entre les différents stabilisés une hiérarchie relative à la succession de leur acquisition au fil des chemins de stabilisation possibles. Par ailleurs, on a vu (2.4.2.3) que seuls les états susceptibles d’une actualisation effective se déterminent mutuellement (si un minimum relatif M2 s’oppose au minimum absolu M1, c’est parce que « corrélativement » M2 se trouve en situation de minimum absolu et réalise un état actuel). Nous montrerons alors que les « parcours d’actualisation » satisfont à ce principe de qualification des attracteurs.

2.5.2 – Relations sémantiques

  • 48 J. Petitot, 1977.

97Avant de « parcourir » au prochain paragraphe le déploiement de la singularité « cusp » ƒ(x) = x4, et de discuter en quoi elle rend compte, en un cadre unifié, de certaines relations sémantiques fondamentales, nous mentionnerons pour mémoire, et en matière d’illustration, deux résultats significatifs qu’a permis l’approche morphodynamique. Ces résultats, que l’on doit à J. Petitot48, ont trait à la détermination des deux types fondamentaux d’opposition, à savoir les oppositions qualitative et privative. Mais au préalable, on rappellera que les oppositions privative et qualitative ne relèvent pas d’une forme logique.

98Considérons d’abord une opposition qualitative A/B, par exemple, en phonologie : grave/aigu. A entretient vis-à-vis de B un rapport de polarité établi sur une double présupposition, i.e. A et B sont définis comme pôles d’un axe relationnel : ils n’ont d’existence que par leur position l’un en regard de l’autre, l’un impliquant l’autre et réciproquement. Or cette distribution ne se retrouve pas dans l’opposition logique A/à (on note à la négation logique de A). En effet, celle-ci repose sur la donnée première d’un terme A, qui est ensuite l’argument d’une opération de négation produisant Ã. L’opposition logique ne relate donc en rien une double présupposition entre A et A. Par ailleurs, l’opposition logique ne distribue pas ses termes dans des positions symétriques – comme il en est des termes polaires d’une opposition qualitative – : un des termes étant dérivé de l’autre, la relation de négation logique est intrinsèquement dissymétrique.

  • 49 Ibid., p. 357.

99Pour ce qui est de l’opposition privative A/Å, rappelons qu’elle relate une opposition entre la présence et l’absence d’un trait A (on note A l’absence de A) – par exemple, en phonologie : voisé/non-voisé. La distinctivité du trait A repose sur le « fond » de son absence : le trait A figure comme une saillance se détachant d’un « fond indifférencié » qui, pour lui-même, se trouve réciproquement déterminé par la possibilité d’une telle saillance. Or une négation logique ne formule en rien une absence mais le fait d’une identité (i.e. d’une présence) dont la valeur est construite dans un procès de négation. En d’autres termes, « [Å] exprime [...] l’absence d’un trait, [tandis que À] exprime l’affirmation d’un trait nié49. »

100On montrera maintenant comment les catastrophes de conflit et de bifurcation déterminent formellement le mode des oppositions privatives et qualitatives. Mais auparavant, revenons quelques instants sur la nature essentiellement synthétique des schémas catastrophiques.

101L’espace des stabilisés qu’est un déploiement universel résulte, comme il a été montré, du déploiement d’une unité singulière renfermant « en puissance » la détermination géométrique et qualitative de ses formes stabilisées. Un déploiement universel se présente donc comme un tout indissociable et synthétique dont l’unité procède de la singularité qui le génère. Il s’ensuit que les formes stabilisées d’un déploiement se présupposent mutuellement et se déterminent réciproquement dans des relations nécessaires de jonction (liaisons de continuité) et de disjonction (frontières entre les types qualitatifs distincts). On peut donc observer entre les différentes formes stabilisées d’un schéma catastrophique des rapports de présupposition réciproque qui leur assurent la cohésion structurale qui faisait défaut au couple logique A/Ã. Abordons maintenant la valeur de ces formes dans les schémas de conflit et de bifurcation.

