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La communication, point aveugle du métier de chercheur

 | 
Éric Dacheux
, 
Élise Aspord

Première partie. Mémoire d'une expérimentation

Premier exemple

Séminaire « Des usages mathématiques en sciences : langue commune ou outil de communication ? »

Texte intégral

(9 décembre 2010, Observatoire de physique du Globe de Clermont-Ferrand)

À partir d’un enregistrement intégral de la séance, Alex Esbelin a effectué deux retranscriptions : l’une dite brute, le verbatim de ce qu’il a pu comprendre des interventions ; l’autre dite lissée, qui s’efforce de transposer la dynamique de la langue orale dans une langue écrite compréhensible pour ceux qui n’étaient pas présents à ce séminaire et qui est ici présentée, raccourcie afin d’éviter la lecture de deux heures de séminaire. Pour les chercheurs voulant se référer aux données originelles, la version brute est disponible sur simple demande. Le séminaire débute par une présentation de Christophe Duroure qui a tenu à ce que l’on présente les diapositives qui illustraient ses propos.

Présentation de la séance : Christophe Duroure (météorologue)1

  • 1 Dans le cadre de la visée ethnographique de cette première partie, nous avons choisi, de présenter (...)

1C’est le premier séminaire de l’année. Cela va donc être un séminaire un peu informel sur l’utilisation des maths quel que soit le domaine scientifique, la science étant prise au sens le plus large possible. Hélas, il n’y a pas de biologiste présent. Pour commencer je vous présente à nouveau le texte d’appel de cette séance qui était un peu polémique, pour susciter des réactions.

Utilisation des mathématiques en sciences

But du séminaire

Permettre à tous d’exposer « sa » manière d’utiliser les mathématiques dans « son » travail de recherche, avec le moins de présupposés épistémologiques possibles.

Objectifs de recherche du groupe « épistémologies et communication »

Convaincre chacun de l’utilité d’une schématisation de son usage des mathématiques
- Afin de faciliter la communication de ses découvertes,
- Mais aussi de faciliter la transmission des outils utilisés pour ces découvertes.
(les mathématiques sont aussi une liste de « recettes pour trouver »)

Montrer que dans chaque disciplines, dans chaque laboratoire, et même
dans chaque chercheur il y a une possible « schizophrénie épistémologique » dans l’usage des outils mathématiques.
algèbre et expérimentation (mesure) « contre » géométrie et théories (modèle)

2Je vais maintenant présenter la carte de René Thom qui est un mathématicien atypique mais très sérieux.

Schéma de R. Thom sur l’activité scientifique dans « Prédire n’est pas expliquer »

Schéma de R. Thom sur l’activité scientifique dans « Prédire n’est pas expliquer »

3La carte de René Thom est tirée de Prédire n’est pas expliquer qui est un livre grand public passionnant à lire car il montre un point de vue atypique sur les mathématiques. Il prend toujours le contre-pied d’un espèce de courant dominant. Voici le schéma tout bête, presque enfantin, de René Thom. C’est une espèce de « carte de Tendre » (il emploie ce terme) de l’activité humaine en sciences. Vous voyez qu’on a plein de choses atypiques. Il met l’astronomie à part de la physique ; il met la physique autour d’un torrent des sciences expérimentales. Il montre un « fleuve du sens », un « pic du paradoxe ». Les axes de ce schéma ne sont pas du tout mathématiques enfin pas de mathématiques formelles : insignifiance et signifiance, vrai ou faux. On peut beaucoup réfléchir en voyageant dans ce schéma ! Il me semble qu’il faudrait que chacun construise ce type de schéma pour identifier ses a priori épistémologiques que nous utilisons souvent sans le savoir dans notre activité de recherche. Si à la fin de la réunion, on pouvait chacun faire une petite liste ou un petit arbre des choses qu’on utilise en mathématiques, on aurait beaucoup avancé. En attendant, je cède la parole à F. Vazeille.

F. Vazeille (physicien)

Intervention

4Ce ne sera pas très long. Il s’agit de physique, ou plus précisément de la physique des particules. Je vais illustrer les choses par quelques petites remarques. J’ai dans un premier temps sélectionné quelques citations. Voici une phrase de Galilée : « La nature est un livre écrit en langage mathématique ». La nature, ce sont des mathématiques ; puis une phrase du xxe siècle de quelqu’un dont j’ai oublié le nom : il considère qu’il n’y a pas de physique, qu’il n’y a que des mathématiques. C’est l’un des cas extrêmes que l’on peut considérer. L’autre cas extrême est présenté par Leonard Susskind – un théoricien actuel célèbre –, qui considère qu’on pourrait faire de la physique purement théorique, sans expérience. Il exagère un petit peu peut-être, mais il considère que la cohérence mathématique constitue un critère impitoyable. Cette position rejoint une phrase que j’ai trouvée dans un ouvrage qui dit : « les mathématiques sont une branche de la physique où l’expérience ne coûte pas cher ».

(Rires)

5J’aime beaucoup cette phrase, si seulement elle pouvait s’avérer exacte. Faire des expériences sans que ça ne coûte rien.

6XXX. Lorsque tu interprètes la phrase de Galilée – comme quoi tout est mathématique –, ce n’est pas tout à fait ce qu’il dit : il dit que la nature est écrite en langage mathématique.

