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Le climat à découvert

 | 
Catherine Jeandel
, 
Rémy Mosseri

Cinquième partie. La modélisation du climat

8. Simulation numérique de phénomènes couplés : l’exemple de l’interaction fluide-solide

Jean-Frédéric Gerbeau

Texte intégral

1Modéliser le climat nécessite la prise en compte simultanée de phénomènes physiques qui interagissent les uns avec les autres : mécanique des fluides de l’atmosphère, de l’océan, cycle du carbone, etc. Du point de vue de la simulation numérique, chaque phénomène fait encore l’objet de recherches très actives et leur couplage démultiplie les difficultés, la complexité du problème couplé dépassant la somme des complexités des problèmes pris séparément. L’exemple du couplage d’un fluide et d’un solide permet d’illustrer ces difficultés. Pour se représenter un exemple de système d’interaction fluide-solide, on peut imaginer le sang à la sortie du cœur : l’écoulement du fluide provoque l’ouverture des valves aortiques et en retour, les mouvements de celles-ci influencent l’écoulement (figure).

Des codes en boîtes noires

2En 1975, l’US Office of Naval Research finança des recherches sur la simulation numérique d’explosions sous-marines, en imposant comme contrainte d’utiliser pour la mécanique des solides un programme dont le code source n’était pas accessible. Le choix de la méthode numérique pour le couplage avec un fluide était guidé par cette contrainte : il fallait imaginer des algorithmes traitant chaque compartiment physique comme une « boîte noire », c’est-à-dire sans en connaître le détail et en échangeant seulement des informations partielles sur les systèmes. Il est apparu qu’en procédant naïvement, les résultats étaient imprécis ou instables, ce qui a stimulé la recherche autour de méthodes numériques plus élaborées.

3Cette configuration est, encore aujourd’hui et dans de nombreux domaines, la plus fréquente : on préfère souvent coupler entre eux des outils de simulations existants. Chacun est en effet spécialisé pour un problème physique particulier, et est souvent lui-même le résultat de plusieurs années de recherche et de développement. De plus, cette stratégie facilite les évolutions futures : une mise à jour des méthodes utilisées pour un sous-problème pourra se faire sans modifier l’ensemble des composantes. Cependant, il est essentiel d’avoir à l’esprit qu’en procédant ainsi on introduit également des difficultés nouvelles, propres au couplage, qui doivent être traitées avec soin si on ne veut pas perdre le bénéfice du travail effectué dans chaque sous-problème.

Couplage de modèles, multiplication des problèmes

4Quand on simule numériquement un phénomène physique, il est bien naturel de s’interroger sur certaines propriétés fondamentales que doivent vérifier les solutions : conservation de la masse, respect des principes de la thermodynamique, positivité de certaines grandeurs physiques, etc. Les méthodes numériques sont conçues en ayant à l’esprit ces préoccupations. Il est aussi naturel de se poser des questions sur la précision de l’approximation utilisée. Par exemple, un schéma dit « d’ordre 2 en temps » permettra, en principe, de diminuer l’erreur d’un facteur 4 en divisant le pas de discrétisation en temps par 2. Là encore, ces préoccupations sont généralement bien connues de tout utilisateur de méthodes numériques. En revanche, il est parfois moins connu qu’en couplant des méthodes numériques entre elles pour modéliser des phénomènes multiphysiques, on peut considérablement dégrader leurs propriétés. Ainsi dans un problème d’interaction fluide-solide, on peut coupler un schéma d’ordre 2 pour le fluide avec un schéma d’ordre 2 pour le solide, et obtenir en fin de compte un schéma seulement d’ordre 1 pour le système couplé. La question de l’énergie est au moins aussi délicate. Si on n’y prend garde, le couplage entre deux sous-systèmes stables peut introduire une énergie parasite qui déstabilise le système global. Face à une solution instable, le réflexe habituel d’un numéricien est de diminuer le pas de temps. Or, il existe des situations où la solution du problème couplé demeure instable quel que soit le pas de temps. Pour éviter l’apparition d’instabilités, certains algorithmes introduisent une dissipation artificielle de l’énergie. Le risque est alors d’amortir exagérément le système. Cette situation est peut-être la plus dangereuse car elle ne saute pas aux yeux, contrairement à une instabilité. Elle peut conduire à des solutions très imprécises, particulièrement sur des temps longs. Il est en fait souhaitable que le schéma de couplage préserve exactement les échanges d’énergie entre les sous-systèmes. La difficulté se transporte alors sur un autre terrain : il n’est généralement pas très compliqué conceptuellement d’assurer un bilan d’énergie correct, mais il peut être redoutablement difficile de le faire de manière efficace, c’est-à-dire en conservant un coût de calcul comparable à celui de phénomènes découplés. Tout l’art consiste à autoriser une petite dose bien contrôlée d’énergie parasite, ou à introduire un peu de diffusion artificielle qui assurera la stabilité sans compromettre l’efficacité et la précision.

Un exemple de phénomène couplé : interaction mécanique entre l’écoulement du sang et les valves aortiques. Simulation numérique réalisée par M. Astorino dans l’équipe-projet REO, à l’INRIA* Paris-Rocquencourt

Conclusion

5Pour certains problèmes d’interaction fluide-solide, comme celui de l’écoulement du sang dans les artères, il aura fallu près d’une décennie pour découvrir des algorithmes de couplage réellement efficaces. Les techniques spécifiques utilisées pour ces problèmes ne sont certainement pas toutes transposables à d’autres. Cependant, les principales difficultés sont génériques et ne doivent pas être mésestimées.

Table des illustrations

Légende Un exemple de phénomène couplé : interaction mécanique entre l’écoulement du sang et les valves aortiques. Simulation numérique réalisée par M. Astorino dans l’équipe-projet REO, à l’INRIA* Paris-Rocquencourt
URL http://books.openedition.org/editionscnrs/docannexe/image/11443/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 907k

Auteur

Modèles mathématiques, analyse numérique, Directeur de Recherche à l’INRIA, Responsable de l’équipe REO, INRIA, Rocquencourt.
jean-frederic.gerbeau@inria.fr

© CNRS Éditions, 2011

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