102(i) Pour ce qui est de la catastrophe de conflit, on constate que les états attractifs actualisés (les minima absolus) de part et d’autre de la frontière K (voir fig. 22) contractent, outre la double présupposition, un rapport de polarité.

Figure 22

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103En effet, dans un premier domaine de W (« à gauche » de K), c’est l’état attractif A qui est actualisé en regard de B en position virtuelle, et corrélativement, l’actualisation de l’attracteur B est réalisée dans l’autre domaine, en opposition à l’état A alors virtualisé. La distribution relationnelle, décrite ci-dessus, est entièrement inscrite dans la structure de la forme instable en K. La catastrophe de conflit relate donc bien le mode de l’opposition qualitative.

104(ii) L’examen de la catastrophe de bifurcation, reproduite ci-dessous (fig. 23), permet d’y reconnaître le mode de l’opposition privative.

Figure 23

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105On observe, en effet, un rapport de double présupposition entre la forme de gauche, où un attracteur A « actuel » détermine un certain état, et la forme de droite dépourvue de minimum (i.e. d’attracteur) qui relate un système sans état attractif, mais susceptible d’en « accueillir ». Le rapport absence/présence suivant une double présupposition est donc bien réalisé dans l’instabilité de bifurcation.

  • 50 J. Petitot, 1985a, p. 388.

106Pour clore ce paragraphe, il importe de souligner, après J. Petitot, qu’en ce qui concerne les oppositions privatives et qualitatives, l’apport de la théorie des catastrophes ne se limite pas à leur détermination formelle. En effet, cette dernière approche déduit ces deux types d’opposition de principes plus généraux pour ainsi expliquer la raison de leur existence et de leur nombre : par le théorème de Morse, « la. modélisation catastrophique [...] montre qu’il n’existe effectivement que deux types d’opposition50 ».

2.5.3 – Le schéma du « cusp » et ses parcours

107Nous débuterons par une brève exposition du déploiement universel de la singularité « cusp » ƒ(x) = x4 – déploiement qui synthétise deux configurations de bifurcation et une de conflit – puis nous examinerons comment son investissement suivant différents chemins délivre une détermination mathématique unifiée des régimes d’oppositions générique/spécifique (dont une forme topologique intuitive a été introduite et motivée en VI 1.2) et intensif/extensif.

2.5.3.1 – Le « cusp »

108L’espace de contrôle W de la singularité ƒ(x) = x4 est de dimension 2, i.e. ƒ(x) se développe suivant deux paramètres de contrôle (u et v). L’expression normalisée de son déploiement universel est : F(x, u, v) = x4/4 + ux2/2 + vx. Soit alors à étudier la distribution géométrique des stabilisés de ƒ(x) en fonction des paramètres u et v contrôlant les déformations de ƒ(x) suivant les deux « directions » de perturbation g1(x) = x2 et g2(x) = x.

109Il s’agit donc de construire la répartition des différents types qualitatifs de F(x, u, v). Pour cela on étudie les conditions d’annulation de la dérivée première en x de F(x, u, v), soit : F’ (x, u, v) = x3 + ux + v = 0. On sait qu’une telle équation du 3e degré s’annule soit en un seul point, soit en trois points distincts, soit en trois points dont deux sont confondus (pour s’en convaincre, observer les différentes possibilités d’intersection de l’axe (O, x) avec la forme générale des courbes y = F(x, u, v)). Les valeurs de u et v pour lesquelles F’ (x, u, v) = 0 admet une racine double (en plus de la racine simple) sont celles qui annulent aussi la dérivée seconde de F(x, u, v), soit :