7Tu as raison. Tandis qu’ici, c’est un peu différent. Il estime que la physique peut se faire avec les mathématiques mais sans faire appel à l’expérience. Grâce au langage mathématique, bien sûr, c’est tout l’avantage de l’outil mathématique. Afin de voir une physique élégante, avec de belles formules. En revanche, ce n’est pas tout à fait la position d’Einstein, qui ne prétendait pas être un grand mathématicien : il avait recourt à des collaborateurs pour faire les mathématiques. Et puis j’ai une affection particulière pour Feynman qui était totalement iconoclaste : au début des années 70, il a fait une publication où il y avait dix questions sans mathématique, sans la moindre formule.

8Albert Benassi. J’ai une anecdote à ce propos. Quand j’étais très jeune, j’étais dans un laboratoire d’optique théorique, d’optique non linéaire, et de jeunes chercheurs, qui allaient devenir professeurs, avaient envoyé leur article à Feynman. Feynman leur avait renvoyé sèchement en écrivant « Before calculation, learn physic ».

9Il faut des gens comme ça qui soient un peu iconoclastes, qui font avancer les choses, effectivement. Il a réussi dans sa vie à remplacer les maths par des schémas, qui servaient à faire des maths bien entendu après la physique. Ce sont des cas extrêmes, et on peut avoir toute une gradation d’opinions sur le langage mathématique par rapport à la physique. Quelle est la langue de la science ? La réponse est évidente pour tout le monde : l’anglais. Qui est certes un outil, mais par voie de fait la langue de la science. Quelle est la langue de la physique ? La réponse est également très simple : les mathématiques. Notre langue, ce sont les mathématiques avant tout ; bien entendu, l’anglais nous sert pour communiquer.

10On peut imaginer même une publication de physique où il n’y ait que des formules, pas de texte…

11Christophe Duroure. Il y a des exemples historiques en mathématiques, mais on s’aperçoit que ça ne marche pas, on n’arrive pas à communiquer avec ça.

12On pourrait l’imaginer, je ne dis pas que cela se fait ni que cela doit se faire, mais on peut l’imaginer. En effet, il y a un lien étroit entre physique et mathématiques. L’exemple le plus simple est le suivant : on réalise des expériences, on tire des résultats sous la forme d’un nombre. C’est la façon la plus simple d’utiliser les mathématiques : un résultat chiffré, numérique.

13Il y a aussi le cas plus compliqué où nous avons des lois, des équations qui vont au-delà des expériences, qui sont plus générales que les expériences elles-mêmes.

14Il y a aussi le cas opposé, mais ça revient au même finalement : on arrive à concevoir une théorie complète par le raisonnement mathématique et physique, et ses conséquences peuvent être mesurées, puis comparées à la théorie de nouveau. Il y donc deux approches des mathématiques en physique. Cependant, si on se pose la question « qui profite à qui ? », est ce que les mathématiciens profitent aux physiciens ou est-ce que c’est l’inverse ? Ma réponse est que cela marche dans les deux sens !

15Un physicien est souvent trop heureux d’avoir recourt à des mathématiques pour l’aider. C’est pourquoi, Wigner disait « les mathématiques sont d’une redoutable efficacité ». Elles aident bien le physicien quand il a quelque chose à résoudre, qu’il soit physicien théoricien ou physicien expérimentateur. Mais nous savons – d’après l’histoire – que l’inverse est également vrai : c’est grâce à des besoins de physiciens que sont nées des mathématiques. Le calcul différentiel, par exemple, est né des besoins des physiciens ; l’équation aux dérivées partielles également. Là, ce sont des physiciens qui avaient besoin de mathématiques qui n’existaient pas. Il fallait créer de nouvelles mathématiques : cela fonctionne donc dans les deux sens finalement.

16YYY. Si tu donnes, François, une perspective un peu historique, il y a une époque où les mathématiques et la physique étaient particulièrement mêlées. Je ne sais pas si la distinction entre mathématiciens et physiciens était aussi claire que maintenant ; nous sommes dans un vocabulaire qui est relativement récent. Beaucoup de physiciens ont fait évoluer les mathématiques et l’inverse est très certainement vrai. Je crois que cette perspective permet de ne pas opposer les deux groupes mais de les faire avancer ensemble.

17Christophe Duroure. Historiquement, c’est tout à fait vrai. La logique formelle, le noyau dur des mathématiques date de 1900, avec le programme de Hilbert. Avant, c’était « même combat ! ».

18YYY. Pour Dirac, sur les distributions, la théorie n’a été formalisée que bien après. L’outil était nécessaire.

19Je ne sais pas quelles sont les raisons pour lesquelles mathématiciens et physiciens se sont différenciés à ce point… Par exemple, Blaise Pascal était à la fois philosophe, littéraire, mathématicien et physicien. L’expérience de Blaise Pascal au Puy de Dôme a été réalisée par son beau-frère, c’est vrai, mais il a conçu des expériences qu’il n’a jamais faites. Il a expliqué des expériences qu’il avait étudiées qu’il n’avait jamais faites que par la pensée. Il montre des dessins d’expériences, comme s’il les avaient faites.

20[…]

21Je vais conclure sans prétention : je pense que, plus que les autres disciplines – plus que la chimie, les sciences de la vie, la biologie –, la physique a besoin des mathématiques à la fois comme langage de communication, mais aussi comme source de découverte.

