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L'énergie à découvert

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Rémy Mosseri
, 
Catherine Jeandel

Quatrième partie. L'énergie nucléaire

12. Simulation numérique de la fusion magnétique

Éric Sonnendrücker

Texte intégral

1Le passage du stade expérimental du prototype de réacteur thermo-nucléaire ITER (cf. IV.12) au stade opérationnel avec la construction d’un prototype de centrale à fusion (DEMO) dépend en grande partie d’une compréhension approfondie des différents mécanismes en jeu dans le confinement du plasma (gaz de particules ionisé à des températures de l’ordre de la centaine de millions de degrés Celsius). Pour mieux comprendre ce qui se passe au cœur de la chambre de confinement magnétique (le tokamak*), les chercheurs font appel à la modélisation par des équations mathématiques. Dans certains cas très rares, de telles équations peuvent être résolues de manière exacte, mais la plupart du temps une approximation de la solution est calculée à l’aide d’ordinateurs. On parle alors de simulation numérique.

Modèle mathématique et approximation numérique

2Le modèle de base pour un plasma est donné par les équations du mouvement des particules chargées, électrons* et ions*, dans le champ magnétique* extérieur perturbé par le champ électromagnétique qu’elles génèrent. Un tel modèle peut s’écrire de manière très simple, mais n’est pas utilisable en pratique car il n’a pas de solution exacte et vu le nombre très élevé de particules dans le plasma, il n’est pas possible non plus de l’utiliser dans des simulations numériques qui seraient largement trop coûteuses aussi bien en temps de calcul qu’en place mémoire. Il est pour cette raison indispensable de recourir à des modèles moins généraux, mais accessibles à la simulation numérique. Dans l’idéal, ces modèles doivent être dérivés des principes premiers de la physique en utilisant des approximations bien justifiées.

3Une fois un modèle mathématique identifié (système d’équations), la simulation numérique nécessite d’abord de trouver une approximation suffisamment précise du modèle dont la solution peut être calculée sur un ordinateur. En effet, les modèles de base portent sur des données continues définies partout dans le domaine de calcul qui ne peuvent pas être représentées par un nombre fini de quantités. Ensuite un algorithme efficace et le plus rapide possible doit être trouvé puis programmé. Celui-ci va bien sûr dépendre en partie de l’ordinateur utilisé.

Ces figures correspondent à des résultats numériques issus du code GYSELA, développé en France au CEA de Cadarache, en collaboration avec Inria et l’Université de Strasbourg. La figure de gauche représente la densité locale d’ions et la figure de droite le potentiel électrique, une fois la turbulence développée. Les couleurs correspondent aux isovaleurs des quantités représentées : à chaque couleur correspond une valeur, ce qui permet de visualiser la variation de ces quantités

Diversité des échelles de temps et d’espace

4Les échelles de temps et d’espace intervenant dans un plasma de fusion recouvrent plusieurs ordres de grandeur. Ainsi, alors que la durée d’une expérience est de l’ordre de la minute ou plus pour ITER, les oscillations des électrons et leur période autour d’une ligne de champ magnétique sont de l’ordre de la picoseconde* (millième de milliardième de seconde). De même pour les échelles d’espace, le petit rayon du plasma est de l’ordre du mètre, alors que le rayon de la rotation des électrons autour des lignes de champ magnétique* est de l’ordre du dixième de millimètre. Il est donc impossible de réaliser des simulations complètes à l’aide du modèle le plus précis. La façon de procéder est donc d’isoler certains phénomènes physiques et de les traiter à partir de modèles réduits appropriés. Un couplage de ces modèles pour des simulations plus globales est également intéressant, mais difficile à réaliser.

5Une autre spécificité des plasmas de fusion magnétique devant être prise en compte pour développer des méthodes de simulation numérique est la géométrie complexe liée au champ magnétique et à la paroi du tokamak pour certaines simulations. La présence du fort champ magnétique extérieur engendre également des comportements physiques le long des lignes de champ magnétique sensiblement différents par rapport aux directions perpendiculaire à celles-ci. Cette anisotropie* impose de fortes contraintes dans le choix d’un maillage et d’une méthode numérique.