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110On en déduit la condition entre u et v : 4u3 + 27v2 = 0. Cette condition définit, dans l’espace de déploiement, une région, notée Kb(« K » pour « l’espace catastrophique » et « b » pour « bifurcation »), regroupant les fonctions F(x, u, v) qui présentent un minimum simple et un point d’inflexion (racines doubles de la dérivée première). Kbconstitue ainsi un domaine de stabilisés partiels de ƒ(x), donc une frontière, de part et d’autre de laquelle se trouvent les stabilisés résultant d’une déformation du point d’inflexion des formes de Kb (catastrophe de bifurcation), c’est-à-dire, soit des fonctions présentant un unique minimum (une seule racine), soit des fonctions présentant deux minima séparés par un maximum (trois racines distinctes). Très précisément, Kb décrit dans le plan (O, u, v) une parabole semi-cubique (un « cusp ») avec rebroussement à l’origine (voir fig. 24).

Figure 24

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111En plus de Kb, l’ensemble catastrophique K comprend une frontière notée Kc divisant en deux sous-régions le domaine « intérieur » du cusp, i.e. le domaine des formes présentant trois points critiques distincts. La frontière Kc regroupe les fonctions dont les deux minima ont une valeur critique égale : il s’agit donc d’instabilités de type « conflit » qui se résolvent de part et d’autre de Kc par la prédominance de l’un ou de l’autre des minima. Kc est défini dans le plan (u, ν) par les deux conditions :

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112On a ainsi déterminé la géométrie du déploiement de la singularité ƒ(x) = x4, dont l’allure générale est la suivante (voir fig. 25 – on représente dans les différents domaines de l’espace de contrôle W le type qualitatif des formes que leurs valeurs déterminent) :

Figure 25

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113Pour faciliter les discussions, nous choisirons d’intituler les différents domaines de W de la façon suivante (fig. 26) :

Figure 26

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2.5.3.2 – Les parcours du cusp

114Venons en alors aux parcours de stabilisation et aux relations qu’ils schématisent.

115Nous avons déjà observé la nature dynamique d’un déploiement universel : l’espace des stabilisés qu’il représente se dérive d’un « germe », i.e. d’une singularité, par des opérations de déformation dont on peut synthétiser les successions par différentes trajectoires paramétrées dans l’espace de contrôle W. On envisagera alors l’organisation différentielle dans ℱ (i.e. le système de seuils distribuant spatialement les types qualitatifs) non plus statiquement, comme une structure figée, mais dynamiquement, comme une production, un acte de génération. On passe ainsi d’une sémantique de configuration structurale à une sémantique de production structurale, où les attracteurs des dynamiques, en fonction des parcours qui conduisent à leurs réalisations, vont déterminer des valeurs structurales particulières.

116Parcours G/S – Examinons d’abord un parcours d’actualisation P débutant à l’origine O et conduisant en un point P de C1. On a ainsi produit une forme stable présentant deux minima : un absolu et un relatif (voir fig. 27).

Figure 27

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117Comme on a déjà souligné – mais ce point est d’importance – l’attracteur défini par le minimum absolu M1 n’entretient, dans la configuration dynamique isolée ƒ1, aucune opposition avec l’état virtuel correspondant au minimum relatif M2. Parce que M2 n’a pas été pris en compte comme attracteur déterminant une actualisation effective, i.e. comme attracteur en position de minimum absolu réalisant son opposition à M1.

118Pour instituer une réelle opposition entre et M2, considérons maintenant un parcours débutant en O, parcourant KC jusqu’en un point a de Kc (phase 1) puis « quittant » Kc et investissant C1 en P (phase 2) (voir fig. 28) :