22Pourquoi la physique a besoin des mathématiques à ce point ? Je pense qu’il y a deux raisons :

  • D’un côté la volonté de faire apparaître des lois fondamentales et d’avoir des lois qui unifient les différentes théories – on veut avoir une théorie qui soit générale, la plus simple possible, en tout cas générale.

  • De l’autre, une volonté de faire une théorie générale qui parte d’observations disparates, ponctuelles. Les expériences que l’on fait, si bonnes soient-elles, sont en nombre limité et il faut, à partir de cela, être capable d’en tirer la physique théorique qui convient à l’ensemble. Les mathématiques ont une fonction extrêmement importante à cet endroit.

23Jean Perrin a eu cette jolie phrase : « il faut remplacer du visible compliqué par de l’invisible simple, la formule mathématique ». La formule mathématique étant de l’invisible simple, et l’expérience le visible compliqué.

24Je pense à une autre chose également, c’est que l’abstraction est très importante dans notre domaine : on fait appel à des concepts, des espaces à n dimensions ; on fait appel à l’énergie du vide ; à énormément de choses extrêmement compliquées qui ne tombent pas sous le sens finalement, et je pense que c’est pour cela qu’on a besoin des mathématiques, pour aider l’abstraction. À ce propos, l’actuel « pape » des super-cordes Witten – qui a reçu récemment la médaille Dirac –, lorsqu’il est venu au CERN, au mois de juin 2009, a dit la chose suivante (c’était écrit dans les cahiers du CERN) : « comme la plupart des gens, je n’arrive pas à visualiser des dimensions supplémentaires ». Il conçoit un quelque chose, mais comme tout le monde, il est embêté par cette incapacité à imaginer au-delà de trois dimensions. On peut avoir des images, des analogies, mais cela reste compliqué. Je crois que l’abstraction est un problème essentiel de la physique que nous pratiquons, et les mathématiques sont un langage qui nous permet effectivement de faire face à ce problème. C’était le sens de mon intervention.

Débat

25[…]

26XXX. Le sujet était aussi les mathématiques en tant que langage. Si on parle du domaine de la physique, je crois que les théoriciens du xxe siècle, n’ont pas la même vue des mathématiques, ils ne les ont pas utilisées de la même manière. Einstein disait « devant une découverte, on est comme dans un roman d’Agatha Christie, toutes les pièces du puzzle sont mises en place et à ce moment-là, il faut réfléchir pour donner une orientation. Quand j’ai trouvé la solution, l’endroit où est le coupable, à ce moment-là, sachant l’endroit où est le coupable, je vais faire des calculs et utiliser les mathématiques pour quantifier, pour donner une valeur au phénomène physique que je viens de découvrir au niveau de la physique. »

27Voilà sa vision des choses, je suis sûr que Dirac n’avait pas du tout la même vision.

28Christophe Duroure. Le titre de la conférence, c’est quand même Mathématiques, langue commune ? avec un gros point d’interrogation. Clairement, nous sommes tous d’accord sur le fait que les mathématiques ne sont pas une langue commune mais un outil de communication.

29YYY. Je ne sais même pas si c’est un outil de communication. Au niveau de la physique, c’est un outil pratique de description de la réalité (un plus un égal deux), et on s’en sert parce que les mathématiciens l’ont développé avant nous : on ne va pas redévelopper la même chose. C’est un outil de description des phénomènes physiques, mais ce n’est pas un outil de communication, au sens d’une langue, comme une langue française qui nous sert à discuter entre nous.

30Christophe Duroure. Sur le mot, outil de communication, il ne s’agit pas de « la langue française » ou de « la langue anglaise », mais d’outils qui permettent de créer une dualité entre deux représentations…

31YYY. Les mathématiques ne peuvent pas jouer ce rôle-là.

32[…]

33Éric Dacheux (interrogeant une personne qui n’avait pas encore pris la parole). Je vous entends parler, vous n’êtes pas d’accord avec le fait que les mathématiques sont un langage ?

34Yvette Perrin. C’est un langage, mais ce n’est pas qu’un langage : les mathématiques sont aussi un outil. Elles démontrent des résultats en partant d’une hypothèse. Vous avez une EDP (équation aux dérivées partielles), les mathématiciens vont vous dire comment faire pour résoudre cette équation. Dans cette démarche on est dans les résultats. Il n’y a pas seulement l’aspect « décrire un modèle ».

35Éric Dacheux. J’ai du mal à comprendre : cela veut dire que les mathématiques ne sont pas simplement une langue, mais aussi un outil de démonstration ?

36Yvette Perrin. Oui, cela permet d’obtenir des résultats.

37Christophe Duroure. Mais des résultats absolument vrais, c’est ce que vous voulez dire ?

38Yvette Perrin. Je ne suis pas dans la vérité. Un mathématicien n’est pas dans le vrai. Poincaré dit que la seule vérité en mathématique, c’est la non-contradiction. Je pense que les mathématiciens sont dans cette optique-là, ils sont dans le non-contradictoire.

39Christophe Duroure. C’est le noyau dur de la logique.

40Yvette Perrin. Je dirai des mathématiques, car les mathématiques ne sont pas que la logique.

41[…]

42Éric Dacheux. On va voir à présent comment les économistes utilisent les mathématiques.