Les différents types de modèles

6Parmi les modèles principaux utilisés pour la simulation numérique de la fusion on trouve la magnétohydrodynamique* (MHD) qui représente le plasma par un fluide associé à un champ magnétique. Ce modèle permet notamment de calculer une configuration d’équilibre du plasma associée à un champ magnétique donné. Il est également utilisé pour comprendre et réduire différentes instabilités se produisant dans le bord du plasma. Notons que des modèles très simplifiés de MHD sont aussi utilisés pour contrôler en temps réel le plasma en jouant sur le courant dans les bobines extérieures. La problématique des matériaux utilisés face aux plasmas à l’intérieur du tokamak est également fondamentale et nécessite des simulations numériques très complexes à l’échelle moléculaire pour étudier d’une part leur résistance et d’autre part leur interaction avec le plasma. Par ailleurs, l’interprétation des diagnostics est réalisée à l’aide de logiciels de simulation parfois très avancés.

7Le modèle cinétique est un autre modèle obtenu par des techniques de physique statistique à partir des interactions entre les particules individuelles du plasma. Il représente l’évolution de la densité de particules dans l’espace des phases* composé des positions et des vitesses. En dynamique des gaz, ce modèle s’appelle l’équation de Boltzmann ; dans les plasmas peu collisionnels on parle d’équation de Vlasov. Une des difficultés de ce modèle est qu’il est posé dans un espace à six dimensions, trois pour la position et trois pour la vitesse (en plus du temps). Dans les plasmas de fusion magnétique, la présence du très fort champ magnétique extérieur permet d’éliminer une dimension de vitesse, en moyennant sur l’angle de la rotation très rapide des particules autour des lignes de champ magnétique, et de se ramener à un espace à cinq dimensions. Le modèle associé est alors appelé modèle gyrocinétique. Mais même dans ce cas, il faut des ressources de calcul considérables pour le résoudre, ce qui en fait une des applications phares pour le calcul haute performance. Ces codes tournent de manière routinière sur des milliers et jusqu’à des centaines de milliers de cœurs de calcul. Deux types principaux de méthodes numériques sont utilisés pour la résolution, les méthodes particulaires qui approximent la fonction de distribution par un ensemble de macroparticules évoluant dans le temps et les méthodes utilisant un maillage de l’espace des phases à cinq dimensions. Les codes gyrocinétiques jouent un rôle fondamental dans la compréhension du transport turbulent qui a lieu dans le cœur du plasma et qui détermine le temps de confinement* de l’énergie dans le plasma.

Bibliographie

Références bibliographiques

• R. AMOUT et J. JACQUINOT – Iter, le chemin des étoiles, EDISUD, 2006.

• J. -M. GHIDAGLIA et B. RITTAUD – Back to basic : la simulation numérique, La Recherche n° 380, 2004.

• P. VENDEGINSTE – Un milliard de milliards d’opérations par seconde, La Recherche n° 446, 2010.

Table des illustrations

Légende Ces figures correspondent à des résultats numériques issus du code GYSELA, développé en France au CEA de Cadarache, en collaboration avec Inria et l’Université de Strasbourg. La figure de gauche représente la densité locale d’ions et la figure de droite le potentiel électrique, une fois la turbulence développée. Les couleurs correspondent aux isovaleurs des quantités représentées : à chaque couleur correspond une valeur, ce qui permet de visualiser la variation de ces quantités
URL http://books.openedition.org/editionscnrs/docannexe/image/11003/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 847k

Auteur

Mathématicien, Responsable du Département Méthodes numériques pour la physique des plasmas au Max-Planck-Institute for plasma physics, Professeur à l’Université Technique de Munich, Munich, Allemagne.
sonnen@ipp.mpg.de

© CNRS Éditions, 2013

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

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