Figure 28

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119Ce parcours, noté G | S, schématise le régime sémantique générique/spécifique. En effet, le parcours G | S commande une série de déformations d’une forme initiale ƒ (x) présentant un unique minimum dégénéré pour produire d’abord, en a, une forme avec deux minima de valeurs critiques égales (instabilité de conflit), puis (catastrophe de conflit), en β, une forme dotée d’un minimum absolu (état actuel) et d’un minimum relatif (état virtuel). Du point de vue des actualisations, on passe donc d’un état auquel réfère l’unique minimum de ƒ(x), c’est-à-dire d’un état envisagé de façon autonome : sans rapport à d’autres états virtuels ou actuels, à, dans un premier temps (en a), deux états de poids « égaux » en opposition, puis, deuxième temps (en β), à un unique état actuel en opposition à un état virtuel. Aussi, on est passé (i) d’une dynamique d’actualisation instable et indéterminée (le minimum dégénéré de la singularité f(x) n’entretient aucune connexion avec d’autres états « attractifs » susceptibles de s’opposer à lui) qui relate l’indifférenciation d’une région du substrat W, à (ii) une dynamique de type « conflit » qui en actualisant potentiellement deux attracteurs leur confère une présence effective dans le schéma de compétition, et, enfin, à (iii) une dynamique actualisant et virtualisant les états pourvus antérieurement d’une potentialité de réalisation égale et qui schématisent un rapport d’opposition qualitative. Répétons le : c’est parce que le minimum M2 virtualisé (en β) est préalablement envisagé à un même niveau d’actualisation que (en a), qu’il participe effectivement d’une opposition à M1 (en β).

120Le parcours G | S permet donc de retrouver et de préciser le schéma intuitif proposé en (VI 1.2). En effet, (niveau 1) l’espace substrat générique W est caractérisé par la forme ƒ(x) dotée d’un unique attracteur (i.e. une forme qui caractérise un état relationnellement indéterminé). Puis (niveau 2) cette forme se stabilise en une forme pourvue de deux attracteurs en conflit. Enfin (niveau 3), un des attracteurs est virtualisé et l’autre actualisé (voir fig. 29).

Figure 29

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121Ce qu’il importe de noter, c’est l’unité qu’assure le parcours G | S entre l’espace W originairement indifférencié (parce qu’il est rapporté à une dynamique dotée d’un unique minimum) et les deux régions qui, à la suite du parcours, se trouvent en opposition polaire. C’est cette unité qui permet de reconnaître dans les deux états résultants des spécifications oppositives de l’état initial indéterminé : le parcours G | S est une trajectoire différenciatrice qui élabore dans l’unité d’un état initial deux nouveaux états en opposition qualitative. En d’autres termes, on est passé d’une unité de genre, i.e. un état générique, à deux unités d’espèce, i.e. deux états spécifiques. L’identité des états d’ « espèce » est inscrite dans l’opposition que les dynamiques entretiennent, et la qualité de généricité qui les conjoint est héritée de l’état origine duquel ils sont générés. Ainsi, le parcours G | S schématise bien la relation générique/spécifique.

122On soulignera encore le caractère synthétique de la relation générique/spécifique dans une représentation dynamique. En effet, il y a jonction entre le terme générique et les termes spécifiques, ceux-ci étant le produit de celui-là. Par conséquence, un terme spécifique, parallèlement à l’opposition qu’il entretient avec son terme polaire, est instruit de la valeur du terme générique dont il est issu. Aussi, dans la conception dynamique, terme de genre et termes d’espèce ne sont plus indépendants. Ils figurent comme les deux pôles d’un axe relationnel relatif au parcours de production G | S. La perspective dynamique réalise donc pleinement les principes de jonction et de disjonction définitoires des termes spécifiques et génériques.

123Parcours E/I – Nous traiterons maintenant un second type de parcours, que nous nommerons « parcours E | I » (pour extensif/intensif). Ce parcours débute en O, longe Kc puis investit successivement les domaines C1 et B par franchissement de la frontière Kb1 (voir fig. 30).