Intervention de Catherine Simonet (Économiste)

Intervention

43Je suis doctorante en économie du développement. Je vais essayer de vous montrer toutes les utilisations des mathématiques, et ensuite de voir ce qu’on peut tirer de cette utilisation. Premièrement, quelles sciences économiques pour quelles mathématiques ? J’ai réussi à trouver trois grands besoins de la science économique vis-à-vis des mathématiques et trois réponses des mathématiques à ces besoins :

  1. Le premier est – quasiment – le plus indiscutable même au sein des sciences économiques : c’est le besoin de quantification. C’est l’idée que certains problèmes économiques ne pourraient jamais être étudiés sans recourts aux mathématiques. Certains vont même plus loin en disant que certaines questions économiques étaient présentes chez les mathématiciens avant même que la science économique ne soit reconnue comme telle : matrice input/output ; comptabilité nationale ; importations/exportations ; volumes ; prix ; des choses qui sont très mathématisées, qui ont besoin de quantification et pour lesquelles on a fait appel aux mathématiques. Il y a des volumes, des flux et on a besoin de mesurer ces volumes et ces flux.

  2. Le besoin de formalisation. Pourquoi les mathématiques plus qu’autre chose ? C’est ce que j’expliquerai par la suite, il s’agit d’une question historique. Le grand père de toute cette économie mathématique est Walras, avec son économie quantitative avec multimarché, multiproduit. Ici, les mathématiques sont utilisées comme un outil de déduction. Les Social Science Research Council en 1956 annoncent même que « quiconque voudra faire des sciences humaines devra connaître les mathématiques : les probabilités, les dérivées partielles, les dérivées totales… ». C’est ce qu’est véritablement la science économique. Toute cette branche des mathématiques a été énormément réutilisée par les néoclassiques. Par conséquent, elle a été énormément critiquée notamment parce qu’au sein de cette science, on va utiliser les mathématiques pour faire apparaître de nouvelles relations : on donne des quantités en fonction de stocks, des offres en fonction de prix, des systèmes d’équations, etc. Tout cela pour faire apparaître de nouvelles relations sans nécessairement aucun soubassement économique derrière. C’est la principale critique de cette branche de l’économie. Elle repose sur une grosse simplification de l’économie : tous mes individus fonctionnent de la même façon, j’ai un électeur médian qui va donner la réponse de mes élections, etc.

  3. Le besoin d’expérimentation, ce que je fais beaucoup personnellement en économie. Ce besoin est lié à la naissance de l’économétrie (statistiques appliquées à l’économie) comme science à part entière dans les années trente. L’économétrie, en fait, se veut la branche qui permet d’expérimenter les théories économiques : on récupère un certain nombre de données statistiques et on les traite.

44[…]

45Actuellement, l’économétrie est très à la mode. En particulier celle qui s’appelle « l’évaluation d’impact », où on essaye d’évaluer l’impact d’un programme. C’est ce que je fais en économie du développement. On s’inspire énormément de ce que font les médecins lorsqu’ils donnent alternativement un placebo et un médicament : de façon aléatoire, on donne une cantine scolaire, puis on la retire. On regarde alors s’il y a eu un impact positif de la cantine scolaire.

46Ma première idée est de dire que les mathématiques utilisent l’économie, mais attention, il y a plusieurs besoins en économies et plusieurs maths. D’où cette première partie « quelles économies, quelles mathématiques ? » Autant il y a un besoin de quantification et un besoin d’expérimentation qui sont indiscutables ; autant le besoin de formalisation devient extrêmement discutable car on formalise par les maths : pourquoi ne pas formaliser par autre chose ?

Débat

(qui commence donc avant que l’intervenante n’ait pu conclure)

47Christophe Duroure. Par quoi ?

48Par le schéma ou par la rhétorique. La deuxième chose est : « Pourquoi autant de maths en économie ? » J’ai voulu un peu montrer la pression vers la scientificité mathématique que l’économie a dû subir et qui explique pourquoi on met autant de mathématiques en économie. Un des auteurs les plus vindicatifs envers les maths en économie a montré qu’il y avait 30 % de maths dans les cinq grandes revues en économie il y a vingt ans, alors qu’aujourd’hui, c’est 100 %. Tous les articles publiés dans l’une des revues internationales ont une équation mathématique. Il n’est plus possible de publier en économie dans les grandes revues internationales sans écrire une équation mathématique.

49YYY. En ce qui concerne l’évolution de la chimie dans les siècles précédents, c’est exactement pareil. Auparavant, c’était une science descriptive. On a appris plein de choses en chimie au début sur les processus chimiques, sur la classification de Mendeleiev ; il n’y avait pas beaucoup de maths. Maintenant on fait de la chimie quantique sur ordinateur.

50Je vais maintenant tenter de rallier les physiciens : la physique exerce une grosse influence sur l’économie. Au moment où l’économie a été reconnue comme une science, la physique déterministe était à son apogée, le degré de rigueur à atteindre, et le degré de scientificité à atteindre. Ce qui est très amusant (je m’en suis aperçue en préparant ce diaporama), est que j’utilise beaucoup d’éléments du domaine de la physique comme les modèles de gravité, par exemple. Les modèles de gravité consistent à considérer que les pays s’attirent entre eux via les flux commerciaux suivant leur poids économique. Ce qui est totalement inspiré des modèles de gravité – je ne sais pas s’il s’agit de la bonne expression – entre les planètes…

(Acquiescements)

51Je réalise également des modèles de gravité. Les forces sont les flux économiques entre les pays. Le « poids » du pays est donné soit par son poids économique, soit par sa taille géographique, par sa population. Autres modèles très souvent utilisés, le modèle d’équilibre général calculable où l’on essaye de voir l’économie comme système global : ce que l’on peut assimiler à l’atmosphère en physique. Chaque équation qu’on a pu observer est mise en relation économique. Ensuite, on fait tourner ce modèle en considérant que toutes les relations économiques sont totalement simultanées et on utilise les mêmes logiciels (MATLAB) que vous – physiciens – pour faire cela.

52En fait, la position de la science économique est un peu « bâtarde ». Il y a une recherche historique de scientificité inspiré par le modèle de la physique ; et, en même temps, tout l’aspect des sciences humaines où, concrètement, il est impossible de mettre en équation toutes les relations qui interagissent dans une société, tout ce qui fait qu’une société fonctionne. Ce positionnement s’explique davantage par une raison historique et politique qu’autre chose. Pour la conquête sociale et politique, il fallait être comme une science à part entière et pour cela utiliser des symboles mathématiques.

53Le problème est qu’on arrive maintenant à l’effet inverse car les mathématiques peuvent très bien faciliter l’introduction d’idéaux, par les hypothèses préalables à la mise en place de ces relations économiques. Notamment en économétrie et en construction d’indices, en brassant les données, en les lissant on arrive un peu à leur faire dire ce qu’on veut en économie, tout en restant rigoureux d’un point de vue mathématique. Je travaille, par exemple, sur la construction d’indices de vulnérabilité au changement climatique. J’ai lu récemment un article scientifique qui vient de paraître : l’auteur est ministre de l’environnement au Vietnam, et il a créé un indice pour lequel le pays le plus vulnérable au changement climatique est le Vietnam. C’est très scientifique et très rigoureux.

54Philippe Lachaume. Par rapport à ce que tu dis, être très rigoureux, pour moi, c’est préciser de façon très claire les hypothèses qui ont permis cette mathématisation. A priori, si c’est fait cela permet de réaliser que cette personne a pris des choses très spécifiques au Vietnam et ça, c’est très discutable.

55Christophe Duroure. Les conditions de l’expérience, aussi sont importantes.

56Le problème même de l’économie est que, même si l’on connaît toutes nos hypothèses (on a tous les mêmes comportements, dans un univers de concurrence pure et parfaite, etc.), même si l’on peut complexifier le modèle au fur et à mesure du progrès des connaissances, on ne pourra jamais le complexifier à hauteur de ce que sont les comportements humains.

57Christophe Duroure. Cela reste un axiome.

58Éric Dacheux. C’est important, car cette question touche l’ensemble des sciences. L’utilisation des mathématiques est double : comme outil de légitimation, y compris entre pairs, et outil de pouvoir. On voit très bien que c’est pour imposer aux gouvernements un certain nombre de choses. Qu’est-ce que la science ? La science, c’est donner aux autres des moyens de critiquer. C’est une activité rhétorique, sauf que la rhétorique, pour moi, c’est à la fois de la logique et une manière de présenter des arguments. J’étais un étudiant nul en maths, j’ai donc dû arrêter de faire de l’économie. J’ai toujours ressenti les mathématiques comme un pouvoir : maîtriser quelque chose que les autres ne maîtrisent pas, c’est cela avoir du pouvoir.

59[…]

60Juste deux points pour finir. Le premier point est qu’en économie nous avons une utilisation des mathématiques liée à des questions économiques – comme la comptabilité nationale, les besoins de prévisions, etc. – et je pense que les mathématiques sont nécessaires pour résoudre ces questions, ne serait-ce que parce qu’il faut additionner des chiffres ; mais aussi à des questions historiques – une naissance à une période où la physique était importante –, ce qui explique qu’il existe une certaine tradition mathématique pour justifier des théories économiques qui peuvent être parfois justifiées sans mathématique. Le second point consiste à dire qu’il faut toujours garder cet œil critique : lorsqu’on fait des équations, il y a en amont des hypothèses qui soit ne sont pas explicitées (c’est notre problème à nous), soit ne sont pas entendues, surtout par le politique. Parce que le politique n’a pas le temps d’entendre, il regarde seulement les 3 % de la conclusion. C’est comme ça.

61Éric Dacheux. D’où l’importance de réfléchir à la communication.

62À mon avis, l’économie mathématique (la finance mathématique) n’est pas de l’interdisciplinarité. Il s’agit véritablement d’un instrument. C’est l’utilisation du langage mathématique comme un instrument dans le besoin de formalisation. J’en ai fait l’expérience : lorsqu’on présente nos travaux à des physiciens, ils viennent tous nous voir à la fin en nous disant « vous avez fait n’importe quoi ».

63Christophe Duroure. C’est juste la position sur le langage qui n’est pas du tout échange, pas du tout interprétation, traduction entre deux langages.

64Et ça pourquoi ? parce que je pense qu’on est tellement sur quelque chose qui est à cheval entre le littéraire et les mathématiques que le passage du littéraire aux mathématiques a besoin d’être explicité, même aux physiciens qui ne lisent que les mathématiques. Parce que nous – économistes – sommes vraiment sur deux rhétoriques et nous avons vraiment cette énorme incompréhension parfois sur le passage de l’une à l’autre.