Figure 30

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124On constate d’abord que, comme pour le parcours G | S, le parcours E | I détermine en β un état actuel en opposition polaire à un état virtuel M2. Examinons alors la deuxième phase (de P vers γ) du parcours. Le passage de P vers y fait disparaître le minimum relatif M2 : en Υ, la dynamique se trouve donc dotée d’un unique minimum. Aussi, en y cette dynamique est caractérisée par un attracteur dégagé de toute opposition à d’autres attracteurs. En d’autres termes, elle détermine une indifférenciation en substance. Mais cette indifférenciation n’est pas de la même nature que celle relative à la singularité d’origine ƒ{x) en O (voir supra). En effet, l’indifférenciation en y résulte d’une fusion d’attracteurs en opposition, donc d’une fusion de grandeurs préalablement distinguées. La dynamique en y relate donc l’élargissement du champ de détermination de : jusqu’à recouvrir celui de M2.

125Le parcours E | I reconstruit donc un des modes fondamentaux des oppositions linguistiques, à savoir le rapport extensif/intensif. Le terme « extensif », c’est-à-dire le terme qui a tendance à « généraliser » son champ de détermination de manière à désigner aussi bien la totalité de la substance qu’une valeur polaire, est le terme M1. Le terme intensif, qui focalise son sens dans une région de la catégorie est le terme M2.

126On illustrera ce mode d’opposition avec l’exemple simple du couple de lexèmes jour/nuit. Le terme extensif peut exprimer aussi bien la partie diurne de la journée (en opposition à nuit) que la journée dans sa globalité, tandis que le terme nuit est « spécialisé » comme terme polaire en opposition au premier sens de jour (partie diurne).

127Ce qu’il y a de remarquable dans le parcours E | I c’est qu’il confère aux états du domaine B une valeur dérivée d’un état instauré primitivement sur une opposition : le parcours E | I donne en effet priorité à la valeur oppositive de l’état M1, et sa valeur générique n’en est qu’une extension. Aussi l’état « générique » produit par le parcours E | I et l’état générique « d’origine » n’ont pas la même valeur sémantique.

Notes

1 L. Hjelmslev, 1968, p. 95.

2 L. Hjelmslev, 1972, p. 112-113.

3 B. Victorri, 1988. C. Fuchs, 1988. B. Victorri et C. Fuchs, 1992 et 1996.

4 J. Petitot, 1985a, p. 107.

5 W.-J. Levelt, 1992, p. 7.

6 P. A. Brandt, 1994, p. 1.

7 B. Pottier, 1987, p. 76.

8 W. Wildgen, 1982 et 1995 à paraître.

9 J. Petitot, 1992.

10 J. Petitot, 1985b.

11 J. Petitot, 1985a.

12 J. Petitot, 1985b, p. 105.

13 J. Petitot, 1985a, p. 99.

14 Ibid., p. 99

15 B. Victorri, 1992, p. 192.

16 J. Petitot, 1985a, p. 190.

17 W. Wildgen, 1982, p. 10.

18 Ibid., p. 10.

19 E. C. Zeeman, 1977, p. 630.

20 R. Thom, in E. C. Zeeman, 1977, p. 636.

21 Y.-M. Visetti, 1990, p. 199.

22 J. Petitot, 1985a, p. 137.

23 Ibid., p. 158.

24 Ibid., p. 152.

25 Ibid., p. 149.

26 Ibid., p. 139.

27 Ibid., p. 155.

28 Ibid., p. 145.

29 Ibid., p. 163.

30 J. Petitot, 1985a, p. 158.

31 G. Deleuze, 1973.

32 J. Petitot, 1985a, p. 158.

33 Ibid., p. 152.

34 Ibid.

35 Ibid., p. 152.

36 Ibid., p. 153.

37 Ibid., p. 153.

38 Ibid., p. 153.

39 Ibid., p. 154.

40 C.-P. Bruter, 1985, p. 145.

41 J. Petitot, 1992, p. 146.

42 J. Petitot, 1985a, p. 154.

43 Ibid.

44 J. Petitot, 1985b, p. 119.

45 J. Petitot, 1985a, p. 154.

46 Ibid.

47 R. Thom, 1983, p. 70.

48 J. Petitot, 1977.

49 Ibid., p. 357.

50 J. Petitot, 1985a, p. 388.

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