65François Vazeille. On passe à la suivante

Albert Benassi (mathématicien)

Intervention

66Amicalement, j’en veux à François car il a dit tout ce que je voulais dire. Dans ce court exposé, je m’intéresserai aux rapports entre les mathématiques et la physique, puis j’introduirai mon propos à l’aide de la notion de langage. Je prolongerai ma réflexion dans une perspective dynamique ce qui me permet de poser la relation entre les mathématiques et la physique. Je rappellerai quelques exemples historiques illustrant mon propos. Enfin je présenterai ma conclusion sous la forme d’une dernière comparaison.

Trois citations liminaires

67Je vais commencer par trois citations. La première dont j’ai malheureusement oublié l’auteur, a été glanée au cours de mes lectures : « Une langue doit être capable d’exprimer tous les états internes d’un individu. » La suivante, de nature galiléenne : « les mathématiques sont le langage de la physique ». Et enfin cette fameuse citation d’Einstein : « Comment se fait-il que les mathématiques, qui sont pourtant un produit de la pensée indépendant de l’expérience, rendent compte si excellemment de la réalité ? »

68J’apprécie la première citation, car prise au pied de la lettre elle a un contenu fabuleux. Je ne vais pas me mêler de linguistique, je n’en suis pas capable. Mais je prends un petit exemple : la joie est un sentiment ; je suis heureux, et pourquoi suis-je heureux ? Si je suis heureux, c’est qu’il y a une cause et en général elle est externe ; et donc, immédiatement s’insère dans la notion d’état interne celle d’éléments extérieurs. Par conséquent, on peut dire que les états internes, en étant un peu platonicien, sont le reflet de la réalité extérieure. Ensuite « exprimer » : je décris précisément mon sentiment de joie, j’entends par là que j’en ai la capacité. Je décris avec mon langage précisément mon sentiment de joie. Conséquence : je peux le communiquer à toute personne possédant ce langage. Conclusion partielle : un langage est un outil de communication, donc les mathématiques, qui sont un langage, sont certainement un outil de communication.

69La deuxième citation est devenue pleinement vraie avec Isaac Newton. Dans ses Principia mathematica, il a vraiment décrit l’univers, au moins perceptible et connaissable à l’époque, à l’aide du langage mathématique, qu’il a d’ailleurs inventé lui-même. La théorie des fluxions, le calcul intégral, c’est également lui. En admettant la première citation, les mathématiques peuvent décrire les états physiques et c’est bien ce qu’elles font. Elles décrivent, je pense, complètement les états physiques. Évidemment, il faut des notions extra-mathématiques, mais nous y reviendrons.

70Troisième citation : « Les mathématiques comme produit de la pensée indépendant de l’expérience. » En effet, si le produit de la pensée est bien indépendant de l’expérience comme Einstein le prétend, alors le fait qu’il puisse si excellemment rendre compte de l’expérience peut paraître miraculeux. Ce qu’il y a de commun à ces trois citations, c’est qu’elles sont statiques, l’évolution temporelle n’y intervient pas.

Le langage mathématique est dérivé de l’expérience

71Passons à présent aux mathématiques. Je ne sais pas si vous connaissez ce livre ancien de Lancelot Hogben qui s’intitule Compter, mesurer, construire. Il a été écrit dans les années 50 et l’auteur propose dans les premiers chapitres une archéologie des mathématiques. Il nous promène dans l’Asie mineure, lieu de naissance de l’écriture :

  • Compter. Il décrit comment l’acte de compter (ses moutons, ses chèvres) a été l’œuvre majeure, avant l’écriture bien entendu. Ce fut la naissance du nombre. Ensuite, pour communiquer et voir s’accroître sa fortune, il a bien fallu inventer la notion de calcul. Il fait remonter la naissance du nombre et la naissance du calcul à cette période très ancienne, très reculée. Une fois qu’on a ces notions, on peut communiquer ces nombres à des marchands éventuels qui vont nous acheter… Cela raconte aussi l’origine des systèmes de numération dont le système décimal : il est évident qu’on va compter sur ses doigts le nombre de moutons. Certains comptent avec une main, système à base cinq ; d’autres comptent avec les deux mains, système à base dix ; avec les mains et les pieds, système à base vingt ; et puis il y a le système duodécimal qui est basé sur les douze mois de l’année ou les douze heures du jour. Tout ça c’est à base d’expériences concrètes, tous ces systèmes de numération, après qu’on ait appris à discerner le nombre de la quantité, de pouvoir mesurer les quantités.

  • Mesurer. Lancelot Hogben donne une origine possible à la notion de mesure lorsque chaque année après les crues du Nil, il fallait reconstituer le cadastre. C’est à cet endroit, à cette époque, selon lui, qu’est née la mesure des longueurs et peut-être des surfaces.

  • Construire. Hogben fait remonter l’origine de la géométrie et même de la découverte du nombre π dans la mesure des surfaces et des volumes. Pour construire, il faut mesurer des surfaces, des volumes. C’est la naissance de la géométrie à trois dimensions.

72Les capacités qu’ont les mathématiques à représenter un certain nombre de notions sont issues d’une évolution. Elles ont une histoire. L’idée que je propose est que c’est cette évolution qui permet d’expliquer le miracle d’Einstein. Elles étaient d’abord très simples, puis elles ont évolué, se sont développées, sont devenues l’outil que Witten (qui est aussi médaille Fields) propose aux physiciens et aux mathématiciens. Donc selon moi les mathématiques ne sont pas un produit indépendant de l’expérience. Bien au contraire, tout au long des millénaires, elles ont été confrontées à cette expérience quotidienne du compter, mesurer, construire. Ce sont leur développement prodigieux et leur grande sophistication qui font qu’on oublie leur humble origine. Mais ce lien se modifie continuellement en s’enrichissant. Il en va de même pour tout langage, bien qu’ici, il faille remonter encore plus loin peut-être. Le langage humain vient probablement de très loin. Il est possible que les animaux aient des représentations très langagières. Je ne sais pas, c’est à vérifier. Quant aux maths, c’est cette dépendance continue qui est la source de leur performance.

Mathématiques et physique

73Passons désormais aux rapports des mathématiques et de la physique. Ce qui est sous-jacent à l’émerveillement d’Einstein est que les mathématiques sont simples et la réalité physique compliquée. Comment un outil simple peut décrire une réalité compliquée ? Voilà à mon avis la source de l’émerveillement d’Einstein. J’entends par simple notamment l’idéalisation du point, de la droite, etc. que tout le monde connaît. On a épuré des notions, on les a rendues abstraites, très simples et très manipulables, universelles si je puis dire. Imaginons qu’il nous faille travailler avec des vrais points (c’est-à-dire des tâches) : que pourrait signifier que telle droite, collections de points, ou tâches, passe par tel point ? Ce ne serait pas défini de manière extrêmement rigoureuse et s’il avait fallu commencer par la physique nous n’y serions pas arrivé. Poursuivons : une fois que l’on sait ce qu’est une vitesse – le vecteur vitesse –, le mathématicien ira inéluctablement à la notion d’espace vectoriel si on lui en donne le temps. Remarquons que cette notion de vitesse est apparue pour la première fois avec Galilée. C’est Galilée qui a inventé la notion de vecteur vitesse. C’est Hamilton au xixe siècle qui lui a donné sa définition moderne. Conclusion provisoire : les mathématiques forment une description épurée de la réalité que l’on manipule comme un langage. Mais immédiatement, à peine existantes, elles s’autonomisent par rapport à la réalité, elles deviennent elles-mêmes objet d’étude.

74La simplicité des maths permet d’éviter les contradictions internes. En nous appuyant sur cette non contradiction a priori, songeons à ceci : les géométries non-euclidiennes (Gauss, Lobatchevski, etc.) furent mises à la disposition d’Einstein par Cartan qui lui permit de mettre la dernière main à sa théorie de la relativité générale. Einstein s’est déplacé spécialement des États-Unis en France pour voir Cartan, pour le consulter sur la géométrie riemannienne. Et ceci bien que ces géométries furent développées pour elles-mêmes. Elles n’ont pas été développées dans un but particulier, elles ont été développées par curiosité mathématique, par nécessité mathématique, par nécessité interne. Je pose une question qui peut intéresser Catherine et les autres bien sûr, une question provocante : Y-a-t-il une théorie mathématique jugée profonde par la communauté des mathématiciens qui soit sans emploi ?

75Christophe Duroure. C’est une question vicieuse parce que les maths sont tellement à la mode que même si une théorie était sans emploi, on pourrait dire qu’elle servira sous peu.

76François Vazeille. C’est « dans un placard », ça peut servir.

77Je ne suis pas certain d’être vicieux lorsque je pose cette question. Deuxième question : peut-il y en avoir ?

78Christophe Duroure. Ma réponse intuitive, c’est oui.

79Catherine Simonet. La théorie des nombres ?

80Christophe Duroure. La cryptologie…

81Yvette Perrin. Ce n’est qu’une partie de la théorie des nombres. Je ne m’aventurerai pas là : la théorie des nombres a de nombreuses applications concrètes même en physique théorique.

82Un doctorant. J’ai un ami qui fait des maths de la théorie des nombres, qui n’a pas pu venir. Il me disait qu’une des choses qui lui plaisait est que ce qu’il fait ne sert à rien, et qu’il ne savait pas ce qu’on en ferait plus tard.

83[…]

84Christophe Duroure. Ta réponse personnelle serait-elle : « Nécessairement, toute théorie mathématique doit servir un jour » ?

85Je ne sais pas.

86Catherine Simonet. N’est-ce pas le principe des mathématiques fondamentales ?

87YYY. Qu’est-ce que c’est que servir ?

88Le mathématicien n’a pas à se préoccuper de ce que cela servira ou pas. Mais ce n’est pas parce qu’il ne s’en préoccupe pas que cela ne va pas servir. Jusqu’à présent, les théories véritablement profondes ont servi. C’est ce que je voulais prouver. Pour ma part, je ne vois pas de théorie importante actuellement sans emploi. Non, je n’en vois pas. Peut-être estce dû à mon inculture. En revanche, le développement des sciences et des techniques est affamé de sciences mathématiques, ça c’est vrai !

89(…)

90Pour conclure : comment distinguer un mathématicien d’un physicien ? Je vais devoir revenir à des choses plus basiques. Par le mode de l’administration de la preuve, me semble-t-il. C’est ce qui nous distingue, mathématiciens et physiciens. Nous n’administrons pas la preuve de la même manière. En mathématique, c’est purement hypothético-déductif, un raisonnement pur qui nous permet d’arriver à une conclusion. Si l’on raisonne correctement, le théorème est démontré, le résultat est prouvé. En physique, c’est beaucoup plus compliqué. Je pense que la physique est basée sur la notion d’ordre de grandeur, qui guide un peu le physicien : il va a priori évaluer un résultat par l’ordre de grandeur. Je me rappelle une anecdote. Lorsque a eu lieu l’explosion à Paolo Alto dans le désert du nouveau Mexique : je ne sais pas si c’est vrai, Fermi aurait lâché des petits bouts de papier et donné l’ordre de grandeur de l’énergie de l’explosion en regardant jusqu’où allaient les petits morceaux de papier…

Débat

91Christophe Duroure. Ce qui a été publié, c’est la photo du film de la boule et ils ont trouvé, grâce à la photo du halo thermique, l’énergie à 10 % près.

92Un raisonnement correct en physique n’est jamais ultime, il faut qu’il soit vérifié par l’expérience. C’est ce qui nous distingue. Il y a une chaîne, une boucle supplémentaire qui est la validation expérimentale. Je termine par une provocation : un mathématicien ne produira jamais une bonne idée physique en tant que mathématicien, de même qu’un physicien ne produira jamais une idée mathématique digne de ce nom en tant que physicien. C’est-à-dire que…

93Christophe Duroure. Tu es pour la partition ?

94Non, ce n’est pas ça. Pour produire une bonne idée de physique, il faut se mettre dans la peau d’un physicien.

95Un mathématicien, il faut qu’il abandonne en partie sa…

96François Vazeille. Je voudrais poser une question. Le problème de la physique est que même si l’on produit un résultat propre, l’interprétation peut être moins propre. L’interprétation peut être variable en fonction du temps. À l’instant où l’on produit le résultat, il est admis, et puis on s’aperçoit finalement que l’interprétation n’était pas la bonne. Entre temps, les théoriciens ont eu d’autres idées qui ont amené du grain à moudre. J’ai connu ça dans mon cas…

97YYY. C’est la question de la réfutation… À un moment donné, la théorie, le modèle était vrai, et les moyens de le mettre en défaut n’existaient pas. Moyens qui sont arrivés entre-temps…

98François Vazeille. C’est pour ça qu’aucune preuve n’est éternelle. Les idées évoluent, les chiffres restent.

99Éric Dacheux. Une question : le principe de non-contradiction, c’est très occidental, opposé à la culture bouddhiste ou chinoise…

100Aujourd’hui, les chinois nous imitent.

101Éric Dacheux. Je voudrais savoir : les mathématiques sont-elles nées à Athènes ou en Chine ?

102Elles sont nées partout. En Chine,…

103Éric Dacheux. En même temps ?

104En même temps, je ne sais pas.

105[…]

106Christophe Duroure. Le cœur logique des mathématiques, est clairement lié à la linguistique et il est apparu partout à peu près au même moment.

107On a tous eu besoin de dénombrer, de mesurer. Il est peu probable…

108Christophe Duroure. On a besoin de s’entendre entre personnes.

109On a vu, au Brésil, des tribus qui comptaient « un, deux, grand… »

110Christophe Duroure. Parfois, dans certaines conditions, c’est suffisant…

111Yvette Perrin. Mais ils ont une idée.

112Ça ne veut pas dire qu’ils ne connaissent pas trois mais ils ne savent pas l’exprimer…

113Christophe Duroure. Ils n’en ont pas besoin.

114Si, bien sûr qu’ils en ont besoin : trois fruits, ce n’est pas pareil que deux ; trois enfants, ce n’est pas deux… Mais, je voudrais juste terminer sur une anecdote de Thom. Il allait à un colloque pluri-disciplinaire à Gênes en Italie. Il rencontre sur son chemin Crick, qui a découvert la structure de l’ADN avec Watson et qui a surtout découvert le code génétique (il aurait donc dû avoir deux prix Nobel). Thom, qui avait lu son article, court vers lui : « Votre article est faux ! ». Intérieurement, Crick se dit (c’est écrit dans ses mémoires) : « Les mathématiciens ne sont décidément pas des gens pas sérieux ». C’est exactement ce que je voulais dire : on ne peut pas produire une idée… il faut vraiment se mettre dans la discipline.

115Yvette Perrin. Autrefois les physiciens étaient également des mathématiciens : Newton, Gauss…

116Éric Dacheux. On a dépassé l’heure, je voudrais remercier les participants. Je vous invite à la prochaine séance le 20 janvier à la Maison des Sciences de l’Homme. Encore merci à tous, maintenant un pot convivial nous attend pour prolonger tranquillement cette discussion.

Notes

1 Dans le cadre de la visée ethnographique de cette première partie, nous avons choisi, de présenter l’ensemble de l’intervention de Christophe Duroure (le verbatim) dans l’annexe 3 de cet ouvrage. La présente version est donc sensiblement réduite et retravaillée.

Table des illustrations

Titre Schéma de R. Thom sur l’activité scientifique dans « Prédire n’est pas expliquer »
URL http://books.openedition.org/editionscnrs/docannexe/image/24991/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 152k

© CNRS Éditions, 2015

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

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